TENTAMEN juni 0 HF006 och HF008 Tid :-7: Moment: TEN (Analys), hp, skriftlig tentamen Kurser: Analys och linjär algebra, HF008, lärare: Fredrik Bergholm och Inge Jovik, Linjär algebra och analys, HF006, lärare: Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Betygsgränser: För godkänt krävs 0 av ma poäng För betyg A, B, C, D, E, F krävs, 9, 6,, 0 respektive 9 poäng Hjälpmedel på tentamen TEN: Utdelad formelblad Miniräknare ej tillåten Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg F) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Skriv endast på en sida av papperet Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningar Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter Uppgift (p) Beräkna följande gränsvärden 6 (p) sin() 0 e (p) Uppgift (p) Bestäm inversen till funktionen + 6 f ( ) = + e (p) Bestäm definitionsmängden för inversfunktionen (p) Uppgift (6p) Beräkna d + (p) Beräkna ln( ) d (p) Var god vänd!
Uppgift (p) Bestäm den lösning till differentialekvationen (p) y' y = 9 +, >0 som satisfierar y()= Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen (p) + y' + y = e y 0 Uppgift (p) Vi betraktar funktionen y = e e för 0 Bestäm eventuella asymptoter Bestäm eventuella lokala etrempunkter och etremvärden till funktionen c) Rita grafen till funktionen d Bestäm funktionens värdemängd Uppgift 6 (p) Bestäm, för t > 0, strömmen i(, i nedanstående LR krets (p) om L= H, R= Ω och U = V Vid t=0 gäller följande villkor: i(0) = 0 A Beräkna i( (p) Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i( Lycka till!
FACIT: Uppgift (p) Beräkna följande gränsvärden 6 (p) sin() 0 e (p) Alternativ 6 ( ) ( = ( ) ( + + ) ( )( = ) = ( + ) = + 6 0 Alternativ =, L'Hospitalsregel = = 0 sin() 0 cos() =, L'Hospitalsregel = = 0 0 0 e e Svar:, Rättningsmall: ( samma för korrekt metod, men räknefel =p Allt korrekt =p Uppgift (p) Bestäm inversen till funktionen + 6 f ( ) = + e (p) Bestäm definitionsmängden för inversfunktionen (p) Först löser vi ut ur y = + e e y = + 6 = ln + 6 + 6 y y 6 y = 6 + ln = + ln 6 Svar a: f ( y) = + ln y Anmärkning: Man brukar byta plats på och y ( för att få som oberoende variabel i ovanstående uttryck) )
6 Vi kan skriva svaret som f ( ) = + ln eller även med en annan bokstav 6 för oberoende variabel t e t: f ( = + ln t Definitionsmängd till inversen: y > 0 y > 0 y > Svar b: D = (, ) f Rättningsmall: ( samma för Allt korrekt =p Uppgift (6p) Beräkna d + Beräkna ln( ) d (p) (p) Först delar vi integranden i partiella bråk: A B = + = A( + ) + B (*) ( + ) + Eftersom (*) måste gälla för alla väljer vi två värde ( som leder till enkla ekvationer ) : = 0 = A(0 + ) + 0 A = / = = 0 B B = / / / Därför = ( + ) + / / d = ( ) d + + = (ln ln + ) + C ln( ) d = Förs använder vi substitutionen = ln( dt (part integration) = ( t lnt td + C t Partial integration för
= ( t ln t d + C = ( t ln t + C = ln + Svar: = C (ln + ln + ) + C b ) ln + C Rättningsmall: p för korrekt partiall uppdelning Allt korrekt =p poäng för korrekt substitutionen Allt korrekt =p Bortglömda integrationskonstanter i både a och b delen ger ma p Uppgift (p) Bestäm den lösning till differentialekvationen (p) y' y = 9 +, >0 som satisfierar y()= Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen (p) y + y' + y = 0e Man kan lösa ekvationen med hjälp den integrerande faktorn nedanstående formel Vi använder formeln P( ) d P( ) d y( ) = e ( C + Q( ) e d) (*) där, i vårt fall, P( ) = och Q( ) = 9 Först beräknar vi integralen F = e P( ) d eller direkt, med = D P( ) d d= ln + D= ln + ( eftersom >0) Vi använder en primitiv funktion till P() till eempel ln formeln (*) ) (eftersom konstanten C finns redan i
y( ) ln = e ( C + 9 e ln d) = ( C + 9 d) = ( C + 9 d) = ( C + ) = C + För att bestämma C använder vi villkoret y()= C = + C =, därmed y = + Homogena delen har karakteristiska ekvation r + r + = 0 r = ± = ± i, Därför y H = C e sin + Ce cos En partikulär lösning får vi med hjälp av ansatsen y = p Ae som ger y = ' Ae och y = Ae Vi insätter ovanstående i ekvationen y + y' + y = 0e och får : Ae + Ae + e = 0e A = och därför y p = e Den allmänna lösningen är y = yh + y p = C e sin + Ce cos + Svar: e y + = y = C e sin + Ce cos + e Rättningsmall: p för korrekt allmän lösning Allt korrekt =p En poäng för korrekt homogena delen Allt korrekt =p
Uppgift (p) Vi betraktar funktionen y = e e för 0 Bestäm eventuella asymptoter Bestäm eventuella lokala etrempunkter och etremvärden till funktionen c) Rita grafen till funktionen d Bestäm funktionens värdemängd Enligt uppgiften är funktionens definitionsmängd Df=[0, ) där ( e e ) = = 0 Funktionen är definierad och kontinuerlig f ör alla [ 0, ) ( och 0 dessutom ( e e ) = 0 ) Därför har funktionen ingen vertikal asymptot] 0 Nu undersöker vi f() då + ( e e ) = 0, + Därmed har funktionen en horisontell ( vågrä asymptot, y=0, då + Stationära punkter: f ( ) = e + e = 0 e = e ln(e ) = ln( e ln = ln = = ln() ) En stationär punkt = ln(), f ( ) = e = f ln ln ln ln e = e e = ger ( ) = < 0 ( ) = e 6e f ( maimum)
ln() Alltså = är en maimipunkt c) Grafen: d) Funktionens värdemängd är [0, /] Rättningsmall: p för korrekt a, b, c eller d Uppgift 6 (p) Bestäm, för t > 0, strömmen i(, i nedanstående LR krets (p) om L= H, R= Ω och U = V Vid t=0 gäller följande villkor: i(0) = 0 A Beräkna i( (p) Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i( Från kretsen får vi följande diff ekv di( L + R i( = U (ekv) dt Efter subst L, R och C har vi i ( + i( = (ekv )
Ekvationen har konstanta koefficienter! Först löser vi homogena delen i ( + i( = 0 som har den karakteristiska ekvationen: r + = 0 r = Härav t ih = ce En partikulär lösning har formen 0 + A = A = / i p = A som vi substituerar i ( ekv ) och får t Därför i ( = ih + ip = ce + dvs t i ( = ce + Villkoret i(0) = 0 ger 0 = c + c = Därmed t i ( = e + i ( = e t + = Svar: t i ( = e + i( = Rättningsmall: p för korrekt lösning till homogena ekvationen, p p för den partikulära lösningen, allt korrekt i a delen = p p för korrekt löst b delen