¾

ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ Ò Ö ÀÓÐ Ø ¾ Ñ Ö ¾¼¼

¾

ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ Ò Ö Ú ØÓÖ ½¼ º½ Ö ÒØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ÁÒØ Ö Ð Ö Ó ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö ½ º½ ÅÙÐØ Ô Ð ÒØ Ö Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ËÙÑÑÓÖ ½ ½¼ Ú Ø ÓÒ Ö ½½ Ì ÝÐÓÖÔÓÐÝÒÓÑ ¾¼ ¾ ½¾ Ö Ö ØÒ Ò ¾ ½¾º½ ÌÚ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ö Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º¾ ÌÖ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ö Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾º Ð Ö Ü ÑÔ Ð Ô ØÖ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ö Ö ØÒ Ò º º º º º º º º º º ½ À ÐÔ ½ ½ Ð ¾ ½ ËÔ Ö Ó Ö Ú ÙØ

¾ ½ à ÊÍÆ ½ ÖÙÒ Ø ÒÒ ØÚ ÓÐ ØÖ Ø ÓÒ Ö Ú ØÓÖÔÖÓ Ö Ñ Ö Ñ Ø Ñ Ø º Ð ÓÑ ÙÚÙ Ö ÒÖ Ø Ô ÒÙÑ Ö Ö Ò Ò Ö ÓÑ Ø Ü Å ØÄ µ Ð ÓÑ ÙÚÙ Ö ÒÖ Ø Ô ÝÑ ÓÐ Ö Ò Ò Ö Ö Ò Ò Ñ Ó ØÚ Ö µº È Ò Ö Ø Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÖÒ Ø ÓÖ ÖÒ Ö¹ Ø ÒÖÑ Ú Ö Ò Ö Ñ Ò ÐÐÒ ÖÒ Ö ÓÖØ Ö Ò ØÝ Ò º Å ÔÐ Ø ÐÐ Ö Ò Ò Ö Ø ÓÖ Ò Ó Ö ÐÐØ Ø Ô ÝÑ ÓÐ Ö Ò Ò Öº Ò Ö Ø ÓÑÑ Ö ÐÐ Ú Ö ÓÒ Ò Ú Å ÔÐ Ú Ö º ÓÑ ÓÑ ½ º Ò ØÙ ÐÐ Ú Ö ÓÒ Ò ½½ ÐÔÔØ ¾¼¼ º ÍÒ Ö Ö Ò ÐÓÔÔ Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÚÙܹ Ø Ó Ò ÒÙÑ Ö ÚÐ Ø ÑÝ Øº ÖÙØÓÑ ØØ Ö Ò ÝÑ ÓÐ Ø Ò Å ÔÐ Ö Ò ÒÙÑ Ö Ø Ñ Ó ØÝ Ð Ø ÒØ Ð ÚÖ ÖÓÖº Ø Ð Ö Ö Ó ØØ Ö Ø ÑÒ Ð ÙÖ Ö ÚÐ ØÚ ÓÑ ØÖ Ñ Ò ÓÒ Öº Ø Ö ÚÑØ ØØ Ö ¹ Ø ÒØ Ö Ø ÚØ Ñ Å ÔÐ Ø ÙÒ Ö Ö ÒÖÑ Ø ÓÑ Ò ÑÝ Ø Ú Ò Ö Ñ Ò Ö Ò Ö Ñ Ò Ñ Ò Ò Ó Ö Ú ÔÖÓ Ö Ñ Å ÔÐ º Å ÔÐ Ö Ù Ø Ø Ô ØØ Ö Ò Ó Ö ÖØ Ð Ñ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ú Ó Ñ Ò Ñ Ò Ò Ò ØÙÖÐ ØÚ ÒØ Ó Ö Ø Ø ÙØ ÖÒ ØØ ØØ Ú Ö Ö ÓÖÖ Ø Ö Ö ØØ Ø ÓÑÑ Ö ÖÒ Ò ØÓÖº Á ÝÒÒ Ö Ø ÓÑ Ø ØÙÑ ØØ Ñ Ò Ö Ö ÑÒ ÓÐ Ö Ñ Å ÔÐ Ö ØØ Ø Ö ÐØØ ØØ Ó Ö Ô¹ Ô Ò ØØ ÓÑÑ Ò Ó ÓÑ ÙØ Ö Ò ÒÒ Ò Ö Ò Ò Ò Ò Ñ Ò Ú Öº Ø Ö Ö Ö Ú Ø Ø ØØ Ö ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ú Ö Ò Ô ÓÐ ØØ Ø Ü ¹ ÒÓÑ Ú Ö Ð Ö Ò Ò Ö Ý Ð Ö ÑÐ Ø Ú ÖÚ Ò Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ô Ö ØØ Øº ØØ Ø Ö Ñ Ñ ÑÓ Ø ÓÒ Ö ÒØ Ø Ñ Ö Ø Ô ØÐ Ø Å ÔÐ Ò Ó Ò Ú Öй Ù Ø Ú Ï ÖÒ Ö Å Ø Ñ Ø ÒØÖÙÑ ¾¼¼¾º Ö Ø¹ Ò Ò ÖÒ Ö ØØ ÒÔ Ø Ø Ø ÐÐ ÙÖ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ö ÔÖÓ¹ Ö ÑÑ Ø Ó Ý Ø ÑØ Ò Ö ÓÖØ Ú Ò Ö ÀÓÐ Ø Ö ¾¼¼ ¾¼¼ Ó ¾¼¼ µ Ó Ö Ö Ò ÐÐ Ö ¾¼¼ µº Ø ÓÑ Ø ÐÐ ÓÑÑ Ø Ö ÙÚÙ Ð Ò Ñ Ö Ñ Ø Ö Ð ÓÑ Ö ØÒ Ò Ú ØÖ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ö Öº ÅÝ Ø Ú Ø Ò Ö Ò ÐÙ Ú ÚÒ Ò ÖÒ Ú Ò ØØ Ø ÓÑ Ö Ö ØÒ Ò Ö ÐÒ Ø ÖÒ Ò ØÖÙ Ø ÓÒ ¹ Ñ Ø Ö Ð Ö Ú Ø Ú ÒÒ ËÔ ÖÖº ÀÒÚ Ò Ò Ö Ö Ø ÐÐ ÐÖÓ Ó Ò Ð ÖÚ Ö Ð Ò ÐÝ Ñ ÒÙÑ Ö Ñ ¹ ØÓ Ö ÙÒ Ð Ñº º ¾¼¼ µ Ó Ø ÐÐ ÚÒ Ò Ø Ø ÚÒ Ò Ö Ò ÐÝ Ö Ú Ö Ð Öº ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ Ë Ò Ú Ö ÓÒ ÒÒ ØÚ ÒÚÒ Ö ÖÒ Ò ØØ Ò º Ù Ö ÒØ Ö µ Ö Å ÔÐ Ø ÓÑ ÒÙÑ Ö Ö Ø Ò Ö Å ÔÐ ½½ ÑØ Ð ÏÓÖ Ø Å ÔÐ ½½ ÓÑ Ö Ñ Ö Ð Ø ÙÖ ÔÖÙÒ Ð Ú Ö ÓÒ ÖÒ º Ë ÐÐÒ ÖÒ Ö ÚÖ ÓÚ Ö ÑÝ Ø Ñ Ñ Ò ØØ Ø Ó Ð Ø ÓÒ Ð Ò ÙØ Ö Ö Ø Ò ÖÒ Ð ÏÓÖ Ø Å ÔÐ ½½º Î Ò Ø ÐÐ Ø ÓÒ Ú Å ÔÐ ½½ Ô Ò ÒÚ Ø ÐÐ Ø Ò Ö Ú Ö ÓÒ Òº Î Ö ÓÒ Ò Ð ÏÓÖ Ø Å ÔÐ ½½ ÒÒ ÙÒ Ö ÐÐ ÈÖÓ Ö Ñ»Å ÔÐ ½½ ÓÑ Ò Ú ËØ ÖØÑ ÒÝÒº ÄÑÔÐ ØÚ Ô Ö Ñ Ò Ò Ò ÒÚ ÖÒ Ö Ú ÓÖ Ø Ø ÐÐ ÒÒ Ú Ö ÓÒº ÇÑ Ñ Ò Ô Ø Ò ÒÚ Ø ÐÐ Ð ÏÓÖ Ø Å ÔÐ ½½ Ø ÖØ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÒÓÑ ØØ Ñ Ò Ð Ö Ô ÓÒº Á ÒÒ Ø ÐÐ Ö Ñ Ò

Ú Ø ÖØÑ ÒÝÒºµ ÔÔÒ ØØ Ò Ø Ö Ñ Ñ ÒÝÖ Ú Ö Ø ÑØ ØØ ØÓÑØ Ó ÙÑ ÒØ Ñ ÔÖÓÑÔØ Ò º Å ÔÐ Ö Ö Ó ØØ Ö Ö Ò º ÍØ Ú Ö Ø Ò Ö ÓÑÑ Ò ÓÒ Å ÔÐ ÓÑ ÙØÓÑ Ø Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ú Ø ÖØ ÒÒ Ø ØØ ÒØ Ð Ô Ø Ñ Ñ Ö Ô Ð Ö ÓÑÑ Ò ÓÒ ÓÑ Ò Ò Ø Ö Ú ÓÚº Ì ÐÐ Ü ÑÔ Ð Ö ÓÑÑ Ò ÓØ Û Ø ÔÐÓØ µ Ô Ø Ø ÔÐÓØ Ñ ÑÒ ÜØÖ Ö ÖÙØ Ò Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ø Ó Û Ø Ä Ò Ð µ Ø Ú ¹ Ö Ö ØØ Ô Ø Ñ ÜØÖ ÖÙØ Ò Ö Ö Ð Ò Ö Ð Ö º Î ÖÒ Ò ÇÑ Ñ Ò Ö Ö ÒÚÒ ØØ ÓÑÑ Ò Ó ÙÖ ØØ Ô Ø ÙØ Ò ØØ Ö Ø Ø Ú Ö Ø Ô Ø Ø ¹ Ö Ô Ö Å ÔÐ ÒØ Ú Ñ Ò Ñ Ò Öº ÌÝÚÖÖ Ö Ñ Ò Ò Ø ÐÑ Ð Ò ÙØ Ò Å ÔÐ Ú Ö Ö Ò ÖØ Ñ Ø ÚÒ ÓÑÑ Ò Óغ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÖÙÒ Ð Ò Ö ØÑ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ÓÑ ÔÐÙ Ñ ÒÙ Ó Ð Ñ ÐÚ Ð ÖØ Ñ Ò Ö Ô Ø Ú ÝÑ ÓÐ Ö ÐÒ Ø Ø Ö Ñ Ð Ø Å Ø Ñ Ø Å ÔÐ Ö Ð Ö Ò x + y Ü Ý Ø ÓÒ x y Ü¹Ý Ù ØÖ Ø ÓÒ xy Ü Ý ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ x Ü»Ý Ú ÓÒ y x y Ü Ý ÐÐ Ö Ü Ý ÜÔÓÒ ÒØ Ö Ò x = y Ü Ý Ð Ñ x y Ü Ý ÐØ ÖÒ x < y Ü Ý Ñ Ò Ö Ò x y Ü Ý Ñ Ò Ö Ò ÐÐ Ö Ð Ñ x > y Ü Ý Ø ÖÖ Ò x y Ü Ý Ø ÖÖ Ò ÐÐ Ö Ð Ñ È ÑÑ ØØ ÒÒ ØØ ÒØ Ð Ö Ò Ö ÓÒ Ø ÒØ Ö Å Ø Ñ Ø Å ÔÐ Ö Ð Ö Ò π È Ø Ð Ø π = 3.4... e ÜÔ ½µ Ø Ð Ø e =.78... i Á Ø Ð Ø i = Ò Ò ØÝ ÓÒ Ð Ø ØÖÙ ÒØ ÐÓ ÙØØÖÝ µ Ð Ð Ø ÐÓ ÙØØÖÝ µ Ç Ö ÖØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÒÒ Ò Ö Å ÔÐ º ÀÖ Ð Ö Ú ÒÐ ¹ Ø

¾ ÊÁÌÅ ÌÁËà ÍÌÌÊ Ã Å Ø Ñ Ø Å ÔÐ Ö Ð Ö Ò x ÕÖØ Üµ ÐÐ Ö Ü ½»¾µ Ú Ö ØÖÓØ e x ÜÔ Üµ ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ ln x ÐÐ Ö log x ÐÒ Üµ ÐÐ Ö ÐÓ Üµ Ò ØÙÖÐ ÐÓ Ö ØÑ log x ÐÐ Ö lg x ÐÓ ½¼ ܵ ÐÐ Ö ÐÓ ½¼ ܵ Ø ÓÐÓ Ö ØÑ sin x Ò Üµ ÒÙ cos x Ó Üµ Ó ÒÙ tan x Ø Ò Üµ Ø Ò Ò arcsin x Ö Ò Üµ ÖÙ ÒÙ arccos x ÖÓ Üµ ÖÙ Ó ÒÙ arctan x ÖØ Ò Üµ ÖÙ Ø Ò Ò x ( ) ܵ ÓÐÙØ ÐÓÔÔ n ÒÓÑ Ð Ò µ ÒÓÑ Ð Ó ÒØ Ö k x! ØÓÖ Ð Üµ ÐÐ Ö Ü ÙÐØ Ø Å ÐÔ Ú Ò Ñ Ò ÒÚÒ Å ÔÐ ÓÑ Ò Ú Ò Ö Ñ Ò Ö ¹ Ò Ö º Ñ Ò ÒÚÒ Ö Ð ÏÓÖ Ø Ñ Ø Ó Ú Ö ÓÑÑ Ò ÓÖ Ú ÐÙØ Ñ Ñ ÓÐÓÒ µºµ Æ Ö Ü ÑÔ Ð» Ò È»¾µ Ç ÖÚ Ö ØØ Å ÔÐ ÓÑ Ñ Ð Ø Ú Ö Ö Ñ Ü Ø ÙØØÖÝ»½¾ ÕÖØ ¾µ 3 + Î ÐÐ Ñ Ò Ú Ö Ø Ô ÒÙÑ Ö ÓÖÑ Ò Ñ Ò ÒØ Ò Ò ÒÚÒ ÓÑÑ Ò ÓØ Ú Ð ÐÐ Ö Ö Ú Ò ÓØ Ú Ò Ò Ø Ð Ò ÓÑ ØØ Ñ ÐØ Ð Ú Ø Ñ Ò Ñ ÐÔÙÒ Ø Ú Ð»½¾ ÕÖØ ¾µµ.8889»½¾ ÕÖØ ¾º¼µ.8889 Å ÔÐ Ú Ö Ö ÒÓÖÑ ÐØ Ñ ½¼ ÚÖ ÖÓÖº Î ÐÐ Ö Ò Ú Ö Ò Ò Ñ Øº ܺ

¾ ÖÓÖ ØÐÐ Ø Ò Ñ Ò ÓÑÑ Ò ÓØ Ú Ð Ò ØØ Ú Ð»½¾ ÕÖØ ¾µ ¾ µ.8889397675468356 Î ÖÒ Ò Ö ½º Ö Ò Ö ÓÒ Ø ÒØ ÖÒ Ö È Ø Ð Ø π = 3.45...µ Á Ñ ÒÖ Ò Ø Ò i i = µ ÑØ Ò Ò ØÝ ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ð Ø µº Ë Ö Ú Ö Ñ Ò Ñ Ð Ø Ò Ó Ø Úµ ÙÔÔ ØØ Ö Å ÔÐ ØØ ÓÑ Ò ÒÝ Ú Ö Ð Ó e x ÙÔÔ ØØ ÓÑ ÒÒ Ú Ö Ð ÙÔÔ Ø ÐÐ xº Î ÐÐ Ñ Ò Ò Ø Ð Ø e Ñ Ø Ñ Ò Ö Ú ÜÔ ½µ Ñ Ò e x Ö Ú ÓÑ ÜÔ Üµº ¾º Å Ò Ò ÒØ ÙØ ÐÑÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÝÑ ÓÐ Ò a ab Ó (x )(x+ ) Ñ Ø Ö Ú ¾ Ó Ü¹½µ ¾ Ü ½µ Ò Ú Ö Ð Ö ÆÖ Ñ Ò ÓÖØ Ò Ö Ò Ò Å ÔÐ Ö Ø Ú ÒÐ Ø ØØ Ñ Ò ÙØÒÝØØ Ö Ú Ö Ø ÖÒ ÒÒ Ò Ø Ö Ò Ò º Á ØÐÐ Ø Ö ØØ Ö Ú Ú Ú Ö Ø Ñ Ö Ö ØØ Ö Ú Ð ÒÒ Ø ØÚ Ò Ö ØØ ØØ Ö ØØ ½º Ö Ø ÒÚ Ø ÐÐ Ö Ò ÐÐ Ö ÖÖ Ö Ò Ö ÙÐØ Ø Ñ ± Ö Ô Ø Ú ±± ¼ ¼ ¾ 864 ± 3536 ¾º Ä Ö ÙÒ Ò Ö ÙÐØ Ø Ø Ò Ú Ö Ð ¼ ¼ ¾ s := 864 3536

Å ÆÁÈÍÄ ÌÁÇÆ Î Ä Ê ÁËà ÍÌÌÊ Ã Ë Ñ Ò ÒÚÒ Ö ÙÐØ Ø Ø Ö Ò Ö Ö Ú ØÚ Ñ ØÓ Ò Ñ Ú Ö ¹ ÐÒ ØØ Ö Ö Ñ Ò Ú Ò ÒÒ Ö Ö Ø Ó Ø Ò Ð Ö ØØ ÐÐ Ö Ô Ú Ñ Ò ÓÖØ ÓÑ Ñ Ò Ò Ö Ö Ò Ú Ö Ðº Ç ÖÚ Ö ØØ Ò ÑÒ Ø Ô Ú Ö ¹ ÐÒ Ö ÒÒ ÐÐ ØÓÖ Ó Ñ Ó ØÚ Ö ÖÓÖ ÑØ ÙÒ Ö ØÖ º Á Ü ÑÔÐ Ø ÓÚ Ò ØÐÐ Ø ÙÒÒ Ø Ø Øº ܺ Ë ÙÒ ÖÈ Ö Ý Ò ÐÐ Ö ÙÒ Ö Ô Ö Ý Ò º Î ÐÐ Ñ Ò Ö Ö ÒÑ ØÒ Ò Ö Ø Ö Ú Ö Ò Ö Ò Ñ Ò Ô Ö ÔÐ Ø ¹ ÒÓÑ ØØ Ö Ú Ñ Ø Ö Ú Ö Ò Ö Ô ÑÑ Ö º ¾º a := 3 b := 6.75 c :=.83 Á Ò Ö ÐÐ Ñ Ò ÒØ Ö ÒØÖ Ö Ú Ö ÙÐØ Ø Ø Ú Ö Ò Ò ¹ Ò Ò Ø ÙØÓÑ Ú Ö ÐÑÔÐ Ø ØØ ÒÚÒ ÓÐÓÒ ØÐÐ Ø Ö Ñ ÓÐÓÒ º ¾º Ø Ö ÓÑ Ñ Ò ÐØ Ð ÔÔ Ö ÙØ Ö Ø ÖÒ º ØØ Ö Ó ÒÚÒ Ñ Ö Ø Øº ÅÒ Ð Ø Ø Ö ÙÔÔØ ÑÝ Ø ÐØØ Ö ÓÑ Ñ Ò ÒÚÒ Ö Ñ ÓÐÓÒ ØØ Ñ Ò Ò ÙÖ Å ÔÐ Ö ØÓÐ Ø ÒÑ ØÒ Ò Òº ÆÖ Ñ Ò Ò Ö Ø Ò Ú Ö Ð Ð Ö ÚÖ Ø Ú Ö Ø ÐÐ Ñ Ò Ò Ö Ö Ø ÐÐ Ö Ø ÐÐ Ñ Ò ØÒ Ö Å ÔÐ º ØØ Ò Ð Ò ØÐÐ Ø ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ö Ú Ò ØØ Ø Ð Ó Ñ Ò Ò Ú Ú Ò Ö Ò Ú Ö Ð ³ ³ s := s; Î ÖÒ Ò Ð Ñ ÒØ ÓÐÓÒ Ø Ø ÐÐ ÐÒ Ò ÓÑÑ Ò ÓØ Å Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ë Ö Ú Ö Ñ Ò Ò ØØ Ð Ö Ø ÙØØÝ ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö Ö Ú Ö Ð Ö Ú Ö Ö Å ÔÐ Ñ ØØ Ö Ú ÙØ ÑÑ ÙØØÖÝ Ð Ø ÒÝ Ö Ó Ò Ò ÓØ Ö Ò Ð Ø ¾ Ü Ýµ Ü Ýµ» ܹݵ (x + y) x y Î ÐÐ Ñ Ò Ñ Ö ÓÒØÖÓÐÐ Ú Ö Ú Å ÔÐ Ö Ñ ÙØØÖÝ Ø Ò Ñ Ò ÒÚÒ Ò ÓØ ÐÐ Ö Ò Ö Ú Ð Ò ÓÑÑ Ò ÓÒ

Å ÔÐ ÜÔ Ò Ùµ ØÓÖ Ùµ ÒÓÖÑ Ð Ùµ ÑÔÐ Ý Ùµ ÓÐÐ Ø Ù Üµ ÓÑ Ò Ù µ Ö Ð Ö Ò ÙØÚ Ð Ö ÙØØÖÝ Ø Ù ØÓÖ Ö Ö Ù Ö Ò Ð Ö Ù Ö Ò Ð Ö Ù ÑÐ Ö ÓÔ Ø ÖÑ Ö Ù Ñ Ú Ò Ô Ú Ö ÐÒ Ü ÑÐ Ö ÓÔ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ÐÐ Ò Ö ØØ ÐÐÙ ØÖ Ö ÐÐÒ ÖÒ ÖÚ ØØ Ò ÓØ Ñ Ö ÓÑÔÐ Ö Ø ÙØØÖÝ º Ø Ö ÓÑ ÑÑ ÙØØÖÝ ÒÚÒ Ö Ò Ö Ö Ø ÐÑÔÐ Ø ØØ Ô Ö ÙÒ Ò Ø Ò Ú Ö Ð ¾ Ü Ýµ Ü Ýµ» ܹݵ Ü Ýµ» ܹݵ ¾ a := (x + y) x y + x + y (x y) ÑÔÐ Ý µ x 3 + x y xy y 3 + x + y (x y) ØÓÖ µ (x + y) ( x + y ) (x y) ÜÔ Ò µ x x y + 4 xy x y + y x y + x (x y) + y (x y) Á Ú ÐÐ Ò Ö Ò Ð Ò ÓÑÑ Ò ÓÒ Ú Ö ÒÚÒ Ö Ó Ö ¹ ÖÙØØÖÝ ÕÖØ µ¹½µ ¾» ÕÖØ µ¹ µ ( 5 ) 5 3 ÀÖ Ò Ú Ö Ø Ö Ò Ð ØÝ Ð Ø ÑÔÐ Ý ±µ

Æ ÍÆÃÌÁÇÆ Ê Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ç Ø Ö Ñ Ò Ò Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ñ Ò ÙÒ Ö Ó Ö Ø Ú Ö Ñ Ô Ò ÓØ Ú º Ò Ø Ú Ö Ò Ø ØØ Ô Ö Ò Ò Ú Ö Ðº ØØ Ò Ö Ô ØÚ ÓÐ ØØ Å ÔÐ º Ç Ø Ø Ò Ö Ö Ñ Ò Ò ÓÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Å ÔРܹ Ü ¾» Ü Ü ¾ ܵ g := x x + x + x Ä ÑÖ Ø ÐÐ ØØ Ú Ð Ò Ò Ô Ð Ò Ö Ú Ò ÓÑ ØØ Ñ ÒÙ Ø Ò Ð Ø Ú ØØ Ø ÖÖ ¹Ò¹Ø Òº Á Ð Ò Ò Ñ Ò ØÐÐ Ø Ð Ò ÐÚ ÙÒ Ø ÓÒ Ùع ØÖÝ Ø Ò Ú Ö Ð Ü ¾» Ü Ü ¾ ܵ f := x + x + x Ø Ö Ö ØØ Ö Ñ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ñ ÙØØÖÝ Ñ Ò Ú Ö ØÝ Ð Ø Ò Ð Ö Ñ ÙÒ Ø ÓÒ Öº ÂÑ Ö ÙÖ Ñ Ò Ö Ò Ö ÙØØÖݹ Ø Ö Ô Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÚÖ Ö ØØ Ú Ø Ü¹ÚÖ ½µ Ö Ô Ø Ú Ú Ð Ü ½µ Ú ÐÙ Ö f Ö x = µ ÐÐ Ö 5 3 5 3 Ù Ü ½ µ Ù Ø ØÙ Ö x = fµº Ø Ö ØØ ÓÑÚ Ò Ð ÖÒ ÙØØÖÝ Ø ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÙÒ ÔÔÐÝ Üµ Ó ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÙØØÖÝ 5 3 k := x x + x + x

Ñ Üµ m := x + x + x Ç ÖÚ Ö Ó ØØ Ø ÒØ Ö ØØ Ö Ú Ö ÓÑ Ñ Ò Ú ÐÐ Ò Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Üµ Ü ¾» Ü Ü ¾ ܵ h(x) := x + x + x ÌÝÚÖÖ Ö Å ÔÐ Ò Ø ÐÑ Ð Ò Ñ Ò Ð Ö ÐÐ ÐÐ ÒØ Ò Ö ÓÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒº ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ö Ú Ö Ð Ö Ò Ö Ö Ñ Ò Ô ÑÓØ Ú Ö Ò ØØ Ü Ýµ¹ Ü Ý ÕÖØ Ü Ý Ýµ F := (x,y) xy + (x + y ) ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ö Ò Ô ÑÑ ØØ ÓÑ Ö ÒÚ Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ö µ 5 Î ÐÐ Ñ Ò ØÚÙÒ Ø Ö Ø Ñ ÙØØÖÝ Ò Ñ Ò Ö Ú Ü Ý ÕÖØ Ü Ý Ýµ G := xy + (x + y ) ÍØØÖÝ Ø ÚÖ x = 7 Ó y = 3 Ò Ñ Ù Ñ Ò ÒØ Ñ Ú Ðµ Ù Ü Ý µ + 6 Ä ÑÖ Ø ÐÐ ØØ Ú Ú Ö Ø Ø ÐÐ ÑÔÐ Ý Ö ØØ Ú Ö Ø Ô Ò Ð ÓÖѺ ÖÒ ÚÖ Ò ÖÒ ÚÖ Ò Ö ÙØØÖÝ Ò Ú Ö Ð ÒØ Ö Å ÔÐ Ú ØØ ÓÑÑ Ò Ó ÓÑ ÐØ ÐÓ Ø Ø Ö Ð Ñ Øº Ø Ò ÒØ Ö ÒØÐ Ó Ó ÒØÐ ÖÒ ÚÖ Òº Æ Ò Ö Ò ØÙÖ Ó ÓÖ Ò Ò sin x lim x x, lim x ex Ó lim x x

½¼ ÊÁÎ ÌÇÊ Ð Ñ Ø Ò Üµ»Ü Ü ¼µ Ð Ñ Ø ÜÔ Üµ Ü Ò Ò Øݵ Ð Ñ Ø ½»Ü Ü ¼µ ÙÒ Ò Á Ø Ø Ü ÑÔÐ Ø ÓÚ Ò Ö ÖÒ ÚÖ Ø Ó Ò Ö Ø Ö Ö ØØ Ö¹ Ó ÚÒ Ø Ö ÖÒ ÚÖ Ò Ö ÓÐ º ÇÑ Ú ØÐÐ Ø Ö Ö ÓÑ ØØ Ú Ñ Ò Å ÔÐ Ú Ö Ð Ñ Ø ½»Ü Ü ¼ Рص È ÑÓØ Ú Ö Ò ØØ Ò Ö Ñ Ò ÚÐ Ö Ò Ö Ø ÓÑ Ñ Ò Ú ÐÐ Ö ÖÒ ¹ ÚÖ Øº Ö ÒÖÚ Ö Ò Ö ØÝÚÖÖ Å ÔÐ ÑÝ Ø Ð Ø Ô ÖÒ ÚÖ Ö Ò Ò Ö Ö ÙØØÖÝ Ö Ú Ö Ð Öº Ö Ú ØÓÖ Ö Ú Ø Ò Ú ÙØØÖÝ Ø x 5 x + Ö Ò Ö Ü ¹Ü ¾ ܵ 5x 4 Ö ØØ ÓÒØÖÓÐÐ Ö ØØ Ñ Ò Ö Ú Ø ÖØØ Ò Ø Ú Ö ÔÖ Ø Ø ØØ Ü ¹ Ú Ö ÑÑ ÓÑÑ Ò ÓÖ Ñ Ò Ñ ØÓÖ ÝÒÒ Ð Ó Ø Úº Å Ò Ö ¹ Ö Ú Ø Ò ÙØ Ö Ú Ò Ñ Ö Ú Ø ÓÒ ÝÑ ÓÐ Ö Ü ¹Ü ¾ ܵ

½½ d dx (x5 x + ) Å Ò Ò Ö Ò Ö Ú ØÓÖ Ú Ö ÓÖ Ò Ò ÒÓÑ ØØ ÝÐÐ Ô Ñ Ö ÙÑ ÒØ Ú ÒÖÓÔ Ø Ú º Ö ØØ Ö Ú Ö ØÖ Ò Ö Ñ Ú Ò Ô x Ö Ú Ö Ñ Ò ÐÐ Ö Ü ¹Ü ¾ Ü Ü Üµ Ü ¹Ü ¾ Ü µ 6x 6x Ë Ö Ú ØØ Ø Ü ØÝ Ö ØØ Ò Ð Ø Ñ Ð Ñ ÒØ Ò Ö Ö Ó ØØ Ú Ö Ð Ñ ÒØ Ú Ö Üºµ ÍØØÖÝ Ö Ú Ö Ð Ö Ò Ó Ö Ú Ö Ñ Ú Ò Ô Ò Ò¹ Ú Ö Ð ÖÒ º ÀÖ Ö Ò Ö Ú Ò Ô ÖØ ÐÐ Ò Ö Ö Ú Ø ÒÓÑ ØØ Ö Ú Ö Ö Ø Ñ Ú Ò Ô x Ó Ò Ñ Ú Ò Ô y Ü ¾ Ý ¹¾ Ü Ü Ýµ Ü ¾ Ý ¹¾ Ü Ü Ýµ f y x = 6xy Ø Ö ÔÖ Ø Ø ØØ ÐØ Å ÔÐ ÑØ Ø ÙØ Ö Ó Ö ÓÒØÖÓÐÐ Ò ÙÐк ÇÑ Ñ Ò ØÐÐ Ø Ö ÙØØÖÝ Ø x 5 x + Ú ÐÐ Ö Ú Ö ÑÓØ Ú Ö Ò ÙÒ ¹ Ø ÓÒ f = x x 5 x + Ö Ñ Ò Ô Ð Ò Ú Ü¹ Ü ¹Ü ¾µ x 5x 4 ÐÐ Ö ÓÑ Ñ Ò Ö Ø Ò Ö Ö ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ü¹ Ü ¹Ü ¾ f := x x 5 x + ÔÖ Ñ µ

½¾ ÊÁÎ ÌÇÊ fprim := x 5x 4 Ä ÑÖ Ø ÐÐ ØØ ÔÖ Ñ Ð Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒº Ö ØØ Ö Ú Ö ØÖ Ò Ö Ò Ñ Ò Ö ÒØ Ò Ò Ö µµµ x 6x ÐÐ Ö ÒÚÒ Ð Ò ÑÖ Ð Ö Ú ØØ µ µ x 6x Ø Ö ÓÑ Ñ Ò Ö ÐÐ Ò ÒÖ Ñ Ò ÒÚÒ Ö µ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ö ÙÐØ Ø Ò Ñ Ò Ö Ø Ö Ò Ö Ú Ø Ò ÚÖ Ö ØØ Ú Ø Ü¹ÚÖ º Ì Ü f (7) Ñ µ µ 34 º½ Ö ÒØ Ö Ö Ò Ö Ú Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ú ØÚ Ú Ö Ð Ö (x,y) f(x,y) Ò Ö Ö ¹ ÒØ Ò ÓÑ Ò Ú ØÓÖÚÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ( ) f (x,y) x (x,y), f y (x,y). Á Ô Ø Ø Ð Ò Ð ÒÒ ÓÑÑ Ò ÓØ Ö ÓÑ Ø ÐÐØ Ö Ó ØØ Ò ÐØ Ð Ö ÒØ Òº Ö Ü ¾ Ý ¾ Ü Ý µ [x, y] Á Ö Ö Ò Ö Ø Ô Ö Ñ Ø ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÙØØÖÝ Øº Ò Ò Ö Ô Ö Ñ ¹ Ø ÖÒ Ö Ò Ú ØÓÖ Ñ Ú Ö Ð ÖÒ Ú ÐÐ Ö Ú Ö Ñ Ú Ò Ôº ËÚ Ö Ø Ð Ö Ò Ú ØÓÖ Ñ Ô ÖØ ÐÐ Ö Ú ØÓÖÒ ÑÑ ÓÖ Ò Ò ÓÑ Ú Ö Ò

½ ÙÔÔ Ö Ô Ø Ú Ú Ö Ð ÖÒ º ÇÑ Ú ÝØ Ö ÓÖ Ò Ò Ô Ú Ö Ð ÖÒ Ö Ú ÐÐØ Ö Ü ¾ Ý ¾ Ý Ü µ [y, x] ÅÓØ Ú Ö Ò ÐÐ Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú ØÖ ÐÐ Ö Ö Ú Ö Ð Öº ÁÒØ Ö Ð Ö Ó ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÈÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö Ò Ñ ÓÑÑ Ò ÓØ Òغ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ x + sinx ÐÐ Ö Ñ Ò Ö ÓÖ Ò Ó ØÑ ÒØ Ö Ð Ò (x + sin x)dx Ð Ö ÐÐØ ÒØ ¾ Ü Ò Üµ ܵ x cos(x) ÆÓØ Ö ØØ ÓÒ Ø ÒØ Ò C ÓÑ ÖÙ Ö ÒÒ Ñ Ø ÐÐ Ö Ó ÓÑ ÒÒ Ñ Ú Ö Ò Ô Ú ÒØÙ ÐÐ Ø ÒØ Ñ Ò ÙÔÔ Ø Ö ÒØ ÓÑÑ Ö Ñ Öº Å Ò Ò ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ú Ö Ø ÒÓÑ ØØ Ö Ú Ö Ó ÓÑ Ø ÙÖ ÔÖÙÒ Ð ÙÒ Ø ÓÒ ÙØØÖÝ Ø ÓÑÑ Ö Ø ÐÐ ± ܵ x + sin(x) Ç ÖÚ Ö ØØ ÒØ Ð Ø Ñ Ö Ø Ö Ñ ÙØØÖÝ º Ø ÒÒ Ò Ø ÓÑÑ Ò Ó Ö ØØ Ö Ò ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ð Ø Ñ Ö Ø Ö Ñ ÙÒ Ø ÓÒ Öº ØÑ ÒØ Ö Ð Ö Ú ÒØ Ö Ð Ö ÓÑ Ö Ò Ú Ö ØØ ÒØ ÖÚ ÐÐ ¹ Ö Ò Ó Ñ Òغ Ì Ü x dx ÒØ Ü ¾ Ü ¼ºº¾µ 8 3 ÖÒ ÖÒ Ö ÐÓÚ ØØ Ú Ö ÓÒ Ð Ø Ò Ú Ð Ò Ù Ö Ú ÓÑ Ò Ò Øݺ Ò Ð ÒØ Ö Ð e x dx ÓÑ ÒØ Ö ÐØ Ò Ð ØØ Ö Ò Ö Ò Ö Ø Ò ÓÑ Ü ÑÔ Ð ÒØ ÜÔ ¹Ü ¾µ Ü ¹ Ò Ò Øݺº Ò Ò Øݵ π Ä ÓÑ Ö Ö Ú ØÓÖ Ö ÓÑÑ Ò ÓØ Ñ ØÓÖ ÝÒÒ Ð Ó Ø Ú ÓÔ Ö ¹ Ø ÓÒ Ò Ö Ú Ò Ñ Ñ Ø Ñ Ø ÝÑ ÓÐ Ö

½ ÁÆÌ Ê Ä Ê Ç À ÈÊÁÅÁÌÁÎ ÍÆÃÌÁÇÆ Ê ÁÒØ ÜÔ ¹Ü ¾µ Ü ¹ Ò Ò Øݺº Ò Ò Øݵ e x dx ÒÑÖ Ò Ò Ø ÒÒ Ð Ñ ÒØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ö ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÒØ Ò ÙØØÖÝ Ñ Ð Ñ ÒØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø Ü e x Ó +x+x º ÇÑ Ú Ö 5 Å ÔÐ ÔÐÓ Ö Ñ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ÐÐ Ñ Ö Ú ÒØ ÜÔ Ü ¾µ ܵ ÒØ ÕÖØ ½ Ü Ü µµ ¹½µ ܵ i π Ö (xi) dx +x+x 5 Á Ø ÖÖ ÐÐ Ø Ú Ö Ö Å ÔÐ Ñ Ò ¹ Ð Ñ ÒØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Øµ Ó Ø Ò Ö Ö Ú Ö Ø ÐÐ Ö Òº Ø ÒÒ ÐÐØ ÒØ Ö Ð Ö ÓÑ Å ÔÐ ÒØ Ð Ö Ö ØØ Ö Ò ÜÔРغ Á Ñ Ò Ñ ÑÙÐØ Ô Ð ÒØ Ö Ð Ö Ò Ú Ð Ò Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÒÓÑ ØØ ÝØ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÖ Ò Ò ÐÐ Ö ÝØ Ú Ö Ð Öº Ú Ò ÓÑ Ø Ò ÜÔÐ Ø ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ñ Ò Å ÔÐ ØØ Ö Ò ÒØ Ö Ð Ö Ú Ö ÚÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÒÙÑ Ö Ø ÒÓÑ ØØ Ò Ò Ö Ú ÖÒ ÖÒ Ô Ñ Ð ÓÖÑ ÐÐ Ö ÒÓÑ ØØ ÒÚÒ Ú Ð ÒØ ÜÔ Ü ¾µ Ü ¼ºº½º¼µ ÒØ ÕÖØ ½ Ü Ü µµ ¹½µ Ü ¼ºº½º¼µ.4665746.8488346 Ú Ð ÒØ ÜÔ Ü ¾µ Ü ¼ºº½µµ Ú Ð ÒØ ÕÖØ ½ Ü Ü µµ ¹½µ Ü ¼ºº½µµ.4665746.8488346 º½ ÅÙÐØ Ô Ð ÒØ Ö Ð Ö Ù Ð ÒØ Ö Ð Ö Ö Ò Ò Ú Ù Ð ÒØ Ö Ð Ö Ø Ö Ö Ô ÙÔÔÖ Ô Ò Ð ÒØ Ö Ð Öº Á Å ÔÐ ÙØ Ö Ò ØÙÖÐ Ø ÒÓ µ ÒÓÑ ÙÔÔÖ Ô ÒÚÒ Ò Ò Ö Ú Óѹ Ñ Ò ÓØ Òغ Ä ÓÑ ÖÙØ Ò Ú ÒÚÒ ÁÒØ Ö ØØ ÒØ Ö Ð Ò Ñ ÒØ ¹ Ö ÐØ Òº Ü ÑÔ Ð Å f(x,y) = (x y)sin y Ó ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÑÖ Ø Ú Ø Ú < x < < y < π Ò Ö Ø Ò Ðµ Ö Ú ÁÒØ ÁÒØ Ü¹Ýµ Ò Ýµ Ý ¼ººÈ µ Ü ¼ºº¾µ

º½ ÅÙÐØ Ô Ð ÒØ Ö Ð Ö ½ π (x y)sin (y)dy dx ÁÒØ ÒØ Ü¹Ýµ Ò Ýµ Ý ¼ººÈ µ Ü ¼ºº¾µ x π dx ÒØ ÁÒØ Ü¹Ýµ Ò Ýµ Ý ¼ººÈ µ Ü ¼ºº¾µ π (x y)sin (y) dy dx ÒØ ÒØ Ü¹Ýµ Ò Ýµ Ý ¼ººÈ µ Ü ¼ºº¾µ 4 π Ç ÖÚ Ö ØØ ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ò ÒØ ÁÒص Ö ÑÑ Ö ÙÐØ Ø ÓÑ ÁÒØ ÁÒصº ÇÑ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÑÖ Ø ÒØ Ö Ò Ö Ø Ò Ð Ö Ñ Ò ÐÓ Ø ØØ Ö Ø ÙÔÔ Øº Ø Ò Ñ Ò ÖÒ Ö Ñ ÐÔ Ú Å ÔÐ Ú Ð Ø Ú Ò Ø Ü ÑÔ Ð ÓÑ Ö ÑØ Ø ÖÒ Ð ÖÚ Ö Ð Ò ÐÝ Ü ÑÔ Ð º Ò ¾ ½µº Î Ö Ö Ñ ØØ Ö Ø Ò ÙÖ Ú Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÑÖ Øº Ë Ú Ò ØØ Ø ÓÑ Ö Ö ØÒ Ò Ô ½¾ ØØ Ø Ö Ò Ö Ð Ö Ò Ú ÔÐÓع ÓÑÑ Ò ÓÒ ÓÑ ÒÚÒ Ò Òº Û Ø ÔÐÓØ µ ÑÔÐ ØÔÐÓØ ßÜ ½ Ü Ý ¹¾ Ü» Ý Ü» Ð Ü ¼ºº Ý ¼ºº µ 5 4 3 y 3 4 5 x

½ ÁÆÌ Ê Ä Ê Ç À ÈÊÁÅÁÌÁÎ ÍÆÃÌÁÇÆ Ê Î Ò ÒÙ Ö Ò ÒØ Ö Ð Ò ÒÓÑ ØØ ÒØ Ö Ö Ö Ø y¹ Ó Ò x¹ð º Á ÁÒØ ÁÒØ Ü ½ Ý Ý Ü» ºº¹¾ Ü» µ Ü ½ºº µ ( 3 ) 3 +4 I = 3x + 8y dy dx 3 x Á ÒØ ÒØ Ü ½ Ý Ý Ü» ºº¹¾ Ü» µ Ü ½ºº µ I = 44 ÒÑÖ Ò Ò ØØ Ö Ø ÒØ Ö Ö x¹ð Ö Ñ Ò Ö ÐÑÔÐ Ø Ø Ö ÓÑ Ú Ö ØÖ ÓÐ ÙØØÖÝ Ö Ò ÚÖ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ò x Ñ Ü (y) ÖÓ Ò Ô Ú Ð Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ y Ø ÐÐ Öº ÌÖ ÔÔ Ð ÒØ Ö Ð Ö ÌÖ ÔÔ Ð ÒØ Ö Ð Ö Ø Ö Ö Ð ÓÑ Ù Ð ÒØ Ö Ð Ö Ô ÙÔÔÖ Ô Ò Ð Ò¹ Ø Ö Ð Ö Ó ÑÑ ÓÑÑ Ò ÓÒ ÒØ Ó ÁÒØ ÒÚÒ º Ü ÑÔ Ð ÚÒ Ò ÙÔÔ Ø º Ò ¾ Ð ÖÚ Ö Ð Ò ÐÝ Ò Ñ Ò Ð Ñ Å ÔÐ Ô Ð Ò ØØ Ø Ö ÓÑ ÖÒ ÖÒ x Ó y Ö Ó ÖÓ Ò Ú z Ú Ö Ö Ø Ö ÑÐ Ø ØØ Ö ÒØ Ö Ö z¹ð º ÁÒØ ÁÒØ ÁÒØ Ü Ý Þ ¼ºº ÜÔ Ü Ýµµ Ý ¼ºº½µ Ü ¼ºº½µ ( ( e xy ) ) (x + y) dy dx ÁÒØ ÁÒØ ÒØ Ü Ý Þ ¼ºº ÜÔ Ü Ýµµ Ý ¼ºº½µ Ü ¼ºº½µ ( ) xe xy + ye xy dy dx Å Å ÔÐ Ö Ø Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ ØØ ÒØ Ö Ö Ð ÙØØÖÝ Ø Ö Ø Ñ Ú Ò Ô y Ó Ò Ñ Ô x ÐÐ Ö ØÚÖØÓÑ x Ó y Ô Ð Ö ÙÔÔ Ò Ö¹ Ð Ò ÑÑ ÖÓÐе ÁÒØ ÒØ Ü ÜÔ Ü Ýµ Ý ÜÔ Ü Ýµ Ý ¼ ºº ½µ Ü ¼ ºº ½µ e x x e x + e x x x + x dx ÒØ ÜÔ Üµ Ü ¾¹ ÜÔ Üµ ÜÔ Üµ Ü¹Ü ¾ ½µ»Ü ¾ Ü ¼ ºº ½µ

º½ ÅÙÐØ Ô Ð ÒØ Ö Ð Ö ½ 4 + e Ç ÖÚ Ö Ó ØØ Ò Ø ÒØ Ö Ð Ò ÙÐÐ Ú Ö ÑÝ Ø Ò ØÖÒ Ò ØØ Ö Ò Ö Ò º Ø Ø Ö ØØ Ø ØØ Ö Ø ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÙØØÖÝ Ø ØØ ÒØ Ö Ò Ò Ø Ø Ö Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ó ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ð Ø Ö Ð ÖØ Ö Ó Ø Ö ÓÑ Ò Ö Ö ÙÐØ Ø Ø Ú ØØ ÒØ Ö Ö Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ú x Ó y Ú Ö ØØ Ò Ð Ø y¹ ÒØ ÖÚ Ðкµ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ö Ú ÒÒ Ö x = Ú ÒØ ÜÔ Üµ Ü ¾¹ ÜÔ Üµ ÜÔ Üµ Ü¹Ü ¾ ½µ»Ü ¾ Ü ¼ºº µ e x x + e x x x x ÚÖ Ø Ö Ò ÙÒ Ú ÓÑ Ú Ó ÖÚ Ö Ö ØØ Ù Ð ÒØ Ö Ð Ò Ö Ò ÙÑÑ Ú ( ) I = xe xy dy dx Ó I = ( ) ye xy dy dx = ( ) ye xy dx dy Ö I Ó I Ò ÖØ Ð Ö Ø ÒÓÑ ØØ Ú Ö Ð ÖÒ x Ó y ÝØØ ÖÓÐÐ Ó ÖÚ Ö ØØ ØØ ÒØ Ò Ö Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÑÖ Ø ÙØ Ò µº Ø ÐÐ Ö ÐÐØ I = I º Å Ò Ò ÒÖ ÒØ Ö Ð Ò I Ö Ò ÑÝ Ø Ò Ð ÓÖÑ I = ( ) y exy dy dx = [e xy ] y= dx = e x dx = e. Á Ð Ò Ñ Ø Ñ Ò ÒÚÒ Ð Ò Ò Ñ ØÓ Ö Ö Ö Ò Ð Ò Ú Ù Ð Ò¹ Ø Ö Ð Ò ÒÒ Ò Å ÔÐ Ò Ð Ö Ú ÒØ Ö Ø ÓÒ Òº Ú Ö Ò Ø ÐÐ ÔÓÐÖ ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØ ØØ Ú Ú ÐÐ Ö Ò ÒØ Ö Ð Ò Ú f(x,y) = x + y Ú Ö ÐÚ Ö Ð¹ Ú Ò x + y < 4 x > º ÑÔÐ ØÔÐÓØ Ü ¼ Ü ¾ Ý ¾ Ü ¼ºº Ý ¹ ºº Ð Ò ÓÒ ØÖ Ò µ

½ ÁÆÌ Ê Ä Ê Ç À ÈÊÁÅÁÌÁÎ ÍÆÃÌÁÇÆ Ê 3 y.5.5 x 3 ÍÔÔÖ Ô ÒØ Ö Ø ÓÒ Ö Ö Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ö Å ÔÐ Ò ÖØ Ñ Ò Ó ¹ ÖÚ Ö Ø ØØ ÖÒ ÖÒ y¹ð ÒÓÑ ØØ Ñ Ò Ð Ö ÙØ y ÙÖ x + y = 4 Ú y Ñ Ò (x) = 4 x Ó y Ñ Ü (x) = 4 x Ë Ø ÁÒØ Ö Ð Ò ÁÒØ ÁÒØ Ü Ý Ý ¹ ÕÖØ ¹Ü ¾µºº ÕÖØ ¹Ü ¾µµ Ü ¼ºº¾µ SöktaIntegralen := ( ) 4 x x + y dy dx 4 x Ë Ø ÁÒØ Ö Ð Ò ÁÒØ ÒØ Ü Ý Ý ¹ ÕÖØ ¹Ü ¾µºº ÕÖØ ¹Ü ¾µµ Ü ¼ºº¾µ SöktaIntegralen := x 4 x dx Ë Ø ÁÒØ Ö Ð Ò ÒØ ÒØ Ü Ý Ý ¹ ÕÖØ ¹Ü ¾µºº ÕÖØ ¹Ü ¾µµ Ü ¼ºº¾µ SöktaIntegralen := 6 3 Î Ò Ö Ò Ò Ó Ö Ñ Ö ÐÐÑÒÒ Ö Ð ØÓÖ Öµ Ö Ø Ó Ö¹ Ð Ø Ø ØØ Ú Ö Ø ÐÐ ÔÓÐÖ ÓÓÖ Ò Ø Ö x = r cos v y = r sinv Ë Ø Ô Ò ¾ Ð ÖÚ Ö Ð Ò ÐÝ º ÀÖÚ Ú Ö Ö ÝØ Ð Ñ ÒØ Ø dxdy Ù ¹ Ð ÒØ Ö Ð Ò rdrdvº Ç ÖÚ Ö ØÓÖÒ r ÓÑ ÓÑÑ Ö ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ð ¹ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ö Ú Ö Ð ÝØ Ø µ Á ÔÓÐÖ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ð Ö ÐÚ Ö Ð Ú Ò Ò

½ Ö Ø Ò Ð < r < π/ < v < π/ Ó ÒØ Ö Ò Ò Ð Ö (r cos v+r sinv)rº Ø Ø r Ø ÓÑÑ Ö ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ Òº Î Ö Ë Ø ÁÒØ Ö Ð Ò ÁÒØ ÁÒØ Ö Ó Úµ Ö Ò Úµµ Ö Ö ¼ºº¾µ Ú ¹È»¾ººÈ»¾µ SöktaIntegralen := π π ( ) (r cos v + r sinv)r dr dv Ë Ø ÁÒØ Ö Ð Ò ÁÒØ ÒØ Ö Ó Úµ Ö Ò Úµµ Ö Ö ¼ºº¾µ Ú ¹È»¾ººÈ»¾µ SöktaIntegralen := π π 8 3 cos v + 8 sinv dv 3 Ë Ø ÁÒØ Ö Ð Ò ÒØ ÒØ Ö Ó Úµ Ö Ò Úµµ Ö Ö ¼ºº¾µ Ú ¹È»¾ººÈ»¾µ SöktaIntegralen := 6 3 ËÙÑÑÓÖ Ö Ö Ò Ò Ú ÙÑÑÓÖ ÒÒ ØØ ÓÑÑ Ò Ó ÙÑ ÓÑ ÙÒ Ö Ö ÐØ Ò ¹ ÐÓ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ Ö Ð Öº ËÙÑÑ Ò ++3 Ò Ñ ÙÑÑ Ø Ò Ö Ú 3 k= k Ú Ð Ø Å ÔÐ Ð Ö ÙÑ ½ºº µ 6 Î Ö ÐÒ Ö Ö Ú ØÚ ÐØ Ó ØÝ Ð º ØØ Ò ÓØ Ñ Ö Ú Ò Ö Ø Ü Ñ¹ Ô Ð + + 4 + 8 + Ò Ö Ú Ö Ñ ÙÑÑ Ø Ò i Ó Ö Ò Å ÔÐ ÙÑ ½»¾ ¼ºº Ò Ò Øݵ Å ØÓÖ ÝÒÒ Ð Ó Ø Ú Ö Ú ËÙÑ ½»¾ ¼ºº Ò Ò Øݵ i= i= i

¾¼ ½¼ ÃÎ ÌÁÇÆ Ê ½¼ Ú Ø ÓÒ Ö Å ÔÐ Ò Ð ÑÒ ØÝÔ Ö Ú Ú Ø ÓÒ Ö Ó Ø ÒÒ Ò Ö ÓÐ Óѹ Ñ Ò ÓÒ ØØ ÐÐ Ö Ô Ö ÓÐ ØÝÔ ÖÒ Å ÔÐ ÓÐÚ ÓÐÚ ÓÐÚ ÓÐÚ Ö ÓÐÚ Ö Ð Ö Ò Ð Ö ÐÐÑÒÒ Ú Ø ÓÒ Ö Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ö ÒÙÑ Ö Ø Ð Ö ÐØ Ð Ú Ø ÓÒ Ö Ð Ö Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ö Ð Ö Ö Ò Ú Ø ÓÒ Ö ÐÐÑÒÒ Ú Ø ÓÒ Ö Ò Ò Ð Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ð Ö Ö ØØ Ö Ñ x 4x + 3 = º Ø ÙÐÐ ØÒ ØØ Ø ØØ Ö Ú Ò Ò Ô Ö ÓÐÚ Ü ¾¹ Ü ¼ ܵ,3 Ú ÖÚ Å ÔÐ ØØ Ö ØÚ Ö ØØ ÖÒ Ó 3º ÇÑ ÖÐ Ø Ö Ð Ñ ¼ Ú Ö Ñ Ò Ñ ÐÐ ÖØ ÒØ Ò ØØ ÓÐÚ Ü ¾¹ Ü Üµ,3 Á ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ò ÙØÓÑ Ö ÒÒ ÐÐ Ö Ò Ú Ö Ð Ø Ö ÐÐ Ø xµ Ú Ö Ñ Ò ÒØ Ò Ò ÐÐ Ö Ú Ð Ø Ñ Ò Ö ÑÓØ Ñ Ø ÒÖ Ø ÐÐ Ö Øº ܺ ÓÑÑ Ò ÓØ µ ÓÐÚ Ü ¾¹ Ü µ,3 Á Ð Ò Ú ÐÐ Ñ Ò Ò ØØ Ú Ö Ø Ö Ú Ð Ø ØÝ Ð Ö Ú Ö Ø ÓÑ Ö,3 ÒØÐ Ò Ò Ñ Ò ØØ x ÒÓÑ ÑÒ Ð ÑÑ Ö ÓÐÚ Ü ¾¹ Ü ¼ ßÜе {x = }, {x = 3} À Ö Ñ Ò Ö Ú Ö Ð Ö Ñ Ø Ñ Ò Ò Ú Ð Ò Ú Ö Ð Ñ Ò Ú ÐÐ Ð Ùغ Ë ØØ Ú Ú ÐÐ Ð ÙØ x ÙÖ yx + x y = 5 ÓÐÚ Ý Ü Ü»Ý Üµ 5 y y + ÒÑÖ Ò Ò Ø Ò Ö ØØ Å ÔÐ ÒØ Ð Ö Ö ØØ Ð ØØ Ú Ø Ú Ø ÓÒ ¹ Ý Ø Ñº Ö Ñ Ò Ø ÐÐ Ö Òº

¾½ ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ú Ø ÓÒ Ö ÇÑ Ú Ö Ö Ð Ú Ø ÓÒ Ò sinx = Ñ ÐÔ Ú ÓÐÚ Ñ Å ÔÐ Ø Ò Ö Ò ØÐÐÒ Ò Ö Ö Ø ÒØ Ö ÓÐÚ Ò Üµ ßÜе {x = } Ñ Ò Ú Ú Ø ØØ sin x = ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ x Ö ØØ ÐØ Ð Ò Ö πº Å ÔÐ Ö ÐÐØ Ö Ò Ð Ò Ò º Î Ò ÓÖÖ Ö ØØ ÒÓÑ ØØ Ö ØØ ÓÐÚ ÐÐ ÐÐ Ð Ò Ò Ö ÒÚ ÐÐËÓÐÙØ ÓÒ ØÖÙ ÓÐÚ Ò Üµ ßÜе {x = π Z } ÀÖ ØÖ Z Ö Ò Ó ØÝ Ð Ò ÓÒ Ø ÒØ Ñ ÐØ Ð ÚÖ Ö Z Ö ÑÒ ¹ Ò Ú ÐØ Ðº ÇÐ Ø Ö À Ö Ñ Ò Ò ÓÐ Ø ÙÒ Ö Ö ÓÐÚ ÔÖ Ð ÒØ Ö Ø ÓÐÚ Ü ¾¹ Ü ¼µ Ê ÐÊ Ò ÇÔ Ò ½µ ÇÔ Ò µµ ËÚ Ö Ø Ò Ö ÓÒ Ø Ø ÙØ Ñ Ò Ø ØÝ Ö ÐØ Ò ÐØ Ö ÐÐØ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÖÒ ½ Ø ÐÐ Ó ÓÑ Ö ÔÔ Ø Ò Ö º Å Ò Ù ÐÐÖ Ú Ð Ø Ú Ö Ø ÓÑ < x < 3 ÐÐ Ö ÓÑ ]..3[º Ä Ø ØØÖ Ð Ö Ø Ñ ÑÒ Ð ÑÖ Ö Ö Ò Ü Ø ÓÐÚ Ü ¾¹ Ü ¼ ßÜе {x < 3, < x} Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ À Ö Ñ Ò ØÚ ÐÐ Ö Öµ Ú Ø ÓÒ Ö Ð Ö Ö ÓÐÚ Ø Ó º Ú Ø ÓÒ ÖÒ { 3x + y = 6 x y = Ð Ö ÒÓØ Ö ØØ Ú Ø ÓÒ ÖÒ Ñ Ø Ö Ú ÒÓÑ ÑÒ Ð ÑÖ Öµ ÓÐÚ ß Ü ¾ Ý ½ ¾ Ü¹Ý ¹½Ðµ {y = 5,x = } È ÑÓØ Ú Ö Ò ØØ ÓÑ Ö Ú Ø ÓÒ Ö Ò Ñ Ò Ý Ø Ñ Ú ÓÐ Ø Öº

¾¾ ½¼ ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ø Ý Ö Ð Ò ÙÔÔ ÚÖÐ ÙØØÖÝ ÒÖ Ñ Ò ÒÚÒ Ö ÓÑÑ Ò ÓØ ÓÐÚ Ö ØØ ØØ Ø Ø ÓÒÖ ÔÙÒ Ø Öº ËÓÐÚ Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ø Ñ Ð ¹ Ò Ò ÖÒ Ú ÔÙÒ Ø Ö (x,y) ÓÑ Ø Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Øº Å Ò Ð Ò Ö Ñ Ò ØÐÐ Ø Ò Ð Ø Ö ÚÖ Ò ÒÓÑ ØØ Ö Ú ÓÑ Ð Ò Ò Ø ÐÐ Ò Ú Ú Ø ÓÒ ¹ ÒÒ Ò Ò Ú Ø ÓÒ Ò Ú Ö Ð ÓÑ ÐÐ Zº Å ÓÑÑ Ò ÓØ ÐÐÚ ÐÙ Ö Ñ Ò Ö ØØ ÖÒ ÓÑ Ð Ö ÙØØÖÝ Ó Ú Ð Ö Ò ÒÖÑ ÚÖ Òº Ë Ð Ò Ü ÑÔ Ð Ö ÐÐ Ø Ø ÓÒÖ ÔÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x,y) = x 3 y xy + y ØÑ º Ü Ýµ¹ Ü Ý¹¾ Ü Ý Ý ¾ f := (x,y) > x 3 y xy + y ÓÐÚ ß Ü Ýµ ܵ Ü Ýµ ݵРßÜ Ýе {x =,y = }, {y =,x = ÊÓÓØÇ ( Z,label = L)}, {x = ÊÓÓØÇ (3 Z,label = L), y = /3ÊÓÓØÇ (3 Z,label = L)} Ø ØØ Ò Ð Ð ÓÑ Ý Ö ÙÔÔ Ú Ö Ñ Ò ÒØ ÖÝ ÓÑ Ó Ò Ò ÙØ ÐÙØ ÖÒ Ò Ø ÓÑÑ Ò Óº ÐÐÚ ÐÙ ßÜ ÊÓÓØÇ ¾¹¾ РРĽ Ý ¼µÐµ {x =,y = }, {x =,y = } Ú Ð ±µ {x =.44356,y = }, {y =,x =.44356} ÐÐÚ ÐÙ ßÜ ÊÓÓØÇ ¾ ¹ ¾ РРľµ Ý ÊÓÓØÇ ¾ ¹ ¾ РРľµÐµ {x = 3 6,y = 9 6}, {x = 3 6,y = 6} 9 Ú Ð ±µ {x =.86496589, y =.54433539}, {x =.86496589, y =.54433539}

¾ Ê ÙÐØ Ø Ø Ð Ö ØØ Ø ÒÒ Ñ Ø Ø ÓÒÖ ÔÙÒ Ø Öº Å Ò Ö ÓÐÐ Ø ¹ Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ ÖÒ Ø Ø ÐÐ Ø ÒÓÑ ØØ ØØ Ò Ü Ø ÚÖ Ò ÙÖ ÔÖÙÒ Ð Ú Ø ÓÒ ÖÒ º ØØ Ö ØØ Ú Ö Ö Ô ØØ Ò Ð Ø Ð Ò Ò Ö ÓÑÑ Ø Ñ ÐÐ Ö ØØ Ò Ð Ò Ò Ö ÐÐ Ø ÓÖغ ÆÙÑ Ö Ú Ø ÓÒ Ð Ò Ò Ø Ú Ø ÓÒ Ö Ö ÒØ ØØ Ð Ü Ø Ó Ú Ö Ö Å ÔÐ ÒØ Ò Ò Ò ÒØ Ò ÐÐ ÐÐ Ö Ñ Ò ÐØ Ñ Ò Ò Ð ÓÑ Ö ÚÒ Ò Ú ÙÖ ÔÖÙÒ Ú ¹ Ø ÓÒ Ò ÓÐÚ Ò Üµ ÐÓ Üµµ ÊÓÓØÇ ( Z e 3 sin( Z) ) Á ØÐÐ Ø Ò Ñ Ò Ö Ð Ú Ø ÓÒ Ò ÒÙÑ Ö Ø Ñ ÓÐÚ ÓÐÚ Ò Üµ ÐÓ Üµµ.7947796 Ç Ø Ø Ò Ö ÓÐÚ Ñ ØØ Ö Ú ÙØ Ò Ö Ø Ð Ò Ò Ò Ò ØØ Öº ÀÖ Ò Ñ Ò ÚÐ Ñ ØÒ ØØ Ø ÓÖ ÒÒ Ò ÓÒ Ð Ò Ò Ö Ð Ø Ø ÖÖ Ü¹ÚÖ Ò Ó º Ò Ñ Ò ÐØ ÓÐÚ Ð Ø Ø Ü ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø 3 < x < ÓÐÚ Ò Üµ ÐÓ Üµ Ü ºº½¼µ 6.988468 Ì ØØ Ò Ø ÐÐ Ð Ò Ò Å Ò Ø Ò ÒÒ ÒÒÙ Öº ØØ ÖØ Ú Ö ÓÑ Ñ Ò Ö ØØ Ø ÐÐ Ð Ò Ò Ö Ö Ø Ò Ö ÐÐ ÐÐ Ø ØØ ÑÝ Ø ÚÖØ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÑÒÒ ÓÖ Ó Ö ØÓÖÔÖÓ Ö Ñº Á ÔÖ Ø Ò Ò Ñ Ò Ó Ò Ò ÐØ ØØ Ø Ö ÐÐ µ Ð Ò Ò ÖÒ Ø ÐÐ Ø ÒÚ Ö Ð Ú Ø ÓÒ Ö ÒÓÑ ØØ Ö Ø Ö Ö Ú Ö Ú Ò ØØ Ø ÓÑ Ö Ö ØÒ Ò º Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ö Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ö Ó Ý Ø Ñ Ú Ò Ð Ñ ÓÐÚ º Ò Ò Ð Ú Ö Ø ÓÖ Ò Ò Ò y + y = 5 ÙØ Ò ÝÒÒ Ð ÚÖ Ò ÓÐÚ Ýµ ܵ ¾ Ý Üµ µ y(x) = 5/ + e x C Á ØÐÐ Ø Ö Ýµ ܵ Ò Ñ Ò Ö Ú Ý Üµ ܵ Ö ØØ ÙØØÖÝ y º Ò Ó ØÑ ÓÒ Ø ÒØ Ò ÓÑ ÖÙ Ö Ø C Ó ÑÒ Ö Ñ Ö e x Ø Ö Ö ½ Ó Ö ÙØÓÑ ÑÒ Ø Øº Å Ò Ò Ú ØÚ Ð Ò ÝÒÒ Ð ÚÖ Ò y() = 3º ÌÝÚÖÖ Ð Ö ÝÒØ Ü Ò Ð Ø ÖÒ Ð Ö Ñ Ò Ñ Ø Ò Ú Ð Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ò Ú ÐÐ Ð ÙØ y(x) Ø Ö ÐРص Ú Ò ÓÑ Ñ Ò Ö Ö Ò

¾ ½¼ ÃÎ ÌÁÇÆ Ê ÓÐÚ ß Ýµ ܵ ¾ Ý Üµ Ý ½µ Ð Ý Üµµ y(x) = 5 + e x e ÆÖ Ñ Ò Ð Ö Ô ÖØ ÐÐ Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ö Ö Ò Ò Ñ Ò Ó Ø ÒÝØØ Ú ØØ ÝØ Ú Ö Ð Ö Ö ØØ Ò Ò Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ú Ö Ð Ò Ò Ñ Ò Ò ØØ ÐØØ Ö º Å ÔÖÓ Ö ÑÔ Ø Ø È ØÓÓÐ Ò Å ÔÐ ÙØÒÝØØ Ö ¹ ÐÒ Ö ØØ ÒÓÑ Ö Ú Ö Ð ÝØ ØØ Ö ÒØ ÐÙØØÖÝ º Ö Ø Ò Ö Ö Ñ Ò Ö ÒØ ÐÙØØÖÝ Ø Ä Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ØÖº Ö Ø Ö Ò ÓÑÑ Ò¹ ÓØ Ò ÙØÒÝØØ Ö ØØ ÒÓÑ Ö Ú Ö Ð ÝØ Øº Û Ø È ØÓÓÐ µ È ¹ Ü Ýµ ܵ¹ Ü Ýµ ݵ ¼ ( ) ( ) PDE := x f(x,y) 3 y f(x,y) = ØÖ ßÜ Ù Ý Ù Ú» Ð tr := {y = au + v,x = u} b Ò ØÖ È Ô Ö Ñ µ f u (u,v) ab f v (u,v) 3b f (u,v) =. v ÇÑ Ú ÚÐ Ö a = 3 Ø Ö ØÚ Ø Ø ÖÑ ÖÒ ÚÒ Ø ÖÐ Ø ÙØ Ú Ö Ò Ö º Ç ÖÚ Ö ØØ Ñ Ò Ñ Ø Ò ØØ a Ó b Ú Ö Ð ÝØ Ø ØÖ ÐÐ ¹ ØÖ Ø ÓÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ö ØØ u Ó v Ö ÒÝ Ú Ö Ð ÖÒ º Ø Ö Ñ ÓÔØ ÓÒ Ò Ô Ö Ñ º ØØ ÝØØ ÖÐ Ö Ü ÑÔ Ð Ú Ð Ø Ú Ö Ð ÝØ Ø ÒØ ÒÒ ÐÐ Ö Ò Ö Ô ¹ Ö Ñ ØÖ Ö Û Ø È ØÓÓÐ µ È ¾ Ü Ýµ Ü Üµ Ü Ýµ Ý Ýµ ¼ ( ) ( ) PDE := x f(x,y) + y f(x,y) = ØÖ¾ ßÜ Ö Ó Úµ Ý Ö Ò ÚµÐ

¾ tr := {x = rcos(v),y = rsin(v)} Ò ØÖ¾ È ¾ ÑÔРݵ ( ( ) ( ) r f(r,v)) r + v f(r,v) + r f(r,v) r r = ÎÐ Ö Ò ÑÔÐ Ý Ö ØØ Å ÔÐ Ö Ö Ö Ò Ð Ö ÙÐØ Ø Ø ÒÒ Ò Ø Ö Ú Ùغ ÈÖ Ú ÖÒ Ú ÓÑ Ò Ö ÙØ Ò ÒÒ ÚÐ Ö º ½½ Ì ÝÐÓÖÔÓÐÝÒÓÑ Ì ÝÐÓÖ¹ Ó Å Ð ÙÖ Ò¹µ ÙØÚ Ð Ò Ö Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ò Ú Ö Ð Ö Å ÔÐ Ñ ÓÑÑ Ò ÓØ Ø ÝÐÓÖº Ö ØØ Øº ܺ Ö ÙØÚ Ð e x Ö Ò ÓÖ Ó Ñ Ò Ö ØØ ÖÑ Ú ÓÖ Ò Ò Ò Ö Ú Ö Ñ Ò Ø ÝÐÓÖ ÜÔ Üµ Ü µ + x + x + 6 x3 + 4 x4 + O ( x 5) Ò Ö Ñ Ò Ò Ò ØÓÖÐ Ô Ö ØØ ÖÑ Ò Ð Ö Ò º Ë ÙÒ Ø ÓÒ ÙØØÖÝ Ø ÙØÚ Ð Ö Ò Ò ÒÒ Ò ÔÙÒ Ø Ò ÓÖ Ó Ò Ö Ñ Ò Ø Ø Ò Ö Ö Ù¹ Ñ ÒØ Ø Ü ÑÔÐ Ø ÓÑ Ð Öº ÀÖ ÙØÚ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x) = ln xarctan(x ) (x ) Ö Ò ÔÙÒ Ø Ò x = Ñ Ö ØØ ÖÑ Ú ÓÖ Ò Ò Ò Ü¹ ÐÒ Üµ ÖØ Ò ¾ ܹ¾µ¹¾ ܹ½µ ¾ Ø ÝÐÓÖ Üµ Ü ½µ (x ) 3 (x ) 4 + 5 6 (x )5 + O ((x ) 6) Ê ØØ ÖÑ Ò ÓÑ ØÖ Ô ÐÙØ Ø Ö ØØ Ñ Ò ÒØ Ö Ø Ò ÒÚÒ Ö ÙÐØ Ø Ø Ö ØØ ÙØ Ö Ò ÓÒ Ö Ò Ò º Ç Ø Ö Ø ØÐÐ Ø ÐÚ Ì ÝÐÓÖÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ñ Ò Ö ÙØ Ø Öº Ø Ò Ñ Ò Ö Ø Ñ ÓÑÑ Ò ÓØ ÑØ ÝÐÓÖº Ì ÝÐÓÖÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ú ÓÖ Ò Ò Ö e x ÔÙÒ Ø Ò x = ÑØ ÝÐÓÖ ÜÔ Üµ Ü µ + x + x + 6 x3 + 4 x4 Ó Ì ÝÐÓÖÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ú ÓÖ Ò Ò Ö e x ÔÙÒ Ø Ò x = ÑØ ÝÐÓÖ ÜÔ Üµ Ü ½ µ

¾ ½¾ Ê ÊÁÌÆÁÆ e + e(x ) + e(x ) + e(x )3 6 Ç ÖÚ Ö ØØ Ò Ø Ú Ö ÐÒ ÓÑÑ Ò ÓØ Ò Ö Ò Ò Ø Ñ Ö Ò Ö Ø Ð Ø Ô ÔÓÐÝÒÓÑ Øº Ò ØÖ Ö ØÓÖÐ ÓÖ Ò Ò Ò Ô Ö ØØ ÖÑ Òº Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ö Ú Ö Ð Ö ÒÚÒ Ö Ñ Ò Ó ÓÑÑ Ò ÓØ ÑØ Ý¹ ÐÓÖ Ö ØØ Ì ÝÐÓÖÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ö Ò Ò Ú ÔÙÒ Ø º ÑØ ÝÐÓÖ ÜÔ ¾ Ü Ý Ýµ Ü ½ Ý ¼ µ e + e (x ) + e (x ) + e y. ½¾ ½¾º½ Ö Ö ØÒ Ò ÌÚ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ö Ö Ø Ú Ø Ø ÓÑÑ Ò ÓØ ÒÖ Ø ÐÐ Ö Ö Ö ØÒ Ò Ø Ö ÔÐÓغ ØØ Ö Ø Ö ÙÔÔ Ò Ö ÒÓÖÑ ÐØ ÑÑ Ò Ø Ö ÓÑ Ñ Ò Ö Ú Ö ÒÒ Ö ØØ Øº Å Ò Ò ÚÐ Ú Ð Ø ÒÓÑ ØØ Ð ÈÖ Ö Ò ÙÒ Ö Ð ¹Ñ ÒÝÒº Á Ò ØÖ Ø ÓÑ ÓÑÑ Ö ÙÔÔ Ð Ö Ñ Ò Ò Ô Ò ÈÐÓØØ Ò Ó ÚÐ Ö ÁÒÐ Ò ÐÐ Ö Ï Ò ÓÛº ØØ Ò ÐØ Ü ÑÔ Ð Ô Ö Ö ØÒ Ò Ò Ð Ú ÙÖÚ Ò y = sinx Ö Ø Ñ ÔÐÓØ Ò Üµ ܵ.5 8 6 4 4 x 6 8.5 Å Ò Ñ Ø Ò Ú Ð Ò Ú Ö Ð ÓÑ Ú Ö Ö Ö Üµº Î ÐÐ Ñ Ò ØØ ÒÒ Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ Ò ¹½¼ºº½¼ Ò Ö Ñ Ò Ö Ø ÔÐÓØ Ò Üµ Ü ¼ºº¾ È µ

½¾º½ ÌÚ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ö Ö ¾.5 3 4 5 6 x.5 Î ÐÐ Ñ Ò ÑÑ Ð Ô ÜÐ ÖÒ Ò Ñ Ò Ø ÓÑÑ ØØ Ñ ÓÔØ ÓÒ Ò Ð Ò ÓÒ ØÖ Ò ÔÐÓØ Ò Üµ Ü ¼ºº¾ È Ð Ò ÓÒ ØÖ Ò µ.5.5 3 4 5 6 x Å ÔÐ ÚÐ Ö ÐÚ ØØ ÐÑÔÐ Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö Ý¹ Ü ÐÒº Á Ð Ò Ú ÐÐ Ñ Ò Ó ØØ ÒÒ Ø Ó Ö Ø Ö ØØ ÐÚ Ô Ö Ú Ò ØØ ÔÐÓØ Ò Üµ Ü ½ºº¾º½ Ý ¼º ºº½º¼½µ.98.96 y.94.9.9..4.6.8 x Î ÐÐ Ñ Ò Ö Ö Ö ÑÑ ÙÖ Ö Ú Ö Ñ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙØØÖÝ Ò ÒÓÑ Ô Ö ÒØ Ö ÔÐÓØ Ò Üµ Ó Üµ Ü ¼ºº¾ È µ

¾ ½¾ Ê ÊÁÌÆÁÆ.5 3 4 5 6 x.5 ÇÑ Ö Ò ÒØ Ö ÑÑ Ò Ò Ò Ö Ø Ö Ó Ø Ø Å ÔÐ Ø Ò Ð Ò ÐÐ ÐÐ ÔÐÓØ ½» ½¹Üµ Ü ¹ ºº Ý ¹ ºº µ 4 3 y 3 x 3 4 5 3 4 Ø Ö ÐÐØ ÒØ ÝÑÔØÓØ Ò ÓÑ Ö Ñ Ö Ö Ø ÙÖ Ò ÓÚ Òº Ò ÜØÖ Ð Ò Ò Ò Ñ Ò Ð ÔÔ ÓÑ Ñ Ò Ø Ð Ö ÓÑ ØØ Å ÔÐ Ð Ø Ø Ö ÓÒØ ÒÙ¹ Ø Ø Ö ÔÐÓØ ½» ½¹Üµ Ü ¹ ºº Ý ¹ ºº ÓÒØ ØÖÙ µ 4 3 y 3 x 3 4 5 3 4 Ë Ñ Ò Ö Ú ÙØ Ö Ò Ô Ô ÔÔ Ö Ú ÖØ ØÖÝ Ð Ö Ø Ó Ø Ø ÒÝ Ö ÓÑ Ñ Ò Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÖØ ÖÒ Ö Ò ÔÐÓØ Ò Üµ Ü ¼ºº¾ È ÓÐÓÖ Ð µ

½¾º½ ÌÚ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ö Ö ¾.5 3 4 5 6 x.5 ÇÑ Ñ Ò Ú ÐÐ Ò Ø Ó Ö ÙÖÚ Ò Ø Ö Ð Ö Ñ Ø Ò ÔÐÓØ Ò Üµ Ü ¼ºº¾ È ÓÐÓÙÖ Ð Ø Ò µ.5 3 4 5 6 x.5 ÂÙ Ø ÖÖ ÒÙÑ Ö Ø ÚÖ Ô Ø Ò ØÓ Ö ÚÖ Ö º Ç ÖÚ Ö Ó ØØ Ø ÚÒ Ò ÖÒ ÓÐÓÖ»ÓÐÓÙÖ ÙÒ Ö Öº ÆÖ Å ÔÐ Ö Ø Ö Ò Ø ÐÐ Ò ÙÖÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÚÖ ØØ ÒØ Ð ÔÙÒ Ø Ö ÐÑÔÐ Ø Ú Ð Ú Ö Ø Ö ÖØ Ð Ò Ñ ÒØ Ö Ñ ÐÐ Ò Ö Ò ÔÙÒ Ø ÖÒ º Á ØÐÐ Ø Ö ØØ Ö Ø Ð Ò Ö Ò Ñ Ò ÐØ Å ÔÐ Ñ Ö Ö Ö Ö Ò ÔÙÒ Ø ÖÒ ÔÐÓØ Ò Üµ Ü ¼ºº¾ È ÓÐÓÖ Ð ØÝÐ ÔÓ Òص.5 3 4 5 6 x.5

¼ ½¾ Ê ÊÁÌÆÁÆ ØØ Ö ÒÒ Ö Ñ Ø ÐÑÔÐ Ø ØØ ÒÚÒ ÓÑ Ñ Ò ØÐÐ Ø Ö Ò ÓÒØ ÒÙ¹ ÖÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö Ø Ø ÔÙÒ Ø Öº ÀÖ ÓÑÑ Ö Ö Ö Ð Ø ÙØ ÒØ ÑØ Ø ½ ½ ¾ ÑØ Ö ØÐÐÒ Ò ¾º º º¾ º ¾º Ò Ö Ø ÙÔÔ Ñ Ð Ò ÓÑÑ Ò Ó ÔÐÓØ ½ ¾º ¾ º º¾ º ¾º ½¼ºº ¼ ÑØ Ö ØÐÐÒ Ò ¼ºº ¼ ØÝÐ ÔÓ ÒØ ÝÑ ÓÐ ÖÐ ÓÐÓÖ Ð µ 87 865 86 m tarst llning 855 85 845 84 3 4 5 6 7 8 dag ÆÓØ Ö ØØ ÔÙÒ ÖÒ Ö Ñ Ö Ö Ñ Ñ Ö Ð Ö ÒÓÑ ØØ ÝÑ ÓÐ ÖÐ Ò ÑØ ØØ Ó ØÚ ÖÒ ÒØ ÐÐØ ÙÒ Ö Öº À Ö Ñ Ò Ö ÙÖÚÓÖ Ó Ö Ø Ö ÐÐ Ú ÖØ Ò Ø Ú Ö ÚÖØ ØØ ÐÐ Ö Ñº Ò Ñ Ò ÚÐ ØØ Ö Ø Ò ÓÒ Ú Ñ ÔÖ ÐÐ Ö ØÖ ÒÓÑ ØØ ÒÚÒ ÚÐ Ö Ò Ð Ò ØÝÐ º ÎÖ Ø ½ Ö Ð Ö Ò ¾ Ö ÔÖ Ö ØÖ Ó Ö ÔÖ ¹ ØÖ º Å Ò Ò ÙØÓÑ Ö Ú Ò Ö Ð Ö Ò Ø ÜØ ÙÖ Ò Ø ÐÐ Ú Ö ÙÖÚ Ñ ÚÐ Ö Ò Ð Ò º Ü ÑÔ Ð ÔÐÓØ Ò Üµ Ó Üµ Ü ¼ºº¾ È ÓÐÓÖ Ð Ð Ò ØÝÐ ½ ¾ Ð Ò Ò Üµ ³ Ó Üµ µ.5.5 3 4 5 6 x Legend f=sin(x) f =cos(x) ½ Æ Ö ÚÐ Ò Ò Ö Ú Öй Ù Ø Ú Ï ÖÒ Ö Ú ØØ ÒÑØ Ö Ö Ö Ò Ú Ö ½ º

½¾º½ ÌÚ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ö Ö ½ ÖÙØÓÑ ÓÚ Ò ÒÚÒ ÓÒØ ÓÐÓÖ ØÝÐ ÝÑ ÓÐ Ð Ò ØÝÐ Ó Ð ¹ Ò ÒÒ ÑÒ Ö ÐÐ ÚÐ Ö Ò ÓÔØ ÓÒ µ ¾ Ø ÐÐ ÔÐÓع ÓÑÑ Ò Óغ Å Ö ÓÑ ØØ Ò Ñ Ò ØØ Ò Ò Ý ÐÔ Ò Ú Ö Ú Ò ØØ ½ º ÙØÓÑ Ò Ñ Ò ÚÐ Ð Ò ÑÒ ÓÐ Ò ØÐÐÒ Ò Ö ÒÓÑ ØØ Ð ÙÖ Ò Ñ Ö ÑÙ Ò ÔÔº Ò ÔÐ Ò ÙÖÚ Ô Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÖÑ (x,y) = (f(t),g(t)) a t b Ò Ö Ø Ñ ÓÑÑ Ò ÓØ ÔÐÓØ Øµ ص Ø ºº µ Ü ÑÔ Ð Ò Ø Ö ÐÒ ØÖ Ú ÔÙÒ Ø ÖÒ Ñ ÓÓÖ Ò Ø Ö (x,y) ÓÑ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö x = cos t y = sin t Ö Ò ÓØ t [,π)º Î Ò ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ø Ñ Å ÔÐ ÔÐÓØ Ó Øµ Ò Øµ Ø ¼ºº¾ È Ð Ò ÓÒ ØÖ Ò µ ÁÑÔÐ ØÔÐÓØ Å ÔÐ Ö ÑÒ Ö Ö ÖÙØ Ò Öº Ò Ð Ú Ñ ÒÒ Ô Ø Ø ÔÐÓØ º Ö ØØ Ø ÐÐ Ò Ø ÐÐ Ñ Ø Ñ Ò ÐÐØ ÓÑÑ Ò ÓØ Û Ø ÔÐÓØ µ º Å ÔÐ Ú Ö Ö Ñ Ò Ð Ø Ô ÓÑÑ Ò ÓÒ ÓÑ ÒÙ Ö Ø ÐÐ Ò Ð º ÇÑ Ñ Ò ØÐÐ Ø Ö Ú Ö Û Ø ÔÐÓØ µ Ñ ÓÐÓÒµ Ö Ú ÒØ ÒÒ Ð Ø Ùغ ÇÚ Ò Ö Ø Ú ÜÔÐ Ø ÚÒ ÙÖÚÓÖ Ø Ü y = x Ö y Ö Ú Ò ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ú xº ÆÙ Ñ ÔÐÓØ µ Ò Ú Ó Ö Ø ÑÔÐ Ø ÚÒ ÙÖÚÓÖ Ø Ü x 4 + y 9 = Ñ ÓÑÑ Ò ÓØ ÑÔÐ ØÔÐÓØ ÑÔÐ ØÔÐÓØ Ü ¾» Ý ¾» ½ Ü ¹ ºº Ý ¹ ºº µ Ò Ö ÙÐØ Ö Ò ÙÖÚ Ò Ö ÙØ ÓÑ Ò Ö Ð ÓÑ Ú ÒØ Ø ØØ Ö Ô ÜÐ ÖÒ ÐÓÖµ ØÒ x 4 + y 9 = ÒØ Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ö Ò Ö Ðº Î Ö ØØÖ Ö ÙÐØ Ø Ñ ÐÔ Ú Ð Ò ÑÔÐ ØÔÐÓØ Ü ¾» Ý ¾» ½ Ü ¹ ºº Ý ¹ ºº Ð Ò ÓÒ ØÖ Ò µ ÒÑÖ Ò Ò Ì ÐÐ ÐÐÒ ÑÓØ ÔÐÓØ Ö ÑÔÐ ØÔÐÓØ Ò ÚÖÐ Ø Ö Å Ô¹ Ð º Ö Ú Ö ÚÖ Ô x Ö ÔÙÒ Ø Ò (x, f(x)) Ò ÔÙÒ Ø Ô ÙÖÚ Ò y = f(x) Ú Ó Å ÔÐ µ Ò Ò Ö Ð Ú ÙÖÚ Ò ÒÓÑ ØØ Ö Ò f(x) Ö Ø ÐÐÖ Ð Ø ÑÒ x Ó Ò Ö Ò º Ö ØØ Ö Ø Ò ÑÔÐ Ø Ú Ò ÙÖÚ F(x, y) = Ö F Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú ØÚ Ú Ö Ð Ö Ñ Ø Ú ÔÖ Ò Ô ÒÓÑ ÐÐ ÔÙÒ Ø Ö (x, y) ÔÐ Ò Ø Ó ÙÒ Ö ÓÑ F Ö ÒÓÐÐ Öº Î ÓÑÑ Ò ÓØ ÑÔÐ ØÔÐÓØ Ü ¹Ý ¾ ¼ Ü ¹ ºº Ý ¹ ºº Ð Ò ÓÒ ØÖ Ò µ ¾ ÃÓÒ Ø Ú Ö ØØÒ Ò Ú ÓÔØ ÓÒ Ø Ö ÐÐ ÐÐ Ò ÓÑ ËÚ Ò Ø Ø ÖÑ ÖÙÔÔ Ò Ö ÓÑ Ò Ö Ö ØØÔ»»ÛÛÛºÒ º Ø º» Ø Ø ÖÑ»Ö º ØѺ

¾ ½¾ Ê ÊÁÌÆÁÆ 3 y.5.5.5.5 x 3 Ö Ö Å ÔÐ Ñ ØØ Ö Ò ÚÖ Ø Ú F(x, y) = x 4 y 6 6 ÔÙÒ Ø Ö Ú Ö Ø Ò [ 3, 3] [ 3, 3]º Ë Ò Ö Å ÔÐ Ò Ð Ú Ú Ö F Ö ÒÓÐÐ ÒÓÑ ØØ Ö Ò ÚÖ Ø Ú F Ö ÔÙÒ Ø Ö ÒÖ Ð Ò Ö Ø ÓÑ Ú ÚÖ Ò ÒÖ ÒÓÐк Á Ø Ö ÐÐ Ø ÐÐ Ö ÙÐØ Ø Ø Ð ÙÒ ÓÒ Ò Ú ØÚ Ô Ö Ð ÖÒ y = x Ó y = x Ø Ö ÓÑ x 4 y = Ò Ö Ú ÓÑ ÓÑ (x y)(x + y) = º 3 y 3 3 x 3 Ê ÙÐØ Ø Ø ÖÒ ÑÔÐ ØÔÐÓØ ØÑÑ Ö ÐÐØ ÐÐ Ö Ò ÓÖ Óº Å ÐÔ Ú ÓÔ¹ Ø ÓÒ Ò Ö Ò Ñ Ò Ò Ö ÒØ Ð Ø ÔÙÒ Ø Ö ÓÑ Å ÔÐ Ø ÖØ Ö Ñ º Ì Ü Ö

½¾º½ ÌÚ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ö Ö ÑÔÐ ØÔÐÓØ Ü ¹Ý ¾ ¼ Ü ¹ ºº Ý ¹ ºº Ö ½¼¼ ½¼¼ Ð Ò ÓÒ ØÖ Ò µ 3 y.5.5.5.5 x 3 ØØ Å ÔÐ Ø ÖØ Ö Ñ ÔÙÒ Ø Öº ÇÑ Ú Ö ÒØ Ð Ø ÔÙÒ Ø Ö Ö Ú ØØÖ Ö ÙÐØ Ø Ñ Ò Ü Ú Ö Ò Ò Ø Ö ÐÒ Ö Ø º ÔÐ Ý Á Ð Ò Ö Ø ÔÖ Ø Ø ØØ Ö Ø Ò Ö Ó Ð Ö Ð Ò Ö ØØ Ø ØØ Ô Ò Ò Ö º ÇÑ Ñ Ò Ø Ü Ú ÐÐ ØÙ Ö ÙÖÚÓÖÒ x 4 + y 9 = Ó (x,y) = (3cos t,sin t) t < π Ú Ò ÙÖÚ Ô ÑÔÐ Ø ÓÖÑ Ó Ò Ô Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÖÑ Ò Ñ Ò Ö Ö ÄØ ØÝ Ð Ò Ú Ò Ö Ø ÙÖÚ Ò Ó Ð Ò Ú Ò Ò Ö Ó Ö Ú ÑÔÐ ØÔÐÓØ Ü ¾» Ý ¾» ½ Ü ¹ ºº Ý ¹ ºº ÓÐÓÖ Ö Ø Ò µ ÔÐÓØ Ó Øµ ¾ Ò Øµ Ø ¼ºº¾ È ÓÐÓÖ Ö Ò Ø Ò µ Ö ÖÒ Ð Ö Ö Ô Ø Ú º Î Ú ÐÙØ Ö ÓÑÑ Ò ÓÒ Ö Ó Ò Ö Ñ ÓÐÓÒ Ó ÒØ Ñ Ñ ÓÐÓÒº Å Ñ ÓÐÓÒ ÙÐÐ Å ÔÐ Ú Ö Ñ Ò ÑÝ Ø ØÓÖ ÑÒ ÒÙÑ Ö Ô Ö Ñ ØÖ Ö ÓÑ Ú ÒØ Ö ÒØÖ ¹ Ö Úº Î Ò Ú Ö ÖÒ ÑÑ ÓÓÖ Ò Ø Ý Ø Ñ ÒÓÑ ØØ Ö Ú ÔÐ Ý µ º

½¾ Ê ÊÁÌÆÁÆ ½¾º¾ ÌÖ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ö Ö ÃÓÑÑ Ò ÓØ ÔÐÓØ Ò ÒÚÒ Ö ÑÒ ÓÐ ØÝÔ Ö Ú Ö Ö Ñ Ò ÓÑ Ñ Ò Ú ÐÐ Ö Ø ÙÔÔ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÝØ ÖÙÑÑ Ø Ñ Ø Ñ Ò ØÐÐ Ø ÒÚÒ ÔÐÓØ º Ð Ò Ó Ö Ø Ö ÙÔÔ Ò Ð Ú Ò Ò Ð ÐÝØ z = x y ÔÐÓØ Ü ¾¹Ý ¾ Ü ¹¾ºº¾ Ý ¹¾ºº¾µ Ð Ò ÓÚ Ò Ö Ó Ö Ø Ñ Ð Ò ÓÑÑ Ò Ó Ö ØØ Ø ÒÝ Ö ÙØ Ú ÖØ»Ú ØØ ØÖÝ ÔÐÓØ Ü ¾¹Ý ¾ Ü ¹¾ºº¾ Ý ¹¾ºº¾ ØÝÐ Ò ÓÐÓÖ Ð ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ µ Ç ÖÚ Ö ØØ Ñ Ò Ò ÚÖ Ô ÙÖ Ò ÒÓÑ ØØ Ð Ó Ö Ñ ÑÙ Òº Ä ÓÑ Ö ¾ ¹ Ö Ö Ò Ñ Ò Ð Ñ Ö Ò ÔÔ Ò ÙÖ Ò Ó ÚÐ Ð Ò Ò ÑÒ ÓÐ Ò ØÐÐÒ Ò Ö ÓÑ ÔÚ Ö Ö Ö Ò ÙØ Ò º Å ÔÐ ØÖ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ö Ö Ó Ò ÑÒ Ú Ö ÒØ Öº Î Ö ¹ ÒÓÑ Ò Ö Ò Òº Å Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÓÑ Ú ÒÐ Ø Ñ Å ÔÐ ÐÔ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ü ÒÓÑ ÓÑÑ Ò ÓØ ÔÐÓØ º ÙÒ Ø ÓÒ ÝØ Ò z = xe ( x y ) x y Ò Ö Ø Ñ ÔÐÓØ Ü ÜÔ ¹Ü ¾¹Ý ¾µ Ü ¹¾ºº¾ Ý ¹¾ºº¾µ Å Ò Ò ÚÒ Ó ÚÖ Ô Ð Ò ÒØ Ò Ò ÒÓÑ ØØ ÔÐ Ö ÑÙ Ñ Ö¹ Ö Ò Ö Ò ØÖ Ø ÐÐ ÚÒ Ø Ö ÑÙ Ò ÔÔ Ò Ö ÑØ ÝØØ Ô ÑÙ Ò ÐÒ ÑØ ÐÐ Ö ÒÓÑ ØØ Ð Ô Ô Ð ÖÒ Ö Ú Ú Ò Ð Ø Ò Ò ÖÒ ϑ Ó φ Ñ ÒÝÖ Òº ÈÖ Ú Ñ ÐÔ Ú Ñ ÒÝ Ö ÓÐ Ñ Ð Ø ÖÒ Ö ³ Ü ³ ³ÓÐÓÖ³ Ó ³ ØÝÐ ³º Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò Ú Ö ÒØ Ú Ö Ò Ö Ø Ò Ð ÙØ Ò ÖÒ ÖÒ y Ò ÖÓ Ô x ÐÐ Ö ÓÑÚÒصº ÈÖ Ú Ø Ü Ñ ÔÐÓØ Ü ÜÔ ¹Ü ¾¹Ý ¾µ Ü ¼ºº¾ Ý ¹ÜººÜµ ÀÙÖ Ö Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò ÙØ Ö Ò ØÖ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÙÖÚ Ô Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÖÑ (x,y,z) = (f(t),g(t),h(t)) a t b Ò Ö Ø Ñ ÓÑÑ Ò ÓØ Ô ÙÖÚ Ô ÙÖÚ Ó Øµ Ò Øµ Ø Ø ¼ºº È µ

½¾º Ð Ö Ü ÑÔ Ð Ô ØÖ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ö Ö ØÒ Ò ÌÝÚÖÖ Ö ÓÑ ÝÒ ÝÒØ Ü Ò ÒØ Ö Ø Ø Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ñ Ò Ø ØÚ Ñ Ò¹ ÓÒ ÐÐ ÐÐ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø ÑÒ Ö Ö ÙØ Ò Ö Ô Ö ÒØ Òº ÃÓÑÑ Ò ÓØ ÔÐÓØ Ö Ú Ò Ñ Ð Ø ØØ ÚÐ Ò Ö ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Ú ÒÐ Ö Ø Ò ÙÐÖ (x,y,z)º ÝÐ Ò Ö ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò ¾ ½ Ð ÖÚ Ö ¹ Ð Ò ÐÝ µ Ó Ö ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò ¾ Ð ÖÚ Ö Ð Ò ÐÝ µ Ö Ú ÓÑÑ Ö ØØ ÒÚÒ º Á Ð Ò Ü ÑÔ Ð Ö Ø Ö Å ÔÐ Ò ÓÒ Ó Ò Ö Ñ Ò Ð Ø Ñ Ð ÓÑÑ Ò Ó ÒÖ Ñ Ò ÚÐ ÒÒ Ö Ø ÐÐ Ñ Ð Ø Òµº ÔÐÓØ Ö Ô ¼ºº¾ È Ö ¼ºº ÓÓÖ ÝÐ Ò Ö Ð Ø ØÐ ÃÇƵ ÀÖ ÒÚÒ ÝÐ Ò Ö ÓÓÖ Ò Ø Öº Ò Ö Ø ÓÓÖ Ò Ø Ò Ø Ò Ö z¹ ÓÓÖ Ò Ø Ò Ó Ò ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ú ØÚ ÚÖ ÝÐ Ò Ö ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ ÔÓÐÖ ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ ϕ Ú Ò ÐÒµ Ó r Ú ØÒ Ø Ø ÐÐ ÓÖ Óµ (x,y)¹ôð Ò Øº ÔÐÓØ ½ Ô ¼ºº¾ È Ø Ø ¼ººÈ ÓÓÖ Ô Ö Ð Ø ØÐ Ë Êµ ÀÖ ÒÚÒ Ö ÓÓÖ Ò Ø Öº Ò Ö Ø ÓÓÖ Ò Ø Ò Ø Ò Ö r¹ ÓÓÖ Ò Ø Ò Ó Ò ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ú ØÚ ÚÖ ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ Ú Ò Ð ÖÒ ÓÑ ÖÙ Ö Ø Ò ϕ Ó θº Á Ø ØÖ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÐÐ Ø ÒÒ ØØ ÓÑÑ Ò Ó ÓÑ Ô Ö Ö ÑÔÐ Ø ÚÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÝØÓÖ Ó Ò Ö ÑÔÐ Ø ÚÒ ÝØÓÖº ËÓÑ Ø ØÚ Ñ Ò Ó¹ Ò ÐÐ ÐÐ Ø Ñ Ø Ñ Ò Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö ÐÐ Ú Ö Ð ÖÒ º ÑÔÐ ØÔÐÓØ Ü Ý Þ ½ ¼ Ü ¹¾ºº¾ Ý ¹¾ºº¾ Þ ¹¾ºº¾µ ØØ ÓÑÑ Ò Ó Ô Ö Ö Ö ØØ ÐØ Å ÔÐ Ö Ø Ò Ö Ö ÝØÓÖ ÓÑ ÐÐ Ô¹ Ó Ö Ó Ô Ö ÓÐÓ Öº Ë Ú Ö Å ÔÐ ÐÔ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÐ ÓÔØ ÓÒ Ö Ø ÐÐ ØØ ÓÑÑ Ò Óº ½¾º Ð Ö Ü ÑÔ Ð Ô ØÖ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ö Ö ØÒ Ò ÀÖ ÐÐ Ú Ñ Ò Ö Ü ÑÔ Ð ÐÐÙ ØÖ Ö ÙÖ Ñ Ò ØÙ Ö Ö Ö Ò Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú ØÚ Ú Ö Ð Ö Ó ÙÖ Ñ Ò Ö Ò Ö Ó Ö Ø Ö Ø Ò ÒØÔÐ Ò Òº Î ÐÐ Ó ÙÖ Ñ Ò Ò Ö Ø Ò Ú ÙÖÚÓÖº ØÒ Å ÔÐ Ö Ø Ö ÑÝ Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ø ÒØ ÐØØ ØØ Ö Ò Ð Ö Ð Ú ÙÒ Ø ÓÒ ÝØ Ò ÙØ Ò Ú Ð Ø Ú Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ø ÐÐ ÔÐÓØ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ò Ö Ø ØÝ Ð º Ö ØØ ÐÐÙ ØÖ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ö Ú Ö Ð Ö Ò Ñ Ò ÓÑ ÓÚ Ò ÒÑÒØ ÒÚÒ ÓÑÑ Ò ÓØ ÔÐÓØ º Î ØÖ Ø Ö Ö Ø Ò Ú ØØ Ú Ò ØØ Ü ÑÔÐ Ø Ü Ýµ¹ Ü ½µ ¾ Ý ¾µ ܹ½µ ¾ Ý ¾µ Ö Ò Ö f f := (x, y) ((x + ) + y )((x ) + y ) ÔÐÓØ Ü Ýµ Ü ¹¾º ºº¾º Ý ¹¾º ºº¾º Ü ÓÜ µ

½¾ Ê ÊÁÌÆÁÆ 6 4 8 6 4 y x ËÓÑ ÝÒ ÒØ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò ØÓÖ ÚÖ Ò ÖÒ Ò Ú ÚÖØ Ô Ö Ñ Ø Ö¹ ÓÑÖ Ó Ø Ö ÚÖØ ØØ Ú Ö Ò Ö Ñ Ò Øº Å ÓÔØ ÓÒ Ò Ú Û ÓÑÑ Ò ÓÖ Ò Ò Ú ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ú Ø ØØ Ö Ô ÔÐÓØ Ü Ýµ Ü ¹¾ºº¾ Ý ¹½ºº½ Ú Û ¼ºº¾ ØÝÐ Ô Ø ÓÒØÓÙÖ Ü ÓÜ µ.8.6.4..8.6.4..5 y x.5 ÀÖ Ö Ú Û ÒÚÒØ Ö ØØ ÖÒ Ð Ò Ø ÐÐ < z < Ó ÓÔØ ÓÒ Ò Ô Ø ÓÒØÓÙÖ Ö Ó Ò Ú ÙÖÚÓÖ ØÐÐ Ø Ö ÖÙØÓÖ Ô ÝØ Òº ÃÓÑÑ Ò ÓØ Ö

½¾º Ð Ö Ü ÑÔ Ð Ô ØÖ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ö Ö ØÒ Ò Ð Ø ÙÔÔ ØÚ Ð Ö Ò Ø ÓÒ Ò Ú Ö Ò ÓÑ ÓÑÑ Ö ØØ ÒÚÒ Ò Ò Ö ÑØ ÙØÖ Ø Ò Ø Ú Ö Òº Ì Ò ÒØÔÐ Ò Ø ÐÐ f Ø Ò Ð Ø ØØ Ø ØØ ÒÒ ØØ Ø Ò ÒØÔÐ Ò Ö Ó Ø Ø ØØ ÒÚÒ ØØ Ì Ý¹ ÐÓÖÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ö Øغ ÀÖ ÒÒ Ö Ú Ú Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ò ÒØÔÐ Ò Ø ÔÙÒ Ø Ò (x,y) = (,) Ø ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò º Ì ÝÐÓÖÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ú È ½ ÑØ ÝÐÓÖ Ü Ýµ Ü ¼ Ý ½ ¾µ P f = 4 + 8y. Ì Ð Ø ¾ Ö Ö Ö Ö Ø ÐÐ ØØ Ú Ú ÐÐ Ì ÝÐÓÖÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ú Ö Øغ Ø Ö ÐÐØ Ö Ò ½ Ñ Ò ÐÐ Ö Ú ÓÑÑ Ò ÓØ ÑØ ÝÐÓÖº Ì Ò ÒØÔÐ Ò Ø Ú Ø ÓÒ ÒÙ Ú z = P f(x,y) = 4 + 8y. ÈÐÓØ Ú Ö Ó Ø Ò ÒØÔÐ Ò Î Ò ÐØØ Ö Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÝØ Ò Ó Ø Ò ÒØÔÐ Ò Ò Ú ÔÙÒ Ø ÑÑ ÙÖº Î ÐÐÙ ØÖ Ö Ö Ñ ÔÙÒ Ø Ò (x,y) = (.,)º ÔÐÓØ ß Ü Ýµ È ½ Ü ÝµÐ Ü ¹½ºº¾ Ý ¹½ºº½ ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ ½¼ ¾ Ü ÓÜ µ ÎÐ Ö Ò ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö Ò ÐÑÔÐ ÝÒÚ Ò Ð Ú ÚÖ Ò Ô ϑ φ ÓÑ Ñ Ò Ò ØØ Ô Ñ ÒÝÖ Ò Ø Ö ØØ Ö Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö Ø ÒÓÑ ØØ ÚÖ Ô Ö Ò Ñ ÐÔ Ú ÑÙ Òº

½¾ Ê ÊÁÌÆÁÆ 5 5,5,5 -,5 - - -,5,5 y x Æ Ú ÙÖÚÓÖ Ó Ö ÒØ Ö ÇÑ Ñ Ò Ú ÐÐ Ö Ø ØØ ÒØ Ð Ò Ú ÙÖÚÓÖ Ò Ñ Ò ÒÚÒ ÓÒØÓÙÖÔÐÓØ ÖÒ Ô Ø Ø ÔÐÓØ Û Ø ÔÐÓØ µ ÓÒØÓÙÖÔÐÓØ Ü Ýµ Ü ¹¾ºº¾ Ý ¹½ºº½ ÓÒØÓÙÖ ¾ µ y.5 x.5

½¾º Ð Ö Ü ÑÔ Ð Ô ØÖ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ö Ö ØÒ Ò Å ÐÔ Ú ÓÑÑ Ò ÓØ Ö ÔÐÓØ Ò Ñ Ò ÐÐÙ ØÖ Ö ÙÖ ØÓÖÐ Ó Ö ØÒ Ò Ö Ö ÒØ Ò Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò f Ú Ö Ö Ö ÖÒ ÔÙÒ Ø Ø ÐÐ ÔÙÒ Øº ÒÓÑ ØØ ÓÑ Ò Ö Ñ Ò Ú ÙÖÚÓÖ Ò Ú Ó ÖÚ Ö ØØ Ö ÒØ Ò Ò ÔÙÒ Ø Ö ÒÓÖÑ Ð Ø ÐÐ Ò Ú ÙÖÚ Ò ÒÓÑ ÑÑ ÔÙÒ Ø ÔÐ Ý ßÓÒØÓÙÖÔÐÓØ Ü Ýµ Ü ¹¾ºº¾ Ý ¹½ºº½ ÓÒØÓÙÖ ¾ µ Ö ÔÐÓØ Ü Ýµ Ü ¹¾ºº¾ Ý ¹½ºº½µÐ Ð Ò ÓÒ ØÖ Ò µ y.5.5 x Å Ò Ò Ó Ö Ø Ò Ú ÙÖÚÓÖÒ Ó Ö Ò ÑÑ ÙÖº Ö ØØ ¹ Ö Ø Ñ Ø Ú ÒØ Ö Ò Ú ÙÖÚÓÖÒ Ø ØÚ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ xy¹ôð Ò Ø Ñ ÑÓØ Ú Ö Ò ØÖ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÙÖÚÓÖ ÔÐ Ò Ø z = º ØØ Ò Ö Ñ ÐÔ Ú ÓÑÑ Ò ÓØ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÑ Ò Ö Ô Ø Ø ÔÐÓØØÓÓÐ º Á Ò Ò¹ Ø Ò ÓÑÑ Ò Ó Ú Ò Ð Ö Ú ½ Ò Ú ÙÖÚÓÖ Ó Ô Ö Ö Ñ ÓÑ Ô ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ö Ñ Ø ÐÐ ÑÓØ Ú Ö Ò ÙÖÚÓÖ ÖÙÑÑ Ø Ø µ Ó Ú Ö ÐÙØÐ Ò Ö ÙÐØ Ø Ø ÓÔ Ñ Ò Ø Ö Ô Ö Ö Ò Ö f µº Û Ø ÔÐÓØØÓÓÐ µ Ô ÓÒØÓÙÖÔÐÓØ Ü Ýµ Ü ¹½º ºº½º Ý ¹¼º ºº¼º ÓÒØÓÙÖ ½ µ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ü Ýµ ¹ Ü Ý ¼ µ ÔÐ Ý ßØ Ôµ е.8.6.4..8.6.4. x y

¼ ½¾ Ê ÊÁÌÆÁÆ ÚÒ Ò Ö ØÚ¹ Ó ØÖ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ö ÚÒ Ò ÒÙÑÖ Ò Ò Ö Ø ÐÐ ÚÒ Ò Ö Ø ÐÐ Ò ÐÝ Ö Ú Ö Ð Öº ÌÚ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ö Ö Ñ ØØ Ø Ú Ö Ö Ö ÖÙØ Ò Ö Ñ ÓÑÑ Ò ÓØ Û Ø ÔÐÓØ µº ÚÒ ½º½ Ê Ø ÙÖÚÓÖÒ Ú Ö Ö Ø Ü ÔÐÓØ Ü ¾ Ü ¹ ºº µ µ Ó ÐÐ ØÖ Ò Ð ÔÐÓØ Ü ¾ Ü ¾ ܹ½µ ¾ Ü ¹ ºº µ ÇÑ Ñ Ò Ú ÐÐ ÖÒ ÓÑÖ Ø Ý¹Ð Ò Ñ Ò Ø Ü Ö Ú ÔÐÓØ Ü ¾ Ü ¾ ܹ ½µ ¾ Ü ¹ ºº Ý ¼ºº µ º ÍÒ Ö Ú Ð Ò Ö Ò Ö ÓÑ Ò Ö Ñ ÐÔ Ú Ñ ÒÝ ÖÒ ËØÝÐ Ü ÈÖÓ Ø ÓÒº Ë Ö Ú ÙÖÚ Ò ½º½ Ô Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÖÑ Ó Ö Ø Ò Ø Ü ÔÐÓØ Ý ¾ Ý Ý ¹¾ºº¾ µ µº Å Ò Ò Ó Ö Ø Ò Ö Ó Ò ÑÒ ÙÖÚÓÖÒ Ó Ò Ö Ø Ñ ÔÐÓØ Ü ¾ Ü ¾ ܹ½µ ¾ Ü ¹ ºº µ ÔÐÓØ Ý ¾ Ý Ý ¹¾ºº¾ µ ÔÐ Ý µ ÚÒ ½º¾ ½º Ê Ø ÙÖÚÓÖ Ñ ÑÔÐ ØÔÐÓغ ÎÐ ÐÑÔÐ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö x Ó yº Å Ò Ö ÑÖ Ð Ö ÓÑ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ò ÚÐ ÐÐØ Ö ØÓÖ º ÚÒº ½º ½º ÑÒ Ö Ò ÐÐÙ ØÖ Ö ÒÓÑ ØØ Ñ Ò Ö Ø Ö Ö Ò Ò Ñ ÑÔÐ ØÔÐÓØ Ø Ü ÑÔÐ ØÔÐÓØ Üµ ݵ ½ Ü ¹½ºº½ Ý ¹½ºº½µ ÀÙÖ Ò Ñ Ò Ú Ö Ô Ú Ð Ò Ú Ö Ò Ò ÓÑ ÑÒ Ò Ð Ö µ Å Ò Ò ÒÓ Ö ÒÒ Ö ÙÖÚÓÖ ÙÔÔÐ Ò Ò Òµ ÒÓÑ ØØ Ô Ö ¹ Ñ Ø ÖÒ ÒÙÑÔÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÒØ Ð Ø ÔÙÒ Ø Ö ÓÑ Ö Ò Ú Ö Ø Ò Øµ ØØ Ø ÖÖ ÚÖÖ Ò ¼ ÓÑ Ö ÙÐغ Ö Ñ Ò ØØ ÚÐ Ø ØÓÖØ ÚÖ Ø Ö Ø Ó ÑÝ Ø ÐÒ Ø ØØ Ü Ú Ö ÓÑÑ Ò Óغ ÑÔÐ ØÔÐÓØ Üµ ݵ ½ Ü ¹½ºº½ Ý ¹½ºº½ ÒÙÑÔÓ ÒØ ½¼¼¼µ ÚÒ ½º¾ Ê Ø ÙÖÚÓÖ ÑÑ Ð º

½ ÌÖ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ö ÚÒ ½º Ê Ø Ö Ò Ò Ø ÐÐ ÑÒ ÖÒ Ñ ÑÔÐ ØÔÐÓØ Ø Ü ÑÔÐ ØÔÐÓØ Ü Ý Þ ½ Ü ¼ºº½ Ý ¼ºº½ Þ ¼ºº½ Ð Ò ÓÒ ØÖ Ò µ Ä Ò ÐÑÔÐ ÜÐ Ö Ó ÔÖ Ú ÓÐ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ÙÒ Ö ³ ØÝÐ ³ Ó ³Ó¹ ÐÓÖ³º ÎÖ Ó ÚÒ Ô ÙÖ ÖÒ º ÚÒ ½º½ ½º½ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö Ò Ö Ø Ñ ÔÐÓØ Ó Ò Ú ÙÖÚÓÖ Ñ ÓÒØÓÙÖÔÐÓغ ÒÚÒ ÐÔ Ò ÓÒØÓÙÖÔÐÓص Ö ØØ Ö Ø Ò Ò ¹ Ú ÙÖÚÓÖÒ ½º½ º Ê Ø Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ Ì ØØ Ô ÐÐØ Ô ÐÝØ Ò z = x y ½º½ º Ø Ò z = y 3 3x y ÐÐ Ô Ðº Ê Ø Ö Ò Ó ÙÒ Ö Ú Ö Ò ÑÒ Øº ÚÒ ½º¾¼ ½º Ê Ø Ò ÚÝØÓÖº ÈÖ Ú Ó k = ½º º ÜØÖ ÚÒ Ò Ê Ø ÝØ Ò z = x 4 y Ó ÔÐ Ò Ø z = ÑÑ ÙÖ ÒÓÑ ØØ Ö Ú ÔÐÓØ Ü ¹Ý ¾ ¼ Ü ¹¾ºº¾ Ý ¹¾ºº¾ Ð Ò ÓÒ ØÖ Ò ÓÐÓÖ Ö ÐÙ µ Ð Ò ÓÒ ØÖ Ò µ Ë ÖÒ Ò Ò Ö ÙÖÚ Ò x 4 y = xy¹ôð Ò Øº ½ À ÐÔ Ø Ö Ø Ø Ö Ú Ö Ö ÖÙÒ ÖÒ Å ÔÐ º Ú Ö Ñ Ò Ú Ø Ñ Ö Ñ Ø Ñ Ò ÒØ Ò Ò Ð Ø ÙÔÔ Ò ÓÒ ÙØ ÖÐ Ó ÐÐ Ö Ñ ÒÙ Ð ÐÐ Ö ÒÚÒ Ú Ò Ò Ý ÐÔ Òº ÀÖ Ð Ö Ö Ö Ò Ö Ø Ô ÓÑ ÙÖ Ñ Ò Ò ÒÚÒ Ò Ò Ý ÐÔ Òº Ë ØØ Ñ Ò ÒÚÒ Ö Ú ØØ Ú Ø ÓÑÑ Ò Ó Ø Ü ÔÐÓØ Ó ØØ Ñ Ò Ú ÐÐ Ú Ø Ð Ø Ñ Ö ÓÑ ÙÖ Ø ÙÒ Ö Ö Ø Ü ÓÑ Ø Ö ØØ Ð Ò Ò Ø Ø Ð ÙÖ Òº Ö Ø Ò Ð Ø ØØ Ö Ú ÓÑ ØØ ÓÑÑ Ò Ó ÔÐÓØ ÐÐ Ö ÐÔ ÔÐÓص Ú ÖÚ ØØ ÒÝØØ Ò Ø Ö Ý Ö ÙÔÔ ÒÙØ Å ÔÐ ¹ Ò ØÖ Ø Ñ Ò Ñ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÑ ÔÐÓع ÓÑÑ Ò Óغ Ç Ø Ø Ö Ö Ò Ö Ô Ö Ñ Ø¹ Ö ÖÒ Ð Ø Ó ÐÙØ Ø Ö Ü ÑÔÐ Ò ØÖ Ú Ø Ö Ø ÒØÖ º ÀÖ ØØ Ö Ú Ó Ò Ø ÓÑ ØØ ØØ ÙØ Ò Ø Ø Ð ÙÖ Òº Ø Ø Ö Ú Ò ÐÐ Ú ÚÐ ÖÒ Ñ Ò Ò Ø Ò Ö ØÖ Ê Ñ Ò Ò Ö ÙÑ ÒØ Ö ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÔØ ÓÒ Û Ö Ô ¹ ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖÑ ÓÔØ ÓÒ Ú ÐÙ º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø ØÝÐ ÓÔØ ÓÒ ÐÐÓÛ ÓÒ ØÓ ÔÐÓØ Ø ÔÓ ÒØ ÔÓ ÒØ ÓÒÐÝ ÓÖ ØÓ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ø Ñ Ù Ò Ð Ò ÑÓ º Ë ÔÐÓØ ÓÔØ ÓÒ ÓÖ ÑÓÖ Ò¹ ÓÖÑ Ø ÓÒº ÒÓÑ ØØ Ð Ô ÔÐÓØ ÓÔØ ÓÒ ÓÑÑ Ö Ñ Ò Ú Ö Ø ÐÐ ØØ ÐÔ Ò Ø Ö Ö Ø Ð ÒÒ Ò Ö ÚÒ Ò Ú ÚÐ Ö Ò Ø ØÐ º

¾ ½ Ä Ö ØØ Ø ÐÐ Ø ÐÐ Ò ØÖ Ø Ñ Ö Ø Ð Ø Ð Ô Ñ ÒÝÒ Ï Ò¹ ÓÛ Ó ÚÐ Ø Ò Ø Ö ÓÑ Ø Ö ÍÒÒ Ñ ½µ ÐÐ Ö Ñ Ð Ò ÍÒÒ Ñ ¾µµº ÐØ ÖÒ Ø ÚØ Ò Ñ Ò ØÒ ÐÔ Ò ØÖ Ø ÓÑÑ Ö Ò ØÖ Ø Ñ Ö Ø ¹ Ð Ø Ö Ñº ÇÑ Ñ Ò ÒØ Ú Ø Ú ÓÑÑ Ò ÓØ ÓÑ Ñ Ò Ú Ö Ø Ö Ö Ø ÐØØ Ö ØØ Ð Ô Ñ ÒÝÒ À ÐÔ Ó ÚÐ ÌÓÔ Ë Ö º º º ½ Ð Á Ð Ò Ö Ô Ö ÒØ Å ÔÐ Ú Ñ Ò Ö Ö Ú Øº Ö Ñ Ò Ñ Ö ÐÐ Ö Ñ Ò Ö ÚÖ Ö ÔÐ ÐÑ Ð Ò Ò ÐÐ Ö Ò Ø ÐÐ º Æ Ö Ü ÑÔ Ð ÓÐÚ Ü ¾ Ü Üµ Ñ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÖ ÙØÓÑ Ð Ò Ö Ñ Ö Ö Ò Ñ ÐÐ Ò Ò Ó Ü Øº Å Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ØÝ Ö ØØ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ò Ø Ö ÐÐ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ø Ò Øº ÐÐØ Ö Ú Ö Ñ Ò Ö Ò ØØ ÒØ Ñ Ö Ö Ò ØÖ Ù Ô ÖØØ ÔÐ Ø Ó ØÖÝ Ö Ô Ö ØÙÖÒ» ÒØ Öº ÓÐÚ Ü ¾ ¼ ܵ ÙÒ ÜÔ Ø ÀÖ ØÝ Ö Å ÔÐ ØØ Ñ ÓÐÓÒ Ø ÓÑÑ Ö ÓÚÒØ Øº Ò ÒØ ÐØ ÐÚ Ð ¹ Ö ÓÖ Ò Ö ØØ Ø Ò Ò ÖÔ Ö ÒØ Ò ÓÒ Ø Ò Ø Ö ÐÐ Ø Ö ÑÐ Ò Ñ ÐÐ Ò ¾ Ò Ó ¹Ø Ò Øº ÒØ ØØ Ü Ö Ø Ö ØØ ØØ ÚÖ Ò ÓÒ Ø Ò Ü x := 3 ÄÒ Ö Ò Ö ÒÖ Ñ Ò Ö Ð ÑØ ØØ x = 3 Ò Ñ Ò Ú ÐÐ Ö Ú Ö Ð Ø Ü Ü Üµ ÖÖÓÖ ÛÖÓÒ ÒÙÑ Ö ÓÖ ØÝÔ µ Ó Ô Ö Ñ Ø Ö Ò ÙÒØ ÓÒ Å Ò ÓÑ ÝÒ Ö Ø ÒØ Ö ÐØ Ö º Ö Ñ Ò ØÖ Ö ØØ ÚÐ Ôº ½º Ú Ò Ö Ü Ü ³Ü³ x := x Ü Ü Üµ x

¾º ÒÚÒ Ò ÒÒ Ò Ú Ö Ð Ý Ý Ýµ y º Ë Ö Ú Ü Ø ÒÓÑ ÔÓ ØÖÓ Ö ³Ü³ ³Ü³ ³Ü³µ x Ú Ò ÑÒ Ò Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÖÙØÓÑ Ö Ú Ö Ò Ò ÑÖ Ð ÐÑ ¹ Ð Ò Ò ÐÐ Ö ÓÒ Ø Ö ÙÐØ Ø ÒÖ Ò Ú Ö Ð Ö Ð Ú Ø Ø ÐÐ Ð ØØ ÚÖ º Ø Ö Ö ÚÐ Ó ÓÒ Ø Ø ÙØ Ñ Ö Ü ÑÔÐ Ø Ú Ò ØØ ¼ ¼ ¾ s = 864 365s ÁÒ ÐÑ Ð Ò Ò Ó Ú Ö Ø ØÑÑ Ö Ó Ö Ñ Ò Ú Ö Ö Ö ÒØ 365s Ö Ò Ø Ð Ø Ö ØØ Ø ØÖ ØÐÐ Ø Ö Ô Ö Ò Ö s ÙÐÐ Ø ÐÐ Ð Ø ØØ ÚÖ º Ø Ú ÒÐ Ø Ð Ø ÑÒ Ö Ö Ö Ø ØØ Ð ÑÑ Ñ ÓÐÓÒ Ø Ô ÐÙØ Ø Ñ Ò Ø Ú Ö ÚÐ Ò ÔÔ Ø ØØ Ø Ü ÑÔ Ðº ½ ËÔ Ö Ó Ö Ú ÙØ Å Ò Ò Ô Ö ÐÐ Ø ÜØ Ó ÐÐ Ö Ö ØØ Å ÔÐ Ò Ø Ö ÒÓÑ ØØ Ð Ô Ð Ë Ú ÑØ Ò ØØ ÐÒ ÑÒº Ì ÜØ Ò Ô Ö Ò Ð Ñ Ò ÑÒ Ø ÐÒ ÑÒºÑÛ º Ö ØØ Ñ Ò ÐØØ Ö ÐÐ ÓÑÑ Ú Ñ Ò ÓÖ Ò Ñ Ò Ð Ò Ö Ö Ñ Ö Ð Ö Ò Ø Üغ Ø Ö ÒÓÑ ØØ Ñ Ò ÚÐ Ö ÐØ ÖÒ Ø Ú Ø Ì ÜØ ÙÒ Ö Ñ ÒÝÒ ÁÒ Öغ ÈÖÓÑÔØ Ò Ò Ö Ø ÐÐ º Å Ò Ø Ö Ö Ø ÐÐ ØØ Ö Ú Ú ÒÐ ÓÑÑ Ò ÓÖ Ö ÒÓÑ ØØ ÚÐ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ø Å ÔÐ ÁÒÔÙØ ÙÒ Ö ÑÑ Ñ Òݺ Î ØØ Ò Ö Ø ÐÐ ÐÐ Ò Ñ Ò ÔÔÒ ÓÒ Ò Ð Òµ Ò Ú Ð ÇÔ Òº Ò Ò Ð Ñ ØØ Ô Ö Ð Ò ØÖ Ø Ö ØØ Ð ÖÒ Ð Ö Ò ØÓÖ Ú Ð Ø Ö ÐØ ØÐÐ Ö Ø ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑ Ñ Ò Ú ÐÐ Ñ Ñ ÔÓ Øº ØØ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ö ØØ Ô Ö Ò ÓÑ Å ÔÐ Ø ÜØ ÒÓÑ ØØ Ò Ö ÐØÝÔ Ñ Ò Ú ÐÐ Ô Ö Ø Ðк Á ÐÒ ÑÒºØÜØ Ô Ö ÐÐ ÓÑÑ Ò ÓÖ Ö Ó ÐÐ Ö Ð Ö Ò Ø Üغ Ñ Ò ÔÔÒ Ö Ò Ò Ð Ú Ð ÇÔ Ò Ö Ú ÐÐ Ô Ö Ö Ö

½ ËÈ Ê Ç À ËÃÊÁÎ ÍÌ ÙØ Ô ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÑÑ Ò ÓÖ ÖÒ Ü Ú Ö ÒØ ÖÖÒ Ñ Ò ØÖÝ Ø Ô Ö ØÙÖÒ Ò Ò Ô Ö Ö µº ÇÑ Ñ Ò ÒØ Ú ÐÐ Ô Ö Ð ÓÒ Ò ÙØ Ò Ò ÖØ Ú Ú Ö Ð Ö Ø ÐÐ Ü ÑÔ Ð Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÐÐ Ö Ö Ñ Ò Ð Ø Ò ÑÝ Ø Ö Ø Ô ØØ Ò Ö Ó Ú ÐÐ Ø Ö ÒÚÒ ØØ ÒÒ Ø ÑÑ Ò Ò Ò Ñ Ò ÒÚÒ ÓÑÑ Ò ÓØ Ú º ÒÓÑ ØØ Ö Ú Ú Ú Ö Ð ÖºÑ Ô Ö Ö Ñ Ò Ò Ø ÓÒ ÖÒ Ú Ó Ð Ò Ú Ö Ð ÖºÑº Î Ò Ò Ö ÓÒ Ò Ñ Ò Ú Ø Ø Ú Ö ÐÐ Ò Ø ÓÒ Ö ÒÓÑ ØØ Ö Ú Ö Ú Ö Ð ÖºÑ ÇÑ Ù Ú ÐÐ Ø ÙØ Ò Ð Ô Ò Ö Ú Ö Ò Ù Ô Ö Ò ÈÓ Ø¹ËÖ ÔØ ÓÖÑ Ø ÒÓÑ ØØ Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ò ÚÐ ÜÔÓÖØ ººº Ô ¹ Ð Ô Ò ÙÔÔ ÓÑÒ Ñ ÒÝÒº ÐØ ÖÒ Ø ÚØ ÓÑ Ù Ú ÐØ ØØ Ö Ø Ö Ò ØØ Ô ÐÐØ Ò Ø Ö Ò Ù Ð Ô Ð ÈÖ Òغ

Ë Ö Ø Ö ÒÚ ÐÐËÓÐÙØ ÓÒ ¾½ ÐÐÚ ÐÙ ¾¾ ÓÒØÓÙÖÔÐÓØ ÝÐ Ò Ö ÓÓÖ Ò Ø Ö ½½ Ò ¾ Ö Ú Ø ½¼ Ú Ö ÓÖ Ò Ò ½½ Ô ÖØ ÐÐ ½½ ½¼ ½¼ ÓÒØ ¾ ÔÐ Ý ÓÐÚ ¾ ÊÓÓØÇ ¾¾ Ð Ò ¾ Ö ÓÓÖ Ò Ø Ö ÑÔÐ Ý ÓÐÚ ¾¼ Ô ÙÖÚ Ù Ø Ò ÒØÔÐ Ò Ì ÝÐÓÖÔÓÐÝÒÓÑ ¾ Ø Ò ¾ ÙÒ ÔÔÐÝ ÙØØÖÝ ÚÖ ÖÓÖ Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ¾½ Ú Ð Ú Ð Ð ¾ ÓÐÚ ¾ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö ÔÐÓØ ÐÔ ½ ÑÔÐ ØÔÐÓØ ½ ÑÔÐ ØÔÐÓØ ÒØ Ö Ð ½ ÓÒ Ø ÒØ Ö ÙÖÚ Ô Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÖÑ ÔÐ Ò ½ ÙÖÚ Ô Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÖÑ ØÖ Ñ Ò¹ ÓÒ ÐÐ ÑØ ÝÐÓÖ ¾ ÓÐ Ø Ö ¾½ Ô Ø ÔÐÓØ ¾ ÔÐÓØ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ ½