. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim 0. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a. f() = 2 + 2. 2 + 2 3 b. f() = 2 3 + 2 då < < 2. 2 + 6 då < 2 + 2 c. f() = 2 4 + 3 då < < 3. 2 2 då < 3. Undersök om det finns någon punkt = a sådan att f(a) = då a. f() = + 2. b. f() = 765 4 + + 6 764 4 + 2 + 700000. 4. Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. 3 + 4 2 + 3. b. sin sin + cos. c. (2 + )3 ( ) 4. d. 2. e. ln sin(2 + ). f. ( 2 )e. 5. Beräkna höger och vänsterderivatorna i = 0 till följande funktioner: a. f() = sin 2 2 b. f() = cos. c. f() = sin. 6. Bestäm ekvationen för tangenten och normalen till kurvan y = ( + ) 3 3 i punkten a. (,0). b. (2,3). c. (3,0). 7. Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. cos 2. b. ln tan 2. c.. d. sin. 8. En normal till kurvan y = ln är parallell med linjen 2 2y = 3. Bestäm normalens ekvation.
9. Tangenten i punkten P till kurvan y = 2 42 skär y aeln i punkten A. Visa att punkten A ligger lika långt från P som från origo. 0. Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. + 2 2 3. b. 2 + 32 c. (3 sin 2 2 cos 3) 4. d. e sin 2. e. ln + 2 sin 2 3.. Bestäm ekvationen för tangenten och normalen till kurvan a. y = ( ) 9 (2 3) 8 i punkten (2, ). b. y = ( )8 i punkten (2,). (2 3) 9 2. Hur stor kan lutningen hos tangenten till kurvan y = ln( + + 2 ) vara maimalt? 3. Tangenten i en punkt på kurvan y = 2 e 2 är parallell med linjen 2y =. Bestäm tangentens ekvation. 4. Beräkna följande gränsvärden: a. lim. b. lim (2 2 + 4 2 + 3). c. lim 0 sin 2. 5. Finns det något värde på konstanten A så att funktionen f() = 2 + då 0 4 blir kontinuerlig i punkten = 0? A då = 0 6. Beräkna derivatan dy d (a c) och d2 y d 2 (d e) uttryckt i och y då funktionen y = y() definieras av: a. 3 y + y 3 =. b. cos y + y sin = 0. c. y y = 3 +. d. 3 y 3 + y =. e. y + y3 3 =. 7. Bestäm ekvationen för tangenten och normalen till kurvan a. ( 2 + y 2 ) 2y 2 = 0 i punkten (,). b. sin y + y cos = 2 y i punkten (0,0).
8. Antag att funktionen y = f() är deriverbar och har en invers y = f (). Sant eller fel: a. Punkten (,2) ligger på kurvan y = f() punkten (2,) ligger på kurvan y = f (). b. f () = 3 (f ) (2) = 3. c. Linjen y 2 = 3( ) är tangenten till kurvan y = f() i punkten (,2) linjen y = 3 ( 2) är tangenten till kurvan y = f () i punkten (2,). 9. Beräkna eakt (svaren får inte innehålla cyklometriska eller trigonometriska funktioner): a. arctan 3. b. arcsin 2 + arccos 2. c. arccos tan π 3 sin π 3. d. sin arcsin 2 3. e. cos arccos 2. f. arcsin 2 + arcsin 3 2. g. tan arcsin 4 5. h. sin arccos 7 9. i. arcsin sin 3π 5. j. arccos cos π 5. k. cos arcsin 3. l. tan arccos 7 9. 20. Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. arctan( + 2). b. arctan 2. c. arccot. d. arcsin 2. e. arccos. 2 f. arctan 2 + 2. g. arctan 2 + ln( + 4 2 ). h. 2 arcsin 2 + 4 2. i. arctan + arctan. j. ln 2 + 4 2 + arctan 2. k. 2 arccos 2 2 4 2. l. arcsin + 2. m. arctan 2. n. arctan( + 2) arctan o. arccos +. + 2. p. arcsin 2 + 2, < < 0. 2. Bestäm i förekommande fall inversfunktionen f () till den funktion f () som anges nedan. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till f resp. f. a. f() = + 2 + 3. b. f() = 2 + 2. c. f() = ln( + ) ln( ). d. f() = ln( + ) + ln( ).
22. Bestäm största och minsta värdena till funktionen f() = 2 3 5 2 + 25 på intervallet a. 0 2. b. 0 5. c. 0 6. 23. Bestäm största och minsta värdena till följande funktioner: a. 2 2 + arcsin, 0. b. + 2 ln( 4 + 6 2 ), 5. c. 4 2 + 3. d. 2 4 2, 0 4. 24. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen a. f() = + 3. b. f() = + arcsin. 25. Bestäm största och minsta värdena till följande funktioner: a. f() = 2 + 4 3. b. f() = ln( + ) 2 arctan. c. f() = 2 + arctan 2. + 42 d. f() = 2 3 + 7 om 3 2 3 + 37 om 3 8. 26. Bestäm lokala etrempunkter till följande funktioner: a. f() = + ln(2 2 + 2 ). b. f() = 4 + 5 ln(2 2 + 2 ). c. f() = + 3. d. f() = + arctan( 2). 27. Visa följande olikheter: a. 2 ln 2, för alla 0. b. ln( + 2) 3, för alla 0. + 2 c. e, för alla. 28. Bestäm i förekommande fall det största och det minsta värdet till följande funktioner: a. f() = 2 + 4 2 + arctan 2. + b. f() = 2 4 2 + arctan 2. + c. f() = 4 4 2 + arctan 2. + 29. Hur stor kan lutningen hos tangenten till kurvan y = 2 + 2( ) arctan ( + ) ln( 2 + ) maimalt vara? 30. Skissera graferna till funktionerna:
a. f() = arctan( + 2 ) arctan 2 2 + 2. b. f() = 2 arctan arcsin 2 + 2. 3. Visa att funktionen f är inverterbar a. f() = 3 arctan 2. b. f() = +. 32. Hur stor kan produkten ab av två tal a och b maimalt vara om a 4 + 2b 2 = 48? 33. Bestäm de intervall där funktionen f är monoton: a. f() = ln( + 4 ) 2 ln( + 2 ). b. f() = ln + 2. 34. Visa följande olikheter: a. sin + cos + 2, för alla 0. b. ln( + 2) + ln( + 3) 5, för alla 0. c. sin cos + 2, för alla 0. 35. Har ekvationen 4 + 4 + 4 = 0 någon reell lösning? 36. (a). Bestäm en linjär approimation av funktionen f() = e i närheten av punkten a = 0. Använd resultatet och beräkna ett approimativt värde av e 0,. Uppskatta felet mellan det verkliga värdet e 0, och det approimativa värdet. (b). Samma uppgift som i (a) men nu är f() = /3, a = 8 och du skall approimativt beräkna 9 /3 och uppskatta felet vid approimationen. 37. Beräkna följande gränsvärden: a. lim arctan 2 arctan 3 0 arctan 2 + arctan 3 c. lim 0 6 + 2 sin 3 6 + 3 sin 2 e. lim 0 ln( + 2) ln( + 3) b. lim arctan 2 arctan 3 arctan 2 + arctan 3 d. lim 0 6 2 sin 3 6 3 sin 2 f. lim ln( + 2) ln( + 3) 38. Bestäm konstanterna a och b så att lim 0 a 2 + b cos = 2. 39. Betrakta kurvan 2y = + 2 ln + ln( + ). Låt f() beteckna vinkel mellan tangenten till kurvan i punkten (,y) och aeln. Beräkna lim f(). 40. (a). Bestäm en linjär approimation av funktionen f() = ln( + 3) i närheten av punkten a = 0. Använd resultatet och beräkna ett approimativt värde av ln,3. Uppskatta felet mellan det verkliga värdet ln,3 och det approimativa värdet.
(b). Samma uppgift som i (a) men nu är f() = 3 + 6, a = och du skall approimativt beräkna 9,6 och uppskatta felet vid approimationen. 4. Beräkna följande gränsvärden: a. lim ( + 2) / 0 b. lim ( + e ) / c. lim sin 2 ln 0 d. sin 2 e. lim 0 +cot 3 ln( + 6) f. ( + 6)cot 3 g. lim arctan 2 h. lim (arctan 5 arctan 2) 42. Bestäm konstanten a så att gränsvärdet lim ( 2 )e + a 0 ( ) ln( ) och beräkna gränsvärdet. är ändlig 43. Läs om vertikala (=lodräta) och horisontella (= vågräta) asymptoter på s. 248. Bestäm alla vertikala såväl som horisontella asymptoter till kurvorna: a. y = 4 + 6 2 + 2. b. y = 3 arctan 4 2 arctan 2 + 2 + 3. c. y = (2 + ) arctan 4. + 44. Bestäm Taylorpolynomet av andra graden av a. f() = i punkten a = 0. + 2 b. f() = i punkten a =. + 2 c. f() = 2 + 3 + 4 2 + 5 3 i punkten a = 0. d. f() = 2 + 3 + 4 2 + 5 3 i punkten a =. e. f() = sin( ) i punkten a =. f. f() = 2 ln( + ) i punkten a = 0. g f() = ln( + ) i punkten a = 0. 45. Bestäm Taylorpolynomet av andra graden av f() = kring punkten a = 4. Använd polynomet för att beräkna ett approimativt värde av 5. Uppskatta felet i approimationen. 46. Bestäm Taylorpolynomet av tredje graden av f() = sin kring punkten a = 0. Använd polynomet för att beräkna ett approimativt värde av sin 0.. Uppskatta felet i approimationen. 47. Bestäm Taylorutvecklingen av ordning 3 kring punkten a = till följande funktioner. Restermen ges på ordoform. a. f() = ln. b. f() = ln 3 +. 48. Bestäm MacLaurinutvecklingen (= Taylorutvecklingen kring punkten a = 0)
av ordning 3 till följande funktioner. Restermen ges på ordoform. a. f() = sin 3. b. f() = ln( + 2). c. f() = ln( + 2) sin 3. d. f() = e 3. e. f() = + 2. f. f() = e 3 + 2. 49. Bestäm Taylorpolynomet av andra graden av f() = e kring punkten a = 0. Använd polynomet för att beräkna ett approimativt värde av e 0.. Uppskatta felet i approimationen. 50. Bestäm Taylorpolynomet av fjarde graden av f() = cos kring punkten a = 0. Använd polynomet för att beräkna ett approimativt värde av cos 0.. Uppskatta felet i approimationen. 5. Låt f() = cos( 2 ). Beräkna derivatan f (8) (0). Svar:. a.. b. 4. c. 2. d. 2. 2. a. Ja. f() = 3. b. Ja. f() = 4. c. Nej. 3. a. Ja. b. Ja. 4. a. (2 + 3) 2. b. + sin 2. c. 2(7 )(2 + )2 ( ) 3. d. 2 2 2 ( 2 ) 3/2. e. 2 cot(2 + ). f. ( 3 + 2 )e. 5. a. f +(0) = 2, f (0) = 2. b. f +(0) =, f (0) =. c. f +(0) = f (0) = 0. 6. a. Tangent: y = 3 4 ( + ). Normal: y = b. Tangent: y = 3. Normal: = 2. c. Tangent: = 3. Normal: y = 0. 7. a. 3 2 2 ( + ). 2 sin 2. b. 2 sin 4. c. ( + ln ). d. sin ( cos ln + sin ). 8. y = 3e 2. 0. a. 7 (3 2) 2. b. 3 + 6 2 2 + 3. 2 c. 24(3 sin 2 2 cos 3) 3 (cos 2 + sin 3). d. 2 cos 2 e sin 2. e. 6 sin 3 cos 3 + 2 sin 2 3. a. Tangent: 25 + y = 49. Normal: 25y = 27. b. Tangent: 0 + y = 2. Normal: 0y + 8 = 0. 2.. 3. 2y = 0.
4. a. 2. b. /4. c. /2. 5. Nej. 6. a. y(32 + y 2 ) ( 2 + 3y 2 ) b. y cos + cos y sin y sin. c. (3 2 + )y y + ln y. d. dy d = y, d2 y d 2 = 2y 2. e. dy d = y, d2 y d 2 = 0. 7. a. Tangent: 2 y =. Normal: + 2y = 2. b. Tangent: y = 0. Normal: + y = 0. 8. a. Sant. b. Sant. c. Sant. 9. a. π/6. b. 5π/6. c. π/6. d. 2/3. e. /2. f. π/2. g. 4/3. h. 4 2/9. i. 2π/5. j. π/5. k. 2 2/3. l. 4 2/7. 20. a. d. g. j. m. p. + 2 + 2. b. 2 2. c. 2( + ). 4. e. 2 + 2. f. 2 + 2. 2( + 4). h. 2 arcsin 2. i. 0. + 42 2( 4) (4 + 2 ). k. 4. l. 2 + 2. ( + 4). n. 0. o. ( + 2 ).. 2 2. a. f () = 2 3. D f = V f = alla rella tal 3. V f = D f = alla rella tal. b. Har ingen invers. c. f () = e + e. D f = V f = alla rella tal >. V f = D f = alla rella tal 0. d. Har ingen invers. 22. a. ma = 2, min = 0. b. ma = 2, min = 6. c. ma = 36, min = 6. 23. a. 3/2 π/6 och π/2. b. 4 + 4 ln 2 och. c. 5 och 3. d. och 5. 24. a. D f = [, 3], V f = [ 2, 2]. b. D f = [,], V f = [π/2, 2 π/2]. 25. a. och 0. b. min = ln 2 π/2, ma saknas. c. ma och min saknas. d. 7 och 2/4. 26. a. Finns inga. b. Lok ma i, lok min i /2.
c. Lok min i och 3, lok ma i 2. d. Lok ma i 0, lok min i. 28. a. Ma = + π/2, min saknas. b. Ma och min saknas. c. Ma = 3/2 + π/3, min = 3/2 π/3. 29. π/2 ln 2. 30. a. y = π/4 b. y = 0 32. 8. 33. a. Strängt avtagande då < eller 0 < <. Strängt väande då < < 0 eller >. b. Strängt avtagande då /2 < < 0. Strängt väande då > 0. 35. Nej. 36. a. Linjär approimation p() = +. Approimativt värde e 0,,. Fel < 0,005. b. Linjär approimation p() = 2 + ( 8)/2. Approimativt värde 9 /3 25/2. Fel < /288. 37. a. /5. b. 0. c.. d. 9/4. e. 2/3. f.. 38. a = och b = 0. 39. π/4. 40. a. Linjär approimation p() = 3. Approimativt värde ln,3 0,3. Fel < 9/200. b. Linjär approimation p() = 2 +. Approimativt värde 9,6 3,. Fel < /600. 4. a. e 2. b. e. c. 0. d.. e. 2. f. e 2. g. /2. h. 3/0. 42. a =, gränsvärdet = /2. 43. a. y = 3. b. y = π, y = 2π. c. y = π, y = π, =. 44. a. 2 + 4 2. b. 2( + ) 4( + ) 2. c. 2 + 3 + 4 2 + 5 3. d. 4 + 26( ) + 9( ) 2 e.. f. 0. g. 2. 45. p() = + /4 ( 4) 2 /64, 5 43/64, Fel < /52. 46. p() = 3 /6, sin 0. 599/6000, Fel < /240000. 47. a. ( ) 2 + 23( ) 3 /24 + O(( ) 4 ). b. ( )/2 5( ) 2 /6 + 6( ) 3 /768 + O(( ) 4 ). 48. a. 3 9 3 /2 + O( 4 ).
b. 2 2 2 + 8 3 /3 + O( 4 ). c. 2 2 2 3 + O( 4 ). d. 3 + 9 2 /2 9 3 /2 + O( 4 ). e. + 2 /2 + 3 /2 + O( 4 ). f. 2 + 2 + 2 3 + O( 4 ). 49. p() = + 2 /2, e 0. 8/200 Fel < /6000. 50. p() = 2 /2 + 4 /24, cos 0. 23880/240000, Fel < /2000000. 5. 680.