Övningsuppgifter; Exponentialekvationer och logaritmer 1) Lös ekvationerna. Svara exakt. x 5 = 11 5 x = 11 2/0/0 2) Lös ekvationerna x 3,5 = 1589 5 2 x = 34 2/0/0 3) Lös ekvationerna. edovisa din lösning och avrunda ditt svar till tre decimaler 3 x 4 = 600 40 1, 15 x = 1200 4/0/0 4) Lös ekvationerna 3 x = 3 2 3 2x lg x = 3 1/1/0 5) Antalet bakterier N (t) i en bakteriepopulation som odlas i en näringslösning växer exponentiellt enligt modellen N (t) = 500 1, 28 t, där t är tiden i timmar. Vilken är populationens storlek efter 36 timmar? Ange svaret med tusen bakteriers noggrannhet. ed hur många procent växer populationen varje timme? c) Hur många timmar tar det för populationen att till storleken överskrida en miljon? 3/1/0
6) Lisa och elle köper en moped för 7500 kr. Lisa tror att mopeden kommer att sjunka i värde med 10 % per år medan elle tror att den kommer att sjunka med 500 kr/år. Hur mycket skulle mopeden vara värd efter 5 år med Lisas respektive elles modell? Beskriv Lisas och elles modeller som matematiska funktioner. c) Hur lång tid tar det enligt de olika modellerna till mopedens värde halverats? d) Utred vilken av modellerna som du anser vara mest lämplig. 3/6/0 7) Figuren visar ryska dockor, så kallade "matrjósjka". Dockorna tillverkas av trä och går att placera inuti varandra. Den största ryska dockan som tillverkats är 100 cm hög. Antag att den näst största dockan är 5 % kortare än den största dockan och att den procentuella minskningen är densamma genom hela dockserien. Hur många dockor ingår i dockserien om den minsta dockan är 2,6 cm hög? 0/3/0
8) Ett exemplar av Apples första datormodell såldes under år 2013. I samband med försäljningen kunde man läsa följande i en tidningsnotis: riset för datorn har därmed tusenfaldigats, sedan den ursprungligen såldes 1976. Den tillverkades för hand av företagets båda grundare, ledaren Steve Jobs och programmeraren Steve Wozniak, hemma i Jobs garage. Enligt tidningsnotisen såldes datorn år 2013 till ett pris som var tusen gånger så stort som priset år 1976. Anta att den procentuella prisökningen varit lika stor varje år. Beräkna den årliga procentuella prisökningen mellan år 1976 och år 2013 för datorn. 0/3/0 9) Karolina häller upp en kopp kaffe i ett rum där temperaturen är 20 C. Hon mäter kaffets temperatur direkt och därefter varje minut under de första 5 minuterna. Karolina anpassar sedan sina mätvärden till den matematisk modellen T( t ) = 95 10 0,016t där T är kaffets temperatur i C och t är tiden i minuter efter att Karolina startade sin mätning av temperaturen. Bestäm temperaturen hos kaffet då Karolina startade sin mätning. Bestäm hur lång tid tar det innan kaffet är 60 C. c) Bestäm med hur många procent temperaturen hos kaffet minskar per minut. d) Karolinas modell stämmer väl överens med verkligheten i början. Utvärdera hur väl hennes modell stämmer överens med verkligheten över tid. 4/2/1 10) Lös ekvationerna och svara exakt i enklaste form 2 x = 3 5 2 2x 12 = 49988 1/1/1
11) Julia jobbar på kundtjänst på en bank i Uppsala. En av bankens kunder har satt in pengar på ett sparkonto och ringer för att få veta om det är möjligt att hens belopp kan trefaldigas på 15 år. Vilken information behöver Julia som minst för att lösa problemet? Vad skall Julia svara? otivera ditt svar med beräkningar och resonemang. 1. Beloppet som kund har satt in på kontot. 2. Beloppet som kunden satt in på kontot samt den årliga räntesatsen i procent. 3. äntesatsen i procent. 4. Ingen information 0/1/1 12) Sherlock Holmes ringer dig för att han behöver hjälp med att lösa en mordgåta. Den information han ger dig är följande: En kvinna har mördats under midsommarnatten. å midsommardagens morgon larmas polisen och en rättsläkare undersöker kroppen. Läkaren mäter kl. 8:00 kvinnans kroppstemperatur till 30, 5 C. Sex timmar senare är kroppsteperaturen 26, 5 C. Normal kroppstemperatur är 37, 0 C och man antar att kroppstemperaturen avtar exponetiellt efter döden. Det finns tre misstänkta för dådet: Batman har inget alibi mellan 23:00 och 23:30 Stålmannen har inget alibi mellan 23:30 och 00:00 Iron man har inget alibi mellan 00:00 och 00:30 Vem är den skyldige? otivera ditt svar. 0/1/2
Bedömningsanvisningar 1) x = 11 eller 1 5 5 x = 11 lg 11 x = eller lg 5 x = 11 log 5 2) 8,2 Godtagbart svar. 2,77 Godtagbart svar. 3) x = 3, 761 Korrekt svar edovisad lösning x = 24, 336 Korrekt svar edovisad lösning 4) x = 2 Korrekt svar x = 1000 Korrekt svar B
5) 3 619 000 bakterier 28 % c) 31 timmar (30,79032674) Godtagbar lösning med godtagbart svar L L 6) Lisas modell ca 4400 kr, elles modell 5000 kr. Ett korrekt svar. Båda svaren korrekt. L L Lisas: f ( x ) = y = 7500 0, 9 x elles: f (x) = y = 7500 500x Korrekta svar Variabler benämnda. K c) Lisa: ca 6,5 år elle: 7,5 år Korrekt uppsatt ekvation för någon av modellerna och godtagbar påbörjad lösning. Korrekt löst ekvation och svar för Lisas modell. Korrekt löst ekvation och svar för elles modell. d) Enkelt resonemang om skillnaden på värdeminskning i de olika modellerna. Tydligt resonemang som visar förståelse för att mopedens värde skulle kunna gå under 0 kr enligt elles modell men inte Lisas. L L 7) 72 st Godtagbar ansats, t.ex. ställer upp ekvationen 100 0, 95 x = 2, 6 Löser ekvationen Korrekt svar där man inser att x = 0 ger längden på den första dockan. L
8) 21 % Godtagbar ansats, tolkar problemet och kommer fram till ekvationen 1000 = a 37 med i övrigt godtagbar lösning med godtagbart svar. Lösningen kommuniceras på C nivå. K 9) 95 C Godtagbar lösning med korrekt svar. Godtagbar ansats, t.ex. ställer upp ekvationen 95 10 0,016t = 60 med godtagbar fortsättning, t.ex logaritmerar båda sidor 60 lg = 0, 016t 95 med godtagbart svar (12,5 min) c) Godtagbar lösning med godtagbart svar. minskningen blir 3,6 % 10 0,016 = 0, 964 d) Utvärderar Karolinas modell med ett enkelt omdöme. Omdömet visar insikt om att Karolinas modell inte tar hänsyn till omgivningens temperatur. Utvärderar Karolinas modell med ett nyanserat omdöme. Omdömet visar insikt om att Karolinas modell inte tar hänsyn till omgivningens temperatur och hur denna brist påverkar modellens egenskaper. 10) x = lg 3 lg 2 x = 2 lg 2 lg 10000 Korrekt svar men inte i enklaste form, t ex x =. 2 lg 2 Korrekt svar i enklaste form
11) alt 3, orimligt med den räntesats som är på dagens sparkonto Eleven väljer alt 2 och visar med resonemang/beräkning av räntesatsen och visar att denna information räcker eller väljer alt. 3 med beräkning av räntan men svarar att det är ok om räntesatsen är 7,6% väljer alt.3 och visar tydligt med resonemang och beräkningar att den informationen räcker och att räntesatsen 7,6% är mer än vad dagens ränta är, ger förslag på rimlig ränta. Julia måste svara att det är orimligt. 12) Stålmannen är den skyldige, eftersom mordet ägde rum kl. 23:45 Godtagbar ansats, till exempel ställer upp sambandet 30, 5 a 6 = 26, 5 Ställer upp ett samband mellan temperaturen och tiden till exempel: T( t ) = 37 0, 9768t eller T ( t ) = 30, 5 0, 9768 t Godtagbar bestämning av tidpunkt för kvinnans död (ca 23:45) L