Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring

Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring Emma Södergren Kandidatuppsats i matematisk statistik Bachelor Thesis in Mathematical Statistics

Kandidatuppsats 2012:9 Matematisk statistik December 2012 www.math.su.se Matematisk statistik Matematiska institutionen Stockholms universitet 106 91 Stockholm

Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ËØÓ ÓÐÑ ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ã Ò ØÙÔÔ Ø ¾¼½¾ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ Ø º Ùº»Ñ Ø Ø Ø ÒÔ Ò Ò Ú ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ö Ò Ú ÐÐ Ö Ö Ò ÑÑ Ë Ö Ö Ò Ñ Ö ¾¼½¾ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Á ÒÒ ÙÔÔ Ø ØÙ Ö Ö Ú Ñ Ð Ø ÖÒ ØØ Ö Ú Ö ÙÐØ Ø Ø ÖÒ ÌÖÝ ¹À Ò Ú ÐÐ Ö Ö Ò Ñ ÐÔ Ú ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ò º Ó¹ ÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÒÚÒ Ö ØØ Ö Ú ØØ ÖÓ Ò Ñ ÐÐ Ò ØÚ ÐÐ Ö Ö Ú Ö Ð Ö ÖÙÒ ÖÒ Ö ØØ ÓÑÑ Ö Ú Ò ØØ Ö Ú ØØ Ö Ø º Î ÓÑÑ Ö ØØ ÙÒ Ö Ú Ð Ø ØÝÔ Ö ÓÑ ÐÑÔ Ö Ö ÒÒ ØÝÔ Ú ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ó Ú Ð Ù Ø Ö Ò Ö ÓÑ Ñ Ø Ö Ô Ø º Ú ÐÙØÒ Ò Ú ÓÑÑ Ö Ú ØØ ÙØ Ò ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ ÓÑ Ö Ø ÒÔ Ò Ò Ø ÐÐ Ø Ó ÒÓÑ ÙÖ Ñ Ò Ñ ÐÔ Ú ÒÒ Ò ÑÙÐ Ö Ö Ñ ÒÝ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Öº Ö ÒÒ ØÝÔ Ú Ö Ö Ò Ú Ö Ø ØØ Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò Ö ÐÑÔ Ö Ö Ö ÓÔÙÐ ÑÓ Ð¹ Ð Ö Ò ÑØ ØØ ÙÑ Ð ÓÔÙÐ Ö Ú Ö ØØ ÖÓ Ò Ø Ú Ø Ø ÑÓ ÐÐ ÖÒ º ÈÓ Ø Ö Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ËØÓ ÓÐÑ ÙÒ Ú Ö Ø Ø ½¼ ½ ËÚ Ö º ¹ÔÓ Ø Ó Ö Ö Òº ÑÑ Ñ ÐºÓѺ À Ò Ð Ö Å ÖØ Ò Ë Ð º

ØÖ Ø ÁÒ Ø Ö ÔÓÖØ Û Û ÐÐ ØÙ Ý Ø ÔÓ Ð Ø ØÓ Ö Ø Ö ÙÐØ ÓÖ Ø Ò ÐÓÒ ÓÙ Ò ÙÖ Ò Û Ø ÓÔÙÐ Ù Ò Ø ÖÓÑ ÌÖÝ ¹À Ò ËÛ Ò ÙÖ Ò ÓÑÔ Òݺ ÓÔÙÐ Ò Ù ØÓ Ö Ô Ò Ò ØÛ Ò ØÛÓ ÓÖ ÑÓÖ Ú Ö Ð Ø Ó Û Û ÐÐ Ð Ó Ö Ò Ø Ö ÔÓÖغ Ï Û ÐÐ ÒÚ Ø Ø Û ØÝÔ Ó Ø Ø Ø Ù Ø Ð ÓÖ Ø ØÝÔ Ó ÑÓ Ð Ò Ò Û Ù ØÑ ÒØ Ò ØÓ ÓÒ ÓÒ Ø Ø º Ò ÐÐÝ Û Û ÐÐ ÓÓ ÓÒ ÓÔÙÐ ÑÓ Ð Ø Ø Ú Ø Ø Ø ØÓ Ø Ò Ö ÓÛ Ò Û Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ò ÑÙÐ Ø ÖÓÑ Ø ÓÔÙÐ ÑÓ Ðº Ì Ö ÔÓÖØ Ù Ø Ø Ø ÓÖ Ø ØÝÔ Ó Ò ÙÖ Ò ÒÖ Ñ ÒØ Ð Ô ÝÑ ÒØ Ø ÑÓ Ø Ù Ø Ð ÓÖ ÓÔÙÐ ÑÓ Ð Ò Ò Ø Ø ÙÑ Ð ÓÔÙÐ Ö Ø Ô Ò Ò Ø Ó Ø ÑÓ Ð Ø Ø º ¾

ÖÓÖ Ó Ø ØØ Ö Ò Ò ØÙÔÔ Ø Ô ½ Ô Ú ËØÓ ÓÐÑ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ñ Ö¹ Ø Ñ Ö Ö Ò ÓÐ Ø ÌÖÝ ¹À Ò ÓÑ Ð Ö Ø ÐÐ Ò Ã Ò Ø Ü Ñ Ò Å Ø Ñ Ø ËØ Ø Ø º  ÙÐÐ Ú Ð Ö Ø ØØ ØÓÖØ Ø Ø ÐÐ Ä Ö ÃÐ Ò Ö ØÙ Ö Ô ÌÖÝ ¹À Ò ÑØ Ø ÐÐ Ñ Ò Ò Ð Ö Å ÖØ Ò Ë Ð Ö ÚÖ ÙÐÐ ÐÔ Ö ¹ ÚÒ Ò Ó Ö Ð ÓÑ ÒÝØØ Ð ØØ Ö ØÙÖ ÑÒ Øº

ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ¾ ÓÔÙÐ ¾º½ Ò Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ò Ò Ô Ö º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ê Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º½ ËÔ ÖÑ Ò³ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º¾ Ã Ò Ðг Ø Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ØØ ÙÖÚ Ð Ú ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ ËÚ Ò ÖÓ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ ÙÑ Ð ÓÔÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾º º Ð ÝØÓÒ ÓÔÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º º Ð ¹Å йÀ Õ ÓÔÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º º Ö Ò ÓÔÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º ËÐÙÑÔ Ò Ö Ö Ò ÖÒ ØÚ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º ½½ ¾º È Ö Ñ Ø Ö ØØÒ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ Ì ÖÑ Ö Ó Ö Ð Ö Ò Ú Ø ½ º½ Ø ØÝÔ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º¾ Ø Ö Ø Ô ØÙÑ º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ö Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ò ÐÝ Ú Ø ½ º½ Ö Ö Ø Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ì Ø Ú ÖÓ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÇÑÚ Ò Ð Ø ÐÐ Ð ÓÖÑ Ö ÐÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º ÒÔ Ò Ò Ú ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ù ÓÒ ¾ ÔÔ Ò Ü ¼

½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÆÖ Ò ÐÙÑÔÚ Ö Ð Ö Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò Ø Ð Ò Ú Ö Ú Ø Ø ØØ Ö¹ Ø ÙÖ ÓÐ Ñ Ò ÓÒ ÖÒ Ö ÖÓ Ò Ú Ú Ö Ò Ö º ØØ Ö Ô ÐÐØ Ò ÚÒ Ø Ñ Ò Ò Ö ØØ ÑÙÐ Ö Ö Ñ ÒÝ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ö Ø Ô ØÓÖ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Öº ÇÑ Ú ØÒ Ö Ó ØØ Ø Ò Ð Ö ÓÑ Ò Ó ØÒ Ò Ó Ø Ø Ò ØÓØ Ð Ó ØÒ Ò Ð ÙÔÔ Ñ Ò Ö Ñ ÒØ Ö Ú Ö Ñ ÒØ Ò ÓÑ Ò Ñ Ò ÓÒ Ú ÐÙÑÔÚ Ö ÐÒº Ø ÐÐ Ö ÐÐØ ØØ ØÓØ Ð ÙÑÑ Ò Ö ÙÑÑ Ò Ú ÚÖ Ò ÐÙÑÔÚ Ö ÐÒ Ö Ú Ö Ñ Ò¹ ÓÒº ÆÖ Ñ Ò Ö Ô Ó ØÒ Ö ÙÐÐ Ñ ÒØÙÔÔ ÐÒ Ò Ò ÙÒÒ Ú Ö Ö Ô Ú Ð Ò ØÝÔ Ó ØÒ Ò Ú Öº Ö Ò Ú ÐÐ Ö Ö Ò ÙÐÐ ¹ Ò ØÝÔ Ö ÙÒÒ Ú Ö Ú ØØ Ò Ö Ò Ø Ð Øº ÇÑ Ø ÒÒ ÓÖ ØØ ØÖÓ ØØ ØÝÔ Ö ÒØ Ö Ó ÖÓ Ò Ú Ú Ö Ò Ö ÒÒ Ø Ö Ð Ö ØØ ÓÒ ØÖÙ Ö Ò ÓÒ ÑÓ ÐÐ ÓÑ Ö Ú Ö ÖÓ Ò Øº Ö ØØ ÒÒ Ø ÐÚ Ð ÖØ Ö Ò Ò Ú ØØ Ñ Ò ØØ Ö Ø Ú Ø ØØ ÒÖÑ Ö Ô ÑÓ ÐÐ Ö ÓÑ Ö ÙÒ Ö ÒÑÒ Ò Ò ÓÔÙÐ º Ò ÓÖ Ø ÐÐ ØØ Ñ Ò ÙÐÐ Ú Ð Ú Ö ÑÙÐ Ö Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ñ ÒÒ ÙÔÔ ÐÒ Ò ÙÐÐ ÙÒÒ Ú Ö ØØ Ñ Ò Ú ÐÐ Ø Ø Ø Ò Ú ÓÐ ØÖ Ò Ö ØØ Ø ÐÐ ØÝÔ ÖÒ º ØØ ÙÐÐ Ø ÐÐ Ü ÑÔ Ð ÙÒÒ Ö Ö ÓÑ ØØ Ö Ö Ò Ú ÐÐ ÓÖ Ò ÖÒ Ö Ö Ò ÓÒ Ú ØÝÔ Ó ÖÓ Ò Ò Ö ØÝÔ Ö Ó ØØ Ñ Ò Ö Ò ÙÔÔ ØØÒ Ò ÓÑ ÙÖ ØÓÖ ÔÚ Ö Ò ÙÐÐ Ú Ö ØØ Ø ÐÐ Ò ØÑ ÔÖÓ ÒØ Ø º ¾ ÓÔÙÐ ÇÖ Ø ÓÔÙÐ Ö ØØ Ð Ø Ò Ø Ú Ö ÓÑ ØÝ Ö ÐÒ ÐÐ Ö ÑÑ Ò ÒÝØÒ Ò º ØØ ÐÐ Ö Ú Ò Ò Ø ÓÒ Ò Ú Ö ÔÔ Ø Ø Ø Ø ÑÑ Ò Ò º ÁÒÓÑ Ø Ø Ø Ò ÒÚÒ ÓÔÙÐ Ö ØØ Ö Ú ÖÓ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò ØÚ ÐÐ Ö Ö ÐÙÑÔÚ Ö Ð Öº ¾º½ Ò Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ò Ò Ô Ö ØØ ØØ ØØ Ö Ú ÖÓ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò ØÚ ÐÐ Ö Ö ÐÙÑÔÚ Ö Ð Ö Ô Ö ØØ ÙØØÖÝ Ò Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ H ÒÐ Ø Ð Ò H(x 1,x 2,...,x n ) = P[X 1 x 1,X 2 x 2,...,X n x n ]. ÖÙØ ØØ ØØ ÐÙÑÔÚ Ö Ð ÖÒ X Ò ÖØ Ò ÒØ Ö ÐÐ Ø Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò H Ò Ö ÖÙÑÑ Ø R n º ÙÒ Ø ÓÒ Ò H Ö Ó ÒØ Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÑ ÐÙÑÔÚ Ö Ð ÖÒ ÖÓ Ò ÙØ Ò Ú Ò ÓÑ Ú Ö Ñ Ò ÓÒ Ò Ð Ö Ð¹ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒº Ø ÒÒ Ö ØØ Ò Ó ÑÑ ÖÓ Ò ØÖÙ ØÙÖ Ò ÓÐ Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö H ÓÑ Ò Ð Ú Ö Ð ÖÒ Ö Ò Ö Ö Ð¹ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ø Ò Ú Ö Ú ÒØÖ ØØ ÐØ ÓÐ Ö ÖÓ Ò Ø ÖÒ Ò Ð Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ º ØØ Ø Ö ØÒ Ò ÑÓØ ØØ Ö ØØ ØÐÐ Ø

ØÖ Ø Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÐÙÑÔÚ Ö ÐÒ (F 1 (X 1 ),F 2 (X 2 ),...,F n (X n )) Ö F i Ö Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö X i º ÇÑ Ú ØØ Ö U i = F i (X i ) [1,n] Ó ÐØ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò C Ú Ö Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö (U 1,U 2,...,U n ) ÐÐ Ö Ø ØØ Ö C(u 1,u 2,...,u n ) = P[U 1 u 1,U 2 u 2,...,U n u n ] = P[F 1 1 (U 1 ) F 1 1 (u 1 ),F 1 2 (U 2 ) F 1 2 (u 2 ),...,F 1 n (U n) F 1 n (u n)] = P[X 1 F 1 1 (u 1 ),X 2 F 1 2 (u 2 ),...,X n F 1 n (u n )], U i U(0,1) i [1,n]. ØØ Ö Ú Ò ÙÖ Ñ Ò Ò Ö Ö ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò C Ú Ð Ø Ò ÑÑ Ò¹ ØØ Ö C(u 1,u 2,...,u n ) = P[X 1 F 1 1 (u 1 ),X 2 F 1 2 (u 2 ),...,X n F 1 n (u n)], (X 1,X 2,...,X n ) = (F 1 1 (U 1 ),F 1 2 (U 2 ),...,F 1 n (U n)), U i U(0,1) i [1,n] Ó F i Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö X i ÑØ Fi 1 Ò ÒÚ ÖØ Ö Ö ÐÒ Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ò i [1,n]º Ø ÒÒ Ö Ú Ò ØØ ÒØ Ð Ò ØÙÖÐ Ò Ô Ö Ó ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÓÑ Ö ÒÑÒ º Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÓÔÙÐ Ò Ö Ò Ö ÖÙÑÑ Ø [0,1] n Ó ÒØ Ö Ò ÖØ ÚÖ Ò ÒÓÑ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø ¼ ½ º Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÓÔÙÐ Ò Ö Ò Ð ÓÖÑ Ñ Ö Ò Ð Ö ÐÒ Ò Ö ÑØÐ n Ñ Ò ÓÒ Öº ÓÔÙÐ Ò ÒØ Ö ÚÖ Ø ¼ ÓÑ Ò ÓØ Ú Ö ÙÑ ÒØ Ö ¼ Ú º C(u 1,u 2,...,u i 1,0,u i+1,u i+2,...,u n ) = 0º ÇÑ ØØ Ú Ö ÙÑ ÒØ Ò ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö u Ó ÚÖ Ö ÙÑ ÒØ Ö 1 ÒØ Ö ÓÔÙÐ Ò ÚÖ Ø u Ú Ø ØØ u [0,1] C(1,1,...,1,u,1,1,...,1) = uº n i=1 u i ÓÑÑ ÑØÐ ÐÙÑÔÚ Ö Ð Ö Ö Ó ÖÓ Ò º ÍØ Ò ØØ Ú Ø Ò ÓØ ÓÑ ÓÔÙÐ Ò Ò Ñ Ò Ò ÖØ Ñ ÐÔ Ú Ö ÙÑ ÒØ ØØ Ñ Ò Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö Ú Ö Ø Ö Ñ Ð Ø ØØ ÓÔÙÐ Ò Ò ÒØ ÚÖ Òº Ø ÒÒ Ò Ø Ö ÙÖ Ñ Ò ÓÒ ØÖÙ Ö Ö ØØ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÑ Ö Ö Ø Ô Ö Ø Ò Ú Å ÙÖ Ê Ò Ö Ø Ó Ï ÐÝ ÀÓ Ò ÒÒ Ø ÐÐ Ö Ø ÀÓ Ò ÓÔÙÐ ÖÒ Öº

Ò Ø ÓÒ Ö Ø¹ÀÓ Ò ÓÔÙÐ ÖÒ Ö Ö Ó ØÝ Ð ÓÔÙÐ C [0,1] n [0,1] Ó Ó ØÝ Ð (u 1,u 2,...,u n ) [0,1] n ÐÐ Ö Ö W(u 1,u 2,...,u n ) C(u 1,u 2,...,u n ) M(u 1,u 2,...,u n ), W(u 1,u 2,...,u n ) = max(1 n + n u i,0) i=1 M(u 1,u 2,...,u n ) = min(u 1,u 2,...,u n ). W ÐÐ Ö Ø ÀÓ Ò Ò Ö ÖÒ Ó M ÐÐ Ö Ø ÀÓ Ò ÚÖ ÖÒ º ¾º¾ Ê Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÆÖ Ñ Ò ÒÚÒ Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÑØØ ÓÑ È Ö ÓÒ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÑØ Ö Ñ Ò ÙÖ Ô Ö Ñ Ò Ò ÒÔ Ò ÖØ Ð Ò Ø ÐÐ ÖÓ Ò Øº Ø Ö ÒØ Ðй Ø ØØ ÐÑÔÐ Ø ÒØ Ò ØØ ÖÓ Ò Ø Ö Ð Ò Öغ ÒØ ÐÙÑÔÚ Ö ÐÒ (X,Y ) Ö Y = exp X X Ó Y Ö ÐÐØ ÐØ ÖÓ Ò Ú Ú Ö Ò Ö ÑØ Ú Ø ØØ X Ö ØÓÖØ ÓÑÑ Ö Ú Ò Y Ú Ö ØÓÖØ Ó Ú Ú Ö º Ø Ö Ò ÚÖØ ØØ ÒÚÒ ØØ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÑØØ ÓÑ Ò Ö Ö ØØ ÖÓ Ò ÒÓÑ ØØ Ö ØÙÖÒ Ö ÚÖ Ø 1º Ú Ø ØØ Ú Ö Ö Ò ØÚ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÓÑÑ Ö ÒØ È Ö ÓÒ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÑØØ ÙÔÔ ÝÐÐ Ø Ö Ú Øº Ø Ò Ú ¹ Ö Ò Ö Ð ØØ ØÐÐ Ø ÑØ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò ØØ Ø ÐÐ Ö Ò Ò ËÔ ÖÑ Ò³ Ö Óµ ÐØ ÖÒ Ø ÚØ ÒØ Ð Ø ÓÒÓÖ ÒØ Ó ÓÖ ÒØ Ô Ö Ã Ò Ðг Ø Ùµº ¾º¾º½ ËÔ ÖÑ Ò³ Ö Ó ØØ ÑØØ Ö ÑÝ Ø Ð Ø È Ö ÓÒ³ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú Ð Ò Ò Ö ÓÑ Ð Ö ÒØ ØØ Ú Ö n ÙØ ÐÐ Ú ÐÙÑÔÚ Ö ÐÒ (X,Y ) Ó Ø Ò Ö Ñ (x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ),...,(x n,y n ) ÐÐ Ö ρ (X,Y ) = n i=1 (x i x)(y i y) n i=1 (x i x) 2 n i=1 (y i y) 2. Ë ÐÐÒ Ò Ö ØØ ËÔ ÖÑ Ò ØÐÐ Ø ÐØ Ö x i ÑØ y i Ø Ò Ö Ò Ò Ú Ùع ÐÐ Ò Ö X Ó Y Ô Ö Øº Ö Ò Ò Ò Ö ËÔ ÖÑ Ò ρ Ö ÒÐ Ø Ð Ò Ñ ½ºµ ËÓÖØ Ö Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ Ö X ÚÜ Ò ÓÖ Ò Ò Ó ÐØ x i Ø Ò ÓÖ Ò Ò ÒÙÑÖ Ø Ö x i Ú º Ö Ò Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ñ Ø Ø ÚÖ Ø Ò Ø Ö Ò Òº

¾ºµ ÇÑ Ò ÓØ ÚÖ ÒØ Ñ Ö Ò Ò Ò ÐØ x i Ø Ò Ñ Ð Ú ÓÖ ¹ Ò Ò ÒÙÑÑ Ö ÓÑ Ö Ø ÚÖ ÓÑ x i ÒØ Öº ºµ È ÑÑ ØØ Ö Y ºµ Ö ØØ x i Ñ x i ÑØ y i Ñ y i Ó Ö Ò ρ ÒÐ Ø Ò Ø ÓÒ Ò ÓÚ Òº ¾º¾º¾ Ã Ò Ðг Ø Ù Ö ØØ Ö Ò Ã Ò ÐÐ Ø Ù Ú Ö Ñ Ò Ú Ø ÒØ Ð Ø ÓÒ ÓÖ ÒØ Ó ÓÖ ÒØ Ô Ö Ð Ò Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ º ÄØ Ó ØÖ Ø Ô Ö Ø (x i,y i ) Ó (x j,y j ) Ö i j Ó ØØ Ö i Ó j ØØ x i < x j º ÇÑ y i < y j Ö Ô Ö Ø Ö ÓÒ ÓÖ ÒØ Ö y i > y j Ö Ô Ö Ø ÓÖ Òغ Ë ÙÐÐ Ø Ú Ö ØØ x i = x j ÐÐ Ö y i = y j Ö Ô Ö Ø Ú Ö Ò ÓÒ ÓÖ ÒØ ÐÐ Ö ÓÖ Òغ Ö Ø Ö Ö Ò Ã Ò Ðг Ø Ù ÒÐ Ø Ð Ò Ö n Ö ÒØ Ð Ø Ó ÖÚ Ø Ó¹ Ò Ö τ = #konkordanta par #diskordanta par ( n 2) ( n ) 2 ÒÑÒ Ö Ò Ö Ð Ö Ú ØØ ØØ Ö Ø ØÓØ Ð ÒØ Ð Ø Ô Öº ¾º ØØ ÙÖÚ Ð Ú ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö Î ÓÑÑ Ö Ò ÖØ ØÖ Ø ØØ ÙÖÚ Ð Ú Ñ Ö Ò ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ ÖÒ ÓÑ Ø ÐÐ Ö Ò Ö Ñ ÓÔÙÐ Ñ Ð Òº Ò Ö Ñ ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò Ò Ö Ñ ÐÔ Ú Ò Ò Ö ØÓÖ ÙÒ Ø ÓÒ φ Ò¹ Ð Ø Ð Ò C(u 1,u 2,...,u d ) = φ 1 [φ(u 1 ) + φ(u 2 ) +... + φ(u d )] Ö φ 1 Ö ÒÚ Ö Ò Ø ÐÐ φ ÑØ ØØ φ Ö Ò ØÖ Ø ÚÜ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ ¼ ½ Ø ÐÐ ¼ º ÇÖ Ò Ø ÐÐ ÖÒ Ò Ò Ò ØØ Ò ÖØ Ò ÐÙ Ö Ò Ö Ñ ÓÔÙÐ ¹ Ñ Ð Ò Ö ØØ ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ö Ö Ð Ø ÚØ Ò Ð ØØ ÓÒ ØÖÙ Ö ÑØ ØØ Ú ÒÓÑ Ò Ñ Ð Ò Ø Ö ÑÒ ØÝÔ Ö Ú ÖÓ Ò Òº ÁÒÓÑ Ò Ö Ñ ¹ ÓÔÙÐ Ñ Ð Ò ÓÑÑ Ö Ú ØØ Ø ØØ ÒÖÑ Ö Ô Ð Ò ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö ÙÑ Ð Ð ÝØÓÒ Ð ¹Å йÀ Õ ÑØ Ö Ò º ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ ÖÒ ÙÒ Ø Ó¹ Ò Ö Ò ÙØØÖÝ ÒÐ Ø Ð Ò Ö θ Ö Ò Ó ØÑ Ô Ö Ñ Ø ÖÒ ¾ ÑØ µº

ÙÑ Ð ÓÔÙÐ Ö θ ½ µ C Gu (u 1,u 2,θ) = exp( (( log(u 1 )) θ + ( log(u 2 )) θ ) 1/θ ) Ð ÝØÓÒ ÓÔÙÐ Ö θ ¼ µ Ð ¹Å йÀ Õ ÓÔÙÐ Ö θ ¹½ ½ C Cl (u 1,u 2,θ) = (u θ 1 + u θ 2 1) 1/θ C AMH (u 1,u 2,θ) = u 1 u 2 1 θ(1 u 1 )(1 u 2 ) Ö Ò ÓÔÙÐ Ö θ R \ß0Ð C Fr (u 1,u 2,θ) = 1 ( θ log 1 + (exp ( θu ) 1) 1)(exp ( θu 2 ) 1) exp ( θ) 1 Î ÒÙ Ø ØØ ÒÖÑ Ö Ô ÙÖ ÓÐ ÑÓ ÐÐ ÖÒ Ö ÙØ ÑØ ÙÖ Ô¹ Ú Ö Ö ÓÐ Ú Ð Ú Ô Ö Ñ Ø ÖÒ θº ÁÒÒ Ò Ú Ö Ú Ó Ò Ò Ð Ö Ö Ð Ö Ò Ú ØØ Ö ÔÔ ÓÑ ÓÖØ ØØÒ Ò Ú ÓÑÑ Ö ØØ ÒÚÒ ÒÑÐ ¹ Ò Ú Ò ÖÓ Ò º Ò ÑÐ Ò Ú ÐÙÑÔ Ò Ö Ö ÔÐÓØØ Ö Ö ÑÓ ÐÐ Ö ÒÒ º ½º Ö ÓÒØÙÖÔÐÓØØ Ö ÑØ Ö ÐÒ Ò ÔÐÓØØ Ö Ö ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö¹ Ò ÒÚ Ø ÐÐ ÔÔ Ò Ü º 8¹9µº ¾º º½ ËÚ Ò ÖÓ Ò ÇÑ Ú Ö ØØ Ú Ò ÖÓ Ò ÒÒ Ö ØØ ØØ ÖÓ Ò Ø Ð Ö Ø Ö Ö Ú Ö Ð ÖÒ Ö ÚÐ Ø Ó» ÐÐ Ö Ð º ØØ ÒØ ÖÓ Ò ÒÒ Ò ÒÓÑ ØØ U(0,1) d Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ Ð Ö Ñ Ö ØØØ Ò ÓØ»Ò Ö ÖÒ Ú ÖÙÑÑ Ø ÐÐ Ö ÒÐ Ø ÖÒ Ò Ò Ò Ö ÒÒ ÙÔÔ Ø ÝØ Òµº ØØ Ò Ú Ò ÙØØÖÝ Ñ ÐÔ Ú Ò Ñ Ö ÓÖÑ ÐÐ Ö ÚÒ Ò º ØÖ Ø Ò ØÚ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò C(u 1,u 2 ) Ö 1 2u + C(u,u) lim = λ U. u 1 1 u ÇÑ λ U Ü Ø Ö Ö Ö ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ØØ ÚÖ Ú Ò ÖÓ Ò Ö λ U ¼ ½ Ñ Ò Ò Ø ÚÖ Ú Ò ÖÓ Ò Ö λ U ¼º È ØØ Ð Ò Ò ØØ Ò Ú Ò Ö Ø Ð Ö Ú Ò ÖÓ Ò Øº C(u, u) lim = λ L u 0 u

Gumbel theta = 2 Clayton theta = 3 y 0.0 0.4 0.8 y 0.0 0.4 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x AMH theta = 1 Frank theta = 6 y 0.0 0.4 0.8 y 0.0 0.4 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x ÙÖ ½ Ë ØØ ÖÔÐÓØ Ú ÐÙÑÔØ Ð Ò Ö Ö ÖÒ ÓÐ ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ ÖÒ Ö Ú ÐØ ÚÖ Ô θ ÇÑ λ L Ü Ø Ö Ö Ö ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ØØ Ò Ö Ú Ò ÖÓ Ò Ö λ L ¼ ½ Ñ Ò Ò Ø Ò Ö Ú Ò ÖÓ Ò Ö λ L ¼º ¾º º¾ ÙÑ Ð ÓÔÙÐ ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ú Ð Ô Ö Ñ Ø ÖÚÖ Ø ØØ Ú Ò ÖÓ Ò Ò ÚÖ Ú Ò Ò ÙÐÐ Ú ÚÖ Ø Ô θ ÙÐÐ Ú Ö Ð ÖÒ Ò Ñ Ò ¹ Ö ÔÖ Ò Ò Ò Ò Ö Ú Ò Ò ÑØ ÝØØ ÖÐ Ö Ñ Ò Ö ÔÖ Ò Ò Ò ÚÖ Ú Ò ÓÑ ØØ ÒØ Ö Ð ØÝ Ð Øº ÅÓØ ØØ Ø ÐÐ Ö Ú ØØ Ð ¹ Ö ÚÖ Ú θ Ú Ø ÐÐ Ö θ ½ Ò Ú Ö Ò Ð ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ C(u 1,u 2,1) = u 1 u 2 Ú º Ò ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ ÐÐ Ö Ú Ö Ð ÖÒ Ö Ó ÖÓ Ò º Æ ÓØ ÓÑ Ö Ó ÖÚ Ö Ö ÒÒ ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö ØØ Ò ÖÚ Ö Ò ÔÓ Ø Ú ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÐÐ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ú Ö Ò Ø Ú Ò Ñ Ò Ö Ú Ö ÐÙØ Ý¹ ½¼

Ø Ø Ö Ø ØÚ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÐÐ Ø u 1 1 u 1º ¾º º Ð ÝØÓÒ ÓÔÙÐ ÒÒ ÓÔÙÐ Ö ÑÝ Ø Ð ÙÑ Ð ÓÔÙÐ Ñ ÐÐÒ Ò ØØ Ú Ò ÖÓ Ò¹ Ø Ð Ö Ò Ò Ö Ú Ò Òº È ÑÑ ØØ ÓÑ Ö ÙÑ Ð Ö ØØ Ø Ô Ö Ñ Ø ÖÚÖ ØØ Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ Ð Ö ØØ Ö Ø Ö ÓÒ Ð Ò ÑØ ØØ ØØ Ð Ø Ô Ö Ñ Ø ÖÚÖ Ö Ò ØÓÖ ÔÖ Ò Ò ÑØ ØØ Ó ÖÓ Ò Ñ ÐÐ Ò Ú Ö Ð ÖÒ ØØ ÖÒ ÚÖ º ÈÖ ÓÑ Ö ÙÑ Ð ÖÚ Ö ÑÓ ÐÐ Ò Ò ÔÓ Ø Ú ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú Ö Ö Ò Ò ¹ Ø Ú Ò ÖÚ Ö ØØ Ú Ö Ð ÝØ ÓÑ Ü ÑÔ Ð Ô Ö ÚÒ Ò Ò Ú ÙÑ Ðº ¾º º Ð ¹Å йÀ Õ ÓÔÙÐ Ö ÒÒ ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ÚÖØ ØØ Ñ ÐÔ Ú ÐÙÑÔ ÑÙÐ Ö Ò Ö Ò ÔÚ Ö Ò ÓÑ θ Öº Ø Ö Ú Ø Ú ÃÙÑ Ö [ ] ØØ θ = 1 ÒÒ ØØ Ò Ö Ú Ò ÖÓ Ò ÑØ ØØ Ú Ö Ò ÚÖ ÐÐ Ö Ò Ö Ú Ò ÖÓ Ò Ò ÒÒ θ 1º θ = 0 Ö Ð Ö Ó ÖÓ Ò Ñ ÐÐ Ò Ú Ö Ð ÖÒ Ú Ð Ø ÐØØ Ò Ö Ø ÒÓÑ ØØ ØÖ Ø ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒº ÀÙÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÚÖ Ø ¹ Ø Ö Ö ÓÐ ÚÖ Ò Ö θ ÖÚ Ø ØØ Ú Ø ØØ Ö ÒÖÑ Ö Ô ÓÒØÙÖÔÐÓØØ Ö Ö ÓÐ ÚÖ Ò Ô θº Á º ¾ Ò Ú ØØ ÓÒØÙÖ ÖÒ Ö θ ¼ ÑØ θ ¹¼ Ö Ø ÐÐ ÝÒ Ô ¹ ÐÚÒ Ø Ú Ö Ö ÐÐØ ÓÑ ØØ ÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ú Ò Ò Ö ÙÔÔ ÔÓ Ø Ú Ó Ò Ø Ú ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ö Ó ÐÐ Ö ÒØ ØØ Ö θ ½ Ó θ ¹½º ØØ Ö ØØ Ú Ú Ò Ö ÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú ÖÚ ØØ Ú Ö ÐÙع ÝØ ÒÐ Ø Ö ÚÒ Ò ÓÚ Òº ¾º º Ö Ò ÓÔÙÐ ØÓ ÒÖÑ Ö θ Ö ¼ ÔÓ Ø Ú ÓÑ Ò Ø Ú Ø Ö Ú Ö Ð ÖÒ Ñ Ö Ó Ñ Ö ÓÑ Ó ÖÓ Ò º Î Ø ÐÐ Ö ÔÓ Ø Ú θ Ö ØØ Ò ÔÓ Ø Ú ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÑØ Ò Ø Ú θ Ò Ò Ø Ú ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ð Ö Ø Ö Ö ØÓ ÐÒ Ö Ú ØÒ θ Ö ÖÒ ÒÓÐк ¾º ËÐÙÑÔ Ò Ö Ö Ò ÖÒ ØÚ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ø Ò ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ C(u,v) Ò Ú ÑÙÐ Ö Ö Ñ ÒÝ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ú ÓÑÑ Ö Ö ØØ ÒÓÑ Ò Ñ ØÓ ØØ Ö ØØ Ôº Ò Ö Ö ÐÙÑÔÚ Ö ÐÒ Ù Ö U U(0,1)º ÒÓÑ ØØ Ö ØØ Ø ÚÖ Ø ÓÑ Ú Ö Ö u C(u,v) Ö Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ ½½

AMH theta=1 AMH theta=0.5 0.6 0.0 0.4 0.8 1 2 0.0 0.4 0.8 0.7 0.8 1.2 1.5 0.9 1 1.1 1.3 1.3 1.2 1.1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 AMH theta= 0.5 AMH theta= 1 0.0 0.4 0.8 1.1 1 0.9 0.8 1.2 1.3 0.9 0.6 0.8 1.1 1 1.2 1.3 0.0 0.4 0.8 1.8 1.2 0.8 1 0.6 1.4 0.4 0.2 0.6 0.8 1.2 1 1.4 1.6 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ÙÖ ¾ Ð ¹Å йÀ Õ ÓÒØÙÖÔÐÓØ Ö ÓÐ ÚÖ Ò Ô θ ÓÑ Ò ÖØ ÖÓÖ Ú v Ú Ð Ò Ú ÒÑÒ Ö F u (v)º Î Ò Ö Ø Ö ÑÙÐ Ö Ö Ñ ØØ Ø ÐÐ ÚÖ ÖÒ U(0,1) ÐØ Ó ÐÐ ØØ ÚÖ Þº Î Ð Ö Ö Ø Ö ÙØ v ÒÓÑ ØØ ÐØ F u (v) = z v = Fu 1(z)º ÖÑ Ö Ú ØØ Ö Ñ Ò ÒÝ Ó ÖÚ Ø ÓÒ (u,v)º ¾º È Ö Ñ Ø Ö ØØÒ Ò Ö Î Ú ÐÐ ÒÚÒ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÑ Ö Ø ÒÔ Ò Ò Ø ÐÐ Ø Ñ ØÓ Ò ÓÑ Ú ÓÑÑ Ö ØØ ÒÚÒ Ö ØØ Ö Ñ Ü ÑÙÑ ÐÓ ¹Ð Ð ÓÓ º ÒÒ ØØÒ Ò Ú argsup θ Θ n ln (f c (u i,v i,θ)) i=1 ½¾

Ö Ò Ö ÒØ Ð Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ó f c (u,v,θ) = δ2 C(u,v,θ) δuδv Ì ÖÑ Ö Ó Ö Ð Ö Ò Ú Ø Ø ÓÑ Ú Ý Ö ØØ Ö Ø Ô Ö ÑØÐ ÔÓ Ø Ö ÙÒ Ö Ô Ö Ó Ò ½ Â Ò ¾¼¼¾ ¹ ½ Å ¾¼½¾ Ö ÌÖÝ ¹À Ò ³ Î ÐÐ Ö Ö Ò º Ö ØØ Ö Ø ØÝ Ð Ò Ú Ò ÔÓ Ø ÖÚ Ð Ø ÖÙÒ Ð Ò Ò ÓÖÑ ¹ Ø ÓÒ ÓÑ ÙÖ ÒØ Ö Ò Ò Ö ÓÖ Ö Ùغ ÆÖ Ò Ö ÔÔÓÖØ Ö Ò Ø ÐÐ Ð ÒÒ Ð Ò ÒÒ Ø ØÙÑ Ò¹ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ò ØÙÑ Ø Ñ Ö Ó ØÒ Ö Ò ÒÒ Ó ØÒ ÓÑÑ Ö ÓÖØ ØØÒ Ò Ú ÒÑÒ Ø Ü Ø ÓÒ Òµ ÑØ Ò ØÝÔº Ì Ü Ø ÓÒ ¹ ÚÖ Ø Ò Ö Ø Ö ÖÒ Ö Ö Ò Ö Ø Ú Ö Ó Ø Ø Ö ÒÖÑ Ö ÙÒ Ö Ò Ò Ö Ú Ò ÒÒ Ò Ñ Ò ÒÖ Ò ÐÙØ ÐØ Ó ØÒ Òº Î Ö Ò ÓÑ ÒÝØØ Ø Ñ Ø Ú Ø Ü Ø ÓÒ Ò Ö Ø ÙÔÔ ÓÚ Ø ÐÐ Ò ÒÝ ¹ Ö Ð Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÙÔÔ Ø Ö ÚÖ Òº Ë ÙÐÐ Ø Ú Ö ØØ Ò ØÖ Ú ØÚ ÐÐ Ö Ö ØÝÔ Ö Ø Ñ Ö Ö Ñ Ò ÙÖ ÑÝ Ø Ø Ü Ø ÓÒ Ò Ö Ö Ú Ö ØÝÔ Ó ØÖ Ø Ö ÓÑ Ô Ö Ø ÔÓ Ø Öº Ö Ú Ö ÙØ ¹ Ø ÐÒ Ò Ú Ö ØØÒ Ò Ö Ò ÙÔÔ Ø Ö Ò Ú Ò ÚÖ Ò Ú Ð Ø Ú Ò ØØ Ò Ö Ö Ö ÒÝ ÔÓ Ø Öº Î Ò ÒÙ ØÖ Ø ØØ Ø ÚØ Ü ÑÔ Ð Ö ÖØÝ Ð Ò ÖÙÒØ ÙÖ Ö ØÖ ¹ Ö Ò Ò Ö ÒÐ Ø Ð Ò ÖÐÓÔÔ ½ºµ Ò Ö Ò ÙÔÔ ØÖ Ò Ö Ö Ú ÐÐ ½ Ò ¾¼½¾ Ò Ö ÔÔÓÖØ Ö Ò ¾¼ Ò ¾¼½¾ Ó Ø Ü Ø ÓÒ Ò ØØ Ø ÐÐ ¾ ¼¼¼ ¼¼¼ Öº ¾ºµ Ò ¾ Ò ¾¼½¾ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ú Ò ØØ Ñ Ò Ö Ð Ö Ú Ö Ö Ò Ø Ö Ò Ö ÒÒ Ò ÓÑ Ö Ø Ø Ú Ö Ò Ò Ó Ø Ü Ø ÓÒ Ò Ö ØØ ØØ Ø ÐÐ ½¼¼ ¼¼¼ Öº ØØ Ø Ú Ò Ú Ö Ö Ö Ò Ò ÓÑ Ö Ø Ò Ô Ò Ú ÐÐ Ö Ö Ò Ò ÙÔÔ ØÓ º ºµÍØ Ø ÐÒ Ò Ú ½ ¾¼¼ ¼¼¼ Ö Ö Ú ÐÐ Ò Ö Ö Ò Ò ÙÔÔ ØÓ Ö Ò ½ Ñ Ö ¾¼½¾º ºµÆÝØØ Ø Ñ Ø Ú Ø Ü Ø ÓÒ Ò Ö Ú ÐÐ Ò Ö Ö Ò Ò ÙÔÔ ØÓ Ö Ò ÔÖ Ð ¾¼½¾ Ø ÒÝ Ø Ñ Ø Ø Ö Ô ½ ¼¼¼ ¼¼¼ Öº ºµ Ø Ö Ø ÐÒ Ò Ö Ö Ú ÐÐ Ò Ö Ö Ò Ò ÙÔÔ ØÓ Ñ ¾¼¼ ¼¼¼ Ö Ò ½ ÔÖ Ð ¾¼½¾ ºµÍØ Ø ÐÒ Ò Ú ¼¼¼ Ö Ö Ö ÒÒ Ò Ò ÓÑ Ö Ò ½ ÔÖ Ð ¾¼½¾º ½

Ó ØÙÑ Ó º ØÙÑ Ø Ü Ø ÓÒ Ø ÐÒ Ò ØÝÔ ½ ¼½»¼½»½¾ ¾¼»¼½»½¾ ¾ ¼¼¼ ¼¼¼ ¼ Ö Ò ¾ ¼½»¼½»½¾ ¾»¼½»½¾ ½¼¼ ¼¼¼ ¼ Ò Ú Ö ¼½»¼½»½¾ ½»¼»½¾ ¾ ¼¼¼ ¼¼¼ ½ ¾¼¼ ¼¼¼ Ö Ò ¼½»¼½»½¾ ¼»¼»½¾ ½ ¼¼¼ ¼¼¼ ½ ¾¼¼ ¼¼¼ Ö Ò ¼½»¼½»½¾ ½»¼»½¾ ½ ¼¼¼ ¼¼¼ ½ ¼¼¼ ¼¼¼ Ö Ò ¼½»¼½»½¾ ½»¼»½¾ ½¼¼ ¼¼¼ ¼¼¼ Ò Ú Ö º½ Ø ØÝÔ Ö Ø ØÝÔ Ö ÓÑ Ú ÓÑÑ Ö ØØ Ø ØØ ÒÖÑ Ö Ô Ö Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐØ Ø ÑØ Ø Ö Ø Ô ØÙѺ ÓÑÑ Ö ØØ Ö Ú ØØ Ø ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ø ÑÒ Ò Ú Ö Ö Ö Ñ ÑÑ Ö Ó ÑÒ ÓÔ ÙÑÑ Ö º º½º½ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐØ Ø Ø Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ñ Ø Ö Ð Ø Ú Ö Ñ ÙÖ ØÓÖØ ÐÓÔÔ Ò ØÓØ Ð Ø Ü ¹ Ø ÓÒ Ò»ÙØ Ø ÐÒ Ò Ò Ó Ú ØØ ØÙÑ ÐÐ Ö Ö Ô Ö Ô Ö Ö Ø Ô ÓÐ ØÝÔ Öº Ü ÑÔÐ Ø ÓÚ Ò ÙÐÐ Ò Ö Ö Ð Ò ¾ Ø ÐÐ Ö ÖÓ¹ Ò Ô ÓÑ Ø Ö Ø Ü Ø ÓÒ ÖÒ ÐÐ Ö ÙØ Ø ÐÒ Ò ÖÒ ÓÑ Ñ Ò Ö ÒØÖ Ö Ú T axation ØÙÑ Ö Ò Ò Ú Ö ¾¼»¼½»½¾ ¾ ¼¼¼ ¼¼¼ ¼ ¾»¼½»½¾ ¼ ½¼¼ ¼¼¼ ¼»¼»½¾ ¹½ ¼¼¼ ¼¼¼ ¼ U tbetalning ØÙÑ Ö Ò Ò Ú Ö ½»¼»½¾ ½ ¾¼¼ ¼¼¼ ¼ ½»¼»½¾ ¹¾¼¼ ¼¼¼ ¼¼¼ º½º¾ Ø Ö Ø Ô ØÙÑ Ö Ø Ú Ò Ö ØÝÔ Ò Ö Ò ÖØ Ò Ò Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ò Ô Ö ¹ ÑÓÑ ÒØ Ò ÐÙ Ö Ó ÙÑÑ Ö Ô ØÙѺ Ü ÑÔÐ Ø ÓÚ Ò ÙÐÐ Ò Ö Ö Ð Ò Ø T axation ØÙÑ Ö Ò Ò Ú Ö ¼½»¼½»½¾ ½ ¼¼¼ ¼¼¼ ½¼¼ ¼¼¼ U tbetalning ØÙÑ Ö Ò Ò Ú Ö ¼½»¼½»½¾ ½ ¼¼¼ ¼¼¼ ¼¼¼ Æ ÓØ ÓÑ Ö ÒÑÒ ÓÑ ÒÒ Ø ØÝÔ Ö Ó Ö Ø Ò Ú ÚÖ Ò Ô ØÙÑ ÓÑ Ð Ö ÒÖ Ø Òº Ø Ò Ö ÒÒ Ò ÓÖ Ö ÔÔÓÖØ ¹ Ö Ò Ó Ö Ð Ö Ò Ø Ò Ö ÓÖÒ Ò Ú Ö ÐÒ Ú Ð Ø ÓÖ Ö ÒÒ Ó Ö Øº È ÌÖÝ ¹À Ò Ò Ö Ñ Ò ØØ Ø Ü Ø ÓÒ Ò Ö ÓÖ ÖÒ Î ÐÐ ¹ Ö Ö Ò Ò Ò ØÖ Ø ÓÑ ØÓÖØ ØØ Ö ÙØÚ Ð ± Ú Ø ½

ÐÙØÐ ÚÖ Øµ ØÚ Ö Ø Ö ØÙÑ Øº Î ÓÑÑ Ö ØØ Ö Ø ØÖ ¹ Ø ÓÖ ÓÑ ÐØ Ö ÙØÚ Ð º Ø ÐÒ Ò ÖÒ Ú ÒÒ Ø ØÝÔ ÓÑÑ Ö ÒØ ØØ ÒÚÒ Ò Ø Ö Ø ÐÐÖ Ð Ø ÐÒ Ø ÓÑÑ Ö ØØ Ú Ö ÒØ Ñ Ø Ü Ø ÓÒ Ø º º¾ Ö Ö Ö Ò Ö Ö Ò Ò ÒØ Ð Ø Ö Ö Ó Ø ÖÒ Ö Ú Ö Ø Òº ØØ ÑØØ Ö ØØ ÑØ ÒÒ ÖÒ Ö Ò Ö Ö Ö Ò Ö Ö Ò Ö Ø ÒÓѹ Ò ØØÐ Ø ÒØ Ð Ö Ö ÙÒ Ö Ô Ø Öº ÇÑ Ò Ö Ö Ò Ø Ò ½ ÂÙÐ ¾¼½¼ ¹ ½ ¾¼½½ Ö ÒÒ ØØ Ö Ô ¼ Ø ÐÐ Ö Ö Ò Ö ¾¼½¼ Ó ½ Ø ÐÐ Ö Ö Ò Ö ¾¼½½º ÇÖ Ò Ø ÐÐ ØØ Ø ÒØ Ö Ü Ø Ö ¾¼½¼ ÖÓÖ Ô ØØ Ø Ö ¾¹ ÖÓ Ò Ô ÓØØÖ ÐÐ Ö µ Ö Ö ÙÒ Ö Ò Ö ÐÚÖ Ø Ñ ÖØ Ñ Ö Ø ÐÚÖ Øº Ò ÐÝ Ú Ø º½ Ö Ö Ø Ñ Ø Ò ÐÝ Ò Ý Ö Ô ØÓÖ Ø Ø Ú Ö ØØ Ù Ø Ö Ñ Ò ¹ Ø ÓÒ Ö ØØ ÒÙÚÖ Ø Ú Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ º Î ÒØ Ö Ò ¾± ÖÐ Ò Ø ÓÒ Ó Ù Ø Ö Ö Ø ÐÐ Ò Ø ÓÒ Ò ÚÒ Ö Ò Ò Ø ÒØÖ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ò Ö ÑØÐ Ø Øº ØØ Ñ Ö ØØ Ø Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ø Ø Ù Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÓÒ Ò Ú ½ Å ¾¼½¾ Ó Ø Ö Ø Ô ØÙÑ ½ Å ¾¼½¼º Î Ñ Ø Ú Ò ÚÐ Ñ ÐÐ Ò Ú Ð Ø Ô Ö Ó Ö Ú Ò Ö Ø Ö ÔÖ ÒØ ¹ Ø Úغ Æ ÓØ ÓÑ ÔÚ Ö Ö Ø ÑÝ Ø ÙØ Ú Ö Ò Ø ÓÒ Ò Ö ÖÒ Ö Ò Ö Ú ÒØ Ð Ø Ö Ö º Ë ÙÐÐ Ú ÙÒ Ö Ò ÓÒ Ø Ô Ö Ó ÚÐ Ø ÑÒ Ö¹ Ö ÙÐÐ ØØ ØÖÓÐ ØÚ Ñ Ö ØØ ÒØ Ð Ø ÓÖ ÒØÖ Ò ÙÒ Ö Ò Ô Ö Ó Ò Ó Ú Ð Ø Ò ØÙÖ ÔÚ Ö Ö ÙÑÑ Ö Ø Ü Ø ÓÒ ÑØ Ø ÐÒ Ò Öº Á º ÐÐÙ ØÖ Ö Ú Ö ÑÒ Ö Ø ÐÐ Ö Ô Ø Ú Ö Ö º ËÓÑ Ú Ò º Ö Ø Ø ÐÐ Ö Ö Ò Ö Ø Ø Ö Ò Ú Ô Ö Ó Ò Ø Ö Â Ò ¾¼¼ Ö ÜÔÓÒ Ö Ò Ò Ö Ð Ø ÚØ Ø Ðº ÇÖ Ò Ø ÐÐ ÒÒ Ö Ø Ò Ò ÖÓÖ Ô Ò Ö Ò Ø Ú Ø Ý Ø Ñ ÓÑ Ø ÓÑÑ Ö ÖÒ Ö Ö Ò ÖÒ Ö Ù ÚØ Ú Ö ÖØ Ø ÐÐ Ý Ø Ñ Ø Ó Ñ ÐÔ Ú ÒÒ ÔÐÓØØ Ò Ú Ö ÑÐ Ò ÒØ ØØ Ú Ò ÒÚÒ Ø ÖÒ ØÙÑ Ø ½ Â Ò ¾¼¼ ØØ Ø ÐÐ ÜÔÓÒ Ö Ò Òº ÜÔÓÒ Ö Ò Ø Ú Ö Ú Ò Ý Ø Ñ Ø ÓÔÔ ÑÒ Ö ÑÒ ØØ ÖÓÖ Ô ØØ ÒØ Ð Ö Ð Ö Ø Ñ ÐÐ Ò ÑÒ ÖÒ º Ö ØØ Ö ØÐÐ ØØ Ø ÓÑ Ú ÒÚÒ Ö ÒØ Ö ÐÐØ Ö ÔÚ Ö Ø Ú ØÖ Ò Ö Ø Ò ÙØ Ú Ö Ò ÒØ Ò ÖÐ Ò Ø ÓÒ Ò Ô ¾± ÔÐÓØØ Ö Ú ½

ÙÖ ÜÔÓÒ Ö Ò Ú Ö Ð ÖÒ Ö Ø Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ø Ø Ó Ø Ö Ø Ô ØÙÑ Ú Ð Ø Ø Ö ÒÒ ÔÔ Ò Ü º 10¹15µ Ö ÜØÖ ÑÓ ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ö Ð Ñ Ò Ö ¹ Ö ØØ Ò ØÝ Ð Ö Ð Ú Ø ØÖÙ ØÙÖ Òº Ö Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò ÖÒ Ò Ú ØØ Ð ÖØ ØÖ Ò ÖÓØØ Ö ¹ Î ØØ Ò Ó Ö Ò ÐÙØ Ø Ú ÔÖ Ð ¾¼¼ Ö Ø Ö Ö Ø ÖÖ ØÙÑ Ö Ó ØÒ Ò Ö ¼ ÑØ ØØ ØÙÑ Ö Ó ØÒ Ò Ú Ö Ø Ö ¼ Ò Ö ÐÐØ Ö Ð Ö Ò Ö ØÙÑ ÒÒ Òº Ö Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ ÖÒ Ò Ú ÒØ ØØ Ð ØÝ Ð Ø ØÖ Ò ÖÓØغ Æ ÓØ ÓÑ Ú Ò Ö ØØ ØÙÑ Ö Ñ Ø ÐÐ ÐÙØ Ø Ú ÔÖ Ð Ö Ö Ð Ø ÚØ Ò Ø Ú Ó ØÒ Ö ÓÑ Ú Ñ Ö Ñ ØÙÑ Ø Ö Ø ÔÙÒ Ø Òº Ø Ø Ø Ö Ø Ô ØÙÑ Ú Ö Ö ØØ ØÖ Ò ÖÓØØ ÓÑ ÒØÖ Ö Ú Ö ¹ Ø Ø ¾¼¼¼»¾¼¼½ Ö Î ØØ Ò ÓÖ Ø ØÓÖ ØÖ Ò ÖÓØØ Ø ØØ ÙØ ÖÒ Ø Ö Ö Ò ÓÖ ÒØÖ Ö ÒÒ Ò º Ú Ø Ö Ó ÖÚ Ö ØØ ÜÔÓÒ Ö Ò ¹ Ò Ú Ö ÜØÖ ÑØ Ð Ö ØÙÑ ÒÒ Ò Ö ¾¼¼ ØÖ Ø Ö Ú Ø ÐÐ Ú Ö Ò ÖØ Ø ÖÒ Ó Ñ ¾¼¼ Ó Ö ÑØ ÓÑ Ö ÔÖ ÒØ Ø Úغ ØØ ÒØ Ò ÓÑ ÖÚ Ú ÒÚÒ Ò Ø Ú ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ö ØØ ÑØÐ ¹ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ö Ó ÖÓ Ò Ó Ð Ö Ð Ú ÒØ Ö Ö Ö ØØ ØØ ÐÐ Öº Ø ÒÒ Ó Ò Ú Ó Ö Ø ÒØ Ò Ø Ó Ø Ö Ú Ö Ð ØØ ÒØ ÐØ Ú Ð Ö Ú Ö Ø Ú Ö Ú ÖÖ ÔÖ ÒØ Ö º ÖÑ ÓÖØ Ö Ú Ò Ö Ô Ö Ó ÖÒ Ö ÓÐ Ø ØÝÔ ÖÒ ÝØØ ÖÐ Ö Ø ÐÐ ÐÖ Ô Ö Ó Ö ØØ Ñ Ö Ó ØØ Ò Ö Ú Ó Ö Ð Ö Ú ÖÖ ÔÖ ÒØ Ö Ñ Ò Ú ÒØ Ö ØØ ½

Ò ÔÚ Ö Ò ØØ Ö Ö Ñ Ò Ñ Ðº Ô Ö Ó Ö ÓÑÑ Ö Ú ØØ ÓÖØ ØØÒ Ò Ú ÒÚÒ Ö Ð Ò Ø ¹ ØÝÔ Ö Ö Ú Ö ÒØ Ø Ò Ò Ø ÓÒ Ô ¾± º¾ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò Ö ½ ÂÙÒ ¾¼¼ ¹ ½ Å ¾¼½¾ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ Ö ½ ÂÙÒ ¾¼¼ ¹ ½ Å ¾¼½¾ Ì Ü Ø ÓÒ Ö Ö Ø Ô ØÙÑ ½ ÂÙÒ ¾¼¼ ¹ ½ Å ¾¼½¼ Ì Ø Ú ÖÓ Ò Î Ö ØÖ ØÝ Ò Ø ØÝÔ Ö ÓÑ Ú Ú ÐÐ Ø Ø Ô ØÚ ÓÐ Ò Ú Öº Ø Øݹ Ô ÖÒ Ö Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò Ö Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ Ö Ó Ø Ü Ø ÓÒ Ö Ø Ô ØÙÑ Ó Ò Ú ÖÒ Ö ÑØ ÑÒ ØÓØ ÐØ ÙØ Ö Ü ØÝ Ò Ø Øº Ø Ø Ò ÒÒ ÐÐ Ö Ú ÜØÖ ÑÓ ÖÚ ¹ Ø ÓÒ Ö Ò Ú Ð Ñ Ò Ö Ó Ô Ö ÖÑ Ü ÒÝ Ø Øº ØØ Ö ÒÓÑ Ð Ò Ð Ñ Ò Ö Ò Ö Ö Ö Ö ÔÐÓØØ Ö Ú Ö ÑØÐ Ó ÖÚ ¹ Ø ÓÒ Ö ÒÚ Ø ÐÐ ÔÔ Ò Ü º 16¹21µº ØÝÔ\ ÖÒ Ä Ê Í Ê Ä Î Ì Í Î Ì Á Ø ¹½ ¼¼¼ ¼¼¼ ¾¼ ¼¼¼ ¼¼¼ ¹ ¹ Á Ø Ü ¹¾¼ ¼¼¼ ¼¼¼ ¾¼ ¼¼¼ ¼¼¼ ¹ ¼¼¼ ¼¼¼ ¼¼¼ ¼¼¼ Ë ¹ ½¼ ¼¼¼ ¼¼¼ ¹ ¼¼¼ ¼¼¼ Á Ø ÑÒ ¹ ¼¼¼ ¼¼¼ ¹ ¹ ¼ ¼¼¼ ¼¼¼ Á Ø Ü ÑÒ ¹ ¹ ¹ ¼ ¼¼¼ ¼¼¼ Ë ÑÒ ¹ ¼ ¼¼¼ ¼¼¼ ¹ ¹ Á Ø ÐÐ Ò ÓÚ Ò Ò ÚÖ Í µ ÑØ Ò Ö Ä µ ÖÒ ÖÒ ÓÑ Ö ÒÚÒØ Ú Ð Ñ Ò Ö Ò º Ç ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ö Ú ØØ Ò ÐÐ Ö Ö Ò Ð Ö ÙØ Ò Ö ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø Ö Ø Ø Ø Ð Ñ Ò Ö º Á Ò Ò Ø Ò ØÚ Ø ÐÐ Ö Ò ÒØ ¹ Ð Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ú ÖØ Ø Ø Ö Ó Ø Ö Ð Ñ Ò Ö Ò ÒØ Ð Ø Ð Ñ Ò Ö ÑØ ÙÖ ØÓÖ Ò Ð Ú Ø ÙÖ ÔÖÙÒ Ð ÒØ Ð Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ð Ñ Ò ¹ Ö Ø º Ø ØÝÔ Å ÍØ Ò Ò Ð \ ÒØ Ð ÜØÖºÓ º ÜØÖºÓ º РѺ РѺ ÁÒ Öº غ ¾ ¾ ¾ ¼ ¼ ± ÁÒ Öº Ø Üº ¾ ¾ ½¾ ¼ ± Ë Ø Ø Üº ¾ ¾ ¼ ½± ½

ÅÒ Ø ØÝÔ Å ÍØ Ò Ò Ð \ ÒØ Ð ÜØÖºÓ º ÜØÖºÓ º РѺ РѺ ÁÒ Öº غ ½¼ ½¼ ¾ ± ÁÒ Öº Ø Üº ½¼ ½¼ ½ ¼ ± Ë Ø Ø Üº ½ ± Î Ò Ö ØØ Ø Ö Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ö Ð Ñ Ò Ö Ø Ú Ò ÐÐØ ØÖÓ ØØ Ø Ø Ò Ö Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ö Ð Ñ Ò Ö Ø Ö Ò Ö Ð Ú Ú Ö Ð Ø Òº Ë ÑØÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö P ¹ÚÖ P ¹ÚÖ H 0 ρ ¼ H 0 τ ¼ Ø ØÝÔ\ ÓÖÖ ËÔ ÖÑ Ò H 1 ρ ¼ Ã Ò ÐÐ H 1 τ ¼ ÁÒ Öº غ ¼ ¼½ ¼¼¼½ ¼ ¾¼ ¼¼¼½ ÁÒ Öº Ø Üº ¼ ¾ ¼¼¼½ ¼ ¼¼¼½ Ë Ø Ì Üº ¼ ¼ ¼ ¼¼¼ ¼ ¼ ¼ ¼¼¼ ÜØÖ ÑÓ ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ð Ñ Ò Ö P ¹ÚÖ P ¹ÚÖ H 0 ρ ¼ H 0 τ ¼ Ø ØÝÔ\ ÓÖÖ ËÔ ÖÑ Ò H 1 ρ ¼ Ã Ò ÐÐ H 1 τ ¼ ÁÒ Öº غ ¼ ½ ¼¼¼½ ¼ ¼¼¼½ ÁÒ Öº Ø Üº ¼ ½ ¼¼¼½ ¼ ¾ ¼¼¼½ Ë Ø Ì Üº ¼ ¼ ¼ ¼ ¼¼½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼¼½½ ÅÒ Ë ÑØÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö P ¹ÚÖ P ¹ÚÖ H 0 ρ ¼ H 0 τ ¼ Ø ØÝÔ\ ÓÖÖ ËÔ ÖÑ Ò H 1 ρ ¼ Ã Ò ÐÐ H 1 τ ¼ ÁÒ Öº غ ¼ ¾½ ¼¼¼½ ¼ ½ ½ ¼¼¼½ ÁÒ Öº Ø Üº ¹¼ ½½½ ¾ ¼ ¾ ¼ ¹¼ ¼ ¼ ¾ Ë Ø Ì Üº ¹¼ ¼ ¼¼½ ¼ ½ ¹¼ ¼½ ¼ ¼ ¾ ÜØÖ ÑÓ ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ð Ñ Ò Ö P ¹ÚÖ P ¹ÚÖ H 0 ρ ¼ H 0 τ ¼ Ø ØÝÔ\ ÓÖÖ ËÔ ÖÑ Ò H 1 ρ ¼ Ã Ò ÐÐ H 1 τ ¼ ÁÒ Öº غ ¼ ¾ ¼¼¼½ ¼ ½ ¼¼¼½ ÁÒ Öº Ø Üº ¹¼ ½¼ ¼ ¾ ¾ ¹¼ ¼ ¼ ¾ ¾ Ë Ø Ì Üº ¹¼ ¼ ¼ ¾ ¹¼ ¼ ¼ Î Ò Ø ÐÐ ØØ Ö Ñ ÒÓØ Ö ØØ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò ÒØ ÔÚ Ö ÑÝ Ø Ú ½

Ð Ñ Ò Ö Ò Ú ÜØÖ ÑÓ ÖÚ Ø ÓÒ Ö ØØ ÖÓÖ Ð Ô ØØ Ø Ö ÚÐ Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ö Ð Ñ Ò Ö Ø ÑØ ØØ Ú ÒÚÒ Ö Ö Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒº Íع Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ø Ø Ô Ö Ò ÖÒ ÙÐÐ Ò Ö ÜØÖ ÑÓ ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÙÒÒ Ò ÚÐ Ø ØÓÖ ÔÚ Ö Ò Ô Ò ÙÔÔÑØØ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Òº Ø ÓÑ Ö ¹ Ö Ø Ô ØÙÑ Ö Ò ÚÐ Ø Ð ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó Ú ØØ Ð Ñ Ò Ö Ò ÐÐ Ö ÑÒ Ò Úº Ø ÒÒ Ú Ò ÓÖ Ò Ö Ò ØØ Ø Ö Ð ØØ ÒÚÒ ØØ Ø Ø Ö ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ò º Î Ò Ú Ò Ó ÖÚ Ö ØØ Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ Ö Ô Ò Ú Ö Ò Ò ÓÖÐÙÒ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ñ Ò Ø ÓÑ Ö ÙÔÔ ÙÑÑ Ö Ô ÑÒ Ò Ú Ö Ò Ø Úغ Ò ÓÖ Ø ÐÐ ØØ ÙÐÐ ÙÒÒ Ú Ö ØØ Ø ÒÒ ÑÒ ÒÓÐÐÓ ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ø Ú ÐÐ ØØ Ú Ö Ð ÖÒ Ú ØØ Ò Ó Ö Ò Ö ¼ Ö Ò ÓØ ØÙÑ Ú Ö ÐÐØ Ø Ø ÒÓÐÐÓ ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ ÔÚ Ö Ò Ô ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Òº Ø Ú Ö ØØ Ø ÒÒ ØØ Ø ÖÖ ÒØ Ð Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÓÑ ÒØ Ö ÚÖ Ø ¼ Ö Ò ÓÒ Ú Ö Ð Ø Ø Ò Ô Ò Ú Ú Ø ÐÐ Ö Ø Ø Ò Ô ÑÒ Ò Ú Ü Ø Ö Ö Ò Ò Ú Ö Ð Ö Ø Ø Òº ÎÖØ ØØ ÒÓØ Ö Ö ØØ Ð Ö ÔÚ Ö¹ Ö ÒÓÐÐÓ ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ ÑÝ Ø ÙØ Ò Ð Ö Ú ØÖÓÐ ØÚ Ø ØÝ Ð Ø ÖÖ ÒÓÐÐÓ ÖÚ Ø ÓÒ Öº Æ Ò Ø ÙÐ Ö ÒØ Ð Ø ÒÓÐÐÓ ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÑØ ÒØ Ð Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ñ ¼ Ò ÓÒ Ú Ö Ð Ö ÓÐ Ø Ø Ò Ô Ò Ú Ò Ð ÖÒ Ö ÐÐ Ò Ø ÐÐ ÖÙÒ Ø Ø Øº Ø ØÝÔ ÆÓÐÐÓ Ò Ð ÒÓÐÐÓ ÆÓÐÐÓ Î Ö Ò Ð ÒÓÐÐÓ Î Ö ÁÒ Öº Ø Ü ¾ ± ½¼ ½ ½ ± ÁÒ Öº Ø ½ ¾ ¾± ½¼ ½ ± Ë Ø Ì Üº ¼ ¼± ½ ± ÙØ Ò ÒÓÐÐÓ ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ë ÑØÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö P ¹ÚÖ P ¹ÚÖ H 0 ρ ¼ H 0 τ ¼ Ø ØÝÔ\ ÓÖÖ ËÔ ÖÑ Ò H 1 ρ ¼ Ã Ò ÐÐ H 1 τ ¼ ÁÒ Öº غ ¼ ½ ¼¼¼½ ¼ ¾ ¾ ¼¼¼½ ÁÒ Öº Ø Üº ¼ ½ ¼¼¼½ ¼ ¼ ¾½ ¼¼¼½ ÜØÖ ÑÓ ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ð Ñ Ò Ö P ¹ÚÖ P ¹ÚÖ H 0 ρ ¼ H 0 τ ¼ Ø ØÝÔ\ ÓÖÖ ËÔ ÖÑ Ò H 1 ρ ¼ Ã Ò ÐÐ H 1 τ ¼ ÁÒ Öº غ ¼ ¼¼¼½ ¼ ¾ ¼ ¼¼¼½ ÁÒ Öº Ø Üº ¼ ½ ¼¼¼½ ¼ ¼ ¼ ¼¼¼½ ½

Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÙØ Ò ¼ Ò ÓÒ Ú Ö Ð Ë ÑØÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö P ¹ÚÖ P ¹ÚÖ H 0 ρ ¼ H 0 τ ¼ Ø ØÝÔ\ ÓÖÖ ËÔ ÖÑ Ò H 1 ρ ¼ Ã Ò ÐÐ H 1 τ ¼ ÁÒ Öº غ ¼ ½ ¼¼¼½ ¼ ¾½ ¼¼¼½ ÁÒ Öº Ø Üº ¼ ¼ ¼¼¼½ ¼ ¼ ¼¼¼½ Ë Ø Ì Üº ¼ ¼ ¾¾ ¼ ¼¼¾ ¼ ¼ ¾ ½ ¼ ¼¼¾¼ ÜØÖ ÑÓ ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ð Ñ Ò Ö P ¹ÚÖ P ¹ÚÖ H 0 ρ ¼ H 0 τ ¼ Ø ØÝÔ\ ÓÖÖ ËÔ ÖÑ Ò H 1 ρ ¼ Ã Ò ÐÐ H 1 τ ¼ ÁÒ Öº غ ¼ ½ ½ ¼¼¼½ ¼ ¾½ ¼ ¼¼¼½ ÁÒ Öº Ø Üº ¼ ¼ ¼ ¼ ¼¼¼½ ¼ ¼ ¾¼ ¼¼¼½ Ë Ø Ì Üº ¼ ¼ ¾¾ ¼ ¼¼¾ ¼ ¼ ¾ ½ ¼ ¼¼¾¼ Î Ò Ö ØØ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ö Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ ÖÒ Ö Ñ Ò ¹ Ø Ñ Ö ÒØ Ú Ò Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò ÖÒ Ö Ñ Ò Ø Ñ Ò ÒØ ÐÐ Ð Ö º Ø Ò ÒÙ Ú Ö Ö ØØ ÓÒØÖÓÐÐ Ö ØØ Ú ÒØ Ö Ò ÓØ ØÝ Ð Ø ÖÓ Ò ÓÑ ÒØ Ø ÙÔÔ Ñ ÐÔ Ú Ê Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ø Ø Ö ÓÑ Ú Ö ÓÖغ ØØ ÐÐ ÓÑ Ü ÑÔ ÐÚ ÙÐÐ ÙÒÒ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ö ÒÖ ¼ Ö ÓÑ Ú ØØ Ò Ø Ö ÓÑ Ò Ò Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÒØ ÑÓØ Ö Ò º Î ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ö ØØ ÒÓÑ ØØ ÔÐÓØØ ÙÔÔ Ø Ö Ð Ñ Ò Ö Ò Ö Ö ÓÖØ ØØ Ö ØØ Ò Ö Ð ÓÑ Ñ Ð Ø Ú Ö ÖÓ Ò ØÖÙ ØÙÖ Ò ÔÔ Ò Ü Ö Ò Ö Ñ ÒØ Ð¹ Ð Ø ÐÒ Ò Ö º 22¹25 Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ Ö º 26¹29 Ó ØÒ Ö Ô Ö ØÙÑ º 30¹33µº Î ÓÑÑ Ö ÒÙ Ø ØÝÔ ØØ Ö Ø ØÝÔ ØÖ Ø Ö ÙÐØ Ø Ø ÑØ ÐÙع Ø Ö Ö Ò ÖÓ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò Ú ØØ Ò Ó Ö Ò ÓÖº Ø Ö Ø Ô ØÙÑ Î Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ø Ø ÖÒ ØØ Ö ÙÐØ Ø Ø Ú Ø ÔÓ Ø Ú ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ö Ò Ú Ó Ú Ø Ò Ø Ú Ô ÑÒ Ò Úº ÈÐÓØØ Ò Ú Ö Ò ÑÓØ Î ØØ Ò Ô Ò Ú Ö ÒØÖÝ Ø Ú Ò Ò Ø Ú ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó Ò Ú Ú Ó Ö¹ Ú Ö Ö ÔÐÓØØ Ò Ú Ö Ú Ö Ð ÖÒ ÓÖ Ò Ò Ø Ð ØØ Ø Ú Ö Ö ÓÑ ØØ ØÖÙ ØÙÖ Ò ÓÑ Ú Ö Ø Ò ÖØ Ö Ò Ð Ú Ú Ö Ð ÖÒ Ò Ú Ù ÐÐ Ö ÐÒ Ò ¹ Öº Î Ò Ø Ö ÓÒØÖÓÐÐ Ö ÚÐ ØØ ØÖÓ Ô Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÒÖ ¼º Î Ø ÐÐ Ö Ø Ô ÑÒ Ò Ú Ö Ú Ò Ò ØÝ Ð ØÖÙ ØÙÖ Ñ ÐÐ Ò Ú ØØ Ò Ó Ö Ò ÓÖÒ Ò ÓÒ Ú ÔÐÓØØ ÖÒ Ú Ö Ö Ú Ú Ò Ö ÚÐ Ö ØØ ØÖÓ Ô Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÒÖ ¼º Î Ò ÐÐØ ÒÙ Ø ÐÙØ Ø ØØ Ø ÒØ Ö Ú ØØ Ø ØØ Ö ÒÔ ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ø ÐÐ Ø Ö Ø Ô ØÙÑ Ó Ú ØØ Ò Ú ÐÐ Ö ÑÒ Ò Úº ¾¼

ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ Ö Î ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ø Ø ÖÒ ØØ ÒÒ Ø ØÝÔ Ú Ò Ø ÓÒ Ö Ô Ò Ö Ð Ø ÚØ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ô Ò Ú Ñ Ò ØØ Ò Ø ÐÐ ØÓÖ Ð ÖÓ Ô ÒÓÐÐÓ ÖÚ ¹ Ø ÓÒ ÖÒ º Ú ÔÐÓØØ Ö Ö Ò ÓÖ ÑÓØ Î ØØ Ò ÓÖ Ö Ú Ò ØÖÙ ØÙÖ ÒÒ Ú ÔÐÓØØ Ö Ö ÓÖ Ò Ò Ø Ð ØÐÐ Ø Ò Ú Ú Ò Ö ØØ Ø Ø Ò ØØ Ø Ö Ú Ö Ð ÖÒ Ò Ð Ö ÐÒ Ò Ö ÓÑ Ô Ö Ò ØÖÙ ØÙÖ Òº ÈÐÓØØ Ò Ú ÓÖ Ò Ò Ø Ð Ò Ö ØÖ Ö Ú Ò Ð Ò Ú ØØ ÒÓÐÐÓ ¹ ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ Ö ØÓÖ ØÝ Ð Ö Ö Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Òº Î Ò Ò ÔÐÓØØ Ò ØØ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ö Ò ÓÒ Ú Ö Ð Ö ¼ Ö Ò ØÓÖ ÔÚ Ö Ò ÑØ ØØ Ò Ð Ñ Ò Ö Ò Ú Ö Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÒÖ ÒÓÐк Ú ÒØ Ò Ò ÓÒ ÓÖÑ Ú ÖÓ Ò ØÖÙ ØÙÖ Ø ÖÙØÓÑ ØØ ÑÒ Ú Ö Ð Ö ÒØ Ö ÚÖ Ø ¼ Ú Ö Ö Ø ÒØ Ö ÑÐ Ø ØØ ÓÖØ ØØ ØØ ÒÚÒ ØØ Ø Ø Ô Ò Úº È ÑÒ Ò Ú Ò Ú ÒØ Ò ÓÒ ØÝ Ð ØÖÙ ØÙÖ Ú Ö Ò Ô ØØ ÖÔÐÓØØ ÖÒ Ú Ú Ö Ð ÖÒ ÐÐ Ö Ú Ú Ö Ð ÖÒ Ö Ò Ö ØØ Ö Ó Ð Ò Ñ ØØ ÙÔÔÑØØ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ð Ö ÒÖ ¼º Î Ò Ö Ö Ö ØØ ØØ Ø Ø ÒØ ÐÐ Ö Ö ØØ ÒÚÒ Ô ÑÒ Ò Ú Ö Ö ÑØ ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ò º ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò Ö Ø Ò Ú Ö ÓÑ ØØ Ø Ø Ô Ò Ú Ö Ò Ú Ø ÖÓ Ò Ú Ö Ô ÔÐÓØØ Ò Ú Ö Ò ÑÓØ Î ØØ Òº ÆÖ Ú Ö Ô ÔÐÓØØ Ò Ú Ö Ò ÖÒ Ò Ú ØØ Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ Ð Ö Ò ÓØ Ñ Ö ÒØ Ò Ú Ö Ø Ö Ò ÓÒ Ð Ò Ñ Ò Ö ÚÖ Ø ÚÐ Ø ÔÖ º Î Ö Ó Ó ÖÚ Ö Ø Ò ÙÔÔÑØØ ÓÖÖ ¹ Ð Ø ÓÒ ÓÑ Ö Ò ÒØ Ú Ò Ú Ü ÐÙ Ö ÒÓÐÐÓ ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ º Î Ö Ø ÐÐ Ò Ú Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ö Ö ÐÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ñ ¼ Ò ÓÒ Ú Ö Ð ØØ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ö Ñ Ò Ø Ò ÓØ Ñ ÖØ Ñ Ò ÖØ ÒÓÐÐÓ ÖÚ Ø Ó¹ Ò ÖÒ Ú Ö Ð Ñ Ò Ö º Î Ø ÐÐ Ö Ø Ô ÑÒ Ò Ú Ö Ú Ò Ò ØÝ Ð ØÖÙ ØÙÖ ÔÐÓØØ Ò Ú Ö Ò ÑÓØ Ú ØØ Ò ÓÑ ÒØ Ú Ö Ö ÖÓ Ô Ú ¹ Ö Ð ÖÒ Ò Ú Ù ÐÐ Ö ÐÒ Ò Ö ÒÒ ÙÔÔ ØØÒ Ò Ö ØÖ ÒÖ Ú Ö Ô ÔÐÓØØ Ò Ú Ö Ú Ö Ð ÖÒ Ö Ò Ö Ú Ö Ö ØØ Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ ÓÖÑ Ö Ò ÓÒ Ð ÓÑ ØÝ Ö Ô ÔÓ Ø Ú ÓÖÖ Ð Ø ÓÒº ÒÒ ÙÔÔ ØØÒ Ò ØÖ Ú Ò Ñ Ö ÙÐØ Ø Ø Ú ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ø Ø ÖÒ º Ø Ô Ò Ú Ö Ú Ò Ð Ö Ú Ñ Ö Ð Ñ ØØ Ø Ô ÑÒ Ò Ú Ø Ö Ð Ö ÙÔÔÑØØ ÓÖ¹ Ö Ð Ø ÓÒ Ö Ø Ø ÖÒ ÑØ Ò ÚÖ ÒØ ÖÐ Ö ÐÒ Ò ØØ ÑÒ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ö ÒÓÐÐ Ö Ò ÓÒ ÐÐ Ö Ú Ö Ð ÖÒ µº Å ÒÒ Ú Ø Ô ÓÑÑ Ö Ú ÒØ ØØ ÓÖØ ØØ ÒÚÒ Ø Ú ÒÒ Ø ØÝÔ Ô Ò Ú Ñ Ò Ö ÑÓØ Ô ÑÒ Ò Úº Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Î Ö ØØ ØÝ Ø Ø ÐÙØ Ø ØØ Ò ÖØ Ö Ø Ñ Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò ÖÒ Ô ÑÒ Ò Ú Ö ÜØÖ ÑÓ ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ö Ð Ñ Ò Ö Ø Ó Ù Ø Ö Ò Ö Ö ÓÖØ ÒÐ Ø º½ Ú ÓÑÑ Ö Ö Ö ÓÖØ ØØÒ Ò Ú Ò ÖØ ØØ ØÖ Ø ØØ Ø Øº ¾½

º ÇÑÚ Ò Ð Ø ÐÐ Ð ÓÖÑ Ö ÐÒ Ò Î Ú ÐÐ ÒÙ ÙÒ Ö Ú Ö Ð ÖÒ Ò Ú Ù ÐÐ Ö ÐÒ Ò ØØ Ò ÐÑÔÐ Ò Ö ÒÓÑ ØØ ØÓ Ö Ñ ÑØ ÒÓÖÑ ÐÔÐÓØØ Ö Ú Ö Ú Ö Ð ÔÔ Ò Ü º 34¹37µº Î Ò ÓÒ Ø Ø Ö ØØ ÚÖØ ÒØ Ò ÓÑ ÒÓÖÑ Ð Ö ÐÒ Ò Ö Ú Ö Ð ÖÒ Ú Ò Ø ØØ Ø ÐÐ ÔÐÓØØ Öº Î Ò ÒÙ Ô Ð ÓÖÑ ¹ Ö ÐÒ Ò Ö Ú Ø ÒØ Ò Ø ÓÑ ÒÓÖÑ Ð Ö ÐÒ Ò ÒÐ Ø Ð Ò ( ) U i,j = Φ 1 Xi,j µ j σ j Ö i Ø Ò Ö Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÒÙÑÖ Ø j ÓÖ Ò n ÒØ Ð Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÑØ µ j Ö Ô Ô Ø Ú σ j ØØ ÒÐ Ø n X k,j µ j = σ j = n (X k,j µ j ) 2 n n 1 k=1 k=1 Î Ö ÐÐ Ö Ð Ò Ö ÙÐØ Ø Ö ØØÒ Ò ÖÒ Ë Ó µ σ Ö Ò ¾ ½ Î ØØ Ò ½½ ¾ ¾ ØØ Ö ÙÐØ Ø Ò Ú ØØ Ò Ö Ð ÒÚÒ Ö ØØ ÓÑÚ Ò Ð Ö ÙÐØ Ø ÖÒ Ò Ð ÓÖÑ Ö ÐÒ Ò Ø ÐÐ Ò Ö ÐÒ Ò Ò ÓÑ Ú Ö ÒØ Ø ØØ Ò Ú Ù ÐÐ Ú Ö Ð ÖÒ Ö ÓÖ Ò Ð Ø Ø Øº Ò Ú ÜØÖ ÓÒØÖÓÐÐ Ú Ö¹ ÐÒ Ò ÒØ Ò Ò Ò Ö º Ú Ù Ð Ö Ø ÒÝ Ø Ø Ø ØØ ØÓ Ö Ñº Î Ò ÓÑÔÐ ØØ Ö º Ñ Ð Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÑ ÒØ Ð Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ú ÖØ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ë ØÝÔ\ÁÒØ ÖÚ ÐÐ ÒÖº ½ ¾ Î ØØ Ò ¾¼ ¾¾ ¾½ ¾¼ ¾¾ Ö Ò ¾¼ ¾ ¾ ½ ¾ ËÓÑ Ú Ò Ú Ö Ö Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ Ö Ú ØØ Ò ÐÐ Ø ÚÐ Ø ÑÒØ ØÓ¹ Ö ÑÑ Ø ÓÐ ÒØ ÖÚ Ðк Î Ø ÐÐ Ö Ö Ò Ò Ú ØØ Ú Ö Ò Ò ØÓÖ ÚÚ Ð ÖÒ Ñ Ð ¾½µ Ø Ö ÒØ ÖÚ ÐРغ Ë ÒÒÓÐ Ø Ò ØØ ØØ ÙÐÐ ÒØÖ Ñ Ò Ø ØØ Ú ÒØ ÖÚ ÐÐ Ò Ú Ø ØØ Ö ÐÒ Ò ÒØ ¹ Ò Ø Ö Ö Ò Ö ÓÖÖ Ø Ò Ñ ÐÔ Ú ÑÙÐ Ö Ò Ú ÒÒ Ö ØØ ¾¾

ÙÖ À ØÓ Ö Ñ Ö Î ØØ Ò ÑØ Ö Ò Ñ Ö Ò Ö ÒÒÓÐ Ø Ò Ö ØØ Ö ÖÝ Ø ¾ ±º ØØ ØÝ Ö Ô ØØ Ú Ò Ö ÐÒ Ò ¹ ÒØ Ò Ø Ú Ö ÓÖØ Ö Ö Ò Ö Ø Ô ÙØ ÐÐ Ø Ò ØÖ Ø ÓÑ ÙÐÐØ Ö ÑРغ Ø Ò ÒÒ Ò Ú Ó Ö Ø ÒØ Ò Ø ÖÙÒØ Ú Ö Ð ÖÒ Ò Ð Ö ÐÒ Ò Ö Ô Ö Ú ÝØØ ÖÐ Ö ØØ Ø Ø Ñ ÐÔ Ú Ú Ö ¹ Ð ÖÒ Ò Ð Ô Ù Ó Ö ÐÒ Ò Öº ØØ Ø Ø Ô Ö Ú Ö ØØ Ò Ò Ð Ö ÙÖ ØÓÖ ÔÚ Ö Ò Ö ÐÒ Ò ÒØ Ò Ø Ö Ò ÐÙØÐ Ò Ú Ð ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Òº Î Ö Ð ÖÒ Ô Ù Ó Ø Ø Ø Ò Ö Ö Ú Ô Ð Ò ØØ U i,j = Rank j(x i,j ) n + 1 Ö i Ø Ò Ö Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÒÙÑÖ Ø j ÓÖ Ò ÑØ n ÒØ Ð Ø Ó ÖÚ ¹ Ø ÓÒ Öº Ç ÖÚ Ö ØØ ØØ Ø Ø ÒØ Ö Ò ÓÒ ÐÙÑÔ Ú Ö Ð ÖÒ Ò Ð Ö ÐÒ Ò Ö ØØ Ò Ð Ö ÐÒ Ò ÖÒ Ò ÖØ ÖÓÖ Ô ÒØ Ð Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÒÒ ÐÙÑÔ Ö ÒÙ ØÐÐ Ø Ø ÐÐ ÖØ ÖÓ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò Ú Ö ¹ Ð ÖÒ º Î Ò ÐÐØ ÒØ ÖÚÒØ Ó ØØ Ü Ø ØØ ÖÓ Ò Ú Ò ÓÑ Ú Ö Ð ÖÒ Ò Ú Ù ÐÐ Ö ÐÒ Ò Ö Ú Ö Ø Ò º º ÒÔ Ò Ò Ú ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö ÒÔ Ò Ò Ú ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö ÓÖØ Ñ ÐÔ Ú Ò Ý ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÔÙÐ Ô Ø Ø Ö Rº Ö Ñ Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ö R ÒÚ Ø ÐÐ Ò Ó ÙÑ ÒØ Ø ÓÒ ÓÑ ÒÒ Ø ÐÐ Ò Ð [ ]º ÍØ Ú Ö Ø Ø Ú Ø Ó Ö¹ ¾

Ú Ø ÓÒ Ö Ó Ö Ò Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ú Ö Ú Ò Ø Ø Ú Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ñ ÓÑÚÒ Ú Ò Ö Ú º Ø Ø ÒÔ Ò Ò Ò Ô (1 X BRA ),(1 X V AT )º ØØ Ú Ö Ö Ú Ú ÑÓ ÐÐ ÖÒ Ö ÝÑÑ ØÖ Øº ܺ Ò ÑÓ ÐÐ Ò ØØ Ò Ö Ú Ò ÖÓ Ò Ñ Ò ØØ ÚÖ º Î ÒÔ Ò Ò Ú Ó¹ ÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ø ÐÐ Ø Ð Ò Ö ÙÐØ Ø R Ö ÄÄ Ý Ø Ö Ô ÐÓ ¹Ð Ð ÓÓ ÓÔÙÐ θ ÄÄ θ Ö Ò ÄÄ Ö Ò ÓÖÖ Ú Ò ÙÑ Ð ½ ¼¾¾ ½¾ ½ ½ ¼¾ ½ ¼¼ Ð ÝØÓÒ ¼ ½ ½¾ ½ ½ ½ ¼ ½ ¾¾ ½ ½¾ ¾ ½ ÅÀ ¹ ¹ ¹ ¹ Ö Ò ¼ ½ ¼ º ½ ½ ¾ ÇÑÚÒ Ú Ò ÙÑ Ð ½ ¼ ¼ ½ ¼¼ ½ ¼½ ¾ ½ Ð ÝØÓÒ ¼ ¼ ½¼ ¼º ¼ ½½º¼¾½¾ ÅÀ ¹ ¹ ¹ ¹ Ö Ò ¼ ½ ¼ º ½ ½ ¾ Î Ò Ö ØØ Ú Ö ÅÀ Ö Ò ÓØ Ö ÙÐØ Ø Ö Ú Ö Ò Ø Ø Ø ÐÐ Ö Ö Ò ÖÒ Ú Ø Ø Øº ØØ ÖÓÖ Ô ØØ Ø ÒÒ ØØ Ò Ý Ø ÓÒØÖÓÐРݹ Ø Ñ Ò Ú Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ø Ñ ÚÖ Ò Ô Ã Ò ÐÐ Ø Ù ÙØ Ò Ö ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [(5 8log2)/3,1/3] = [ 0.1817,0.3333] ÔØ Ö ØØ ÅÀ Ö Ø ÓÖ Ø Ø Ò Ö ÙØ Ò Ö ØØ ÒØ ÖÚ Ðк Î Ð Ö Ö Ö ØÚÙ Ò ØØ ÒØ ØØ ÅÀ ÒØ Ö Ò Ø ÒÔ Ò Ò Ò Ú ÓÚ Ò Ø Ø Ó¹ ÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ º Î Ö Ð Ò ÚÖ ØÖ ÓÔÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ ØØ ÙÑ Ð Ö Ø Ø ÚÖ Ø Ô ÐÓ ¹Ð Ð ÓÓ Ú Ø ÐÐ Ö Ö Ò Ó ÖÚ Ø Ó¹ Ò ÖÒ Ó Ö ÐÒ Ò ÒØ Ò Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ º ÑØÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ö ÑÑ ÒØ Ð Ó Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ö ÚÖ Ò Ô ÐÓ ¹Ð Ð ÓÓ Ñ Ö Ö º Î Ò Ú Ò ØØ Ô Ö Ñ Ø ÖÚÖ Ò Ö Ö Ò Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ Ö Ò Ð Ô Ö Ñ ØÖ Ö ÓÑ Ö Ø Ö ÐÒ Ò ÒØ Ø Ø Ø Ú Ð Ø Ö Ö Ò ØÓÖ ÐÐÒ ØÝ Ö Ô ØØ Ð Ø Ø Ö ÐÒ Ò ÒØ Ò º ÙÑ Ð Ö ØØ ÚÖ Ú Ò ÖÓ Ò Ö Ú ÐÐ Ø Ö ÓÑÚÒ Ú Ò ØØ Ò Ö Ú Ò ¹ ÖÓ Ò º Î Ò º ØØ Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ Ø Ð ÓÖÑ ÐÐ Ø Ð Ö Ñ Ö ÒØ Ò ÚØ ÒÖ ¼ ¼µ Ñ ÖØ Ñ ½ ½µ Ú Ð Ø Ö Ò Ö Ð Ö Ò Ø ÐÐ Ú Ö Ö Ò ÑÓ ÐÐ Ñ ØØ Ð Ö Ú Ò ÖÓ Ò Ø Ø ÚÖ Ø Ô ÐÓ ¹Ð Ð ÓÓ Òº Ø Ö Ó ÚÖØ ØØ ÙØØ Ð ÓÑ ØØ Ð Ö Ú Ò ÖÓ Ò Ø Ø ÒÒ Ø º ËÓÑ ÓÒØÖÓÐÐ Ú ØØ ÑÓ ÐÐ Ò ÒÔ Ö Ö Ø ÐÐ Ø Ò Ú Ô ÐÙÑÔØ Ð ÖÒ ÑÓ ÐÐ Ò Ó Ñ Ö Ñ Ø ÙØ ÐÐ Ø ØØ Ö º º Ö ÔÐÓØØ Ö Ô Ö Ò ÑÓØ ÐÙÑÔÓ ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÑØ Ø ÙØ ÐÐ ÑÓØ Ö Ò ÒÚ Ø ÐÐ ÔÔ Ò Ü º 38¹39µº ÈÐÓØØ Ö Ò Ò Ö Ö Ò Ú º ÐÐÙ ØÖ Ö Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ Ø ÐÐ Ò ÒØ ÖÙÒ Ö ÐÒ Ò Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ò Ö ÒÓÑ X i,j = Φ(U i,j ) σ j + µ j ¾

Ö Ö ÓÖ Ò Ó Ö Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÒÙÑÖ Ø σ ÑØ µ Ò Ö Ò¹ Ð Ø ØØÒ Ò Ö º Faktiska observationer Likformig fördelning Slumpobservationer Likformig fördelning BRA 0.0 0.4 0.8 BRA 0.0 0.4 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 VAT 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 VAT Faktiska observationer Grundfördelning Slumpobservationer Grundfördelning BRA 0.0e+00 1.5e+07 BRA 0.0e+00 1.5e+07 5000000 10000000 25000000 0.0e+00 1.5e+07 VAT VAT ÙÖ Ë ØØ ÖÔÐÓØ Ú ÐÙÑÔØ Ð Ò Ö Ö ÖÒ ÒÔ ÙÑ Ð ÓÔÙÐ ÑØ Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ö Ø Ð ÓÑ ÐÐ Ø ÑØ Ö Ò ÒØ ÖÙÒ Ö ÐÒ Ò Ò Î Ò ÙØ ÖÒ º ØØ ÐÙÑÔ Ò Ö Ö Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ ÖÒ ÒÔ ¹ ÙÑ Ð ÓÔÙÐ ÒØ Ú Ö Ö ÚÚ ØØ Ø ÐÐ Ö ÐÒ Ò ÖÒ Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ º Î Ò ÐÐØ Ñ Ø Ú ØØ Ø Ø ÓÑ Ú ÔÖ ÙØ ÖØ Ô Ø ØØ Ò Ò¹ Ô ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ò Ð Ö Ø Ø Ø Ö ÐÒ Ò Ö º ¾

Ù ÓÒ Ø ÒÒ Ò Ö ÒØ Ò Ò ÓÑ Ú Ö ÓÖØ Ø Ò ÐÝØ Ö Ø Ø ÓÑ Ò Ö ØØ º ØØ Ø Ø ÒØ Ò ÓÑ Ú ÓÖ Ú Ö ØØ ØÖ Ò Ò Ø Ò ÙÒ Ö Ð Ö Ñ Ò ÖÐ Ò Ø ÓÒ Ô ¾±º ÁÒ Ö Ø Ø ØÝ Ð ÚÚ Ð Ö ÖÒ ÒÒ ØÖ Ò ÒÒ Ö Ø ÐÒ Ò Ö ÐÐ Ö Ø Ö Ø Ô ØÙѺ Î Ø ÐÐ Ö Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ ÖÒ Ò Ú Ö Ú ØØ Ò Ò ØÝ Ð ØÖ Ò ÓÑ Ö Ð Ñ Ò Ö Ø ÔÔ Ò Ü º 12 ¹ 13º Ø ÙÐÐ ÐÐØ Ú ØØ Ñ Ö ÓÑ ØØ Ò Ò ÐÝØ Ø Ö Ø Ö ØØ Ð Ñ Ò Ö ÒÒ ØÖ Ò ÒÒ Ò Ú ÐØ Ò ÙØ ÐÙØ ØØ ØØ Ø ÐÑÔ Ö Ö ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ò º Î Ö Ú Ò ÒØ Ø ØØ Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ Ö Ó ÖÓ Ò Ó Ð Ö Ð Ø¹ Ø Ø Ö Ð Ñ Ò Ö Ò Ú Ò Ø ÓÒ Ò Ô ¾±µº ØØ ÒØ Ò Ú Ö Ö Ó ÒØ Ö ÑÐ Ø Ø Ö Ø Ö Ò ØÓÖ ÐÐÒ Ñ ÐÐ Ò ÑÒ Ö º Ó º ÙÖ ÅÒ Ø ÐÒ Ò Ö ÒÐ Ø Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐØ Ø Ö Ö Ò ÓÖØ Ö Ø Ø Ö ÑÒ Ó Ö Î Ò º Ó ØØ Ø ÙÐ Ó Ù Ù Ø Ò Ö ÐÐØ Ö Ð Ö Ø ÐÒ Ò Ö Ö Ú ØØ Ò Ó Ö Ò Ú Ö ÐÐØ ÓÖ ØØ Ö ØØ ÓÑ Ò ÙÔÔÑع Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ø ÐÐ ØÓÖ Ð Ò Ö Ð Ö Ú ÐÐÒ Ö Ñ ÐÐ Ò ÑÒ ÖÒ º Ö ØØ ÑÙÐ Ö Ö Ñ Ö ÙÐØ Ø Ø Ö Ò Ô ÑÒ ÙÐÐ ÐÐØ Ò Ñ¹ Ò Ù Ø Ö Ò Ú Ö Ó Ú Ò ØÐÐ Ó ØÚ ÑÑ Ø ÐÐ ÓÑ ÓÔÙÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ú Ö Ð Ò Ö Ø Ø ØØ Ø ØØ Ö Ú Ø Ôº ØØ ÖÐ Ö Ò Ö ÓÖ ØØ Ö ØØ ÖÓ Ò Ø Ö Ø ÐÒ Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò Ø ØØ Ø Ü Ø Ó¹ Ò Öº Æ ÓØ ÓÑ Ú Ò Ò Ú Ö ÑÖ Ð Ø Ö ØØ ÙÔÔÑØØ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÖÒ Ö Ø Ü Ø ÓÒ ÖÒ ÚÚ Ö Ò Ð Ð ÖÒ Ø ÐÒ Ò ÖÒ Ô ÑÒ Ò Úº Î Ò Ö Ö Ö Ò Ð Ò ÙÖ ÓÑ º Ó Ö Ø Ü Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ñ Ö ¾

ÙÖ ÅÒ Ø ÐÒ Ò Ö ÒÐ Ø Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐØ Ø Ö Ú ØØ Ò ÓÖØ Ö Ø Ø Ö ÑÒ Ó Ö Ö ÙÐØ Ø Ò ÔÐÓØØ ÖÒ Ö Ø Ü Ø ÓÒ ÖÒ Ø Ö ÒÒ ÔÔ Ò Ü º 40 Ó 41º Î Ò ÙÖ ÖÒ ØØ ÒØ ÒÒ Ð ÙØÑÖ Ò Ô Ö Ó Ö Ø Ü Ø ÓÒ ÖÒ Ö Ð ÓÑ Ø ÒÒ Ø ÐÒ Ò Ø Ñ Ø Ö Ð Øº ØØ ØÖ Ö Ú Ò ØÖÓÒ ÓÑ ØØ Ø ÐÒ Ò ÖÒ ÓÖØ ØØ ÖÒ ÑÒ ÐÐÒ Ö Ø Ö Ø ÓÖÖ Ð Ö ÓÑ ÙÔÔÑØغ ËÐÙØÐ Ò Ò Ø Ú Ö ÒØÖ ÒØ Ñ ÑÒ ÐÐÒ ÖÒ ÓÑ ÖÙÒ ØØ ÙÒ Ö ÓÑ Ð Ñ Ò Ö Ò Ö ÓÑ Ú Ö Ö ÑÒØ Ö Ð Ú Ö ÑÒ Ö¹ Ò Ú Ð Ø Ú Ö Ò Ò Ø Ò Ø Ðк ØÝÔ\ ÒØ Â Ò Å Ö ÔÖ Å ÂÙÒ ÂÙÐ Ù Ë Ô Ç Ø ÆÓÚ Á Ø ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ Á Ø Ü ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ¼ Ë ½ ½ ½ ¼ ¼ ¼ ¾ ½ ¼ ¼ ½ ½ ÅÒ Á Ø ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ¼ Á Ø Ü ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ Ë ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ Ú Ö ØØ Ö Ú Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ö ÔÖ Ò Ò Ò Ú Ð Ñ Ò Ö Ò Ò Ö ÑÐ Ó ÚÚ Ö Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ ÖÒ Ô Ò Ú Ö Ù Ù Ø ÑÒ ÖÒ ØØ º Ø Ú Ö ØØ Ú Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÓÑÑ Ö ÖÒ Ö ¾¼¼ Ó ÑØÐ Ú Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ö Ø Ú ØØ Ò ÓÖ ÓÑ Ö Ú ÚÖØ Ú Ö Ò ÚÖ Ð Ñ Ò Ö Ò ÖÒ Ò Ö Ú ØØ Ò ÓÖº ØÙÑ Ö ÙØÓÑ Ô Ú Ö Ò Ö Ð Ò Ú Ö Ö ØØ ÙÐÐ ÐÐØ ÙÒÒ Ú Ö ØØ ¾

Ó ÑÑ Ú ÒØ Ó Ð Ñ Ò Ö Ò Ö ØÖÓÐ ØÚ Ö Ö Ö ÑÐ º Ð Ñ Ò Ö Ò Ò Ú Ö Ö Ö ÑÐ ØÝ Ö ØØ Ô ØØ Ñ ØØ Ø ÖÖ Ø Ñ Ø Ö Ð ÙÐÐ Ø Ò Ú Ö ØØ Ö Ö ØØ ÙÒ Ö Ò Ò Ò Ö Ô Ö Ò Ú ØÐРغ ¾

Ê Ö Ò Ö ½ ÊÓ Ö º Æ Ð Ò ¾¼¼ µ Ò ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÔÙÐ ËÔÖ Ò Ö ¾ ËØ Ô Ò À Ù Ð Ù ÃÐ ÔÔ Ð Ö Ó Ä Ò È Ò ¾¼½½µ ËØ Ø Ø Ð ÑÓ Ð Ò Ñ Ø Ó ÓÖ Ô Ò Ò Ò Ò ÙÖ Ò Ø Ð Ú Ö ÂÙÒ Ò ¾¼¼ µ Ò ÓÝ Ø ÂÓÝ Ó ÓÔÙÐ Ï Ø È ÓÔÙÐ ÂÓÙÖÒ Ð Ó ËØ Ø Ø Ð ËÓ ØÛ Ö ØØÔ»»ÛÛÛº Ø Ø Ó ØºÓÖ»Ú¾½» ¼»Ô Ô Ö ÈÖ Ò ÃÙÑ Ö ¾¼½¼µ ÈÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ð ¹Å йÀ Õ ÓÔÙÐ ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø Ð Ë Ò ÎÓÐ ¾¼½¼ ÒÓ ½ ØØÔ»»ÛÛۺѹ Ö ºÓÑ» Ñ» Ñ ¹¾¼½¼» Ñ ¹½ ¹½ ¹ ¾¼½¼» ÙÑ Ö Å˽ ¹½ ¹¾¼½¼ºÔ È ÙÐ º à ØØÐ Ö ¾¼¼ µ Ö Ø ¹ ÀÓ Ò ÐÓÛ Ö Ð Ñ Ø ÓÔÙÐ Ò Ö Ñ ÒØ ÓÒ ØØÔ»»ÛÛÛºÔ ÙÐ ÖÐ Ð ØØÐ ÖºÒ Ø» Ó» ÀÓÔºÔ ¾ À ÒÖ ÀÙÐØ Ó Ð Ô Ä Ò Ó ¾¼¼ µ Å Ø Ñ Ø Ð ÅÓ Ð Ò Ò ËØ Ø Ø Ð Å Ø Ó ÓÖ Ê Å Ò Ñ ÒØ Ä ØÙÖ ÆÓØ ÃÌÀ È ÙÐ Ñ Ö Ø Ð Ô Ä Ò Ó Ó Ð Ü Ò Ö ÅÆ Ð ¾¼¼½µ ÅÓ ÐÐ Ò Ô Ò Ò Û Ø ÓÔÙÐ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ Ê Å Ò Ñ ÒØ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø ÌÀ Ö È ÙÐ Ñ Ö Ø ¾¼¼ µ ÓÔÙÐ Ô Ö ÓÒ Ð Ú Û Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø ÌÀ Ö Å Ö Ù ÀÓ ÖØ ÁÚ Ò ÃÓ ÒÓÚ Å ÖØ Ò Å Ð Ö Ó ÂÙÒ Ò ¾¼½¾µ Ö Ò Ê¹ÔÖÓ Ø Ô ÓÔÙÐ ØØÔ»»Ö ÒºÖ¹ÔÖÓ ØºÓÖ»Û»Ô»ÓÔÙлÓÔÙÐ ºÔ ¾

2 ÔÔ Ò Ü Gumbel theta=2 Clayton theta=3 4 0.0 0.4 0.8 2 2 0.0 0.4 0.8 5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 AMH theta=1 Frank theta=6 0.0 0.4 0.8 1 2 0.0 0.4 0.8 0.5 1 1.5 1.5 2.5 2 1 2.5 0.5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ÙÖ ÃÓÒØÙÖÔÐÓØØ Ú Ö ØØ Ø Ò Ö Ö Ô Ø Ú ÓÔÙÐ Gumbel theta=2 Clayton theta=3 0.8 0.9 0.8 0.0 0.4 0.8 0.3 0.7 0.5 0.2 0.6 0.4 0.1 0.0 0.4 0.8 0.3 0.6 0.5 0.2 0.7 0.4 0.1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 AMH theta=1 Frank theta=6 0.9 0.8 0.0 0.4 0.8 0.5 0.7 0.4 0.2 0.6 0.3 0.1 0.0 0.4 0.8 0.6 0.3 0.5 0.2 0.7 0.4 0.1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ÙÖ ÃÓÒØÙÖÔÐÓØØ Ú Ö Ö ÐÒ Ò Ò Ö Ö Ô Ø Ú ÓÔÙÐ ¼

ÙÖ ½¼ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò Ö Ö Ö Ò Ñ Ð Ñ Ò Ö Ò Ö ÑÓØ ØÙÑ ÙÖ ½½ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò Ö Ö Ú ØØ Ò Ñ Ð Ñ Ò Ö Ò Ö ÑÓØ ØÙÑ ½

ÙÖ ½¾ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ Ö Ö Ö Ò Ñ Ð Ñ Ò Ö Ò Ö ÑÓØ ØÙÑ ÙÖ ½ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ Ö Ö Ú ØØ Ò Ñ Ð Ñ Ò Ö Ò Ö ÑÓØ ØÙÑ ¾

ÙÖ ½ Ø Ö Ø Ô ØÙÑ Ö Ò Ñ Ð Ñ Ò Ö Ò Ö ÑÓØ ØÙÑ Ö ØÓÖ Ò Ö Ö ÓÖØ Ø ÙÖ ½ Ø Ö Ø Ô ØÙÑ Ú ØØ Ò Ñ Ð Ñ Ò Ö Ò Ö ÑÓØ ØÙÑ Ö ØÓÖ Ò Ö Ö ÓÖØ Ø

ÙÖ ½ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò Ö Ò Ú ÑØÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÙÖ ½ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò Ö ÑÒ Ò Ú ÑØÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö

ÙÖ ½ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ Ö Ò Ú ÑØÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÙÖ ½ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ Ö ÑÒ Ò Ú ÑØÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö

ÙÖ ¾¼ ÃÓ ØÒ Ô Ö ØÙÑ Ò Ú ÑØÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÙÖ ¾½ ÃÓ ØÒ Ô Ö ØÙÑ ÑÒ Ò Ú ÑØÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö

ÙÖ ¾¾ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò Ö Ò Ú Ú ØØ Ò ÑÓØ Ö Ò ÙÖ ¾ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò Ö ÑÒ Ò Ú Ú ØØ Ò ÑÓØ Ö Ò

ÙÖ ¾ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò Ö Ö Ò Ö Ò Ú Ú ØØ Ò ÑÓØ Ö Ò ÙÖ ¾ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÐÒ Ò Ö Ö Ò Ö ÑÒ Ò Ú Ú ØØ Ò ÑÓØ Ö Ò

ÙÖ ¾ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ Ö Ò Ú Ú ØØ Ò ÑÓØ Ö Ò ÙÖ ¾ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ Ö ÑÒ Ò Ú Ú ØØ Ò ÑÓØ Ö Ò

ÙÖ ¾ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ Ö Ö Ò Ö Ò Ú Ú ØØ Ò ÑÓØ Ö Ò ÙÖ ¾ ÁÒ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ü Ø ÓÒ Ö Ö Ò Ö ÑÒ Ò Ú Ú ØØ Ò ÑÓØ Ö Ò ¼

ÙÖ ¼ Ø Ö Ø Ô ØÙÑ Ò Ú Ú ØØ Ò ÑÓØ Ö Ò ÙÖ ½ Ø Ö Ø Ô ØÙÑ ÑÒ Ò Ú Ú ØØ Ò ÑÓØ Ö Ò ½

ÙÖ ¾ Ø Ö Ø Ô ØÙÑ Ö Ò Ö Ò Ú Ú ØØ Ò ÑÓØ Ö Ò ÙÖ Ø Ö Ø Ô ØÙÑ Ö Ò Ö ÑÒ Ò Ú Ú ØØ Ò ÑÓØ Ö Ò ¾

ÙÖ À ØÓ Ö Ñ Ñ ÒÓÖÑ Ð Ö ÐÒ Ò ÙÖÚ Ö Ö Ò ÙÖ À ØÓ Ö Ñ Ñ ÒÓÖÑ Ð Ö ÐÒ Ò ÙÖÚ Ö Î ØØ Ò

ÙÖ ÆÓÖÑ Ð Ö ÐÒ Ò ÔÐÓØ Ö Ò ÙÖ ÆÓÖÑ Ð Ö ÐÒ Ò ÔÐÓØ Î ØØ Ò

Jämförelse mellan faktiska och rang BRA 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 VAT ÙÖ Ë ØØ ÖÔÐÓØ Ú Ö Ò Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Óµ ÑÓØ Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÒ Ò¹ Ø Ò ÚÖ Ò Ú U(0,1)¹ Ö ÐÒ Ò Üµ Jämförelse mellan rang och slumpobservationer BRA 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 VAT ÙÖ Ë ØØ ÖÔÐÓØ Ú ÐÙÑÔØ Ð Ò Ö Ö ÖÒ ÒÔ ÙÑ Ð ÓÔÙÐ Ø ÐÐ Ø Óµ ÑÓØ Ö Ò Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Üµ

ÙÖ ¼ ÅÒ Ø Ü Ø ÓÒ Ö ÒÐ Ø Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐØ Ø Ö Ö Ò ÓÖØ Ö Ø Ø Ö ÑÒ Ó Ö ÙÖ ½ ÅÒ Ø Ü Ø ÓÒ Ö ÒÐ Ø Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐØ Ø Ö Ú ØØ Ò ÓÖØ Ö Ø Ø Ö ÑÒ Ó Ö