TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x 5 x + 1 Svar: x Bestäm Rez, Imz samt z på formen a + ib om 1 iz = 7 + i Svar: z = + i Bestäm sin ϕ och cos ϕ om ϕ = arctan Svar: sin ϕ = 5, cos ϕ = 5 + h 5 Bestäm gränsvärdet lim h h Svar: 1 6 Beräkna Svar: ln + π x dx x x + 5 7 Lös begynnelsevärdesproblemet 1 + x y x = y med villkoret y = 1 Svar: yx = e arctanx 8 Bestäm det λ för vilket funktionen { fx = λarctan 1 x, x 1, x = blir kontinuerlig i origo Svar: λ = π 9 Lös olikheten x 9x 5 x + Svar: x <, 1 x 5 1 Bestäm en primitiv funktion till fx = x 8 sinx 9 + Svar: 1 9 cosx9 + 11 Beräkna sin arcsin 1 + arccos Svar: 16 + 7 1 Låt fx = ln 15 x + + 1 x Bestäm D f Svar: x D f < x < 1 eller x >
A-uppgifter Matematisk analys sid av 5 1 Skissa kurvan y = x + x + 9 med angivande av eventuella extrempunkter och asymptoter x + 1 Svar: Stationära punkter x = lok min och x = lok max; lodrät asymptot x = 1; sned asymptot y = x då x ± 1 Lös differentialekvationen y 6y + 9y = 7x + Svar: y = y h + y p = C 1 x + C e x + x + x + 9 15 Lös ekvationen tan arccos x = 1 Svar: 1 16 Undersök om en invers funktion f 1 existerar till funktionen fx = x + 6 Bestäm i så fall den inversa funktionen samt även definitions- och värdemängd till både f och f 1 Svar: f 1 y = y 6 ; D f 1 = V f = [, [ och V f 1 = D f = [, [ 17 Bestäm en primitiv funktion till fx = x x + sinx Svar: 5 x5/ x cosx + sinx 18 Använd derivatans definition för att bestämma f x om fx = x + 1 19 Bestäm en primitiv funktion till funktionen fx = 5x + x 9 Svar: ln x + ln x + + C Bestäm samtliga lösningar till ekvationen z = 8i Ge lösningarna på formen z = a + bi Svar: 8e i π 6 +n π = e i π 6 +n π, n =,1, 1 Lös differentialekvationen xy y = x + 1 för x > med begynnelsevillkoret y1 = Svar: y = x ln x 1 + Cx y = x ln x + x 1 Bestäm värdet av den generaliserade integralen Svar: 1 1 1 ln dx x Bestäm samtliga lösningar till differentialekvationen y + y y = e x Svar: y = y p + y h = xex 5 + C 1e x + C e x = x+cex 5 + C 1 e x Bestäm f π 16 om fx = ln sin x Svar: π 5 Lös ekvationen e x 1e x = Svar: x = ln 6 6 a Visa genom att sätta in i ekvationen att z = 1 + i är en lösning till ekvationen z + 1z 5 = b Lös ekvationen z + 1z 5 = fullständigt Svar: b z 1, = 1 ± i, z, = 1 ± 1 + 1 = 1 ±
x πsin x 7 Beräkna gränsvärdet lim x π tan x Svar: -1 A-uppgifter Matematisk analys sid av 5 8 Använd implicit derivering för att hitta ett värde på parametern β för vilket kurvan x + y xy = 1 + β lnx har en vågrät tangent i punkten 1,1 Svar: β = 9 Bestäm alla stationära punkter och alla asymptoter till funktionen fx = x + x x Bestäm också funktionens värdemängd Svar: Lodräta asymptoter: Linjen x = dvs y-axeln och linjen x = Vågrät asymptot: linjen y = dvs x axeln Stationära punkter är x = 1 och x = Värdemängden är V f =], 1 ] [, [ Lös differentialekvationen y = y cos x,y > med begynnelsevillkoret y = 1 Svar: y = 1 sinx = 1 sin x 1 Beräkna värdet av den generaliserade integralen Svar: 5 + xe x dx Bestäm samtliga lösningar till differentialekvationen y 5y + 6y = 5cos x Svar: y = y p + y h = 5sin x + cos x + C 1 e x + C e x Lös olikheten x x + x 1 Svar: x 1, 1 < x Låt z = i 1 + i a Skriv z på fomen a + bi b Beräkna z Svar: a z = 1 i b z = 1 + = 5 5 Ange den allmänna lösningen till differentialekvationen y x y x yx = x + x Svar: yx = C 1 e x + C e x x + 1 6 Bestäm den primitiva funktionen x ln xdx Svar: x lnx x 9 + C 7 Bestäm ekvationen för en tangent till kurvan y = yx som definieras av sambandet x 5xy + y + 1 = i punkten,1 Svar: y = 7 8 x 8 Lös differentialekvationen y + y x Svar: y = x 1 x = x 1 x = 1, x > med begynnelsevillkoret y1 = 9 a Skriv på polär form det komplexa talet z = +i
b Ange på a + ib form talet w = z 11 Svar: a z = A-uppgifter Matematisk analys sid av 5 +i = cos π 6 + isin π 6 = eiπ/6 b z 11 = e 11πi/6 = e πi/6 = Bestäm samtliga lösningar till differentialekvationen y 6y + 9y = e x Svar: y = y p + y h = 1 ex + C 1 x + C e x 1 Beräkna gränsvärdet lim x + x x + 1 x Svar: Ekvationen z 5z + 1z + 5 = har en lösning 1 i Lös ekvationen fullständigt Svar: z 1, = 1 ± i, z = 1 Bestäm f 1 om fx = ln arcsin x Svar: π Bestäm gränsvärdena x a lim x + x x sinx b lim x ln1 + x Svar: a 1 ; b 5 Beräkna Svar: π 6 Låt z = + i dx x x + 5 a Ange z på polär form dvs bestäm r > och ϕ, sådana att z = r e iϕ b Låt w = z Ange talet w11 på formen a + ib Svar: a e iπ/6 ; b i 7 Skissa kurvan till funktionen fx = x x + Ange speciellt samtliga extrempunkter och samtliga x 1 asymptoter Svar: Lodrät asymptot x = 1; sned asymptot y = x+1 då x ± ; Lok max i x =, lok min i x = 8 Lös olikheten x > x + Svar: x < eller x > 8 9 Lös ekvationen z = 16 Lösningarna skall vara på formen x + iy Svar: ± ± i alla fall 5 Lös differentialekvationen y + 7y + 1y = 1sinx + 8cosx Svar: y = y h + y p = C 1 e x + C e 5x + sinx i
A-uppgifter Matematisk analys sid 5 av 5 51 Bestäm en primitiv funktion till funktionen fx = x + 8 x + x Svar: ln x ln x + + C = ln x + C x+ 5 Ekvationen z 6z + 1z + z = 15 har lösningen z = + i Finn övriga tre rötter Svar: z 1, = ± i,z =,z = 1 9 + 7h h 5 Bestäm gränsvärdet lim h h Svar: 7 6 5 Beräkna integralen Svar: π 7 π x cos xdx 55 Bestäm samtliga asymptoter och stationära punkter till funktionen fx = Skissa funktionens graf x x + 1 Svar: Lodrät asymptot: x = 1, sned asymptot: y = x Stationära punkter: x =,x = 56 Bestäm samtliga lösningar till differentialekvationen y + y + 5y = sin x Svar: y = y p + y h = 1 5 sin x 1 1 cos x + e x C 1 sinx + C cos x 57 Ange realdelen, imaginärdelen och beloppet z för lösningen z till ekvationen 1 iz = + i Svar: z = +i 1 i = i Realdel=, imaginärdel=1 z = 1, 58 Bestäm sin ϕ om ϕ = arctan Svar: 5 59 Ange inversen f 1 till funktionen fx = ln1 + e x Svar: f 1 x = lne x 1 6 Bestäm gränsvärdet lim x ln1 + x sinx Svar: 61 Använd partialbråksuppdelning för att bestämma en primitiv funktion till fx = x Svar: ln x x+ 6 Lös det separabla begynnelsevärdesproblemmet 1+x y = xy med villkoret y = 1 Svar: yx = 1 + x 6 Polynomet Pz = z z +z +77z 9 har en rot z = +i Bestäm dess övriga nollställen Svar: Pz = z + 5z z z + 1 = z 1z + z z + 1 6 Ange den allmänna lösningen till differentialekvationen y t + y t yt = e t Svar: yx = c 1 e t + c + t et