Hållfasthetslära HT1 7,5 hp halvfart Janne Carlsson
tisdag 11 september 8:15 10:00 Föreläsning 3 PPU203 Hållfasthetslära Förmiddagens agenda Fortsättning av föreläsning 2 Paus Föreläsning 3: Kapitel 4, Materialsamband Materialdata 2
Normaltöjning - Deformation Förskjutning Deformation Töjning Förskjutning Någonting har flyttat på sig en viss sträcka förskjutningen Har vi en deformation vid alla förskjutningar? Om allt rör sig samma sträcka? Nej, ren translation Om olika delar rör sig olika sträckor? Det kan vara en rotation Om delar rör sig relativt varandra? Då har vi en deformation Förskjutningen kan delas upp i: Translation Rotation - Deformation 3
Deformation Deformation kan delas upp i: Volymsändring Formändring Om en stång med ursprunglig längd L 0 förlängs så att den får längden L så blir deformationen d = L L 0 d (delta) är grekiskans d 4
Normaltöjning Om en stång med ursprunglig längd L 0 fick deformationen d så vill vi kunna beskriva denna deformation per längdenhet. ε = δ L 0 Detta samband gäller bara då töjningen är konstant 5
Förskjutning och normaltöjning Om töjningen varierar längs en stång så måste vi definiera töjningen annorlunda ε x = du x dx u x = ε x dx δ = u L 0 u 0 = 0 L 0 ε x dx 6
Sann töjning logaritmisk töjning ε = δ L 0 kallas för linjär töjning ε 1 + ε 2 ε 2 + ε 1 när man räknar med linjär töjning Genom att teckna totala töjningen som summan av (oändligt) många deltöjningar får vi töjningen som integralen ε = dε = dl L = ln(1 + δ L 0 ) Linjär töjning duger utmärkt vid elastiska deformationer 7
Mätning av normaltöjning Deformation kan mätas med extensiometrar Kan ge töjningen om den är konstant över mätsträckan Lokal töjning kan mätas med töjningsgivare En tunn folie töjs och ändrar då sin resistans R = ρl A dr = kε, där k är givarfaktorn, ofta 2 R Givaren ger en mycket liten resistansändring som mäts i en obalansbrygga, Wheatstones brygga 8
Normaltöjning olika definitioner Vid liten och konstant töjning ε = δ L 0, längdändring, d, delad med ursprunglig längd, L 0 Linjär töjning Vid liten men varierande töjning ε = du(x), derivatan av förskjutningen dx Linjär töjning Vid stor töjning ε = L0 L dl L = ln( L L 0 ) = ln 1 + δ L 0 Sann töjning 9
Materialsamband Materialdata Hookes lag E-modulen Poissons tal Längdutvidgningskoefficienten Brottgräns Sträckgräns Utmattningsgräns Materialmodeller Men först en liten repris från i höstas 10
Spänning (Stress) 1 N/m 2 = 1 Pascal (Pa) 10 3 Pa = 1 kpa 10 6 Pa = 1 MPa = 1N/mm 2 10 9 Pa = 1 GPa 1 N = tyngden av ett äpple 1 Pa = trycket av ett Papper (100g/m 2 ) Normalspänning Kraften verkar normalt mot ytan Positiv F ger dragning (tension) Negativ F ger kompression (compression) Skjuvspänning Kraften verkar parallellt med ytan Skuggade ytan har skjuvspänning Hydrostatiskt tryck Volymsändring utan formändring Figure 4.3
Töjning (Strain) (a) Töjning är relativa ändringen och därför dimensionslös Normaltöjning är positiv vid dragning och negativ vid kompression Figure 4.3
Spänning Töjningskurvor Början är i stort sett linjär och är elastisk materialet återgår till ursprunglig form vid avlastning Inom det linjärt elastiska området så är spänningen proportionell mot töjningen E: E-modulen G: skjuvmodulen K: bulkmodulen Figure 4.4
Poissons tal, tvärkontraktionstalet Kvoten mellan ändringen av tjockleken och ändringen av längden Kopplar ihop E-modul, skjuvmodul och bulkmodul med varann Poissons tal är mellan -1 och 0,5 0,5 ger ett inkompressibelt material, t.ex. Gummi 0 för kork och 0,3 för metaller
Spänning Fri töjning Töjning kan orsakas av mer än spänning Om töjningen då förhindras så uppstår spänningar, t.ex. värmespänningar Figure 4.7
Hookes lag Ut tensio sic vis 1678 Såsom förlängningen så ock kraften σ = Eε Eller om man vill vända på det ε = σ E E är elasticitetsmodulen, E-modulen och är ett mått på materialets styvhet E-modulen anges ofta i GPa, gigapascal. 16
Längdutvidgningskoefficient, a, alfa Vid uppvärmning, DT, blir en stång längre. δ = L 0 α T Den termiska töjningen, e t, blir då: ε t = α T Hookes lag med temperaturterm ε = σ E + α T Värmespänningar Vid förhindrad töjning får vi värmespänningar vid temperaturändring 17
Styrka Sträckgräns R e, R el, R eh, Rp0,2, s s Brottgräns R m, s B Utmattningsgräns s D, s u 18
Materialmodeller Linjärt elastiskt material (LEM) Används då materialet är i det närmaste linjärt och belastas under sträckgränsen Linjärt elastiskt till brott Används vid analys av sprödbrott Linjärt elastiskt idealplastiskt material (LEPM) Används vid sega material som belastas ovan sträckgränsen Idealplastiskt material Används vid stora plastiska deformationer där den elastiska delen kan försummas Linjärt elastiskt deformationshårdnande material Används för höglegerade material vid belastning ovan sträckgränsen 19
Viskoelastiska material Visköst material σ = η dε, Newton-material dt Modelleras som en dämpare, F = cv Elastiskt material σ = Eε, Hookes lag Modelleras som en fjäder, F = kx Tvåparameter modeller σ = Eε + η dε, Kelvin-Voigt modell, solid dt dσ dt E + σ Τη, Maxwell modell, fluid dε = dt Treparameter modell Standard Linjär Solid modell (SLS), Zener modell 20