TATA42: Tips inför tentn John Thim 28 mj 209 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så llt mteril som förekommer där kn så klrt dyk upp på tentn. Dessutom ingår de kurser som räkns som förkunskper även här, vilket innebär tt ni förvänts kunn hnter verktyg även från tidigre kurser. Fokus i dett dokument är också på uppgifter som är v krktären godkänt. Mclurin- och Tylorutvecklingr Lär er de s.k. stndrdutvecklingrn (för e x, cos x etc) och även formeln som gäller för ll snäll funktioner kring godtycklig punkt x = : f(x) = p n (x) + r(x) = f() + f ()(x ) + f () (x ) 2 + + f (n) () (x ) n + O((x ) n+ ). 2 n! Här är p n (x) Tylorpolynomet v ordning n (med grd n) och resten r(x) på ordo-form. Med = 0 erhåller vi Mclurinutvecklingen. Om Tylorutveckling kring x = sökes, försök introducer en vribel t = x så tt t 0 då x. Skriv om f(x) i vribeln t och utveckl m..p. t (nvänd gärn elementär Mclurinutvecklingr här). Tillämpningr med rest på ordo-form Se till tt du behärskr ordo-klkyl. Principfel i hnteringen v ordo-termer kn ldrig ge godkänd uppgifter. Hitt utvecklingr genom nstser, t ex genom tt nsätt tn x = x+ 3 x 3 + 5 x 5 +O(x 7 ) (tn är udd) och utnyttj utvecklingr för sin x och cos x smt tt cos x tn x = sin x lterntivt utvecklingen för rctn x smt tt rctn(tn x) = x. f(x) Gränsvärden för kvoter: lim. Utveckl f(x) och g(x) och nge resten på ordo-form. x 0 g(x) Börj med nämnren och utveckl sedn täljren så du kommer förbi först termen i nämnren. Gränsvärden mot någon oändlighet, oft lim x ( f(x) g(x) ). Bryt ut det som dominerr och hitt ny vribler som går mot noll då x (tex t = /x). Observer tt det går br tt h olik vribler i olik delr v uttrycken så länge mn byter tillbk till x innn gränsvärdet räkns ut. john.thim@liu.se
Anpss mot polynom, speciellt för tt hitt symptoter eller nnt beteende mot oändligheten. Till exempel hitt och b så lim x ( + x2 x b ) = 0. Bryt ut det som dominerr ur roten och Mclurinutveckl i ny vribel! Avgör om sttionär punkter är mximum eller minimum. Utveckl funktionen och studer beteendet som dominerr. Vd händer när mn flyttr sig lite från den sttionär punkten? Tänk cos x = x 2 /2 + O(x 4 ) = x 2 (/2 + O(x 2 )). Om mn flyttr sig lite från x = 0 blir tillskottet negtivt eftersom /2 dominerr O(x 2 ) i prentesen. En mxpunkt lltså! Restterm på Lgrnges form Uppsktt fel i Mclurinutvecklingr (eller Tylor) i ndr punkter än br väldigt när en viss punkt (origo). Om f C n+ när x = gäller tt f(x) = p n (x) + r(x) = f() + f ()(x ) + f () 2 (x ) 2 + + f (n) () (x ) n + f (n+) (ξ) n! (n + )! (x )n+, för något ξ melln och x. Noter tt ξ beror på x (smt även och n). Nytt x ger nytt ξ, så vr försiktigt med hnteringen och uppsktt helst bort llt ξ-beroende i uttrycket när något sk görs. Vnlig exempel på nvändningsområden: Funktionsvärden i en viss punkt, ex. cos 4. Vis olikheter som exempelvis tt sin x (x x 3 /3!) x 5 /20. Uppsktt numeriskt värde på integrl där vi inte hr någon känd primitiv funktion: utveckl integrnden och uppsktt felet över hel integrtionsområdet. Polynomet är enkelt tt integrer och med tillräckligt mång termer är felet litet! Generliserde integrler Om 0 f(x) g(x) gäller tt och g(x) dx < f(x) dx = f(x) dx < g(x) dx =. f(x) Om f, g 0, ll integrler endst är generliserde i x = b och 0 < lim x b g(x) < gäller tt f(x) dx < g(x) dx <. Vid nvändning: bryt ut det som dominerr i f(x) när x = b och räkn ut gränsvärdet för det som blir över: f(x) dx = g(x) f(x) g(x) dx. 2
Motsvrnde sts gäller om generliseringen är i punkten x = (men br en i tget!). Finns eller uppstår problem i fler punkter: del upp integrlen! För konvergens måste ll delr vr konvergent. Om någon är divergent är hel integrlen divergent. Se upp så din jämförelseintegrl (dvs integrlen v g(x)) inte blir generliserd i fler punkter! Del upp området om så behövs. Känd jämförelsefunktioner: ˆ 0 x α dx < α < och ˆ dx < α >. xα Absolutkonvergens. En bsolutkonvergent integrl är lltid konvergent. Kn även nvänds innn jämförelsests tillämps för tt se till tt integrnden är ickenegtiv. Observer tt det finns villkorligt konvergent integrler som inte är bsolutkonvergent. Serier Teorin är i mång vseenden prllell med den för generliserde integrler, men vi hr br problem i oändligheten och det finns viss ndr skillnder. Till exempel finns inget divergenstest för integrler (integrnden behöver inte punktvis gå mot noll för konvergens). n Kortfttt. En serie s = k konvergerr om delsummorn s n = k konvergerr till s då n, dvs s = k = lim n k n om gränsvärdet existerr. Serien består v summn v termern k, k = m, m +,... Att säg tt termern konvergerr, dvs tt k för något då k, är lltså något helt nnt än tt säg tt serien konvergerr, dvs tt delsummorn s n s. Divergenstestet säger tt = 0 är nödvändigt för tt s n s (men inte tillräckligt). Vr mycket tydlig med vd det syfts på när något säges konverger (eller diverger). Förstå hur konvergens för en serie definiers vi delsummor. Divergenstestet, i.e., om termern k inte går mot noll är serien divergent. Skillnd på bsolutkonvergens och konvergens. Jämförelsestsern för 0 k b k respektive tt 0 k /b k L med 0 < L <. Om 0 k b k gäller tt b k < k < och k = 3 b k =.
k smt om 0 < lim < gäller tt k b k b k < k <. Grundprincip för gränsvärdestestet: bryt ut det som dominerr mot oändligheten och betrkt vd som blir kvr. Är gränsvärdet strikt melln 0 och är det den dominernde fktorn som vgör konvergens eller divergens (om positiv uttryck erhålls). Geometrisk serier: Känd jämförelseserier: q k = q k= om q <. Då q är serien divergent. k α < α >. Cuchys jämförelseprincip: om f(x) 0 och f(x) är vtgnde för x är ˆ f(k) < f(x) dx <. k= Se till tt förstå hur uppskttningrn går till vi över- och undertrppor för funktionen f. Dett ger också möjlighet till uppskttning v hur stor svnsen f(k) är (och även för hel serien så klrt). Leibniz-serier k=n+ k där k+ och k hr olik tecken för ll k (lternernde) och 2 3 smt k 0 (vtr mot noll). Alltså TRE krv (och dess måste precisers på tentn). Dess serier konvergerr lltid! För feluppskttning gäller för Leibniz-serier tt k n+. k=n+ Dett är inte snt för godtycklig konvergent serier! Potensserier Kvot- och rottestet. En serie c k är bsolutkonvergent om Q = lim k c k+ c k eller om Q = lim c k /k <. k Om Q > är serien divergent. Om Q = vet vi inget och inte heller om inget v gränsvärden existerr. Dess test kn även nvänds för vnlig numerisk serier. 4 <
T frm konvergensrdie för potensserie från kvot- eller rottestet. Testet ger en olikhet v formen Q < där Q innehåller x. Lös ut x för tt hitt R så tt x < R. Se upp om potensserien till exempel br innehåller jämn potenser (x 2k ) eller dylikt. Avgör konvergens när x = R (två fll, x = ±R, sätt in i serien och undersök som numerisk serie!). Termvis derivering och integrering (ok för x < R, konvergensrdien för den ursprunglig serien). Utnyttj derivering eller integrering för tt räkn ut numerisk serier som exempelvis Kom ihåg tt x k = x Differentilekvtioner om x <. Linjär ekvtioner v ordning ett Skriv om på formen y (x) + f(x)y(x) = g(x) med konstnt fktor frmför y. Integrernde fktor: e F (x) där F (x) = f(x). Multiplicer med denn och VL blir ( e F (x) y(x) ) och HL blir g(x)e F (x). Integrer och lös ut y. Seprbl ekvtioner Kom ihåg tt här ingår definitionsmängden för lösningen i svret! Dett är det störst smmnhängnde intervll där funktionen är C. Tekniken är seprtion v vribler: g(y) dy ˆ ˆ dx = h(x) g(y) dy = h(x) dx. Se upp vid divisioner! Kn dyk upp lösningr eller ge problem i definitionsmängder (y respektive x). Linjär DE v ordning två och högre med konstnt koefficienter Två delr: homogen- och prtikulärlösning. Den homogen hitts genom tt hitt nollställen till det krkteristisk polynomet p(r). En prtikulärlösning hitts genom tt nsätt något lämpligt. Kom ihåg förskjutningsregeln: p(d)e x z(x) = e x p(d + )z(x). Denn förenklr mycket! Kn nvänds ovsett hur högerledet ser ut så länge det är en fktor e x med. Superposition Kom ihåg tt mn kn del upp prtikulärlösning i fler delr. Om HL består v, e.g., e x + 7 kn vi hitt en prtikulärlösning y p som mtchr e x och en nnn y p2 som mtchr 7. Den totl fås som y p = y p + y p2. 5 k 2 k.
Tbell : Anstser för prtikulärlösningr. Högerled Ansts Undntg n x n + n x n + + x + 0 b n x n + b n x n + + b x + b 0 r = 0 rot x(b n x n + b n x n + + b x + b 0 ) r = 0 dubbelrot x 2 (b n x n + b n x n + + b x + b 0 ) r = 0 trippelrot A sin kx + A 2 cos kx B sin kx + B 2 cos kx r = ±ik rot x(b sin kx + B 2 cos kx) r = ±ik dubbelrot x 2 (B sin kx + B 2 cos kx) r = ±ik trippelrot e x, C Be x r = rot Bxe x r = dubbelrot Bx 2 e x r = trippelrot q(x)e x z(x)e x ing undntg 2 A e αx cos βx + A 2 e αx sin βx B e αx cos βx + B 2 e αx sin βx r = α ± iβ rot B xe αx cos βx + B 2 xe αx sin βx r = α ± iβ dubbelrot Om undntgsfllet inträffr försöker vi med nstsen på näst rd. 2 Ger ekvtion för z. Nytt högerled där e x försvunnit. Hitt en lösning till denn ekvtion! Ekvtioner v Eulertyp Ekvtioner v typen n x n y (n) + + xy + 0 y = g(x), x > 0, löses genom vribelbytet t = ln x och introduktionen v z(t) = y(e t ). Kom ihåg kedjeregeln! Leder till linjär ekvtion med konstnt koefficienter. Integrlekvtioner I denn kurs är tnken tt deriver frm en diffekv. och lös den i stället. Begynnelsevillkor fås genom tt välj någon smrt punkt x = i integrlekvtionen så integrlen försvinner (om möjligt). Kom ihåg integrlklkylens fundmentlsts som medför tt om f, g C. d dx ˆ g(x) f(x) Anlytisk lösningr (potensserier) y(t) dx = y(f(x))f (x) y(g(x))g (x) Lös differentilekvtioner genom potensseriensts. Lite bökigt men principen är enkel. Se till tt förstå hur serien kn summers om (omindexers) så det blir enklre tt mtch koefficienter. Kom ihåg också tt termer försvinner vid derivering v potensserie. Längd, re och volym Pln re (till exempel melln kurvor). Även på polär form! 6
Kurvlängd för funktioner på formen y = f(x) och prmeterform x = x(t) och y = y(t). Kom ihåg bågelementet ds = x (t) 2 + y (t) 2 dt. Rottionsre och rottionsvolym för rottioner kring linjer x = och y = b. Kom ihåg skiv- och rörformler och även Pppos-Guldin som hjälpmedel. Viktigste steget är tt få upp korrekt integrler i denn kurs. Rottioner kring sned xlr. Läs på exemplet i föreläsningsnteckningrn, dett är en mycket nvändbr tillämpning v Pppos-Guldins regler. Rottioner i polär kooridinter. Memorer inte formler utn lär er hur mn tänker frm uttrycken. Pppos-Guldin loklt även här. Rit figur! Även tyngdpunkter i,2 och 3 dimensioner behöver kunn beräkns. Kom ihåg tt det går tt nvänd Pppos-Guldin bklänges för tt hitt - och 2-dimensionell tyngdpunkter. Se till tt ni kn rit principskisser för de olik situtionern (och tt dess hänger ihop med formlern). En principskiss innebär inte tt funktionen måste se ut precis som i uppgiften utn behöver br motiver formeln som nvänds. 7