Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB3 Tid: 28-5-29 kl. 8-2 Lokal: TER2 Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 9. och.4 tel 73-84 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling, OH-film, sax och följande tabeller: Svärdström: Appendix till Signaler och system, Söderkvist: Formler och tabeller, Beta, Physics Handbook Betygsskala: 25-35 poäng betyg 3 36-46 poäng betyg 4 47-6 poäng betyg 5 Betygslista: Anslås senast 3/6
Ledning: Jag hoppas att det inte är om tid på tentan, men jag är inte säker. Räkna därför de uppgifter ni känner er säkra på först! Lycka till! 2
Kontinuerlig faltning (p) a) Bestäm faltningen [h g](t) = där h(t) och g(t) ges av h(t λ) g(λ) dλ. h(t) g(t).5.5 t.5 2.5 t Svaret ska ges både som matematiskt uttryck och noggrann figur. (6p) b) Beräkna faltningen via fourierdomänen. Använd medskickad formelsamling och en trigonometrisk formel. (4p) 2 Två små bevis (6p) a) Visa att faltningsteoremet gäller för z-transformen, dvs att y[n] = k= Ledning: Börja gärna så här. Y (z) = n= x[k]h[n k] Y (z) =X(z) H(z) y[n] z n = n= b) Visa derivatateoremet för fouriertransformen, dvs d dt x(t) =F [j2πfx(f)] Ledning: Börja gärna så här. d dt x(t) = d dt } X(f)e j2πft df { (... ) z n =... =... 3
3 Tidsdiskret system (9p) Ett tidsdiskret LTI-system ges av nedanstående pol-nollställediagram Im z Re z a) Bestäm överföringsfunktionen H(z). (2p) b) Bestäm överföringsfunktionen H Ω (Ω) = H(e jω ). (Svaret behöver inte förenklas.) (p) c) Skissa amplitudspektrum H Ω (Ω) i intervallet [,π] och ange vilken typ av filter detta är (LP, HP, BP eller BS). Minst 3 exakta punkter ska ingå i kurvan. (2p) d) Beräkna differensekvationen (ett uttryck bestående av x[n?] och y[n?]). (2p) e) Utgående från differensekvationen, bestäm värdena på a, b, c, d, e, f, och g i kopplingsschemat nedan. (2p) x(n) D D D c d Σ y(n) b a g f e D D D 4
4 Fourierserie (8p) Den periodiska signalen x(t) är illustrerad i figuren nedan. x(t) To= t Se figurer nedan. Signalen x(t) passerar ett lågpass-filter h(t) med fouriertransform H(ω) och gränsvinkelfrekvens ω g. Utsignalen betecknas y(t). H( ω) x(t) h(t) y(t) ω ω g a) Bestäm A, A n, och B n i fourierserieutvecklingen nedan, dvs x(t) =A + Ledning: A n cos (nω t)+ B n sin (nω t). (5p) n= n= A = T /2 x(t) dt T T /2 A n = 2 T /2 x(t)cos(nω t) dt T T /2 B n = 2 T /2 x(t)sin(nω t) dt T ω =2π/T T /2 5
b), c), d) Bestäm lämpliga gränsvinkelfrekvenser ω g på H(ω) om man vill att utsignalen y(t) ska se ut enligt figur b), c) eller d) nedan. (3p) b).5.5 c).5.5 d).5.5 6
5 Binär bildbehandling (7p) a) Rita av objektet ovan och utför Konnektivitetsbevarande krympning ggr ( 4 faser) på objektet. Nedan syns matchningskärnorna för fas. Pixlarna ska markeras med nummer på den fas de försvinner i. (2p) - - - - - - - - - - - - - - b) Utför Icke konnektivitetsbevarande krympning gång på objektet. Använd d (8) -strukturelementet nedan. (2p) c) Nedan följer fem påstående. Passa ihop tre av dem med A) Konnektivitetsbevarande krympning,b)icke konnektivitetsbevarande krympning,c)konnektivitetsbevarande krympning till skelett (tunning). (Två stycken påståenden passar varken ihop med A), B) eller C).) (3p) I) Denna utförd flera gånger i rad tills ingen förändring sker ger en enda punkt på objektets kant. II) Denna utförd flera gånger i rad tills ingen förändring sker ger en enda punkt centralt i objektet. III) Denna utförd flera gånger i rad tills ingen förändring sker ger pixelbreda sammanhängande linjer. IV) Denna följt av expansion kan åstadkomma öppning mellan tangerande objekt i bilden. V) Denna följt av expansion fyller igen sprickor. 7
6 Sampling och rekonstruktion (9p) Se nedanstående inspelningsutrustning. (Jämfört med en verklig är den förenklad eftersom ideala filter ingår.) x(t) h(t) sampling y(t) y[n] lagring h(t) z(t) mikrofon analogt LP-filter rekonstruktionsfilter högtalare Insignalen x(t) har en fouriertransform X(f) = F[x(t)] enligt figuren nedan. Frekvensinnehållet i intervallet [-2,2] khz symboliserar önskvärt ljud. Diracpulserna orsakas av en störande signal f(t). X(f) A 2 3 f [khz] Det analoga lågpass-filtret h(t) är ett idealt rektangelfilter som har gränsfrekvensen 2kHz. Den samplade signalen noteras y(t) och motsvarande diskreta sampel y[n] lagras i en dator. För att sedan kunna spela upp det lagrade datat användes ett rekonstruktionsfilter som är identiskt med analoga lågpass-filtret h(t) T, T =/f s. a) Vilken är lägsta möjliga samplingsfrekvens f s? (p) b) Vilken är störsignalen f(t) vars fouriertransform är diracpulserna på 3 och -3 khz? (p) c) Skissa X(f) H(f), Y (f) och Z(f) =Y (f) H(f). (2p) d) Antag att ett sampel upptar utrymmet 2 byte och att inspelningen varar en halvtimma. Hur många byte krävs då för att lagra hela inspelningen? (Vi har inte stereo och ingen kompression.) (2p) e) Antag att filtret h(t) kopplas bort. Detta ger en störsignal på z(t). Vilken? Motivera med resonemang i fourierdomänen! (3p) 8
7 Bildfråga (p) 25 2 5 5 Ovan visas en originalbild. Nedan visas resultatet av faltning med 6 olika faltningskärnor på originalbilden. a) b) 25 25 2 2 5 5 5 5 c) d) 25 2 8 6 4 5 2 2 4 5 6 8 9
e) f) 8 6 4 2 2 4 6 8 6 4 2 2 4 6 De olika faltningskärnorna är A= 2 2 4 2 2 /6, B= - 2-2 - /8, C= - -2-2 /8, D= E = A A A, F = B B. a) Visa hur faltningskärnorna A A och F = B B ser ut efter ihopfaltning. (2p) b) Para ihop rätt bild med rätt faltningskärna. För att få poäng måste du även ge en kort korrekt motivation till dina val. (9p)