Primitiva funktioner och differentialekvationer Analys360 (Grundkurs) Blandade uppgifter När du har löst dessa övningar, ta dig tid att gå igenom vad du gjort. Tänk igenom att dina argument inte bara är rätt, utan att du tydligt har skrivit ner dem, så att en oberoende person kan förstå hur du resonerat (även om de inte förstår själva lösningen). Det är lätt att slarva med den delen, men den är nästan mer lärorik än att lösa talet. Diskutera gärna med en kamrat om hur man bör skriva ner lösningen! Lösningar till dessa uppgifter ska inte massproduceras eller läggas ut på internet! Övning Bestäm den funktion f som uppfyller b) f (x) = a) f (x) = x sin(x ), f (0) = 0, ( + x ) arctan x, lim f (x) = 0. x Använd sedan detta till att beräkna cos n x för n =, 3, 4, 5. Vilken formel får vi om vi byter cos n x mot sin n x? Övning Beräkna integralen cos x genom att göra variabelbytet t = sin x. Ett annat sätt att beräkna den är genom att börja med variabelbytet t = π x och sedan använda formeln för dubbla vinkeln för sinusfunktionen. Gör det också. Ser svaren likadana ut? Hur kan du se att det faktiskt är samma svar? Övning Bestäm alla primitiva funktioner till a) e x sin e x, b) x(x + ) 9, c) x cos x Övning 3 Beräkna integralen x + Övning 3 Bestäm samtliga primitiver till a) 5x 7x + 3 x 3 6x + x 6, b) x 5 + x 4 + x 3 + x, c) x + x + 4x + 6 Övning 4 Bestäm den funktion f som uppfyller f (x) = Övning 5 Bestäm alla primitiver till x + 6 (x ) (x + x + 5), lim f (x) = 0. x x + x x + + x. Övning 6 Finn en primitiv funktion till funktionen f (x) = x 4x + 34 (x + x + 5)(x + x 3). Övning 7 För vilka värden på konstanterna a och b gäller det att är en rationell funktion? ax + b (x )(x + ) Övning 8 Bestäm primitiva funktioner till de två funktionerna arctan x och arcsin x. Övning 9 Bestäm alla primitiva funktioner till a) sin(5x) cos(x), b) sin 4 (x) cos (x), c) e x sin(3x). Övning 0 Bestäm en primitiv till var och en av följande funktioner: a) sin(x) cos 3 x, b) cos x sin x + sin x, c) sin x + cos x. Övning Låt I n (x) vara den primitiva funktion till cos n x som är noll då x = 0. Visa att det gäller att I n (x) = n (sin x cosn x + (n )I n (x). genom att man gör varibelbytet x = tan t. Vilken viktig trigonometrisk formel är det du behöver använda? Du kan använda resultatet i föregående övning. Övning 4 a) Visa att om t = tan x, x < π, så följer att x = arctan t, sin x = t + t och cos x = t + t. b) Använd variabelbytet i a) till att beräknar cos x c) Använd variabelbytet i a) till att beräkna 3 4 + 5 sin x. Anmärkning Detta variabelbyte, som kallas Weierstrass substitution, överför en rationell funktion i cos x och sin x på en rationell funktion i t, vilket gör att sådana i princip alltid kan integreras. Övning 5 Bestäm alla primitiva funktioner till + x + x +, x >, genom att först göra variabelbytet t = x +. Övning 6 Bestäm alla primitiva funktioner till 3 x (x + ) x +, x > genom att göra variabelbytet t = (x )/(x + ). Övning 7 a) Visa genom derivation att x + = ln(x + x + ) + C. b) Visa att om t x = x + så följer att x = (t )/t. c) Bestäm primitiven i a) genom att göra variabelbytet i b).
Övning 8 Bestäm (4x + 3) x + Övning 9 Lös följande differentialekvationer a) y + 3y + y = (x + )e 3x, b) y 3y 4y = 5e x + 4x genom att göra variabelbytet t = x + x +. Övning 9 Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen y = x e x. Bestäm också den lösning som uppfyller begynnelsevillkoret y(0) =. Övning 0 Lös ekvationerna a) y + xy = 0, b) xy + 0y = ln x, x > 0, Övning Lös ekvationerna c) y + y cot x = tan x, 0 < x < π a) y + x y = x, y(0) = b) ( x )y + xy = x, y(0) = 3, x < c) ( + x )y xy = ( + x ) arctan x, y() = d) (x + )(x + )y y =, y(0) =, x > Övning a) Beräkna derivatan av ln(x + x + ). b) Visa genom partialintegration att x + = (x x + + ln x + x + ) + C c) Lös begynnelsevärdesproblemet Övning 3 Lös ekvationerna + x y + y = + x, y(0) = 7. a) y = (y )x, y(0) = 0, b) xy = y y, y() =, x 0 Övning 4 Lös följande differentialekvationer: a) y = + x + y + xy, b) ( + x)y + + y = 0. Övning 5 Bestäm en relation f (x, y) = C som gäller om y är en lösning till ekvationen a) y = y x + y, b) y = x + y x y. Övning 6 Lös begynnelsevärdesproblemet y + 6y + 9y = 0, y(0) =, y (0) =. Övning 7 Bestäm alla reella tal λ för vilka randvärdesproblemet y + λy = 0, y(0) = y(l) = 0, l > 0 har en icke-trivial lösning, alltså en lösning som inte är identiskt noll. Ange också motsvarande lösningar. Övning 8 Bestäm alla reella tal λ för vilka randvärdesproblemet y + λy = 0, y (0) = y (l) = 0, l > 0 har en icke-trivial lösning, alltså en lösning som inte är identiskt noll. Ange också motsvarande lösningar. Övning 30 För vilka r har ekvationen y 3y + y = e rx en lösning på formen Ae rx? Ange också en partikulärlösning för de r för vilka det inte finns en sådan lösning. Övning 3 Lös ekvationen y (x) + 4y(x) = h(x) för följande högerled: a) h(x) = sin(x), b) h(x) = + cos(x), c) h(x) = sin x. Övning 3 Vilken är den linjära differentialekvation med konstanta koefficienter som har den allmänna lösningen y = ( x3 6 + Ax + B)e x + Övning 33 Bestäm den funktion y(x) som löser xy xy + xy = e x, y() = y () = 0. Övning 34 Bestäm lösningen på problemet { 0 < t < y (t) + y(t) + 30y(t) =, y(0) = y (0) = 0, 0 t > för t >. Övning 35 Lös differentialekvationen y + y = cos x genom att skriva y(x) = z(x) cos x. Övning 36 Betrakta differentialekvationen (x x)y (x )y + (x )y = (x 4x + )e x. a) Visa att den homogena ekvationen har lösningen y h (x) = e x. Bestäm sedan den allmänna homogena lösningen. b) Lös själva ekvationen. Övning 37 Någon gång mitt på dagen på lillejulafton började det snöa. En plogbil började ploga på en längre motorväg klockan 00. Efter en timme hade den kört mil, efter ytterligare en timme hade den kört ytterligare mil. När exakt började det snöa om plogens hastighet är omvänt proportionell mot snötäckets tjocklek och detta i sin tur är proportionellt mot den tid det har snöat? Övning 38 En klotformig doftkula har som ny diametern 8 cm. Doftkulans volym minska i varje ögonblick (p.g.a. avdunstning) med en hastighet som är proportionell mot kulans area. Efter en månad har diametern minskat till 6 cm. Vad är kulans diameter efter 3 månader? Övning 39 I en tank finns 000 l rent vatten. Vid en viss tidpunkt börjar saltlösning, som innehåller 0. kg salt per liter, strömma in i tanken med ett volymflöde av l/min. I tanken antas det ske en fullständig blandning. Den homogena blandningen pumpas ut ur tanken med volymflödet 4 l/min. a) Hur många kg salt finns det i tanken efter 50 minuter? b) Hur många kg salt innehåller tanken som mest? c) Skissera mängden salt i tanken som funktion av tiden under de första 0 timmarna.
Övning 40 En population fiskar som lever i en lagun växer exponentiellt med en relativ tillväxthastighet av 0.3% per dag. Vid en viss tidpunkt upptäcks populationen av en grupp delfiner i området som börjar äta av dem. Per dag äter de upp 0.00 N fiskar per m 3, där N är antalet fiskar per m 3. Sedan delfinerna kommit lämnar 0.00 fiskar per m 3 och dag lagunen. Om det när delfinerna kom till platsen fanns 0 fiskar/m 3, bestäm ett uttryck för koncentrationen fiskar t dagar senare. Övning 4 Hastigheten med vilken trypsiongen (A) omlagras till trypsin (B) påverkas av koncentrationen av trypsin. Detta s.k. autokatalytiska förlopp följer hastighetsekvationen d[a] dt = k[a][b] där hakparanteserna betecknar koncentration av. Omlagringen sker troligtvis endast då trypsinogenet från början är förorenat av trypsin. Antag att ett preparat ursprungliden innehåll 7. 0 T.U. trypsinogen och 3 0 4 T.U. trypsin (T.U. är en speciell biokemisk enhet). Beräkna koncentrationen av trypsin efter en timme om omlagringsreaktionens hastighetskonstant k är 4.6 per T.U. och timme. Övning 4 Den lilla mellanvästerstaden Trumptown i USA har haft en länge haft en befolkningstillväxt som styrts av differentialekvationen N = 0.04N( N/0 6 ), där tid mäts i år. År 00 hade staden 500 000 invånare. Samma år etablerade sig maffian i staden, vilket ledde till att 6000 personer valt att flytta ifrån staden per år samtidigt som 4000 människor mördas per år i maffiarelaterade våldshandlingar. Om detta fortsätter, hur många invånare har Trumptown år 030? Övning 43 En kula slår med hastigheten v 0 in i en mjuk vägg av ett material, som kan antas ge kulan en retardation som är proportionell mot hastigheten. Sök sambandet mellan hastigheten v 0, väggens tjocklek b och proportionalitetskonstanten k om kulan nätt och jämnt skall kunna tränga genom väggen. Övning 44 Under vissa omständigheter dimeriseras butadien (C 4 H 6 ) enligt formeln C 4 H 6 C 8 H i en process som följer massverkans lag. Bestäm ett uttryck för hur koncentrationen av butadien varierar med tiden. Övning 45 En viss kemikalie löses upp i vatten med en hastighet som är proportionell mot produkten av den oupplösta mängden och differensen mellan koncentrationen i en mättad lösning och den aktuella koncentrationen. Man vet att i 00 ml mättad lösning är 50 g av kemikalien löst. Om 30 g av kemikalien rörs ner i 00 ml rent vatten så löses 0 g på timmar. Hur mycket har lösts upp efter 5 timmar? Övning 46 En sluten behållare med 00 liter av en lättflyktig vätska springer läck varvid vätskan rinner ut på golvet där behållaren står. Hastigheten med vilken vätskan rinner ut ur behållaren antas vara proportionell mot kvadratroten ur volymen av vätskan i behållaren och 0% av den utrunna vätskan avdunstar per timme. Efter en timme återstår 64 liter i behållaren. Efter hur lång tid, från det att den sprang läck, är behållaren tom och hur mycket vätska finns då kvar på golvet? Övning 47 En vattentank i form av en rak cirkulär cylinder som rymmer 6 m 3 läcker genom ett hål i botten. Den hastighet med vilken vattnet läcker ut är proportionell mot kvadratroten av höjden av vattenpelaren (avståndet från vattenytan till botten). När tanken innehöll 9 m 3 vatten konstaterade man att vattnet läckte ut med en hastighet av 3 m 3 /h. a) Bestäm en differentialekvation för volymen V(t) av vatten i tanken vid tid t och lös denna om vi hade en full tank när t = 0. Hur lång tid tog det för vattenvolymen att reduceras till 9 m 3? b) Man fyllde nu upp tanken igen och monterade en slang som tillförde vatten med den jämna hastigheten av m 3 /h (hålet är kvar). Hur lång tid tar det nu för vattenvolymen att bli 9 m 3? c) Vilket vattenflöde skulle man ha haft i slangen för att tanken hela tiden skulle vara full? Övning 48 Två stycken sjöar ligger längs ett vattendrag. Rent vatten flödar till den första sjön. Samtidigt flödar vatten från den första sjön till den andra sjön, och vatten från den andra sjön flödar vidare ner längs vattendraget. Både in- och utflöde för vardera sjön är 500 m 3 per timme. Den första sjön innehåller 00 0 3 m 3 vatten och den andra sjön 00 0 3 m 3. Vid en viss tidpunkt kraschar en lastbil med 8 ton giftigt material i den första sjön. Vi kan anta att allt giftigt material omedelbart hamnar i sjön, och att volymen i sjön inte påverkas av detta. Vidare kan vi anta att allt vatten kontinuerligt hålls perfekt blandat av vattendraget. a) Bestäm mängden giftig material i den första sjön som funktion av tiden. b) Bestäm mängden giftig material i den andra sjön som funktion av tiden. c) Vid vilken tidpunkt blir mängden giftigt material i den andra sjön som störst? Övning 49 En tillväxtmodell som är ett alternativ till den logistiska modellen och som ofta används av tumörbiologer är Gompertz modell. Den kan skrivas N (t) = r(t)n(t), r (t) = αr(t). a) Lös ekvationen. Lösningen ska uttryckas i α, N(0) samt K = lim t N(t). b) Visa att man kan skriva ekvationen på formen N (t) = f (N(t))N(t). Övning 50 Beräkna y(π) om y(x) är den kontinuerligt deriverbara funktion som är sådan att y (x) + y(x) = { då x < π då x > π, y(0) = y (0) = 0. Övning 5 En fabrik ligger vid en mindre sjö. En dag går en tank med ett kemiskt ämne sönder och innehållet läcker ut i sjön. Efter ett febrilt arbete lyckas man stoppa läckan en timme senare, men under den timmen har ämnet läckt ut med en hastighet av t kg/timme, där t är tid (timmar) sedan läckaget startade. Lyckligtvis finns i sjön mikroorganismer som bryter ner ämnet till ofarliga produkter, och detta sker med en hastighet av 0% per timme. a) Hur mycket ämne fanns i sjön när läckan tätades? b) Hur lång tid tar det för mikroorganismerna att reducera denna mängd till en tredjedel? Övning 5 En 00 m 3 tank med rent dricksvatten i Lund fick ett konstant inflöde av koliforma bakterier som motsvarar en ökning av bakteriekoloni i tanken med hastigheten 0. cfu/l per timme (cfu/l =colony forming units per liter). I ett prov 500 timmar senare upptäckte VA Syd att vattnet var otjänligt. De lyckades inte hitta felet och började omedelbart filtrera vattnet samt utfärdade en kokningsrekommendation, eftersom halten av bakterier var högre än Livsmedelsverkets norm på max 0 cfu/l. Vattnet passerar ett filter som har flödeskapaciteten 5 m 3 per timme och 00% reningseffekt, och pumpas sedan tillbaka till tanken. Efter hur lång tid kan kokningsrekommendationen hävas? Vattnet kan antas vara välblandat i varje ögonblick.
Övning 53 A limnology class is presented with a laboratory exercise concerning continuous culture of algae in a chemostat. The apparatus consists of a culture vessel (with a constant level outflow tube to keep the volume at 8 liters) into which a fresh culture medium is continuously fed by a constant metered gas flow. A page of instructions is haded to the students. It contains physical and numerical data for the experiment and concludes with the following paragraph: Whith the pumping of a fresh culture medium into the culture chamger, it is possible to calculate the theoretical percentage concentration of the medium created in the culture chamger after any given number of hours. The following mathematical relationships are used for the calculations where C T = C 0 + (C i C 0 )( e (T T 0)R/V C T = outflow concentration at an arbitrary moment C 0 = concentration at T = T 0 C i = conentration of inflow R = flow rate (ml/h) V = volume of chamber (ml) T = time at arbitrary moment T 0 = starting time Show that you can rather easily justify this somewhat horrendous out-of-the-magic-hat formula. Svar och anvisningar Övning a) f (x) = ( cos x)/, b) f (x) = ln arctan x ln π. Övning a) cos(e x ) + C b) 0 x(x + ) 0 0 (x + ) + C c) x tan x + ln cos x + C Övning 3 a) ln x 9 ln x + 37 ln x 3 + C x b) x x ln x + ln(x + x + ) + arctan x+ + C 3 3 c) ln(x + 4x + 6) arctan x+ + C Övning 4 x + arctan x + π 4 Övning 5 3 x3 + x 3 (x + ) 3/ + C Övning 6 ln x ln x + 3 + ln(x + x + 5) arctan x+ Övning 7 Alla a, b sådana att a + b = 0. Övning 8 x arctan x ln( + x ) respektive x arcsin x + x Övning 9 Ett förslag är att använda Eulers formler. a) 8 cos(4x) + C eller 4 sin(x) sin(5x) cos(x) cos(5x) + C. 5 4 b) 3 ( 6 sin(6x) sin(4x) sin(x) + x) + C eller 6 sin5 (x) cos(x) + 6 ( 4 sin3 (x) cos(x) + 3 4 ( x 4 sin(x))) + C e c) x 3 ( sin(3x) 3 cos(3x)) + C Övning 0 a) cos x + C b) ln sin x + C +sin x c) arctan( tan x ) + C Övning Rekursionsformeln ger att I (x) = (sin x cos x + I 0(x)) = sin(x) 4 + x, I 3 (x) = 3 (sin x cos x + I (x) = sin x sin3 x 3 I 4 (x) = 4 (sin x cos3 x + 3I (x)) = 4 (sin x cos3 x + 3 4 sin(x) + 3 x) I 5 (x) = 5 (sin x cos4 x + 4I 3 (x)) = 5 (sin x cos4 x + 4 sin x 4 sin3 x ) 3 Övning Variabelbytet t = sin x ger svaret ln + sin x sin x + C = ln cos x + tan x + C medan den andra ansatsen ger svaret ln tan( x π 4 ) + C = ln tan( x + π ) + C. 4 Deriverar vi uttrycken ser vi att de har samma derivata / cos x. Övning 3 Formeln är att + tan x = / cos x. Variabelbytet ger integralen dt/ cos t som vi använder formeln ln / cos t + tan t + C på. Svaret blir Övning 4 a) ln x + x + + C.
b) ln tan x + tan x + C tan x c) ln + tan x + + C Övning 5 x 4 x + 4 ln x + + C Övning 6 x x x + x + + C Övning 7 Övning 8 5 ln x + x + x + x + + + C Övning 9 y = x3 3 x + C respektive y = x3 3 + e x. Övning 0 a) y = Ce x, b) y = 0 ln x 00 + Cx 0, c) y = sin(x) + cot(x) + C sin(x) Övning a) y = + e x3 /3 b) y = + x c) y = ( + x )( (arctan x) + π 3 ) d) y = 5x+4 x+ Övning a) / x + c) y = x + ( + x x)(ln(x + + x ) + 4) Övning 3 a) y = ex, b) y = + ex + x Övning 4 a) y = Ce x+x /, b) y = +x C. Notera att dessa är både linjära och separabla differentialekvationer! Övning 5 Tricket här är att skriva y = xz. a) ln y x y = C b) ln(x + y ) arctan y x = C, Övning 6 y = (x + )e 3x Övning 7 λ = n π /l, n =,,.... Lösningarna är y = C sin( nπx l ). Övning 8 λ = n π /l, n = 0,,,.... Lösningarna är y = C cos( nπx l ). Övning 9 a) y = e 3x ( x + 5 4 ) + Ae x + Be x b) y = x( + e x ) + 3 4 + Ae4x + Be x Övning 30 En lösning på formen Ae rx finns om r =,. För r =, ges en partikulärlösning istället av xe rx /(r 3). Övning 3 a) y = 4 x cos(x) + A cos(x) + B sin(x) b) y = 4 ( + x sin(x)) + A cos(x) + B sin(x) c) y = 4 ( x sin(x)) + A cos(x) + B sin(x) Övning 3 y + y + = xe x + Övning 33 y = e x (x ln x x + ) Övning 34 y(t) = e5 5 e 5x e6 6 e 6x. Det gäller att först lösa ekvationen i 0 < t < för att få y(). Övning 35 y = A cos x + B sin x + x tan x ln(cos x). Övning 36 a) Summan av koefficienterna är noll och y = y = y då y = e x. Med y = ze x ska w = z lösa ekvationen (x x)w + (x 4x + )w = 0 som har lösningen w = A(x x)e x. Från detta fås z = Ax e x + B och alltså y h (x) = Be x Ax. b) Samma variabelbyte ger nu ekvationen (x x)w + (x 4x + )w = (x 4x + ) (x x)w + (x 4x + )(w ) = 0 för w. Ur a) får vi därför att w = A(x x)e x vilket visar att y = Be x Ax + xe x. Övning 37 kl.3 Övning 38 Efter 3 månader är doftkulans diameter cm. Övning 39 a) 9, b) 5, c) Se figuren nedan mängd salt (kg) 30 0 0 Övning 40 N(t) = + 0 Övning 4 8.6 0 4 T.U. 0 00 00 300 400 500 600 t (min) 9 9 8e 0.0t Övning 4 Den nya differentialekvationen blir vars lösning är N (t) = 0.04 0 6 (N 0 6 /), N(0) = 750000, N(t) = ( + 0.04t + 4 )06. Vi får att N(0) = 7 4 06 708 300. Asymptotiskt kommer den att nå nivån 500 000 invånare. Notera att under samma tid har 0 000 flyttat ifrån staden och 80 000 mördats! Övning 43 v 0 = bk. Övning 44 /c(t) = /c(0) + kt Övning 45 50(6 5 5 5 ) 5 6 5 3 5 5 8 g. Övning 46 Behållaren är tom då 0 4t/ = 0, alltså t = 5 h, och då finns det 00( / e) 400 7 L vatten på golvet. Övning 47 a) h, b) t = ( + ln ) 3. h. c) 4 m 3 /h Övning 48 a) 8e t/00
b) 6(e t/400 e t/00 ) c) Mängden giftigt material är som störst 400 ln timmar efter att det börjat anlända till sjö. Övning 49 a) N(t) = Ke βe αt där β = ln(n(0)/k). b) N = α ln( N K )N. Övning 50 y(π) = 3 Övning 5 a) 00(.e 0. ) 0.45 kg. b) 0 ln 3 timmar. Övning 5 0 ln 6 36 timmar. Övning 53 Härled ekvationen (VC T ) = RC i RC T.