u(t) = u o sin(ωt) y(t) = y o sin(ωt + φ) Y (iω) = G(iω)U(iω)

Ã Ô Ø Ð ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ØØ Ö Ã Ô Ø Ð Ø ÐÐ ÓÑÔ Ò Ø ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ Ó Ö Ø Ñ Ô Ø ÒØ Òº Á Ô Ø Ð ¾ ÙØ Ö Ý Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÙÖ Ñ Ò ÖÒ Ú Ø ÓÒ Ö Ò Ø Ö Ñ ÝÒ Ñ ÑÓ ÐÐ Öº Î Ö Ó ÒØ Ø ØØ ÑÓ ÐÐÔ Ö Ñ ØÖ ÖÒ ÝÒ Ñ ÑÓ ÐÐ ÖÒ Ú Ö Ø Ò º Ç Ø Ö Ö Ø ÒØ ÐÐ Ø Ó Ñ Ò Ñ Ø Ö Ö ÒÓÑ Ö Ú ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö ØØ Ö Ñ Ú ØØ Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ø ÐÐ Ò ÑÓ Ðк Ø Ö Ó Ú ÒÐ Ø ØØ Ø ÒØ Ö ØØ Ø Ö Ñ Ú ØØ Ú Ø ÓÒ Ö ÙØ Ò ØØ Ñ Ò Ð Ø Ñ Ø Ý Ò ÑÓ ÐÐ ÖÒ ÑÔ Ö Ó ÖÚ Ø ÓÒ Öº ÒÒ Ø Ò ÐÐ Ð ¹ ÓÜ ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ô Ú Ò Ð µº Á ØØ Ú Ò ØØ ÒØ Ö Ú ØØ Ò¹ Ó ÙØ Ò Ð Ò ÖÒ Ø Ý Ø Ñ ÓÑ Ú Ú ÐÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÑØ º Î ÓÑÑ Ö Ó ØØ ÒØ ØØ Ú Ò ÔÚ Ö Ý Ø Ñ Ø ÒÓÑ ØØ Ö Ò Ö Ò Ö Ò Ò Ð Ò uµº Ø ÒÒ ØÑ Ò ØÓÒ ØÖ ÐÐ ØØ Ò Ú Ö Ú ÒØÖ ÅÓ ÐÐÚ Ð Ö Ò Ú Ý Ð ÑÓ ÐÐ Öº ÒØ ØØ Ò ÑÓ ÐÐ Ø Ø Ö Ñ Ñ Ý Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò º Ö ØØ Ú ÙÒÒ Ð Ø Ô ÑÓ ÐÐ Ò Ö Ñ Ò Ñ Ö ÑÓ ÐÐ Ò Ø Ò Ñ Ø Ú Ö Ð Ý Ø Ñ Øº ÒÓÑ ØØ Ö ÑÑ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ô ÑÓ ÐÐ Ò ÓÑ Ô Ý Ø Ñ Ø Ò Ñ Ò Ø Ø ØØ ÑÓ¹ ÐÐ Ò Ö ØØ Ö ÑÐ Ø Ö ÙÐØ Øº Á ÔÖ Ò Ô Ñ Ø ÐÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ô ÒØØ ØØ Ñ Ö Ñ Ø ÖÒ Ø Ý Ø Ñ ÐÐ Ö Ð Ú Ý Ø Ñµ ÓÑ ÑÓ ÐÐ Ò Ú Ö Ö Ú Ö ØØ Ñ Ò ÙÒÒ Ð Ø Ô ÑÓ ÐÐ Òº Î Ú ÐÐ Ó ÔÓÒ ¹ Ø Ö ØØ Ø ØÖ Ø Ñ Ò Ò ÒØ Ö Ú Ð Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ø Ñ Ò Ò Ö Ö ØØ Ð Ö ÐÐ Ö Ð Ö Ò ÑÓ Ðк ÁÒÓÑ Ý Ø ÑØ Ò Ò Ó Ò¹ ÖÒ ÓÑÖ Ò ÒÒ Ö ÑÓ ÐÐÚ Ð Ö Ò ØØ ÙÒ Ö ÓÑ ÑÓ ÐÐ Ò Ö Ø ÐÐÖ Ð Ø Ö Ö ØØ Ý Ø º Ö Ý¹ ÓÜ ÑÓ ÐÐ Ö Ò º ÒØ ØØ Ò ÑÓ ÐÐ Ø Ø Ö Ñ Ñ Ý Ð ÑÓ¹ ÐÐ Ö Ò Ñ Ò ØØ ØØ ÒØ Ð Ô Ö Ñ Ø ÖÚÖ Ò ÒØ Ö ØØ ØÑÑ Ø Ó¹ Ö Ø Ø º Ú Ø ÑØ Ø ÖÒ ØØ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ ÑÓ ÐÐ Ò ½

ÙÒÒ ÓÔØ Ñ Ö Ô ØØ ØØ Ñ Ò Ø Ö Ö Ñ Ô Ö Ñ ØÖ Ö ÓÑ ÚÐ ÓÑ Ñ Ð Ø Ò Ö Ú Ø ÖÒ Ø Ú Ö Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ Øº ÒÒ Ø ¹ Ò ÐÐÐ Ö Ý¹ ÓÜ ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÒÚÒ Ö ÙÒ Ô ÓÑ Ý Ø Ñ Ø Ö ØØ Ø Ö Ñ ÑÓ ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ Ò Ó Ø Ö ØØ ØØ ÚÖ Ò Ô Ó Ò ÑÓ¹ ÐÐÔ Ö Ñ ØÖ Öº ÀÖ ÒÒ ØØ ÔÓØ ÒØ ÐÐØ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÑÓ ÐÐ Ñ ÑÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ò Ò ÒÔ ÚÐ Ø ÐÐ ÒØÐ ÑØ Ø ØÖÓØ ØØ ÑÓ¹ ÐÐ Ò ÒØ Ö ÓÖÖ Øº ØØ ÒÓÑ Ò Ö Ò ÓÑ ÓÚ Ö ØØ Ò º Ð ¹ ÓÜ ÑÓ ÐÐ Ö Ò º Á Ð Ò Ò Ñ Ò ÚÐ Ø Ö ÙÒ Ô Ö ÓÑ ÙÖ ØØ Ý Ø Ñ ÑÓ ÐÐ Ö º ØØ ÐÐ Ö ÒØ Ñ Ò Ø ÓÑ Ý Ø Ñ Ø Ö ØÓ¹ Ø Ò Ð º Ò Ñ Ð Ø Ö ØØ ØØ Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ò Ö ÐÐ ÑÓ¹ ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ Öº ØØ ØÝÔ Ø Ü ÑÔ Ð Ö ØØ Ò Ð Ò Ö Ö Ò Ú Ø ÓÒ Ú Ø ÓÒ º µµ Ò ØØ Ó ØØ ÑÓ ÐÐ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ö ÒÔ ØØ ÑÓ¹ ÐÐ Ò ÙØ Ò Ð Ó Ý Ø Ñ Ø ÙØ Ò Ð Ò Ú Ö Ð ÙØ Ò Ð Òµ Ð Ö Ð ÓÑ Ñ Ð Ø ØÝÔ Ø ÒÚÒ ØØ Ñ Ò Ø Ú Ö Ø Ö Ø Ö Ùѵº ÒÒ Ò¹ Ø Ö ÑÒ ÐÐ ØØÖ Ø Ú Ö ØØ ÑÓ ÐÐ Ö ÓÑÔÐ Ü Ý Ø Ñ Ö Ö ÙÒ Ô Ö ÓÑ ÝÒ Ñ Ñ Ò Ò ÒÒ º Ò ÑÓ ÐÐ Ø ÐØ Ò¹ ÐØ Ö Ñ Ö Ø Ô Ò Ø ÑØÒ Ò Ö ÖÒ Ý Ø Ñ Ø Ø ÒÒ Ó Ò Ð Ð Ñ Ð ÔÖÓ Ð Ñº Î Ò Ö ÓÑ ÑØ Ø ÒÒ ÐÐ Ö Ø ÖÒ Ò Ö Ó ÖÙ Î Ð Ò ÑÓ ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ Ó ÑÓ ÐÐÓÖ Ò Ò ÚÐ ÀÙÖ ÑÓ ÐÐ Ò Ú Ð Ö Ì Ò Ò ØØ ÒÚÒ ÑØ Ø Ö ØØ Ð Ö Ö ÑÓ ÐÐ Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÒØ ¹ Ö Ò ÐÐ Ö ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ó Ö ÑÝ Ø ÚÐ ÙØÚ Ð Ô ÐÐØ Ö Ð Ò Ö Ý Ø Ñº Î Ò Ò Ü ÑÔ Ð Ô Ò Ö Ò Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÓÑ Ò ÒÚÒ Ö ØØ ØØ ÑÓ ÐÐ Öº Ú ÐÙØÒ Ò Ú Ú Ò Ö Ü ÑÔ Ð Ô ÙÖ Ô Ö Ñ ØÖ Ö ÝÒ Ñ ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ð Ö Ö Ñ Ñ Ò Ø Ú Ö ØÑ ØÓ Òº Ö Ñ ØÐÐÒ Ò ¹ Ò Ö Ô ÒØ Ø ØØ ÐØ Ò ÙØ Ò Ò Ö Ö ÓÑ Ò Ö Ü ÑÔ Ð ÖÒ ØØ ÑÝ Ø ÓÑ ØØ Ò ÓÑÖ Ú Ñ ØÓ Öº º½ Á ¹Ô Ö Ñ ØÖ Ñ ØÓ Ö Î Ö Ú Ö Ö Ò Ö Ñ ØÓ Ö ÓÑ ÒØ Ö Ø Ö ÚÖ Ò Ô Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ Ò ÑÓ ÐÐ ÙØ Ò ØÐÐ Ø Ö Ò ÙÖÚ ÐÐ Ö Ö Ñ ÓÑ Ö ÙÐØ Ø Ú ØØ ÜÔ Ö Ñ Òغ ØÝÔ Ö Ú ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö ÑÝ Ø Ú ÒÐ Ó Ö Ó Ø ÚÖ ÙÐÐ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÑ ØØ Ý Ø Ñº º½º½ ÁÑÔÙÐ Ú Ö Ó Ø Ú Ö ÇÑ Ò Ò Ð Ò Ø ÐÐ ØØ Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ø ÄÌÁ Ý Ø Ñ Ö Ò ÑÔÙÐ ÐØ ÙÒ Ø ÓÒµ ÙØ Ò Ð Ò ÒÐ Ø º µ Ú y(t) = t 0 g(τ)δ(t τ)dτ = g(t) º½µ ¾

Ö g(t) = L 1 (G(s)) Ø Ú ÐÐ Ò ÒÚ Ö Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ø ÐÐ Ú Ö¹ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Òº ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐØ Ò g(t) ØÑÑ ÓÑ Ò Ò Ð Ò u(t) Ö Ò ÓÖØÚ Ö ÔÙÐ º ÖÒ ÑÔÙÐ Ú Ö Ø Ò Ú Ò Ú Ö Ø Ú Ý Ø Ñ ÝÒ Ñ ¹ Òº ÒÒ Ò ÓÒ Ø Ö Ö Ò Ò ÍÒ Ö ÙÖ Ò Ø Ö Ý Ø Ñ Ø À Ö Ý¹ Ø Ñ Ø Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ö º Ã Ò Ú ÖÒ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø ØØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ö ¹ Ú Ö g(t) Ò Ú Ó Ö Ò Ý Ø Ñ Ø Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÒÓÑ Ñ Ò Ø G(s) = L(g(t))º Ø Ò Ú ÒÐ Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø Ö ØØ Ò Ò Ð Ö ÝÒ Ñ Ò Ó ØØ Ý Ø Ñ Ö ØØ Ö ØØ Ø Ú Öº ØØ Ö ÒÓÑ ØØ Ò Ò Ð Ò Ò Ö ÖÒ ØØ ÚÖ Ø ÐÐ ØØ ÒÒ Ø Ó ÙØ Ò Ð Ò Ú Ö Ô Ö ØÖ Ö º ØØ ÐÐ Ö ØØ Ø Ú Ö ÜÔ Ö Ñ Òغ ÖÒ Ø Ú Ö Ø Ò Ñ Ò Ò ÙÔÔ ØØÒ Ò ÓÑ Ø Ö Ö Ò Ò ÓÑ Ò Ö Ò Ø ÓÒ Ø ÒØ Ú ÒØÙ ÐÐ Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ö ÑØ Ø Ø Ö ØÖ Ò Ò º ÑÔÐ ØÙ Ò Ô Ø Ú Ö Ø Ö Ò Ú Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ÔÖ Ò Ô ÐÐ Ö ØØ Ù Ø ÖÖ ÑÔÐ ØÙ ØÓ ÐØØ Ö Ð Ö Ø ØØ ÙÖ Ð Ø Ú Ö Ø ÖÒ Ø ÖÒ Ò Ö Ó ÑØ ÖÙ º Ò Ö Ò Ø Ö ÔÖÓ Ò Ñ Ö Ñ ÑÔÐ ØÙ Ó Ò ÚÖ ÓÐ Ò Ö Ø Ö Ò Ö ØÖ º ÙØÓÑ Ö Ø Ö Ú Ö Ð Ý Ø Ñ ÒØ ÐÐØ Ø ÐÐØ Ø ØØ ÔÚ Ö ÔÖÓ Ò ÙÖ ÑÝ Ø ÓÑ Ð Øº º½º¾ Ö Ú Ò Ò ÐÝ ØØ Ð Ò ÖØ Ý Ø Ñ Ö ÒØÝ Ø ØÑØ Ú ØØ Ö Ú Ò Ú Ö G(iω)º ÖÒ Ã Ô º¾ Ú Ø Ú ØØ ÓÑ Ò Ò Ð Ò Ø ÐÐ ØØ Ð Ò ÖØ Ý Ø Ñ Ñ Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ G(s) Ö u(t) = u o sin(ωt) Ð Ö ÙØ Ò Ð Ò Ú ÒØÙ ÐÐ ØÖ Ò ÒØ Ö Ö ØØ Ùص y(t) = y o sin(ωt + φ) Ö y o = u o G(iω) Ó φ = arg G(iω)º ÒÓÑ ØØ Ò Ò ÒÙ Ò Ð Ñ Ò Ú Ö Ú Ò ω 1 Ó ÑÔÐ ØÙ u o Ó ÑØ ÙÔÔ ÙØ Ò Ð Ò ÑÔÐ ØÙ Ó ÚÖ Ò Ò Ò Ú ÐÐØ ØÑÑ G(iω 1 ) Ó Ö G(iω 1 ) Ú Ò ÔÙÒ Ø ØØ Ó Ö Ñº ÒÓÑ ØØ ÙÔÔÖ Ô ØØ Ö Ö Ò Ö ÓÐ Ö Ú Ò Ö Ò Ñ Ò Ò ÙÔÔ ØØÒ Ò ÓÑ Ý Ø Ñ Ø Ö Ú Ò Ú Öº Å ØÓ Ò ÐÐ Ö Ú Ò Ò ÐÝ Ó Ö Ò ÑÝ Ø Ú ÒÐ Ñ ØÓ Ö ØØ Ö Ô ÝÒ Ñ Ò Ö ØØ Ó ÒØ Ý Ø Ñº Ò Ò Ð Ö ØØ Ñ Ò ÒØ ÐÐØ Ö ÐÐ Ö Ò Ø Ö ØØ Ý Ø Ñ ÒÓÑ ØØ ÔÔÐ Ö Ò ÒÙ Ò Ðº ÙØÓÑ ÓÑ Ñ Ò Ú ÐÐ ØÑÑ Ö Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö ÑÒ Ö Ú Ò Ö Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø Ø ÐÒ Ø º º½º ËÔ ØÖ Ð Ò ÐÝ Ö ØØ Ð Ò ÖØ ÝÒ Ñ Ø Ý Ø Ñ ÐÐ Ö ØØ Y (s) = G(s)U(s) ÒÓÑ ØØ Ö ØØ s Ñ iω Ö Ú Ð Ò Ñ Ò Ñ ÐÐ Ò Ò¹ Ó ÙØ Ò Ð ÖÒ ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ö Y (iω) = G(iω)U(iω)

ÇÑ Ú ÙÒ ØÑÑ Ò Ð ÖÒ ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ ÙÐÐ Ö Ú Ò Ù Ø ÓÒ Ò ÙÒÒ ØÑÑ ÓÑ G(iω) = Y (iω) U(iω) Á ÔÖ Ø Ò Ö Ú Ò Ø Ø ÐÐ Ò Ø ÐÐ ØØ Ò Ð Ø ÒØ Ð ÑÔÐ ÚÖ Ò Ú Ò¹ Ó ÙØ Ò Ð Ò Ú Ð Ø Ö Ò Ø Ö Ø ÓÙÖ Ö Ö Ò Ì µ ÒÚÒ Y TDF (iω) = y(k)e iωk Î Ò ÓÖÑ ØØÒ Ò Ò U TDF (iω) = y(k)e iωk Ĝ(iω) = Y TDF(iω) U TDF (iω) º¾µ ÌÝÔ Ø ÐÐ Ö ØØ ÓÑ Ò Ò Ð Ò ÒÒ ÐÐ Ö Ö Ò ÒÙ Ö Ú Ò Ö ÓÑÑ Ö Øع Ò Ò Ò Ú Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò ØØ Ð ÒÓ Ö Ò Ú Ö Ú Ò Öº Ö Ò Ö Ö Ú Ò Ö Ð Ö ØØÒ Ò Ò Ò ÖÙ Ö µº Ö ØØ Ñ Ò Ö ¹ Ø Ò Ò Ñ Ò Ô ÓÑ ÔÖÓ Ø Ø ØÖ Ò ÓÖÑØ ÓÖ µ Ð ÙÔÔ Ø Ö Ò ØØ ÒØ Ð Ñ ÒØ Ó Ö Ò Ò Ø Ö Ø ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ö Ú Ö Ñ ÒØ Ó Ò Ø Ñ ÐÚÖ Ø Ó ÒÚÒ ØØÒ Ò Ò º¾µº ØØ Ö Ö Ò Ö Ù¹ Ö Ö Ö Ø Ò Ñ Ò Ø ÐÐ ÔÖ Ø Ú Ò Ö ÑÖ Ö Ú Ò ÙÔÔÐ Ò Ò Ú Ò ÚÖ Ø ØØ Ø Ü Ö Ð ØÚ ÒÖÐ Ò Ö Ú Ò ØÓÔÔ Öµº º¾ È Ö Ñ Ø Ö ØØÒ Ò Ð Ò Ö Ö Ö ÓÒ ÑÓ¹ ÐÐ Ö Î ØÙ Ö Ð Ò ÑÓ ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ ŷ(k) = ϕ 1 θ 1 + ϕ 2 θ 2 +... + ϕ n θ n = ϕ T (k)θ º µ Ö ŷ(k) Ö ÑÓ ÐÐ Ò ÙØ Ò Ð ϕ(k) = [ϕ 1 ϕ 2... ϕ n ] T Ö Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÓÐÙÑÒÚ ØÓÖ Ñ Ò ØÓÖ Ø Ö Ö Ö ÓÖÚ ØÓÖÒ Ó θ = [θ 1 θ 2... θ n ] T Ö Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÓÐÙÑÒÚ ØÓÖ Ñ Ó Ò Ô Ö Ñ ØÖ Öº Å ØÖ ØÖ Ò ÔÓÒ Ø Ø Ò Ñ T º Ö ÙÑ ÒØ Ø k = 1, 2, 3... Ø Ò Ö Ø Ò Üº Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑ ØÙ Ö Ö ØØ ÖÒ ØØ ÒØ Ð ÑØÒ Ò Ö ÖÒ ØØ Ý¹ Ø Ñ ØØ Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ Ò Ó Ò Ô Ö Ñ Ø ÖÚ ØÓÖÒ θº ÖÙÒ Ò Ö ØØ ÒÔ Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ ØØ y ŷ Ð Ö Ð Ø Ò ÒÓÖÑ ÐØ Ñ Ò Ø Ú Ö ØÑ Ò Ò µº ÅÓ ÐÐÔ Ö Ñ ØÖ ÖÒ ÒÔ ØØ ÑÓ ÐÐ Ò Ò Ò Ö ÔÖ Ø ÓÒ Ú ÑØ Ø Ø ÓÑ Ñ Ð Øº

º¾º½ Ü ÑÔ Ð Ô Ð Ò Ö Ö Ö ÓÒ ÑÓ ÐÐ Ö Î Ö Ö Ò Ö Ü ÑÔ Ð Ô ÑÓ ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ Ö ÓÑ Ò Ö Ú Ô Ø Ò Ö ÓÖ¹ Ñ Ò ŷ(k) = ϕ(k) T θ Ò ÔÓÐÝÒÓÑØÖ Ò Ò Ö Ú ÓÑ ŷ(k) = ϕ(k) T θ Û Ø ËÙÑÑ Ú ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ö ŷ(k) = a o + a 1 k +... + a n k n ϕ(k) = (1 k... k n ) T θ = (a o a 1...a n ) T ŷ(k) = b 1 e c 1k + b 2 e c 2k +... + b n e cnk ÒØ ØØ c 1, c 2...c n Ö Ò º Î Ö ϕ(k) = (e c 1k e c 2k...e cnk ) T θ = (b 1 b 2...b n ) T ÁʹÑÓ ÐÐ Ò Ò Ø ÁÑÔÙÐ Ê ÔÓÒ µº ÁʹÑÓ ÐÐ Ò Ö Ø Ö Ø Ü¹ ÑÔÐ Ø Ô Ò ÝÒ Ñ ÑÓ Ðк ÅÓ ÐÐ Ò ÔÖ Ø ÓÒ Ú Ý Ø Ñ Ø ÙØ ¹ Ò Ð Ø Ò ÓÑ Ø Ö ŷ(k) ÁÒ Ò Ð Ò Ø Ò u(k)º Á ÁʹÑÓ ÐÐ Ò ÔÖ Ø Ö ÙØ Ò Ð Ò ÒÓÑ ÑÐ ÚÖ Ò Ô Ò Ò Ð Ò ŷ(k) = b o u(k) + b 1 u(k 1) +... + b n u(k n) ϕ(k) = (u(k) u(k 1)...u(k n)) T θ = (b o b 1...b n ) T Á ÑÓ ÐÐ Ò Ö b o,... b n Ó Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ º Ø Ö Ò ÐØ ØØ Ùع Ú ÑÓ ÐÐ Ò Ø ÐÐ Ö Ò Ò Ð Ö Ø Ü Ö Ò ÑÓ ÐÐ Ñ ØÚ Ò Ò Ð Ö u 1 Ò u 2 µ Ö Ú ŷ(k) = b 1,o u 1 (k) + b 1,1 u 1 (k 1) +... + b 1,n u 1 (k n) +b 2,o u 2 (k) + b 2,1 u 2 (k 1) +... + b 2,n u 2 (k n) Ê ¹ÑÓ ÐÐ Ò ÙØÓÊ Ö Ú ÑÓ Ð Û Ø Ò Ø ÖÒ Ð ÒÔÙصº Ò Ò ¹ ØÙÖÐ ÙØÚ Ò Ò Ú ÁÊ ÑÓ ÐÐ Ò Ö ØØ Ú Ò Ø Ñ ÑÐ ÚÖ Ò Ô ÙØ Ò Ð Ò ÔÖ Ø ÓÒ Òº Ò Ê ¹ÑÓ ÐÐ Ò Ö Ú y(k) + a 1 y(k 1) + a 2 y(k 2) +... + a na y(k na) = b o u(k) + b 1 u(k 1) +... + b nb u(k nb) + e(k)

Î Ö ÐÐØ Ò Ò Ö ÐÐ Ð Ò Ö Ö Ò Ú Ø ÓÒ Ö Ú Ó Ð Ø Ø ÐÐ Ò ÖÙ Ø ÖÑ e(k) ÓÑ ÒÓÖÑ ÐØ ÒØ Ú Ö Ú ØØ ÖÙ º Î Ò Ö Ú ÓÑ ÑÓ ÐÐ Ò ÓÑ y(k) = a 1 y(k 1) a 2 y(k 2)... a na y(k na) +b o u(k) + b 1 u(k 1) +... + b nb u(k nb) + e(k) ÈÖ ØÓÖÒ Ö Ê ¹ÑÓ ÐÐ Ò ÒÓÑ ØØ ØÖÝ ÖÙ Ø ÖÑ Ò e(k) Ú ŷ(k) = a 1 y(k 1) a 2 y(k 2)... a na y(k na) +b o u(k) + b 1 u(k 1) +... + b nb u(k nb) ϕ(k) = ( y(k 1) y(k 2)... y(k na) u(k) u(k 1)...u(k nb)) T θ = (a 1 a 2...a na b o b 1...b nb ) T ÒÒ ÑÓ ÐÐ Ð Ö Ò Ò Ñ Ø ÒÚÒ Ö ØØ ØØ ÝÒ Ñ ÑÓ ÐÐ Öº ʹÑÓ ÐÐ Ò ÙØÓÊ Ö Ú ÑÓ Ðµº Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ò ØÓ Ø Ø Ö Ò Ò ÐØ ÒÓÑ ØØ ØØ u = 0 Ê ÔÖ ØÓÖÒº ØØ Ö Ê¹ ÔÖ ØÓÖÒµ ŷ(k) = a 1 y(k 1) a 2 y(k 2)... a na y(k na) ϕ(k) = ( y(k 1) y(k 2)... y(k na)) T θ = (a 1 a 2...a na ) T Ò ÙØÚ Ò Ò Ú Ê¹ÑÓ ÐÐ Ò Ö ÊÅ ¹ÑÓ ÐÐ Ò ÓÑ Ú Ó ÒØ Ø Ö ÙÔÔ ÒÒ Ú Ö Øº

º Å Ò Ø Ú Ö ØÑ ØÓ Ò ÒØ ØØ Ò Ø Ö {y(k), ϕ(k)},...,n ÖÒ ØØ Ý Ø Ñ Ö Ò ÑÐ Ø º Î Ö ÐÐØ N ÑÔ Ð ÖÒ Ý Ø Ñ Øº ÖÒ ÑØÒ Ò ÖÒ Ú ÐÐ Ú ØØ Ø Ñ Ö µ Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ Ò Ð Ò Ö Ö Ö ÓÒ ÑÓ Ðк ÈÖÓ Ð Ñ Ø Ö ÐÐØ ØØ ØØ Ò Ó Ò Ô Ö Ñ Ø ÖÚ ØÓÖÒ θ Ú Ø ÑØÒ Ò ÖÒ º º º½ ÖÐÙ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò Á Ñ Ò Ø Ú Ö ØÑ ØÓ Ò ÒÚÒ Ð Ò ÖÐÙ Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ñ Ò Ñ Ö Ñ Ô θµ V (θ) = (y(k) ŷ(k)) 2 = (y(k) ϕ T (k)θ) 2 º µ Î Ò Ò Ö ÔÖ Ø ÓÒ Ð Ò ɛ(k) = y(k) ŷ(k)º ÖÐÙ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò º µ Ò Ö Ú ÓÑ V (θ) = ɛ(k) 2 ÃÓÑÑ ÒØ Ö Ö ÇÑ Ò ÙÔÔÑØØ ÙØ Ò Ð Ò y(k) Ú Ö ÖÙ Ö ÚÓÖ Ø Ò ØÙÖÐ Ø ØØ ÚÐ N = n Ö n Ö ÒØ Ð Ø Ó Ò Ô Ö Ñ ØÖ Öº Á ÔÖ Ø Ò Ö Ó ÙØ Ò Ð Ò ÔÚ Ö Ú ÑØ ÖÙ Ú Ð Ø Ö ØØ Ú Ð Ø N = n Ò Ò ÑÝ Ø Ð ØØÒ Ò Ú θ Ø Ö Ú ÒÐ Ø ØØ Ö Ú ÖÐÙ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÒÓÖÑ Ð Ö ÒÐ Ø V (θ) = 1 N (y(k) ŷ(k)) 2 º º¾ ØØ Ö Ø Ö ÙÑ Ö ÑÑ ØØÒ Ò Ú θ ÓÑ º µº Å Ò Ø Ú Ö Ø ØØÒ Ò Ò Ö Ð Ò Ö Ö Ö ÓÒ ÑÓ ÐÐ Ö ÒÒ Ò Ò ÐÝØ Ð Ò Ò Ø ÐÐ º µ ÓÑ Ú ÔÖ ¹ ÒØ Ö Ö Ð Ò Ø ÓÖ Ñº Ì ÓÖ Ñ ½º ÒØ ØØ Ñ ØÖ Ò R N = N ϕ(k)ϕt (k) Ö ÒÚ ÖØ Ö Öº Ø θ ÓÑ Ñ Ò Ñ Ö Ö º µ Ú N ˆθ = [ ϕ(k)ϕ T (k)] 1 ϕ(k)y(k) º µ

Ú º Ø ÒÒ Ö ØØ ØØ Ú Ø ÓÖ Ñ Ø ØØ ØØ Ö ØØ Ö Ú Ö Ö ¹ Ø Ö Ø Ñ Ô θµ Ó ØØ Ö Ú Ø Ò Ø ÐÐ ÒÓÐÐ ÒÓÐÐ¹Ú ØÓÖÒµ δv (θ) δθ = 2 = 2 (y(k) ϕ T (k)θ) δϕt (k)θ δθ (ϕ(k)y(k) ϕ(k)ϕ T (k)θ) = 2 (y(k) ϕ T (k)θ)ϕ(k) Á Ø ÙØØÖÝ Ø Ö Ú ØØ ϕ(k) Ö Ñ Ö ÐÖ ÖÒ y(k) Ó ϕ T (k)θº Î ØØ Ö ÒÙ ÙØØÖÝ Ø Ð Ñ ÒÓÐÐ¹Ú ØÓÖÒ δv (θ) δθ = 0 Ú Ð Ø Ö ϕ(k)y(k)) = ϕ(k)ϕ T (k)ˆθ Ú ÐÙØÒ Ò Ú Ð Ö Ú ÙØ ˆθ ÒÓÑ ØØ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ ÒÚ Ö Ò Ú R N ÖÒ ÚÒ Ø Öº Î Ö Ñ Ò Ø Ú Ö Ø ØØÒ Ò Ò º µº ÃÓÑÑ ÒØ Ö Ö ÆÓØ Ö ØØ ÙØØÖÝ Ø º µ ÐÐ Ö Ö ÐÐ ÑÓ ÐÐ Ö ÓÑ Ò Ö Ú ÓÑ Ò Ð Ò Ö Ö Ö ÓÒ ÑÓ Ðк Ø ÒÒ Ø Ü Å ØÐ Ó ÒÙÑ Ö Ñ ØÓ Ö Ö ØØ Ö Ò º µº Ë Ò Òº Ö ØØ Ö Ò Ñ Ò Ø Ú Ö Ø ØØÒ Ò Ò º µ Ö Ø Ò ÚÒ Ø ØØ R N Ö ÒÚ ÖØ Ö Öº Ë ØÙ Ø ÓÒ Ö R N Ö Ò ÙÐÖ ÐÐ Ö Ò Ø Ò Ò ÙÐÖ ÐÐ ÐÐ ÓÒ Ø ÓÒ Ö ÔÖÓ Ð Ñº ÔÖÓ Ð Ñ ÖÚ Ö Ô ÐÐ Ñ ØÓ Ö ÓÑ ÒØ Ø ÙÔÔ Öº Î Ò Ö Ú ÓÑ Ñ Ò Ø Ú Ö Ø ØØÒ Ò Ò º µ Ô ÒÓÖÑ Ð Ö ÓÖÑ ÒÐ Ø ˆθ = [ 1 ϕ(k)ϕ T (k)] 1 1 ϕ(k)y(k)) N N ØØ Ö ÑÑ ØØÒ Ò Ñ Ò Ö Ó Ø ÚÑ ÖÒ ØØ Ò ÐÝ Ö Ò¹ Ø Ð Ø Ø Ö ÑÓØ ÓÒ Ð Ø Òº

º º Ò Ñ ØÖ ÓÖÑÙÐ Ö Ò Á ØØ Ú Ò ØØ Ò Ñ ØÖ ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ú Ñ Ò Ø Ú Ö ØÑ ØÓ Òº Î ÒØ Ö ÓÑ Ø Ö ØØ N ÑØÒ Ò Ö Ú y(k) Ó ϕ(k) ÒÒ Ø ÐÐ Ò Ð Î Ò Ö Ú ØØ ÓÑÔ Ø ÓÑ Y = Φ = y(1) º y(n) ϕ T (1) º ϕ T (N) ÅÓ ÐÐÙØ Ò Ð Ò ÔÖ Ø ÓÒ Òµ ÖÒ Ò Ð Ò Ö Ö Ö ÓÒ ÑÓ ÐÐ Ò Ò Ö Ú Ö ŷ(k) = ϕ(k) T θ, k = 1,...,N Ŷ = Ŷ = Φθ ŷ(1) º ŷ(n) ÖÐÙ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò º µ Ò ÒÙ Ö Ú ÓÑ Ø θ ÓÑ Ñ Ò Ñ Ö Ö V (θ) Ú V (θ) = (Y Φθ) T (Y Φθ) N ˆθ = [ ϕ(k)ϕ T (k)] 1 ϕ(k)y(k)) = [Φ T Φ] 1 Φ T Y º µ Ò Ø Ð Ø Ò Ð Ö Ú ϕ(k)ϕ T (k) = [ϕ(1)...ϕ(n)] ϕ T (1) º ϕ T (N) = Φ T Φ Ó ϕ(k)y(k)) = [ϕ(1)...ϕ(n)] y(1) º y(n) = Φ T Y

ÃÓÑÑ ÒØ Ö º º Å Ò Ø Ú Ö ØÐ Ò Ò Ò Å ØÐ Ò Ò ÐØ Ö Ò ÒÓÑ ØØ Ð Ö ¹ Ø Ñ ØÖ Ò Φ Ò Ú Ö Ð Ø Ü Ñ Ò ÑÒ Ø È Ô Ö Y µº Å Ò Ø Ú Ö Ø¹ Ð Ò Ò Ò Å ØÐ Ú Ø Ø Ø È Á ÔÔ Ò Ü Ô Ò Ð µ ØØ ÐØ ÖÒ Ø ÚØ Ú Ú Ñ Ò Ø Ú Ö ØÑ ¹ ØÓ Ò Ö Ø Ô Ñ ØÖ ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ò ÓÚ Òº ØØ Ü ÑÔ Ð Ø Ò Ð Ø Ü ÑÔÐ Ø Ô Ò Ð Ò Ö Ö Ö ÓÒ ÑÓ ÐÐ Ö ŷ(k) = m Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ñ ÐÚÖ Øµ ØØ º Á ØØ ÐÐ ϕ(k) = 1 Ó θ = m º µµº Î ÒØ Ö ØØ N ÑØÒ Ò Ö Ú ÙØ Ò Ð Ò y(1), y(2)... y(n) ÒÒ º Å Ò Ø Ú Ö Ø ØØÒ Ò Ò Ú N N ˆθ = [ ϕ(k)ϕ T (k)] 1 ϕ(k)y(k) = [ 1] 1 1 y(k) = 1 N ÓÑ ÑÓØ Ú Ö Ö Ø Ö ØÑ Ø Ñ ÐÚÖ Ø Ú ÑØÒ Ò ÖÒ º y(k) º Ò ÐÝ Î Ö ÒÙ ØØ ÙÖ Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ Ò Ð Ò Ö Ö Ö ÓÒ ÑÓ ÐÐ Ò ØØ Ñ Ñ Ò Ø Ú Ö ØÑ ØÓ Òº Ò Ú Ø Ö Ö Ú Ð Ò ÒÓ Ö ÒÒ Ø ØØ Ô ¹ Ö Ñ ØÖ ÖÒ Öº Ö ØØ ÙÒÒ Ú Ö Ø Ñ Ø Ú Ö ÒØ Ò ÓÑ ÙÖ Ø Ú Ö Ð Ý Ø Ñ Ø ÓÑ Ú Ö y(k) ÖÒµ Ö Ùغ Á Ò Ò ÐÝ ÓÑ Ö Ò ¹ Ò Ò Ð Ö Ú Ö ÐÐ Ø ØØ Ö Ö ÓÒ Ú ØÓÖÒ ÒØ Ò Ò ØÖ Ú Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ü Ø Ò ÓÑ Ò ÔÓÐÝÒÓÑÑÓ Ðе ÐÐ Ö ÚÖ Ò Ô Ò Ò Ð Ò u(k)º Ø ØÝÔ Ü ÑÔÐ Ø Ö Ø Ò Ö ÐÐ Ø Ö ÁʹÑÓ ÐÐ Òº ÆÓØ Ö ØØ Ò ÐÝ Ò Ò Ò ÒØ ÐÐ Ö Ö Ê ¹ ÐÐ Ö Ê¹ÑÓ ÐÐ Öº º º½ Î ÒØ Ö Ð Ò ËÝ Ø Ñ Ó ÖÙ ÒØ Ò ÒØ Ò ½º Ø ÓÑÑ Ö ÖÒ ØØ ÒØ Ý Ø Ñ Ú Ø Ú y(k) = ϕ T (k)θ o + e(k) k = 1,..., N º µ ½¼

Ö e(k) Ö Ò ÓÑØ Ö Ø ÖÒ Ò Ò Òµº Á Ñ ØÖ ÓÖÑ Ö Ú Y = Φθ o + e º µ Ñ e = [e(1)...e(n)] T º ÒØ Ò ¾º ËØ ÖÒ Ò Ò ÖÙ Ø µ e(k) ÒØ Ú ØØ ½ Ñ Ú Ö Ò λº ÒØ Ò º Î ÒØ Ö ØØ E{ϕ(k)e(s)} = 0 Ö ÐÐ k Ó sº ØØ ØÝ Ö ØØ Ö Ö ÓÒ Ú ¹ ØÓÖÒ ÒØ Ö ÔÚ Ö Ú ÖÙ Ø ÖÑ Ò e(k)º ØØ ÒÒ Ö ØØ Ò ÐÝ Ò Ø Ü ÒØ ÐÐ Ö Ö Ê ¹ ÐÐ Ö Ê¹ÑÓ ÐÐ Öº Ë Ú Ò ÓÚ Òº ÒØ Ò Ø Ö Ò Ð Ö Ò ÐÝ Ò ØÝ Ð Øº ÇÑ ÐÐ Ö Ö Ú Ø Ü ØØ E{Φ T Φe} = Φ T ΦE{e}. Ì ÓÖ Ñ ¾º ÒØ ØØ ½¹ Ö ÙÔÔ ÝÐÐ º ÐÐ Ö ½º Å Ò Ø Ú Ö Ø ØØÒ Ò Ò ˆθ Ö Ò Ñ ÐÚÖ Ö Ø ÙÒ µ ØØÒ Ò Ú θ o ºÚº º E{ˆθ} = θ o º ¾º Ç Ö Ø Ò ØØÒ Ò Ò Ò ÙØØÖÝ Ñ Ð Ò ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ P = cov ˆθ = E{(ˆθ E ˆθ)(ˆθ Eˆθ) T } = E{(ˆθ θ o )(ˆθ θ o ) T } = λ(φ T Φ) 1 º ÖÙ Ú Ö Ò Ò λ Ò ØØ Ñ ÐÚÖ Ö Ø Ø Ñ º µ ˆλ = 1 N n V (ˆθ) º½¼µ Ú º Ö n Ö ÒØ Ð Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ö n = dim θµ Ó N ÒØ Ð Ø Ø º ½º ÎÒØ ÚÖ Ö Ø Ø E{ˆθ} = E{[Φ T Φ] 1 Φ T Y } = E{[Φ T Φ] 1 Φ T Φθ o +e} = θ o +[Φ T Φ] 1 Φ T ΦE{e} = θ o ÆÓØ Ö ØØ ØÖ Ð Ø Òº ½ Î ØØ ÖÙ e(k) Ö Ò Ú Ò Ú ÐÙÑÔÑ Ú Ö Ð Ö ÓÑ Ö Ó ÓÖÖ Ð Ö Ö Ñ Ð¹ ÚÖ ÒÓÐÐ Ó Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Ú Ö Ò º ÇÑ e(k) Ö Ú ØØ ÖÙ ÐÐ Ö Ð E{e(k)} = 0 E{e 2 (k)} = λ Ó E{e(k)e(j)} = 0 k Ó j Ö ÓÐ º ½½

¾º ÍØØÖÝ Ø Ö ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ò Î ÒÓØ Ö Ö Ö Ø ØØ ˆθ = [Φ T Φ] 1 Φ T Y = [Φ T Φ] 1 Φ T (Φθ o + e) = [Φ T Φ] 1 Φ T Φθ o + [Φ T Φ] 1 Φ T e = θ o + [Φ T Φ] 1 Φ T e Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ ˆθ θ o = [Φ T Φ] 1 Φ T eº Î Ö Ó ØØ E{ˆθ} = θ o º ÃÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ò Ò ÒÙ Ö Ò ÒÐ Ø covˆθ = E{(ˆθ θ o )(ˆθ θ o ) T } = E{[Φ T Φ] 1 Φ T e([φ T Φ] 1 Φ T e) T } = E{[Φ T Φ] 1 Φ T ee T Φ[Φ T Φ] 1 } ÒÓÑ ØØ ÙØÒÝØØ Ú Ö Ú Ö Ö Ò ÚÒØ ÚÖ Ø Ö E{ee T } = E{[e(1);...e(N)] T [e(1);...e(n)]}º Ø Ö ÓÑ ÖÙ Ø ÒØ Ú Ö Ú ØØ Ð Ö ÒÒ Ñ ØÖ Ò ÓÒ ÐÑ ØÖ Ö ÐÐ ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ö ÚÖ Ø λº ÐÐØ Ö E{ee T } = λi Ö I Ø Ò Ö Ò Ø Ñ ØÖ Òº Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ¹ Ú covˆθ = [Φ T Φ] 1 Φ T λiφ[φ T Φ] 1 = λ[φ T Φ] 1 Φ T Φ[Φ T Φ] 1 = λ[φ T Φ] 1 º ÍØ Öº ÃÓÑÑ ÒØ Ö Ö ÆÓØ Ö ØØ ÒØ Ò ½ ÒÒ Ö ØØ Ø ÒÒ Ý Ø Ñ Ø Ó ÚÖ ÑÓ ÐÐ Ö ÑÑ ØÖÙ ØÙÖ ϕ(k) Ö Ò ÑÑ µº Ì ÐÐ Ü ÑÔ Ð ÓÑ ÑÓ ÐÐ Ò Ö Ò Ð Ò Ö ØÖ Ò ÒØ Ö Ú ØØ Ø Ý Ø Ñ ÓÑ Ò Ö Ö Ø Ø Ö Ò Ó Ö Ò Ð Ò Ö ØÖ Ò Ñ Ò Ñ Ò Ø Ú Ø ÖÑ Ú Ú ØØ ÖÙ µº Ë Ò Ð Ò e(k) Ò º µ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ö ØÝÔ Ø ÑØ ÖÙ ÖÙ ÖÒ Ú Ö µ Ó» ÐÐ Ö ÖÙ ÖÒ Ý Ø Ñ Ø Ø Ü Ú ÓÑØ Ö Ø ÖÒ Ò Ö ÓÑ ÔÚ Ö Ö Ý Ø Ñ Ø ÙØ Ò Ðµ ÃÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ò P Ò ØØ ÖÒ ÑØ Ø º ØØ Ò Ö Ñ ˆP = ˆλ(Φ T Φ) 1 Ö ˆλ ÖÒ º½¼µº Ë ØØÒ Ò Ò Ú P Ò ÒÚÒ ÙØØÖÝ Ò Ò Ò Ú Ð Ø Ö ÔÖ Ø Òµ ØØ ØÝ Ö ØØ Ú Ò ØØ Ô Ö Ñ Ø¹ Ö ÖÒ ØØ Ú Ð Ø Ø ÑØØ º Ö Ò ØØ Ô Ö Ñ Ø ÖÒ ˆθ i i = 1, 2,... nµµ ÐÐ Ö ØØ varˆθ(i) = P(i, i)º Î Ö Ò Ð Ø Ö Ú Ö ØØ Ô Ö Ñ Ø Ö ÐÐØ ÖÒ ÓÒ Ð ¹ Ð Ñ ÒØ Ò P º ½¾

ÇÑ ÖÙ Ø e Ö Ò Ù Ö ÐÒ Ò ÓÑÑ Ö Ú Ò ˆθ ØØ Ú Ö Ù ˆθ N(θ o, P) Ò ˆθ(i) θ o (i) P(i, i) N(0, 1) º º¾ Î Ò ÒÙ Ò ÐØ Ö Ò ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÑ Ñ Ú ÒÒÓÐ Ø ÓÒ¹ Ò Ò Úµ Ò Ö ØØ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö ØØÒ Ò Ò ÒÒ º ÂÑ Ö Ñ Ø Ø Ø ¹ ÙÖ Ò Ø Ö ØØ Ò Ö Ð Ö Ö ÙÐØ Ø Ø ÓÚ Ò Ö ÐÐ Ø ØØ ÖÙ Ø Ö Ö Ø ¹ Ú Øصº ÆÓ Ö ÒÒ Ø Ö Ò ØØ Ö Ø ÓÖ Ò Ò Ò Áʹ ÑÓ ÐÐ ØÖ Ø Ð Ò ÑÓ ÐÐ ŷ(k) = bu(k) ÓÑ ÑÓØ Ú Ö Ö ϕ(k) = u(k) Ó θ = bº ÒØ Ð Ò Ø Ö ÙÔÔÑØØ y(1), u(1),... y(n), u(n)º Å Ò Ø Ú Ö Ø ØØÒ Ò Ò Ú ˆθ = [ N ϕ(k)ϕt (k)] 1 N ϕ(k)y(k) = [ N u2 (k)] 1 N u(k)y(k) = 1 N N u2 (k) u(k)y(k) ÇÑ ÒÙ Ú ÐÐ ÓÖ Ò Ì ÓÖ Ñ ¾ Ö ÙÔÔ ÝÐÐ Ú Ö Ò Ò Ö ˆb = ˆθ Ú var(ˆb) = λ N u2 (k) Î Ö Ò Ð Ø Ñ Ò Ö ÓÑ ½º ÒØ Ð Ø Ø N Ö ÐÐ Ö ¾º ÁÒ Ò Ð Ò Ò Ö ÑÔÐ ØÙ µ Ö ÐÐ Ö º ÖÙ Ò ÚÒ λ Ñ Ò Öº Ú Ò Ö Ñ Ö ÓÑÔÐ Ü ÑÓ ÐÐ Ö ÔÚ Ö ØØÒ Ò Ò Ú Ð Ø Ú Ú ÓÚ Ò Ø Ò ØÓÖ Öº ½

º º ÝÑÔØÓØ ÒÓ Ö ÒÒ Ø Ö ÁʹÑÓ ÐÐ Ö Á Ú ÐÐ Ò Ö ÒØ Ð Ø Ø N ØÓÖغ ØØ Ö Ò Ð Ö Ó Ø Ò ÐÝ Ò ØØ ØÙ Ö ÐÐ Ø N º Î Ò Ö Ú ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ò Ì ÓÖ Ñ ¾µ ÓÑ P = cov ˆθ = λ(φ T Φ) 1 = λ[ Ú Ð Ø Ö ϕ(k)ϕ T (k)] 1 = λ N [ 1 N ϕ(k)ϕ T (k)] 1 P λ N [R] 1 = λ N [E{ϕ(t)ϕT (t)}] 1 N º½½µ º½¾µ Ö Ò ÁÊ ÑÓ ÐÐ Ö ϕ(k) = (u(k) u(k 1)...u(k n)) T º Î Ö ØØ Ð Ñ ÒØ Ò R = E{ϕ(k)ϕ T (k)} ÓÑÑ Ö ØØ Ò ÐÐ ÓÐ ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö E{u(k)u(k τ)}, τ = 1, 2,..., nº ÇÑ E{u(k)} = 0 Ú Ö Ö ØØ ÑÓØ ÓÚ Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ¾ Ú u(k)º º Î Ð Ú ÑÓ ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ Ó ÑÓ ÐÐÓÖ Ò Ò Ò ÑÝ Ø Ú Ø Ö Ú ÐÐ ØÝÔ Ú ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ö Ú Ð Ø Ú ÑÓ Ðй ØÖÙ ØÙÖ Ö Ö ÓÒ Ú ØÓÖµ Ó ÑÓ ÐÐÓÖ Ò Ò ÒØ Ð Ô Ö Ñ ØÖ Ö ÑÓ ÐÐ Òµº ÀÖ Ú Ö Ò Ö ÓÖØ ÓÑÑ ÒØ Ö Ö Ó ÐÑÒ Ø Ð Ö Ø ÐÐ ÓÑÑ Ò ÙÖ Öµº ÆÖ Ø ÐÐ Ö Ú Ð Ú ÑÓ ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ ÒÒ ØÚ Ñ Ð Ø Ö ½º ÒÚÒ Ý Ð Ò Ø Ú ÙØÒÝØØ Ú ÒØÙ ÐÐ ÙÒ Ô ÓÑ Ý Ø Ñ Ø Ö ØØ Ð ØÖ ÓÑ ÑÓ ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ Òº ¾º ÈÖ Ú ÓÐ ÑÓ ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ Ö Ó ÚÐ Ò ÑÓ ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ ÓÑ Ø Ò Ö Ú Ø Ø Øº Î Ú Ö Ó ØÑÑ ÑÓ ÐÐÓÖ Ò Ò Ò n Ñ θº ÀÖ Ú Ø Ø Ø Ø Ø Ö ØØ ÖØ Ð Ø Ø Ö ÒÒ µ ÓÑ Ò Ö Ø Ñ ÙÒØ ÖÒ٠غ ÆÓØ Ö ØØ Ø ÒØ Ö Ò Ö ØØ Ö ØØ Ò ÑÓ ÐÐÓÖ Ò Ò ÓÑ Ñ Ò Ñ Ö Ö ÖÐÙ Ø ÙÒ Ø Ó¹ Ò Ò º µº ØØ Ø Ö ÓÑ ÖÐÙ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ñ Ò Ö ÐÐ Ö Ú Ö ÐÐ ÒØ Öµ Ñ ÑÓ ÐÐÓÖ Ò Ò º Æ Ò ØÚ Ü ÑÔ Ð Ô Ø Ø Ö ÓÑ Ò ÒÚÒ Ö ØØ ØÑÑ ÑÓ ÐÐÓÖ Ò Ò Ò ¾ Ö Ò Ø Ö Ø ØÓ Ø Ø Ø ÓÒÖ Ø Ø Ø Ò Ô Ö ÖÒ Ö ÒØ Ú Ö Ø Òµ ÔÖÓ w(k) Ñ Ñ ÐÚÖ Ew(k) = 0 ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ú R w (τ) = E{w(k + τ)w(k)} τ = 0, 1, 2... ½

½º ÍØÚÖ Ö ÓÐ ÑÓ ÐÐ ÖÒ Ö Ò ÒÝ Ø Ö ÓÑ ÒØ ÒÚÒØ Ö Ð Ö Ö Ò º ÎÐ Ò ÑÓ ÐÐÓÖ Ò Ò Ñ Ò Ò Ò ØÙÖÐ ØÚ Ó Ø Ø ÑÓ¹ ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ Öµ ÓÑ Ö Ø Ð Ø ÔÖ Ø ÓÒ Ð Ø Ô Ø Ö Ø ¹ Ø Øº ÒÒ Ñ ØÓ ÐÐ Ö ÓÖ Ú Ð Ö Ò Ó Ö Ò ÑÝ Ø Ú ÒÐ Ó Ø ÐÐØ Ð Ò Ñ ØÓ º Ò Ò Ò Ð Ò Ö ØØ Ú Ñ Ø Ö ÖÚ Ö Ò Ð Ú Ø Ø Ø Ö ÑÓ ÐÐ Ñ Ö Ð Ò Ó ÖÑ Ò Ú ÒØ ÒÚÒ ÐÐ Ø ÐÐ Ò Ð Ø Ö Ð Ö Ö Ò Òº ¾º ÒÚÒ ØØ Ö Ø Ö ÙÑ ÓÑ ØÖ Ö ÒØ Ð Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ö ÑÓ ÐÐ Òº ØØ Øݹ Ô Ø Ö Ø Ö ÙÑ Ò ÙØ ÓÑ (1 + 2n N N ) ɛ(k) 2 Å Ò Ö Ö ØØ ØØ Ò ÑÓ ÐÐÓÖ Ò Ò n ÓÑ Ñ Ò Ñ Ö Ö Ö Ø Ö Øº Ú ÐÙØÒ Ò Ú Ú ÐÐ Ú ÒÑÒ ØØ ÑÔ Ö Ø ÑÓ ÐÐ Ý ØÓÖ Ð Ö Ö Ò Ø Ö Ø Ú ÔÖÓ Ö Ò Ó ÔÖÓ Ö ÑÚ Ö ÓÑ Ø Ö ÐÐ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ò Ö Ú Ø Øº Ò Ú Ñ Ø ÔÖ ÔÖÓ Ö ÑÔ Ø Ò Ö ËÝ Ø Ñ Á ÒØ Ø ÓÒ ÌÓÓÐ ÓÜ ËÁÌ µ ÓÑ ÒÚÒ Ø ÐÐ ÑÑ Ò Ñ Å ØÐ º ÈÖÓ Ö ÑÔ Ø Ø ØÖ Ú Ò ÑÐ Ò Ñ Ñ¹ Ð Ö ÓÔÔÐ Ø Ø ÐÐ ØØ Ö Ø ÒÚÒ Ö ÖÒ Ò Øغ º ÃÓÑÑ ÒØ Ö Ö ØØ Ô Ø Ð Ö ØØ Ò Ú Ö Ø Ú Ò Ö ÓÐ Ñ ØÓ Ö Ö ØØ ØØ ÝÒ ¹ Ñ Ý Ø Ñ ÖÒ ÑØ Ø Ø Ö Ú Ò ÑÓ ÐÐ Ò µº Î Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø Ò ¹ Ö Ú ÒÐ ¹Ô Ö Ñ ØÖ Ñ ØÓ Ö ÑØ Ñ Ò Ø Ú Ö Ø ØØÒ Ò Ú Ð Ò Ö Ö Ö ÓÒ ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ñ ØÓ µº Î Ö Ú Ò ÓÖØ ÙØ Ö Ø Ø Ú Ø Ö Ò ØØ ØØ Ò ØÖÓÚÖ ÑÓ ÐÐ ÑÓ ÐÐÚ Ð Ö Ò µº Ò Ñ ØÓ ÓÑ ÔÖ ÒØ Ö Ø Ö Ö Ò Ò Ð Ò ÑÝ Ø ÓÑ ØØ Ò Ñ ØÓ Ó Ò ÐÝ ÓÑ ÒÒ ÒÓÑ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ý Ø Ñ ÒØ Ö Ò µº ½

ÈÈ Æ Á º ËÓÑ Ñ ØÖ Ü Ð Ö Ò ÔÖÓÓ Ó Ø Ð Ø ÕÙ Ö Ø Ñ Ø Ï Ö Ø Ú ÓÑ ÑÔÓÖØ ÒØ Ö ÙÐØ ÖÓÑ Ñ ØÖ Ü Ð Ö Ö ÙÑÑ Ö º ÓÖ ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü P Ø ÓÐ Ø Ø P = P T (AB) T = B T A T ËÓÑ ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÔÓ Ø Ú Ò Ø Ñ ØÖ Ü È ÓÑÑÓÒÐÝ ÛÖ ØØ Ò P > 0µ x T Px > 0 ÓÖ ÐÐ x > 0º ÐÐ ÒÚ ÐÙ Ó È Ð Ö Ö Ø Ò Þ ÖÓº det P > 0 Ö ÒØ Ø ÓÒ Ð Ø u ÓÐÙÑÒ Ú ØÓÖ Ø Ò d du ut Pu = 2u T P if P symmetric d du zt Bu = z T B z = vector, B = matrix d du ut Bz = z T B T Æ ÜØ Û Ú Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú ÔÖÓÓ Ó Ø Ð Ø ÕÙ Ö Ø Ñ Ø Ù Ò Ø Ñ ØÖ Ü ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒº Ì ÐÓ ÙÒØ ÓÒ Ñ Ý Ö ÛÖ ØØ Ò V (θ) = (Y Φθ) T (Y Φθ) = Y T Y Y T Φθ θ T Φ T Y + θ T Φ T Φθ Ý ÔÔÐÝ Ò ÖÙÐ ÓÖ Ö ÒØ Ø ÓÒ Ó Ñ ØÖ ÓÚ µ Ø Ö ÒØ Ò ÛÖ ØØ Ò dv (θ) dθ = Y T Φ Y T Φ + 2θ T Φ T Φ = 2(θ T Φ T Φ Y T Φ) Ý ØØ Ò Ø ØÖ Ò ÔÓ Ó Ø Ö ÒØ ØÓ Þ ÖÓ dv (θ) dθ T = 0 Ø Ò Ø Ø Ø Ð Ø ÕÙ Ö Ø Ñ Ø Ú Ò Ý ˆθ = [Φ T Φ] 1 Φ T Y ½

ÈÈ Æ Á º Æ Ö ÖÙÒ Ð Ò Ø Ø Ø Ö ÔÔ Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò ØÓ Ø Ú Ö ÐÒ ºÚºµ X Ò Ö ÒÐ Ø F X (x) = P(X x) Ú ÒÒÓÐ Ø Ò ØØ Ò ºÚº X Ö Ñ Ò Ö Ò ÐÐ Ö Ð Ñ Ø Ð Ø xº ÌØ Ø ÙÒ Ø ÓÒ f X (x) = Ö Ú Ø Ò Ú Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Òº Î Ö ØØ P(a < X b) = b a f X (k)dt ÆÓÖÑ Ð Ö ÐÒ Ò X N(m, λ) Ö ØØ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò f X (x) = 1 2πλ e (x m)2 /(2λ) Ö m =Ñ ÐÚÖ Ø Ó λ =Ú Ö Ò Òº ÇÑ f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y) Ö ºÚº X Ó Y Ó ÖÓ Ò º ÎÒØ ÚÖ Ñ ÐÚÖ µ m = E{X} = xf X(x)dxº E Ö Ò Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖ E{aX + b} = ae{x} + bº Î Ö Ò V (X) = E{(X m) 2 к Î Ö V (X) = E{X 2 } (E{X}) 2 V (ax + b) = a 2 V (X) ÃÓÚ Ö Ò ÓÚ(X, Y ) = E{(X m X )(Y m Y )}º ÇÑ ÓÚ(X, Y ) = 0 Ö X Ó Y Ó ÓÖÖ Ð Ö º ÆÓØ Ö ØØ Ó Ö Ó Ò Ñ ¹ Ö Ó ÓÖÖ Ð Ö Ñ Ò ÒØ ØÚÖØÓѵº ËØ Ò Ö ÚÚ Ð Ö Ú Ö ØÖÓØ Ò Ú Ú Ö Ò Òº ½

ÈÈ Æ Á º Æ ÓØ ÓÑ Ô Ö Ñ Ø Ö ØØÒ Ò Ö ÔÙÒ Ø Øع Ò Ò µ ÇÑ X 1,...X N Ö Ó ÖÓ Ò Ó ÒÓÖÑ Ð Ö Ð ºÚº N(m, λ) Ö Ð¹ Ò ØØÒ Ò Ú Ñ ÐÚÖ Ø ˆm = 1 N i=1 X i ÒÓÖÑ Ð Ö Ð Ó ÚÒØ ÚÖ Ö Ø Ú E{ ˆm} = mº Ë ØØÒ Ò Ò Ú Ö ¹ Ò Ú V ( ˆm) = λ N º ÄØ ˆθ(N) Ú Ö Ò ØØÒ Ò Ú Ò Ó Ò Ô Ö Ñ Ø ÖÒ θ o Ú Ø N ØÝ Ò Ó ÖÚ Ø ÓÒ Öº Ð Ò Ò Ø ÓÒ Ö Ö ÒØÖ Ð Ë ØØÒ Ò Ò Ú E{ˆθ(N)} θ o Ë ØØÒ Ò Ò Ú Ö Ò v = E{(ˆθ(N) E{ˆθ(N)}) 2 } Å Ð Ú Ö Ø Ð Ø ÅË = v + (E{ˆθ(N)}) 2 ÝÑÔØÓØ ÚÒØ ÚÖ Ö Ø E{ˆθ(N)} θ o N º ÃÓÒ Ø Ò E{(ˆθ(N) θ o ) 2 } 0 N º Ð Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ºÚº ÄØ X = [X 1, X 2,...,X n ] T Ú Ö Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ºÚº ÚÒØ ÚÖ Ø Ú m = E{X} = [EX 1, EX 2,...,EX n ] T º ÃÓÚ ¹ Ö ÒÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ò Ò Ö V (X) = E{(X m)(x m) T } Ú Ð Ø Ö Ò ÝÑÑ ØÖ Ó ÔÓ Ø Ú Ñ Ò Ø n n Ñ ØÖ º ÇÑ Y = c + AX Ö E{Y } = c + AE{X} Ó V Y = AV (X)A T º Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ú Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÒÓÖÑ Ð Ö Ð ºÚ Ö Ó ÒÓÖÑ Ð Ö Ð º Ò Ð ÅË ¹Å Ò ËÕÙ Ö ÖÖÓÖ ½