SF166 Flervariabelanalys entamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag 1) Låt fx, y) = xy lnx + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten 1, ) som störst, och hur stor är riktningsderivatan i denna riktning? Finns det någon riktning i vilken riktningsderivatan till f i punkten 1, ) är lika med noll? Ange i sådana fall denna/dessa riktningar. Lösning 1). Riktningsderivatan av en funktion f i en punkt P är störst i gradienten grad fp ):s riktning, och detta största värde ges av normen grad fp ). Riktningsderivatan är noll i rikting längs tangentlinjen till f:s nivåkurva genom punkten P, dvs ortogonalt mot grad fp ). Vi har att så alltså är grad f1, ) = grad fx, y) = f x, f y ) = 1 5, 1 4 ) 9 = 5 5, 1 ) 5 y 1 x + y, x Riktningar vinkelrätt mot gradienten ges av ± 1, 9). y ) x + y och grad f1, ) = 1 5 8. Svar 1): Maximal riktningsderivata av f i punkten 1, ) är 1 5 8 och fås i riktning 9, 1). Riktningsderivatan av f i 1, ) är noll i riktningarna ± 1, 9). ) Låt vara triangeln med hörn i, ), 1, ) och, ). Skriv dubbelintegralen fx, y) dxdy som en upprepad enkelintegral på två olika sätt, dvs med olika integrationsordning. Beräkna också integralen i det fall då fx, y) = y. Lösning ). Rita figur, ur den framgår omedelbart att området begränsas av de tre linjerna y =, y = x och y = x x = 1 y + 1). Vid integration först i y-led erhålls 1 x x fx, y) dxdy = fx, y) dy dx + fx, y) dy dx. Integration först med avseende på x ger fx, y) dxdy = y +1 y 1 x fx, y) dx dy.
Vi beräknar speciellt att y dxdy = y +1 y y dx dy = y[x] y +1 y dy = [ ] y y y dy = y3 = 6 3. Svar ): fx, y) dxdy = 1 x fx, y) dy dx+ x fx, y) dy dx = 1 x och y dxdy =. 3 3) Visa först att funktionen fx, y) = e x cos y + xy + x 3 har en stationär punkt i origo. Bestäm sedan den stationära punktens karaktär dvs avgör om den är ett lokalt maximum, ett lokalt minimum eller en sadelpunkt). Lösning 3). fx, y) = e x cos y + xy + x 3 så f, ) = 1. Vi beräknarförstaderivatorna f xx, y) = xe x + y + 3x = f x, ) =, f yx, y) = sin y + x = f y, ) =. Eftersom f x, ) = f y, ) = är origo en stationär punkt per definition. Vi beräkar vidare andraderivatorna f xxx, y) = e x + 4x e x + 6x = f xx, ) =, f xyx, y) = 1 = f xy, ) = 1, f yyy, y) = cos y = f yy, ) =. et följer att andra ordningens aylorpolynom P i origo ges av P x, y) = f, ) + f x, )x + f y, )y + 1 f xx, )x + f xy, )xy + f yy, )y ) = 1 + 1 x + xy + y ) = 1 + x + xy + y = 1 + x + y ) 3 + 4 y. et följer att origo är ett lokalt minimum eftersom andragradstermen är positivt definit. Svar 3): å f x, ) = f y, ) = är origo en stationär punkt, och andra ordningens aylorutveckling visar också att det är ett lokalt minimum. y +1 y fx, y) dx dy 4) För en viss mängd gas gäller att p = p, V ) = 8, där p betecknar tryck [kpa], V temperatur [] och V volym [m 3 ]. Använd linjär approximation för att beskriva hur trycket förändras för små variationer i temperatur och volym kring värdena = 3 och V =. Ange speciellt med hjälp av denna approximation ett ungefärligt värde på tryckförändringen som uppstår då tempertaturen ökar med grader samtidigt som volymen ökar med 5 liter dvs 5 1 3 m 3 ).
Lösning 4). en sökta linjära approximationen ges av P h, k) = P 3 + h, + k) P 3, ) P P 3, )h + 3, )k. V Vi har att P = 8 P P så 3, ) = 4, och = 8 så P 3, ) = 6. Alltså V V V V är P h, k) = P 3 + h, + k) P 3, ) 4h 6k. Speciellt fås med h = och k = 5 1 3 P, 5 1 3 ) 4 6 5 1 3 = 8 3 = 5. 3 Svar 4): P h, k) = P 3 + h, + k) P 3, ) 4h 6k [kpa]. Speciellt är P, 5 1 3 ) 5[kPa]. 5) Beräkna trippelintegralen z dxdydz där är den kropp som begränsas av planet z = 3 och konen z = 4 x + y. Lösning 5). Integrationsområdet är en solid rät cirkulär kon med basytan i planet z = 3 och spets på z-axeln i punkten,, 4). är planet z = 3 och konen z = 4 x + y skär varandra gäller att 3 = 4 x + y x + y = 1, dvs integrationsområdets projektion på xy-planet är cirkelskivan = {x, y) x + y 1}.Vi får 4 x +y [ ] z 4 x +y z dxdydz = z dz dxdy = dxdy = 1 4 ) x + y 3 dxdy = 1 {Vi byter till polära koordinater} = 1 π 1 Svar 5): 13 1 π 3 7 8r + r )r dr dv = 13 1 π 3 7 8 ) x + y + x + y dxdy 6) Vektorfältet F = P, Q) är definierat i hela planet R, förutom i origo, av P = y x + y, Q = x, x, y), ). x + y a) Bestäm kurvintegralen γ 1 F dr då γ 1 är en cirkel med radie 1, medelpunkt i, ) och orienterad moturs. p)
4 γ F dr = b) Bestäm kurvintegralen γ F dr då γ är en cirkel med radie 1, medelpunkt i origo och orienterad moturs. p) Lösning 6). a) Fältet F = P, Q) är definierat och kontinuerligt deriverbart i ett område innehållande den cirkelskiva C 1 som begränsas av γ 1 origo ligger ej innanför γ 1 ). Vi kan använda Greens formel och får F dr = γ 1 eftersom Q x = y x x +y ) = P y. C 1 Q x P y dxdy = b) Eftersom γ är randen till ett område som innehåller origo där fältet inte är definierat kan vi inte använda Greens formel. Vi parameteriserar γ med x, y) = cos t, sin t), t π vilket ger dx/dt, dy/dt) = sin t, cos t). Vi får, eftersom x + y = cos t + sin t = 1 på γ, att π sin t cos t + sin t, cos t cos t + sin ) sin t, cos t) dt = t Svar 6): a) γ 1 F dr = och b) γ F dr = π π cos t+sin t dt = π 7) a) Beräkna med hjälp av Gauss sats ivergenssatsen) flödet av vektorfältet Fx, y, z) = y, x, z 1) ut ur den kropp som begränsas av ytorna z = 1 x y och z =. p) b) Beräkna den del av flödet som går igenom den buktiga delen av begräsningsytan till. p) Lösning 7). a) Gauss sats ger att flödet F N ds fås som F N ds = div F dxdydz = {div F = x y ) + y x ) + z 1) = } z 1 x y = dxdydz = dz dxdy = 1 x y ) dxdy x +y 1 x +y 1 {Vi byter till polära kooridnater} = π 1 1 r )r dr dv = π. b) en plana bottenytan är cirkelskivan = {x, y, z) x + y 1, z = }. Vi beräknar den del av flödet ut ur som går igenom. Eftersom flödesriktningen skall vara ut ur skall förses med enhetsnormal,, 1). F N ds = y, x, z 1),, 1)dS = {z = } = dxdy = π.
Eftersom nettoflödet ut ur är lika med flödet ut genom den plana delytan, följer det att nettoflödet ut genom den buktiga delen =. Svar 7): a) π ; b). 5 8) Undersök om funktionen fx, y) = 1 + 3x x y 1 + x antar något största respektive minsta värde på det oändliga bandet {x, y) : < x <, 1 y 1}. Ange i förekommande fall största respektive minsta värde och i vilka punkter dessa antas. Lösning 8). Vi konstaterar först att f, y) = 1 för alla 1 y 1, och att om x är fx, y) > 1 ty fx, y) = 1 + 3x x y = 1 + y ) > 1 x, y < 1. 1 + x 1 + x Alltså är f, y) = 1 minsta värde. Vi har också att x fx, y) = 1 + y ) 1 + x 1 + x Eftersom också x 1 + x = 1 + lim fx, ) = lim 1 + 3x x ± x ± 1 + x = 3 1 1 1 + x ) < 3. gäller att f antar värden godtyckligt nära 3 men är < 3 på hela området största värde saknas alltså. Svar 8): Funktionen f har ett minsta värde 1 på bandet, som antas i alla punkter, y) på x-axeln, 1 y 1, dvs f min = f, y) = 1. Funktionen saknar största värde på bandet. 9) Beräkna volymen av den parallellepiped som ges av olikheterna 1 x + y z 1 1 x + y + 3z 1. 1 x + y + z 1
6 Lösning 9). Låt P vara den angivna parallellepipeden. Inför nya koordinater u, v, w) = x, y, z) genom u = x + y z : v = x + y + 3z. w = x + y + z Låt Q = P ), som blir ett rätblock i u, v, w)-rummet, 1 u, v, w 1. VolymenP ) = dxdydz = {variabelbyte} = dx, y, z) du, v, w) dudvdw. P Mellan Jacobideterminanterna för och och den inversa avbildningen 1 råder sambandet dx, y, z) du, v, w) = 1. du,v,w) Vi beräknar du,v,w) = 4. Alltså dx,y,z) VolymenP ) = 1 4 dudvdw = 1 4 Svar 9): volymsenheter Q dx,y,z) 1 1 1 1 1 1 Q du dv dw = 4 =