Sidor i boken 0- Dagens mängdträning gäller ekvationer. Med den algebraträning vi nu har i ryggen bör även de mest komplicerade ekvationerna gå att reda ut. Tillsammans med övningarna i föreläsning 6 täcker vi upp allt stoff inför KS. Kämpa på! Förstagradsekvationer Läa. Lös enkel förstagradsekvation 3 ++3 = +3 +7 Läa. Det blir väl inte så mycket svårare när det finns parenteser i ekvationen 3( ) (3 ) ( ) = 3(+) Läa 3. Nu blandar vi in bråk, men fortfarande ekvation av första graden 3 + 5 = Läa. En ganska svår förstagradsekvation + = 0 Läa 5. Nu blir det riktigt svårt! Förresten, är det här verkligen en förstagradsekvation? + 3 3 3 3 + = 8 9 6 Andragradsekvationer Läa 6. En enkel andragradsekvation + 35 = 0 Håkan Strömberg KTH STH
Läa 7. En lite svårare ( ) + = (+) Är det här en andragradare? Läa 8. + +0 = Läa 9. + + = 3 ++ Läa 0. Andragradare med i nämnaren + + = + 3+6 Tredjegradsekvationer Läa. Lös ekvationen 3 + + = 0 Läa. ( )( 5+6) = 0 Läa 3. 3 = 5 Läa. Denna ekvation har en reell rot. Kan du hitta den? 3 +8 = + Fjärdegradsekvationer Läa 5. Lös ekvationen (+)( )(+3)( ) = 0 Läa 6. Lös ekvationen 6 +5 = 0 Läa 7. Lös ekvationen + = 0 Håkan Strömberg KTH STH
Rotekvationer Läa 8. Lös ekvationen = 9 Läa 9. Lös ekvationen = Läa 0. Lös ekvationen + = 3+5 Läa. Lös ekvationen + + = Läa. Lös ekvationen 5 = 0 Läa 3. Lös ekvationen 3 = +5 Faktorisera polynom Läa. Faktorisera polynomet + Faktorisera polynomet Läa 5. 3 +6 7 Läa 6. Faktorisera så lång möjligt ( )( +5+6) Läa 7. Faktorisera polynomet så långt möjligt 5 +5+0 Läa 8. Lös en speciell jobbig rotekvation 3 = Håkan Strömberg 3 KTH STH
Läa Lösning. Läa Lösning. Läa Lösning 3. 3 ++3 = +3 +7 5 = 0 5 = 5 = 3 3( ) (3 ) ( ) = 3(+) (3 6) (6 ) ( ) = (3+6) 3 6 6+ + = 3+6 8 = 3+6 = 6+8 = = 7 3 + ( 5 5 3 + ) 5 5 3 + 5 5 = = 5 = 5 5+6 = 5 = 5 = 5 = 5 Läa Lösning. + = 0 ( ) (+) ( )(+) = 0 ( ( )(+) ( ) (+) (+) ( ) ( )(+) = 0 + + + = 0 + = 0 3 = ( )(+) ) = 0 = 3 Svar: = 3 Håkan Strömberg KTH STH
Läa Lösning 5. + 3 3 3 + 8 3 8 3+8 3 8 3+8 3 3 + = 8 9 6 3 8 3+8 3 8 3 + 8 = = 8 (3 8)(3+8) 8 (3 8)(3+8) 3 8 3 8 ( 3+8 (3 8)(3+8) (3+8) (3 8) = 8 3+8 = 8 (3 8)(3+8) 3 8 3 8 3+8 ) ( ) 8 = (3 8)(3+8) (3 8)(3+8) (3+8) (3 8) = 6 8 9 +8+6 (9 8+6) = 6 8 96 = 6 8 = 3 Svar: = 3 Läa Lösning 6. Svar: = 5, = 7 Läa Lösning 7. Svar: = 0, = 8 + 35 = 0 = ± +35 = ±6 = 5 = 7 ( ) + = (+) ++ = ++ + = 8 = 0 ( 8) = 0 Håkan Strömberg 5 KTH STH
Läa Lösning 8. Svar: = 0, = 6 Läa Lösning 9. + +0 = (+0) ( + +0 ) (+0)+ = (+0) +0+ = +0 0 = 0 = 7± 9+0 = 7±3 = 0 = 6 ( ) = (+0) + + = 3 ++ ( ) + ( )(+) = 3 ( (+) ) ( ) ( ) (+) ( ) + = ( ) (+) 3 ( )(+) (+) (+) +( )(+) = 3( ) +++( ) = 3( +) +++8 = 3 + 6 = 0 ( ) = 0 = 0 = Svar: = 0, = Läa Lösning 0. Svar: = och = (+) ( + + = + + 3+6 + = ( + ) ( ) + 3(+) + = 6 + 3(+) + + 3(+) ) ( = (+) 6 + 3(+) + + 3(+) (+) = (+)+6+(+)+ +8 = +8+6+ ++ 8 = 0++ +0 = 0 = 5± 5+ = 5±7 = = ) Håkan Strömberg 6 KTH STH
Läa Lösning. Den här ekvationen kan vi lösa därför att den saknar konstant term 3 + + = 0 ( ++) = 0 (+) = 0 (+)(+) = 0 Det är bra att känna igen första kvadreringsregeln, så slipper man en del jobb. Vi har funnit tre reella rötter, varav en dubbelrot. Svar:, =, = 0 Läa Lösning. Multiplicerar man samman parenteserna kommer man att se att det verkligen handlar om en 3:e-gradsekvation. Men utför vi det får vi en besvärligare situation. Nej, istället förstår vi att = är en rot. De andra två får vi genom att lösa 5+6 = 0 Svar: =, = och 3 = 3 Läa Lösning 3. 5+6 = 0 5 = 5 ± 6 = 5 ± = 3 = 3 3 = 5 = 3 5 = 5 En tredjegradsekvation har, som vi känner till, tre rötter, reella och imaginära tillsammans. Här är endast en reell, = 5. De andra två behöver vi inte bry oss om! Svar: = 5 Läa Lösning. Vi har inget bättre verktyg än att gissa oss fram. Det ska inte behövas så många gissningar förrän men hittar =, som är en rot, ty Svar: = V.L. ( ) 3 +8 0 H.L. ( )+ 0 Läa Lösning 5. Ekvationen, som är av :e graden är faktoriserad så långt möjligt (+)( )(+3)( ) = 0 och därför är det mycket enkelt att bestämma rötterna. Svar: =, =, 3 = 3, = Håkan Strömberg 7 KTH STH
Läa Lösning 6. Denna ekvation är en av alla :e-gradsekvationer vi kan lösa. Anledningen är att den saknar 3 och -term. Vi substituerar t = och får ekvationen t 6t+5 = 0 t = 3± 9 5 t = 3± t = 5 t = Med dessa två rötter går vi vidare och löser de två ekvationerna Svar: = 5, = 5, 3 =, =, = 5 = ± 5 = 5 = 5 = = ± 3 = = Läa Lösning 7. Ekvationen + = 0 kan lösas genom att substituera = t. t +t = 0 t = ± + 8 t = ± 3 t = t = = = ± = = = = ± reell lösning saknas Ekvationen har endast två reella rötter. En :e-gradsekvation kan endast ha, eller 0 reella rötter (alltså aldrig ett udda antal). Svar: = och = Läa Lösning 8. = 9 ( ) = 9 = 8 Vi testar och ser att 8 = 9, vilket betyder att = 8 är en äkta rot Svar: = 8 Läa Lösning 9. = ( ) = ( ) = 6 Vi testar roten = 6 och får 6, ty. = 6 är en falsk rot. Svar: Ekvationen saknar lösningar. Håkan Strömberg 8 KTH STH
Läa Lösning 0. + = 3+5 ( +) = (3+5) + = 9 +30+5 9 +9+ = 0 Ekvationen har inga reella rötter. Svar: Ekvationen saknar lösning Läa Lösning. Vi testar rötterna först = 3 = 3 är äkta. Vi testar = 8 vilket betyder att = 8 är falsk. Svar: = 3 Läa Lösning. Vi testar = och = 6 Båda rötterna är äkta! Svar: = och = 6 + 9 9 + 9 = 0 (9 = 9 8 ± ) 8 9 = 9 8 ± 8 3 36 3 = 9 8 ± 3 3 + + = + = 5 ( +) = (5 ) + = 5 0+ + = 0 = ± = ± 5 = ± 5 = 3 = 8 3 + 3+ 8 + 8+ 0 5 = 0 5 = 5 = ( 5) = ( 5 = + 6 6 80 = + 0+8 = 0 = 0± 0 8 = 0± = = 6 ) 5 0 6 6 5 0 Håkan Strömberg 9 KTH STH
Läa Lösning 3. 3 = +5 (3 ) = ( +5) 9 6 + = +5 6 = 3 3 ( ) = ( ) 3 3 6 = ( ) ( ) = + = + 6+5 = 0 = 3± 9 5 = 3± = 5 = Vi kan i ett tidigt stadium se att =, något vi inte utnyttjat här. Först testar vi = 5 = 5 är falsk. Däremot är = äkta Svar: = 3 5 0+5 3 +5 Läa Lösning. Eftersom termerna inte har någon gemensam faktor finns inget att bryta ut. Återstår bara att lösa ekvationen + = 0 Svar: + ( 3)(+) = ± + = ± 9 = ± 7 = = 3 Läa Lösning 5. Vi inleder med att bryta ut så långt det går 3 +6 7 3( + ) För att få tag i faktorerna har vi att lösa + = 0 + = 0 = ± + = ±5 = = 6 Som ger ( )(+6). Tillsammans med den utbrutna 3 får vi så till sist Svar: 3( )(+6) Håkan Strömberg 0 KTH STH
Läa Lösning 6. Här måste vi lösa två andragradsekvationer och Vi kan nu skriva ner de fyra faktorerna. Svar: ( )(+)(+)(+3) ( )( +5+6) = 0 = ± + 8 = ± 3 = = +5+6 = 0 = 5 ± 5 = 5 ± = 3 = Läa Lösning 7. Vi startar att bryta ut så mycket vi kan ur 5 +5+0 och får 5( ++). I nästa steg löser vi ekvationen ++ = 0. ++ = 0 = ± 8 = ± 7 Ekvationen saknar reella rötter, vilket i sin tur betyder att polynomet inte kan faktoriseras. Svar: Ingen faktorisering möjlig. Läa Lösning 8. 3 = 3 = ( 3) = ( ) 3 = + 3+ = 0 (3 = 3 ± ) 33 = 3 ± = 3 + 33.37 = 3 33 8.63 Vi har hittat två rötter som vi måste testa och det verkar inte speciellt enkelt. Vi har att testa om och 3 33 + 3 33 + 3 3 33 3 33 3 Om vi tillåter oss att använda de approimativa rötterna.37.37 3.00 och 8.63 8.63 3 6.6 kan vi anta att det finns en äkta rot och att den är Svar: 3+ 33 Håkan Strömberg KTH STH
Problem. a 3 +3a +3a+ a +a+ + a 0a+5 5 a Lösning: a 3 +3a +3a+ a +a+ + a 0a+5 5 a (a+) 3 (a+) + (a 5) 5 a (a+)+ (a 5) ( )(a 5) 3 (a+) (a 5) (a 5) (a+) (a 5) 5 6 Här gäller det att se att a 3 + 3a + 3a + (a + ) 3, vilket är lite ovanligare än de två andra uttrycken som vi identifierar som uttryck i första och andra kvadreringsregeln (). I () och (3) fiar vi till parentesen i andra termens nämnare så att det går att förkorta. Svar: 6. Figur : Håkan Strömberg KTH STH
Problem. Lösning: a+b a b b+a + b a a+b a b b+a + b a (a b) (a+b) a b (b a)+(b+a) b a b a b b (b a)(b+a) 3 b a b (b a)(b+a) b (a b)(a+b) ( )(a b)(a+b) 5 ( )( ) Ett dubbelbråk där vi först hanterar täljare och nämnare för sig () och (). Nu är det dags att skriva om bråket som en multiplikation i stället för en division. Förkortning av parenteserna är ej direkt möjlig innan vi använder att ( y) ( )(y ). Svar: Problem 3. 3a+(+a) a+ + 3a a + a a Håkan Strömberg 3 KTH STH
Lösning: 3a+(+a) a+ + 3a a + a a (a )(3a+(+a) ) (a )(a+) + ( 3a)(a+) (a )(a+) + a (a )(a+) (a )(3a+(+a) )+( 3a)(a+)+a (a )(a+) 3 ( a+a +a 3 )+( a 3a )+a (a )(a+) a 3 +a a (a )(a+) a (a+) (a+) (a )(a+) (a )(a+) (a )(a+) (a )(a+)(a+) (a )(a+) 5 a+ Med den vana vi nu har, ser vi direkt att minsta gemensamma nämnaren är (a + )(a ). Vi förlänger de tre bråken () och eftersom nämnarna redan från början är ganska komplicerade får vi en del jobb i (), (3). I () kan det dock bli stopp eftersom vi har svårigheter att faktorisera a 3 +a a. Vi delar upp uttrycket i två delar och kan till sist bryta ut (a+). Efter förkortning får vi Svar: a+. Figur : Håkan Strömberg KTH STH
Problem. Lösning: a b + b a + a +b ab a b + b a + a +b ab a a a b + b b b a + ab ab a +b ab a a+b b+ab (a +b ) ab 3 a +b +ab a b ab Borde nu efter all träning vara ganska enkelt. Den gemensamma nämnaren blir ab. Vi förlänger och skriver uttrycket på gemensamt bråkstreck () och (). Vi reducerar sedan nämnaren i (3) och får efter förkortning Svar:. Håkan Strömberg 5 KTH STH