TENTAMEN okt, HF6 och HF8 Moment: TEN (Lnjä lgeb), 4 hp, skftlg tentmen Kuse: Anls och lnjä lgeb, HF8, Klsse: TIELA, TIMEL, TIDAA Td: 5-75, Plts: Cmpus Hnnge Läe: Rchd Eksson, Inge Jovk och Amn Hllovc Emnto: Amn Hllovc Betgsgänse: Mpoäng 4 (fö de som h bonuspoäng med sg fån Intoduktonskusen ä mpoängen5) Fö betg A, B, C, D, E, F kävs, 9, 6,, espektve 9 poäng Hjälpmedel på tentmen TEN: Utdeld fomelbld Mnäkne ej tllåten Kompletteng: 9 poäng på tentmen ge ätt tll kompletteng (betg F) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Skv endst på en sd v pppeet Skv nmn och pesonnumme på vje bld Inlämnde uppgfte skll mkes med kss på omslget ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Denn tentmenslpp få ej behålls utn lämns n tllsmmns med lösnng Fullständg lösnng skll pesentes tll ll uppgfte ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Uppgft (p) Lös ekvtonssstemet med Gusselmneng 4 5 Uppgft (p) Fö vlk väden på konstnten ä de te vektoen (,,), (,,) och (,,) lnjät beoende? ( Med nd od, bestäm så tt ll te vektoe lgge smm pln) Uppgft (p) Lös ekvtonen 6 Uppgft 4 (p) En tngel h hönen punkten (,, ), (,,), och (,,) Bestäm tngelns e Uppgft 5 (p) Bestäm kotste vståndet fån punkten (,,) tll plnet 4 Uppgft 6 (p) Antg tt och Beäkn ( )
Uppgft 7 (p) Antg tt ä en vekto Vs då tt om, dä ä enhetsmtsen, då ä Uppgft 8 (p) ) (p)ekvtonen fö en sfä ä 4 Bestäm skänngspunkten melln denn sfä och lnjen b) (p) Bestäm vståndet melln skänngspunkten Uppgft 9 (p) Fö vlk väden på pmeten h sstemet 6 ) ekt en lösnng b) ngen lösnng c) oändlgt mång lösnng? Uppgft (p) ) Bestäm eldelen v 4 5 c) Rt det komple tl plnet de punkte som stsfe 4 och π π g( ) 4 4 Uppgft (p) Ekvtonen 5 4 beskve en ät lnje det komple tlplnet Sätt och skv ekvtonen på fomen k m Uppgft (p) Bestäm ll (te) lösnng tll ekvtonen 8 Sv på fomen b Lck tll!
FACIT Uppgft (p) Lös ekvtonssstemet med Gusselmneng 4 5 Lösnng: 5 4 R R- R - R R R 4 Häv,, Sv:,, Uppgft (p) Fö vlk väden på konstnten ä de te vektoen (,,), (,,) och (,,) lnjät beoende? ( Med nd od, bestäm så tt ll te vektoe lgge smm pln) Lösnng: Metod Volmen v den pllellepped som defnes v de te vektoen ä om och endst om ll te vektoe lgge smm pln Volmen V(fomelbld) ± V Metod De te vektoen ä beoende om och endst om vektoekvtonen (,,)s(,,)t(,,)(,,) h cke tvl lösnng dvs nd lösnng föutom uppenb lösnngen, s, t V dentfe koodnte och få sstemet: s t s ( ) bte plts på Roch R v s s t R R- - R R t s t s t R- R
t s t ( ) t Nu se v tt homogen sstemet h oändlgt mång lösnng ( och dämed cke tvl lösnng) om och endst om ± Sv: ± Uppgft (p) Lös ekvtonen 6 Lösnng: Detemnnten D ( 6) ( ) ( 6) 4 ( 4) D ( 4) elle 4 Sv:, 4 Uppgft 4 (p) En tngel h hönen punkten (,, ), (,,), och (,,) Bestäm tngelns e Kll tngelns hön fö A (,,), B (,,) och C (,,) V h AB (,,) och AC (,,) Aen ä då AB AC Föst AB AC ( 4) j( 4) k( 4) (,, ) j k Däfö AB AC 4 9 4 7 Slutlgen, tngelns e ä Sv: Aen ä 7 e 7
Uppgft 5 (p) Bestäm kotste vståndet fån punkten (,,) tll plnet 4 Lösnng: Metod (fomeln) V nvände fomeln ( fnns på fomelbld): Avståndet d fån punkten A,, ) tll plnet A B C D ä ( A B C D d A B C Föst skve v plnests ekvton på fomen A B C D (dvs ll teme på en sd), 4, (lltså A4, B och C), och substtue punktens koodnte fomeln: A B C D 4 ( ) 4 d A B C 4 9 Metod (pojekton) Välj en godtcklg punkt plnet; eempelvs (,,) Bld vekton (,,) Plnets nomlvekto: (4,,) och motsvnde enhetsvekto bl (4,,) (4,,) Det kotste vståndet melln punkten P och plnet fås nu med hjälp v pojektonen v på, dvs (,,) (4,,) Sv: Det kotste vståndet melln punkten P och plnet ä le Uppgft 6 (p) Antg tt och Beäkn ( ) Lösnng: ( ) Sv:
Uppgft 7 (p) Antg tt ä en vekto Vs då tt om, dä ä enhetsmtsen, då ä Lösnng: VSV! Uppgft 8 (p) Ekvtonen fö en sfä med den 4 och medelpunkten ogo kn skvs som 4 Bestäm skänngspunkten melln denn sfä och lnjen b) (p) Bestäm vståndet melln skänngspunkten Lösnng: ) Lnjen kn skvs om på pmetefom: Fö tt htt skänngspunkten sätte v n lnjens koodnte ekvtonen fö sfäen och söke de väden på pmeten som stsfe sfäens ekvton V få () () 4 4, V substtue, lnjens ekvton och få skänngspunkten: 5 A (,, ) och B (,, ) 5 Sv : A (,, ) och B (,, ) b) Avståndet melln skänngspunkten d AB ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 4
4 Sv b: d le Uppgft 9 (p) Fö vlk väden på pmeten h sstemet 6 ) ekt en lösnng b) ngen lösnng c) oändlgt mång lösnng? Lösnng: Sstemets detemnnt ä det( A) elle Ekt en lösnng om och ----------------------------------------------------- V undesöke sstemet fö och Fö få v sstemet 6 (motsägelse) ( ngen lösnng ) -------------------------------------------------- Fö få v sstemet 9 6 (del ekv med ) (ekv- ekv) oändlgt mång lösnng (ett lösb sstem med en f vbel) Sv: ) Ekt en lösnng om och b) Oändlgt mång lösnng om c) Ingen lösnng om Uppgft (p) ) Bestäm eldelen v 5 4 c) Rt det komple tl plnet de punkte som stsfe
4 och π π g( ) 4 4 Lösnng: ) Föst h v 5 4 5 Däfö Re() 5 Sv : Re() 5 b) 4 och 5 5 5 ( ) Sv: Se fguen Uppgft (p) Ekvtonen 5 4 beskve en ät lnje det komple tlplnet Sätt och skv ekvtonen på fomen k m Lösnng: V substtue 5 4 ekvtonen 5 4 och få ( 5) ( 4) ( ) ( enlgt defntonen v bsolutbeloppet ) ( 5) ( 4) ( ) (kvde båd leden) ( 5) ( 4) ( ) ( föenkl ) 5 8 6 6 9 Sv: 8 6
Uppgft (p) Bestäm ll (te) lösnng tll ekvtonen 8 Sv på fomen b Lösnng: ) 8 ( 8, π g () ; t en fgu) π 8e π kπ / k 8 e, k,, π kπ k e, k,, Fö tt skv lösnngn på " b "- fomen substtue v k,, och få: π π π π π e e (cos sn ) ( ) π π 7π 7π 7π 6 e e (cos sn ) ( vnkeln lgge tedje kvdnten) 6 6 π π ( cos sn ) ( ) 6 6 π π π 6 e e π π (cos sn ) ( ) 6 6 π π (cos sn ) ( vnkeln lgge fjäde kvdnten) 6 6 Sv: Te lösnng:, och