x 2 + ax = (x + a 2 )2 a2

ÅÐ Ö Î ½ ½º ÒØ Ñ Å ÔÐ º ¾º Î Ö Ô Ø Ø ÓÒ Ú Ð Ò Ö Ð Ö º º ÇÐ ØØ ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÑÒ Ö ÔÐ Ò Ø»ÖÙÑÑ Øº µ ÁÐÐÙ ØÖ Ö Ð Ø Ö Ð Ñ Å ÔÐ Ð Ö Ò Ò Ð Ø Ò Ö µ ÐÐ Ø Ü Ð Ò Ö Ó Ò Ö Ö ÙÖÚÓÖ º Á Å ÔРй Ð Ø Ö Ñ Ò ÙÒ Ö Ô ÙÖ ÙÖÚ Ò»ÝØ Ò Ò Ô Ö Ø Ö Ô Ð Ú Ø ÓÒ Òº µ Å ØÓ Ö ØØ ÐÐÙ ØÖ Ö ÓÐ Ø Ö ½µ ÍÒ Ö Ð Ø ÓÑ µ ¾µ Ú Ö Ú Ð¹ Ò ÓÑ ÖÒ Ò ÓÑ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö ÓÐ ¹ Ø Òº ½

Ö Ò Å Ò ÐÐ ÙÒÒ Ð Ö ÙÔÔ ¹ Ø ÖÒ Ñ Ö Ö Ñ ÍÅ ÅÐ Ö Ú ¾ ½º Ò Ö Ö ÝØÓÖº ¾º ÊÓØ Ø ÓÒ ÝØÓÖº º ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ö Ú Ö Ð Öº ÇÐ Øݹ Ô Ö Ó ÙÖ Ò ÐÐÙ ØÖ Ö Ö Øº º ÖÒ ÚÖ Ö ÔÔ Ø Ö Ø ÙÚÙ Ò ÑØ ÙÒÒ ÙÒ Ö Ò Ð Ü ÑÔ Ðº ¾

Æ Ö Ö ÓÖ ½º max(a, b) = Ø Ø Ö Ø Ú a Ó bº ܹ ÑÔ Ð µ max(2,10) = 10 max(x, x) = x º ¾º ÚÒ Ò ÙÔÔ Ø ½º M 4 º º Ö Ñ ØÐÐ Ð Ò ÖÒ µ (x, y, z) = (1,0,2)+ t(1,2,3) t R Ó µ (x, y, z) = (1,0,2)+ t(0,1,1) t R ÓÑ ÖÒ Ò Ö Ñ ÐÐ Ò ØÚ ÔÐ Òº Ë ½ ½ º º ÃÚ Ö Ø ÓÑÔÐ ØØ Ö Ò x 2 + ax = (x + a 2 )2 a2 4.

Ü ÑÔ Ð ØÑ Ò ÓÑ ØÖ Øݹ Ð Ò Ú x 2 + 6x 2y 2 + 4y + 5 = 0. x 2 + 6x 2(y 2 2y) + 5 = 0. Ú ÒÓÑ ØØ Ú Ö Ø ÓÑÔÐ ØØ Ö Ö Ú Ò¹ ÖØ Ú Ö Ø Ö Ó ÓÒ Ø ÒØ Ö (x + 3) 2 3 2 2((y 1) 2 1) + 5 = 0 (x + 3) 2 2(y 1) 2 = 9 2 5 (x ( 3)) 2 (y 1) 2 = 1. 2 Î Ö ÐÐØ Ò ÝÔ Ö Ðº

ÚÒ Ò ÙÔÔ Ø ½º µ Ê Ø M 4 = {(x, y) : xy 1/4}. Ä Ò Ò ËØÙ Ö Ö Ø Ð Ø xy = 1 4 xy = 1 4 ÐÐ Ö xy = 1 4. xy = 1/4 ÒÒ Ö y = 4x 1 Ö Ø ÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÙÖÚ º x 0º Î Ò Ø Ò Ö ÐÐ Ø y = 4x 1 Ð Ò y = 0º ÒÓÑ Ô ¹ Î Ö Å ÔÐ ¹ ÙÖ ÙÖÚ Ø Ö ÓÑ ¹ Ð Ö ÔÐ Ò Ø Ð Öº Ö ØØ Ú Ö Ú Ð ÓÑ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö ÓÐ Ø Ò Ø Ö Ú Ò ÔÙÒ Ø ÙÖ Ú Ö ¼ ¼µ ½¼ ½¼µ ¹½¼ ½¼µ ¹½¼ ¹½¼µ Ó ½¼ ¹½¼µ Ó ÙÒ Ö Ö ÓÑ ÙÔÔ Ýй Ð Ö ÓÐ Ø Òº Ò Ø ¼ ¼µ Ù Öº Ê Ò Ò = ÖÒ ÙÖÚÓÖÒ µ ÐÐ Ú Ö Ñ Ø Ö ÓÑ Ð Ø Ö Ø ÐÐØ Ò ÓÐ Ø ÖÒ º

ÒÑÖ Ò Ò Ú Ö ÙÖ µ Ú Ø ÓÒ Ò xy = 1 4 Ö Ú Ö Ø Ø Ò ÝÔ Ö Ðº Ö ØØ Ø Ò Ú Ò Ö ÒÝ ÓÖØÓ ÓÒ Ð µ Ú ¹ ØÓÖ Ö ê 1 = (1,1) ê 2 = ( 1,1) ÓÑ Ð Ö Ú Ò ÐÒ π 4 Ñ ÑÐ º Î ØÓÖÒ ÓÑ Ú sê 1 +tê 2 Ö ÑÐ ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ (x, y) = s(1,1) + t( 1,1) = (s t, s + t). Ú Ø ÓÒ Ò xy = 1 4 ÓÖ Ò Ø ÖÒ Ú ÐÐØ ÒÝ Ó¹ (s t)(s + t) = 1 4 ÐÐ Ö s 2 t 2 = 1 4, Ú Ð Ø Ú ÒÒ Ö Ò ÓÑ Ú Ø ÓÒ Ò Ö Ò ÝÔ Ö Ðº

Á ÃÙÖÚÓÖ Ó ÝØÓÖ ËØØ ØØ Ò ÙÖÚÓÖ ÔÐ Ò Ø ½º ÙÒ Ø ÓÒ ÙÖÚ y = f(x) Ì ÐÐ Ú Ö x D f Ö ØØ yºµ Ü ÑÔ Ð µ y = kx + m Ð Ò ÐÓ Öص µ y = (x 1) 2 1 Ô Ö Ðµº Å Å ÔÐ ÔÐÓØ Ü¹½µ ¾¹½ Ü ¹ ºº µ Å ÔÐ ÚÐ Ö ØØ ÒØ Ð x¹úö Ò ÙÐØ 50 ØÝ Ò Ò Ñ ÓÔØ ÓÒ Ò ÒÙѹ ÔÓ ÒØ µ Ö Ò Ö ÑÓØ Ú Ö Ò y¹úö Ò ÑØ Ö Ò Ö ÔÙÒ Ø ÖÒ Ñ Ð Ò ØÝ Òºµ

¾º Æ Ú ÙÖÚ F(x, y) = Konst. Ì ÐÐ Ú Ø x Ò Ö ¼ ½ ÐÐ Ö ÑÒ y¹úö Òºµ Ü ÑÔ Ð µ ax+by + c = 0 Ñ (a, b) (0,0) ÐÐÑÒ Ð Ò µ µ x 2 y 2 = 1 ÝÔ Ö Ðµ x > 1 Ù Ö y = ± x 2 1 ¾ غ x = 1 Ö Ú y = 0 ½ غ x < 1 ÒÒ Ò Ø y ÓÑ Ù Öº Å Å ÔÐ ÖÚ Ö Û Ø ÔÐÓØ µ µ ÑÔÐ ØÔÐÓØ Ü ¾¹Ý ¾ ½ Ü ¹ ºº Ý ¹ ºº µ Å ÔÐ ÙÒ Ö Ö Ú Ð Ú 25 25 = 625 ÔÙÒ Ø Ö (x j, y k ) ÓÑ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö x 2 j y2 k 1º ÇÑ ØÚ Ö ÒÒÔÙÒ Ø Ö Ö Ø Ö Ò Ñ Ð Ò º ØØÖ ÙÔÔÐ Ò Ò Ñ ÓÔØ ÓÒ Ò Ö = [m, n]ºµ ÒÑÖ Òº Î Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÙÖÚ y = f(x) Ò Ö Ú ÓÑ Ò Ú ÙÖÚ F(x, y) = 0 Ö F(x, y) = y f(x)º

º È Ö Ñ Ø Ö ÓÖÑ (x, y) = (x(t), y(t)) t I R (x(t), y(t)) Ò ÙÔÔ ØØ ÓÑ Ò ÑÝÖ Ð Ú Ø Ò tº Ü ÑÔ Ð µ (x, y) = (x 0 + αt, y 0 + βt) t R Ð Ò µ µ { x = 2cos t y = 3sin t, 0 t < 2π. ØØ Ö Ò ÐÐ Ô ØÝ ( x ) 2 ( ) y 2 + = cos 2 t + sin 2 t = 1. 2 3 Å Å ÔÐ ÔÐÓØ ¾ Ó Øµ Ò Øµ Ø ¼ºº¾ È µ Å ÔÐ ÚÐ Ö ØØ ÒØ Ð t¹ú Ö Ò Ö Ò Ö ÑÓØ Ú ¹ Ö Ö ÔÙÒ Ø Ö (x(t k ), y(t k )) ÑØ Ö Ò Ö Ñ Ð Ò Öº ØØÖ ÙÔÔÐ Ò Ò Ñ ÓÔØ ÓÒ Ò ÒÙÑÔÓ ÒØ º ÒÑÖ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙÖÚ Ò y = f(x) Ú ¹ Ö Ö ÑÓØ ÐÐ Ø (x(t), y(t)) = (t, f(t))º

ËØØ ØØ Ò ÝØÓÖ ÖÙÑÑ Ø ½º ÙÒ Ø ÓÒ ÝØ z = f(x, y) (x, y) D f R 2 Ü ÑÔ Ð µ z = x 2 + e y µ z = k 1 x + k 2 y + l ÔÐ Ò ÐÓ ÖØص Ì ÐÐ Ú Ò ÔÙÒ Ø (x 0, y 0 ) ÒÒ ÌÌ zº Å Å ÔÐ ÔÐÓØ Ü ¾ ÜÔ Ýµ Ü ¹ ºº Ý ¹ ºº µ Å ÔÐ ÚÐ Ö ØØ ÒØ Ð ÔÙÒ Ø Ö (x j, y k ) Ó Ú ØØ Ö ÑÓØ Ú Ö Ò z¹úö Òº ÙÐØ Ö 25 25 ÔÙÒ Ø Ö Ò Ö Ñ Ö Ñ Ò º ½¼

¾º Æ ÚÝØ F(x, y, z) = ÓÒ Øº Ü ÑÔ Ð µ ax+by+cz+d = 0 ÔÐ Ò Ñ ÒÓÖÑ Ð (a, b, c) (0,0,0)º Ç Ëº Æ Ö Ú a b Ó c Ò Ú Ö ÒÓÐÐ Ú Ø ÓÒ ÖÒ x = 1 x 2z = 2 غ ØÑÑ Ö ÔÐ Ò R 3 ºµ µ x 2 + y 2 + z 2 = 2 2 Ö Ñ Ö ¾º µ x 2 + 1 4 (y2 + z 2 ) = 10º Ì ÐÐ ÚÒ (x 0, y 0 ) Ò ÒÒ Ò ÐÐ Ö ÑÒ zº Å Å ÔÐ ÑÔÐ ØÔÐÓØ Ü ¾ Ý ¾ Þ ¾µ»¾ ½¼ Ü ¹ ºº Ý ¹ ºº Þ ¹ ºº µ ÙÐØ Ö 10 10 10 ÔÙÒ Ø Ö ÒÒ Ö Ö Ñ Ò Ô º ½½

º È Ö Ñ Ø Ö Ö Ñ ØÐÐÒ Ò (x, y, z) = (x(s, t), y(s, t), z(s, t)) (s, t) D R 2 Ü ÑÔ Ð µ (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + sv 1 + tv 2, ÔÐ Òµ. µ x = sin scos t y = sin ssin t z = cos s, 0 s π,0 t < 2π, Öµ. Å Å ÔÐ ÔÐÓØ Ò µ Ó Øµ Ò µ Ò Øµ Ó µ ¼ººÈ Ø ¼ºº¾ È µ ½¾

ËØØ ØØ Ò ÙÖÚÓÖ ÖÙÑÑ Ø Ô º Ð Ò µ ½º È Ö Ñ Ø Ö ÓÖÑ (x, y, z) = (x(t), y(t), z(t)) t I Rº Ü ÑÔ Ð µ (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + tv Ð Ò µº µ x = cos t y = sin t z = t, 0 t 4π, Ô Ö Ðµ Å Å ÔÐ Ô ÙÖÚ Ó Øµ Ò Øµ Ø Ø ¼ºº È µ ½

¾º Ë ÖÒ Ò Ñ ÐÐ Ò ØÚ ÝØÓÖ Ü ÑÔ Ð ØÑ ØÚ ÔÐ Ò ÓÑ Ö Ú Ö Ò ¹ Ö ÐÒ (x, y, z) = (1,0,2) + t(1,2,3)º Ä Ò Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú ½ Ä Ò Ò ØÑ Ú Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ø t +x = 1 2t +y = 0 3t +z = 2. Î ÒÚÒ Ö Ò Ö Ø Ú Ø ÓÒ Ò Ö ØØ Ð Ñ Ò Ö t ÙÖ ÚÖ t +x = 1 2x +y = 2 3x +z = 1. ØÚ Ø Ú Ø ÓÒ Ö Ö ÒÙ ¹Ô Ö ÐÐ ÐÐ ÔÐ Ò ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö Ð Ò Òº ½

ÐØ ÖÒ Ø Ú ¾ ÆÓÖÑ Ð ÖÒ Ø ÐÐ Ø ÔÐ ¹ Ò Ò ÐÐ Ú Ö Ú Ò ÐÖØ ÑÓØ Ð Ò Ò Ö Ø¹ Ò Ò (1,2,3)º Î ÚÐ Ö ØÚ Ò ¹ Ô Ö ÐÐ ÐÐ µ Ø Ü n 1 = ( 2,1,0) Ó n 2 = ( 3,0,1)º ÙØÓÑ ÐÐ ÔÐ Ò Ò ÒÒ ÐÐ (x 0, y 0, z 0 ) = (1,0,2)º ÌÚ ÔÐ Ò ÓÑ Ù Ö Ö ÖÑ ( 2,1,0) (x x 0, y y 0, z z 0 ) = 0 ( 3,0,1) (x x 0, y y 0, z z 0 ) = 0. ½

ÊÓØ Ø ÓÒ ÝØÓÖ ÙÖÚ Ò { z = f(x) y = 0, ÖÓØ Ö Ö Ö Ò z¹ Ü ÐÒ ÙÔÔ ØÖ Ò ÖÓØ Ø ÓÒ ¹ ÝØ ØÒ Ô ÝØ Ò Ú Ò Ð Ö ÐÙÑÔ Ô Ò Ö Ú º ØÑ Ú Ø ÓÒ Ò Ö ÒÒ º Ä Ò Ò ÄØ P 1 : (x 1, y 1, z 1 ) Ú Ö Ò ÔÙÒ Ø Ô ÝØ Òº Ú ØÒ Ø ÖÒ z¹ Ü ÐÒ Ö r = x 2 1 + y2 1 º ÈÙÒ Ø Ò P 1 ÒÓÑ ÖÓØ Ø ÓÒ Ú Ò ÔÙÒ Ø (X,0, f(x)) Ô Ò ÙÖ ÔÖÙÒ ¹ Ð ÙÖÚ Ò Ñ f(x) = z 1 º ÒÒ ÐÐ ÑÑ Ú ØÒ Ø ÐÐ z¹ Ü ÐÒ Ú X = x 2 1 + y2 1 º Î Ö ÐÐØ z 1 = f(x) = f( x 2 1 + y2 1 ). ËÚ Ö Ø Ò Ú Ø ÓÒ Ö z = f( x 2 + y 2 )º ½

È ÑÑ ØØ Ú Ö Ñ Ò ØØ ÖÓØ Ø ÓÒ Ú ÙÖÚ Ò F(x, z) = C y = 0 Ö Ò z¹ Ü ÐÒ Ö ÝØ Ò F( x 2 + y 2, z) = C. Ü ÑÔ Ð ÊÓØ Ø ÓÒ Ú Ö ÐÒ x 2 +z 2 = 1 y = 0 Ö Ö Ò (x 2 + y 2 ) + z 2 = 1º ÇÑÚÒØ Ö Ò Ú Ø ÓÒ Ú Ð Ò x Ó y Ö Ö ÓÑÑ Ö ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ò x 2 + y 2 ÙÔÔ ÓÚ Ø ÐÐ Ò ÖÓØ Ø ÓÒ ÝØ º ØØ Ò ÙØÒÝØØ Ú Ö ØÒ Ò º Ü ÑÔ Ð Ê Ø E = {(x, y, z) : x 2 + y 2 = 1}º Ä Ò Ò Ø Ö ÓÑ E R 3 Ú Æ ¹ Ú Ø ÓÒ Ö Ø Ò ÝØ ÐÐ Ö Ñ Ð Ò ¹ Ö µº ÃÓÓÖ Ò Ø ÖÒ x, y Ö ÓÑÑ Ö Ò Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ò x 2 + y 2 E Ö ÖÓØ Ø ÓÒ ¹ ÝÑÑ ØÖ Ö Ò z¹ Ü ÐÒº Ë ÖÒ Ò Ò Ñ ÔÐ Ò Ø y = 0 x 2 = 1 Ú Ð Ò ÖÒ x = ±1º ÊÓØ Ö Ö Ú Ö Ò z¹ Ü ÐÒ Ö Ú Ò Ö ÙÐÖ ÝÐ Ò Öº ½