0, x a x a b a 1, x b. 1, x n. 2 n δ rn (x), { 0, x < rn δ rn (x) = 1, x r n

Ë ÒÒÓÐ Ø ÐÖ È ÚÓ Ë ÐÑ Ò Ò ÒÙ Ö ¾¼½¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó ÒÒÓÐ Ø ÑØØ ¾ ¾ ËØÓ Ø Ú Ö Ð Ö ÇÑ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò Ò ½¼ º½ ÈÓ ÓÒ Ö ÐÒ Ò ÓÑ ÖÒ Ö ÐÒ Ò Ö ÒÓÑ Ð Ö ÐÒ Ò º ½½ º¾ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò ÓÑ Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ó ÖÙØ Ó Ó ÖÓ¹ Ò ÖÒ Ö Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ Ø Ò ÒÒÓÐ Ø ÑØØ Ó Ö ÐÒ Ò Ö ½¾ º½ Ø Ò Ö ÐÒ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÅÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ½ º½ Ë ÒÒÓÐ Ø Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÅÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ì ÐÐÑÔÒ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÖÒ ÚÖ Ø Ö ½ º½ ÇÐ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ØÓÖ Ø Ð Ò Ð Ú ÓÖѵ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÃÓÒÚ Ö Ò Ö ÐÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ò ÒØÖ Ð ÖÒ ÚÖ Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ Ä ØØ Ö ØÙÖ ¾½ ½

½ Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó ÒÒÓÐ Ø ÑØØ Ò Ø ÓÒ ½ ÙÒ Ø ÓÒ Ò F Ñ D f = R Ú Ö Ò Ö ÐÒ Ò ÙÒ ¹ Ø ÓÒ ÓÑ µ F Ö ¹ ÚØ Ò Ó Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ µ lim x F(x) = 0 Ó lim x + F(x) = 1. Ü ÑÔ Ð Ð Ò Ö Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ½º Ä ÓÖÑ Ö ÐÒ Ò Ô [a, b] 0, x a x a F(x) :=, a x b b a 1, x b ¾º ÒÓÑ Ð Ö ÐÒ Ò Ñ Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ n N Ó p (0, 1) 0, ( ) x < 0 F(x) := m n k=0 p k k (1 p) n k, m x < m + 1, m = 0,..., n 1 1, x n. º ÄØ Q = {r n : n = 1, 2,... } Ú Ö Ö Ø ÓÒ ÐÐ Ø Ð Òº ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö F(x) := 2 n δ rn (x), n=1 { 0, x < rn δ rn (x) = 1, x r n Ö Ò Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ú Ö ÖÖ Ø ÓÒ ÐÐ ÔÙÒ Ø Ó ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ú Ö Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÔÙÒ Øº Ò Ø ÓÒ ¾ ÄØ F Ú Ö Ò Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒº ÇÑ F(x) F(x ) > 0 x Ú Ö F ÔÖÒ ÔÙÒ Ø ÐÐ Ö ÓÔÔ ÔÙÒ Øµ Ó F(x) F(x ) Ö ÔÖÒ Ø ØÓÖÐ º Ë Ø ½ Ò Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ÒÙÑÖ Ö ÖØ ÑÒ ÔÖÒ ÔÙÒ Ø Öº Î Ö ÓÒØ ÒÙ Ø Ø ÔÙÒ Ø Ú Ò Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò ÔÖÒ ÔÙÒ Øº ¾

Ë Ø ¾ ÄØ F Ú Ö Ò Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ó a j, j = 1, 2,... ÔÖÒ ¹ ÔÙÒ Ø Ö Ó b j := F(a j ) F(a j ) ÑÓØ Ú Ö Ò ÔÖÒ ØÓÖÐ Öº ÁÒ Ö F d (x) := b j δ aj (x). j=1 ÐÐ Ö ØØ x F d (x) Ö ¹ ÚØ Ò Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ó lim F d(x) = 0, x lim F d(x) = x + b j 1. j=1 ÙÒ Ø ÓÒ Ò F c (x) := F(x) F d (x) Ö ¹ ÚØ Ò ¹Ò Ø Ú Ó ÓÒØ ÒÙ ÖÐ º Ò Ø ÓÒ Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò F Ú Ö Ö Ø ÓÑ F c 0 Ó ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÓÑ F d 0. Ò Ø ÓÒ ÄØ Ω Ú Ö Ò Ú Ò ØÖ Øµ ¹ØÓÑ ÑÒ º Ñ Ð Ò F Ú Ω ÐÑÒ Ö Ú Ö Ò σ¹ Ð Ö ÓÑ ( ) F, ( ) A F A C F, ( ) A i F, i = 1, 2,... A i F. Ò Ø ÓÒ Ò Ñ Ò Ø σ¹ Ð Ö Ú R ÐÑÒ Ö ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö ÐÐ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ú ØÝÔ Ò (a, b], (, b], (a, + ), Ö a, b R, ÐÐ R ÓÖ ÐÑÒ Ö Ó Ø Ò Ñ Bº ÒÑÖ Ò Ò Ø ÒÒ ÐÑÒ Ö Ú R ÓÑ ÒØ Ø ÐÐ Ö B Ò Ø ÓÒ ØØ ÒÒÓÐ Ø ÑØØ P (Ω, F) Ö Ò ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ØØ P : F R ( ) P(Ω) = 1 ( ) P(A) 0 A F ( ) P( A i) = P(A i) Ö A i A j =, i j.

Ò Ô Ö Ó P ½º P( ) = 0. ¾º P(A C ) = 1 P(A). º A B P(A) P(B) ØÝ B = A (B \ A)µº º ÅÓÒÓØÓÒ ÓÒÚ Ö Ò ÒØ ØØ A n A ÐÐ Ö A n A Ú º A n A n+1 An = A ÐÐ Ö A n A n+1 A n = A Ó ÖÚ Ö ØØ A F Ð Ö ÖÒ Ò Ø ÓÒ Ò Ú Fµº Ö lim n P(A n ) = P(A)º º ÐÐÑÒ Ø ÓÒ ÓÖÑ Ð n n P( A i ) = P(A i A j ) P(A i ) i<j + n P(A i A j A k ) + ( 1) n 1 P( A i ). i<j<k Ë Ø ÄØ P Ú Ö ØØ ÒÒÓÐ Ø ÑØØ (R, B)º ÙÒ Ø ÓÒ Ò F Ò Ö ÒÓÑ F(x) := P((, x]), x R Ö Ò Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒº Ë Ø ÄØ F Ú Ö Ò Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒº ÒÒ Ø ØØ ÒØÝ Ø ÒÒÓ¹ Ð Ø ÑØØ P (R, B) ÒØ ØØ P((, x]) = F(x) x R. ¾ ËØÓ Ø Ú Ö Ð Ö Ò Ø ÓÒ ÄØ(Ω, F,P) Ú Ö ØØ ÒÒÓÐ Ø ÖÙѺ ÙÒ Ø ÓÒ Ò X : Ω R Ú Ö Ò ØÓ Ø Ú Ö Ð ÓÑ Ö Ú Ö x R ÐÐ Ö ØØ Ü ÑÔ Ð ÄØ A Fº Ö Ò ØÓ Ø Ú Ö Ðº {ω : X(ω) x} F. 1 A (ω) := { 1, ω A 0, ω / A

Ò Ø ÓÒ Ò ØÓ Ø Ú Ö ÐÒ X Ú Ö Ò Ð ÓÑ Ò Ò Ø ÒØ Ö Ò Ð Ø ÑÒ ÓÐ ÚÖ Òº ÀÖÚ Ò X Ö ÔÖ ÒØ Ö ÒÐ Ø X(ω) = n x i 1 Ai (ω), Ö A i = {ω : X(ω) = x i } x i x j, i j. Ò Ø ÓÒ ÄØ X Ú Ö Ò ØÓ Ø Ú Ö Ðº ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÐÐ Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ú Xº F X (x) := P(X x) Ë Ø ÄØ F X Ú Ö Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ú Ò ØÓ Ø Ú Ö ÐÒ X. Ö F X ¹ ÚØ Ò Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ lim F X(x) = 0 och lim F X(x) = 1. x x + ÒÑÖ Ò Ò ÖÒ Ò Ø ÓÒ ØØ ( ) ( ) ( ) P(X = x) = F X (x) F X (x ), P(a < X < b) = F X (b ) F X (a), P(a X b) = F X (b) F X (a ). Ò Ø ÓÒ ½¼ µ X Ú Ö Ö Ø ÓÑ F X Ö Ö Ø Ñ Ó F c 0, Ñ º Ò Ø ÓÒ µº µ X Ú Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÓÑ F X Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ º µ X ØØ Ø Ò f ÓÑ Ö Ú Ö x R F X (x) = x f(t)dt ÒÑÖ Ò Ò ÇÑ Ú Ö ÐÒ X Ö ØØ Ø Ò f ÓÑ Ö ÓÒØ ÒÙ Ö x Ð Ö Ø ÖÒ ÒØ Ö Ð Ð ÝÐ Ò ÙÚÙ Ø ØØ F X (x) = f(x). Ò Ø ÓÒ ½½ ÙÒ Ø ÓÒ Ò g : R n R Ú Ö ÓÖ ÐÑØ Ö ÓÑ Ö Ú Ö y R {x R n : g(x) y} B n, Ö B n Ö ÑÒ Ò Ú ÓÖ Ð¹ÑÒ Ö R n.

Ë Ø µ ÄØ X Ú Ö Ò ØÓ Ø Ú Ö Ð Ó g : R R Ò ÓÖ Ð¹ÑØ Ö ÙÒ Ø ÓÒº Ö Y := g(x) Ò ØÓ Ø Ú Ö Ðº µ Ö n N ÐØ X 1, X 2,...,X n Ú Ö ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö Ó g : R n R Ò ÓÖ Ð¹ÑØ Ö ÙÒ Ø ÓÒº Ö Z := g(x 1, X 2,...,X n ) Ò ØÓ Ø Ú Ö Ðº ÒÑÖ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò g : R R Ö ÓÖ Ð¹ÑØ Ö Øº ܺ Ð Ò ÐÐ µ g Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ µ g Ö ØÝ Ú ÓÒØ ÒÙ ÖÐ µ g Ö Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ó ÚÒ Ø Ö ÖÒ ÚÖ Ò Ü Ø Ö Ö µ g Ö ÑÓÒÓØÓÒº Ë Ø µ ÄØ {X j : j = 1, 2,... } Ú Ö Ò Ð Ú ØÓ Ø Ú Ö Ð Öº Ö inf X j, sup X j, lim (inf X j j j k), lim (sup X k ) k j j ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö Ó ÖÚ Ö Ó ØØ Ò ÒØ ÚÖ Ò + ÐÐ Ö µº µ ÒØ ØØ X(ω) := lim j X j (ω) Ü Ø Ö Ö Ö Ú Ö ω Ωº Ö X Ò ØÓ Ø Ú Ö Ðº Ò Ø ÓÒ ½¾ ØÓ Ø Ú Ö Ð ÖÒ X i, i = 1, 2,..., n Ú Ö Ó ¹ ÖÓ Ò ÓÑ B j B, j = 1, 2,..., n k j n P( {X i B i }) = n P(X i B i ). Ë Ø Î Ö Ð ÖÒ X i, i = 1, 2,..., n, Ö Ó ÖÓ Ò ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ Ö Ú Ö x i R, i = 1,...,n, F X1,...,X n (x 1,...,x n ) := P(X 1 x 1,...,X n x n ) n n = P(X i x i ) =: F Xi (x i ) Ë Ø ÒØ ØØ Ò ÑÙÐØ Ò Ö ÐÒ Ò Ò F Xi,...,X n (x i,...,x n ) Ö ØØ Ø¹ Ò f X1,...,X n (x 1,...,x n ) Ò ØØ n x 1 x n F X1,...,X n (x 1,...,x n ) = f X1,...,X n (x 1,...,x n ) x 1,..., x n R,

Ó ØØ F Xi, i = 1, 2,..., n, Ö ØØ Ø Ò f Xi, i = 1, 2,..., nº Ö X 1,...,X n Ó ÖÓ Ò ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ Ö Ú Ö x i R, i = 1, 2,..., n, f X1,...,X n (x 1,...,x n ) = n f Xi (x i ). Ë Ø ½¼ ÒØ ØØ Ú Ö Ð ÖÒ X i, i = 1, 2,..., n, Ö Ö Ø Ó Ø Ò Ö Ñ Ò ÑÑ ÒÙÑÖ Ö Ö ÚÖ ÑÒ Ñ V º Ö X i, i = 1, 2,..., n, Ó ÖÓ Ò ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ Ö Ú Ö k i V, i = 1, 2,..., n, p 1,...,n (k 1,...,k n ) := P(X 1 = k 1,...,X n = k n ) = n P(X i = k i ) =: n p i (k i ). Ò Ø ÓÒ ½ ÀÒ Ð ÖÒ A i, i = 1, 2,..., n, Ú Ö Ó ÖÓ Ò ÓÑ Ú Ö Ð ÖÒ 1 Ai, i = 1, 2,..., n, Ö Ó ÖÓ Ò º ÇÑ A i, i = 1, 2,..., n, Ö Ó ¹ ÖÓ Ò ÐÐ Ö Ø ØØ P(A 1 A n ) = P(A 1 )...P(A n ). Ë Ø ½½ ÇÑ X i, i = 1, 2,..., n, Ö Ó ÖÓ Ò Ó g : R k R Ó h : R n k R Ö ÓÖ Ð¹ÑØ Ö Ö Ú Ö Ð ÖÒ g(x 1,...,X k ) Ó h(x k+1,...,x n ) Ó ÖÓ Ò º Ò Ø ÓÒ ½ ÄØ X Ú Ö Ò Ò Ð ØÓ Ø Ú Ö Ð Ú º X = n x i 1 Ai Ö A i = {X = x i } Ó x i x j i jº Ì Ð Ø E(X) = n x i P(A i ) ÐÐ Ö X ÚÒØ ÚÖ º Ë Ø ½¾ ÄØ X Ú Ö Ò ¹Ò Ø Ú ØÓ Ø Ú Ö Ð ÒÒ Ø Ò Úܹ Ò Ð {X i : i = 1, 2,... } Ú Ò Ð ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö Ò ØØ Ö Ú Ö ω Ω X(ω) = lim n X n (ω).

Ë Ø ½ ÄØ X Ú Ö Ò ¹Ò Ø Ú ØÓ Ø Ú Ö Ð Ó {X i } Ó {Y i } ØÚ ÚÜ Ò Ð Ö Ú Ò Ð ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö Ò ØØ ω Ω lim X i (ω) = lim Y i (ω) = X. ÐÐ Ö ØØ º lim E(X i) = lim E(Y i ). i i Ò Ø ÓÒ ½ µ ÄØ X Ú Ö Ò ¹Ò Ø Ú ØÓ Ø Ú Ö Ð Ó {X i } Ò ÚÜ Ò Ð Ú ÔÔÖÓÜ Ñ Ö Ò ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö ÓÑ Ò Ö Ë Ø ½¾º ÎÒØ ÚÖ Ø Ú X Ü Ø Ö ÓÑ ÖÒ ÚÖ Ø lim E(X i) i Ü Ø Ö Öº Á ØØ ÐÐ Ò Ö ÚÒØ ÚÖ Ø Ú X ØØ Ú Ö Ð Ñ ÖÒ ÚÖ¹ Ø E(X) := lim i E(X i ) µ Ö Ò Ó ØÝ Ð ØÓ Ø Ú Ö Ð X Ò Ö X + = max(x, 0) och X = min(x, 0). Ö X = X + X Ó X = X + + X º X ÚÒØ ÚÖ Ø E(X) ÓÑ E(X + ) Ó E(X ) Ü Ø Ö Öº ÀÖÚ Ò Ö E(X) := E(X + ) E(X ). ÒÑÖ Ò Ò Ø Ò Ú ØØ ÚÒØ ÚÖ Ø Ú X Ö Ó ÖÓ Ò Ú Ò Ô¹ ÔÖÓÜ Ñ Ö Ò Ð Ò {X i }º Ë Ø ½ E(X) Ü Ø Ö Ö ÓÑÑ E( X ) Ü Ø Ö Öº Ë Ø ½ ÄØ X Ó X i, i = 1,...,n, Ú Ö ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö Ò ØØ E(X) E(X i ), i = 1,...,n, Ü Ø Ö Öº ÐÐ Ö µ E(cX) = ce(x) c R, µ E( n X i) = n E(X i), µ E( n X i) = n E(X i) ÖÙØ ØØ ØØ X i, i = 1,..., n, Ö Ó ÖÓ Ò º Ë Ø ½ ÄØ X Ú Ö Ò ØÓ Ø Ú Ö Ð Ò ØØ P(X = c) = 1 Ö Ò ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ c Rº Ö E(X) = cº

Ë Ø ½ ÄØ X Ó Y Ú Ö ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö Ò ØØ E(X) Ó E(Y ) Ü Ø Ö Ö ÑØ P(X Y ) = 1 Ø ØØ X Y Ò Ø Ò ÖØ Òº ºµµº Ö E(X) E(Y )º Ë Ø ½ ÇÑ X 0 Ó E(X) = 0 Ö P(X = 0) = 1º Ø ØØ X = 0 Òº º Ò Ø Ò Öصºµ Ë Ø ½ Ë Û ÖØÞ³ ÓРص ÇÑ E(X 2 ) Ó E(Y 2 ) Ü Ø Ö Ö Ö EXY EX 2 EY 2. Ë Ø ¾¼ Â Ò Ò ÓРص ÄØ g : R R Ú Ö Ò ÓÒÚ Ü ÙÒ Ø ÓÒ Ó X Ò ØÓ Ø Ú Ö Ðº ÒØ ØØ E(X) Ó E(g(X)) Ü Ø Ö Öº Ö E(g(X)) g(e(x)). Ë Ø ¾½ µ ÄØ X Ú Ö Ò Ö Ø ØÓ Ø Ú Ö Ð Ñ Ö ÐÒ Ò ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ò F X Ó Ö i = 1, 2,... P(X = a i ) = F X (a i ) F x (a i ) =: b i. ÐÐ Ö ØØ EX Ü Ø Ö Ö ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ Ó ØØ ÐÐ ÐÐ Ö ØØ a i b i <, E(X) = a i b i. µ ÄØ X Ú Ö Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ØÓ Ø Ú Ö Ð Ñ ØØ Ø Ò f X º ÐÐ Ö ØØ E(X) Ü Ø Ö Ö ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ Ó ØØ ÐÐ ÐÐ Ö ØØ EX = x f X (x)dx < xf X (x)dx.

Ë Ø ¾¾ µ ÄØ X Ú Ö Ò Ö Ø ØÓ Ø Ú Ö Ð ÓÑ Ë Ø ¾½ Ó g Ò ÓÖ Ð¹ÑØ Ö ÙÒ Ø ÓÒº ÒØ ØØ ÚÒØ ÚÖ Ø Ú Y := g(x) Ü Ø Ö Öº Ö E(Y ) = g(a i )P(X = a i ) = g(a i )b i. µ ÄØ X Ú Ö Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ØÓ Ø Ú Ö Ð ÓÑ Ë Ø ¾½ Ó g Ò ÓÖ Ð¹ÑØ Ö ÙÒ Ø ÓÒº ÒØ ØØ ÚÒØ ÚÖ Ø Ú g(x) Ü Ø Ö Öº Ö E(g(X)) = g(x)f X (x)dx. Ò Ø ÓÒ ½ ÄØ X Ú Ö Ò ØÓ Ø Ú Ö Ð Ò ØØ E(X) Ü Ø Ö Öº Á ÐÐ E((X EX) 2 ) < ØØ Ú Ö Ò Ò Ø Var(X) Ú X Ü Ø Ö Ö Ó Ö Ð Ñ E((X EX) 2 ) : Î Ö(X) := E((X EX) 2 ). Ì Ð Ø Var(X) ÐÐ Ö X Ø Ò Ö ÚÚ Ð º Ë Ø ¾ ÒØ ØØ E(X) Ü Ø Ö Öº Ü Ø Ö Ö X Ú Ö Ò ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ E(X 2 ) Ü Ø Ö Ö Ó Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 º Ë Ø ¾ µ Var(X) = 0 c : P(X = c) = 1. µ Var(aX + b) = a 2 Var(X) Ö Ú Ö a, b R. µ ÇÑ X Ó Y Ö Ó ÖÓ Ò Ö Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ). Úµ ÇÑ {X i, i = 1, 2,..., n} Ö Ô ÖÚ Ó ÖÓ Ò Ú º X i Ó X j Ö Ó ÖÓ¹ Ò Ö Ú Ö i jµ Ö Var(X 1 + + X n ) = n Var(X i ). ÇÑ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò Ò Ò Ø ÓÒ ½ Ò ØÓ Ø Ú Ö ÐÒ X Ú Ö ÈÓ ÓÒ¹ Ö Ð Ñ Ô Ö Ñ Ø ÖÒ λ > 0 ÓÑ Ø Ò Ò X Po(λ)º P(X = k) = λk k! e λ, k = 0, 1, 2,.... ½¼

º½ ÈÓ ÓÒ Ö ÐÒ Ò ÓÑ ÖÒ Ö ÐÒ Ò Ö ÒÓÑ ¹ Ð Ö ÐÒ Ò ÄØ X Bin(n, p)º Î Ú ÐÐ Ú ØØ ÓÑ n, Ö ØÓÖØ Ó p Ö Ð Ø Ø Ö X appr. Po(np). Á ÔÖ Ø Ò Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ò Ò Ø Ö Ò n > 10 Ó p < 0, 01º Ë Ø ¾ Ö n = 1, 2,... ÐØ X n Bin(n, p n ) Ó ÒØ ØØ λ := lim n n p n Ü Ø Ö Ö Ó Ö ÔÓ Ø Úغ ÐÐ Ö Ö Ú Ö k = 0, 1, 2,... ( ) n P(X n = k) = p kn(1 p k n ) n k λk k! e λ n. ÒÑÖ Ò Ò Ç ÖÚ Ö Ë Ø ¾ ØØ p n 0 n. ËÔ ÐÐØ ÓÑ p n = λ/n, Ö Ú ( ) ( ) k ( n λ lim 1 λ ) n k = λk n k n n k! e λ. Á Ú Ø Ú Ë Ø ¾ Ò ÒÚÒ Øº ܺ ËØ ÖÐ Ò ÓÖÑ Ð n! = (2π) 1 2 n n+ 1 2 e n+c n Ö 0 c n 1 º È Ø Ò Ø Ò Ó Ú Ñ ÐÔ Ú ÑÓÑ ÒØ Ò ¹ 12n Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Öº º¾ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò ÓÑ Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ó ÖÙØ Ó Ó ÖÓ Ò ÖÒ Ö Ò Ö ØÖ Ø ØØ ÒÓÑ Ò ÓÑ ÙÔÔÖ Ô Ö Ô ØØ ÐÙÑÔÑ Ø ØØ Ó ÖÓ Ò Ú Ø Ö Ö ÓÑ Ø Ö Øº ܺ Ø ÖÒ ÐÐ ÐÐ Ö ÙÒ Ö ÓÑ ÒÐÒ Ö Ø ÐÐ Ò ÐÚ Ø Ò Ò Öº Ë Ò Ö ÒÓÑ Ò Ú º ÒØ Ð Ø Ö ÓÑ Ø Ö Ò ÙÒ Ö Ú ÒØ Ò Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ñ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò Òº Ë Ø ¾ ÇÑ ¹ Ó ÖÓ Ò Ú ÒØ Ð Ø ÖÒ Ö Ò Ö ÙÒ Ö Ø Ò (0, t) ¹ ÒÒÓ¹ Ð Ø Ò Ö Ü Ø Ò ÖÒ Ö Ò ÙÒ Ö Ø Ò (t, t + t) Ö c t + o( t) Ó ÒÒÓÐ Ø Ò Ö Ñ Ö Ò Ò ÖÒ Ö Ò ÙÒ Ö Ø Ò (t, t + t) Ö o( t) Ö ÒØ Ð Ø ÖÒ Ö Ò Ö ÙÒ Ö Ø Ò (0, t) ÈÓ ÓÒ¹ Ö Ð Ø Ñ Ô Ö Ñ Ø ÖÒ ctº Ø Ò Ò Ò o( t) Ë Ø ¾ Ú Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú t Ò ØØ o( t) ÙÒ Ú Ö Øº ܺ ( t) 2 µº o( t) lim t 0 t ½½ = 0

Ø Ò ÒÒÓÐ Ø ÑØØ Ó Ö ÐÒ Ò Ö Ò Ø ÓÒ ½ ÄØ (Ω, F,P) Ú Ö ØØ ÒÒÓÐ Ø ÖÙÑ Ó B F Ò ØØ P(B) > 0º Ò Ø Ò ÒÒÓÐ Ø Ò Ö Ò Ð Ò A Ñ Ú Ò Ô B Ö Ø Ð Ø P(A B) P(A B) :=. P(B) Ë Ø ¾ ÄØ B F Ú Ö Ò ØØ P(B) > 0º Ö (Ω, F,P( B)) ØØ ÒÒÓÐ Ø ÖÙѺ Ë Ø ¾ Ò ÐÐÑÒÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ö ÐÒµ Ö n 2 ÐØ A 1, A 2,..., A n, Ú Ö Ò Ð Ö Ó ÒØ ØØ ÐÐ Ö n P( A i ) > 0. n 1 P( n 1 A i ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 2 A 1 ) P(A n A i ). Ë Ø ¾ ÓÖÑ ÐÒ Ö ØÓØ Ð ÒÒÓРص ÄØ {A i } n, Ú Ö Ò Ð Ö Ò ØØ A i A j =, i j, n A i = Ω, Ñ Óº {A i } n, ÙØ Ö Ò Ô ÖØ Ø ÓÒ Ú Ω. ÒØ Ó ØØ P(A i) > 0 Ö i = 1, 2,..., n,º ÐÐ Ö Ö B F P(B) = n P(A i )P(B A i ). Ë Ø ¼ Ý ÓÖÑ Ðµ ÄØ {A i } n, Ú Ö ÓÑ Ë Ø ¾ Ó B F Ò ØØ P(B) > 0º ÐÐ Ö Ö k = 1,...,n, P(A k B) = P(A k)p(b A k ) P(B) = P(A k)p(b A k ) n P(A i)p(b A i ) ½¾

º½ Ø Ò Ö ÐÒ Ò Ö µ Ø Ö Ø ÐРغ ÄØ Y Ú Ö Ò Ö Ø ØÓ Ø Ú Ö Ð Ñ ÚÖ ÑÒ Ò V Y = {y i : i = 1, 2,... } Ó P(Y = y i ) > 0º ÄØ X Ú Ö Ò Ó ØÝ Ð ØÓ Ø Ú Ö Ðº Ò Ø Ò Ö ÐÒ Ò Ò Ö X Ú Ø ØØ Y = y i Ö P(X x Y = y i ) := P(X x, Y = y i). P(Y = y i ) Ö ØØ ÙÒÒ ØÑÑ Ò Ø Ò Ö ÐÒ Ò Ò Ñ Ø Ñ Ò Ú ÒÐ ØÚ µ Ö Ø ØÑÑ Ö ÐÒ Ò Ò Ö (X, Y )º Á ÐÐ Ó X Ö Ö Ø Ñ V X = {x i : i = 1, 2,... } Ó g X,Y Ö Ö Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö (X, Y ) Ú º g X,Y (x i, y j ) := P(X = x i, Y = y j ), Ö Ò Ø Ò Ö Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö X Ú Ø ØØ Y = y i P(X = x i Y = y i ) = g X,Y (x i, y i ), g Y (y i ) Ö g Y (y i ) := P(Y = y i ), j = 1, 2,... º Ø Ø Ò ÚÒØ ÚÖ Ø Ú X Ú Ø ØØ Y = y i, غ E(X Y = y i ), Ò Ö Ú Ò Ø Ò Ö Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ô Ð Ò ØØ E(X Y = y i ) := x i P(X = x i Y = y i ). µ Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÐÐ Ø Ñ ØØ Øº ÄØ f X,Y Ú Ö ØØ Ø Ò Ö (X, Y ) Ñ Óº x y F X,Y (x, y) := P(X x, Y y) = du dv f X,Y (u, v) x, y. Ç ÖÚ Ö ØØ ÓÑ f X,Y Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ (x, y) Ö 2 x y F X,Y (x, y) = f X,Y (x, y). Ò Ø Ò ØØ Ø Ò Ú X Ú Ø ØØ Y = y Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò f X,Y (x, y), om f Y (y) > 0, f f X Y (x y) := Y (y) 0, om f Y (y) = 0, ½

Ö f Y Ö Y ØØ Øº ÆÙ Ò Ö Øº ܺ P(X x Y = y) := x f X Y (u y) du Ø Ø Ò ÚÒØ ÚÖ Ø Ú X Ú Ø ØØ Y = y Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÒÑÖ Ò Ò º µ ÇÑ E(X Y = y) := + xf X Y (x y) dx. f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y) Ö Ú Ö x Ó y Ö X Ó Y Ó ÖÓ Ò º Á ØØ ÐÐ ÐÐ Ö Ó ØØ µ ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ö ÐÒ µ ÓÖÑ ÐÒ Ö ØÓØ Ð ÒÒÓÐ Ø Úµ Ý ÓÖÑ Ð f X Y (x y) = f X (x). f X,Y (x, y) = f X (x)f Y X (y x) f Y (y) = + f X (x)f Y X (y x) dx f X (x)f Y X (y x) f X Y (x y) = + f X(u)f Y X (y u) du Ü ÑÔ Ð ÄØ X 0, Y 0, Ó X Y º Î ØÑÑ Ö Ö ÐÒ Ò Ò Ö X + Y P(X + Y z) = = X Y = z 0 z 0 z 0 P(X + Y z Y = y)f Y (y) dy P(X z y Y = y)f Y (y) dy F X (z y) f Y (y) dy Ü ÑÔ Ð ÄØ X 0, Y 0, Ó X Y º Î ØÑÑ Ö Ö ÐÒ Ò Ò Ö XY P(XY z) = = X Y = 0 0 0 P(XY z Y = y)f Y (y) dy P(X z y Y = y) f Y (y) dy F X ( z y ) f Y (y) dy ½

ÅÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö º½ Ë ÒÒÓÐ Ø Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ø ÓÒ ½ ÄØ X Ú Ö Ò Ö Ø ØÓ Ø Ú Ö Ð Ñ ÚÖ ÑÒ Ò V X = {0, 1, 2,... }. ÙÒ Ø ÓÒ Ò G X (t) := E(t X ) = P(X = k)t k k=0 ÐÐ X ÒÒÓÐ Ø Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒº Ç ÖÚ Ö ØØ t G X (t) Ö ÚÐ Ò Ö ØÑ Ò ØÓÒ µ Ö t 1º Ë Ø ½ ÒØ ØØ X ÒÒÓÐ Ø Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ G X (t) Ü Ø Ö Ö Ö t < 1 + δ Ö Ò ÓØ δ > 0º ÐÐ Ö µ E(X) = G X (t) t=1, µ E(X 2 ) = G X (t) + G X (t) t=1, µ Var(X) = G X (t) + G X (t) (G X (t))2 t=1. ÒÑÖ Ò Ò Ø Ö ÓÑ G X (t) Ò Ö ÒÓÑ Ò ÔÓØ Ò Ö Ö Ò Ó ¹ ØÝ Ð Ø ÑÒ Ò Ö Ö Ú Ö Ö Ó Ö Ú ØÓÖÒ ÒÓÑ ØØ Ö Ú Ö Ö Ò Ø ÖÑÚ º Ë Ø ¾ Ò ÒÒÓÐ Ø Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ú Ò ØÓ Ø Ú Ö Ð ØÑÑ Ö Ú Ö ÐÒ Ö ÐÒ Ò ÒØÝ Øº Ð Ò Ø Ö ÒØ Ú Ø Ô Ö Ð Ò Ò ÖÒ º Ë Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò G : [0, 1] [0, 1] Ö Ò ÒÒÓÐ Ø Ò Ö Ö Ò ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ú Ò ØÓ Ø Ú Ö Ð ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ ½µ 0 ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø (0, 1) Ö Ú Ö n = 1, 2,.... ¾µ lim t 1 G(t) = 1 º¾ G (n) X ÅÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ø ÓÒ ¾¼ ÄØ X Ú Ö Ò Ó ØÝ Ð ØÓ Ø Ú Ö Ðº ÙÒ Ø ÓÒ Ò M X (t) := E ( e t X) ÐÐ X ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÖÙØ ØØ ØØ Ò Ü Ø Ö Ö Ö t < δ Ö Ò ÓØ δ > 0µº ½

Ë Ø ÄØ X Ú Ö Ò Ö Ø ØÓ Ø Ú Ö Ð Ñ V X = {0, 1, 2,... } Ó ÒØ ØØ ÒÒÓÐ Ø Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ G X (t) Ü Ø Ö Ö Ö t < 1+δ Ö δ > 0º Ö M X (t) = G X (e t ) Ö t < ln(1 + δ)º Ë Ø ÒØ ØØ Ú Ö ÐÒ X Ö Ò ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò M X (t), t < δº Ö Ú Ö ÐÒ Y := ax + b Ö a, b R Ò ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò M Y (t) = e bt M X (at), t < δ a. Ë Ø ÒØ ØØ Ú Ö ÐÒ X Ö Ò ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò M X (t), t < δº Ü Ø Ö Ö ÐÐ ÓÖ ÓÑÓÑ ÒØ E(X n ), n = 1, 2,... ÙÒ Ø ÓÒ Ò t M X (t) Ö Ó ØÝ Ð Ø ÑÒ Ò Ö Ö Ú Ö Ö Ó E(X n ) = M (n) X (t) t=0. ÃÓÖÓÐÐ Ö ÙÑ ½ ÒØ ØØ Ò ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò M X Ú Ú Ö ¹ ÐÒ X Ö Ö ÙØÚ Ð Ò Ò M X (t) = c n t n, t < δ. Ö n=0 E(X n ) = n!c n. Ð Ò Ø Ö ÒØ Ú Ø Ô Ö Ð Ò Ò ÖÒ º Ë Ø ÒØ ØØ X Ö Ò ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò M X (t), t < δ Ö Ò ÓØ δ > 0º ØÑ X Ö ÐÒ Ò ÒØÝ Ø Ú M X º º Ì ÐÐÑÔÒ Ò Ö ½º ÄØ X i, i = 1, 2,..., n, Ú Ö Ó ÖÓ Ò ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö Ò ØØ M Xi (t) Ü Ø Ö Ö Ö Ú Ö i t < δ Ñ δ > 0º Ö Y := X 1 + + X n, Ð Ò ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ E ( e ) ty = E ( e ) t(x 1+...,X n) = E ( e ) tx 1 E ( e ) tx 2 E ( e txn) n = M Xi (t). ËÔ ÐÐØ ÓÑ Ú Ö Ð ÖÒ X i Ö ÒØ Ø Ö Ð ÐÐ Ö Ø ØØ E ( e ty ) = (M X (t)) n, Ö M X (t) Ö Ò Ñ Ò ÑÑ ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ú Ú ¹ Ö Ð ÖÒ X i, i = 1, 2,..., n. ½

¾º ÃÓÑ Ò Ö Ö ¹ Ø Ò Ö ÐÒ Ò Ö ØÖ Ø Ð Ò ØÙ Ø ÓÒ Î Ö ÐÒ X Ö Ò Ú Ò Ò Ö ÐÒ Ò º ÍÔÔ Ø Ò Ö ØØ ØÑÑ Ö ÐÒ Ò Ò Ö Ò ÒÒ Ò Ú Ö Ð Y ÓÑ Ö ÖÓ Ò Ú Xº Ö ÐÒ Ò Ò Ö Y Ú Ø ØØ X = x ÒØ Ú Ö Ò º ÀÖÚ Ö Ø Ó Ø Ò Ð Ø ØØ Ö Ø Ö Ö Y Ö ÐÒ Ò Ú ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒº µ ÒØ ØØ V X = {0, 1, 2,... }º Ö Ö M Y (t) = E ( e ty ) = P(X = n)e(e ty X = n), n=0 E(e ty X = n) = + e ty f Y X (y n)dy ÖÙØ ØØ ØØ Ò Ø Ò ØØ Ø Ò f Y X (y x) Ü Ø Ö Öº µ ÇÑ V X = R Ó X Ö ØØ Ø Ò f X Ö Ú M Y (t) = = + + f X (x) E(e ty X = x) dx dxf X (x) + dy e ty f Y X (y x). ÖÒ ÚÖ Ø Ö º½ ÇÐ Ø Ö Ë Ø Å Ö ÓÚ ÓРص ÒØ ØØ X Ö Ò ¹Ò Ø Ú ØÓ Ø Ú Ö ¹ к ÐÐ Ö Ö Ú Ö a > 0 Ó ÐÐÑÒ Ø Ö n = 1, 2,... P(X a) 1 a E(X). P(X a) 1 a n E(Xn ). ½µ ÃÓÖÓÐÐ Ö ÙÑ ¾ ÒØ ØØ X Ö Ò ¹Ò Ø Ú ØÓ Ø Ú Ö Ð Ò ØØ µ := E(X) Ü Ø Ö Öº ÐÐ Ö Ö Ú Ö k > 0 P(X kµ) 1 k. ½

Ë Ø Ì Ý Ú ÓРص ÒØ ØØ Ú Ö ÐÒ X Ö ÚÒØ ÚÖ Ø µ Ó Ú Ö Ò Ò σ 2 º ÐÐ Ö Ö Ú Ö k > 0 P( X µ kσ) 1 k 2. ¾µ ÒÑÖ Ò Ò ÎÐ ¾µ k = a/σ, a > 0º Ó P( X µ a) σ2 a 2 P( X µ < a) 1 σ2 a 2. º¾ ØÓÖ Ø Ð Ò Ð Ú ÓÖѵ Ò Ø ÓÒ ¾½ Ð Ò {X n } n=1 Ú ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö ÓÒÚ Ö Ö ÒÒÓÐ Ø ÑÓØ Ú Ö ÐÒ X n ÓÑ lim P( X n X > ε) = 0 ε > 0. n Ë Ø ¼ ÒØ ØØ X n X ÒÒÓÐ Ø Ó X n Y ÒÒÓРغ Ö X = Y Ò Ø Ò ÖØ Ú º P(X = Y ) = 1º Ë Ø ½ Ì Ý Ú Ø µ ÄØ {X i } Ú Ö Ò Ð Ú Ô ÖÚ Ó ÖÓ Ò ØÓ¹ Ø Ú Ö Ð Ö Ò ØØ ËØØ ÐÐ Ö X n := 1 n n X i, Ú º Xn µ n 0 ÒÒÓРغ c i : Var(X i ) c. µ n := 1 n n µ i (µ i := E(X i )). lim P( X n µ n < ǫ) = 1 ε > 0 n ÃÓÖÓÐÐ Ö ÙÑ ÄØ {X i } Ú Ö Ò Ð Ú Ô ÖÚ Ó ÖÓ Ò Ó ÒØ Ø Ö Ð ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö ØØ σ 2 := Var(X i ) Ü Ø Ö Öº Ç ÖÚ Ö ØØ Var(X) Ü Ø Ö Ö E(X) Ü Ø Ö Öºµ ÐÐ Ö X n µ ÒÒÓÐ Ø Ö µ := E(X i )º ½

ÃÓÖÓÐÐ Ö ÙÑ ÖÒÓÙÐÐ Ø µ ÄØ ÒÒÓÐ Ø Ò Ö Ò Ð Ò A Ú Ö p Ó Ò Ö f n (A) := 1 ÒØ Ð Ø Ò Ö A ÒØÖ Ö Ú n Ó ÖÓ Ò ÙÔÔÖ ÔÒ Ò Ö Ú Ö Ø, n Ñ Óº f n (A) Ö Ò Ö Ð Ø Ú Ö Ú Ò Ò Ö Ò Ð Ò A. ÐÐ Ö lim P( f n(a) p ε) = 0 ε > 0. n ÃÓÖÓÐÐ Ö ÙÑ ÈÓ ÓÒ Ø µ ÄØ A i Ú Ö Ò Ò Ð ÓÑ ÒØÖ Ö Ú Ò i Ø ÙÔÔÖ ÔÒ Ò Ò Ú ØØ Ö Ñ ÒÒÓÐ Ø Ò p i º ËØØ f n := 1 n n 1 Ai. ÐÐ Ö ØØ lim n P( f n p n ε) = 0 ε > 0, Ö p n := 1 n n p iº Ë Ø ¾ Ã Ò Ò Ø µ ÄØ {X i } Ú Ö Ò Ð Ú Ô ÖÚ Ó ÖÓ Ò Ó ÒØ Ø Ö Ð ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö ØØ µ := E(X i ) Ü Ø Ö Öº ÐÐ Ö ØØ X n := 1 n X i µ ÒÒÓРغ n º ÃÓÒÚ Ö Ò Ö ÐÒ Ò Ò Ø ÓÒ ¾¾ ÄØ {X n } n=1 Ú Ö Ò Ð Ú ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö Ó Ø ¹ Ò Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ú X n Ñ F n. Ø ØØ X n X Ö ÐÒ Ò ÓÑ lim n F n(x) = F(x) Ú Ö ÓÒØ ÒÙ Ø Ø ÔÙÒ Ø x Ú X Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ F º Ë Ø ÄØ X, X 1, X 2,... Ú Ö Ö Ø ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö ÓÑ ÒØ Ö ÚÖ¹ Ò {0, 1, 2,... }. Ø ÐÐ Ö ØØ X n X Ö ÐÒ Ò ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ Ö Ú Ö k = 0, 1, 2,... º lim P(X n = k) = P(X = k) n Ë Ø X n X ÒÒÓÐ Ø X n X Ö ÐÒ Ò º Ð Ò Ø Ú ÒØ Ô Ö Ð Ò Ò ÖÒ º ½

Ë Ø ÒØ ØØ Ú Ö ÐÒ X n Ö Ò ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò M n (t), t < δ Ö Ò ÓØ δ > 0 Ö n = 1, 2,... º ÇÑ Ø Ü Ø Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ M ØØ M(t) = lim n M n (t) Ö Ú Ö t < δ Ö M Ò ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò ØÓ Ø Ú Ö Ð Ð X Ó X n X Ö ÐÒ Ò º º Ò ÒØÖ Ð ÖÒ ÚÖ Ø Ò Ë Ø ÄØ X i, i = 1, 2,... Ú Ö Ó ÖÓ Ò Ó ÒØ Ø Ö Ð ØÓ ¹ Ø Ú Ö Ð Öº ÒØ ØØ M Xi (t), t < δ Ü Ø Ö Ö Ö Ú Ö i = 1, 2,... º ËØØ µ := E(X i ), σ 2 := Var(X i )º ÐÐ Ö Z n := S n nµ σ n Z Ö ÐÒ Ò, Ö Z N(0, 1)º Ð Ò Ø Ö ÒØ Ú Ø Ô Ö Ð Ò Ò ÖÒ º Ë Ø Ä ÔÙÒÓÚ Ø µ ÄØ X i, i = 1, 2,... Ú Ö Ó ÖÓ Ò Ó ÒØ ØØ E(Xi 3 ) Ü Ø Ö Ö Ö Ú Ö i = 1, 2,... º ÁÒ Ö Ó σ 2 i := Var(X i), ρ 3 := E( X i EX i 3 ) n n s n := ( σi 2 )1/2, r n := ( ρ 3 i )1/3. r n ÇÑ lim = 0 ÐÐ Ö Ø ØØ n s n S n E(S n ) Var(Sn ) Z N(0, 1) Ö ÐÒ Ò S n := n X iµº ÃÓÖÓÐÐ Ö ÙÑ ÄØ X i, i = 1, 2,... Ú Ö Ó ÖÓ Ò Ó ÒØ Ø Ö Ð Ò ØØ E(X 3 i ) Ü Ø Ö Öº ÐÐ Ö S n E(S n ) Var(Sn ) Z N(0, 1) Ö ÐÒ Ò º ¾¼

Î ÐÐ ÓÖ Ø lim r n /s n = 0 Ë Ø Ö ÒØ ÐÐØ ÐØØ ØØ ÓÒØÖÓÐÐ Ö º Ø ÐÐ Ö Øº ܺ ÓÑ Ú Ö Ð ÖÒ X i Ö Ð ÓÖÑ Ø ÖÒ Ú Ó ÓÑ lim s n = +. M i : P( X i µ i M) = 1, Ë Ø Ä Ò Ö Ó ÐÐ Ö Ø µ ÄØ {X i } Ú Ö Ó ÖÓ Ò ØÓ Ø Ú Ö Ð Ö Ò ØØ σ i := Var(X i ) Ü Ø Ö Ö Ö Ú Ö iº ÒØ ØØ Ö Ú Ö t > 0 1 n (y µ i ) 2 F i (dy) 0, y µ i >ts n s 2 n Ö F i Ö Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ú X i Ó s 2 n := σ2 1 + + σ2 n. ÐÐ Ö ØØ S n E(S n ) Var(Sn ) Z N(0, 1) Ö ÐÒ Ò º ÃÓÖÓÐÐ Ö ÙÑ ÄØ X i, i = 1,..., n, Ú Ö Ó ÖÓ Ò Ó ÒØ Ø Ö Ð Ò ØØ E(X 2 i ) Ü Ø Ö Öº ÐÐ Ö S n E(S n ) Var(Sn ) Z N(0, 1) Ö ÐÒ Ò º Ä ØØ Ö ØÙÖ ÒØ Ò Ò Ö Ý Ö Ðº º Ô Ð Ò Ð ØØ Ö ØÙÖ ÙÒ Ã¹Äº ÓÙÖ Ò ÔÖÓ Ð ØÝ Ø ÓÖݺ À ÖÓÙÖØ Ö ² ÏÓÖÐ Òº Æ Û ÓÖ ½ µ Ê Äº Ë ÒÒÓÐ Ø ÐÖ Ó ËØ Ø Ø º Ð ÓØ ÖÐ Ø ËØÓ ÓÐÑ ½ µ ÌÙÓÑ Ò Ò Èº ÆÓÖÐ ÑÓ Èº ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒØ º Ä Ñ ÖÝ À Ð Ò ½ µ È Ö Ð Ò Ò ÖÒ Ö Ó ÒÚÒØ Ñ Ø Ö Ð ÖÒ Ð Ò Ö ÙØ º Ò ÒØ ÖÑ Ø ÓÙÖ Ò ÔÖÓ Ð ØÝ Ø ÓÖݺ ËÔÖ Ò Ö Î ÖÐ Æ Û ÓÖ ÖÐ Ò À Ð Ö ½ µ ¾½

Å Ø Ö Êº Ò ØÙÖ Ð ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÔÖÓ Ð ØÝ Ø ÓÖݺ Ö Ù Ö Ð ¾¼¼ µ È ØÑ Ò Âº ÈÖÓ Ð Øݺ ËÔÖ Ò Ö Î ÖÐ Æ Û ÓÖ ÖÐ Ò À Ð Ö ½ µ ¾¾