Kaos i Hénon-Helies systemet Projekt i Analytisk Mekanik Av: Christian Emanuelsson Karlstads universitet hösten 2011
Kaos i Hénon-Helies systemet Överblick: Introducera kaos Presentera Hénon-Helias Visualisera kaos
Kaos Historiskt: Alla system analytiska Poincaré: Tre kropps problemet går inte att lösa analytisk Något annat som rörelse lyder under: kaos
Kaotiska banor Kaotiska system uppvisar stor slumpmässighet med viss grad av regelbundenhet. Kännetecknas av: Känslighet till initial värden Mixande Täta och quasi-periodiska
KAM teoremet När störningsteori kan användas för en störning För en Hamiltonian H =H 0 +Δ H, H 0 integrerbar, Δ H störning Δ H ska vara liten Frekvenserna till H 0 ska inte vara proportionerliga När teoremet håller är banan begränsad till ytan av en torus När KAM inte håller kan kaos ta vid
Liapunov exponenten Ett sätt att kvantitativt mäta hur känsligt ett system är på initial villkor. Tittar på avståndet mellan två banor när de börjar, S 0, och efter en tid, S (t ). λt Sedan löses λ ur: S (t)=s 0 e Kaotiskt system: λ > 0
Poincaré sektioner Ett sätt att skapa sig en bild av hur ett system uppför sig i delar av fasrummet. Om man befinner sig i ett 4D fasrum: Använd en konstant för banan => 3D Plotta banan där den skär genom ett plan => 2D Öar där systemet är integrerbart inbäddat i kaos
Attraktorer Kaos har en släkting, systemet behöver inte börja i stabila banor men drar sig åt något stabilt område i fasrummet över tid, en attraktor, av heltals dimension Kaos: Har attraktorer som är av fraktal dimension, mystiska attraktorer (strange attractor) Fraktaler uppvisar självlikheter, detta är också en egenskap av kaos.
Attraktorer Exempel Van der Pol attraktorn Lorentz attraktorn
Attraktorer Självlikhet, fraktaler Självlikheterna man kan se i kaotiska system är inte lika regelbundna som dessa konstruerade fraktaler De nämnda öarna brukar ha självlikheter
Hénon-Helies systemet Historik 1950-60: Nytt intresse för en eventuell 3:e konstant integral av rörelsen gör galaktiska banor. (r, θ, z, r, θ, z ) 6D, => matematisk 5 integraler Visste om 2, visat att generellt ger 2 av de andra inget Finns det en 3:e? Man trodde inte det då ingen hittats analytiskt Observationer och numeriska beräkningar tydde på det
Hénon-Helies systemet Motivering till potentialen Hénon och Helies antog: En axis-symmetrisk potential Rörelsen var begränsad till ett plan De använde per enhet massa och satte: p x = x, p y = y 1 2 2 Totala energi integralen för rörelsen: E =V ( x, y)+ ( x + y ) 2 ( 1 2 2 2 3 2 Efter några försök valde de: V ( x, y)= x + y +2xy y 2 3 Lätt att finna lösningar Gav icke triviala banor )
Hénon-Helies systemet Potentialen Minimum i origo, tre sadelpunkter, ett bundet område E < 1/6
Hénon-Helies systemet Hamiltonian och fasrummet ( 1 2 2 1 2 2 2 3 2 H = ( x + y ) x + y +2xy y 2 2 3 ) Rörelse ekvationerna: p x = H = x = x 2xy x p y = H 2 2 = y = y x + y y Rörelsen är bunden i det nöt formade området: Triangeln i x-y planet 3 2 y =± 2E+2 y /3 y x =± 2E x 2
Banor Nu behövs initial villkor, denna metod användes: Sätt x=0 Använd y, y och E som parametrar Beräkna x med: x = 2 E y 2 y 2+ 2 y3 3 Sedan matar man in integrationstiden och tidsintervallen och ODE lösaren räknar ut banan
Banor
Poincaré maps E sätts konstant => 3 dimensioner Väljer att använda planet där x=0 Leta upp var banan skär genom planet: Xn < 0 and xn+1 > 0 Beräkna y och y : y n + y n+1 y= 2 y n+ y n+1 y = 2
Poincaré maps
KAM teoremet KAM teoremet ger en geometrisk beskrivning av när kaos börjar: Banan ligger inte på en torus. Kan man se detta? Idén var att plotta 3D fasrummet (x,y, y )
KAM teoremet
Liapunov exponenten Här görs beräknas två banor som initialt är på ett litet avstånd. När beräkningen är klar beräknas den nya skillnaden och sedan används: ln (s (t)) ln ( s0 ) λ= t Metoden var att låta y och y vara samma för båda banorna och lägga till ett d på x. Detta skulle göra det lättare att välja punkter.
Liapunov exponenten Färgade: Startpunkter Svarta: Slutpunkter
Liapunov exponenten Hypotesen va att skulle öka med tiden och energin, så skulle några skulle göras för olika punkter, energier och tider. Hypotesen stöter på problem: Integrations tid 50 80 100 λ -2,72 0,21-0,31 Vad händer? Undersök genom att plotta över tid
Liapunov exponenten
Liapunov exponenten Hur λ förändras med tiden när energin ökar
Liapunov exponenten För punkter i olika delar av fasrummet:
Självlikheter Uppvisar systemet några självlikheter? Öar:
Självlikheter Råkade finna något intressant för låga E: Strunta i att dela med t:
Självlikheter En annan eventuell självlikhet i systemet som hittades, över tid för låga energier: