KTH Matematik B Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den januari. a) I en triangel är två av sidlängderna 7 respektive 8 längdeneter vinkeln mellan dessa sidor är. Bestäm den tredje sidans längd triangelns area. () b) Bestäm sidlängderna i en triangel där vinklarna är, 7 89 triangelns area är cm. Ange svaren med två värdesiffror. () c) Två tangenter till en cirkel med radie r möts vid en vinkel av. Hur stor är arean av det område som ligger mellan tangenterna cirkeln? () Lösning: Vi kallar sidornas längder för a, b c med a 7 b 8. Enligt cosinussatsen är nu c a + b ab cos a + b + ab 7 + 8 + 7 8 9 + 6 + 6 69. Alltså är den tredje sidans längd c längdeneter. Triangelns area ges enligt areasatsen av ab sin 7 8 areaeneter. b) Beteckna vinklarna α, β 7 γ 89 motstående sidlängder a, b c. Vi ar enligt sinussatsen att a sin α b sin β c sin γ. Areasatsen ges att triangelns area kan skrivas som T ab sin γ Vi kan därmed lösa ut c som c T sin γ sin α sin β c sin α c sin β sin γ sin γ sin γ c sin α sin β sin γ sin 89 87, 6 sin cm sin 7
c, 7 cm. På samma sätt får vi b a T sin β sin α sin γ T sin α sin β sin γ vilket ger b, cm a 7, 66 cm. sin 7, sin cm sin 89 sin 8, 7 sin 7 cm sin 89 c) Vi kallar tangeringspunkterna för A B, cirkelns centrum för C tangenternas skärningspunkt för D. Vi ar då en fyrörning ACBD med två räta vinklar vid A B. Vinkeln D är den fjärde vinkeln vid C måste då vara 6 9 9. Om vi betecknar avståndet mellan A D för l kan vi med cosinussatsen få två olika uttryck för kvadraten på avståndet mellan A B r + r r cos l + l l cos dvs Vi kan alltså lösa ut l som r ( + ) l ( ). l r + ( + ) r ( )( + ) ( + ) r l r + r( + ). Fyrörningen består av två rätvinkliga trianglar med kateter r l, vilket ger den sammanlagda arean rl. Det återstår nu att ta bort arean för cirkelsektorn för att få den sökta arean. Öppningsvinkeln i sektorn är, eller π/ radianer. Sektorns area är därmed πr /8 den sökta arean är rl πr 8 ( + π 8 ) r a) Den tredje sidans längd är arean är. b) Sidlängderna är 7, 7 cm, cm cm.
c) Arean av området är ( + π/8)r.. a) Bestäm samtliga lösningar till ekvationen ( sin x π ). b) Bestäm ett närmevärde med två gällande siffror till den minsta positiva lösningen till ekvationen sin x + cos x () c) Bestäm samtliga lösningar till ekvationen () sin x + sin x + sin x. Lösning: a) Vi börjar med att införa t x π/. Inom intervallet t π antar sin(t) värdet / två gånger, för t π/ t 7π/. De andra lösningarna till sin t / fås genom periodiciteten av t π/+πn respektive t 7π/+πn, där n är ett godtyckligt eltal. Eftersom vi kan lösa ut x som x (t+π/)/ får vi samtliga lösningar till ekvationen som π x + πn + π π + πn + 8π π 6 6 + πn 7π x + πn + π π + πn + 8π 9π 6 6 + πn b) Vi skriver vänsterledet som A sin(x + φ) A cos φ sin x + A sin φ cos x. För att detta ska stämma med det givna måste vi a { A cos φ A sin φ vilket är uppfyllt om A A cos φ+a sin φ + φ arctan,. Lösningarna till ekvationen ges nu av x + φ arcsin( / ) + πn () x + φ π arcsin( / ) + πn
för godtyckliga eltal n. Vi ar att arcsin( / ), 68. För n får vi x arcsin( / ) arctan. x π arcsin( / ) arctan,. Eftersom perioden är π 6, 8 så måste den minsta positiva lösningen vara x,. c) Med jälp av additionssatsen för sinus kan vi skriva sin x sin(x + x) sin x cos x + sin x cos x. Vi ar också att sin x sin(x + x) sin x cos x cos x cos(x + x) cos x sin x cos x. Därmed får vi sin x sin x cos x + sin x( cos x ) sin x( cos x ) Alltså kan vi skriva om vänsterledet i ekvationen som sin x + sin x + sin x sin x + sin x cos x + sin x( cos x ) sin x( + cos x + cos x ) sin x cos x( + cos x) Nollställena till sin x + sin x + sin x ges därmed av nollställena till de tre faktorerna sin x, cos x + cos x. Någon av de två första är noll precis vid varje multipel av π/. Lösningarna till + cos x i intervallet π x π ges av x ±π/. Alltså ges resterande lösningar av ±π/ + πn. a) Lösningarna är π/ + πn/ 9π/ + πn/, där n är ett godtyckligt eltal. b) Den minsta positiva lösningen är x,. (77, ) c) Lösningarna är nπ/ ±π/ + πn, där n är ett godtyckligt eltal.. a) Beräkna derivatan av funktionen f(x) e x cos(x) som är definierad för x. Var noggrann med att ange vilka deriveringsregler som används ur de används. () b) Använd Newton-Rapsons metod för att bestämma ett närmevärde till nollstället till funktionen f(x) sin(x)+x. Utför två iterationer med startvärde x. ange nollstället med korrekt antal gällande siffror. () c) Härled formeln för derivatan av en produkt av två deriverbara funktioner. () Lösning: a) Vi börjar med att skriva f(x) g(x), där g(x) e x cos x. Eftersom derivatan av x är /( x) får vi enligt kedjeregeln derivatan av f(x) som f (x) g (x) g(x).
För att derivera g(x) beöver vi kedjeregeln som ger att derivatan av e x är e x produktregeln som ger att derivatan av e x cos x är e x cos x + e x ( sin x) ( cos x + sin x)e x Eftersom derivatan av konstanten är noll får vi nu f (x) g (x) g(x) ( cos x + sin x)e x e x cos x. b) För att använda Newton-Rapsons metod beöver vi först derivera funktionen f(x) sin(x) + x vi får då f (x) cos(x) +. När vi börjar med x får vi nu x x f(x ) f (x ) sin() + cos() + x x f(x ) f (x ) sin(/) + / cos(/) + Korrektionen i nästa steg är f(x ) f (x ) sin(.) +. cos(.) +., vilket antyder att x är ett närmevärde med två gällande siffrors noggrannet. c) Vi kan skriva om differenskvoten för f(x)g(x) som f(x + )g(x + ) f(x)g(x) f(x + )g(x + ) f(x)g(x + ) f(x)g(x + ) f(x)g(x) + f(x + ) f(x) g(x + ) g(x) g(x + ) + f(x) Om både f(x) g(x) är deriverbara ar vi gränsvärdena Dessutom är f(x + ) f(x) lim Därmed får vi att (f(x)g(x)) f (x) lim g(x + ) g(x) lim f(x + ) (x). f(x + )g(x + ) f(x)g(x) lim f(x + ) f(x) lim g(x + ) + lim ( f(x + ) f(x) lim f (x)g(x) + f(x)g (x) g(x + ) g(x) f(x) ( lim ) ( ) lim g(x + ) + f(x) g (x) ) g(x + ) g(x)
a) Derivatan är f (x) ( cos x + sin x)/( e x cos x). b) Nollstället är x, med två gällande siffrors noggrannet.. a) Kurvan f(x) sin(x) avgränsar tillsammans med dess tangenter i punkterna x x π ett område i planet. Beräkna arean av detta område. () b) Samma område roterar kring x-axeln. Beräkna volymen av den rotationskropp som bildas. () c) Beräkna integralen + x dx med jälp av ett variabelbyte. () Lösning: Vi börjar med att rita upp området. Vid x är tangentens lutning eftersom derivatan av sin x är cos x cos. Vid x π är tangentens lutning cos π. Vi får alltså följande figur Vi kan få områdets area genom integralerna / (x sin x) dx + π/ (π x sin x) dx eller genom att ta triangelns area minus arean under sinuskurvan. Den första integralen ges av / den andra ges av [ x (x sin x) dx + cos x ] π/ π 8 + ( + ) π 8 π/ (π x sin x) dx [πx x + cos x ] π π/ π π +( ) (π π π π +) 8 8 vilket också kunde ses genom symmetrin med jälp av den första integralen. Områdets area är alltså ( ) π 8 π 8. b) När området roterar kring x-axeln bildas en rotationsvolym som kan ses som skillnaden mellan rotationsvolymerna för den övre den nedre kurvan. Den övre 6
kurvan ger uppov till en dubbelkon med radie π/ sammanlagd öjd π dess volym är därmed π π / π/ π /. Vi kan också räkna ut detta genom integralerna / πx dx+ π(π x) dx π/ ] π/ [π x + [ π Den inre rotationsvolymen ges av integralen π sin x dx Eftersom vi kan skriva om sin x som ( cos x)/ får vi ] π (π x) π π/ +π π. π sin x dx cos x π dx [ πx π sin x ] π π Volymen av den givna rotationskroppen är således skillnaden ( ) π. π π π (π 6). c) Vi genomför variabelbytet t + x får då dt x dx gränserna ändras till t +, respektive t +. Alltså är + x dx x + x x dx t dt t t dt [t ln t] ( ln ) ( ln ) ln. a) Arean är (π 8)/. b) Volymen är π (π 6)/. c) + dx ln. x 7