Matematikuppgifter del II, FYTA11 51. Lös uppgift 10.1 i boken. 52. Lös uppgift 10.2 i boken. 53. Lös uppgift 10.3 i boken. 54. Lös uppgift 10.4 i boken. 55. Låt en kurva i rummet vara given i parametrisk form: r(u) = (ucosu sinu, usinu+cosu, 12 ) u2. a) Beräkna avståndet till origo som funktion av u (kan skrivas helt utan kvadratrötter!). Ange den punkt på kurvan som befinner sig närmast origo. b) Ange enhetsvektorn ˆt i tangentens riktning (tangentvektorn) som funktion av u, och visa att den (för u 0) har en konstant lutning av 45 i förhållande till z-axeln. c) För u = 0 blir tangenten odefinierad. Taylorutveckla kurvan kring u = 0 till ordning u 3. Visa att kurvan har en spets i denna punkt, där tangenten byter riktning. 56. Låt φ(r) vara ett skalärt fält, och antag att en partikel rör sig emot gradientens riktning så att dess position r(t) ändras enligt ṙ = φ(r). a) Visa att värdet av φ i punkten r(t), sett som funktion av t, aldrig kan öka. b) Låt speciellt φ = r 2. Visa att det finns precis en punkt r f där φ(r(t)) inte minskar. c) Lös för detta fall initialvärdesproblemet för godtyckligt val av startpunkt r(0) = a, dvs. ange r(t) för t > 0(Ledning: lös ekv. komponentvis). Visa att partikeln alltid hamnar i punkten r f till slut. 57. Lös uppgift 10.10 i boken. 58. Lös uppgift 10.15 i boken. 59. Betrakta ytorna x 2 +y 2 +z 2 = 9 och x 2 +y 2 z = 3. a) Visa att båda innehåller punkten (2,-1,2). b) Beräkna vinkeln mellan ytorna i denna punkt. 60. Givet att E = 0, B = 0, E = B, B = 1 E, visa att de elektriska t c 2 t och magnetiska fälten E och B båda satisfierar vågekvationen 2 u = c 2 2 u. t 2
61. Finn konstanter a, b, c så att vektorfältet A = (x+2y +az)ê x +(bx 3y z)ê y +(4x+cy +2z)ê z blir irrotationellt (dvs. A = 0). 62. Det kan vara intressant att studera populära koordinatsystem också i två dimensioner, dvs. i xy-planet. Ett populärt val är som bekant planpolära koordinater {u 1 = r, u 2 = φ}, givna av x = rcosφ, y = rsinφ. a) Plocka fram de naturliga koordinat-tangentvektorerna e i = r/ u i, där r = xê x +yê y, och visa att de är sinsemellan ortogonala (alltså är koordinaterna ortogonala). b) Härled motsvarande ortonormerade bas {ê i } genom att skriva resp. e i som h i ê i. Visa att skalfaktorerna blir h r = 1, h φ = r. Tolka. c) Plocka också fram de s.k. reciproka vektorerna, u i, och visa att de blir e i /h i. d) Härled uttrycket för (det kvadrerade) längdelementet ds 2 i planpolära koordinater. e) Härled motsvarande planpolära uttryck för areaelementet da = dx dy. f) (Överkurs:) Visa till slut att (den tvådim.) Laplace-operatorn 2 x 2 + 2 y 2 blir 2 r + 1 2 r r + 1 2 r 2 φ 2. (Ledning: Visa det baklänges genom att uttrycka r, φ 63. Lös uppgift 11.3 i boken. i termer av x,y). 64. Lös uppgift 11.7 i boken. 65. Lös uppgift 11.10 i boken. 66. Lös uppgift 11.14 i boken. 67. Lös uppgift 11.15 i boken. 68. Lös uppgift 11.17 i boken. 69. Använd Gauss lag för det elektriska fältet i närvaro av en elektrisk laddningstäthet, E = ρ/ǫ 0, samt Gauss sats (divergenssatsen) för att beräkna det elektriska fältet på ett avstånd r från en punktladdning q. Antag att fältets riktning är radiellt ut från laddningen.
70. Lös uppgift 11.19 i boken. 71. Lös uppgift 11.21 i boken. 72. Lös uppgift 11.27 i boken. 73. Lös uppgift 11.28 i boken. 74. Använd Ampéres lag för det magnetiska fältet i närvaro av en elektrisk strömtäthet, B = µ 0 j, samt Stokes sats för att beräkna det magnetiska fältet på ett avstånd d från en rak ledare genom vilken det flyter en likström I. Antag att fältets riktning är vinkelrät mot ledaren och riktat cirkulärt runt den. 75. Lös uppgift 12.4 i boken. 76. Lös uppgift 12.12 i boken. 77. Lös uppgift 12.14 i boken. 78. Lös uppgift 12.15 i boken. 79. Lös uppgift 12.24 i boken. 80. Lös uppgift 12.26 i boken. 81. Lös uppgift 20.3 i boken. 82. Lös uppgift 20.4 i boken. 83. Lös uppgift 20.5 i boken. 84. Lös uppgift 20.6 i boken. 85. Lös uppgift 20.10 i boken. 86. Lös uppgift 20.14 i boken.
87. Lös uppgift 21.1 i boken. 88. Lös uppgift 21.3 i boken. 89. Lös uppgift 21.9 i boken. 90. Lös uppgift 21.13 i boken. 91. Lös uppgift 21.16 i boken. 92. Lös uppgift 30.1 i boken. 93. Lös uppgift 30.3 i boken. (Svensk översättning:) A och B har vardera två rättvisa fyrsidiga tärningar, med sidorna numrerade 1, 2, 3, 4. Utan att titta försöker B gissa summan x av siffrorna på bottenytorna av A:s två tärningar efter det att de kastats på ett bord. Om gissningen är riktig vinner B x 2 euro, om inte förlorar han istället x euro. Bestäm B:s förväntade vinst per kast av A:s tärningar, för var och en av följande strategier för B: (a) han väljer x på måfå från intervallet 2 x 8; (b) han kastar sina egna två tärningar och gissar att x är vad de råkar visa; (c) han tar ditt råd och väljer alltid samma värde för x. Vilket tal skulle du rekommendera? Notera att det råder viss förvirring om hur mycket B ska förlora vid felgissning, vilket beror påatt det intestår helt klart vad x betyderdå: är det A:ssummaeller B:s gissning? Det förra är troligast, men facit indikerar viss förvirring. Analysera därför båda fallen och jämför! 94. Lös uppgift 30.4 i boken. 95. Lös uppgift 30.5 i boken. 96. Lös uppgift 30.6 i boken. 97. Lös uppgift 30.13 i boken.
98. Beräkna medelvärdet µ = E[X] och variansen σ 2 = V[X] för några olika diskreta och kontinuerliga slumpvariabler (def. i avsnitt 30.8 9): a) Binomialfördeln. (diskret): ( n Pr(X = k) = p k = k för k {0,1,...,n}; b) Poissonfördeln. (diskret): ) p k (1 p) n k, a ak Pr(X = k) = p k = e k!, för k 0; c) Likformig fördeln. på [0,1] (kontin.), definierad av sannolikhetsfördelningen { 1, 0 < x < 1 f(x) = 0, annars. (Övningstenta för FYTA11:M2) 99. Lös uppgift 10.14. 100. Bevisa Arkimedes princip: En kropp nedsänkt i en vätska utsätts för en lyftande kraft lika med tyngden av den undanträngda vätskan (Ledning: Använd lämplig version av Gauss sats). 101. Lös uppgift 12.16. 102. Lös uppgift 20.12. 103. Betrakta Laplace ekvation i disken x 2 +y 2 a 2. a) Lös den för u(x,y), givet att u = (x 2 b 2 ) 2 på randen. b) Visa att värdet i origo, u(0,0), är medelvärdet av värdena på randen. c) Visa att detta gäller för alla val av randvärden. 104. Lös uppgift 30.28. (Se också separat utlagd tenta från 2008).