Matematiska Institutionen, K T H. B. Krakus Matematik. Maplelaboration. Före laborationen: Bekanta Dig med innehållet på sid 3. Ögna igenom de genomräknade exemplen 8 på sid 4 7. Använd PoP (papper och penna) och gör en skiss av lösningarna av Dina Maple inlämningsuppgifter. Du behöver inte förbereda färdiga lösningar, utan det räcker med en plan där besvärliga beräkningar lämnas åt Maple. Under laborationen: Gå igenom de genomräknade exemplen 8 på sid 4 7. Använd den tidigare förberedda planen/skissen och begär hjälp av Maple. Maple kommer att hjälpa Dig om Du hjälper Maple, dvs om Du har en bra plan på hur uppgifterna skall lösas. Gör en datorutskrift av lösningarna. Efter laborationen: Om Du (mot förmodan) har blivit djupt förälskad i Maple, fortsätt med övningsuppgifterna 4 på sid 9.
. Konstanter, funktioner och kommandon i denna laboration: Pi, E, I, infinity talet π, talet e, imaginära enheten,. abs(x), sqrt(x) x, x. exp(x), ln(x) e x, ln x. sin(x), arcsin(x) sin x, arcsin x. cos(x), arccos(x) cos x, arccos x. tan(x), arctan(x) tan x, arctan x. cot(x), arccot(x) cot x, arccot x. expand(uttryck) simplify(uttryck) subs(x=a,uttryck) utvecklar uttrycket. T.ex. expand((x+)*(x-)^3); ger x 4-2x 3 + 2x -. förenklar uttrycket. T.ex. simplify((a^2-b^2)/(a+b)); ger a - b. substituerar x = a i uttrycket. T.ex. subs(x=3,x+); ger 4. var:='var' återger variabeln var dess symbolvärde. Se exempel 4. solve(ekv,x) löser ekvationen ekv m a p x. T.ex. solve(x^3-2*x+6=,x); ger -4, 2, 2. solve({ekv,ekv2},{x,y}) löser ekvationssystemet ekv ekv2 m a p x och y. T.ex. limit(f(x),x=a) solve({x-2*y=,3*x+y=7},{x,y}); ger {x=2, y=}. beräknar lim f(x). Skriv x=infinity om x. T.ex. x a limit(x/(x+),x=infinity); ger. f:=x->uttryck definierar funktionen f(x) = uttryck. För att få pilen -> skriv - och >. T.ex. f(x) = x 2 3 x + sin x fås genom f:=x->x^2-3*x+sin(x). plot(uttryck,x=a..b) ritar kurvan y = uttryck i intervallet a < x < b. T.ex. plot(x^2,x=..2); ritar kurvan y = x 2, < x < 2. plot(uttryck,x=a..b,c..d) ritar kurvan y = uttryck för a < x < b, c < y < d. plot({uttryck,uttryck2}) ritar kurvorna y = uttryck och y = uttryck2 i en bild. plot({[x,uttryck,x=a..b],[x,uttryck2,x=c..d]},x=s..t) ritar kurvan y = uttryck om a < x < b uttryck2 om c < x < d i intervallet s < x < t. 2
2. Exemplen. Exempel. Rita kurvan y = x 4 x 3 + 35x 2 5 x + 24 för < x < 5 och 2 < y < 3. Lös ekvationen y =. Lös olikheten y. y:=x^4-*x^3+35*x^2-5*x+24: plot(y,x=..5,-2..3); 3 2-2 3 4 5-2 rot:=solve(y=,x); rot := 234,,, Ekvationen y = har fyra rötter:,2,3 och 4. (Jämför med figuren). olikhet:=solve(y<=,x); olikhet := RealRange ( 2, ), RealRange ( 34, ) Olikheten y satisfieras av sådana x att x 2 eller 3 x 4. (Jämför med figuren). Exempel 2. Rita grafen till funktionen f(x) = x + ln (2 sin x) ln (2 + sin x). Observera en viss symmetriegenskap hos grafen. Bevisa att grafen verkligen har denna egenskap. f:=x->x+ln(2-sin(x))-ln(2+sin(x)): plot(f(x),x=-2..2);.5-2 - 2 -.5 - Av bilden att döma är grafen symmetrisk med avseende på origo (åtminstone på intervallet 2 < x < 2), vilket innebär att likheten f(x) = f( x) äger rum för alla x (man säger då att f är en udda funktion). Låt Maple kontrollera detta f(x); -f(-x); x + ln ( 2 sin( x )) ln ( 2 + sin( x) ) x + ln ( 2 sin( x )) ln ( 2 + sin( x) ) Alltså f(x) = f( x) för alla x. 3
Exempel 3. Bestäm a så att l i m ax 2 5x x (a 4)x 2 + = 3. lim:=limit((a*x^2-5*x)/((a-4)*x^2+),x=infinity); a lim := a 4 a:=solve(lim=3); a := 6 Svar: a = 6. Exempel 4. expand((a+b)^2); Ett vanligt fel: Vi vill utveckla (a + b) 2. Detta kan göras med hjälp av kommandon expand((a+b)^2) och vi förväntar oss svaret a 2 + 2ab + b 2. 36 + 2 b + b 2 Detta är något oväntad. Maple har utvecklat (6 + b) 2 i stället för (a + b) 2, alltså Maple uppfattar a som talet 6. Varför? I exempel 3 har vi genom lim:=limit((a*x^2-5*x)/((a-4)*x^2+),x=infinity): a:=solve(lim=3); a := 6 tillordnat a värdet 6. Om a skall betraktas som en variabel måste denna tillordning upphävas, vilket kan göras genom a:='a'; a := a Nu är a en vanlig variabel och vi får expand((a+b)^2); a 2 + 2 ab+ b 2 Exempel 5. Låt f(x) = 2 (3x + 3 x ). Visa att f(x + y) + f(x y) = 2 f(x) f(y). f:=x->(3^x+3^(-x))/2: VL:=f(x+y)+f(x-y): HL:=2*f(x)*f(y): VL-HL; 4
2 3( 49 x+ x4 x 3 + 35 x 2 + 24 ) 2 3( 49 x x4 + x 3 35 x 2 24 + ) 2 3( 5 x x4 + x 3 35 x 2 24 ) 2 3( 5 x+ x4 x 3 + 35 x 2 + 24 + + ) 2 + 2 3x 2 3( x) + 2 3( x4 x 3 + 35 x 2 5 x + 24 ) 2 3( x4 + x 3 35 x 2 + 5 x Förenkla detta simplify(vl-hl); Alltså VL HL =. Exempel 6. Linjen y = ax + b sägs vara en sned asymptot till kurvan y = f(x) om lim (f(x) ax b) = eller/och x l a = lim f (x) x För kurvan f:=x->x^3-sqrt(+x^6)+3*sqrt(9+x^2)+: a:=limit(f(x)/x,x=infinity): b:=limit(f(x)-a*x,x=infinity): y:=a*x+b; y := 3 x + x i m (f(x) ax b) =. Då gäller det att och b = lim (f (x) ax) (gränsvärden då x eller x ). y = x 3 + x 6 + 3 9 + x 2 + gäller att alltså y = 3x + är en asymptot då x. Då x fås a:=limit(f(x)/x,x=-infinity); a := Inget reellt värde på a alltså ingen asymptot då x. Sammanfattning: kurvan har en asymptot y = 3x + då x. Vi kan rita kurvan och dess asymptot i en bild plot({f(x),3*x+},..2); 6 5 4 3 2 5 5 2 Exempel 7. Lös ekvationen arcsin 2 x + arccos x = π 6. Illustrera lösningen med en figur. 5
Vi försöker med solve(arcsin(2*x)+arccos(x)=pi/6,x); men får inget svar. Detta innebär att antingen finns det ingen lösning eller att Maple inte kan lösa ekvationen trots att lösningen finns. Följande metod kan leda till framgång: VL:= arcsin(2*x) + arccos(x): HL:=Pi/6: ekvation:=vl=hl: nyekvation:=expand(sin(vl)=sin(hl)): eventuellrot:=solve(nyekvation,x); - eventuellrot :=, 2 2 kontroll(/2):=simplify(subs(x=/2,ekvation)); kontroll(-/2):=simplify(subs(x=-/2,ekvation)); kontroll := 2 5 = 6 π 6 π kontroll := - 2 = 6 π 6 π Svar: x = /2. plot((vl-hl)(x),x=-..); Exempel 8. Visa att man kan välja ett sådant värde på c att funktionen f given av f (x) = cx 3 + 3 för x sin cx x för x > blir kontinuerlig i punkten x =. Rita grafen till f dels för detta c värde och dels för c = 2. Välj intervallet 3 < x < 3. Kontinuiteten innebär att f() = lim f(x) samt f () = lim f(x) och vi låter Maple x x + undersöka för vilka c detta kommer att inträffa fleft:=c*x/3+3: fright:=sin(c*x)/x: limminus:=limit(fleft,x=): limplus:=limit(fright,x=): f():=subs(x=,fleft): kontinuerligom:=solve({f()=limminus,f()=limplus},c); kontinuerligom := { c = 3} Det sökta värdet: c = 3. Vi sätter in detta värde i uttrycken för fleft och fright och ritar grafen till f för 3 < x < 3 6
fleftc3:=subs(c=3,fleft): nyfrightc3:=subs(c=3,fright): plot({[x,fleftc3,x=..3],[x,frightc3,x=-3..]},-3..3); 3 Fallet c=3 2-3 -2-2 3 fleftc2:=subs(c=2,fleft): frightc2:=subs(c=2,fright): plot({[x,fleftc2,x=..3],[x,frightc2,x=-3..]},-3..3); 3 Fallet c=2 2.5 2.5-3 -2 -.5 2 3 -.5 7
4. Övningsuppgifter.. Hur många reella rötter har ekvationen x 4 2x 3 + (5 a 2 ) x 2 + 2a 2 x 5a 2 =, där a är en reell konstant? Rita kurvan y = x 4 2x 3 + (5 a 2 ) x 2 + 2a 2 x 5a 2 då a = 3. Pröva med några intervall för x och y. 2. Rita i en bild kurvorna: y = x 2, y = 3 x 2, y = (x + 3) 2, y = x 2 + 3. Pröva med några intervall för x och y och försök identifiera kurvorna i bilden. 3. Bestäm skärningspunkterna mellan kurvorna y = 45 + 4x 33x 2 2x 3 + x 4 och y = 2x x 2. Illustrera lösningen med en figur. 4. Låt f(x) = ax 2 + bx + c. Visa att f(x + 3) 3 f (x + 2) + 3 f (x + ) f (x) =. 5. Bestäm de sammansatta funktionerna f g, g f, f f och g g om f(x) = x3 x 2 + och g(x) = x 2 x. 6. Betrakta funktionen f(x) = ax 2 + bx + c. a. Bestäm konstanterna a,b och c så att f( + 5) =, f( + 6) = 2 och f ( + 7) = 3. b. Rita grafen till f. c. Bestäm skärningspunkterna mellan grafen till f och koordinataxlarna. d. Bestäm det minsta värdet som funktionen f antar. 7. Rita hyperbeln y 2 4x 2 = för 2 < x < 2. 8. Undersök om funktionen f(x) = ln + x är udda, jämn eller varken udda eller x 2 jämn. 9. Linjen y = ax + b går genom punkterna (,) och (2,4). Rita linjen.. Lös ekvationen 2 arccos x arcsin 2 x = arcsin x.. Rita kurvan y = 4 arctan (x ) 2x arctan e x och dess eventuella asymptoter. 8
2. Visa att funktionen f(x) = arccot (2x + ) arctan ( ) + x bestäm konstantens värde., x > är konstant och 3. Kan funktionen f(x) = (2 cos x) /x2 definieras i punkten x = så att f blir kontinuerlig i denna punkt? 4. Funktionen f(x) = 2 ex e x är inverterbar (varför?). Bestäm inversen f till f. Rita i en bild kurvorna y = f(x), y = f (x) och y = x. Kan man förvänta sig några symmetriegenskaper? Motivera. 9
5. Lösningsförslag.. a:='a': y:=x^4-2*x^3+(5-a^2)*x^2+2*a^2*x-5*a^2: solve(y=,x); + 2 I, 2 Ia a,, alltså två reella rötter x = ±a (och två icke reella x = ± 2 i). y:=subs(a=3,y): plot(y,-5..5,-..3); 2. plot({x^2,3*x^2,(x+3)^2,x^2+3},-4..,..4); 3. y:='y': y:=45+4*x-33*x^2-2*x^3+x^4: y2:=-2*x-*x^2: punkter:=solve({y=y,y=y2},{x,y}); punkter := { y = -29, x = -3},{ y = -29, x = -3},{ x = 4, y = -239},{ x = 4, y = -239} plot({y,y2},-4..5); 4. b:='b': f:=x->a*x^2+b*x+c: VL:=f(x+3)-3*f(x+2)+3*f(x+)-f(x): HL:=: simplify(vl=hl); = 5. f:=x->x^3-x^2+: g:=x->x^2-x-: sammansatta:=simplify([fg=f(g(x)),gf=g(f(x)),ff=f(f(x)),gg=g(g(x))]); sammansatta := [ fg = x 6 3 x 5 + 7 x 3 5 x x 4 + x 2, gf = x 6 2 x 5 + x 3 + x 4 x 2, ff = x 9 3 x 8 + x 6 + 3 x 7 4 x 5 + x 3 + 2 x 4 x 2 +, gg = x 4 2 x 3 2 x 2 + 3 x + ]
6. f:=x->a*x^2+b*x+c: ekv:=f(+sqrt(5))=: ekv2:=f(+sqrt(6))=2: ekv3:=f(+sqrt(7))=3: konstanter:=solve({ekv,ekv2,ekv3}); konstanter := { c = -3, a =, b = -2} f:=x->x^2-2*x-3: plot(f); xaxeln:=solve(f(x)=); yaxeln:=f(); xaxeln := -, 3 yaxeln := -3 minstaf(x):=f((-+3)/2); minstaf( x) := -4 7. hyperbeln:=y^2-4*x^2=: dessgrenar:=solve(hyperbeln,{y}); dessgrenar := { y = + 4 x 2 }, { y = + 4 x 2 } plot({sqrt(4*x^2+),-sqrt(4*x^2+)},-2..2); 8. f:=x->ln((+x)/sqrt(-x^2)): summa:=simplify(f(x)+f(-x)); summa := x + ln + ( x ) ( x + ) ln x ( x ) ( x + ) vilket innebär att f är en udda funktion. 9. linjen:=y=a*x+b: ekv:=subs(x=,y=,linjen): ekv2:=subs(x=2,y=4,linjen): solve({ekv,ekv2}); { a = 3, b = -2} linjensekvation:=subs(a=3,b=-2,linjen); linjensekvation := y = 3 x 2 plot(3x-2);
. VL:=2*arccos(x)-arcsin(2*x): HL:=arcsin(x): ekv:=vl=hl: nyekv:=expand(sin(vl)=sin(hl)): eventuellrot:=solve(nyekv); eventuellrot :=,, 2 kontroll():=simplify(subs(x=,ekv)); kontroll(/2):=simplify(subs(x=/2,ekv)); kontroll(-/2):=simplify(subs(x=-/2,ekv)); kontroll( ):= π = kontroll := 2 = 6 π 6 π kontroll := - 2 = 6 π 6 π Svar: x = /2.. y:=4*arctan(x-)-2*x*arctan(exp(x)): a:=limit(y/x,x=infinity); b:=limit(y-a*x,x=infinity); A:=limit(y/x,x=-infinity); B:=limit(y-A*x,x=-infinity); a := π b := 2 π A := B := 2 π plot({y,a*x+b,a*x+b}); 2. f:=x->arccot(2*x+)-arctan(+/x): tangesavf(x):=simplify(expand(tan(f(x)))); tangesavf( x) := - Detta innebär att f(x) = π/4 + n(x)π där n(x) är ett heltal. Kontinuiteten av f medför att n(x) är en konstant, dvs f(x) = π/4 + nπ för något heltal n och för alla x >. Följaktligen är f en konstant funktion och i så fall är f(x):=limit(f(x),x=infinity); - 2 2
f( x) := 4 π 3. f:=x->(2-cos(x))^(/x^2): definieraf():=limit(f(x),x=); definieraf( ) 2 := e Svar: f blir kontinuerlig i punkten x = om man definierar f() = e /2. 4. Funktionerna 2 ex och e x är strängt växande f(x) = 2 ex e x är strängt växande f är inverterbar. Detta innebär att ekvationen y = f(x) x = x(y). f:=x->(/2)*exp(x)-exp(-x): y:='y': solve(y=f(x),x); Här får vi två lösningar till ekvationen lösning, ty och y byta plats: y = f (x) = ln(x + x 2 + 2). ln ( y + y 2 + 2 ), ln ( y y 2 + 2 ) y y 2 + 2 <. Alltså inversen ges av inversen:=ln(x+sqrt(x^2+2)): plot({f(x),inversen,x},-..,-..); y = f(x), men ln(y y 2 + 2) har precis en reell lösning är en icke reell x = f (y) = ln(y + y 2 + 2). Låt x Som väntat är kurvorna y = f(x) och y = f (x) symmetriska med avseende på linjen y = x. 3