Högsolan i Sövde (SK) Tentamen i matemati Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 l 4.-9. Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad. Ej ränedosa. Tentamen bedöms med betyg, 4, 5 eller underänd, där 5 är högsta betyg. För godänt betyg () rävs minst 6 poäng från del I och II tillsammans, ( 8). Var och en av dessa åtta uppgifter an ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna 6 an man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga från urstillfället ht (duggaresultatlista bifogas). Marera detta genom att sriva ett D istället för ett ryss i uppgiftsrutan på omslaget. För betyg 4 rävs utöver godänt resultat från I+II minst poäng från del II och III tillsammans, för betyg 5 minst poäng. Lämna fullständiga lösningar till alla uppgifter, om inte annat anges. Sriv inte mer än en uppgift på varje blad. Del I. Uppgift 6 an en och en ersättas av duggapoäng. (D.). (p) Bestäm evationer i ett xyz-oordinatsystem för planet som innehåller punterna (D.). (p) Låt A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ), (a) på parameterform, (b) på allmän form. v =, v =, v = och w = 6. 8 Uttryc vetorn w som en linjärombination av vetorerna v, v och v. (D.). (p) Finns det en matris X som uppfyller matrisevationen AX = B, där och B =? Om så är fallet, beräna den. (D.) 4. (p) Den linjära transformationen x 7x + 5y T : R R, där T =, y 6x + 8y x x an uttrycas med en matrismultipliation: T = A. y y (a) Bestäm matrisen A. (p) (b) Verifiera att vetorn v = är en egenvetor till matrisen A. Vilet är det motsvarande egenvärdet? (p)
(D.) 5. (p) (a) Matrisen A = har som ett egenvärde. Bestäm alla egenvetorer till A som 8 7 hör till detta egenvärde. (b) Bestäm vad matrisen A (som ovan) har för egenvärde utöver. [ (c) ] Bestäm en -matris B som har egenvärden och och vetorerna 5 och som egenvetorer tillhörande respetive egenvärde. (Tips: Använd diagonaliseringen B = P DP.) (D.) 6. (p) B = { + x, + x, x + x } och S = {, x, x } är två olia baser för rummet P som består av alla polynom upp till och med grad två. Bestäm oordinatvetorerna [p(x)] S och [p(x)] B för polynomet p(x) = + 4x + 5x med avseende på respetive bas. Del II. 7. (p) Nollrummet till en matris A består av alla vetorer x sådana att A x =. Bestäm en bas för nollrummet till matrisen. 4 8. (p) (a) Bestäm, som funtion av x, determinanten det A x för matrisen x 4 8 A x =. x 4 (b) För vila värden på x är A x inte inverterbar?
Del III. För full poäng rävs förutom en orret och välmotiverad lösning en redig och lättläst presentation. 9. (p) (a) För de värden på x som gör matrisen A x från uppgift 8 inverterbar, bestäm inversen A x. (b) Bestäm alla egenvärden till A. (c) Bestäm baser för egenrummen till A. (d) Är A diagonaliserbar? Om så är fallet, ange en diagonalisering A = P DP, om inte, motivera.. (p) (a) För matrisen A från uppgift 7, bestäm en bas för olonnrummet och en bas för radrummet. (b) För vilet värde på tillhör vetorn u = olonnrummet col(a) till A? (c) För detta värde på, bestäm oordinatvetorn för u med avseende på den bas för col(a) du tidigare bestämt.. (p) Bestäm för vila värden på som vetorerna v =, v =, v =, v 4 =, 4 är linjärt beroende. I dessa fall, uttryc nollvetorn som en ice-trivial linjärombination av dessa fyra vetorer.. (p) B = { + x + x, x + x, x } och C = { + x, x + x, + x} är båda baser för rummet P som består av alla polynom upp till och med grad. (a) Bestäm basbytesmatrisen från B till C. (b) Bestäm oordinatvetorerna med avseende på bas B och bas C för polynomet p(x) = + x + 4x. Lyca till! /SK 4
Course: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Exam date: 4--8 l 8.-9. Aids : No aids allowed except for attached cheat sheet. No calculator. The examination is graded 5, 4, or U, where 5 is the highest grade and U is fail. For passed result (grade or higher) at least 6 points are needed from problems 8 (Part I+II). Each of these 8 problems may yield points. For each of problems 6 you may choose to use the results from the pre-tests (dugga) instead of giving a solution to the exam problems. (The results from the pre-tests are found appended.) In case the pre-test result is used no solution shall be given to the exam problem, and you shall write a D instead of an X in the corresponding square on the envelope. For grade 4 the requirements for grade shall be met, and further at least points in part II+III (problems 7 ). For grade 5 at least points in part II+III is required. Give full solutions to all problems. Don t answer more than one problem at each page, use only one side of the sheet. Part I. Problems 6 may each be substituted for by the corresponding pre-test results. (D.). (p) Find equations, in a xyz coordinate system, for the plane containing the points A = (,, ), (D.). (p) Let B = (,, ) och C = (,, ), (a) in parameter form, (b) in general form. v =, v =, v = och w = 6. 8 Express the vector w as a linear combination of the vectors v, v and v. (D.). (p) Is there a matrix X which satisfies the matrix equation AX = B, where and B =? If that s the case, compute it. (D.) 4. (p) The linear transformation T : R R, where x 7x + 5y T =, y 6x + 8y x x can be expressed as a matrix multiplication: T = A. y y (a) Find the matrix [ A. ] (p) (b) The vector v = is an eigenvector of the matrix A. Which is the corresponding eigenvalue? (p) (D.) 5. (p) (a) The matrix A = has as an eigenvalue. Find the eigenvectors of A which corresponds 8 7 to this eigenvalue. (b) Determine which eigenvalue the matrix A has in addition to. (c) Find a [ ] -matrix B which has eigenvalues och and the vectors 5 and as egenvetors corresponding to each eigenvalue respectively. (Hint: Use the diagonalization B = P DP.) 5
(D.) 6. (p) B = { + x, + x, x + x } and S = {, x, x } are two different bases for the space P consisting of all polynomials of degree at most two. Find the coordinate vetors [p(x)] S and [p(x)] B for the polynomial p(x) = + 4x + 5x with respect to each of the two bases. Part II. 7. (p) The nullspace of a matrix A consists of all vectors x such that A x =. Find a basis for the nullspace of the matrix. 4 8. (p) Find, as a function of x, the determinant det A x of the matrix x A x = 4 8 x. 4 For which values of x is A x not invertible? 6
Part III. For full points, the solution needs to be correct and well-grounded, and the presentation has to be comprehensible ande in good style. 9. (p) (a) For values of x where the matrix A x from problem 8 is invertible, find the inverse A x. (b) Find all eigenvalues of the matrix A. (c) Find bases for the eigenspaces of A. (d) Is A diagonalizable? In so, find a diagonalization A = P DP, if not, motivate.. (p) (a) For the matrix A from problem 7, find, for each case, a basis for each of the column- and rowspace. (b) For which value of does the vector u = belong to the column space col(a) of A? (c) For this value of, find the coordinate vector of u with respect to the basis for col(a) which you have found.. (p) Find the values of for which the set of vectors v =, v =, v =, v 4 =, 4 is linearly dependent. In these cases, express the zero vector as a non-trivial linear combination of these four vectors.. (p) B = { + x + x, x + x, x } and C = { + x, x + x, + x} are both bases for the space P of all polynomials of degree or less. (a) Find the change of basis vector from B to C. (b) Find the coordinate vectors with respect to the bases B and C respectively, for the polynomial p(x) = + x + 4x. Good luc! /SK 7