Tentamen i Linjär algebra, HF194 Datum: 17 dec 18 Skrivtid: 14:-18: Lärare: Marina Arakelyan, Elias Said Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs 1 av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 19, 1, 13 respektive 1 poäng Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten) Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad, (speciellt tydligt på omslaget, eftersom tentorma skannas och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på omslaget) Skriv endast på en sida av papperet Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter ( Endast svar utan tillhörande lösning ger poäng) Ange omslagsbladet klasstillhörighet : Klass A, Klass B eller Klass C eller Omregistrerad för enklare sortering Denna tentamenslapp får ej behållas utan lämnas in tillsammans med lösningar -------------------------------------------------------------------------------------------------- Uppgift 1 (p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1) Lös följande ekvationssystem (med avseende på x, y och z) x + y + z = x + 3y + 4z = 1 Uppgift (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) Bestäm en ekvation för planet som går genom punkterna A=(1,,), B=(,3,3), C=(3,3,3) Uppgift 3 (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3) + i Låt z = + ( + i) Bestäm Re(z ) 1+ 3i Var god vänd Sida 1 av 8
Uppgift 4 (3p) a) (1p) Bestäm en ekvation för linjen L som går genom punkterna A = (1,,3) och B = (,3,5) b) (p) Bestäm en ekvation för planet Π som går genom punkten P= (,,1) och som är vinkelrät mot linjen L Uppgift 5 (4p) a) (p) Beräkna volymen av pyramiden vars hörn är A=(1,1,1) B=(,,), C=(,,4) och D=(4,3,5) b) (p) Bestäm pyramidens höjd från punkten D till basen ABC Uppgift (4p) 3 1 Låt A =, B =, C = 1 1 5 3 Lös följande matrisekvationer (med avseende på X) : a) (p) A X + BX = C b) (p) A X + XB = C Uppgift 7 (p) Bestäm spegelbilden av punkten P = (3,5, 3) i planet x+ y+ z = 4 Uppgift 8 (p) 3 a) Bestäm alla lösningar till ekvationen z + i b) Ange alla lösningar i rektangulärform (dvs a + bi form) Uppgift 9 (p) Låt L vara en linje genom punkten O med enhetsriktningsvektor e (alltså e =1) Låt F vara en kraft med startpunkt (angreppspunkt) i punkten P Vi betecknar r = OP Vridmoment ( kraftmoment) M L, runt linjen L, för kraften F med angreppspunkten i P kan beräknas med följande formel: M L = e M där M = r F Låt L vara linjen ( x, y, z) = t(1,1, ) Låt F = (1,, 3) vara en kraftvektor med startpunkten (angreppspunkten ) i P=(,3,1) Beräkna vridmoment M L = e M runt linjen L för kraften F, med angreppspunkten i P Anmärkning: Vi antar att alla storheter i uppgiften är givna i standardenheter Lycka till! Sida av 8
FACIT Uppgift 1 (p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1) Lös följande ekvationssystem (med avseende på x, y och z) x + y + z = x + 3y + 4z = 1 x + y + z = x + 3y + 4z = 1 y z = y = 1 y = 1 z = 1 Svar: x = 1, y = 1, z = 1 Rättningsmall: Korrekt metod och två lösningar y = 1, z = 1 ger 1p Allt korrekt =p Uppgift (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) Bestäm en ekvation för planet som går genom punkterna A=(1,,), B=(,3,3), C=(3,3,3) AB = (1,1,1), AC = (,1,1 ) N = AB AC i j k AB AC = 1 1 1 i + 1 j 1k 1 1 N = (,1, 1) Planets ekvation: ( x 1) + 1( y ) 1( z ) eller y z Svar: y z Rättningsmall: Korrekt en normalvektor =1p Allt korrekt =p Uppgift 3 (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3) + i Låt z = + ( + i) Bestäm Re(z ) 1+ 3i i i i i i z + ( + )(1 3 ) + + 3 = + ( + i) = + (4 + 4i + i ) = + (4 + 4i 1) 1+ 3i (1 + 3i)(1 3i) 1+ 9 5 5i 1 i 7 7i = + 3 + 4i = + 3 + 4i = + = 35 + 35i 1 7 Re( z ) = Svar: Re( z ) = 7 Sida 3 av 8
5 5i Rättningsmall: Korrekt till z = + 3 + 4i ger 1p Allt korrekt =p 1 Uppgift 4 (3p) a) (1p) Bestäm en ekvation för linjen L som går genom punkterna A = (1,,3) och B = (,3,5) b) (p) Bestäm en ekvation för planet Π som går genom punkten P= (,,1) och som är vinkelrät mot linjen L Lösning a) AB = v = (1,1,) L : ( x, y, z) = (1,,3) + t(1,1,) Rättningsmall (a): Rätt eller fel b) N = (1,1,) Planets ekvation: 1 ( x ) + 1( y ) + ( z 1) eller x + y + z = 4 Rättningsmall: Korrekt en normalvektor =1p Allt korrekt =p Uppgift 5 (4p) a) (p) Beräkna volymen av pyramiden vars hörn är A=(1,1,1) B=(,,), C=(,,4) och D=(4,3,5) b) (p) Bestäm pyramidens höjd från punkten D till basen ABC a) Låt u = AB = (1,1,1), v = AC = (1,1,3), w = AD = (3,, 4) x1 y1 z1 1 1 Pyramidens volym är V = ( u v) w = x y z x y z 3 3 3 1 1 1 Först beräknar vi determinanten D = 1 1 3 = 3 4 1 1 Därför V = = 3 ve 1 Svar a) V = 3 ve Rättningsmall: Korrekt determinanten D= ger 1p Allt korrekt =p b) Vi bestämmer avståndet från punkter D till planet som går genom punkterna A, B och C En normalvektor till planet är n = u v = (,,) Planets ekvation: ( x 1) ( y 1) x y Höjden dvs avståndet från punkten D till basen (som ligger i planet) är Sida 4 av 8
4 3 1 H = = = + ( ) Anmärkning: Det finns ( som i alla i matteuppgifter) flera andra metoder att beräkna höjden exempelvis kan vi beräkna basytans arean B= och bestämma höjden ur formeln för B H pyramidens volym V = 3 Svar b) 1 H = ( = ) Rättningsmall: Korrekt planets ekvation (eller basytans area) ger 1p Allt korrekt =p Uppgift (4p) 3 1 Låt A =, B =, C = 1 1 5 3 Lös följande matrisekvationer (med avseende på X) : a) (p) A X + BX = C b) (p) A X + XB = C a) AX + BX = C ( A + B) X = C 1 X = ( A + B) C 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 ( ) A+ B= X = A+ B C = = = 1 3 1 1 5 3 3 3 3 3 1 3 1 1 3 Svar: X = ( ) 3 3 = 3 3 Rättningsmall: Korrekt till ger p) Allt korrekt =p X 1 3 1 = 1 1 5 3 ger 1p (Fel ordning i matrismultiplikaton b) AX + XB = C a b a b 3 1 + = 1 c d c d 1 5 3 Sida 5 av 8
a b a b 3 1 a+ b a 1 c d + c d 1 = 4c d c 3d + + a+ b= a b a + a 4c d c 3d = 5 3 + + 4c+ d = 5 c+ 3d = 3 Från systemet har vi a, b =, Alltså X = 1 7 11 11 Svar: X = 1 7 11 11 1 7 c =, d = 11 11 Rättningsmall: Korrekt till systemet a+ b= a 4c+ d = 5 c+ 3d = 3 ger 1p Allt korrekt =p Uppgift 7 (p) Bestäm spegelbilden av punkten P = (3,5, 3) i planet x+ y+ z = 4 Metod 1: P Q O S Linjen genom P vinkelrät mot planet är L: ( xyz,, ) = (3,5, 3) + t(1,,1) Skärningspunkten mellan linjen och plan får vi genom att lösa systemet Sida av 8
= 3 + t y = 5 + t z = 3 + t x+ y+ z = 4 Vi får punkten t =, x = 1, y = 1, z = 1 och därmed är Q = (1,1,1) den sökta skärningspunkten Låt S beteckna spegelbilden av P och låt O=(,,,) Då gäller OS = OP + PQ = (3,5,3) + (, 4, ) = ( 1, 3, 1) Alltså S= ( 1, 3, 1) Svar: ( 1, 3, 1) Rättningsmall (metod 1): Korrekt linjens ekvation ( xyz,, ) = (3,5, 3) + t(1,,1) och kärningspunkten Q ger 1p Allt korrekt =p Metod : Vi väljer en punkt i planet:, exempelvis P = (1,1,1) Då är PP= (, 4, ) PP Projektionen av PP på planets normalvektor n = (1,,1) n är h= n= (, 4, ) n PS = ( s1 1, s 1, s3 1) där S är en spegelpunkt PS + h= PP PS = PP h ( s1 1, s 1, s3 1) = (, 4, ) S = ( s1, s, s3) = ( 1, 3, 1) Svar: ( 1, 3, 1) PP n Rättningsmall (metod ): Korrekt projektionen på normalvektorn (,4,) n = ger 1p n Allt korrekt =p Uppgift 8 (p) 3 a) Bestäm alla lösningar till ekvationen z + i b) Ange alla lösningar i rektangulärform (dvs a + bi form) a) 3π ( + kπ ) i 3 3 3 3 z + i z + i z = i z = e Härav π kπ ( + ) i 3 z = e där k,1, Svar a) π kπ ( + ) i 3 z = e där k,1, Rättningsmall (a): Rätt eller fel b) För k= har vi Sida 7 av 8
π i π π z = e = cos( ) + i sin( ) = i För k=1 har vi 7π ( ) i 7π 7π 3 1 z1 = e = cos( ) + i sin( ) = i 11π ( ) i 11π 11π 3 1 z = e = cos( ) + i sin( ) = i 3 1 3 1 Svar b: z = i, z1 = i, z = i Rättningsmall (b): Rätt eller fel Uppgift 9 (p) Låt L vara en linje genom punkten O med enhetsriktningsvektor e (alltså e =1) Låt F vara en kraft med startpunkt (angreppspunkt) i punkten P Vi betecknar r = OP Vridmoment ( kraftmoment) M L, runt linjen L, för kraften F med angreppspunkten i P kan beräknas med följande formel: M L = e M där M = r F Låt L vara linjen ( x, y, z) = t(1,1, ) Låt F = (1,, 3) vara en kraftvektor med startpunkten (angreppspunkten ) i P=(,3,1) Beräkna vridmoment M L = e M runt linjen L för kraften F, med angreppspunkten i P Anmärkning: Vi antar att alla storheter i uppgiften är givna i standardenheter 1 Linjens enhetsriktningsvektor är e = (1,1, ) Vi gör beräkningar enligt beskrivningen i uppgiften: i j k M = r F = 3 1 = 7i 5 j + k = (7, 5,1) 1 3 1 1 Vridmoment M L = e M = (1,1,)(7, 5,1) = (7 5 + ) = 4 Svar: ML= 4 Rättningsmall: Korrekt M = r F = ( 7, 5,1) ger 1p Allt korrekt= p Sida 8 av 8