SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b) Bestäm riktningsderivatan av f i punkten (, 1, 1) i riktning mot punkten (4, 1, ). ( p) (c) I vilken riktning växer f snabbast i punkten (, 1, 1)? (1 p) Lösningsförslag. (a) Vi beräknar de pariella derivatorna och x xz(x + y ) x z 1 x z + xy z xz x + y (x + y ) (x + y ) (x + y ), y y x z (x + y ) x yz (x + y ) z x x + y. ärmed ges gradienten av ( ) x z + xy z f(x, y, z), x yz (x + y ) (x + y ), x x + y (b) För att få riktningsderivatan behöver vi ta skalärprodukten med en enhetvektor i den givna rikningen. En vektor i riktningen ges av (4, 1 1, 1) (,, 1) som har längd + ( ) + 1 9. I punkten (, 1, 1) får vi f(, 1, 1) ( 1 + 1 1 ( + 1 ), 1 1 ( + 1 ), + 1 ) ( 8 9, 8 9, 4 )
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- ärmed ges riktningsderivatan av skalärprodukten ( 8 9, 8 9, 4 ) (,, 1 ) 16 7 + 16 7 + 4 16 + 16 + 1 44 9 7 7. (c) Funktionens riktningsderivata är som störst i gradientens riktning, dvs i riktningen som ges av vektorn ( ) 8 eller av enhetsvektorn 9, 8 9, 4 (, ),. 17 17 17 Svar. ( ) x (a) Gradienten är f(x, y, z) z+xy z, x yz x, (x+y ) (x+y ) x+y (b) Riktningsderivatan är 44/7. ( (c) Riktningsderivatan är störst i riktningen 17, 17, 17 ).
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8-. Betrakta vektorfältet F som ges av F(x, y) (x + y +, x ) + y + 5 för (x, y) i R. (a) Vad innebär det att ett vektorfält är konservativt? (1 p) (b) Visa att vektorfältet F är konservativt. (1 p) (c) Använd vetskapen att vektorfältet är konservativt för att beräkna kurvintegralen F dr (x + y ) ( x ) + dx + + y + 5 dy γ γ där γ är någon slät kurva som börjar i (, ) och slutar i (, 4). ( p) Lösningsförslag. (a) Att vektorfältet är konservativt betyder att alla linjeintegraler F dr bara beror C på start- och ändpunkt. etta är detsamma som att det finns en potential Φ så att F Φ. (b) Ett sätt att se att fältet är konservativt är att hitta en potential, Φ. För att hitta en potential kan vi först integrera F 1 med avseende på x. Vi får då Φ(x, y) x / + xy/ + x + C(y). När vi deriverar med avseende på y får vi Φ x/ + y C (y). ärmed kan vi välja C(y) y / + 5y och har då hittat en potiential Φ(x, y) (x + xy + y )/ + x + 5y. Alltså är fältet konservativt. Alternativt ser vi på F x F 1 y 1 1 och eftersom F är definierad på ett enkelt sammanhängande område innebär det att F är konservativt. (c) I och med att fältet är konservativt med potentialen Φ kan vi beräkna kurvintegralen som F dr (x + y ) ( x ) + dx + + y + 5 dy Φ(x 1, y 1 ) Φ(x, y ). γ γ I vårt fall är (x, y ) (, ) och (x 1, y 1 ) (, 4) vilket ger Φ(x 1, y 1 ) Φ(x, y ) Φ(, 4) Φ(, ) ((( ) + ( )( 4) + ( 4) )/ + ( ) + 5( 4)) ((( ) + ( ) + )/ + ( ) + 5 ) (4 + 8 + 16)/ 6 (4 + + )/ ( 6) 14 6 + 6 8. Vi kan också ersätta γ med en rät linje mellan start- och ändpunkt. Vi får då exempelvis parametriseringen r(t) (, 4t) då t 1 vilket ger dr r (t) dt
4 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- γ (, 4) dt och kurvintegralen blir F dr 4( / 4t + 5) dt 16t 16 dt [ 8t 16t ] 1 8. Svar. (a) Att F är konservativt betyder att det finns en potential Φ med F Φ. (c) urvintegralens värde är 8.
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- 5. Betrakta den homogena kropp som ges av olikheterna x + y z 1. För att bestämma masscentrum för behöver man bland annat beräkna integralen I z z dxdydz. (a) Hur beräknas masscentrum för? (1 p) (b) Beräkna integralen I z. ( p) Lösningsförslag. (a) För att beräkna masscentrum behöver vi beräkna volymen V 1 dxdydz och de båda andra momentintegralerna I x x dxdydz och I y y dxdydz. Masscentrum ges sedan av (I x /V, I y /V, I z /V ). (b) Vi använder cylinderkoordinater (x, y, z) (r cos θ, r sin θ, z) och har då dxdydz r drdθdz. ärmed ges integralen av π π [ ] z 1 r I z z dxdydz zr dzdrdθ drdθ r π ( ) [ r r 5 r drdθ π 4 r6 1 ] 1 ( r 1 π 4 1 ) π 1. Svar. (a) Masscentrum ges av (I x /V, I y /V, I z /V ) där V dxdydz är volymen och I x x dxdydz och I y y dxdydz. (b) I z π.
6 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL B 4. Beräkna största och minsta värdet av funktionen f(x, y) x y på området som ges av olikheten x + y 6. (4 p) Lösningsförslag. Funktionen f är kontinuerlig i och med att den ges av ett polynom. ärför antar den ett största och ett minsta värde på det kompakta område som ges av ellipsskivan x + y 6. Vi undersöker först om det finns några stationära punkter för f. Gradienten ges av f(x, y) (xy, x ) och denna är noll precis då x. Alltså finns stationära punkter på y-axeln och där är funktionsvärdet f(, y). et finns inga punkter där gradienten inte är definierad. Vi använder sedan Lagranges metod för att undersöka randpunkterna, dvs de punkter som uppfyller bivillkoret g(x, y) där g(x, y) x + y 6. Vid en lokal extrempunkt på randen måste gradienten för f vara parallell med gradienten för g. Vi har att g(x, y) (6x, 4y) och därmed får vi ekvationssystemet xy λ6x x λ4y x + y 6 Vi kan bortse från fallet då x som vi redan behandlat och vi får då att λ x /(4y) (y)/6 och därmed x 4y. Insatt i bivillkoret ger det 4y + y 6, dvs y 1. ärmed ges lösningarna av y ±1 och x ±/. Vid dessa punkter har vi f(±/, ±1) ±4/. Eftersom värdet för f i de stationära punkterna ligger mellan dessa båda värden har vi hittat funktionens största och minsta värde på randen och dessa är 4/, respektive 4/. Svar. Funktionens största värde är f(±/, 1) 4/ och dess minsta värde är f(±/, 1) 4/.
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- 7 5. e differentierbara funktionerna f(x, y) och g(r, θ) är relaterade genom Vi vet att g (, π ) r Använd kedjeregeln för att beräkna x (1, ) g(r, θ) f(r cos θ, r sin θ). och och g (, π ) 9. θ y (1, ). (et är användbart att känna till att cos(π/) 1/ och sin(π/) /.) (4 p) Lösningsförslag. Funktionen g ges som en sammansättning av f och Φ där Φ(r, θ) (r cos θ, r sin θ). edjeregeln formulerad för Jacobimatriserna ger därmed g fφ och om vi skriver ut det får vi [ g r g θ ] [ x y ] [ Φ 1 r Φ r Φ 1 θ Φ θ I punkten (r, θ) (, π/) har vi Φ(, π/) (1, ) och [ ] [ ] cos θ r sin θ Φ Φ(, π/) 1/. sin θ r cos θ / 1 Vi kan invertera denna och eftersom determinanten är r får vi [ ] 1 1/ 1 [ ] 1 / 1 / 1/ och f(1, ) g(, π/)(φ(, π/)) 1 ärmed är x (1, ) och Vi kan också skriva upp kedjeregeln som g r x x r + y och y r Vi behöver därmed lösa ekvationssystemet [ { 1 + x y ]. [ ] 1 1 9] [ ]. y (1, ). 1 g θ x x θ + y y θ. ( ) + 1 9 x y vilket med Gausselimination ger samma lösning som ovan. Svar. x (1, ) och y (1, ).
8 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- 6. Betrakta flödet av vektorfältet v v(x, y, z) (x + y, y, xy + z + ) upp genom den del av ytan z 1 x y som ligger ovanför xy-planet. (a) Parametrisera ytan. (1 p) (b) Ställ upp integralen som beräknar flödet av v med hjälp av parametriseringen från del (6a). ( p) (c) Beräkna flödet av v med hjälp av integralen från del (6b). (1 p) Lösningsförslag. (a) Vi kan välja x och y som parametrar och får då ytan som r(x, y) (x, y, 1 x y ) där x + y 1. Ett annat alternativ är polära koordinater r(r, θ) (r cos θ, r sin θ, 1 r ), där r 1 och θ π. (b) Om vi använder den första parametriseringen får vi en normalvektor som π r x r (1,, x) (, 1, y) (x, y, 1) x enna är riktad upp genom ytan. Vi behöver beräkna skalärprodukten med fältet och sedan integrera över ytan. I och med att vi behöver multiplicera och dividera med längden av normalvektorn blir flödet x(x + y) + y + xy + (1 x y ) + dxdy x + y + 4xy + 4 dxdy där är enhetscirkeln i xy-planet. Med den andra parametriseringen får vi normalvektor r r r θ (cos θ, sin θ, r) ( r sin θ, r cos θ, ) (r cos θ, r sin θ, r) Flödet ges då av r cos θ(r cos θ + r sin θ) + r sin θ r sin θ + r(r cos θ sin θ + 1 r + ) drdθ π r + 4r + 4r cos θ sin θ drdθ. (c) Vi beräknar den första integralen genom övergång till polära koordinater x + y + 4xy + 4 dxdy π (r + 4r cos θ sin θ + 4)rdrdθ [ ] r 4 1 π 4 + r π 9 4 9π där vi använt att π sin θ cos θ dθ. Om vi använt den andra parametriseringen får vi samma integral i polära koordinater.
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- 9 Svar. (a) Till exempel r(x, y) (x, y, 1 x y ) där x +y 1 eller r(r, θ) (r cos θ, r sin θ, 1 r ), där θ π och r 1. (b) Flödet ges av integralen x + y + 4xy + 4 dxdy där är området x + y 1 eller π r + 4r + 4r cos θ sin θ drdθ. (c) Flödet upp genom ytan är 9π/.
1 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL C 7. Låt funktionen f(x, y) vara definierad för (x, y) (, ) genom f(x, y) xy x + y. Visa att f blir kontinuerlig i origo om vi definierar f(, ). (4 p) Lösningsförslag. Att f är kontinuerlig i origo betyder att f(, ) är lika med gränsvärdet av f(x, y) då (x, y) går mot (, ). Om vi använder polära koordinater kan vi skriva g(r, θ) f(r cos θ, r sin θ) och vi har (r cos θ)(r sin θ) g(r, θ) r cos θ sin θ. r Eftersom cos θ sin θ 1 1 1 har vi att g(r, θ) r för alla (r, θ). ärmed får vi för varje ɛ > att f(x, y) är mindre än ɛ från för alla (x, y) som ligger på avstånd mindre än ɛ från origo. Alltså har vi att lim f(x, y) (x,y) (,) och f blir kontinuerlig i origo om f(, ).
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- 11 8. Bestäm den enkla, slutna, kontinuerligt deriverbara kurva C för vilken kraftfältet F(x, y) (x y + y 1y, 4x x 6xy ) uträttar det största arbetet, då en partikel förflyttas ett varv moturs längs C. Ange också detta största arbete. (4 p) Lösningsförslag. Enligt Greens sats får vi att ( Q F dr x P ) dxdy y C där är det område som innesluts av kurvan C. Vi kan använda satsen i och med att F är kontinuerligt deriverbart och C är en kontinerligt deriverbar kurva. I vårt fall har vi ( Q x P ) 4 x 6y x y + 1 6 4x 9y. y Integralen av detta skalärfält blir som störst om vi integrerar över hela det område där det är icke-negativt, dvs över hela ellipsen som ges av 4x + 9y 6. å blir integralens värde (6 4x 9y ) dxdy och vi kan använda variabelbytet (x, y) (r cos θ, r sin θ) där r 1 och θ π. etta ger Jacobianen [ ] cos θ r sin θ det 6r(cos sin θ r cos θ θ + sin θ) 6r. ärmed blir integralens värde (6 4x 9y ) dxdy π (6 6r ) 6r drdθ π 6 6 [ r 4π r4 4 (r r ) dr ] 1 18π. Svar. Arbetet blir som störst för ellipsen 4x + 9y arbetet 18π. 6 genomlöps moturs och då blir
1 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- 9. Bestäm volymen av den kropp som ligger i området z och vars tvärsnitt med plan parallella med xz-planet är liksidiga trianglar med två hörn på enhetscirkeln i xy-planet. (4 p) Lösningsförslag. Tvärsnittets sida beror på y som s 1 y och höjden ges av h 1 y. ärmed ges tvärsnittsarean av 1 sh (1 y ). Vi integrerar tvärsnittsarean över intervallet 1 y 1 och får volymen som ] 1 ( (1 y ) dy [y y 1 1 V V 1 1 ) ( 1 1 ) 4. Vi kan också beräkna detta genom att se på begränsningsytan som ges av grafen för funktionen f(x, y) ( 1 y x ). Vi får volymen som ( 1 y x ) dxdy 1 1 och vi har då samma integral som ovan. Svar. Volymen är 4 / volymsenheter. 1 y ( 1 y x) dxdy [ 1 y x x ] 1 y dy 1 (1 y ) dy