1 Föreläsning 4 Motsvarar avsnitten 4.1 4.4. Kraftvekan på ipoler (Kap. 4.1.3) 1. Vrimoment N på elektrisk elementaripol p: N = p E p vill "ställa in sig" i E:s riktning. Exempel på elektriska ipoler: H O-molekyler (polära vätskor). Kraft F på elektrisk elementaripol p i inhomogent fält E(r): F = (p )E(r) Elektriska fält i material (Kap. 4) Två ieala material behanlas: 1. Leare (metaller) kännetecknas av fria, lätt rörliga laningsbärare. Isolatorer (ielektrika) saknar fria, lätt rörliga laningsbärare Moell av isolatormaterial (Kap. 4.) Vårt mål blir att moellera effekterna på et elektriska fältet av ett isolatormaterial beståene av elektriskt neutrala atomer (molekyler). Vi använer en moell är varje atom birar me ett ipolfält V(r) ip till en totala potentialen V(r) i mätpunkten, som vi antar ligger utanför materialet i vakuum. Totala potentialen från alla ipolbirag från materialets atomer (elektriskt ipolmoment p i i punkten r i, i = 1,,...,n) blir V(r) = 1 4πε 0 n i=1 (r r i ) p i r r i 3 1 (r r ) P(r ) 4πε 0 V r r 3 v är polarisationen P betecknar en elektriska ipolmomenttätheten (totalt elektriskt ipolmoment per volymsenhet). Totala elektriska ipolmomentet i en volym me polarisation P(r) är å p = P(r) v Omskrivning me ivergenssatsen ger V(r) = 1 P(r ) ˆn(r ) 4πε 0 r r V + 1 P(r ) 4πε 0 V r r och vi ientifierar två (ekvivalenta) laningsförelningar v
1. Ytlanngstäthet från bunna laningar: ρ p = P ˆn. Rymlaningstäthet från bunna laningar: ρ p = P Det betyer att potentialen från polarisationen P är ensamma som potentialen från en ekvivalenta rym- och ytlaningen. Kommentar: Griffiths betecknar e bunna polarisationsytlaningen me σ b. Elektrisk flöestäthet D (Electric isplacement) (Kap. 4.3) Det elektriska fältet E(r) genereras av alla laningar, oavsett om e är fria eller är bunna till atomer och molekyler. Polarisationen P(r) är ipolmoment per volymsenhet och är, via punkterna 1 och ovan, relatera till e laningar som är bunna. Vi inför nu en elektriska flöestätheten D(r). Denna är relatera till alla fria laningar, vs. laningar som inte är bunna till atomer eller molekyler. Vi kommer strax att eliminera P och enbart använa E(r) och D(r) när vi bestämmer elektriska fält och potentialer. Den totala laningstätheten är en summa av laningstätheten av fria laningar ρ f och en bunna laningstätheten ρ p. ρ = ρ f +ρ p om vi sett tiigare relaterar Gauss lag en totala laningstäheten ρ(r) till et elektriska fältet. Polarisationen ger upphov till en ekvivalent bunen rymlaningstäthet via relationen ρ p = P. Gauss lag kan å skrivas Vi skriver etta som E = ρ/ε 0 = (ρ f +ρ p )/ε 0 = (ρ f P)/ε 0 (ε 0 E +P) = ρ f Vi efinierar en elektriska flöestätheten D genom D = ε 0 E +P Divergensen av D ger en ny form av Gauss lag D = ρ f Integralformulering av Gauss lag D = Q f är Q f är en totalt inneslutna fria laningen i.
3 Ranvillkor för E och D Låt vara skiljeytan mellan två områen me olika material. På ytan kan et finnas en (fri) ytlaningstäthet ρ. Då gäller följane ranvillkor för E och D: ^n E 1 E D 1 D Tangentialkomponenten av E är allti kontinuerlig över, vs ˆn E 1 (r) = ˆn E (r) (i formelsamlingen skrivs att E t är kontinuerlig). Normalkomponenten av D satisfierar ˆn D 1 (r) ˆn D (r) = ρ (r) (fri ytlaningstäthet) För ett material utan fri ytlaningstäthet gäller att normalkomponenten av flöestätheten D är kontinuerlig över. Ranvillkor vi ytor till leare I en leane kropp som inte är koppla till några spänningskällor är et elektriska fältet noll överallt. Därme är också potentialen konstant i en leane kropp. Om en leane kroppen begränsas av ytan så gäller på ytan att ˆn E 1 = 0 ˆn D 1 = ρ Linjära ielektrikum (Kap. 4.4) Ett ielektrikum är ett material är polarisationen P inuceras av ett elektriskt fält. Om et pålaga fältet inte är extremt starkt är materialet linjärt (et finns unantag). Då gäller att polarisationen är proportionell mot et pålaga elektriska fältet P = ε 0 χ e E är χ e är en imensionslös materialkonstant som kallas en elektriska susceptibiliteten. Konstanten talar om hur mycket materialet polariseras. Mellan elektriska flöestätheten D och polarisationen P råer följane samban: D = ε 0 ε r E = εe är ε r = 1+χ e = en relativa permittiviteten, och ε = ε 0 ε r = en absoluta permittiviteten.
4 Exempel: Vattenmolekylen har ett permanent ipolmoment och en kan lätt ställa in sig i et elektriska fältets riktning. Därför är susceptibiliteten för vatten mycket stor χ e = 80. Fasta material brukar ha betyligt minre vären på susceptibiliteten. Elektrostatisk energi (Kap. 4.4.3) För laningar i vakuum gäller sean tiigare: W e = 1 ρ(r)v(r) v = ε 0 E(r) v V Uttrycket moifieras av polarisationen till W e = 1 E(r) D(r) v = ε 0 ε r E(r) v Konensatorer. erie- och parallellkoppling Vi har tiigare stött på plattkonensatorn. Den består av två parallella metallskivor me area A. Avstånet mellan plattorna betecknas. Om vi fyller områet mellan plattorna me ett ielektrikum me relativa permittiviteten ε r ökar konensatorns kapacitans. Den ges av C = ε 0ε r A Genom serie- och parallellkoppling kan vi på ett enkelt sätt få fram kapacitansen för en konensator är utrymmet mellan plattorna är fyllt me flera olika ielektrikum. C 1 C = C 1C C C 1 + C C 1 C C = C 1 + C
5 Exempel: Ekvivalenta konensatorer 1 1 ε r1 = ε r1 = 1 ε r1 1 ε r1 Repetitionsfrågor 1. Va är skillnaen mellan fria laningar och bunna laningar?. Hur påverkas fria laningar av ett elektriskt fält? 3. Hur påverkas bunna laningar av ett elektriskt fält? 4. Va är ett eielektriskt material? 5. Antag att vi lägger in en bit ielektriskt material me konstant permittivitet ε r i ett elektriskt fält. a) Kan et å bli en rymlaningstätet ρ(r) i biten? b) Kan et bli en ytlaningstäthet ρ s (r) på bitens yta? var: 5a Nej. 5b) Ja.