Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Fler exempel på optimering Exempel 1. Utifrån en rektangulär pappskiva med bredden 7 dm och längden 11 dm, vill man åstadkomma en kartong utan lock, genom att klippa bort en lika stor kvadrat i var och en av de fyra hörnen. Kantsidorna viks sedan upp som figuren ovan visar. Beräknar hur stor sidan s hos den bortklippta kvadraten ska vara för att ge lådan en så stor volym v som möjligt. Lösning: Vi tecknar funktionen V(s), volymen som funktion av den sökta sidans längd. V(s) = s(11 s)(7 s) V(s) = s 6s +77s V (s) = 1s 7s+77 Vi löser så V (s) = 0 och får rötterna 1 s 1 = 1.9 s = 18+ 9.61 6 Vi deriverar en gång tillv (s) = s 7. V (1.9) < 0 vilket betyder ett max.v (.61) > 0 vilket betyder ett min. Dessutom ligger s =.61 utanför definitionsområdet D V = {s : 0 s.5} Håkan Strömberg 1 KTH Syd
Exempel. Du befinner dig vid början av en badbrygga, se figuren ovan, som sträcker sig rakt ut i böljan den blå, i punkten A. Du upptäcker plötsligt en sjöjungfru i sjönöd, i punkten B. För att nå den nödställda så fort som möjligt bör du först springa en bit på bryggan och sedan oförfärat kasta dig i vattnet och simma mot målet. Hur ska du snabbast nå målet om du kan springa på den våta bryggan med en hastighet av.0 m/s och simma med hastigheten 1. m/s Lösning: Vad behöver vi? c = a +b t = s v Pythagoras sats och formeln för att beräkna tiden, när hastighet och sträcka är givna. En figur skadar aldrig. Figur 1: Den vägen du ska springa respektive simma är markerad med ett tjockt streck Vi räknar om sträckor och hastigheter till cm respektive cm/s. Tiden på bryggan bestäms av formeln t = s/00. Tiden i vattnet bestäms av den simmade sträckans längd dividerat med 10. Hela formeln för tiden ser ut så här t = s 00 + 500 +(000 s) Vi genomför nu den ovan efterlysta matematiska analysen. Vi får funktionen t(s), s som funktion av tiden t: t(s) = s 500 00 + +(000 s) 10 10 Då vi tittar på grafen, ser vi det minimum vi är på jakt efter. Håkan Strömberg KTH Syd
.5 1.5 1 0.5 0 9.5 500 1000 1500 000 500 000 Figur : Direkt från grafen kan vi avläsa ett värde på ungefär 19 m Funktionen t(s) har definitionsmängden D t = {s : 0 s 000}. Vi tar fram t (s) och löser ekvationen t (s) = 0 Efter en del jobb når vi fram till t (s) = 1 00 000 s 10 500 +(000 s) s 1 = 000 5000 1 1908.91 f(s 1 ) ger den aktuella tiden 9.09 s. För denna uppgift känns det tungt att ta fram t (s) för att visa att det handlar om ett minimum. Istället genomför vi teckenstudium Exempel. s < 1908.91 1908.91 > 1908.91 t (s) 0 + t(s) ց min ր Figuren visar en kvadrat med sidan 1 m. Vi önskar skära ut en rektangel med maximal area ur denna kvadrat där rektangelns sidor är parallella med kvadratens diagonaler. Bestäm rektangelns maximala area. Lösning: Vi ser direkt att den färgade triangeln är en halv kvadrat och att då x = y. Den ena sidan i rektangeln är alltså b = y. Eftersom kvadratens diagonal är är rektangelns andra sida l = y Vi kan nu teckna A(y) = y( y) = y y. Vi deriverar A (y) = 8y och löser A (y) = 0, som ger roten y =. Att detta är ett max ser vi då A (y) = 8. Håkan Strömberg KTH Syd
Maximala arean är A( ) = ( ) = 1 Exempel. I en rätvinklig triangel är summan av hypotenusan och en katet konstant. Bestäm triangelns vinklar, när dess area är så stor som möjligt. Lösning: Vi betecknar den konstanta summan med a > 0, kateterna med x och z, samt triangelns area med A. Då blir hypotenusan a x. Pythagoras sats ger z = (a x) x = a ax Triangelns area A = xz ger. Vi löser ut x ur ekvationen ovan och får Nu får vi Vi deriverar x = a z a A(z) = a z z a A (z) = a z a A (z) = 0 ger rötterna z = ± a, där endast den positiva roten är intressant. Vi tar fram A (z) = 6z a < 0 för definitionsmängden D A = {z : 0 < z < a}. Då z = a är triangeln så stor som möjligt. Vi kan nu bestämma x = ) a ( a a sinv = ger v = 0. Vinklarna är alltså 90,60,0 a a a = a = 1 Håkan Strömberg KTH Syd
Exempel 5. För vilka reella värden på a har ekvationen x +ax+a a = 0 reella rötter? Bestäm också det värde på a, för vilket rötternas skillnad är så stor som möjligt. Lösning: Ekvationen har rötterna x +ax+a a = 0 x = a ± a a +a x 1 = a + a a x = a a a Ekvationen har reella rötter då diskriminanten a a 0 eller då a( a) 0 a a < 0 a = 0 0 < a < a = a > a 0 + + + a + + + 0 a( a) 0 + 0 Villkoret gäller då 0 a. Skillnaden S(a) är som störst då S(a) = a ( a a + a ) a a a a = = a a Vi bestämmer först S (a) S (a) = 6a a a S (a) = 0 ger a =. Att detta är ett max ser vi genom a < = > S (a) + 0 S(a) ր max ց Exempel 6. Beräkna den största volym en regelbunden pyramid med kvadratisk bottenyta kan ha för en given fix area A. Låt A = 60 dm Lösning: Antag att sidan hos bottenytan är a, och höjden h. Vi behöver formeln för pyramidens volym V = ha Arean består av fyra trianglar och en kvadrat. Bottenytan har arean a, men trianglarnas area är svårare att bestämma. Basen vet vi är a men höjden i trianglarna? Vi antar att den är x. Vad sägs då om följande ekvation ( a x = h + ) Vi har använt oss av Pythagoras sats, där den ena kateten är höjden h i pyramiden och den andra är a. Den sökta höjden x blir då hypotenusa i denna rätvinkliga triangel. Vi får ( a x = h + ) Håkan Strömberg 5 KTH Syd
detta betyder att vi nu kan uttrycka den totala arean A, som trianglarnas totala area plus arean av bottenytan till ( a a h + ) 60 = a + Då vi löser ut h ur denna ekvation får vi 900 h = a 0 Detta uttryck för h sätter vi nu in i formeln för V och får V(a) = 100a 10a Vi har nu volymen V som en funktion av a och och söker en maxpunkt. Vi startar med att lösa V (a) = 0 V 0a 00a (a) = 100a 10a V (a) = 0 då 00a 0a Vilket inträffar då a 1 = 15, a = 15 och a = 0. a 1 är den rot vi är intresserade av, som grafen visar 5 0 15 10 5 = 0 V( 15) ger oss den maximala volymen Svar: - - Håkan Strömberg 6 KTH Syd