lena Alfredsson kajsa bråting patrik erion hans heikne Matematik 5000 kurs c blå lärobok natur & kultur
NATUR & KULTUR Bo 7, 0 5 Stockholm Kundtjänst: Tel 08-5 85 00, order@nok.se Redaktion: Tel 08-5 86 00, info@nok.se www.nok.se Order och distribution: Förlagssystem, Bo 0 95, 0 5 Stockholm Tel 08-657 95 00, order@forlagssystem.se www.fsbutiken.se Projektledare: Irene Bonde Tetredaktör: Mats Karlsson/Devella HB Bildredaktör: Erica Högsborn Grafisk form och omslag: Graffoto AB och Åsa Lundbom Layout: Måns Björkman/Typ & Design och Mats Karlsson/Devella HB Sättning: Måns Björkman/Typ & Design och Mats Karlsson/Devella HB Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering är förbjuden, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt avtal med Bonus Presskopia och den mycket begränsade rätten till kopiering för privat bruk. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. 0 Lena Alfredsson, Lars-Eric Björk, Hans Brolin, Kajsa Bråting, Patrik Erion, Hans Heikne, Anna Palbom och Natur & Kultur, Stockholm Tryckt i Lettland 0 Första utgåvans första tryckning ISBN 978-9-7-68-
Välkommen till Matematik 5000 Matematik 5000 är en läroboksserie för gymnasieskolan och vuenutbildningen. Den är inriktad på färdigheter, förståelse, kommunikation och problemlösning och erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning. Matematik 5000 ger eleverna goda förutsättningar att utveckla de förmågor och nå de kunskapsmål som beskrivs i den nya ämnesplanen. Denna bok, Kurs c Blå lärobok, riktar sig till elever som studerar på teknikprogrammet eller naturvetenskapsprogrammet. Hur är boken upplagd? Teoriavsnitten utgår ofta från konkreta eempel som framställs och förklaras på ett sätt som ger eleverna möjlighet att förstå och upptäcka matematiken. Teorin avslutas med flera lösta eempel som belyser det viktigaste. Därefter kommer övningsuppgifter i tre nivåer, a, b och c, i stigande svårighetsgrad. Aktiviteterna ger stora möjligheter att variera undervisningen. De finns i fyra olika kategorier: Upptäck, Undersök, Diskutera och Laborera. De flesta är avsedda för arbete i grupp. I varje kapitel finns dessutom en kort Inledande aktivitet som introducerar delar av kapitlets innehåll. I Teman finns teori och uppgifter anpassade till naturvetenskapsprogrammet och teknikprogrammet och i Historik, med tillhörande uppgifter, sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang. På många sidor blandas uppgifter av standardkaraktär med uppgifter som kräver matematisk problemlösning. Varje kapitel avslutas med: En Aktivitet som uppmuntrar till kommunikation: Sant eller falskt? En kort Sammanfattning av kapitlet. Kan du det här? och Diagnos som tillsammans ger eleverna en god möjlighet till egen kunskapskontroll. I Kan du det här? kan eleverna i par eller smågrupper värdera sina kunskaper om matematiska begrepp och strategier och i Diagnos kan de enskilt testa sina grundläggande kunskaper. Om en elev behöver repetera delar av kapitlet finns Repetitionsuppgifter i slutet av boken. Repetitionsuppgifterna är teten till de lösta uppgifterna i bokens teoriavsnitt. Två olika varianter av Blandade övningar avslutar varje kapitel. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel. Blandade övningar består av tre delar: Utan räknare, Med räknare och Utredande uppgifter. I Svarsdelen finns ledtrådar till många uppgifter. Till läroboken finns en lärarhandledning med kommentarer, ytterligare aktiviteter och övningsuppgifter samt en provbank. Med Matematik 5000 inbjuder vi lärare och elever till en variation av arbetssätt och arbetsformer och erbjuder många olika möjligheter för eleverna att utveckla sina matematiska förmågor. Mer information om läromedlet och digitalt material finns på www.nok.se/matematik5000 Lycka till med matematiken! önskar Hans, Kajsa, Lena och Patrik förord
Innehåll. Algebra och funktioner 6 Centralt innehåll 6 Inledande aktivitet: Vilka uttryck är lika? 7. Algebra och polynom 8 Polynom och räkneregler 8 Potenser Kvadratrötter och absolutbelopp Ekvationer 7 Polynom i faktorform Aktivitet: Upptäck Pascals triangel. Rationella uttryck 6 Vad menas med ett rationellt uttryck? 6 Förlängning och förkortning 8 Addition och subtraktion Multiplikation och division 8. Funktioner 0 Inledning 0 Historik: Hur funktionsbegreppet utvecklats Räta linjens ekvation Andragradsfunktioner 6 Eponentialfunktioner och potensfunktioner 50 Aktivitet: Laborera Pendeln 5 Aktivitet: Diskutera Sant eller falskt? 55 Sammanfattning 56 Kan du det här? 58 Diagnos 59 Blandade övningar kapitel 60. Förändringshastigheter och derivator 6 Centralt innehåll 6 Inledande aktivitet: Hastighet och lutning 65. Ändringskvoter och begreppet derivata 66 Ändringskvoter 66 Begreppet derivata 7. Gränsvärde och derivatans definition 77 Gränsvärde 77 Derivatans definition 80. Deriveringsregler I 8 Derivatan av polynom 8 Tema: Hastighet och acceleration 90 Aktivitet: Laborera Kvadratiska pappskivor 9 Derivatan av potensfunktioner 9 Historik Tangenter och derivata 96 Aktivitet: Undersök Det märkliga talet e 97. Deriveringsregler II 98 Derivatan av eponentialfunktionen y = e k 98 Naturliga logaritmer 0 Derivatan av eponentialfunktionen y = a 05 Tillämpningar och problemlösning 07.5 Grafisk och numerisk derivering Olika differenskvoter Grafritande räknare och derivators värde Aktivitet: Diskutera Sant eller falskt? 7 Sammanfattning 8 Kan du det här? 0 Diagnos Blandade övningar kapitel Blandade övningar kapitel 5 innehåll
. Kurvor, derivator och integraler 8 Centralt innehåll 8 Inledande aktivitet: Ma och min 9. Vad säger förstaderivatan om grafen? 0 Inledning 0 Etrempunkter och etremvärden Väande och avtagande Förstaderivatan och grafen 6 Skissa grafer 0 Historik Matematik till och från Sverige Största och minsta värde. Derivator och tillämpningar 7 Polynomfunktioner 7 Potensfunktioner 5 Andraderivatan 57 Andraderivatan och grafen 58 Aktivitet: Laborera Vem tillverkar största lådan? 6 Grafritande räknare 6 Tillämpningar och problemlösning 6 Aktivitet: Undersök Funktioner och derivator 68 Kan alla funktioner deriveras? 70 Aktivitet: Undersök Antiderivata 7. Från derivata till funktion 7 Primitiva funktioner 7 Primitiva funktioner med villkor 76. Integraler 78 Inledning 78 Aktiviet: Undersök Finn arean 8 Integralberäkning med primitiv funktion 8 Tillämpningar och problemlösning 86 Aktivitet: Diskutera Sant eller falskt? 9 Sammanfattning 9 Kan du det här? 9 Diagnos 95 Blandade övningar kapitel 96 Blandade övningar kapitel 99. Trigonometri 0 Centralt innehåll 0 Inledande aktivitet: Trigonometri i rätvinkliga trianglar 05. Från rätvinkliga till godtyckliga trianglar 06 Trigonometri i rätvinkliga trianglar 06 Två speciella trianglar 09 Cirkelns ekvation 0 Godtyckliga trianglar Aktivitet: Undersök - Enhetscirkeln. Triangelsatserna 6 Areasatsen 6 Sinussatsen 9 När ger sinussatsen två fall? Cosinussatsen 6 Tillämpningar och problemlösning Aktivitet: Laborera Avståndsmätning Historik Trigonometri och geodesi 5 Aktivitet: Diskutera Sant eller falskt? 6 Sammanfattning 7 Kan du det här? 8 Diagnos 9 Blandade övningar kapitel 0 Blandade övningar kapitel Repetitionsuppgifter 6 Svar, ledtrådar och lösningar 5 Register 86 innehåll 5
ALGEBRA OCH FUNKTIONER Centralt innehåll hantering av algebraiska uttryck och ekvationer. generalisering av aritmetikens lagar och begreppet absolutbelopp. begreppen polynom och rationellt uttryck. kontinuerlig och diskret funktion. polynom-, potens- och eponentialfunktioner. I kapitel ska vi arbeta med area, omkrets och volym, skala och likformighet samt trigonometri.
88767 8978975 757 57 55 777 898678567 897897589 Inledande aktivitet VILKA UTTRYCK ÄR LIKA? Dela ett A-papper så du får 6 papperlappar. På lapparna skriver du följande matematiska uttryck (ett uttryck per lapp). Gruppera lapparna så att de uttryck som är lika hamnar i samma grupp. + ( ) ( ) () 5 + 6 7 8 ( + )( ) 9 ( ) 0 + + ( ) + ( ) ( + )( ) 5 6 ( + )
. Algebra och polynom Polynom och räkneregler Eempel polynom gradtal I många situationer kan vi använda enkla polynom som matematiska modeller. Bollens bana i figuren är en parabel och kan beskrivas av sambandet y () =,5 +, 0, Högerledet är ett polynom som består av tre termer, en konstantterm och två variabeltermer. Kontrollera sambandet genom att sätta in de värden som visas i figuren! Ett polynom är en summa av termer av typen a n, där är en variabel, eponenten n ett naturligt tal och a en konstant som ofta kallas koefficient. Varje polynom kan skrivas n a 0 + a + a + a +... + a n n = a k k k = 0 Den största eponenten i ett polynom i en variabel anger polynomets gradtal. y() =,5 +, 0, är ett eempel på ett andragradspolynom. y + +5y är ett polynom i två variabler och y. Polynomets gradtal är. Gradtalet ges av den term som har den största sammanlagda eponenten. Polynom av första graden skrivs ofta p() = a + b. Polynom av andra graden skrivs ofta p() = a + b + c. Summan, differensen och produkten av två polynom är också ett polynom. 8. Algebra och polynom
Vi repeterar några regler och lagar som kan användas vid räkning med polynom. I reglerna och lagarna nedan kan bokstäverna a, b, c och d representera ett tal, en variabel eller ett polynom med flera termer. Parentesreglerna (a + b) + (c d ) = a + b + c d (a + b) (c + d ) = a + b c d (a + b) (c d ) = a + b c + d Distributiva lagen a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d ) = ac + ad + bc + bd Konjugatregeln (a + b)(a b) = a b Kvadreringsreglerna (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b 0 Ge eempel på ett fjärdegradspolynom med tre termer. Den största eponenten ska vara. T e p () = + 5 eller p () = + 0 0 Förenkla + ( + 5) ( + )( ). + ( + 5) ( + )( ) = Utveckla med kvadreringsoch konjugatregel. = + ( + 0 + 5) ( 9) = Multiplicera in i parentes. = + + 0 + 5 + 6 = Förenkla. = + 6 Har du en avancerad räknare som kan göra algebraiska förenklingar och lösa ekvationer? Använd den gärna för kontroll, men lös först uppgiften utan räknare.. Algebra och polynom 9
0 Enligt en modell väer en bakteriekultur enligt formeln N() = 500 + 50 + 5 där N() är antalet bakterier minuter efter försökets början. Beräkna och tolka N(5) N(). N() = 500 + 50 + 5 = 00 N(5) = 500 + 50 5 + 5 5 = 875 efter minuter finns det 00 bakterier. efter 5 minuter finns det 875 bakterier. N(5) N() = 875 00 = 575 580 Antalet bakterier ökar med cirka 580 under den femte minuten. 0 Utveckla och förenkla a) + ( ) c) ( + )( + ) b) 6a ( 7a) d) (y )( y) 05 Utveckla med konjugatregeln a) ( )( + ) b) (7 a)(7 + a) 06 Utveckla med kvadreringsreglerna a) (a + 5) c) ( + ) b) ( 9) d) (5 6y) 07 Diagonalerna i figuren har samma summa som kolumnen i mitten. Vad ska stå i A och B? A a b a (b a) 6(a b + ) B b a 08 Ge ett eempel på ett andragradspolynom med a) tre termer b) två termer. 09 Om biljettpriset till en tennismatch är p kr uppskattar man att antalet åskådare N( p) kan beräknas med N( p) = 000 0p Beräkna N(0) och tolka resultatet i ord. 0 Beräkna värdet för uttrycket (a ) a (a ) om a = a) före förenkling b) efter förenkling. Utveckla och förenkla a) 5 ( )( 5) b) (a b) (a b) c) ( ) d) ( ) + ( )( + ) p( ) är ett tredjegradspolynom. Vilken grad får det polynom som bildas då p () a) adderas med b) multipliceras med? Motivera dina svar. 0. AlgebrA och polynom
5 Utveckla och förenkla a) ( + y) y( y) b) + c) ( + y) y( y) 6 Utveckla och förenkla a) (a + 5) b) (a + b + 5)(a b 5) 7 Kostnaden K kr att producera tröjor är K( ) = 800 + 5 + 0, Vinsten vid försäljning av tröjor är V( ) kr. Ställ upp och förenkla ett uttryck för vinsten då tröjorna säljs för 90 kr/st. Konstreproduktioner AB producerar högst 0 målningar per vecka. Om firman en vecka producerar målningar, räknar man med följande kostnader och intäkter: Kostnad i kr: K( ) = 5 000 + 80 + 0 Intäkt i kr: I ( ) = ( 00 0) Om intäkterna är större än kostnaden gör företaget en vinst. Ställ upp och förenkla ett uttryck för vinsten, V( ). Bollens höjd y m över golvet vid ett straffkast i basket kan beräknas med formeln y() =,5 +, 0, där m avståndet från utkastet räknat längs golvet. Beräkna och tolka y (,5) y (,0). 8 Elleholms Finmekaniska tillverkar detaljer till en fiskerulle. Firmans totala kostnad K kr för att producera detaljer uppskattas till K() = 6 000 + 50 + 0,. Ställ upp ett uttryck för hur kostnaden ändras om produktionen höjs från detaljer till ( + ) detaljer. 9 I en stugby finns 60 stugor att hyra. Ägaren har upptäckt att hon får alla stugor uthyrda om hon tar 000 kr för en vecka, och för varje hundralapp som hon ökar hyran med förlorar hon en hyresgäst. Ställ upp ett uttryck för hur den totala intäkten beror av en höjning med hundralappar och undersök vad den maimala intäkten är. 0 p(a + ) = a + a +. Bestäm p(). Bestäm det andragradspolynom p() sådant att p( ) = 0, p(0) = 5 och p() =.. AlgebrA och polynom
Potenser Vi repeterar och utvidgar några lagar och definitioner för potenser. Potenslagarna För reella eponenter och y med samma positiva bas a gäller a a y = a + y a a = a y (a ) y = a y y För positiva baser a och b med samma reella eponent gäller a b = (a b) a b = a b Definitioner a 0 = a = a a 0 Basen är positiv och eponenten är ett reellt tal. Förenkla med potenslagarna a) b) 65 8 c) ( a ) 5 a a) = + b) 65 8 = 5 6 5 8 = 5 = eller = = = = 6 5 ( 8)5 = = 5 8 5 = 5 = 5 8 8 5 8 5 c) ( a ) = ( ) a 6 9a = a a a = 9a 6 ( ) = 9a 6 + = 9a = 9 a a) Utveckla ( + ) b) Bryt ut ur + h, dvs skriv i faktorform. c) Lös ekvationen = 7 a) ( + ) = ( ) + + ( ) = = + 0 + = + + b) + h = h = ( h ) c) = 7 = ( ) 7 = 7 = 5. Algebra och polynom
Skriv som en enda potens a) 7 d) a5 a b) 6 8 e) (b ) c) ( ) f) b b 5 Vilka av förenklingarna är felaktiga? Förklara vad som är fel. a) förenklas till b) 5 + 5 + 5 + 5 förenklas till 5 c) () 0 + 0 förenklas till d) (a) förenklas till a e) förenklas till 6 Förenkla a) ( ) + ( ) b) a b c) d) m m 7 Låt y = 0 och bestäm a) hälften av y b) en fjärdedel av y. 8 Förenkla a) (ab) ab c) ( ) b) a b (a) a b 9 Förenkla a) 0 a 0 a b) 0 a + 0 a c) ( + ) d) ( + + ) d) ( ) n 0 Uttrycket kan användas för att motivera att a 0 = och uttrycket 7 för att motivera a n = a n Förklara hur. Förenkla a) (5 + 5 ) b) a (a + a ) Lös ekvationen a) 5 = b) 5 = c) = 7 d) 5 = Bryt ut och skriv i faktorform a) a a b) a + h a c) a n + a n Förenkla a) + + + b) + 6 6 5 Bestäm talet a) 59 + 58 = 58 b) = 0 c) + 58 58 = 59 d) 97+ 7 + = 9 6 Förenkla a) a+ c) n + 9 n 7 n / b) (m ) n d) 6n / n + m + n 8 5n /. Algebra och polynom
Kvadratrötter och absolutbelopp Vi repeterar och utvidgar några lagar och definitioner om kvadratrötter. Definition Med kvadratroten ur a menas det positiva tal, vars kvadrat är a. ( a ) = a a = a a 0 Lägg märke till följande: Kvadratroten ur ett tal är enligt definitionen ett positivt tal. 5 står alltså bara för det positiva talet 5. Ekvationen = 5 har däremot två lösningar. De är = 5 = 5 och = 5 = 5. Vi skriver detta = ±5 5 är inte detsamma som 5 5 = 5, medan beräkningen 5 inte kan göras med reella tal. Sambandet a = a ger tillsammans med potenslagarna a b = (ab) och a b = a b följande lagar. Lagar för kvadratrötter a b = ab a 0 b 0 a b = a b a 0 b > 0 7 Beräkna utan räknare a) 5 + 50 b) 9 + 0,5 a) 5 + 50 = 5 + 50 = 5 + 00 = 5 + 0 = 5 b) 9 + 0,5 = 9 + = + 0,5 = + =,5 8 Visa att = = =. Algebra och polynom
Eempel Om > 0 så gäller likheten =. absolutbelopp T e 5 = 5 = 5. Om är ett negativt tal så gäller däremot likheten = T e ( 5) = 5 = 5 = ( 5) Detta kan uttryckas med hjälp av begreppet absolutbeloppet av, som skrivs. Sammanfattning = = om 0 om < 0 Eempel Absolutbeloppet av ett reellt tal kan definieras som talets avstånd till origo. Absolutbeloppet av 5 skrivs 5 och är lika med 5. Absolutbeloppet av 5 skrivs 5 och är också lika med 5. y kan tolkas som avståndet mellan punkterna och y. = 0 0 y y = y 9 Beräkna a) 6 + 7 b) ( 5) a) 6 + 7 = 6 + 7 = b) ( 5) = 5 = 5 0 Lös ekvationen =. Vi söker punkter med avståndet till punkten. 0 5 6 7 8 Ekvationens lösning är = och = 7.. Algebra och polynom 5
Arbeta utan räknare. Beräkna a) + 9 c) 8 b) 9 d) ( ) + 8 8 Skriv som en potens med basen 0 a) 0 c) 0 0 b) d ) 0 0 0 Beräkna a) 00 0,5 c) 00 0,5 b) 0 0 d ) 5 0 Beräkna a) 5 + b) 5 50 Det finns två tal för vilka gäller att 5 = 5 Vilka tal är det? 5 Lös ekvationen a) = b) = 5 För vilka gäller olikheten 7 <? 5 Beskriv intervallet 7 med hjälp av absolutbelopp. 5 Skriv ett uttryck för triangelns tredje sida. a) a 5 Beräkna a) ( ) c) 0 8 b) + d) 9 0 b) a 6 Bestäm den eakta lösningen till ekvationen a) = 0 c) + = b) = 0 d ) = 5 7 Om du vet att 7,66 vad är då a) 700 b) 70 000? 8 Visa att a) = b) = 9 Förenkla så långt som möjligt a) + + b) + 55 Utveckla och förenkla a) ( a + b) ( a b) b) ( + h + ) ( + h ) c) ( a + b) ( a + b) 56 Bestäm eponenten a) a b a b = a b a b) a b b a a b = a b a 6. Algebra och polynom
Ekvationer Eempel Formeln s = v 0 t + at beskriver sambandet mellan sträcka, begynnelsehastighet, acceleration och tid. Vilken är accelerationen om hastigheten är 5 m/s, tiden,0 s och sträckan 00 m? Svaret får vi med hjälp av förstagradsekvationen 00 = 5 + a Vilken är tiden om hastigheten är 5 m/s, accelerationen,0 m/s och sträckan 00 m? Svaret får vi med hjälp av andragradsekvationen 00 = 5t + t Vi repeterar några lösningsmetoder för ekvationer. Lösningsformeln Ekvationen + p + q = 0 har lösningarna = p ± ( p ) q Andragradsekvationen saknar reella rötter om ( p ) q < 0, dvs om vi får ett negativt tal under rottecknet. 57 Lös ekvationen + 9 = 0 utan räknare. Vi dividerar först med och använder sedan lösningsformeln. + 9 = 0 + = 0 = ± + = ± 9 + 6 = ± 5 = =. AlgebrA och polynom 7
58 kvadratrotsmetoden Lös ekvationen 6( ) = 0 Vi kan lösa ekvationen genom att utveckla kvadraten, skriva om ekvationen och använda lösningsformeln, men det finns en enklare metod. Vi dividerar först med 6 och drar sedan kvadratroten ur båda leden. 6( ) = 0 ( ) = 5 = ± 5 = ± 5 = + 5 eller,6 = 5 eller,6 nollproduktmetoden Om en produkt är noll, måste minst en faktor vara noll. Detta kan vi ibland använda för att lösa ekvationer. Förutsättningen är att ekvationen kan skrivas så att det ena ledet är noll och det andra ledet kan faktoriseras. Metoden kallas nollproduktmetoden. 59 Lös ekvationen 5( )( + 5) = 0 5( )( + 5) = 0. 5 = 0 vilket ger = 0. ( ) = 0 vilket ger = 6. ( + 5) = 0 vilket ger = 5 = 0 = 6 = 5 60 Lös ekvationen = 0 = 0 Vi faktoriserar VL genom att bryta ut. ( ) = 0. = 0. = 0 och lösningsformeln ger = ± + = ± = 0 = = 8. Algebra och polynom
Lös ekvationerna. 6 a) + = 5 b) = 5 c) ( + 5) = 0 d) + = 0 6 a) ( 8) = 0 b) + 0= 0 c) (z ) = 6 d) + 8 9 = 0 6 a) 8 = b) (z )(z ) = (z )(z ) c) 8 8 + = 0 6 a) t + 0t + = 0 b) + = 6 c) ( + )( ) = 7 65 a) ( + 7) = 6 b) = c) ( +)( )( + ) = 0 66 (Tal ) (Tal ) = Tal är större än Tal. Vilka är talen? 67 Lös ekvationerna och besvara frågorna från det inledande eemplet på förra uppslaget. a) 00 = 5 + a b) 00 = 5t + t, t > 0 68 Ge ett eempel på hur en andragradsekvation kan se ut om lösningarna är a) = och = b) = 0 och = 8 c) = och = d) icke-reella. 69 Den totala kostnaden K kronor för att producera detaljer i en mekanisk verkstad kan beskrivas med K() = 6 000 + 50 + 0, a) Beräkna kostnaden för att producera 50 detaljer. b) Hur många detaljer kan produceras för 00000 kr? 70 Lös ekvationen a) = 0 b) 8 + 5 = 0 c) ( )(8 ) = 0 7 Ekvationen ( + 5a) = 0 har lösningarna = 0 och =. Vilket värde har a? 7 En bakteriekultur tillväer enligt formeln N( ) = 500 + 50 + 5 där N( ) är antalet bakterier minuter efter försökets början. Hur lång tid tar det innan antalet bakterier har fördubblats? 7 Lös ekvationen a) ( + ) 6( + ) = 0 b) ( ) ( 6) = 0 7 I ekvationen ( k) = 0 är k en konstant. Lös ekvationen. Svara på så enkel form som möjligt.. Algebra och polynom 9
substitution Nya typer av ekvationer kan vi ibland omforma och lösa med kända metoder. Ett sätt att omforma en ekvation är att ersätta ett uttryck med ett annat, enklare uttryck. Vi gör en substitution. 75 Lös ekvationen 8 9 = 0 Vi ersätter med t. Då kan ersättas med t och vi får andragradsekvationen t 8t 9 = 0 t = ± 6 + 9 t = ± 5 t = 9 och t = Vi får = 9 och = Ekvationen = 9 har lösningen = ± Ekvationen = saknar reell lösning (men de komplea rötterna är = ±i ) Svar: Ekvationen 8 9 = 0 har den reella lösningen = ± 76 Lös ekvationen a) ( ) 6( ) + 8 = 0 b) + = a) Sätt = t b) Sätt = t Då blir = t. t 6t + 8 = 0 t + t = 0 t = 8 ± 6 8 t = ± + t = 8 ± 6 t = ± + 8 t = 8 ± 6 t = ± 7 t = t = t = t = = = = = = 6 = = 9 Saknar lösning. = ± = ± Svar: a) Lösningarna är,, och. b) Lösningen är 9. är positivt. 0. Algebra och polynom
rotekvation Ekvationer där den obekanta förekommer under ett rottecken kallas rotekvationer. Rotekvationer kan lösas med hjälp av kvadrering, vilket dock kan ge falska rötter. 77 Lös ekvationen = 5 Vi kvadrerar båda leden, löser andragradsekvationen och prövar lösningen. = 5 = (5 ) = 5 0 + + 8 = 0 = 5,5 ± 0,5 8 = 5,5 ±,5 = = 7 Prövning i den ursprungliga ekvationen: = : VL = = HL = 5 = VL = HL = 7: VL = 7 = HL = 5 7 = VL HL Falsk rot! En grafisk jämförelse mellan den ursprungliga och den kvadrerade ekvationen visar tydligt att antalet rötter är olika. Svar: Ekvationen = 5 har lösningen =. Lös ekvationerna. 78 a) 8 = 0 b) = 0 79 a) ( + ) 6( + ) + 6 = 0 b) ( + 5) 5( + 5) + 5 = 0 80 Du har ekvationen + = a) Kvadrera båda leden och skriv resultatet som en andragradsekvation. b) Vilka rötter har ekvationen i a)? c) Pröva rötterna i den ursprungliga ekvationen. Duger båda rötterna? d) Vilken lösning har ekvationen + =? 8 Bestäm med två decimalers noggrannhet rötterna till följande ekvationer. a) + = 0 b) 6 = 0 8 Lös ekvationen = + 6 a) genom kvadrering och prövning b) genom att sätta = t Lös ekvationerna 8 a) ( + ) 6( + ) = 0 b) + = 0 8 a) 5 + = 0 b) ( + ) 7 + + 70 = 0 c) ( + ) + ( + ) = 0. Algebra och polynom
Polynom i faktorform nollställe från nollställen till faktorform Vi har tidigare använt två metoder för att faktorisera polynom.. Utbrytning av största möjliga faktor, t e + = + = ( + ) 5( + ) ( + ) = ( + )(5 ). Omvänd användning av konjugatregeln och kvadreringsreglerna, t e 5 = () 5 = ( + 5)( 5) 6 + 9 = + = ( ) Vi ska nu visa en tredje metod. Ett nollställe till ett polynom p() är ett tal a sådant att p(a) = 0. Om vi har ett polynom i faktorform, t e p() = ( + )(5 ), så kan vi bestämma polynomets nollställen. Polynomet p() = ( + )(5 ) har nollställena och 5. Omvänt så kan vi faktorisera ett polynom om vi vet samtliga nollställen. Vill vi faktorisera polynomet p() = + 5 så börjar vi med att lösa ekvationen + 5 = 0 med lösningsformeln. Rötterna är 5 och. p() = + 5 = ( ( 5))( ) = ( + 5)( ) Om vi vill så kan vi kontrollera resultatet genom att multiplicera parenteserna. Ett polynom som saknar nollställen kan inte faktoriseras. Andragradspolynom i faktorform Ett andragradspolynom p () med nollställena a och b kan skrivas p () = k ( a)( b) där k är en konstant. 85 Faktorisera 8 + + Vi bryter ut och använder :a kvadreringsregeln omvänt. 8 + + = (9 + 6 + ) = ( + ) 86 Faktorisera ( + ) y Vi använder konjugatregeln omvänt. ( + ) y = ( + ) (y) = ( + + y)( + y). Algebra och polynom
87 Faktorisera polynomet p( ) = + Vi löser ekvationen p( ) = 0 genom att bryta ut och använda lösningsformeln. p( ) = + = ( 6 + 8) 6 + 8 = 0 = ± 9 8 = = p( ) = ( )( ) 88 Bryt ut så mycket som möjligt. a) 5 + 5 c) h + h b) h + 8h + d) 6h + h 89 Faktorisera med konjugat- eller kvadreringsregel a) 9 c) 8 6 y b) 6 + 9 d) 6 + 8 + 90 Ange polynomets nollställen, dvs lös ekvationen p( ) = 0. a) p( ) = ( + )( 0) b) p( ) = 5( ) 9 Du vet att polynomet f ( ) = + 5 har nollställena 5 och 7. Skriv f( ) i faktorform. 9 Skriv i faktorform a) p( ) = 0 + 6 b) g( ) = 5 + 6 9 Faktorisera polynomen a) h() = + b) p(z) = 6 + z z c) p( ) = 8 9 Tobbe och Carro ska skriva polynomet p( ) = + i faktorform. Tobbe får p() = ( + )( + 7) Carro får p( ) = ( )( 7) Båda har gjort fel. Förklara vilka fel de gjort. 95 Skriv två olika polynom som båda har nollställena 0 och 0. 96 Skriv i faktorform a) f (t) = t t b) h() = + + c) p() = + 97 Ett andragradspolynom p() har nollställena och och p(0) =. Är det sant att p(0) = p(6)? Motivera ditt svar. 98 Tredjegradspolynomet p( ) = + a + b + c har nollställena, och 5. Bestäm a, b och c. 99 Finn nollställena till polynomet p() = (a + b) + ab och försök tolka resultatet.. Algebra och polynom
Aktivitet Upptäck Pascals triangel Ett polynom är en summa av termer där termernas eponenter är naturliga tal. y + + y är ett tredjegradspolynom i två variabler och y. Gradtalet ges av den term som har den största sammanlagda eponenten. Skriv ( + y) som ett polynom. Skriv ( + y) som ett polynom. Du kan använda sambandet ( + y) = ( + y)( + y) = = ( + y)( + y + y ). Skriv ( + y) som ett polynom. Studera resultatet i uppgift, och. Jämför eponenten i ( + y) n med a) antal termer i polynomet. Vad upptäcker du? b) gradtalet för varje term i polynomet. Vad upptäcker du?. Algebra och polynom
Tabellen nedan visar en del av Pascals triangel. Blaise Pascal (6 66) var en fransk matematiker, vetenskapsman och filosof som bland annat utvecklade talteorin. Siffrorna i de färgade kvadraterna är koefficienterna till de olika variabeltermerna då vi utvecklar (a + b) n. a + b a + a + ab + b a b + ab + b Den översta raden ger (a + b) 0 = Den andra raden ger (a + b) = a + b Den tredje raden ger (a + b) = a + ab + b 5 a) Skriv av triangeln ovan och fyll i koefficienterna i den fjärde raden. b) Utöka triangeln med en femte rad som visar utvecklingen av (a + b). c) Förklara hur du kan finna koefficienterna i en rad med hjälp koefficienterna i raden ovanför. 6 a) Vilket gradtal får varje term då (a + b) 5 utvecklas och skrivs som ett polynom? b) Skriv nästa rad i Pascals triangel. c) Utveckla (a + b) 5 d ) Utveckla (a + b) 6 7 a) Jämför den andra koefficienten i varje rad med eponenten i (a + b) n. Vad upptäcker du? b) Utgå från det mönster som du har upptäckt. Vilka är de två första termerna i utvecklingen av (a + b) 0? 8 Kan vi använda Pascals triangel för att utveckla (a b), (a b),...? Vad blir det för skillnad?. Algebra och polynom 5
. Rationella uttryck Vad menas med ett rationellt uttryck? rationellt tal En kvot av två heltal a b där b 0 kallar vi ett rationellt tal. Eempel på rationella tal är 5 7 och 9 rationellt uttryck Ett rationellt uttryck definieras som en kvot av två polynom p() q() Eempel på rationella uttryck är + 5 och + + Ett rationellt uttryck är inte definierat då nämnaren är lika med noll. 0 Kostnaden K () i tusental kr för ett företag att avlägsna % av förbränningsgasernas föroreningar kan uppskattas 50 vara K () = 00 a) Beräkna och tolka K (90). b) Ange definitionsmängden, dvs tillåtna värden på. 50 90 a) K (90) = 00 90 = 50 Det kostar 50 000 kr att ta bort 90 % av föroreningarna. b) 0 < 00, K () är inte definierad för = 00. 6. rationella Uttryck
0 För vilka -värden är uttrycket inte definierat? a) 5 a) När = 0. b) 5 + c) b) När + = 0 dvs då =. + d) 0 + 5 c) + kan inte bli noll. Uttrycket är definierat för alla värden på. d) + 5 = 0 = 6 ± 6 5 Uttrycket är inte definierat då = 5 och = 7. 0 Du har uttrycket G() = + 7 8 a) Beräkna G(5). b) För vilket -värde är nämnaren lika med noll? 0 Du har uttrycket G() = + + 6 a) Beräkna G(). b) För vilket värde på är uttrycket ej definierat? c) Är det sant att G( ) < G()? Motivera ditt svar. 05 Då Lena försöker beräkna värdet av y uttrycket för = 6 och y = + y med sin räknare visas ERROR i räknarens fönster. Förklara varför. 06 För vilka variabelvärden är uttrycken inte definierade? 6 6 a) c) + 0 + 0 + 6 0 b) d) + 0 50 07 Skriv ett rationellt uttryck som a) inte är definierat för = 7 b) antar värdet 0 för = 7 c) inte är definierat för = ± d) är definierat för alla. 08 För en lastbil kan bränsleförbrukningen i liter/km beräknas med formeln G() = 50 500 + där är hastigheten i km/h. a) Hur mycket kostar en färd på 00 mil, om bränslet kostar 6 kr/l och hastigheten är 00 km/h? b) Hur långt kommer vi på samma mängd bränsle, om hastigheten är 50 km/h? 09 Uttrycket f () = + A kan användas för att beräkna ett närmevärde till A, om är ett lämpligt startvärde. Sätt A = 0. a) Beräkna f (). Hur nära 0 är det? b) Beräkna f ( f ()). Hur nära 0 är det?. Rationella uttryck 7
Förlängning och förkortning förlängning Förlängning innebär att både täljare och nämnare i ett bråk eller ett rationellt uttryck multipliceras med samma tal eller uttryck. = 5 5 = 5 0 + = ( + ) = + Förlängning med 5. Förlängning med. förkortning Förkortning innebär att både täljare och nämnare i ett bråk eller ett rationellt uttryck divideras med en gemensam delare. 6 8 = 6 / 8 / = Förkortning med. För att se gemensamma delare måste vi ibland faktorisera. 5 5 0 = 5 5 ( ) = Förkortning med 5. enklaste form Ett bråk eller ett rationellt uttryck som inte kan förkortas är skrivet i enklaste form. 0 Förläng med. a) b) 6 c) 5 a) 5 = 5 = 6 5 b) 6 = 6 = 6 = 8 c) ( ) = = 6 Förläng så att nämnaren blir. a) b) + 6 a) = 6 6 = 8 b) + 6 = ( + ) 6 = + 8. Rationella uttryck
Skriv i enklaste form a) b) 5 y 0 c) 5 7 y + 6 a) Vi faktoriserar och förkortar med och med. = 7 = 7 b) Vi faktoriserar och förkortar med och med y. 5 y 5 y 7 = y 5 y y 5 = 5 y 5 c) Vi faktoriserar och förkortar med. 0 + 6 ( 0) = ( + ) = 0 + Förenkla om möjligt följande uttryck a) + b) 6 c) y 6 y a) + = ( + ) = + b) 6 c) y 6 y = ( ) ( ) = Täljaren kan inte faktoriseras. Ingen förenkling är möjlig. Förenkla dubbelbråket y 5 + y 5 = 0 ( y 5 ) 0 ( + y 5 ) y 5 + y 5 = 5 y 5 + y genom att förlänga med 0.. Rationella uttryck 9
Vi kan bara förkorta ett uttryck om täljaren och nämnaren innehåller gemensamma faktorer. + y kan därför inte förkortas. VARNING Du frestas väl inte att förkorta och stryka -termerna? 5 Förläng med. a) 7 b) c) + 7 d) 6 Förläng så att nämnaren blir 5. a) c) 5 b) d) + 7 Skriv i enklaste form a) 8 c) ab 8 a b b) 0 5 d) + 8 Skriv i enklaste form. Börja med att bryta ut. 0 a) 5 + 5 b) 6 + 8 c) 9 Skriv i enklaste form. a) h + h h h b) h + 5 + d) + + c) h h + h d) h h h 6 0 Förklara varför + y kan förkortas men + y + y inte + y Vad ska stå i parentesen? (?) a) 8 y = 5 7y b) + 0 + 5 = (?) 5 a c) a + a = (?) Beräkna värdet för uttrycket 6 y 8 y om y = 9 9 y a) före förenkling b) efter förenkling. Förläng med och förenkla a) ( + /) ( /) b) a b a + b Polynomet p() beskrivs av formeln p() = 6 8. Vilket polynom är q() om det rationella uttrycket p () kan förenklas till q () a) b) c) 8? 0. Rationella uttryck
5 Förenkla a) 9 b) 98 + c) + 6 6 a) Vi faktoriserar med konjugatregeln: 9 = ( + ) ( ) ( ) = + b) Utbrytning och faktorisering med konjugatregeln ger 98 + = ( 9) ( + 7) ( 7) ( 7) = = ( + 7) ( + 7) c) Faktorisering med ena kvadreringsregeln samt konjugatregeln ger + 6 6 ( 6) = ( + 6) ( 6) = 6 + 6 6 Förenkla a) 5 + 5 b) + 6 7 Förkorta så långt som möjligt. a) a + a b) a + a + c) a + a a d) a b a b 8 Förkorta så långt som möjligt. c) a) 6 + 9 c) + + + b) 5 5 9 Förenkla a) 8 6 + 8 d) 8 + 6 b) 9 7 a 8 b a 6 a b + 9 b 0 Beräkna utan räknare värdet för uttrycket 9 om =,999. Felicia förenklar: 7 (9 z ) + 7z = + z och är osäker på om det blev rätt. Pröva om HL = VL för z = 0 respektive z =. Förenkla så långt som möjligt a) ( + h) h b) ( + h) h Förenkla genom att förlänga med. a) / + + b) Förenkla uttrycket ( + h) genom att h a) först använda kvadreringsregeln b) först använda konjugatregeln omvänt.. Rationella uttryck
Eempel Hur kan vi förenkla uttrycken + + och? + + = + + = Uttrycken + och + är lika. Däremot är inte lika med. = + ( ) = = Vi bryter ut Kom ihåg: Bryt ut b a = ( ) (a b) 5 Förenkla a) 5 5 a a b) a 6 a a) 5 5 a a = 5( a) a = 5(a ) a = 5 b) a (a + )(a ) (a + )(a ) = = = a + 6 a ( a) (a ) = a + 6 Bryt ut i täljaren. Förenkla a) 7 a) 8 8 b) 7 8 a) ( a ) a b) c) 9 a a d) 0 y y 5 b) 0a 50 5 a 9 a) a a a b) 6 + 6 0 a) + + b) b a a b a) + 5 0 c) 8 b) ( ) + 6 b) ( ) Bryt ut ( ) ur parentesen och förenkla a) b) ( ) ( ) c) d) ( ) ( )6. Rationella uttryck
Addition och subtraktion lika nämnare Bråk med lika (samma) nämnare kan adderas och subtraheras direkt. 9 + 9 = + = 6 9 9 = På samma sätt förenklas rationella uttryck med lika nämnare. + + + = + + = 5 + olika nämnare gemensam nämnare MGN Bråk med olika nämnare kan inte adderas eller subtraheras direkt. Först måste vi förlänga så att de får lika (samma) nämnare. En gemensam nämnare är ett heltal eller ett polynom som är delbart med samtliga nämnare i två eller flera bråk eller rationella uttryck. Den minsta (positiva) gemensamma nämnaren betecknas MGN. 5 6 + = Vilken gemensam nämnare ska vi välja? Vi ska välja ett tal som är delbart med både 6 och, t e, eller 6. Om vi väljer MGN, som här är, blir beräkningarna enklast: 5 6 + = 0 + 9 = 9 a) Beräkna 5 6 7 8 b) Förenkla + 6 0 a) MGN = ger 5 6 7 8 = 5 6 7 8 = 8 0 = 7 b) = 6 = 0 = 5 MGN = 5 = 60 Ta med faktorer så att produkten blir delbar med, 6 och 0. + 6 0 = 5 5 + 0 6 0 0 = 5 60 + 0 60 60 = = 5 + 0 60 = + 0 60. Rationella uttryck
Förenkla 6 + MGN: = 6 Vi förlänger till nämnaren 6 : 6 + = 6 + = 6 + 6 = + 6 5 a) Lös ekvationen b) Förenkla uttrycket + 6 + 8 = 6 + + 6 8 a) MGN: = Multiplicera båda leden (samtliga termer) med MGN : ( + ) + = 6 6 8 ( + ) + = 8 + + 6 = + = = 0 = 0 b) MGN: = Vi förlänger till nämnaren : + 6 = 8 + + 6 + ( + ) = 8 6 = + = + 8 = 8 + (7 + ) = 7 + + 6 = Sammanfattning I en ekvation med rationella uttryck kan vi multiplicera båda leden (samtliga termer) med MGN. Detta ger en enklare ekvation. När vi förenklar ett rationellt uttryck förlänger vi (samtliga termer) till MGN. Detta ändrar inte uttryckets värde.. Rationella uttryck
6 Beräkna/förenkla a) 5 8 + 8 b) 7 8 7 Förenkla a) a + a b) + c) 7 + d) 5 + 6 c) + d) 5 a + a 8 Lös ekvationen. Börja med att multiplicera alla termer med MGN. a) 5 = 6 c) y 6 y 8 = 5 b) + 6 = d) = 9 a) Lös ekvationen 5 + 9 = b) Förenkla uttrycket 5 + 9 5 Vid produktionen av böcker är den genomsnittliga kostnaden G( ) kr per bok, där G() = 9 000 + 0 + 0 Hur många böcker tillverkas, om den genomsnittliga kostnaden är 96 kr? 5 Nora och My klipper en stor gräsmatta. Nora har motorgräsklippare och kan ensam klippa gräsmattan på,0 h. My har en vanlig handgräsklippare. Tillsammans kan de klippa hela gräsmattan på,0 h. a) Hur stor del av hela arbetet utför Nora på,0 h? b) Hur stor del av hela arbetet gör de tillsammans på,0 h? c) Om My ensam klipper gräsmattan på h, hur stor del av arbetet gör hon då på,0 h? d) Ställ upp en ekvation där kan bestämmas. e) Hur lång tid tar det för My att ensam klippa gräsmattan? 50 Förenkla a) y + y + y b) y + y 5 Lös ekvationen a) = b) + 5 = c) + 6 = 5 Pi och Bo förenklar uttrycket + Pi: + Bo: = + ( + ) Båda gör fel! Vilka fel gör de? = = ( ). Rationella uttryck 5
55 Förenkla a) b) + a) MGN = ger Obs! Parentes. = = ( ) = + = Vi måste komma ihåg att sätta ut parenteser när vi går över till gemensamt bråkstreck och har uttryck med flera termer! b) + = + ( )( ) = = 56 Lös ekvationen + + = + Definitionsvillkor: Definitionsvillkoret innebär att = inte kan vara rot till ekvationen. Multiplikation med MGN ger ( + ) + ( + ) = + + ( + ) = + = 0 + = 0 ( + ) + = ± 6 + = ± = = = är en falsk rot, då den inte uppfyller definitionsvillkoret. Svar: = 6. Rationella uttryck
57 a) Lös ekvationen y 5 b) Förenkla uttrycket y 5 Lös ekvationerna 58 a) 6 5 = b) y y 59 a) + + = 6 + b) t + t = t + 5 c) + y = 6 y d) = 9 y = 0 9 y y + = 0 60 Om man vet medicindosen för en vuen, kan dosen för ett barn beräknas med y = d där d är vuendosen, + y är barndosen och är barnets ålder. a) Hur många tabletter bör en fyraåring få, om en vuen kan ta 6 tabletter? b) Vuendosen är cl och en pojke rekommenderas att ta 0,5 cl (5 ml). Hur gammal bör pojken vara? 6 Lös ekvationen a) = b) = 0 6 Förenkla uttrycket + 5 6 Lös ekvationen 6 Ekvationen + = 6 t a t = har en lösning t =. Bestäm värdet på a och eventuella ytterligare lösningar. 65 Skriv följande uttryck så enkelt som möjligt. a) a b b a b) a 0 a 5 a 5 a c) + d) 6 a + 6 a 9 + a 66 Johannes förenklar a + a + a till a. Är förenklingen rätt? Undersök numeriskt med din räknare eller visa algebraiskt.. rationella Uttryck 7
Multiplikation och division Vi repeterar multiplikation och division av tal i bråkform. Multiplikation av bråk 5 6 = 5 6 = 5 = 5 9 8 9 = 8 9 = 8 9 = 8 = 8 Förkorta om det går innan du multiplicerar. Division av bråk 7 5 9 = Vi får förlänga med vilket tal vi vill. Vi väljer det tal som ger nämnaren. = 7 9 5 5 9 9 5 = 7 9 5 = 7 9 5 = 8 5 inverterat tal 9 5 kallas det inverterade talet till 5 9 Täljare och nämnare byter plats. Produkten av ett tal och dess inverterade tal är. Att dividera med 5 9 ger samma resultat som att multiplicera med 9 5 Vi förenklar rationella uttryck på samma sätt. 67 Förenkla a) 6 b) + c) + / + d) a 6 a / a + a a) 6 = 6 = Obs! Parentes. b) + ( + ) = c) + / + = + d) a 6 a / = + + a + a = a 6 a a a + = ( + ) ( + ) = Obs! Parentes. = (a + )(a ) a 6 a (a + ) = (a ) a 8. Rationella uttryck
68 Beräkna utan räknare 76 Förenkla a) 5 9 c) 7 5 a) y / y c) a b / a b b) 6 8 d) 9 0 b) y / y d) a / a b 69 Beräkna utan räknare a) / 7 b) / 6 c) 6 / d) 5 6 / 7 77 Beräkna värdet för uttrycket a b b om a = 0 och b = 5 b a b a) före förenkling b) efter förenkling. 70 Förenkla a) a 5 a b) 6 7 c) 5 d) 9 0 78 Förenkla a) y / c) y y + y / a b) (a ) a y y 7 Skriv på ett gemensamt bråkstreck och förenkla. a) a b a b) 5 + c) a + 5 a 0 a + d) 5 7 Vad är dubblan (dubbelt så mycket) av a) 5 7 7 Förenkla a) / 8 b) a 5 / a 5 b) a + b c) a b c) 9 / 8 d) 5 z / 7 Vad är tredjedelen av a) 5 b) a + b c) 7 a b 75 Förenkla a) y 6 y b) a b c c a b c) y 6 / y d) a b c / c a b d) + d) +?? 79 Förenkla a) a + b / (a 9) b) ( + )/ 80 Förenkla dubbelbråket genom att 5a a 5 a a) först förlänga de enskilda bråken till MGN b) först förenkla täljaren för sig och nämnaren för sig och sedan dividera. Förenkla. a + b 8 a) a b 8 a) z z a b) 6 a b) a a a a 8 Låt f () = och undersök om man + kan bestämma talet a så att f ( f ()) =.. Rationella uttryck 9
. Funktioner Inledning Vi repeterar och utvidgar funktionsbegreppet. Funktion Definitionsmängd Värdemängd En regel som till varje tillåtet -värde ger eakt ett y -värde kallas en funktion. De tillåtna -värdena kallas funktionens definitionsmängd. De y -värden vi då kan få kallas funktionens värdemängd. Funktionsregeln kan beskrivas med ord, med en formel, en värdetabell eller en graf. y = f () kontinuerlig funktion Skrivsättet y = f() innebär att y är en funktion av och f är funktionens namn. Med f() menas det y-värde som funktionsregeln ger då =. Funktioner kan karaktäriseras på olika sätt. De funktioner vars graf kan ritas utan att lyfta pennan kallas för kontinuerliga. Med matematikens språk kan vi säga att en funktion är kontinuerlig i en punkt om f ( + h) f () kan göras godtyckligt litet genom att välja ett tillräckligt litet h. Om detta gäller för alla i definitionsmängden är funktionen kontinuerlig. Alla polynomfunktioner är kontinuerliga. y y = f ( ) y y = g ( ) a b a b f är kontinuerlig för a b g är diskontinuerlig för a b En annan karaktärisering av funktioner kan göras utifrån vilken definitionsmängd de har. De funktioner vars definitionsmängd är heltalen (eller delmängder av heltalen) kallar vi diskreta. I matematiken betyder ordet diskret ungefär detsamma som åtskild eller särad. diskret funktion En diskret funktion kan aldrig vara kontinuerlig eftersom resonemangen med godtyckligt litet respektive tillräckligt litet inte fungerar. 0. Funktioner
Eempel En handlare säljer äpplen för 0 kr/kg. Funktionen y = 0 beskriver priset y kronor för äpplen som väger kg. Detta är en kontinuerlig funktion, definitionsmängden är de reella talen större än eller lika med 0. En annan handlare säljer äpplen för 5 kr/st. Funktionen y = 5 beskriver priset y kronor för st äpplen. Detta är en diskret funktion, definitionsmängden är de naturliga talen. kr 60 y kr 5 y 0 0 0 5 kg antal Priset som funktion av vikten. Priset som funktion av antalet. 0 Låt f( ) = 6 5 och g() = +. Bestäm a) f () c) f () g () b) g ( ) d) g (b) f (b) 0 Låt f( ) = och bestäm a) f (a + ) b) f (a + h) 0 Låt g() = och bestäm a) g(a ) b) g(a + ) 0 Priset y kr för att hyra ett par skidor i dagar beskrivs av funktionen y = 00 + 00. Är funktionen diskret eller kontinuerlig? Motivera ditt svar. 05 Bestäm definitions- och värdemängd för a) y = c) f( ) = + b) y = d) f( ) = 06 Funktionen f definieras av formeln f( ) = a) Rita funktionens graf. b) Ange funktionens definitionsmängd. c) Förklara varför funktionens värdemängd är alla reella tal y 0. 07 Låt f( ) = + och förenkla a) f ( + h) f () h b) f ( + h) f ( ) h 08 En och samma funktion kan beskrivas med olika formler i olika delar av sin definitionsmängd. Funktionen f är definierad på följande sätt: f ( ) = för + a för > a) Bestäm f ( ) + f () b) För vilket värde på a är funktionen kontinuerlig?. funktioner
Historik Hur funktionsbegreppet utvecklats Vår önskan att med hjälp av matematiska modeller beskriva och förstå omvärlden har med tabeller, diagram, formler, ekvationer och grafer lett fram till funk tionsbegreppet. I mitten av 700-talet gav Euler, en mycket produktiv matematiker från Schweiz, en samlad beskrivning av de enkla funktioner som ingår i dagens skolkurser. Euler införde beteckningen f () och gav 7 följande definition: Leonhard Euler (707 78) Dirichlets definition skiljer sig på två viktiga sätt från Eulers: Funktionsregeln behöver inte vara given med ett algebraiskt uttryck, och varje värde på ska ge ett värde på y. Den tyske matematikern Georg Cantor skapade på 870-talet mängdläran som ett beskrivningssätt för all matematik. Cantors funktionsdefinition blir: Georg Cantor (85 98) En funktion f( ) är ett algebraiskt uttryck med konstanter och variabler, definierat genom en ekvation eller en graf. Eulers definition skärptes under nästa århundrade, och 87 gav den tyske matematikern Dirichlet oss den definition som än idag används: Om X och Y är två givna mängder, och om till varje element i X är ordnat ett bestämt element y i Y, så har vi en funktion från X till Y. Enligt denna definition behöver inte elementen och y vara tal. Om två variabler och y har ett sådant samband, att när vi ger ett värde så ordnas till detta automatiskt genom någon regel ett bestämt värde på y, då säger vi att y är en funktion av. X BC_K hist y Y Peter Dirichlet (805 859) En cirkel med radien ges av ekvationen y + =. a) Beräkna alla värden på y om =,, 0,,. b) Skissa cirkeln i ett koordinatsystem. c) Är detta en funktion enligt Eulers, Dirichlets och Cantors definition? Elementen i Cantors definition behöver inte vara tal. Beskriver följande tabell en funktion? a) 0 b) y blå röd grön blå y röd grön blå blå. funktioner
Räta linjens ekvation Vi repeterar från kurs c. Räta linjens ekvation kan skrivas y = k + m där k anger lutningen och m anger var linjen skär y-aeln. Linjen y = 7 skär y-aeln i punkten (0, 7). Bestämning av k ur en graf y y y = = = y = y k = = = y 5, k = = = k > 0, linjen stiger k < 0, linjen faller En horisontell linje har k = 0 och en ekvation av typen y =. En vertikal linje saknar k-värde och har en ekvation av typen =. Formeln för k förändringen i y-led k = förändringen i -led = y = y y där. Parallella linjer och vinkelräta linjer Två icke-vertikala linjer med riktnings koefficienter k och k är parallella om och endast om k = k (har samma k-värde) vinkelräta om och endast om k k = Linjen y = har k-värdet och är parallell med linjen y = 0,5 + och vinkelrät mot linjen y = Räta linjens ekvation k-form y = k + m enpunktsform y y = k ( ) allmän form a + by + c = 0. Funktioner
09 Linjen L går genom punkterna (, ) och (, ). a) Beräkna k-värdet för linjen. b) Bestäm ekvationen för den linje M som går genom punkten (, ) och är parallell med linjen L. y M (, ) L = 6 (, ) a) (, y ) = (, ) och (, y ) = (, ) y = 5 k = y y (, ) k = ( ) = 5 6 = 5 6 b) Parallella linjer har samma k-värde. Linje M har k = 5 6 och går genom punkten (, ). Metod Metod Vi använder y = k + m. Vi använder y y = k( ). y =, = och k = 5 6 ger y =, = och k = 5 6 ger = 5 6 ( ) + m = 5 + m m = y = 5 6 + y = 5 ( ( )) 6 y = 5 6 5 y = 5 6 5 + 9 y = 5 6 + 0 Ge ett eempel på ekvationen för en rät linje som är vinkelrät mot linjen 6 + y = 0. Vi omvandlar den allmänna formen 6 + y = 0 till k-form: y = 6 + y = + k k = och k = ger k = 0,5. Den vinkelräta linjens ekvation kan t e vara y = 0,5 + 7.. Funktioner
Bestäm lutningen k för en linje genom (, ) och (, ). Bestäm en ekvation för linjen genom (, ) och med a) k = b) k = Rita grafen till a) y = b) 5 + y 9 = 0 I en glesbygdskommun minskade invånarantalet linjärt under 990-talet enligt y = 5 000 5 där y är antalet invånare år efter 990. a) Ange och tolka funktionens m -värde. b) Ange och tolka funktionens k -värde. 5 Bestäm en ekvation för linjen genom (, ) och (, 9). 6 Skriv på allmän form ekvationen för linjen genom punkterna (, 8) och (5, 0). 7 Mellan temperaturskalorna Fahrenheit ( F) och Celsius ( C) finns ett linjärt samband. Vi vet att 0 C motsvarar 68 F och 00 C motsvarar F. a) Ställ upp det linjära samband som visar hur y F kan beräknas för C. b) Beräkna med ditt samband hur många F som motsvarar 0 C. 0 Ett cylinderformat stearinljus har diametern mm och längden 00 mm. Brinntiden är 8 timmar. a) Hur långt är ljuset då det har brunnit i 5 timmar? b) Hur lång tid har ljuset brunnit om det är 0 mm långt? c) Ställ upp ett linjärt samband mellan ljusets längd f (t) mm och den tid t timmar som ljuset har brunnit. Ange en ekvation för den linje som går genom punkten (, ) och är vinkelrät mot a) y = + b) y = + Vilka koordinater har punkten B, om lut ningen för linjen genom A och B är 5? y = y B 8 Ange en ekvation för den linje som går genom punkten (, 5) och är parallell med a) y = 5 + b) y 6 + = 0 A (, ) 9 Bestäm linjens ekvation. y a) b) y f ( + ) f () Ställ upp och förenkla om f ( ) = a + b. Tolka ditt resultat. c) d) För en linjär funktion gäller att f(a + ) = a +. Bestäm funktionen på formen y = k + m.. Funktioner 5
Andragradsfunktioner Vi repeterar från kurs c. En andragradsfunktion definieras av en ekvation av typen y = + 0 och f ( ) = 8 Allmänt kan en andragradsfunktion skrivas allmän andragradsfunktion parabel symmetrilinje verte f( ) = a + b + c där a, b och c är konstanter och a 0. Grafen till en andragradsfunktion y = a + b + c kallas en parabel. Den har en symmetrilinje som delar kurvan i två delar, som är varandras spegelbilder. Två punkter på kurvan med samma y-värde ligger därför på samma avstånd från symmetrilinjen, se figuren här intill. Symmetrilinjen går genom parabelns verte (vändpunkt) som är en maimieller minimipunkt på grafen. Då ekvationen a + b + c = 0 skrivs om till + p + q = 0 är symmetrilinjens ekvation = p y symmetrilinje nollställen verte minimipunkt maimipunkt nollställen Om a > 0 (t e y = ) har kurvan en minimipunkt. Om a < 0 (t e y =,5 ) har kurvan en maimipunkt. Där grafen skär -aeln är y = 0 -koordinaten i dessa skärningspunkter kallas funktionens nollställen. Nollställena är reella lösningar till ekvationen a + b + c = 0. Saknas reella lösningar skär grafen aldrig -aeln. Där grafen skär y-aeln är = 0. Grafen skär y-aeln i punkten (0, c). En andragradsfunktion är ett eempel på en polynomfunktion. polynomfunktion En polynomfunktion definieras som en funktion som anges av ett polynom. I kommande kapitel ska vi studera polynomfunktioner av tredje och fjärde graden. 6. Funktioner
5 Undersök andragradsfunktionerna y = 6 och y = 6 6. a) Var skär grafen y- aeln? b) Har funktionen några nollställen? c) Bestäm grafens symmetrilinje. d) Ange koordinaterna för verte. e) Ange funktionens största/minsta värde. f) Kontrollera dina resultat grafiskt. y = 6 a) = 0 ger y = 0. Grafen skär y-aeln i origo. b) y = 6 6 = 0 ( 6) = 0 Nollställena är = 0 = 6 c) Symmetrilinjen är = (mitt emellan 0 och 6) d) = ger y = 6 = 9 (, 9) är verte e) termen är positiv. Funktionen har ett minsta värde 9 ( y-värdet i verte). y = 6 6 a) = 0 ger y = 6. Grafen skär y-aeln i punkten (0, 6). b) y = 6 6 6 6 = 0 + + = 0 = ± Nollställen saknas c) Symmetrilinjen är = ( = p/ om + p + q = 0) d) = ger y = ( ) 6 ( ) 6 = (, ) är verte e) termen är negativ. Funktionen har ett största värde. f) 5 f) 0 (, ) 0 0 (, 9) 0. Funktioner 7
6 Figuren visar grafen till en andragradsfunktion. Skriv funktionen i a) faktorform b) utvecklad form. y Nollställen och a) Nollställena och ger f () = k ( + ) ( ) Vi avläser f (0) =, vilket ger k (0 + ) (0 ) = k ( ) = k = f ( ) = ( + )( ) b) f ( ) = ( + )( ) = ( + ) = + + 7 Funktionen y = 6 a) Har kurvan en maimi eller minimipunkt? b) Bestäm kurvans nollställen genom att lösa ekvationen 6 = 0 c) Ange kurvans symmetrilinje. d) Bestäm koordinaterna för kurvans vändpunkt. e) I vilken punkt skär kurvan y-aeln? f) Skissa först grafen för hand och kontrollera sedan med grafräknare. 8 Ange funktionens nollställen a) f ( ) = ( + )( 0) b) f ( ) = 5 ( ) 9 Om man har ekvationen för en andragradsfunktion så finns det en enkel metod att avgöra om grafen har en maimi- eller minimipunkt. Inga beräkningar behövs och grafen behöver ej ritas. Förklara denna metod. 0 Bestäm kurvans eventuella nollställen samt ma- eller minpunkt. Kontrollera grafiskt. a) y = + + b) y = 0 c) y = + 8 + 9 d) y = 6 6 En andragradsfunktion har ett nollställe = och symmetrilinjen =. Bestäm det andra nollstället. Beräkna var kurvan skär -aeln och y-aeln. Kontrollera grafiskt. a) f ( ) = + 6 b) f ( ) = + c) y = 0 d) y = ( )( + ) Ge ett eempel på en andragradsfunktion som har nollställena a) och b) 0 och 0 8. Funktioner
Figuren visar grafen till andragradsfunktionen y = f( ). y a) Bestäm f (0). b) Lös olikheten f( ) > 0. c) f( ) = ( a )( b ) Bestäm a och b och skriv f( ) i utvecklad form. d) Ge ett eempel på ekvationen för en rät linje som aldrig skär f( ). 5 Hur ska vi välja a så att kurvan y = 8 a inte skär -aeln? 6 En rät linje skär f( ) = där = och =. Ange den räta linjens ekvation. 7 Funktionen y = ( ) + är given. a) För vilket värde på har y sitt minsta värde? b) Vad är funktionens minsta värde? En fotboll sparkas rakt upp i luften. En modell för bollens höjd över marken s ( t ) meter efter t sekunder är s ( t ) = 0,75 + 8 t,9 t a) Beräkna och tolka s(,5). b) Vilken är bollens högsta höjd? Skriv andragradsfunktionerna dels i faktorform och dels i utvecklad form. a) y b) y 8 Skriv två olika funktioner som båda har nollställena 0 och 0. 6 9 En andragradsfunktion har en graf med nollställena = och = 8. Grafen skär y-aeln där y =. Skriv funktionen i faktorform. 0 Stoppsträckan hos en bil kan beskrivas med funktionen s( v ) = a v + b v där s är stoppsträckan i m vid hastigheten v m/s. Bestäm konstanterna a och b om vi vet att s(00 ) = 90 och s(0 ) =,. 8 Ange andragradsfunktionen som har ett (av två) nollställen = och en minimipunkt (, 8). En andragradsfunktion y = a + b + c har endast ett nollställe. Ange ett samband mellan a, b och c.. funktioner 9