Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.

Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln då y = 3 och x-axeln då x =. En annan linje, L, skär x-axeln då x = 6. Var skär L y-axeln om de två linjerna skär varandra under rät vinkel? Läxa. De tre punkterna i vilka funktionen f(x) = x +x 6 skär x- och y-axeln utgör hörnen i en triangel. Bestäm denna triangels area. Läxa 3. En rät linje f(x) skär y-axeln då y = 4 och x-axeln då x = 3/. En annan g(x) skär y-axeln i punkten (0, 3). De två linjerna skär varandra under rät vinkel. Var skär g(x) x-axeln? Läxa 4. Man vet att punkten punkten P(, 9) ligger på kurvan till funktionen f(x) = ax x. Bestäm a och undersök för vilka värden på x som f(x) > 0 Läxa 5. Bestäm talen b och c, så att grafen till funktionen går genom punkterna P 1 ( 1,6) och P (,3) y = x +bx+c Läxa 6. Funktionen f(x) = 3x + x 10 är given. Mellan punkterna (5,75) och (, ) på funktionens kurva har dragits en sekant (helt enkelt en linje genom dessa punkter). Parallell med denna sekant har dragits en annan sekant (en annan linje), som bland annat går genom punkten ( 4, 30). Bestäm avståndet mellan denna punkt och och den andra av denna sekantens ändpunkter. Läxa 7. Bestäm a, så att linjen genom punkterna P 1 (a,10) och P ( 4,a) får k-värdet Håkan Strömberg 1 KTH STH

Läxa 8. Funktionerna f(x) = a+x x och g(x) = ax 5 skär varandra då x = 3 bestäm den andra skärningspunkten. Läxa 9. Lös ekvationen x + 3 x = 1 8 Läxa 10. På var och en av triangelns tre sidor är placerad en halv cirkel. Bestäm hela figurens area. Läxa 11. Lös ekvationen x+55 = x 1 Läxa 1. Bestäm rymddiagonalen e i ett rätblock då a = 3, b = 4 och c = 1. Läxa 13. Förenkla x xy y + y xy x Läxa 14. The function is f(x) = x 10x+1. What is the least value of the function? Läxa 15. Med hur många procent ökar arean hos en kvadrat om kvadratens sida ökas med 0% Läxa 16. Förenkla a a + a+1 a 1 Håkan Strömberg KTH STH

Läxa 17. Lös ekvationen 3 3 x 3 + 3 4 = 1 17 Läxa 18. Bestäm den lilla skuggade triangelns area. Läxa 19. Volymen hos en pyramid med kvadratisk basyta är 6.4 m 3. Sidan i kvadraten är m. En skalenlig modell har volymen 100 cm 3. Vilken längd har sidan i modellens kvadrat? Läxa 0. En rektangel är inritad i ett koordinatsystem med sidorna parallella med axlarna. Två diametralt motstående hörn har koordinaterna ( 1,7) och ( 6, 15). Bestäm rektangelns area. Läxa Lösning 1. Först bestämmer vi k-värdet för L 1, som går genom de två punkterna (0,3) och (,0) k 1 = 3 0 0 = 3 Det är nu känt att k-värdena för två linjer som skär varandra under rät vinkel har sambandet k 1 k = 1. Detta betyder att k = 3. Vi vet nu följande om L y = 3 x+m Sätter vi in de kända punkten (6,0) får vi 0 = 3 6+m som ger m = 4, som också är y-koordinaten till skärningspunkten. Linjens ekvation är L : y = 3 x 4 Svar: L skär y-axeln i (0, 4) Håkan Strömberg 3 KTH STH

Läxa Lösning. För att få funktionens nollställen löser vi ekvationen f(x) = 0 x +x 6 = 0 1 x = 1 ± 4 + 44 x = 1 ± 5 4 x = 1 ± 5 x 1 = x = 3 Två av triangels hörn ligger på x-axeln (,0) och ( 3,0). f(0) = 6 ger det tredje hörnet (0, 6). Hörnen på x-axeln bildar basen som är 5 l.e. Höjden är 6 l.e. Med hjälp av formeln får vi arean till A = bh = 5 6 = 15 Figur 1: Svar: 15 a.e. Läxa Lösning 3. De två funktionerna g(x) = k g x+m g och f(x) = k f x+m f måste bestämmas för att svaret ska kunna ges. Vi vet att f(0) = 4 och f(3/) = 0 ur detta kan vi bestämma k f k f = 4 0 0 3 = 8 3 Vi vet redan att m f = 4 och kan nu skriva f(x) = 8 3 x + 4. Genom texten vet vi att k g = 3 8 eftersom k g k f = 1. Vi vet också att m g = 3 och kan skriva g(x) = 3 8 x 3. Då vi löser ekvationen g(x) = 0 får vi den efterfrågade roten. Svar: g(x) skär x-axeln i (8,0) 3 8 x 3 = 0 x = 8 Håkan Strömberg 4 KTH STH

Läxa Lösning 4. Vi bestämmer a i f(x) = ax x genom P(, 9), f() : a = 9. Ger a = 7/ och får funktionen f(x) = 7 x x Vi behöver nu funktionens nollställen och måste lösa ekvationen f(x) = 0 7 x x = 0 x + 7 x = 0 x = 7 49 4 ± 16 + 3 16 x = 7 4 ± 9 4 x 1 = 4 x = 1 Svar: Eftersom f(x) har ett maximum är funktionen positiv för 4 < x < 1 Läxa Lösning 5. Sätter vi in de två punkterna i funktionen får vi följande ekvationssystem: { 6 = ( 1) +b( 1)+c 3 = +b +c eller { c b = 5 c+b = 1 Vi subtraherar den första ekvationen från den andra och får (c+b) (c b) = 1 5 c+b c+b = 6 3b = 6 b = b = insatt i första ekvationen ger c ( ) = 5 eller c = 3 Svar: Funktionen får följande utseende: y = x x+3 Läxa Lösning 6. Vi börjar med att skissa kurvan och sekanterna Figur : Det kommer att visa sig att denna skiss är helt korrekt, men det ska den inte behöva vara för att man ska ha glädje av den. De två sekanterna ligger förstås på två linjer med funktionerna g(x) = k g x+m g och h(x) = k h x+m h. Här är en lösningsplan: a Ta reda på k g med hjälp av P1 och P b Ta reda på m h med hjälp av P3 Håkan Strömberg 5 KTH STH

c Lös ekvationen f(x) = h(x) för att få P4 Steg a Steg b d Ta reda på avståndet mellan P3 och P4 med hjälp av avståndsformeln k g = 75 ( ) 5 ( ) = 11 30 = 11 ( 4)+m h m h = 74 Vi vet nu att den andra sekanten ligger på linjen h(x) = 11x+74. Steg c 3x +x 10 = 11x+74 3x 9x 84 = 0 x 3x 8 = 0 9 x = 3 ± 4 + 11 4 x = 3 ± 11 x 1 = 7 x = 4 Genom h(7) = 151 har vi bestämt P4(7,151). Steg d Läxa Lösning 7. ger ekvationen A = (x 1 x ) +(y 1 y ) A = (7 ( 4)) +(151 30) A 11.5 k = y 1 y x 1 x = 10 a a ( 4) (a+4) = 10 a a+8 = 10 a a+a = 10 8 4a = a = 1 Svar: a = 1 Håkan Strömberg 6 KTH STH

Läxa Lösning 8. f(3) = a + 3 3 a 3 och g(3) = 3a 5 Eftersom funktionerna skär varandra då x = 3 har de då samma y-värde. Vi får ekvationen a 3 = 3a 5 3a a = 5 3 a = Vi har nu f(x) = 4+x x och g(x) = x 5. Vi har att lösa ekvationen 4+x x = x 5 x = 9 x = ±3 För den andra skärningspunkten x = 3. g( 3) = ( 3) 5 11. Ett värde man också får genom f( 3). Så här ser grafen ut Svar: Skärningspunkten är ( 3, 11). Läxa Lösning 9. x + 3 x ( 8x x + 3 ) x 8x x + 8x 3 x = 1 8 = 8x = 8x 1 8 ( ) 1 8 16+1 = x Svar: x = 8 Läxa Lösning 10. Den korta katetens längd är x = 8 40 tan37 30.14 Hypotenusans längd är 40 cos37 50.09 Med hjälp av formeln för arean hos halva cirkeln med diametern d får vi Svar: 573 a.e. 40 π 8 + 30.14 π 8 A = πd 8 + 50.09 π 8 + 30.14 40 573 Håkan Strömberg 7 KTH STH

Läxa Lösning 11. x+55 = x 1 ( x+55 ) = (x 1) Vi testar svaret Svar: x = 9. x+55 = x x+1 x 3x 54 = 0 9 x = 3 ± 4 + 4 54 4 x = 3 ± 5 4 x = 3 ± 15 x 1 = 9 x = 6 x 1 = 9 V.L. 9+55 8 H.L. 9 1 = 8 V.L. = H.L. x 1 = 9 V.L. 6+55 7 H.L. 6 1 7 V.L. H.L. Läxa Lösning 1. Först bestämmer vi diagonalen i bottenplanet med hjälp av Pythagoras sats: d 1 = 3 +4 = 9+16 = 5 = 5 Med hjälp av denna diagonal och höjden kan vi så bestämma rymddiagonalen åter med hjälp av Pythagoras sats d r = 5 +1 = 5+144 = 169 = 13 Svar: Rymddiagonalen är 13 l.e. Läxa Lösning 13. x xy y + y xy x = x y(x y) + y x(y x) = x y(x y) x y xy(x y) = (x y)(x+y) = x+y xy(x y) xy y x(x y) = x xy(x y) y xy(x y) = Läxa Lösning 14. Vi bestämmer funktionens nollställen och med hjälp av symmetrin det x-värde för vilket funktionen antar sitt minsta värde. x 10x+1 = 0 x = 5± 5 1 x = 5± x 1 = 7 x = 3 x = 5 ligger mitt emellan rötterna f(5) = 5 10 5+1 = 4 Svar: Funktionens minsta värde är 4 Läxa Lösning 15. Innan sidan ökas är den a och arean a. Efter ökningen är sidan 1.a och arean (1.a) = 1.44a. Den procentuella ökningen blir då 1.44a a a = 0.44 = 44% Håkan Strömberg 8 KTH STH

Läxa Lösning 16. a a ( a 1) a + = a+1 a 1 ( a 1)( a+1) + ( a+1) a ( a+1)( a 1) = a a+a+ a ( a+1)( a 1) = a a 1 Läxa Lösning 17. En ekvation innehållande ett dubbelbråk, men x bara på ett ställe. Starta med att förenkla vänstra ledet. Avsluta den förenklingen med att ersätta divisionen av bråken i täljare och nämnare med multiplikation av täljaren och nämnaren inverterad. Sedan har vi nått till en ekvation, som är enkel att lösa. = 1 17 Svar: x = 4 3 3 x 3 +3 4 x 3 3 3x 3x 4 +3 3 4 3 3 4 x 9 3x 8+9 1 x 9 3x 1 51x ( x 9 3x 1 17 = 1 17 = 1 17 17 = 1 17 ) = 51x ( 1 17 51x(x 9)1 3x 17 = 51x 17 1(x 9) = 3x 4x 108) = 3x 7x = 108 x = 4 Läxa Lösning 18. Först bestämmer vi hypotenusan c, i den lilla triangeln c 17 = tan30 ger c = 17 tan30 9.815. Den skuggade triangelns katetrar a och b får vi genom sin60 = a 9.815 och cos60 = b 9.815 som ger a = 9.815 sin60 8.5 och b = 9.815 sin60 4.9. Med hjälp av formeln ) Svar: 0.86 a.e. A = bh = 8.5 4.9 0.86 Håkan Strömberg 9 KTH STH

Läxa Lösning 19. Vi använder oss av följande fakta: Längdskalan i kubik är lika med volymskalan ( l1 ) 3 = v 1 Detta ger l ( x ) 3 = 00 x 3 00 3 = v 100 6400000 100 6400000 Svar: 5 cm x 3 = 100 003 6400000 x = 3 100 00 3 6400000 x = 5 Läxa Lösning 0. Höjden är 7 ( 15) = och bredden är 6 ( 1) = 6, som ger arean A = 6 = 13 Svar: 13 a.e. Håkan Strömberg 10 KTH STH

Absolutbelopp Följande definition har ni sett tidigare: a = { a om a 0 a om a < 0 Tolkning: a b är avståndet mellan punkterna a och b på tallinjen. Exempel 1. Lös olikheten Först en grafisk lösning x 3 < 7 Avståndet mellan 3 och x ska vara < 7. Vi kan direkt från figuren utläsa svaret 4 < x < 10 Vi kan även lösa uppgiften rent algebraiskt x 3 < 7 7 < x 3 < 7 4 < x < 10 Ekvationer med absolutbelopp Exempel. Lös ekvationen Lösning: Plan: x+3 = 5 1 Ta reda på x 1, där termen med absolutbeloppet är = 0. Dela upp ekvationen i två ekvationer. En då x < x 1 och en då x > x 1. Ersätt tecknet för absolutbelopp med en parentes. Sätt -tecken framför parentesen om så skall vara! 3 Lös de båda ekvationerna var för sig. Kontrollera att erhållen rot ligger i aktuellt intervall. Genomförande: 1 Då x = 3 är x+3 = 0.,3 Vi får två ekvationer Då Ekvation Rot OK x < 3 (x+3) = 5 x = 8 Ja x 3 x+3 = 5 x = Ja Svar: x 1 = 8 och x = Exempel 3. Lös ekvationen x 6 x = 4 Lösning: Plan: 1 Ta reda på x 1, för vilket x 6 = 0 Betrakta två intervall. Ett där x < x 1 och ett där x > x 1. Lös upp termen med absolutbelopp och bilda samtidigt två ekvationer. Håkan Strömberg 11 KTH STH

3 Lös ekvationerna och kontrollera att roten ligger i intervallet. Genomförande: 1 Då x = 6 är x 6 = 0 De två ekvationerna med gällande intervall Då Ekvation Rot OK x < 6 (x 6) x = 4 x = 1 Ja x 6 (x 6) x = 4 ingen rot Nej Svar: x = 1 Exempel 4. Lös ekvationen x+1 4 x + x 3 = 0 Lösning: Plan: 1 Ta reda på de x i för vilka var och en av de tre termerna = 0. Sortera de tre brytpunkterna och skapa fyra intervall, man kan finna utefter x-axeln. 3 Lös upp absolutbeloppen inom varje intervall och bilda på så sätt fyra ekvationer. 4 Lös ekvationerna och kontrollera att roten ligger i aktuellt intervall. Genomförande: 1, De tre eftersökta x-värdena är x 1 = 1, x = 3 och x 3 = 4 3 Vi har nu att studera följande fyra intervall 4 Detta ger oss följande ekvationer x < 1 1 x < 3 3 x < 4 x 4 Då Ekvation Rot OK x < 1 (x+1) (4 x) (x 3) = 0 x = 6 Ja 1 x < 3 (x+1) (4 x) (x 3) = 0 x = 4 Nej 3 x < 4 (x+1) (4 x)+(x 3) = 0 x = Ja x 4 (x+1)+(4 x)+(x 3) = 0 x = 6 Nej Svar: x 1 = 6 och x = (se grafen nedan) 15 10 5-10 -5 5 10-5 Håkan Strömberg 1 KTH STH

Olikheter med absolutbelopp Exempel 5. Lös olikheten Lösning: Plan: x + x 4 < 8 1 Ta reda på x 1, för vilket x = 0 och det x för vilket x 4 = 0 Betrakta tre intervall. Ett där x < x 1, ett då x 1 x x och ett då x > x. Lös upp absolutbeloppen och bilda olikheter utan absolutbelopp, ett för varje intervall. 3 Lös olikheterna och kontrollera inom vilken del av intervallet som olikheten gäller. Genomförande: 1 x 1 = och x = 4 Intervallen är x <, x 4 och x > 4. 3 Då Olikhet Lösning Intervall x < (x ) (x 4) < 8 x > 1 1 < x < x < 4 (x ) (x 4) < 8 Alltid x < 4 x > 4 (x )+(x 4) < 8 x < 7 4 x < 7 För en del av första intervallet gäller olikheten, för hela andra intervallet och åter för en del av tredje. Sammantaget fås Svar: 1 < x < 7 Exempel 6. Lös olikheten Lösning: Plan: 1 Ta reda på de x i, för vilka termerna är = 0 x 4 + x < 5 x Ställ upp fyra intervall inom vilka olikheten ska lösas. Lös upp absolutbeloppen och bilda olikheter utan absolutbelopp, ett för varje intervall. 3 Lös olikheterna och kontrollera att roten ligger i intervallet. Genomförande: 1 x 1 = 0, x = och x 3 = 5 De fyra intervallen är 3 x < 0 0 x < x < 5 x 5 Då Olikhet Lösning Intervall x < 0 (x 4) x < (5 x) x > 1 1 < x < 0 0 x < (x 4)+x < (5 x) Alltid 0 x < x < 5 (x 4)+x < (5 x) x < 9 4 x < 9 4 x 5 (x 4)+x < (5 x) x < 1 Inget x Svar: 1 < x < 9 4 Håkan Strömberg 13 KTH STH

Tekniskt basår Matematik I ABSOLUTBELOPP4 Definition Absolutbeloppet av ettt tal betecknas och o definieras enligt nedan: Exempel 1 3 3 0 0 0 0 5 5 Notera att 0 för alla reella tal, och 0 baraa om 0. Ett alternativt sätt att definiera är därförr. Observera att gäller alltid, men gäller bara när 0. Geometriskt representerar avståndet mellan x och h 0 på tallinjen. Mer generellt representerar avståndet mellan punkterna och på tallinjen, eftersom detta avstånd är det samma som avståndet från punkten på tallinjen till 0. Räkneregler a) b) c) d) Ekvationer och Olikheter Ekvationen där 0 har två lösningar, och, d.v.s. två punkter på tallinjen som står på avståndet från 0. Olikheten kan tolkass som ett avstånd som är mindree än, så detta innebär att måste ligga mellan och. Vid algebraisk lösningg av ekvationer och olikheter med absolutbelopp så är det ofta praktiskt att dela upp problemett i olika fall med hjälp av följande samband: 0 å ä 0 å ä 4 Sid.17 Något omarbetat från: K. Eriksson, H. Gavel (013),, Diskret matematik och diskreta modeller, Studentlitteratur AB, ISBN 9789144089997 17

Tekniskt basår Matematik I Exempel a Lös ekvationen 3 0 3 Lösning 0 3 3 3 4 3 1 1 3 4 Exempel b Lös olikheten 3 0 3 Lösning 0 3 3 0 0 3 3 3 4 3 1 1 3 4 Exempel c Lös olikheten 3 0 3 Lösning 0 3 3 3 3 3 4 3 1 1 3 4 Exempel d Lösning Lös olikheten 1 4 1 0 1 4 1 0 1 4 3 5 3 1 1 5 3 1 0 3 4 5 Exempel e Lösning Lös olikheten 1 3 1 0 1 3 1 0 1 3 4 4 4 3 1 0 3 4 18

Tekniskt basår Matematik I Exempel 3a Lös ekvationen 5 3. Använd tallinje Lösning: för att enkelt visa Teckenväxling sker när 5 0 d.v.s. när,5 aktuellt intervall,5 I detta intervall blir ekvationen 5 3 1 Svar: 1 och 4 I detta intervall blir ekvationen 5 3 5 3 8 4 Exempel 3b Lös olikheten 3 1. Lösning: Teckenväxling sker när 3 0 d.v.s. när 3 3 I detta intervall blir olikheten 3x 1 3x 1 1 3x x I detta intervall blir olikheten 3 1 3 3 1 Vi får 1 Vi får Svar: 1 3 1 401. Beräkna genom att ta bort absolutbeloppets tecken. a) 5 7 b) 7 5 c) 4 d) 8 40. Låt 3 och 7, och visa att räknereglerna a) till d) nedan stämmer a) b) c) d x x 403. Lös ekvationen a) 1 b) 4 7 c) 5 d) 1 e) 1 404. Lös olikheten a) 1 3 b) 4 1 c) 5 d) 1 e) 1 1 3 19