Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 206-03-2 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad. Ej räknedosa. English version follows after the Swedish. Tentamen bedöms med betyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg (3) krävs minst 7 poäng från uppgifterna 0, varav minst 3 poäng från uppgifterna 8 0. Var och en av dessa nio uppgifter kan ge maimalt 3 poäng. För var och en av uppgifterna 6 kan man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga från kurstillfället vt 206 (duggaresultatlista bifogas). Markera detta genom att skriva ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutan på omslaget. Uppgift 7 kan ersättas med aktivt deltagande vid räkneövningar under kursens gång. För betyg 4 krävs utöver godkänt resultat från 0 minst 50% (2 poäng) från uppgift 4, för betyg 5 minst 75% (8 poäng). Lämna fullständiga lösningar till alla uppgifter, om inte annat anges. Skriv inte mer än en uppgift på varje blad. Numeriska värden kan anges som uttryck där faktorer som π och logaritmer ingår utöver rena siffror om så behövs. Del I. Uppgift 0 räknas för godkänt betyg. Varje uppgift kan ge upp till 3 poäng. För godkänt (betyg 3 5) krävs minst 7 poäng, varav minst 3 poäng på uppgift 8 0. Uppgift 6 kan en och en ersättas av duggapoäng, uppgift 7 genom att ha deltagit i räkneövningar.. Låt f() = 3 2. Låt (a) Vilken är (den största möjliga) definitionsmängden D f för f? (Vi kräver reella tal som värden.) (b) f är strängt väande i sin definitionsmängd och därför inverterbar. Ange ett uttryck för f (). (c) Vad har f för definitionsmängd, D f? f() = sin ( π 2 ( 2)) (4 8)( ). Bestäm följande gränsvärden, om de eisterar. Gränsvärdet kan vara ett tal, + eller. Om ett gränsvärde inte skulle finnas, ange och motivera detta. (Tips: Se formelbladet för gränsvärdet av sin då 0.) (a) lim f() 2 (b) lim f() + (c) lim f() + 2
3. Ekvationen y 2 2y + ln( 2 ) = 0 definierar en kurva i y-planet och innehåller punkten (, y) = (, 2). Bestäm kurvans tangentlutning dy d i denna punkt. 4. Betrakta funktionen f() = e (4 2 )/8, definierad på (, ) (a) Bestäm eventuella lokala etremvärden till f(), för vilka de antas, om de är minima eller maima. (b) Utred ifall f() har något absolut maimum eller minimum, dvs ett största och/eller minsta värde globalt, och vad de i så fall är. 5. Bestäm värdet av integralen e 2 (ln ) 3 d. 6. Bestäm en primitiv funktion F () (dvs F () = f()) till funktionen f() = (2 + )e /2 sådan att F (0) = 0. 7. En rektangulär låda (rätblock) utan lock ska ha volymen 0 m 3. För lådans botten gäller att den ena sidan ska vara dubbelt så lång som den andra. Materialet för lådans botten kostar 0 kronor/m 2, medan materialet för lådans sidor kostar 6 kronor/m 2. Hur mycket kostar materialet till en sådan låda om man väljer måtten (under ovan angivna villkor) så att kostnaden blir minimal? 8. Bestäm en lösning y = f() ( > 0) till differentialekvationen som uppfyller villkoret f() = 3. dy d = 2 + y 9. Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen dy + 4y =. d 0. (a) [p] Bestäm den allmänna lösningen y = y() till den homogena differentialekvationen y + 4y + 29y = 0. (b) [2p] Bestäm lösningen y = y() till begynnelsevärdesproblemet y + 4y + 29y = 29, y(0) =, y (0) = 0. 3
Del II. Följande uppgifter räknas för betyg 4 och 5. Varje uppgift kan ge upp till 6 poäng, totalt 24. Även presentationen bedöms.. Två punkter A och B är skärningspunkterna mellan parabelkurvan y = 2 och en linje y = k + m. Bestäm den punkt P på parabelns båge mellan A och B som gör att arean av triangeln ABP blir maimal. Vilken denna punkt är kommer förstås att bero på punkterna A och B (eller linjeparametrarna k och m). 2. Bestäm om integralen är konvergent, och i så fall, dess värde. 0 ( ) ln + d 3. En kropp i ett yz-koordinatsystem begränsas av planen = 0 och = b > 0 samt av ytan (y 2 + z 2 )( + ) 3 =. (a) Visa att den är rotationssymmetrisk kring -aeln. Bestäm kroppens volym, i koordinatsystemets volymenheter, som en funktion av b, dels (b) genom skivmetoden, dels (c) genom metoden med cylindriska skal. (d) Har volymen något gränsvärde då b? 4. Bestäm den allmänna lösningen (för > /3) till differentialekvationen ( + 4 2 )(3 + ) dy = (2 + 3)y. d Lycka till! /SK 4
The eam is graded 5, 4, 3 or U, where 5 is the highest grade and U is fail. For passed result (grade 3) at least 7 points are needed from problems 0 (Part I), among these at least 3 points from problems 8 0. Each of these 0 problems may yield 3 points. From each of problems 6 you may choose to use the results from the pre-tests (dugga) instead of giving a solution to the eam problems. (The results from the pre-tests are found appended.) In case the pre-test result is used no solution shall be given to the eam problem, and you shall write a D instead of an X in the corresponding square on the envelope. If you have been active in the tutorials during the course, the points for problem seven will be awarded for free. For grade 4 the requirements for grade 3 shall be met, and further at least 50% (2 points) in part II (problems 4). For grade 5 at least 75% (8 points) in part II is required. Give full solutions to all problems. Don t write more than one problem at each page, use only one side of the sheet. Numerical values may be given as epressions including factors like π and logarithms, if needed. Part I. Problems 0 is for passing. Each problem can give up to 3 points. To pass the course (grade 3 5) at least 7 points are required, whereof at least 3 points from problems 8 0. Problems 6 may one by one be substituted for by pre-test grades, problem 7 by participating in tutorials during the course.. Let f() = 3 2. Let (a) Which is the (largest possible) domain D f of f? (We require real values.) (b) f is strictly increasing in its domain, and is therefore invertible. Find an epression for f (). (c) Which is the domain D f of f? f() = sin ( π 2 ( 2)) (4 8)( ). Find the following limits, if they eist. The limit may be a number, + or. If a limit should not eist, state and motivate this. (Hint: See cheat sheet for the limit of sin 0.) (a) lim f() 2 (b) lim f() + (c) lim f() + as 3. The equation y 2 2y + ln( 2 ) = 0 defines a curve in the y plane which contains the point (, y) = (, 2). Find the tangent slope dy d of the curve in this point. 4. The function f() = e (4 2 )/8 is defined in (, ) (a) Find the local etreme values of f(), if they eist, and for which they are taken, and for each, find if it is a local minimum or maimum. (b) Eamine if f() has any absolute maimum or minimum, that is, a greatest and/or least value globally, and in that case, their values. 5
5. Find the value of the integral e 2 (ln ) 3 d. 6. Find a primitive function (anti-derivative) F () (i.e. F () = f()) to the function f() = (2 + )e /2 such that F (0) = 0. 7. A rectangular bo without a top lid shall have a volume of 0 m 3. For the base of the bo one side shall have twice the length of the other. The material for the rectangular bottom costs 0 kronor/m 2, while the material for the sides costs 6 kronor/m 2. How much does the material for a bo cost, if we choose the dimensions (under the conditions given) so that the cost is minimized=? 8. Find a solution y = f() ( > 0) of the differential equation which fulfills the condition f() = 3. dy d = 2 + y 9. Find the general solution of the differential equation dy + 4y =. d 0. (a) [p] Find the general solution y = y() of the homogeneous differential equation y + 4y + 29y = 0. (b) [2p] Find the solution y = y() of the initial value problem y + 4y + 29y = 29, y(0) =, y (0) = 0. 6
Part II. The following problems are for grades 4 and 5. Each problem yields up to 6 points. The assessment also includes the presentation.. Two points A and B are the intersection between the parabola y = 2 and a line y = k + m. Find the point P on the arc of the parabola between A and B which maimizes the area of the triangle ABP. This point will of course depend on the points A and B. 2. Find whether the integral is convergent or not. If so, find its value. 0 ( ) ln + d 3. A solid in the yz coordinate system is bounded by the planes = 0 and = b > 0 the surface (y 2 + z 2 )( + ) 3 =. (a) Show that the solid is a solid of revolution around the ais. Find the volume, in the volume units of the coordinate system, as a function of b, (b) by cross sections, and (c) by cylindrical shells. (d) Does the volume have a limit as b? Which? 4. Find the general solution (for > /3) of the differential equationen ( + 4 2 )(3 + ) dy = (2 + 3)y. d Good luck! /SK 7