Tentamen i Linjär algebra, HF1904 exempel Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs 10 av max 24 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 1 respektive 10 poäng Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget Fx på MINA SIDOR Komplettering sker inom sex veckor efter att resultat meddelats Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten) Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar Skriv endast på en sida av papperet Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad, (speciellt tydligt på omslaget, eftersom tentorma skannas och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på omslaget) Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar Uppgift 1 (2p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1) Låt u = ( 1, p,2), v = ( 2,, q) Bestäm p och q så att u och v blir parallella Uppgift 2 (2p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 2) Vi betraktar linjen L: (x,y,z)=(0,2,1)+t(1,2,0) Bestäm a) en enhetsvektor parallell med linjen ( det finns två sådana enhetsvektorer) b) punkter ( bland oändligt många) som ligger på linjen L Uppgift (p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift ) 1+ ai a) (2p) Bestäm det reella talet a så att blir reellt b) (1p) Bestäm z ur ekvationen 2z + z --------------------------------------------------------------------------------------- Var god vänd Sida 1 av 6
x + y + z = 1 Uppgift 4 (4p) För vilket värde på a har systemet x + y 2z = 2 x + y + az = 4 i) exakt en lösning ii) oändligt många lösningar iii) ingen lösning Uppgift 5 (2p) Bestäm en ekvation för planet Π som går genom punkten A=(1,2,) och genom linjen L: ( x, y, z) = (1 + t, t, t) Uppgift 6 (p) 48 a) (1p) Lös ekvationen z = 1 i b) (2p) Bestäm Re(w) om w = ( 1+ i) Uppgift 7 (4p) a) (2p) Lös följande matrisekvation med avseende på X 0 4 X + = X 0 b) (2p) Lös följande matrisekvation med avseende på Y [ 1 2] Y = [ 2] Uppgift 8 (4p) Följande två plan Π 1 : x + 2 y + 2z = 0 och Π 2 : 2 x y + 2z = 0 skär varandra längs en linje L Det finns två plan P 1 och P 2 som går genom linjen L och delar mitt itu vinklarna mellan Π 1 och Π 2 Bestäm ekvationer för P 1 och P 2 Lycka till Sida 2 av 6
FACIT Uppgift 1 (2p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1) Låt u = ( 1, p,2), v = ( 2,, q) Bestäm p och q så att u och v blir parallella u = ( 1, p,2) och v = ( 2,, q) är parallella om de har proportionella kordinater dvs 1 p 2 = = Härav p = och q = 4 2 q 2 Svar: p = och q = 4 2 Rättningsmall: 1 poäng för varje parameter Uppgift 2 (2p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 2) Vi betraktar linjen L: (x,y,z)=(0,2,1)+t(1,2,0) Bestäm a) en enhetsvektor parallell med linjen ( det finns två sådana enhetsvektorer) b) punkter ( bland oändligt många) som ligger på linjen L a) En riktningsvektor är v = (1, 2, 0) En enhets vektor parallell med linjen är 1 1 e1 = v = (1,2,0) v 5 b) Tre punkter på linjen för vi om vi substituerar tre värden ( vilka som helst) på parametern t i ekvationen ( x, y, z) = ( x1, y1, z1) + t( v1, v2, v) : T ex t = 0 (x,y,z)=(0,2,1)+0 (1,2,0) = (0,2,1) t = 1 (x,y,z)=(0,2,1)+1 (1,2,0) = (1,4,1) t = 10 (x,y,z)=(0,2,1)+10 (1,2,0) = (10,22,1) 1 1 Svar: a) En enhets vektor parallell med linjen är e1 = v = (1,2,0) v 5 b) Tre punkter (0,2,1), (1,4,1) och (10,22,1) (Det finns oändligt många korrekta svar) Rättningsmall: a,b) Rätt eller fel Uppgift (p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift ) 1+ ai a) (2p) Bestäm det reella talet a så att blir reellt b) (1p) Bestäm z ur ekvationen 2z + z Sida av 6
a) 1+ ai 1+ ai 2 + 5i (2 5a) + (2a + 5) i = = 2 + 5i 29 Om detta tal skall vara reellt måste imaginärdelen vara 0, vilket ger 2 a + 5 = 0 d v s a = 5 / 2 c) Vi substituerar z = x + yi, z = x yi i ekvationen 2z + z och får 2( x + yi) + ( x yi) 5x yi Vi identifierar reella delar på båda sidor och imaginära delar på båda sidor och får: 5x = 10 x = 2 y = 4 y = 4 Därmed z = 2 + 4i Svar: a) a = 5/ 2 b) z = 2 + 4i x + y + z = 1 Uppgift 4 (4p) För vilket värde på a har systemet x + y 2z = 2 x + y + az = 4 i) exakt en lösning ii) oändligt många lösningar iii) ingen lösning 1 1 1 Systemets determinant det(a) = 1 1 2 =0 för alla a (Beräkna själv) Därmed fallet a exakt en lösning inte kan förekomma x + y + z = 1 x + y + z = 1 x + y + z = 1 x + y + z = 1 x + y 2z = 2 z = 1 z = 1/ z = 1/ x + y + az = 4 ( a ) z = 1 ( a ) z = 1 0 = 1+ ( a ) / x + y + z = 1 x + y + z = 1 z = 1/ z = 1/ 0 = 1+ ( a ) / 0 = a / Härav ser vi att systemet har oändligt många lösningar om a = 0 och ingen lösning om a 0 Svar i) Exakt en lösning kan inte förekomma ii) oändligt många lösningar om a = 0 iii) ingen lösning om a 0 Rättningsmall: a) Korrekt determinant =1p En poäng för varje korrekt del Allt rätt = 4p Sida 4 av 6
Uppgift 5 (2p) Bestäm en ekvation för planet Π som går genom punkten A=(1,2,) och genom linjen L: ( x, y, z) = (1 + t, t, t) Linjen L går genom punkten B=(1,0,0) och har en riktningsvektor v = (1,1,1 ) Först BA = (0,2,) En normalvektor till det sökta planet är n i j k = BA v = 0 2 = i + j 2k = ( 1,, 2) 1 1 1 Planets ekvation är 1 ( x 1) + ( y 0) 2( z 0) = 0 eller x + y 2z + 1 = 0 Svar: x + y 2z + 1 = 0 Rättningsmall: a) En poäng för en korrekt normalvektor Allt rätt = 2p Uppgift 6 (p) 48 a) (1p) Lös ekvationen z = 1 i b) (2p) Bestäm Re(w) om w = ( 1+ i) 5π ( + 2kπ ) 5π i 4 i 48 48 2 4 96 48 a) z = 1 i z = 2 1/ e z = 2 1/ e, där k=0,1,2,47 π i 1/ 2 4 25πi πi b) w = ( 1+ i) = 2 e = 2 e = 2 e ( periodiska egenskaper) = 2 (cosπ + i sinπ ) = 2 Därmed Re(w) = 2 5π ( + 2kπ ) 4 i 96 48 z 1/ e Svar: a) = 2 b) Re(w) = Rättningsmall: a) Rätt eller fel b) allt rätt 2p ( -1 för varje räknefel) 2 Uppgift 7 (4p) a) (2p) Lös följande matrisekvation med avseende på X 0 4 X + = X 0 b) (2p) Lös följande matrisekvation med avseende på Y [ 1 2] Y = [ 2] 0 4 X + = X 0 2 2 1 0 2 X = X = 2 2 2 2 1 1 1 X = X = 2 2 0 2 2 b) Från ekvationen inser vi att Y har format 2x2 Sida 5 av 6
a b Låt Y = Då gäller c d a b [ 1 2] Y = [ 2] [ 1 2] [( a + 2c) ( b + 2d] = [ 2] c d Härav a + 2c = och b + 2 d = 2 eller a = 2c och b = 2 2d, där c och d varierar fritt 1 Svar: a) X = 2 2 b) a = 2c och b = 2 2d, där c och d varierar fritt Rättningsmall: a) allt rätt 2p ( -1 för varje räknefel) b) allt rätt 2p ( -1 för varje räknefel) Uppgift 8 (4p) Följande två plan Π 1 : x + 2 y + 2z = 0 och Π 2 : 2 x y + 2z = 0 skär varandra längs en linje L Det finns två plan P 1 och P 2 som går genom linjen L och delar mitt itu vinklarna mellan Π 1 och Π 2 Bestäm ekvationer för P 1 och P 2 (Tips: Rita en figur) Planen Π 1 och Π 2 har normalvektorer a = (1,2,2 ) och b = ( 2, 1,2) Vi bestämmer tillhörande enhetsvektorer och får n = 1 1 1 (1,2,2 ) och n 2 = (2, 1,2) 1 1 Därför är n1 + n2 = (,1,4 ) och n1 n2 = ( 1,,0 ) normalvektorer till sökta plan P 1 och P 2 De sökta plan går genom punkten O= (0,0,0) (eftersom Π 1 och Π 2 går genom origo) Därmed har vi följande ekvationer för P 1 och P 2 P 1: x + y + 4z = 0 och P 2 : x + y = 0 Svar: P 1: x + y + 4z = 0 och P 2 : x + y = 0 Rättningsmall: rätt P1 ger 2p ( 1 för normalen) rätt P2 ger 2p ( 1 för normalen) Sida 6 av 6