Lösningar till Övningsuppgifter

Lösningar till Övningsuppgifter Digital Signal Processing Övningar med svar och lösningar Mikael Swartling Nedelko Grbic Bengt Mandersson rev. 07 Department of Electrical and Information Technology Lund University

Introduktion Lösning. Periodisk om det finns ett N så cosωn + N)) cosωn) för alla n. N är fundamental period om ω π N k där k och N är heltal och saknar gemensamma faktorer. a) cos0.0πn) cos0.0πn + 00)), periodisk. cos0.0πn) cos πn 00 ) så k N 00 ger N 00. b) Periodisk, N 7. c) Periodisk, N. d) sin3n) sin3n + N)) om 3N πp och p heltal. Då kan ej N vara heltal, ej periodisk. e) Periodisk, N 0. Lösning.5 a) Se c). b) xn) x a nt ) 3sinπnT 50) 3sinπn 50 300 ) 3sinπn 6 ). Periodisk med perioden N 6 och frekvensen f /6. c) N 6 och T /300, så T p NT 0.0s. 0 5 0 5 0 5 30 d) x0) 0 och x) 3 3sin π ) 3sin π 50 Fs ), så 50 Fs och därmed F s 00Hz. Lösning.7 a) F s F max 0kHz 0kHz. b) xn) x a nt ) cos πn 5000 8000 ) cos πn 5 8 ) men eftersom 5 8 > så är xn) cos πn 3 8 )) cos πn 3 8 ) cos πn 38 ) så xa t) cosπt 3000), det vill säga vikning till 3 khz. c) Vikning till khz. Lösning.8 a) Nyquist rate F N är den lägsta sampelfrekvensen så att vikning ej uppstår. F N F max 00 00Hz. b) F s 50Hz så F max 5Hz.

Lösning. Den analoga signalen är: x a t) 3cosπt 50) + sinπt 5) ) Sampla med F s 00Hz. ) xn) x a n 00 50 3cos πn 00 3cos πn 3cos πn ) + sin ) + sin ) + sin Rekonstruera med F rek 000Hz. y a t) 3cos πt 000 πn 5 ) 00 πn 5 ) 8 πn 3 ) 8 ) + sin πt 3 000 8 ) 3cosπt 50) sinπt 375) 7) MATLAB-kod som illustrerar exemplet: >> t 0:0000 -)/000; >> x 3* sin 00* pi*t )+* sin 50* pi*t); >> y x :5: end ); >> subplot,,); plot t :00), x :00)); >> subplot,,); plot t :00), y :00)); ) 3) ) 5) 6) Lyssna sedan på signalerna: >> soundsc x, 000); >> soundsc y, 000); Lösning.3 Antalet nivåer är L x max x min a) b 7 b) b 0 + och antalet bitar är b log L. Lösning. Bithastigheten är 0Hz 8bitar 60bitar/s. F max 0Hz. /55V. Lösning E. Simulering i Matlab. Impulssvar och faltning, kapitel Lösning. a) 3

xn) 0 5 0 5 0 b) För i: x n) x n + ) 0 5 0 5 0 0 5 0 5 0 För ii: xn ) x n ) 0 5 0 5 0 0 5 0 5 0 c) Alternativ ) i b). d) Spegla och fördröj k steg. e) xn) /3 δn + ) + /3 δn + ) + un) un ) Lösning.7 Systemen är: a) Statiskt ty utsignalen beror bara av insignalen vid samma tidpunkt. Icke-linjärt ty Eq...6) är ej uppfylld. Tidsinvariant eftersom en fördröjd insignal ger samma utsignal fast fördröjd. Kausalt eftersom utsignalen vid tidpunkten n ej beror av insignaler för tidpunkter > n. Stabilt ty begränsad insignal ger begränsad utsignal. b) Dynamiskt, linjärt, tidsinvariant, icke-kausalt, instabilt. c) Statiskt, linjärt, tidsvariant, kausalt, stabilt. e) Statiskt, icke-linjärt, tidsinvariant, kausalt, stabilt. h) Statiskt, linjärt, tidsvariant, kausalt, stabilt.

j) Dynamiskt, linjärt, tidsvariant, icke-kausalt, stabilt. n) Statiskt, linjärt, tidsinvariant, kausalt, stabilt. Lösning.3 ) Tillräckligt: Antag att n hn) M h <. Då gäller med begränsad insignal, alltså n xn) M x <, yk) hn)xk n) n hn) xk n) M h M x < 8) n det vill säga systemet är BIBO-stabilt. ) Nödvändigt: Antag att n hn). Bilda insignalen xn) { h n)/ h n) h n) 0, 0 h n) 0. 9) xn) är begränsad ty xn). Vi får y0) hn)x n) n n hn)h n) hn) n hn) hn) hn), 0) n det vill säga en begränsad insignal ger en obegränsad utsignal och systemet är inte BIBO-stabilt. Alltså måste n hn) < om systemet är BIBO-stabilt. Lösning.6 a) yn) hn k)xk) xk) hn k) xk) hl) ) n n k k n k l b) ) Grafisk lösning: h0 k) xk) hk) xk) 3 7 7 7 6 yn) { 3 7 7 7 6 ) yn) { ) yn) { 3 5 9) Grafisk lösning: Summera antidiagonalerna, - -3 - -3 - -3 0 0 0 0 0 - -3 - -3 yn) { 5 3 5, ) yn) 0 xk) hl) 0 3) n k l 5

) Formel-lösning: yn) k ) k ) n k uk) un k) ) ) k ) n k un k) 5) k0 n ) k ) n k 6) k0 ) n n k k0 ) n n+ n 0 8) [ ) n ) n ] un) 9) 7) yn) 8 3 xk) hl) 3 n k l 0) Lösning.7 a) yn) { 6 5 8 0 6 3 b) yn) { 6 5 8 0 6 3 c) yn) { d) yn) { Lösning. a) Om a b: yn) Om a b: k a n n yn) a n k0 b k uk)a n k un k) ) ) k b a a n b a ) n+ b a an+ b n+ a b n 0 ) n k a n n + ) n 0 5) k0 b) yn) { 0 0 3 3 ) 3) 6

Lösning.35 a) Parallell- och seriekoppling: hn) h n) [h n) h 3 n) h n)] 6) b) h 3 n) h n) n ) un ) 7) h n) h 3 n) h n) δn) + un ) 8) hn) δn) + 5 δn ) + δn ) + 5 un 3) 9) c) Falta med en komponent av xn) i taget. hn) δn + ) 5 5 5 5 5 5 5... hn) 3δn ) 0 0 0 3 5 6 5 5 5... hn) δn 3)) 0 0 0 0 0 - -5-8 -0-0 5 5 3 5 0 0 Utsignalen blir yn) { 5 5 3 5 30) Lösning.6 För r xx l): n 0 +N r xx l) xn)xn l) N l + l 0 3) n nn 0 N+l r xx l) N l + 3) För r xy l): r xy l) xn)yn l) 33) n Lös grafiskt, dvs r xy l) r xx l n 0 ) 3) Lösning.6 a) r xx l) { 3 5 7 5 3 b) r yy l) { 3 5 7 5 3 7

Lösning.6 xn) sn) + r sn k ) + r sn k ) 35) r xx l) xn)xn l) 36) n [sn) + r sn k ) + r sn k )] [sn l) + r sn k l) + r sn k l)] 37) n r ss l) + r r ss l + k ) + r r ss l + k ) 38) + r r ss l k ) + r r ssl) + r r r ss l + k k ) 39) + r r ss l k ) + r r r ss l + k k ) + r r ssl) 0) Låt r och r : r xx l) r ss l) + r r ss l + k ) + r r ss l + k ) + r r ss l k ) + r r ss l k ) ) z-transform, kapitel 3 Lösning 3. a) Xz) 3z 5 + 6 + z z b) Xz) ) 5 z 5 z Lösning 3. a) Xz) z ). Förläng med z. Nollställen: z 0 st). Poler: z st). c) xn) ) n un) så Xz) + z. Nollställe: z 0. Pol: z. f) xn) Ar n cosω 0 n + φ)un) Ar n cosω 0 n)cosφ sinω 0 n)sinφ)un) ) Xz) A Poler och nollställen ges av Xz) Az cosφ r cosω0 ) z ) cosφ r sinω 0 ) z sinφ r cosω 0 z + r z 3) z r cosω 0 φ) cosφ z re jω 0 ) z re jω 0 ) ) h) Nollställen: z 0 och z r cosω 0 φ) cosφ. Poler: z re ±jω 0. ) 0 Xz) z z 0 z ) 0 z 0 z 5) Poler och nollställen ges av Xz) z 0 z 0 /) 0 ) z z /) z 0 /) 0 z 9 z /) Nollställen: z 0 0 0 ger z e jπk/0 för k...9. Poler: z 0 9st). OBS! Polen p och nollstället z släcker ut varandra. 6) 8

Lösning 3.8 a) b) yn) n k xk) k Y z) Xz) Uz) Xz) un) un) k xk)un k) xn) un) 7) uk)un k) z 8) n n + )un) 9) k0 Xz) Uz) Uz) z ) 50) Lösning 3.9 Skalning i z-planet: a n xn) Xa z) 5) Om vi har en pol eller nollställe i z re jω c erhålles efter multiplikation i tidsplanet att e jω 0z re jω c 5) ger ny pol eller nollställe i z e jω c+ω 0 ). Likaså e jω 0z re jω c z e jω c ω 0 ) 53) Polerna eller nollställena är inte längre komplexkonjugerade. Lösning 3. a) xn) ) n un) ) n un) ) n b) xn) cos π n ) ) un ) + δn) c) xn) un 6) + un 7) d) + z z Xz) + + z + z + z + jz ) jz ) ) + z A + jz + B jz där A och B 5) 55) Xz) z- xn) δn) + j)n un ) + j)n un ) 56) δn) e jπn/ + ejπn/) un ) 57) ) π δn) cos n un ) 58) 9

Alt. identifiering via FS α n sinβn)un) z där α och β π ger ) π sin n un) z z α sinβ z α cosβ + α z 59) z + z 60) ) π xn) δn) + sin n ) un ) 6) g) De båda svaren är samma signal, kolla gärna genom att sätta in n 0,,... Xz) + z + 3 z + z + + X z) 6) X z) z + z ) + 3/ + z ) 63) xn) δn) + n + ) )n un ) + 3 n + ) )n un) 6) δn) [ n ) )n + ) n ] un ) 65) Lösning 3.6 a) ) n x n) un ) ) n un ) x n) [ + ) n ] un) z z / z 66) z z + / z 67) x x z X X 68) X X z / z ) z ) + z ) z ) 69) z A z + B z + C z 70) Handpåläggning: A [ + ] 3 B [ ] / 3 C [ ] / 7) 7) 73) X X 3 z z 3 z z + z z 7) [ z X X - x x 3 ) n ] ) n 3 un ) + un ) 75) 0

c) ) n x n) un) x n) cosπn)un) z z 76) z + z + z + z + z 77) x x X X Handpåläggning: z X X 78) A + 3 B z ) + z ) A z + B + z 79) + / 3 3 x x z + 3 80) + z 8) [ ) n + ] [ ) n 3 3 )n un) + ] 3 3 cosπn un) 8) Lösning 3.35 a) y zs n) h xn) då systemet är i vila dvs y l) 0 l...n 83) Y zs z) Hz) Xz) 3 z z z + z 8) A 3 z + B + Cz z + z 85) A Az + Az + B + Cz 3 Bz 3 Cz 3 z ) z + 86) z ) Id.koeff. A + B A 7 A 3 B + C B 6 7 Y zs z) A 3 C 0 C 3 8 /7 /3 z + 6/7 + 3/8 z / z + / z ) 87) 88) /7 /3 z + 6 7 7 Y zs z) z- y zs n) /3 z + 6 7 + /8 z / z + / z 89) / z / z + / z + 3 3 3/ z 7 / z + / z 90) [ ) n + 6 ) n cos n π ) 7 3 7 3 + 3 ) 3 n sin n π ) ] un) 9) 7 3

d) yn) xn) xn ) ) ) π π ) y zs n) 5cos π xn) 0cos n n un) 5cos n ) un ) 9) un) Lösning 3.0 Kausalt LTI ) n xn) un) ) n un ) 93) ) n yn) un) 9) 3 a) Kausal in, kausal ut: begynnelsevillkor 0. Xz) z z z z z 95) Y z) 3 z 96) Hz) Y z) Xz) 3 z z 97) z z 7 z + z 3 z + 3 z 98) [ ) Hz) z- n ) n ] hn) + 3 un) 99) 3 b) yn) 7 yn ) + yn ) xn) xn ) c) Realisering: vn) xn) + + yn) z + 7 z d) poler < stabil 00) hn) kausal

Lösning 3.9 b) Y + z).5 [ z Y + z) + ] + 0.5 [ z Y + z) + z ] 0 0) Y + z).5z Y + z) + 0.5z Y + z).5 0.5z 0) Y + z).5 0.5z.5z + 0.5z z + / / z 03) Y + z) z- y zi n) ) n ) un) 0) c) Y + z) Y + z)z + y ) + 3 z 05) Y + z) z Y + z) + + 3 z 06) Y + z) z ) + 3 z ) 07) z ) 3 z + z ) 3 z ) 7/ z + 3 z 08) Y + z) z- yn) 7 ) n ) n un) un) 09) 3 d) Y + z) Y + z)z + z y ) + y ) + z 0) Y + z) z Y + z) + + z ) Y + z) z ) + z ) ) z ) z + z ) 3) z ) 3/8 7/ /3 + z + + z z ) Y + z) z- yn) 3 ) n un) + 7 ) n un) + un) 5) 8 3 Lösning E3. A-III, B-I, C-II Ju längre avstånd från poler till enhetscirkeln, desto mer dämpat impuls-svar. Dubbelpol på enhetscirkeln beskriver ett instabilt system detta är anledningen att systemets poler aldrig bör ligga på enhetscirkeln, även om systemet inte är instabilt, jfr B-I. En insignalpol på samma ställe ger obegränsad utsignal, jfr A-III.) 3

Lösning E3. a) ) π xn) 3sin n un) z Xz) 3 z + z 6) yn) yn ) + 5 xn ) där y ) 3 7) Y + z) z [ Y + z) + y ) z ] + 5 z Xz) 8) Y + z) yn) 6 6 3 + z + 5 z + z ) + z ) 9) 6 + z + 3 5 z + z 5 + z 5 + z 0) ) n un) + 6 [ ) ) π π cos 5 n ) + sin n ) ) n ] un ) ) b) yn) 0 det vill säga nollställe vid ω 0 πf 0. T z) b 0 + b z + b z + z + z ) 0 ) z, ± j 3 e ±jπ /3 ger f 0 3 3) c) Pol på enhetscirkeln vid f. Nz) + a z + a z z + z 0 ) z, ± j 3 e ±jπ /6 ger f 6 5) Lösning E3.3 yn) yn ) + 3 yn ) xn) 6) 6 Y z) z + 3 6 z ) Xz) 7) Poler: Y z) z ) 3 Xz) 8) z ) p, { / 3/ 9) Y z) z ) 3 Xz) 30) z )

Låt xn) x n) + x n) där ) n x n) un) 3) x n) sin π ) n 3) X z) z Y z) z + 9 3 z z 33) H ω π ) e jπ + 6 3 e j π 3 6 + j 0.776e j0.888 3) yn) ) n + 9 ) 3 n ) n ) un) + 0.776sin π ) n 0.888 35) Lösning E3. Hz) Poler: p, e ±j π z + 0.5z 36) a) y zi n) ) n [ cos π n) + sin π n) ] un) 37) b) y zs n) z Hz) Xz) 38) [ z 0.5z 0.5z ] ) z + 0.5z + z 39) ) n sin π ) n un) + un) 0) c) ) n π y tr cos n + 3π ) ) n + sin π n cos π n ) ) n cos π n, n 0. ) d) y ss un) 3) 5

Lösning E3.5 yn) yn ) xn) ) Y z) z ) Xz) där p 5) Hz) z Hω) e jω 6) För n < 0: H π ) e jπ + j 7 e jarctan 0.97e j0. 7) För n 0: yn) 0.97sin π ) n 0. Y + n) y ) 6 0.9 8) 7 7 7 / z y ) / z yn) ) n un) 9) 7 Fouriertransform, signaler genom LTI-system och sampling, kapitel, 5 och 6 Lösning.8 a) e jπk/n N 0 för k 0,±N,±N,... N ejπk/n e jπkn/n n0 N e jπlnn/n N N för k 0,±N,±N, ln, l Z n0 n0 50) b) k k n n n, n 3 n 0 n 0, 3 n n 5 n, 5 k 3 k n, 5 n, 3, 5 n 0,, n 0, 3 n, 6

k 5 k 6 n n 5 n 3 n 0 n 0,,, 3,, 5 n n c) N +N N e jπ/n)kn +N { e jπ/n)ln e jπ/n)k l)n N k l 0,±N,±N 0 f.ö. nn nn N +N { e jπ/n)k l)n N k l ty sk n) s k+n n)) 0 f.ö. nn 5) 5) Lösning.9 a) Xω) un) un 6))e jωn 53) n b) 5 n0 Xω) ejω e jωn e jω6 sin3ω) e jω sin ) e j 5ω 5) ω 55) c) Xω) 56ejω e jω 56) d) Xω) α n sinω 0 n) un) e jωn 57) n α n e jω0n α n e jω 0n e jωn 58) j n0 j αe jω 0e jω ) j αe jω 0e jω ) 59) αe jω 0e jω + αe jω 0e jω j αe jω 0e jω αe jω 0e jω + α e jω ) 60) g) α sinω 0 e jω α cosω 0 e jω + α e jω 6) Xω) jsinω + sinω) 6) 7

Lösning.0 a) b) xn) π Xω)e jωn dω π Xω) cosωn) + jxω) sinωn)dω 63) π π π π [ π ] j Xω)sinωn)dω 0 ty Xω) jämn och sinωn) udda 6) π π cosωn)dω [ ] π sinωn) 65) π ω 0 π n ω 0 sinπn) πn sinω 0n) πn δn) sinω 0n) πn 66) Xω) cos ω + cosω 67) + ejω + e jω 68) xn)e jωn endast term med n 0,, finns 69) n xn) δn) + δn + ) + δn ) 70) Lösning. c) Multiplikation med e jω cn i tidsplanet ger skift ω c i frekvensplanet. Låt X L ω) vara ett idealt lågpassfilter med gränsfrekvens W / och höjden. x L n) W / e jωn dω sin W n) π W / πn F {x L n) cosω c n Xω) 7) cosω c n e jω cn + e jω c n Det vill säga xn) sin W n ) πn cosω c n 7) Lösning. a) X0) b) argxω) π [Xω) är reell och negativ för alla ω] π c) Xω)dω 6π π d) Xπ) 9 π e) Xω) dω 38π π [se Parsevals formel] 8

Lösning 5. a) W R ω) w R n)e jωn 73) n M n0 e jωn e jωm+) e jω 7) e jωm+)/ e jω/ e jωm/ e jωm+)/ e jωm+)/) sinω M+) sin ω e jω/ e jω/ 75) 76) M 5 0 5 0 5 0.5 0. 0.3 0. 0. 0 0. 0. 0.3 0. 0.5 M 0 0 5 0 5 0.5 0. 0.3 0. 0. 0 0. 0. 0.3 0. 0.5 M 0 0 5 0 5 0.5 0. 0.3 0. 0. 0 0. 0. 0.3 0. 0.5 b) där w T n) w R n) w R n ) 77) { n 0... M w R n) 0 f.ö. 78) W T ω) W R ω) W R ω) e jω e jω M sin ω M sin ω 79) 9

Lösning 5.7 a) Ur FS: b) ger yn) xn) cosω 0 xn ) + xn ) 80) hn) δn) cosω 0 δn ) + δn ) 8) Hω) cosω 0 e jω + e jω e jω e jω cosω 0 e jω + ) 8) e jω e jω ) 0 e jω e jω 0) e jω 83) Hω) e jω e jω 0 e jω e jω 0 V ω)v ω) 8) φω) arg [ cosω 0 e jω + e jω] 85) arg [ e jω cosω cosω 0 ) ] { ω ω < ω0 ω π ω > ω 0 86) ω 0 π 3 3 0.5 0. 0.3 0. 0. 0 0. 0. 0.3 0. 0.5 c) π xn) 3cos 3 n + π ) 6 < n < 87) ) yn) 3 π π H cos 3 3 n + π )) π 6 + φ 3 < n < 88) ω 0 π ) π H + e j π/3 3 ) + ) 3 89) ) π φ π 3 3 π yn) 3cos 3 n π ) 6 < n < 90) Lösning 5.5 Plotta Xf ) med hjälp av MATLAB. 0

Pol-nollställe 0.5 0. 0.3 0. 0. 0 0. 0. 0.3 0. 0.5 Pol-nollställe 0.5 0. 0.3 0. 0. 0 0. 0. 0.3 0. 0.5 Pol-nollställe 3.5 0.5 0.5 0. 0.3 0. 0. 0 0. 0. 0.3 0. 0.5 Pol-nollställe 0 8 6 0.5 0. 0.3 0. 0. 0 0. 0. 0.3 0. 0.5 Lösning 5.6 Välj ω 0 π hn) { 9) xn) { 0 0... 9) Exempelvis grafisk faltning: yn) { 0 0 0 0... 93) På grund av att insignalen startar vid n 0 syns en transient i utsignalen.

Lösning 5.35 H0) V V U U ) ) + + + ) 9) G0) H0) 95) Lösning 5.39 H ω) a ae jω H 0) a a 96) H ω 3dB ) H0) 97) H ω 3dB ) a) acosω 3dB + ajsinω 3dB ω 3dB arccos a a a 98) H ω) a + e jω ae jω H 0) a a 99) ) H ω) a + cosω jsinω acosω + ajsinω ω arccos a + a 00) Pol-nollställe 0.8 0.6 0. 0. 0.5 0. 0.3 0. 0. 0 0. 0. 0.3 0. 0.5 H är bäst ty nollställe i z. Lösning E. Välj nollställe z j, z j samt z. Detta ger Hz) b 0 +z + z + z 3 ). Om DC-nivån är erhålles b 0 / och b 0 b b b 3 0.5. Hω) sinω) sinω/) ) ) 3 cos ω + cos ω 0) arghω) 3 ω + π om π/ < ω < π 0) Hω) periodisk.

Lösning E. Hz) + z D + z D z D + z D + z D 03) Hω) + e jωd + e jωd + cosωd 0) Poler: D 000 i origo. Nollställen: z D + z D + 0 ger z D 0.5 ± j 3 ) e j±π 3 e jπk för k 0,,...D, och slutligen z k e ±jπ 3D e jπk/d Lösning E.3 a) yn) xn) + 0.9xn D) ger hn) δn) + 0.9δn D) b) Hz) + 0.9z D zd +0.9 Z D med D 500 ger 500 poler i origo. Nollställen: z 500 0.9 0.9e jπk+jπ 05) z k 0.9 /500 e jπk/500+jπ/500 för k 0,,,...,99 ligger på en cirkel). 06) Lösning E. Hf ) sinω sinω/ Multiplikation med cosπn/8) flyttar spektrum ±/8. Hf ) spärrar alla frekvenser utom f 0 rita spektra). Ger yt) cosπ000t) 07) Sampling Lösning E.5 a) x a t) e 0t ut) 08) X a F) e 0+jπF)t dt e 0+jπF)t 0 0 + jπf) 0 0 + jπf 09) 0) X a F) b) Spärrad energi: 50 E s 50 0 + πf) ) X a F) df + X a F) df ) 50 0 df 3) + πf) [ arctanπ F ] 0 π 0 50 [ ] π 0π.539 3 ) 5)

Hela energin: E tot 0π π spärrad andel är π.539 π % 6) c) Utan filter: Y f ) e 0n/00 e jπf n n0 e 0. e jπf 7).887.8096cosπf Med filter: Ỹ f ) Fs X a F) F s 00 + πf Fs ) 0.0 + πf ). 8) Ỹ f ) Y f ) f 0 0 0.5 f 0.5 0.6 0.7 f 0.5 0.3 0.53 Lösning E.6 Spektrum för signal xat) 0.8 0.6 0. 0.,500,000 500 0 500,000,500 Spektrum för signal xn) 0.8 0.6 0. 0..5 0.5 0 0.5.5 Spektrum för signal zn) 0.8 0.6 0. 0..5 0.5 0 0.5.5

Spektrum för signal yn) 0.8 0.6 0. 0..5 0.5 0 0.5.5 Spektrum för signal yat) 0.8 0.6 0. 0. 3,000,000,000 0,000,000 3,000 Således blir y a t) cosπ00t) + cosπ900t). Diskreta fouriertransformen DFT, kapitel 7 Lösning 7. Om xn) reell så är Xω) en jämn funktion, och argxω)) en udda funktion. Xω) är alltid en periodisk funktion med perioden π. Dessa samband gäller även då Xω) samplats till Xk). Det betyder att då så är X0) 0.5 9) X) 0.5 j0.308 0) X) 0 ) X3) 0.5 j0.058 ) X) 0 3) X5) X 3) 0.5 + j0.058 ) X6) X ) 0 5) X7) X ) 0.5 + j0.308 6) Lösning 7. a) yn) {.5.55.55.5 0.5.06.06 0.5. Lösning 7.3 xn) blir lågpassfiltrerad då vissa värden i Xk) nollställs, ty k-värdena mellan k c och N k c representerar höga frekvenser från ω π högsta frekvensen) och neråt till πk c /N. Frekvenserna ω π och upp till πn k c )/N representerar periodiceringen. 5

Lösning 7. a) N sin π N n ) b) N sin π N l ) c) N cos π N l ) d) N cos π N l ) Lösning 7.7 ) X c k) [Xk k 0)) N + Xk + k 0 )) N ] ) X s k) j [Xk k 0)) N Xk + k 0 )) N ] Lösning 7.8 Cirkulär faltning: periodisera den ena signalen och falta som vanligt. x {... 3 3... 7) x { 3 8) Då är y x x : y0) + 3 + 3 + 7 9) y) + 3 + + 3 9 30) y) 3 + 3 + + 3) y3) + 3 3 + + 9 3) Lösning 7.9 x n) { 3 x n) { 3 33) 3) x 3 n) x n) x n) 35) 3 Xk) DFT{x n x n e jπnk/ k 0...3 36) n0 X 0) 7 X 0) 37) X ) j X ) j 38) X ) X ) 39) X 3) X ) + j X 3) X ) + j 0) X 3 k) X k)x k) ) 6

X 3 0) 77 ) X 3 ) 5 3) X 3 ) ) X 3 3) 5 5) xn) IDFT{Xk) 3 Xk)e jπnk/ n 0...3 6) k0 x 3 0) 7 7) x 3 ) 9 8) x 3 ) 9) x 3 3) 9 50) Lösning 7.0 ) πkn xn) cos N 0 n N 5) N E x n0 xn) N n0 cos πk N n ) N n0 + cos πk N n) 5) 53) För k 0 och k N : E x N 5) 55) För k 0 och k N : E x N + e jπkn/n e jπk/n + e jπkn/n e {{ jπk/n N {{ 0 0 56) Lösning 7. X k) för k 0...7 är given. x n) xn 5 mod 8) x n) xn mod 8) X k) Xk)e jπ k8 5 57) X k) Xk)e jπ k8 Lösning 7.8 Y k) Hf ) där f k N. 7

Lösning 7.3 a) Xk) N b) Xk) δn n 0 )e jπkn/n e jπkn 0/N k 0,...,N n0 a N c) Xk) ae jπk/n d) xn) { 0 n N 0 N n N N jämnt 58) N/ Xk) e jπkn/n {k 0 59) n0 e jπk N/ N e jπk/n e jπk/ 60) e jπk/n )k k,...,n 6) e jπk/n X0) N 6) e) xn) e j π N k 0n obs fel i boken) Xk) N δk k 0 ) f) Xk) N δk k 0) + δk N k 0 ))) g) Xk) N j δk k 0) δk N k 0 ))) h) Förutsätt att N är jämnt xn) { n jämnt 0 n udda 63) Xk) N + ) n )e jπkn/n N n0 δk) + δ k N )) 6) Lösning 7. Xk) + e j πk/ + 3e jπk + e j 3πk/ { 7 j + j 65) Lösning 7.5 a) xn) { 3 0 66) Xω) xn)e jωn e jω + e jω + 3 + e jω + e jω 67) n 3 + cosω + cosω 68) 8

b) vn) { 3 0 69) 5 V DFT k) vn)e jπ 6 k n 70) n0 3 + e j π 3 k + e j π 3 k + e j π 3 k + e j 5π 3 k 7) c) V DFT k) 3 + cos π 3 k + cos π 3 k för k 0...5. Det vill säga V DFT k) Xω k ) där ω k π 6 k för k 0...5. Lösning E5. Låt x n) { 0 0 0 0 Xk) X k) sinπ k sinπ k. 6 och xn) är cirkulärt skift av x n). Skift påverkar endast fasen, således Lösning E5. a) yn) x n) { 0 7 8 3. b) yn) xn mod 8) { 8 7 0 3. Lösning E5.3 H FIR f ) H IIR f ) för f k N ty insignalen periodisk 7) { ) k h FIR n) IDFT H FIR N ) k H N N FIR e jπ kn/n 7) N k0 73) där ) ) k k H FIR H N IIR N h IIR m)e jπ km/n 75) m0 76) h FIR n) N h N IIR m) e jπ k/n n m) h IIR n ln) 77) m0 k0 l Jämför vikning h FIR n) 0 l a n ln a n [un) un N)] 78) an 9

Lösning E5. f 0 ±38 + n 00 { 38 6.... Lösning E5.5 -C, -F, 3-G, -H. Lösning E5.6 a) Hf ) + e jπf + e jπf + e jπ3f 79) 80) Hk) + e jπk/n + e jπk/n + e jπ3k/n + 0 + 0 +... + 0 8) för k 0...N. Hk) är sampel av Hf ) i punkterna f N k, k 0...N. b) H0), H) 0, H) 0 samt H3) 0. h p n) för alla värden på n. 0.8 0.6 0. 0. 0 0. 0. 0.3 0. 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Lösning E5.7 Y k/n) Xk/N) Lösning E5.8 a) yn) δn) + δn ) +.5 δn ) + 0.5 δn 3) b) Se ovan. c) M ; allmänt är M P + Q där P är impulssvarslängden och Q är insignallängden. Lösning E5.9 L y p n) b l för n 0...N 8) l0 30

Lösning E5.0 Metoden kallas overlap-add om beräkningen av utsignalen görs med DFT. Signal hn) 0 6 8 0 Lösning E5. yn) )0 )n 0 n 9 0 f.ö. 83) Lösning E5. Figuren illustrerar hur uppdelningen görs. Exempel med M och N. y 0 n) y n) y n) Realiseringar, kapitel 9 Lösning 9.3 Välj tillståndsvariabeln vn) efter fördröjningselementet, vilket ger vn + ) vn) + xn) 8) yn) [vn + ) + 3xn)] + vn) 85) vn) + xn) + 6xn) + vn) 86) 3vn) + 8xn) 87) och tillståndsmatriserna F, q, gt 3 samt d 8. Impulssvaret blir ) n hn) 3 un ) + 8δn) 88) 3

3z 8 z Hz) + 8 z z 89) Lösning 9.9 a) f) yn) 3 yn ) 8 yn ) + xn) + xn ) 90) 3 Direkt I: ur differensekvationen Direkt II: ur F.S. + diff.ekv. Kaskad: z-trans av diff.ekv. Parallell: Hz) Hz) + 3 z z ) 9) z ) 0 7 3 z 3 z 9) yn) yn ) yn ) + xn) xn ) + xn ) 93) Systemet innehåller komplexa poler, det vill säga D.F.II, kaskad och parallell är ekvivalenta. Lösning 9.5 OBS! Fel i Proakis upplaga 3: a ) 3. Hz) A z) + z + 3 z 9) B z) 3 + z + z ger K α ) 3 95) A z) A z) K B z) K + z + 3 z 3 3 + z + z ) 3 ) 96) + /3 8/9 z + 3 z 97) B z) 3 + z ger K α ) 3 98) A 0 z) + 3 z 3 3 + z ) ) 3 5/ 5/ 99) K 3 K 3 K 0 ) 300) 3

Lösning 9.9 a) K K 3 K 3 30) A 0 z) B 0 z) 30) A z) A 0 z) + K z) z B 0 z) + z + z 303) B z) + z 30) A z) A z) + K z) z B z) + z 3 z + z ) + 3 z 3 z B z) 3 + 3 z + z 305) A 3 z) + 3 3 z + z 3 + 3 z + z ) + z 3 B 3 z) + z 3 306) Nollställen: + z 3 0 307) z 3 e jπk+) 308) z e jπk+)/3 för k 0,, z e ±j π/3 z ) 309) b) A 3 z) + 3 z 3 z + ) z 3 + 3 z + z ) 30) + 3 z 3 z z 3 3) B 3 z) 3 z + 3 z + 3) A 3 z) z ) + 5 3 z + z ) 5 5 6 ± 36 5 ± j 6 33) c) Om sista reflektionskoefficientens belopp är lika med ett ligger alla nollställen på enhetscirkeln. d) För a): Hz) + z 3 3) Hω) + e j 3ω e j 3ω/ e j 3ω/ + e j 3ω/) 3ω cos ) e j 3ω/ 35) 0 ω < π 3 θω) 3ω 36) π 3 < ω π θω) π 3ω Linjär fas symmetriskt FIR) För b): 37) Hz) + 3 z 3 z z 3 38) Hω) + 3 e jω 3 e jω e j3ω e j 3ω + π ) ) 3 sin ω + )) ω 3 sin 39) Alla nollställen på enhetscirkeln ger linjär fas. 33

Exempel på design av filter Lösning E8. a) p,,3 0, n, ±j, n 3 b) Hω) cos3ω/) + cosω/) c) arghω)) 3ω/ + fashopp med π d) ω ±π/, ω π e) Lågpassfilter. Lösning E8. a) p,,3 0, n, ±j, n 3 b) Hω) sin3ω/) sinω/) c) arghω)) π/ 3ω/ + fashopp med π d) ω ±π/, ω 0 e) Högpassfilter. Lösning E8.3 a) hn) 5 { 5 [δn) + δn ) + δn ) + δn 3) + δn )] b) Hz) /5 n0 z n 0. z 5 z c) Hf ) periodisk sinc, Hf ) 0 för f 0., 0., 0.6, 0.8 Lösning E8. Prova med :a ordningen: Hz) b 0 + b z. Hω) ωπ/ e jπ/3 ger b 0 / och b 3/. Lösning E8.5 H/5) H /5) 0 ger nollställen i z, e ±jπ/5. H/5) H /5) ger troligen två nollställen till. Linjär fas ger symmetriskt eller antisymmetriskt impulssvar. En test ger att eller 3 nollställen inte räcker. hn) 0.3δn) + 0.33δn ) + 0.6δn ) + 0.33δn 3) 0. 0.3δn ) 30) hn) 0.536δn) + 0.076δn ) 0.δn ) + 0.076δn 3) + 0.536δn ) 3) 3

Lösning E8.6 Hz) k z + )N z N Hω) k ejω + ) N e jωn 3) k e jω N/ e jω/ + e jω/) N k e jω N/ N cos ω ) N 33) H0) k N Hω) cos ω ) N 3) 35) Vid ω π 0.: Hω) ωπ 0. cos ) π 0. N > N < 6.9 36) Vid ω π 0.: ) π 0. N cos < 0. N >.96 37) Det vill säga N < 6. Minimalt: N ) Hz) z + z + z + z ) 38) hn) { 39) Lösning E8.7 FIR-filter för linjär fas och 50 db dämpning innebär Hammingfönster. 6 db vid f f 0. vilket ger att vid 50 db och f 0.5 erhålles 0.5 0.) M.6 M.6 3. M 33 330) 0.05 [ f hn) sincf n 6)) 0.5 + 0.6cos πn 6) ] 3 0 n 3 0 f.ö. 33) Lösning E8.8 { HdB 0.) 3dB ger 0. f c ) M 0.0 H db 0.5) 0dB ger 0.5 f c ) M.9 33) M.9 + 0.0 37.8 M 39 udda) 333) 0.5 0.0 { fc 0. + 0.0 39 0.03 f c 0.5.9 39 0.8 33) Välj f c 0.03, men något f c i intervallet 0.03 f c 0.8 duger. b n [ hn) ĥn 9) h dn 9)w H n 9) ] 335) för n 0,...,38. sinπ 0.03n 9)) πn 9) 0.5 + 0.6cos ) πn 9) 38 35 336)

+ +... + yn) b 0 b b b 38 xn) z z... z Lösning E8.9 Ur diagram för Hammingfönster: { 0. 0.6 fc )M.9 0.0 f c )M { M 33 f c 0.79 337) w H n) 0.5 + 0.6cos πn 3 338) h d n) δn) f c sincf c n) 339) ĥn) h d n 6) w H n 6) 0 n 3 30) Lösning E8.0 Utgå från ett idealt BP-filter: h d n) f c sincf c n) cosπf 0 n) 3) Trunkera h d n) med hjäp av w H n). Hammingfönster tillräckligt ty max 0 db dämpning. { 0.5 + 0.6cos πn w H n) M M n M 0 f.ö. 3) Bilda ĥn) h d n) w H n) 33) Förskjut sedan ĥn) tills det blir kausalt: hn) ĥ n M ) Det som behövs bestämmas är alltså M, f 0 och f. Vi tittar först på den vänstra övergångszonen. Formelsamlingen ger { 0.05 f0 f ))M.9 0dB) ) 0.05 M.89 M 37.8 35) 0.0 f 0 f ))M 0. 3dB) ) 3) Sedan tittar vi på den högra övergångszonen: { 0.5 f0 + f ))M 0. 3dB) 3) 0.75 f 0 + f ))M 0.9 0dB) ) 0.05 M.3 M 5. 36) För att uppfylla kraven vid båda övergångszonerna krävs M > max37.8, 5.): välj M 53. Vi hade dessutom kravet att vid frekvenserna 0.0 och 0.5 skall dämpningen vara 3 db, vilket innebär att när vi löser ut f 0 och f så måste vi använda ekv. ) och 3). Det M-värde som sättes in är nu M 53, i både ekv. ) och 3). { ekv ) 0.0 f0 f )) 53 0. ekv 3) 0.5 f 0 + f )) 53 0. { f0 0.75 f 0.085 37) Alltså: h d n) 0.330 sinc0.65n) cosπ 0.75n) 38) 36

{ 0.5 + 0.6cos πn w H n) 5 6 n 6 0 f.ö. 39) och hn) h d n 6) w H n 6) 350) [ [0.330 sinc0.65n 6)) cosπ 0.75n 6))] 0.5 + 0.6cos πn 6) ] 5 0 n 5 0 f.ö. 35) Lösning E8. Centerfrekvensen är f 0 0.096, f c 0.33 och M ges ur uttrycket). Detta insättes i f f 0 + f c ))M 0. f 0.33 35) för högra sidan lågpass) och i f f 0 f c ))M 0. f 0.0960 353) för vänstra sidan högpass). Bandbredden, f f f 0.70. Lösning E8. Hz) skall ha linjär fas. Sätt H z) a+bz +cz ty första ordningen räcker ej. Genom att beräkna Hf ) ser vi att linjär fas fås om a cr 35) b ar cosθ) br cr cosθ) 355) Tillsammans med kravet på likspänningsförstärkningen ger detta H z) r r cosθ)z + z 356) Hz) är av ordning och har symmetriskt impulssvar. Detta ger arghf )) πf. Lösning E8.3 Sampling med 0 MHz ger vikning. Övertonerna viks till frekvensområdet MHz to 5 MHz och störningarna viks till 0 MHz to MHz. Detta ger ett bandpassfilter med följande krav. 0 3 0 0 0. 0.5 0.3 0. 0.5 Ett Hammingfönster ger L 9, f 0 0.75 och f 0.06. Impulssvaret blir )) πn 9) hn) 0.5 + 0.6cos f 8 sincf n 9))cosπf 0 n 9)) 0 n 8 357) 37