Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte........... =.... Multiplicera i valfri ordning. Man kan t.e. börja med att multiplicera in. Multiplicera i valfri ordning. Den här gången kan vi börja med att multiplicera parenteserna. Använder kvadreringsregeln
. =.... Enligt räknereglerna måste upphöjningen räknas före multiplikationen... Använder konjugatregeln.. a a a a a.. Minst jobb att köra konjugatregeln först och multiplicera med sen. Obs kvadreringsregeln eller..... =
......... multiplicera med mgn: förkorta,. multiplicera med mgn:,. multiplicera med mgn: Förkorta
. multiplicera med mgn:. mult. Med mgn. eller.. Vilket är de eakta svaren. Om svaren ska avrundas till t.e. värdesiffror fås,.. Om en produkt av två faktorer ska bli noll, räcker det med att en av faktorerna är noll. eller. ger ger ger. ger ger. Eftersom produkten inte ska bli noll kan vi inte använda att varje faktor ska vara noll. Löser med pq-formeln.
... Ekvationen saknar reella lösningar eftersom det fås ett negativt tal under rottecknet. Det finns inget reellt tal multiplicerat med sig självt som blir -...
.. mgn: + Vilket är de eakta svaren. Vill man svara med tre värdesiffror fås,,. Om man tcker det är svårt att se vad är gemensamt i de båda termerna så kan man göra så här. Nu sns att finns i båda termerna. Därför kan brtas ut Svar: Du kan alltid kontrollera ditt svar, i detta fall genom att multiplicera in i parentesen och se att du får det uttrck som du hade från början. Här finns faktorn i båda termerna Därför kan brtas ut Svar:. Här finns både och i båda termerna så jag brter ut Svar:. Det finns ett och ett alla termer så jag brter ut Svar. Svar
.. Här finns inget som går att brta ut men man kan använda konjugatregeln baklänges i täljaren Förkorta med - Svar Här kan man använda kvadreringsregeln baklänges i täljaren Förkorta med + Svar:. Brter ut Nu löses denna ekvation som du tidigare gjort i t.e uppgift eller Svar. Brter ut eller Svar:. eller Svar och. Brter ut eller Svar: och. eller Svar och. eller Svar och
. faktoriserar med kvadreringsregeln eller använd pq-formeln eller och Kallas dubbelrot när =. m-värdet får man genom att titta var linjen skär -aeln. Denna linje skär -aeln där = - Därför får vi att m = - För att beräkna k värdet används formeln k Så man väljer två godtckliga punkter på linjen t.e, - och,. Om man väljer den första punkten som punkt så blir och. Den andra punkten blir då punkt så och Vi får k Så vi har m = - och k = Linjens ekvation blir =. m = Jag väljer punkterna, och, Vi får k Vi har m = och k = Linjens ekvation blir = +. m = Jag väljer punkterna, och, - Vi får k Vi har m = och k = Linjens ekvation blir som skrivs. m = Jag väljer punkterna, och, Vi får k, Vi har m = och k = -, Linjens ekvation blir = -, +. m = Jag väljer punkterna B =, och A =, Vi får k Vi har m = och k = Linjens ekvation blir = + som skrivs = +. Punkterna är, och,. Börjar med att beräkna k-värdet k Sätter in k-värdet och en av punkterna i k m Jag väljer punkten,. Så jag stoppar in k=, = och = i k m. Då fås: m m m m m Nu vet jag att k= och m= så ekvationen bli som skrivs Den sökta linjens ekvation är
. Punkterna är, och,. Börjar med att beräkna k-värdet k Sätter in k-värdet och en av punkterna i k m Jag väljer punkten,. Så jag stoppar in k=, = och = i k m. Då fås: m m m m m Nu vet jag att k= och m=- så ekvationen bli Den sökta linjens ekvation är. Punkterna är -, och,-. Börjar med att beräkna k-värdet k Sätter in k-värdet och en av punkterna i k m Jag väljer punkten -,. Så jag stoppar in k=-, =- och = i k m. Då fås: m m m m m Nu vet jag att k=- och m=- så ekvationen blir Den sökta linjens ekvation är. Punkterna är,- och -,-. Börjar med att beräkna k-värdet k Sätter in k-värdet och en av punkterna i k m Jag väljer punkten -,-. Så jag stoppar in k=, = - och = - i k m. Då fås: m m m m m Nu vet jag att k= och m= - så ekvationen bli Den sökta linjens ekvation är
. Punkterna är -,- och -,-. Börjar med att beräkna k-värdet k Sätter in k-värdet och en av punkterna i k m Jag väljer punkten -,-. Så jag stoppar in k=, = - och = - i k m. Då fås: m m m m m m Nu vet jag att k= och m= så ekvationen bli Den sökta linjens ekvation är. Om två linjer är parallella så måste de ha samma lutning. Detta innebär att de har samma k-värde. Så linje L har också k- värdet -. Sätter in k-värdet och punkten i k m Jag har punkten,. Så jag stoppar in k= -, = och = i k m. Då fås: m m m m m Nu vet jag att k= - och m= så ekvationen bli Den sökta linjens ekvation är. Linje L har samma k-värde som linje M. Men linje M är skriven i allmän form så man ser inte k-värdet. Men om man i linje M löser ut så ser man k-värdet. Linje M: Nu ser vi att k-värdet för de båda linjerna är Sätter in k-värdet och punkten i k m Jag har punkten -,-. Så jag stoppar in k=, = - och = - i k m. Då fås: m m m m m Nu vet jag att k= och m= så ekvationen bli Den sökta linjens ekvation är
. Om linjerna är parallella så har de samma k-värde. Linjerna är skrivna i allmän form så man ser inte k-värdet. Därför får man i båda linjerna lösa ut för kunna se k-värdena. Börjar med linje L. Vi se att linje L Har k = Fortsätter med linje M Vi ser att linje M har k = Eftersom linjerna har olika k-värden så är de inte parallella.. a Eftersom termen är positiv + framför så har kurvan formen av en glad mun vilket innebär att funktionen har minimipunkt. b Eftersom termen är negativ - framför så har kurvan formen av en ledsen mun vilket innebär att funktionen har maimipunkt. c Eftersom termen är positiv + framför så har kurvan formen av en glad mun vilket innebär att funktionen har minimipunkt.. a = när = eller = Nollställen = eller = b = - ligger mitt emellan nollställena. c = - är smmetrilinjen d Minsta -värdet när = - Minsta värdet är också - e Minpunkt -, -. a = när =- eller = Nollställen: = eller = b = ligger mitt emellan nollställena. c = är smmetrilinjen d Största -värdet när = Största värdet är e Mapunkt,. a Nollställen saknas eftersom funktionen aldrig skär -aeln b saknas c Smmetri kring minpunkten. = är smmetrilinjen d Minsta -värdet när = Minsta värdet är e Minpunkt, d Eftersom termen är negativ - framför så har kurvan formen av en ledsen mun vilket innebär att funktionen har maimipunkt.
. a + tecken framför innebär att funktionen har minpunkt. Söker nollställen genom att sätta = + = = = = = = + = Nollställen: = och = Smmetrilinje: = mitt mellan nollställena Minsta värde när = Stoppa in =, i ursprungsfunktionen = + = Minsta värde: = - Minpunkt, - b + tecken framför innebär att funktionen har minpunkt. Söker nollställen genom att sätta = + = dividerar med + = =,, =,, =,, = =, +, = Nollställen: = och = Smmetrilinje: =, mitt mellan nollställena Minsta värde när =, Stoppa in =, i ursprungsfunktionen, =,, + =, Minsta värde: = -, Minpunkt,, -, c - tecken framför innebär att funktionen har mapunkt. Söker nollställen genom att sätta = + = dividerar med - för att få + framför + = = =,, Saknar reella lösningar därför finns inga nollställen. Smmetrilinje finns dock i =, Nollställen: Saknas Smmetrilinje: =, Största värde när =, Stoppa in =, i ursprungsfunktionen, =, +, =, Största värde: = -, Mapunkt,, -, d + tecken framför innebär att funktionen har minpunkt. Söker nollställen genom att sätta = = faktoriserar = nollproduktmetoden = eller = = = Nollställen: = och = Smmetrilinje: = mitt mellan nollställena Minsta värde när = Stoppa in = i ursprungsfunktionen = = Minsta värde: = - Minpunkt, -
. a = = ger = = ger = måste alltså ligga mellan och testning med räknare ger, b = = ger = = ger = måste alltså ligga mellan och ganska nära verkar det som testning med räknare ger, c, = Om man testar med väande positiva tal så blir svaret bara mindre och mindre. Vi får prova med negativa tal = - ger, = = - ger, = måste alltså ligga mellan - och - testning med räknare ger,. a lg, b lg = c lg är det tal som ska upphöjas till för att bli se fråga b d lg = e lg = f lg är det tal som ska upphöjas till för att bli se fråga e g lg, h lg = i lg är det tal som ska upphöjas till för att bli se fråga h j lg = detta är ett viktigt samband som du senare kommer att använda för lösa logaritmekvationer. a lg + lg = lg = lg = b lg lg = lg = lg = c lg + lg lg = lg lg = lg lg = lg = lg = d lg = lg, e lg = lg detta är ett viktigt samband som du senare kommer att använda för lösa ekvationer där är eponent. a = logaritmerar båda led lg = lg anv log.lag i VL lg = lg dividerar med lg lg lg = lg förkortar i VL lg = lg eakt svar lg, avrundat svar b = lg = lg lg = lg = lg lg, c, = lg, = lg lg, = lg = lg lg,,
. a = dividerar med = förkortar = logarimerar båda led lg = lg anv log.lag i VL lg = lg dividerar med lg lg lg = lg lg förkortar i VL = lg eakt svar lg, avrundat svar b + = = = lg = lg lg = lg = lg lg, c + = = = Här ser man kanske att =?? Om inte så får man logaritmera lg = lg lg = lg = lg lg = d = lg = lg lg = lg = lg lg om man vill kan man anv log.lag i nämnaren och skriva: = lg lg = lg lg = lg lg,
e = = = lg = lg lg = lg = lg lg = lg lg, f + = lg + = lg + lg = lg + = lg lg = lg lg =, lg lg g + = = = = = lg = lg där lg = lg =
lg = lg lg = lg = lg + = lg +,. a lg = lg = b lg = lg + lg lg = lg lg = lg = c lg = lg + lg lg = lg lg = lg lg = lg lg = lg =, f lg + lg = lg + lg lg = lg lg = lg lg = lg lg = lg = g lg = lg lg = lg lg = lg = h lg = lg lg = lg lg = lg lg = lg lg = lg = i lg lg lg lg = lg lg = lg = = lg + lg = lg lg lg d lg = lg lg lg = lg lg = lg = e lg = lg lg lg = lg lg = lg lg = lg =