SF1626 Flervariabelanals Tentamen Måndagen den 26 maj, 214 Skrivtid: 14:-19: Tillåtna hjälpmedel: inga Eaminator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fra poäng. Del A på tentamen utgörs av de tre första uppgifterna. Till antalet erhållna poäng från del A adderas dina bonuspoäng. Poängsumman på del A kan dock som högst bli 12 poäng. Bonuspoängen beräknas automatiskt. Antal bonuspoäng framgår från resultatsidan. De tre följande uppgifterna utgör del B och de tre sista uppgifterna del C, som främst är till för de högre betgen. Betgsgränserna vid tentamen kommer att ges av Betg A B C D E F Total poäng 27 24 21 18 16 15 varav från del C 6 3 För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det innebär speciellt att införda beteckningar ska definieras, att den logiska strukturen tdligt beskrivs i ord eller smboler och att resonemangen är väl motiverade och tdligt förklarade. Lösningar som allvarligt brister i dessa avseenden bedöms med högst två poäng. Var god vänd!
2 SF1626 Flervariabelanals Tentamen 214-5-26 DEL A 1. Skissera definitionsmängden till funktionen f (,) 2 ln(2 ). Är definitionsmängden kompakt? (4 p) 2. Funktionen f (,) 2 2 + 2 1 är definierad i hela -planet. a) Bestäm alla stationära punkter till f. (2 p) b) Avgör de stationära punkternas karaktär. (2 p) 3. Beräkna kurvintegralen ( 2)d + 2 d γ där γ är kvartscirkelbågen uppritad i figuren. (4 p) (1, 1) γ (2, )
SF1626 Flervariabelanals Tentamen 214-5-26 3 DEL B 4. Funktionen f (, ) är en kontinuerligt deriverbar funktion definierad i en omgivning av punkten (1,) i R 2. Om denna funktion vet vi att riktningsderivatan i (1,) längs -aeln i positiv riktning är lika med 5, riktningsderivatan i (1,) längs linjen 1 i riktning mot positiva är lika med 2. a) Bestäm gradienten till f (,) i punkten (1,). (2 p) b) Bestäm riktningsderivatan av f (,) i punkten (1,) i riktning mot punkten (3, 1). (2 p) 5. Betrakta funktionen f (,) 3 4 i området som bestäms av olikheten 2 + 4 2 13. a) Förklara hur man vet att f antar ett största och ett minsta värde i området. (1 p) b) Bestäm det största och det minsta värdet för f i området. (3 p) 6. Ett torn K har formen av en massiv stmpad kon med cirkulärt tvärsnitt och mått enligt figuren. Av smmetriskäl ligger masscentrum för K på z- aeln. Beräkna z-koordinaten för masscentrum som ges av m z 1 z dddz vol(k) K där vol(k) är volmen av K. (4 p) H z R 2R Var god vänd!
4 SF1626 Flervariabelanals Tentamen 214-5-26 DEL C 7. Beräkna integralen E f (,) dd där E är kvadraten {(,): 1, 1} och f (,) det kortaste avståndet från punkten (,) till randen av E. (4 p) 8. a) Formulera divergenssatsen (Gauss sats). Ange alla förutsättningar. (1 p) b) Bestäm den slutna kompakta C 1 -ta S som gör att flödesintegralen F N ds blir så stor som möjligt, då S F ( 3, 3z 2,z 3 2 z) och normalvektorn N är utåtpekande. Beräkna även flödesintegralen för detta fall. (3 p) 9. En kropp består av den del av ett klot som befinner sig mellan två parallella plan och har måtten a 3 ±,1 cm, b 4 ±,1 cm, h 1 ±,1 cm, där a och b är radien av respektive cirkulära ändcirkelskiva och h är avståndet mellan planen. Använd linjarisering (linjär approimation) för att bestämma klotets radie med felgränser. (4 p) b a h
SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen 214-5-26 DEL A 1. Skissera definitionsmängden till funktionen f (,) 2 ln(2 ). Är definitionsmängden kompakt? (4 p) Lösning. Termen 2 är definierad när 2 och termen ln(2 ) är definierad när 2 >. Tillsammans avgränsar dessa villkor definitionsmängden till f. 1 1 1 1 1 1 Området 2 Området 2 > Definitionsmängden till f Eftersom inte hela randen tillhör definitionsmängden så är den inte en kompakt mängd.
2 SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen 214-5-26 2. Funktionen f (,) 2 2 + 2 1 är definierad i hela -planet. a) Bestäm alla stationära punkter till f. (2 p) b) Avgör de stationära punkternas karaktär. (2 p) Lösning. a) De stationära punkterna är de punkter (,) där f (,). Vi ska alltså hitta de punkter där f 2 2, och f 2 + 2. Den andra av dessa ekvationer säger att 1, och därefter ger den första att 1. Den enda stationära punkten är alltså (1,1). b) I den stationära punkten är förstaderivatorna lika med noll, så Talorutvecklingen till andra ordningen i punkten är f (1 + h 1,1 + h 2 ) f (1,1) + + 1 ( 2 f 2 2 (1,1)h2 1 + 2 2 f (1,1)h 1h 2 + 2 ) f 2 (1,1)h2 2 +... För att avgöra punktens karaktär studerar vi den kvadratiska formen Q(h 1,h 2 ) 2 f 2 (1,1)h2 1 + 2 2 f (1,1)h 1h 2 + 2 f 2 (1,1)h2 2. Vi har 2 f 2 2, 2 f 2, 2 f 2, i alla punkter, så speciellt i punkten (1,1). Den kvadratiska formen Q blir alltså vilket vi kvadratkompletterar till Q(h 1,h 2 ) 2h 2 1 4h 1 h 2 +, Q(h 1,h 2 ) 2(h 1 h 2 ) 2 2h 2 2. Detta är en indefinit kvadratisk form, så punkten (1,1) är en sadelpunkt.
SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen 214-5-26 3 3. Beräkna kurvintegralen ( 2)d + 2 d γ där γ är kvartscirkelbågen uppritad i figuren. Lösning. En parametrisering av γ är 1 + cost, (4 p) sint, där t går från till π/2. Med denna parametrisering är och vi får att γ d d dt sint dt, dt ( 2)d + 2 d π/2 π/2 π/2 [ 2t + sint d d dt cost dt, dt (1, 1) 2sint ( sint)dt + (1 + cost) 2 cost dt ( 2sin 2 t + cost + 2cos 2 t + cos 3 t ) dt ( 2 + cost + cost ( 1 sin 2 t )) dt ] π/2 {substituera u sint} 1 ( π + 1 + 1 u 2 ) du π + 1 + 1 1 3 π/2 + cost ( 1 sin 2 t ) dt γ (2, ) π + 5 3.
4 SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen 214-5-26 DEL B 4. Funktionen f (, ) är en kontinuerligt deriverbar funktion definierad i en omgivning av punkten (1,) i R 2. Om denna funktion vet vi att riktningsderivatan i (1,) längs -aeln i positiv riktning är lika med 5, riktningsderivatan i (1,) längs linjen 1 i riktning mot positiva är lika med 2. a) Bestäm gradienten till f (,) i punkten (1,). (2 p) b) Bestäm riktningsderivatan av f (,) i punkten (1,) i riktning mot punkten (3, 1). (2 p) Lösning. a) Vi söker gradienten f (1,) och ansätter denna vektor till f (1,) (a,b). En enhetsvektor längs -aeln i positiv riktning är v 1 (1,), och riktningsderivatan i den riktningen är alltså f (1,) v 1 (a,b) (1,) a 5. En enhetsvektor längs linjen 1 i positiv riktning är v 2 1 2 (1,1). Riktningsderivatan i den riktningen är 1 f (1,) v 2 (a,b) (1,1) 1 (a + b) 2. 2 2 Vi har alltså ekvationerna a 5, a + b 2, vilket ger lösningen f (1,) (5, 7). b) En enhetsvektor som pekar från punkten (1,) mot punkten (3, 1) är v 1 5 (2, 1). Riktningsderivatan i den riktningen är 1 f (,) v (5, 7) (2, 1) 17. 5 5
SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen 214-5-26 5 5. Betrakta funktionen f (,) 3 4 i området som bestäms av olikheten 2 + 4 2 13. a) Förklara hur man vet att f antar ett största och ett minsta värde i området. (1 p) b) Bestäm det största och det minsta värdet för f i området. (3 p) Lösning. (a) Funktionen f antar ett största och ett minsta värde eftersom den är kontinuerlig och definierad på ett kompakt område. Se Sats 4, sidan 41, i kursboken. (b) De sökta värdena antas i stationära punkter eller randpunkter eftersom singulära punkter saknas. Området är en sluten ellipsskiva med centrum i origo. Vi har att f (3, 4) vilket inte är lika med nollvektorn, så det finns inte någon stationär punkt där största eller minsta värde kan antas. För att studera funktionens beteende på randen g(,) 2 + 4 2 13 använder vi Lagranges metod. Tänkbara största och minsta värden fås då f λ g för något tal λ. Eftersom g (2,8) ger detta ekvationerna 3 2λ, 4 8λ. Om λ har detta ingen lösning, så vi kan dela med λ och får 2 3 1 λ 2 eller 3. Insatt i g(,) 2 + 4 2 13 ger detta 9 2 + 4 2 13 eller 2 1 vilket ger ±1. Tillsammans får vi två tänkbara punkter där ma och min kan antas, (,) ( 3,1), (,) (3, 1). Eftersom detta är de enda kandidaterna måste ma resp. min antas i dessa punkter. Vi har f ( 3,1) 13 vilket alltså är det minsta värdet funktionen antar, och f (3, 1) 13 vilket är det största.
6 SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen 214-5-26 6. Ett torn K har formen av en massiv stmpad kon med cirkulärt tvärsnitt och mått enligt figuren. Av smmetriskäl ligger masscentrum för K på z- aeln. Beräkna z-koordinaten för masscentrum som ges av m z 1 z dddz vol(k) K där vol(k) är volmen av K. (4 p) H z R 2R Lösning. I clindriska koordinater beskrivs tornet K av z H, r R(2 z/h), θ 2π. Volmen av K ges av vol(k) r dr dθ dz K ( H ( R(2 z/h) ( H ( R 2 R 2 2 2 H 1 ( 2 R2 2 z H ( 4 4z (4H 2H2 H ) ) r dr dz dθ ) ) 2 dz dθ ) H + z2 H 2 ) + H3 3H 2 dθ ) dz dθ 2π R2 2 7H 3 7πR2 H. 3 Masscentrums z-koordinat är alltså m z 1 vol(k) 3 7πR 2 H 3 7πR 2 H zdddz K ( H ( R(2 z/h) ( H z 1 2 R2 ( 2 z H ) ) zr dr dz dθ ) ) 2 dz dθ
SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen 214-5-26 7 3 7πR 2 H 3 7πR 2 H ( R 2 H ) ) (4z 4z2 2 H + z3 H 2 dz dθ R 2 ) (2H 2 4H3 2 3H + H4 4H 2 dθ 3 7πR 2 H 2π R2 2 11H2 12 11H 28.
8 SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen 214-5-26 DEL C 7. Beräkna integralen E f (,) dd där E är kvadraten {(,): 1, 1} och f (,) det kortaste avståndet från punkten (,) till randen av E. (4 p) Lösning. Diagonalerna delar upp kvadraten i fra områden där punkten (, ) har kortast avstånd till respektive randlinje: E 2 E 1 I området E 1 har (, ) kortast avstånd till linjen. I området E 3 har (, ) kortast avstånd till linjen 1. E 3 E 4 I området E 3 har (, ) kortast avstånd till linjen 1. I området E 4 har (, ) kortast avstånd till linjen. På grund av smmetrin är f (,) dd 4 E f (,) dd 4 E 1 dd. E 1 Området E 1 kan beskrivas genom 1/2, 1,
SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen 214-5-26 9 och vi får att 4 dd 4 E 1 4 1/2 ( 1 1/2 (1 2)d [ 2 4 2 2 3 3 ( 1 4 8 1 ) 12 ) d d ] 1/2 1 6.
1 SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen 214-5-26 8. a) Formulera divergenssatsen (Gauss sats). Ange alla förutsättningar. (1 p) b) Bestäm den slutna kompakta C 1 -ta S som gör att flödesintegralen blir så stor som möjligt, då S F N ds F ( 3, 3z 2,z 3 2 z) och normalvektorn N är utåtpekande. Beräkna även flödesintegralen för detta fall. (3 p) Lösning. a) Se läroboken sats 1 på sidan 368. b) Vi har att divergensen av vektorfältet är divf ( 3 ) + ( 3z 2 ) + ( z 3 2 z ) z 1 3 2 + 1 3z 2 + 1 3 2 3(1 2 2 z 2 ). Eftersom vektorfältets komponenter är polnom och vi antar att tan S är en kompakt sluten C 1 -ta så ger Gauss sats att S F N ds K divf dddz K 3(1 2 2 z 2 ) dddz där K är den kropp som tan S innesluter. Trippelintegralen blir så stor som möjligt när K är det område där integranden är icke-negativ, 1 2 2 z 2 2 + 2 + z 2 1, alltså K är klotet med radie 1 och medelpunkt i origo. I detta fall är tan S enhetssfären med medelpunkt i origo. Vi beräknar trippelintegralen genom att gå över till rmdpolära koordinater, S F N ds K ( π ( 1 ( π 3(1 2 2 z 2 )dddz ) ) 3(1 r 2 )r 2 sinθ dr dθ dφ ( [ r 3 ] 1 ) ) 3sinθ 3 r5 dθ dφ 5
SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen 214-5-26 11 ( π ) ( 2 5 4 5 dφ 2 5 sinθ dθ dφ ] ) π dφ [ cosθ 8π 5.
12 SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen 214-5-26 9. En kropp består av den del av ett klot som befinner sig mellan två parallella plan och har måtten a 3 ±,1 cm, b 4 ±,1 cm, h 1 ±,1 cm, där a och b är radien av respektive cirkulära ändcirkelskiva och h är avståndet mellan planen. Använd linjarisering (linjär approimation) för att bestämma klotets radie med felgränser. (4 p) b a h Lösning. Vi börjar med att bestämma R som en funktion av a, b, och h. Pthagoras sats ger att a h 1 R h 2 b R så vi har sambanden R 2 a 2 + h 2 1 Genom att eliminera h 1 får vi R 2 a 2 + h 2 1, R 2 b 2 + h 2 2, h h 1 h 2. R 2 a 2 + (h + h 2 ) 2, R 2 b 2 + h 2 2. R 2 b 2 + h 2 2 Om vi löser ut h 2 ur den andra av dessa ekvationer, h 2 R 2 b 2, och sätter in i den första får vi R 2 a 2 + ( h + R 2 b ) 2 2 a 2 + h 2 + 2h R 2 b 2 + R 2 b 2. Vi skriver om detta till och kvadrererar för att få eller 2h R 2 b 2 b 2 a 2 h 2 4h 2 (R 2 b 2 ) (b 2 a 2 h 2 ) 2 R 2 b 2 + (b2 a 2 h 2 ) 2 4h 2.
SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen 214-5-26 13 Detta samband ger R R(a,b,h). När vi deriverar med avseende på a, b, och h, får vi eller 2RR a 2(b2 a 2 h 2 ) 4h 2 ( 2a) a(b2 a 2 h 2 ) h 2, 2RR b 2b + 2(b2 a 2 h 2 ) 4h 2 2b 2b + b(b2 a 2 h 2 ) h 2, 2RR h 2(b2 a 2 h 2 ) 4h 2 ( 2h) 2 (b2 a 2 h 2 ) 2 4h 3 b2 a 2 h 2 h (b2 a 2 h 2 ) 2 2h 3, R a a(b2 a 2 h 2 ) 2Rh 2, R b b R + b(b2 a 2 h 2 ) 2Rh 2, R h b2 a 2 h 2 2Rh (b2 a 2 h 2 ) 2 4Rh 3, När a 3, b 4 och h 1 så är b 2 a 2 h 2 6 och R 16 + 62 4 5, Linjariseringsformeln ger att R(3 + a,4 + b,1 + h) R a 3 6 2 5 18 1 R b 4 5 + 4 6 2 5 32 1, R h 6 2 5 62 4 5 24 1. R(3,4,1) + R a(3,4,1) a + R b (3,4,1) b + R h (3,4,1) h + restterm 5 18 1 a + 32 1 Om vi försummer resttermen får vi att 24 b h + restterm. 1 R(3 + a,4 + b,1 + h) R(3,4,1) 18 32 24 a + b 1 1 1 h 18 32 24 a + b + 1 1 1 h
14 SF1626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen 214-5-26 och eftersom a, 1, b, 1 och h, 1 ger detta feluppskattningen Vi kommer fram till att R 5 ±,8. R(3 + a,4 + b,1 + h) R(3,4,1) 18 32 24,1 +,1 + 1 1 1,1,74.