Lösningar/svar till tentamen i F003T Hydromekanik Datum: 00-06-04 Observera att lösningarna inte alltid är av tentamenslösningskvalitet. De skulle inte ge full poäng vid tentamen. Motiveringar kan saknas eller vara bristfälliga. De är också i vissa fall för kompakt skrivna. Detta för att spara kopieringskostnad. Uppgift Friläggning Använd momentjämvikt map A. De krafter som ger bidrag till momentet är Tyngdkraften: mg (riktad nedåt; angriper i stångens tyngdpunkt) Lyftkraften: F l (riktad uppåt; angriper i den undanträngda vätskans tyngdpunkt) Arkimedes princip ger: F l = ρ 0 gv () där V är volymen hos den del av stången som är i vattnet och ρ 0 är vätskans densitet. Momentjämvikt map A ger F l l sinθ mg L sinθ = 0 ( ) där l är stångens längd i vattnet och L är hela längden. Men m är proportionell mot ρ L och V proportionell mot l, varför () och () ger ρ 0 l = ρ L ( 3) Geometrin ger cosθ = h l ( 4) (3) och (4) ger cosθ = h L ρ 0 /ρ ( 5) Eftersom cos θ måste h/l även för h/l ρ /ρ 0. ρ /ρ 0. Vid likhet står stången vertikalt. Men det gör den Resultat: Stången står vertikalt för h/l ρ /ρ 0
Uppgift Känt: D = 0cm; D =0cm, Q=00liter/s=00*0-3 m 3 /s=0,0m 3 /s, ρ luft=,kg/m 3, ρ h0=00kg/m 3 Sökt: Höjdskillnaden = h p Bernoullis ekvation ger + V ρ luft + gz = p + V ρ luft + gz () Här är z = z Tryckskillnaden mäts av manometern. Samma tryck vid den undre vattenytan. På den del där vi har lika vattenpelare så tar bidragen till trycken ut varandra och behöver inte tas med i beräkningarna p + ρ luft gh = p + ρ H 0 gh () Kontinuitetsekvationen ger Q=VA V=Q/A, Här är A=πD /4 alltså V = 4Q πd (3) Lös ut tryckskillnader ur ekvation () och () p p = (ρ H 0 ρ luft )h och p p = ρ luft(v V ) Detta ger ρ luft(v V ) = (ρ H 0 ρ luft )gh Använd (3) i uttrycket ovan ρ luft 4Q 4Q πd πd = (ρ H 0 ρ luft )gh Vilket kan förenklas ρ luft 8Q π 4 D 4 = (ρ H 0 ρ luft )gh D 8ρ luft Q Lös ut h; h = gπ 4 (ρ H 0 ρ luft ) D 4 D Numeriskt: h=0,037m Resultat: Höjdskillnaden är 3,7 cm
Uppgift 3 När kulan når sluthastighet är den i jämvikt. Här försummas lyftkraften, pga luftens låga densitet. Jämvikt ger F D mg = 0 Motståndskraften ges indirekt av diagrammet i uppgiften. Samband mellan F D och C D är C D = F D ρv A F D = C D ρv A Arean i formeln är tvärsnittsarea vinkelrät mot strömningen vilket här är A = πr = 4 πd Sammanställning av formler ovan ger C D ρv 4 πd mg = 0 C D = 8mg ρv πd I grafen är C D ritad som funktion av Re, Reynolds tal. I formeln ovan ersätts V med Re. Reynolds tal är Re = ρvl där L är en viktig längd, här är diametern, D. Hastigheten, V, kan µ då skrivas V = µre ρd. Detta i uttrycket för C D ger C D = 8mg ρπd ρd µre = 8ρmg πµ Re Numeriskt: m= 5,9 0 6 kg. För luft vid 0 C gäller ρ=,76kg/m 3 och µ= 7, 0 6 Pa s (alternativt ν= 3,4 0 6 m /s ) vilket ger C D = 6,43 0 5 Re. C D Re,00E+0 64,00E+03 0,64,00E+03 0,6 Detta ritas i diagrammet nedan Skärning sker vid Re =, 0 3,vilket ger V = 7, 0 6, 0 3 Resultat: Sluthastigheten är 5 m/s,76 0,00 =4,7m /s
Uppgift 4 Samband mellan förluster på olika former från formelsamling För rakrörsförluster gäller: För engångsförluster gäller: Kontinuitetsekvationen ger vilket ger För engångsförluster med två farter gäller att den största farten, och därmed den minsta diametern, skall användas. a) Kontraktion med d/d=0.4 ger ζ=0,4. Här används D =.0 m. b) Tvär krök ger ζ=.. Här är D =.0 m c) Raka rör: Friktionsfaktorn, f, beror av Reynolds tal. Här fås och I Moodydiagrammet ses att friktionsfaktorn är konstant för dessa Reynolds tal. Moodydiagrammet eller formeln ger friktionsfaktorn f=0.05 och förlusterna d) De totala förlusterna är e) Ändra vinkeln i kontraktionen från 80 to 60, ζ ändras från 0.4 till 0.07. Förlusterna är nu Sätt in ledskenor i rörkröken, ζ ändras från. till 0.. Förlusterna är nu Minskade förlusterna är:
Uppgift 5 Hastighetsdiagram a) Effekten ges av P=Mω. Rörelsemängdsmomentlagen ger momentet; ΣM = m r ut V ut r ( in V in ) Se figur i uppgiften: De hastighetskomposanter som ger bidrag till rörelsemängdsmomentet är de som är vinkelräta mot vektorn r vilket ger r in V in r V cosα och r ut V ut r V cosα Rörelsemängdsmomentlagen ger här M = ρq(r V cosα r V cosα ) Effekten är P = ωm = ωρq(r V cosα r V cosα ) v.s.v. () b) Hastighetsdiagrammet ger rω = V cosα + V rel cosβ * V cosα = rω V rel cosβ * () V sinα = V rel sinβ * (3) Kontinuitetsekvationen ger Q = V sinα arean = V sinα πrb (4) (4) ger V sinα = Q πrb i (3) ger V sinα = Q πrb = V Q rel sinβ* vilket ger V rel = πrbsinβ * i () ger ger V cosα = rω Qcosβ* πrbsinβ = rω Q * πrbtanβ * Q i() ger P = ωρq r r ω * πr btanβ r r Q ω * πr btanβ vilket ger P = ρq r ( r ) ω + Qω πb * tanβ * tanβ v.s.v.