MATTEBRYGGAN korrespondensträning i matematik för dig som gått basåret och ska börja på Högskolan i Halmstad

Högskolan i Halmstad / Georgi Tchilikov MATTEBRYGGAN 0 maj 000 MATTEBRYGGAN korrespondensträning i matematik för dig som gått basåret och ska börja på Högskolan i Halmstad Varför matematik även under sommaren? Skolmatematiken kan sägas ha två behov att fylla: allmänbildningsbehovet kunskaper som alla vuna kan ha nytta och glädje av, specialistbehovet kunskaper som endast blivande naturvetare, ingenjörer och lärare behöver. I takt med att vi fått en alltmer sammanhållen skola, har specialisternas behov fått träda tillbaka. Men att lära sig naturvetenskapens och teknikens språk är inte något man klarar av på ett halvår (eller så)! Du står nu i begrepp att ansluta dig till specialisternas skara och tiden är knapp! Studiematerial Medstartnufårduundersommaren5st.brev.(Här brev och ). Varje brev är upplagt på följande sätt: Först: En lista på lämpliga övningar för dig att träna på hemma (fråga vid behov!) ur X Rolf Pettersson, Matematik Kort förberedande kurs för teknologer, CTH, 999, som du fick på träffen den /5; kan också hämtas från http://se.chalmers.se/thewell/flash/inde.html X Matematik 000, kurs CD av Björk, Brolin m.fl. Sedan: Ett antal uppgifter som du ska skicka in lösningsförslag på. (Dels testuppgifter med anknytning till Pettersson, dels diverse andra problem som vi hoppas du ska finna intressanta.) Slutligen: Några sidor fördjupnings kommentarer, eempel och problem för dig som har tiden och ambitionen. Hur långt du kommer med dem, är upp till dig, men kom ihåg: X X Litet är bättre än ingenting. Även om man inte kunnat lösa ett problem, så är det ett steg framåt att ha satt sig in i frågan. (Undervisning är ofta ineffektiv just därför att läraren besvarar frågor som eleven inte tänkt på alls.) Utnyttja gärna din lärare till att diskutera dem också! Allt är numrerat i en enda följd, för att lätt kunna referera till saker och ting. Tidsplan (Skjut inte upp arbetet till morgondagen sommaren är kort!) juni Du får brev och och testet från /5 5 juni Du skickar in lösningar till brev och får brev samt lösningar till brev juli Du skickar in lösningar till brev och får brev 4 samt lösningar till brev 5 juli Du skickar in lösningar till brev och får brev 5 samt lösningar till brev augisti Du skickar in lösningar till brev 4 och får lösningar till brev 4 5 augusti Du skickar in lösningar till brev 5 och får lösningar till brev 5 Adress att skicka frågor och lösningsförslag till Mirela Hansen, Högskolan i Halmstad, IDE, Bo 8, 0 8 Halmstad e-post: Mirela.Hansen@ide.hh.se, fa: 05-6594, telefon torsdagar kl.8-0: 05-674 För dig som har möjlighet att komma personligen, har vi bokat måndagar (med start den 5/6), kl.8-0, sal T56

Del I Mattebryggan: Brev ( juni 5 juni) Övahemma(ochfrågavidbehov!)påföljande: Pettersson: övningar -6 Matematik000CD: 06, 4-9, -6, 5, 5, 5 utan räknare, 6, 84 Skicka in lösningsförslag på följande :. Förenkla 5 n +5 n +5 n +5 n +5 n, y +y + y ( y) (+y). Bestäm förhållandet a/b, om 4(a b) a +4b a 5b a +b. Om talen n och vet du att n är heltal, medan kan vara vilket reellt tal som helst, utom 0. Vilket tecken har vart och ett av följande tre tal,, n? 4. Genom att förlänga med a b, så kan man skriva om (a + b) a + b a 4 + b 4 a 8 + b 8... a 64 + b 64 a 8 + b 8 på formen?? Vad skall stå på frågetecknens plats??? 5. Du bör bara genom att kasta en blick på uttrycken (d.v.s. utan att derivera eller tillgripa miniräknare) kunna se vad de har för maimum resp. minimum! Kan du det? Förklara hur du resonerar! 6. Kvadratkomplettera uttrycket a + b + c 5+, ( ), + 7. Utnyttja polynomdivision för att, utan miniräknare eller derivering, avgöra vilket som är det största / minsta värde som följande uttryck kan anta: 5 +4 8. Den kraft varmed en kropp påverkas i jordens tyngdkraftfält är omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet till jordens centrum. Vid jordytan är kraften på en kropp med massan m lika med mg, där g 9.8 m/s. Med vilken tyngdkraft påverkas samma kropp, om den befinner sig på en höjd över jordytan som är lika med jordradien? 9. Uppför en viss bergssluttning går jag med farten 0.5 m/s, nerför med farten.0 m/s. Vad blir min medelfart för en promenad upp till toppen och tillbaka ner igen? Uppför en viss bergssluttning går jag med farten v, nerför medfartenw. Vad blir min medelfart för en promenad upp till toppen och tillbaka ner igen? 0. Dividera 9 6 +8 5 +7 4 +6 +7 +8 +9med 5 +5 4 +6 +6 + +. Kalla resten r (). Dividera sedan 5 +5 4 +6 +6 + +med r (). Kalla resten r (). Dividera nu r () med r (). Om du har räknat rätt, så kommer denna division att gå jämnt upp. Se 45.

. I figuren nedan är AC bisektris till vinkeln BAD och vidare är sträckorna AB, AC och CD lika långa. Bestäm, utan mätningar, hur stor vinkeln D är. 4. Förklara varför fyra kopior av en rätvinklig triangel kan sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur: A B C D. ABCDE är en regelbunden femhörning (de fem sidorna är lika långa och vinklarna dem emellan är lika stora). BF är bisektris till vinkeln ABE. Bestäm, utan mätningar, vinkeln CBF. B A F E Uttryck kvadratens area på två olika sätt, sätt uttrycken lika med varandra och förenkla, så har Du ett bevis för... ja, för vad? Anm. Vill man vara spetsfundig, skulle man kunna säga att alla matematiska resultat kommer till genom att man uttrycker en och samma sak på två olika sätt ochdärmedskaffar sig en ekvation, som man sedan räknar på. Ett, tyvärr, alltför allmänt påpekande för att alltid vara till hjälp... 5. Uttryck parallelltrapetsets area på två olika sätt och förenkla, så har Du ett annat bevis för... C D. Med två kvartscirkelbågar har en kvadrat delats in i tre områden. Hur stor del av kvadratens area upptar den mittersta delen? a c c b b a (Beviset tillskrivs James Garfield, USAs president under några månader 88, innan han sköts av en förbittrad arbetslös tjänsteman.)

Varför bokstavsräkning (algebra)? (Fördjupningsläsning för den intresserade.) 6. Syftet med bokstavsräkning är att kunna göra generella påståenden. T.e. är +7 7ett påstående som gäller enbart talen och 7. Däremot är a + b a b ett påstående som är sant för alla tal a och b. 7. Välj ut tre på varandra följande heltal! (Jag väljer t.e. 7, 8, 9.) Addera dem! (Jag får 7 + 8 + 9 54.) Talet jag fick, 54, är jämnt delbart med, eftersom 54/ 8. Du fick också ett tal som är jämnt delbart med, eller hur? Hur kunde jag veta det? Hur kan jag vara säker på att summan av tre på varandra följande tal alltid blir delbar med, oavsett vilka tal man väljer? Min förklaring vi, matematiker, brukar kalla sådana förklaringar bevis lyder så här: Jag kallar det mittersta talet för n. Övriga två tal är då n och n +. Summan av de tre blir (n ) + n +(n +)n + n + n +n enligt grundläggande egenskaper för addition (att ordningen mellan termerna inte spelar någon roll). Nu kan jag se tydligt att, om jag försöker dividera summan med, så kommer jag att få eakt det mittersta talet n. Har du ett bättre alternativ? 8. Är summan av fyra på varandra följande heltal alltid delbar med 4? Är summan av fem på varandra följande heltal alltid delbar med 5? Är summan av n på varandra följande heltal alltid delbar med n? 9. Välj fyra heltal helt godtyckligt och skriv dem (med en viss lucka) bredvid varandra. Jag väljer som eempel 4 7 Addera angränsande tal två och två och skriv summorna i mellanrummen en rad lägre: 4 7 4 5 Upprepa detta förfarande två gånger till, så att du får ett ensamt tal på fjärde raden: 4 7 4 5 9 6 65 Det tal vi får fram på fjärde raden (65 för min del) kallar vi bottentalet. Uppgift: Försök att hitta någon enkel metod att förutsäga, helst bara genom att titta på de fyra utgångstalen, om bottentalet blir udda eller jämnt! 4

Se hur smidigt det går med bokstavsräkning: Kalla utgångstalen a, b, c resp. d och räkna på som vanligt: (Obs. att vi har en viss symmetri här: a b c d a + b b+ c c+ d a +b + c b+c + d a +b +c + d koefficienten framför a koefficienten framför d koefficienten framför b koefficienten framför c Att det måste bli så, kan vi inse på följande sätt: Bottentalet blir detsamma, om de fyra utgångstalen skrivs i omvänd ordning, d, c, b, a, men detta är detsamma som att låta a och d resp. b och c byta plats. Alltså har vi en etra möjlighet till kontroll: Den som råkar komma fram till att bottentalet skulle vara, säg, a +b +c + d, vet med sig att något räknefel måste ha inträffat på vägen. Utnyttja alla till buds stående medel att kontrollera dina resultat!) Nu tillbaka till frågan när bottentalet blir udda resp. jämnt. Vi kan skriva om bottentalet till a + b + c + d +(b + c) Det sista talet här, (b + c), är ju jämnt det är jämnt delbart med. Omdutänkerefter,såkommerduatt hålla med om att jämnt + jämnt jämnt udda + jämnt udda så bottentalet kommer att vara av samma typ som summan a + b + c + d. Utnyttjar vi vidare att udda + udda jämnt så inser vi att det räcker att titta efter om... Nå, försök att formulera det själv! 0. Hur blir det, om vi gör som i föregående fråga, men startar med fem tal i stället? Bort med ord som regler, lagar, får inte, ej tillåtet!. Vår förhoppning är att du ska räkna på ett visst sätt inte för att någon annan sagt så, utan för att du själv insett att det måste vara så! Matematiken ska inte uppfattas som något ovanifrån givet, som man fogar sig efter, utan att resonera. Visst får man ibland, ibristpåtid, acceptera färdiga formler, men grundinställningen bör vara: Här har jag saker och ting, som jag antagligen inte skulle kommit på själv, men som jag, med sunt förnuft och tillräckligt med tålamod, kan förstå!. Ordet lagar förekommer i flera sammanhang: (a) politiska lagar, t.e. personuppgiftslagen (att man inte får namnge personer på Internet) (b) naturvetenskapens lagar, t.e. gravitationslagen (c) matematikens lagar, t.e. potenslagarna Jag tycker mig här se tre väsensskilda typer av lagar! Ser du några skillnader? Svårt att sätta tankarna på pränt? Fundera åtminstone! Min syn i frågan utvecklar jag närmare i senare brev.. Det är naturligtvis hopplöst att försöka ändra på ett inrotat språkbruk, men i dessa brev har orden regler och lagar avsiktligt (för att inte ge fel associationer) ersatts med det neutrala identiteter likheter som gäller för alla värden på variablerna 5

Omskrivningar med omdöme, tack! 4. Skriva om ett uttryck ersätta ett uttryck med ett ekvivalent (likvärdigt) uttryck, d.v.s. ett uttryck som ger samma resultat för alla värden på de ingående variablerna. (Eller rättare sagt:... för praktiskt taget alla värden på variablerna: uttrycken och ger ju inte samma värde för 0, men väl för alla andra.) 5. Förenkla ett uttryck skriva om ett uttryck, så att det ser enklare ut, tar mindre utrymme på pappret, kräver färre räkneoperationer,... 6. Det intressanta är dock inte att förenkla enstaka uttryck utan att förenkla hela problemet man har! Omskrivningar gör man för att resp. uttryck ska få 7. Låt en för den aktuella situationen lämplig form Vad detta betyder kan variera från fall till fall, se eemplen nedan! och anta att du har till uppgift att bestämma (a) derivatan av f () resp. g (). (b) alla nollställen till f () resp. g () ³ f () ³ 5 + ³ 5 + ³ g () 4 6 +0 +5 Vilket polynom är lättast att arbeta med, f () eller g ()? Ia)ärdetvälg (), men i b)? Ib)ärdetf () dess nollställen kan du skriva ner direkt! (Gör det! Ropa, om du inte hänger med.) Att multiplicera ihop parenteserna och skriva om f på samma form som g, standardformen för polynom, är det väl inga problem? Räkningarna kan arrangeras så att man slipper släpa med sig en massa kvadratrötter ser du hur? Om inte, återkom till frågan efter att du gjort Ö-6 i Pettersson. Du kommer att få att f () g (). Att däremot starta med g () och försöka faktorisera verkar nära nog omöjligt, eller hur? Faktoriseringar skall man vara rädd om! 8. (Forts. på föregående) Är man däremot angelägen om att minimera antalet räkneoperationer, när ett polynoms värde för ett givet ska beräknas, så är varken standardformen g () eller den faktoriserade formen f () det bästa valet! I stället skriver man om och räknar sedan på följande sätt: 4 6 +0 +5((( ) 6) +0) +5 Kräver 4 additioner och multiplikationer mot 4 additioner och 6 multiplikationer för standardformen. (Frågan är intressant, när man skall programmera en dator/miniräknare. De elektroniska kretsarna kan nämligen inte utföra annat än addition och multiplikation, så alla andra operationer måste återföras på dessa.) 9. Om man vill lösa ekvationen + + så är det lämpligt att skriva om vänsterledet på gemensam nämnare: + + Men hur är det, om man vill derivera eller bestämma en primitiv funktion till vänsterledet? 6

Konjugatidentiteten, binomialutvecklingar o.dyl. 0. Visa att (a b) a ab + b identiteterna (a b) a a b +ab b a + b (a + b) a ab + b fås snabbt ur om man ersätter b med b och behärskar identiteterna på sid.8 i Pettersson (a + b)... (a + b)... a b.... Vad blir motsvarigheten till kvadreringsidentiteten för Kan du göra en kvalificerad gissning hur (a + b + c) (a + b + c + d) (a + b + c +... + + y + z) kommer att se ut, när man multiplicerat ihop parenteserna och förenklat? Kan du formulera ett övertygande argument varför det måste bli så som du tror?. Vad får du, om eponenten ökas i stället: Kan du säga något om hur (a + b) 4...? (a + b) 5...? (a + b) 00 ser ut, när man multipilicerat ihop parenteserna och förenklat?. Uttryckavtypena + b, +y 4, 5y z, etc. kallas ibland för binom (polynom bestående av endast två termer). Utvecklingar av den typen vi diskuterar i föregående fråga kallas därför ibland binomialutvecklingar. 4. Likheterna nedan antyder ett mönster. Håller det mönstret i all oändlighet? + +( ) ( +) + +( ) ( +) +4 +( 4) ( 4+) 4 +5 +(4 5) (4 5+) Försök att ange vänster- resp. högerledets allmänna form med var sitt bokstavsuttryck och visa att de är lika. 5. Förklara varför man, utan att räkna, kan inse att, om man utvecklar kvadraterna i uttrycket såmåstemanfåettuttryckavformen (a + b + c) +( a + b + c) +(a b + c) +(a + b c) k a + b + c + m (ab + bc + ca), med några heltal k och m När man väl vet detta, så är det lätt att bestämma k och m genom att sätta in några speciella värden på a, b och c, som ger enkla räkningar. T.e. insättning av b 0,c0ger att k... och insättning av a,b,cger Därmed är det klart att för alla a, b, c m... (a + b + c) +( a + b + c) +(a b + c) +(a + b c)... a + b + c +... 7

6. Du kan själv inse att a + b, a 4 + b 4, a 6 + b 6, etc. µ Utvikning: Matematiker kan tänkas uttrycka detta a n + b n, n,,,... inte kan ha någon faktorisering av typ (a + b)(...) eller (a b)(...) Tänk dig nämligen att du sätter in a och b sådana att b a eller b a i en identitet av formen a n + b n (a ± b)(...) Vilken motsägelse får man då? Kvadratkomplettering 7. Kvadratkomplettering är ingenting annat än den omskrivning ³ + p + q [Se Pettersson, sid.0] + p ³ p + q som leder till den allmänna formeln för rötterna till en andragradsekvation (och som din gymnasielärare säkert gjorde någon gång på tavlan): + p + q 0 ³ + p ³ p + q 0 ³ + p ³ p q + p r ³p ± q p ± r ³p q Musiker, lastbilschaufförer och vissa andra behöver kanske inte känna till pq-formeln överhuvudtaget. Du som fortsätter med teknik och naturvetenskap på högskolenivå förutsätts däremot känna till begreppet! 8. Kvadratkomplettering har följande geometriska tolkning, som också förklarar namnet: Säg att vi har uttrycket +6. Termen kan vi tolka som arean av en kvadrat med sidan. (Tänker på positiva tal enbart.) Låt den vara den större delkvadraten nere till vänster i figuren. Termen 6 kan vi tolka som summan av två rektangelareor, var och en med en sida och den andra sidan. Iochmedatt en rektangelsida är lika lång som kvadratens sida, så kan vi lägga rektanglarna intill kvadraten som i figuren (ovanpå och till höger). Då fattas en kvadrat med sidan i övre högra hörnet för att vi skall få en stor kvadrat med sidan +. Med andra ord, areabetraktelse ger: +6 ( +) 8

9. I Matematik000CD, sid., påstås att Andragradskurvor är symmetriska kring en vertikal linje genom minimi- eller maimipunkten. Detta är inte enbart en iakttagelse man gjort (genom att rita grafen med miniräknare)! Man kan övertyga sig att det alltid förhåller sig så genom att kvadratkomplettera andragradspolynomet och granska uttrycket, t.e. f () +7... ( ) 5 Polynomets graf har alltså en minimipunkt i (, 5) och den vertikala symmetrilinjen skulle vara linjen. Vad menar man, egentligen, när man säger att en kurva är symmetrisk kring en rät linje? Jo, att närhelst en punkt ligger på kurvan, så skall också dess spegelbild i linjen ligga på kurvan. Vad är då koordinaterna för spegelbilden av (, y) i linjen? Jo, om +t (och vi kan skriva varje på denna form), så skall spegelbilden ha koordinaterna ( t, y) : y-koord. skall vara densamma, medan -koord. skall ligga lika långt från, fast på på andra sidan! Insättning i det kvadratkompletterade utrycket ger genast att +t och t ger samma värden : f ( + t) (+t ) 5t 5 f ( t) ( t ) 5( t) 5t 5 Detta betyder just att, om ( + t, y) ligger på grafen, så gör också ( t, t) det! Rationella uttryck 40. Se till att du har klart för dig skillnaden mellan förlängning/förkortning och multiplikation/division : Förlängning/förkortning betyder att såväl täljare som nämnare multipliceras/divideras med samma tal, 6 0, och därmed förblir bråkets värde oförändrat Multiplikation/division ger ett helt nytt tal/uttryck! Polynomdivision 4. I grundskolan har du säkert skrivit tal på blandad form : 5 0 + 0 5 5 + 5 4+ 5 4 5, där 4 5 endast är ett förkortat skrivsätt för 4+ 5 (Vi undviker det alltför stor risk att sammanblanda med multiplikationen 4 5!) 4. Ibland, t.e. om man vill bestämma primitiv funktion, har man glädje av en liknande omskrivning av kvoter av polynom : 4 + 4 + 4 + (Vänsterledet ser man ju inte någon primitiv funktion till, men högerledet är det inga problem med, eller hur?) 4. Man kan genomföra en liknande omskrivning även då nämnaren består av flera termer. Tankegången påminner omdenvidkvadratkomplettering dethandlaromattläggatillochdraifrånsammatal: Ett mera komplicerat fall Kvadratkomplettering : +6 + + ( +) 9 Polynomdivision : + + + 4 + + 5 9

4 + + 5 4 + 5 + + 5 Vitittarnupåförstatermenochskriveromtäljaren(medtankepåhurnämnarenserut) 4 + 5 4 + 5 4 +0 + 5 Nusätterviin()i()ochslårihopbråkenigen: 4 + 4 +0 + 5 () () 4 + + 5 Så upprepar vi förfarandet med bråket till vänster: +0 + 5 4 + 4 +0 + 5 + + 5 4 + +0 + 5 + 5 + 5 + 0 + 5 + 5 5 + 0 + + 5 + 5 6 + + 5 Det sista bråket kan vi inte behandla på samma sätt, eftersom täljarens gradtal är mindre än nämnarens. Sammanfattningsvis har vi fått 4 + + 5 4 + 6 + 5 Det här är motsvarigheten för polynom till 5 4+ 5 Vi säger att 4 är kvot och 6 rest, när 4 + divideras med + 5. Det väsentliga är att resten är ett polynom av lägre gradtal än nämnaren i analogi till att resten, när man dividerar med 5, är mindre än nämnaren 5. 44. I Pettersson och i de flesta andra böcker är man snabb med att presentera en uppställning för divisionen. Det är naturligtvis önskvärt och trevligt att kunna utföra beräkningar snabbt och effektivt. Men sätt inte likhetstecken mellan begreppet polynomdivision och en viss uppställning. Uppställningen är bara ett sätt att komma fram till resultatet. En annan, minst lika snabb och effektiv metod, kan vara (om inte nu, så om några år) att slå in sina polynom på en miniräknare... 45. Kommentar till 0: Att den tredje divisionen går jämnt upp betyder faktiskt att r () är en gemensam faktor till de två polynomen vi startade med och man kan då faktorisera 9 6 +8 5 +7 4 +6 +7 +8 +9 9 + + + 5 +5 4 +6 +6 + + + + + + + Något som man sannerligen inte kan se med blotta ögat! 0

Del II Mattebryggan: Brev (5 juni juli) Övahemma(ochfrågavidbehov!)påföljande: Pettersson: övningar 7-40 och 9-0 Skicka in lösningsförslag på följande : 46. Lös ekvationen 4 + 47. I en rätvinklig triangel är hypotenusan cm och en katet cm. Den andra katetens längd får man, som bekant, med Pythagoras sats till 69 44 cm 5cm. Kalle räknar emellertid så här i stället: + cm 5cm. Ger Kalles metod korrekt resultat för alla rätvinkliga trianglar? Om inte, för vilka rätvinkliga trianglar råkar den ge korrekt resultat? 48. En konstruktör beräknade att en bro kommer att klara den maimala lasten 500(98 a ) ton. Han satte.4 och valde a så att maimala lasten blev 000 ton. (a) Vilket a-värde fick han? (b) Tyvärr brast bron för en lastbil på bara 0 ton. Varför? 49. Övertyga mig att följande likhet är sann: + 6 + 54 + 8 000 50. Visa, genom att skriva om bråket utan rottecken, att + + + när 0 5. Uttryck med matematiska symboler (på så kort form som möjligt) Talen a och b skiljer sig inte med mer än 0. 5. Här följer några påståenden om talen a, b, c, dels sådana uttryckta helt och hållet med symboler, dels sådana som är uttryckta mera på vardagsspråk: abc 0 a + b + c > 0 (a b)(a c)(b c) 0 a + b + c > 0 a + b + c 0 a ( b + c )+ b ( c + a )+ c ( a + b ) 0 Alla tre talen a, b, c är 0 Minst ett av talen a, b, c är 0 Minst två av talen a, b, c är 0 Minst ett av talen a, b, c är > 0 Minst ett av talen a, b, c är 6 0 Minst två av talen a, b, c är lika inbördes. Vissa påståenden är ekvivalenta (likvärdiga), d.v.s. för varje val av tal a, b, c ärdeavsammatyp antingen båda sanna eller båda falska. Para ihop ekvivalenta påståenden! 5. Såväl i Pettersson som i Matematik000CD står det att två räta linjer med riktningskoefficienter k resp. k är vinkelräta då och endast då k k, men någon förklaring lämnas inte. Hur får man fram sambandet? (Tips: ett sätt är med hjälp av likformiga trianglar.)

54. I kvadraten ABCD, med M mittpunkt på CD, vill man ta ut en punkt P, så att avstånden AP, BP och MP är lika stora. Var skall P ligga? 57. I en rätvinklig triangel är en bisektris dragen. Ta fram en formel för hur dess längd kan beräknas om man känner till kateternas längder. D M C P Utnyttja gärna den s.k. bisektrissatsen: A B 55. I en cirkelkvadrant med radie r är två halvcirklar inskrivna så att de precis tangerar varandra, så som figuren visar. Hur stor är den mindre halvcirkelns radie? a b a b Ζ y y 58. Vi har en rektangel och en punkt inuti rektangeln. Vi känner till tre av punktens avstånd till rektangelhörnen: a, b, c. Hurkanviurdemräknautdet fjärde avståndet d? b c 56. Av ett cylinderformat rör, som är delvis nedgrävt i marken, ser man endast ett s.k. cirkelsegment med bredd a och höjd b. Hur stor är rörets diameter? a b a 59. Visa att summan av vinklarna A,B,C,D,E i ett godtyckligt s.k. pentagram en femuddig stjärna, där längder och vinklar kan variera, men där sträckorna skär varandra som i fuguren nedan. Ange också vinkelsumman. E d C B A D

Likformighet Skicka in lösningar till dessa också! 60. Hur skall förhållandet mellan a och b vara för att areorna av den övre deltriangeln resp. trapetset nedanför skall vara lika stora? 6. Figuren nedan skall föreställa en konisk vattenbehållare, som är fylld till en viss nivå. Ange vilket samband råder mellan vattnets höjd konens höjd och y vattnets volym konens volym a b 6. Visa att höjden mot hypotenusan delar den rätvinkliga triangeln i två deltrianglar som är likformiga med hela triangeln. Utnyttja likformigheten för att finna ett samband mellan a, b och c 64. I en rätvinklig triangel med kateterna a och b är en kvadrat inskriven som i figuren nedan. (Månghörningen M säges vara inskriven i månghörningen / cirkeln N, omm:s alla hörn ligger på N.) Hur lång är kvadratens sida? c Ζ Ηy a y b 6. Standard pappersformat (A-,A4-,A5-ark, etc.) är dimensionerat så att om man delar ett ark i mitten (av den längre sidan), så får man en rektangel som är likformig med den ursprungliga. Förklara varför formeln för kvadratens sidlängd måste vara symmetrisk i a och b uttrycketskallinteändras om man låter a och b byta plats och kontrollera att så är fallet med din formel! 65. Med två linjer parallella med basen delas en triangel in i tre lika stora delar (d.v.s. med lika stor areor). Beräkna förhållandet mellan längderna AB och CD. A B Vad måste förhållandet mellan längd och bredd för ett sådant ark papper vara? (Kontrollera dig själv: ett A4-ark är 0 mm 97 mm.) C D

Absolutbelopp och olikheter några kommentarer 66. Absolutbeloppet är en funktion på samma sätt som sin, cos, ep, etc.: Till varje reellt tal tillordnar vi ett annat tal, nämligen avståndet på tallinjen från till origo. I vissa programmeringsspråk betecknar man det här talet med abs(). Matematiker skriver. 67. Du som läst Matematik E känner igen det här som specialfall av absolutbelopp för komplea tal: De komplea talen kan man tänka på som punkter i ett plan med inlagt koordinatsystem. Absolutbeloppet av ett komplet tal är avståndet från resp. punkt till origo. De reella talen kan man tänka på som -aeln i detta plan och det är samma avstånd i båda fallen. 68. När du ser absolutbelopp, tänk i första hand på avstånd! 69. Pettersson, sid.6, har givit en alternativ definition med färre ord och fler symboler. Anledning: Ibland är det önskvärt att mekaniskt, utan att resonera, kunna översätta avstånd till vanliga uttryck! 70. Petterssons definition är ett eempel på en s.k. flerdelad definition av en funktion ½ def., om 0, om <0 ( def. markerar att likheten gäller per definition, så man inte förgäves försöker härleda den från gamla resultat!) Det finns inget konstigt med sådana definitioner, om du tänker på att funktion och uttryck ärtvåolikasaker! De fungerar som följande, förmodligen välbekanta fall, här dock något förenklat: Låt din beskattningsbara årsinkomst i tusental kronor, f () den skatt du ska betala, också i tusental kronor. Låtossantaattreglernaärsådanaattdu inte betalar någon skatt alls, om inkomsten understiger 0 000 kr., betalar annars 0% kommunalskatt på hela inkomsten, betalar även 0% statlig skatt på det överskjutande beloppet, om din inkomst överstiger 50 000 kr. Då kan vi uttrycka oss så här: 0, om 0 <0 f () 0., om 0 <50 0. +0.( 50), om 50 7. En sammansatt olikhet som a<<b är endast ett förkortat skrivsätt för två olikheter som skall gälla samtidigt: Därför: en bildning som a< och <b >> är MENINGSLÖS och skall inte förekomma! Det finns ju inget tal, som är mindre än, men samtidigt större än! <> skall INTE heller förekomma! Vill vi säga att > och samtidigt >, så räcker det med >, ty> följer automatiskt! 7. Ekvationer som + 5kan du också tolka som påståenden om avstånd och lösa i huvudet: + ( ) + avståndet från till Detta avstånd vill vi skall vara 5, alltså +5eller 5 4

Del III LÖSNINGAR, brev 5. (från MatematikCD) Poängen med att avstå från miniräknare är att tvinga sig att fundera hur kontrollen skulle kunna utföras med så litet räknearbete som möjligt. (För att bli duktig i matematik, behöver man nog vara så lat att man inte huvudstupa sätter igång att räkna, utan tänker till först :-) Några idéer: a) 5? 7( +) 4 6 Naturligtvis enkelt att bara räkna på: 5 ( ) ( 5)... 4 6 Men ett alternativ vore att resonera så här: Båda leden är linjära funktioner av. Omdeger samma värden för två olika, såmåstedegesamma värden för alla. (Olika räta linjer kan inte skära varandra i mer än en punkt.) Insättning av / eller 5eller gör ett av de tre bråken 0och minskar räknearbetet: b) c) ( ) 4 5 6 5 4 5 5 6? 7( +) OK!? 7(5+) OK! y y + y? +y Tänk på a b (a b) a + ab + b (y ) y + y +? +y + y y + y?, Nej, ingen identitet. y + a 6b +? a + b b a 6 +? a +, Nej, ingen identitet. d) a + a? +a 4 a 4 a Andra och tredje termen har samma nämnare, så slå ihop dem först:? +a a 4 a a 4 a +a OK! ( + a)( a). a). 5 n +5 n +5 n +5 n +5 n 5 5 n 5 n+ b) µ Ã! y + y + y ( y) / ( + y) Gör täljare och nämnare liknämniga (var för sig) y +( y)( + y) / ( + y) ( y) + y ( + y) h Förläng med ( + y) i ( + y) y +( y)( + y) ( + y) ( y) Konjugatidentiteten (fram- och baklänges) ( + y) ( + y + y)( + y + y) ( + y) ( + y) y 4y 4(a b) a +4b Förkorta bråken med b : 4(a/b ) a/b +4 Sätt a/b och lös ut 4( ) +4 a 5b a +b a/b 5 a/b + 5 + [i forts. 6 4, 6 ] 4( ) ( +) ( 5) ( +4), 7 4 0 7 r 49 4 ± 6 + 7 4 ± 9 4 4 eller. a) Om kan man inte säga något. Minustecken framför en bokstav behöver inte betyda negativt tal: om t.e., så är. b) > 0 för alla 6 0, så < 0 c) Om n är heltal, så är n ett udda heltal. Multiplicerar man ihop ett udda antal negativa tal, så är resultatet negativt: n < 0 5

4. Då a 6 b kan uttrycket skrivas (a b)(a + b) a + b a 4 + b 4... a 8 + b 8 a b Konjugatidentiteten upprepade gånger i täljaren: (a b)(a + b) a b a b a + b a 4 b 4 a 4 b 4 a 4 + b 4 a 8 b 8 a 8 b 8 a 8 + b 8 a 6 b 6... a 8 b 8 a 8 + b 8 a 56 b 56 a 56 b 56 Alltså svar: a b 5. a) 0 för alla, så (då a 6 b) 5+ 5 med likhet för 0, d.v.s. 5 är uttryckets minsta värde / minimum/ och det antas för 0. Något maimum finns inte, ty kan fås att anta hur stora positiva värden som helst genom att sätta in tillräckligt stora. b) ( ) 0 för alla, så ( ) med likhet för, d.v.s. ger maimum. Något minimum finns inte, ty ( ) kan fås att anta hur stora negativa värden som helst genom att sätta in tillräckligt stora värden på. c) + är för alla värden på en kvot mellan positiva tal. Täljaren är dessutom konstant. ½ störst, när nämnaren är minst Kvoten är minst, när nämnaren är störst Nämnaren är med likhet då 0, så kvotens maimum för 0 När ökas från 0 och uppåt (det räcker att titta på positiva, eftersom( ) ), så ökar nämnaren ochkvotenminskar.iochmedatt kan bli hur stor som helst, kan kvoten komma hur nära 0 som helst, dock blir den aldrig eakt 0. 6. 7. 0.6 0.5 0.4 0. 0. 0. -4-0 4 y + ( Minimum som inte antas, som y 0i detta fall, brukar matematiker kalla infimum. Motsvarande term för maimum som inte antas är supremum.) a + b + c a µ + ba + c à µ a + b µ! b + c a a µ a + b b a 4a + c µ a + b b 4ac a 4a 5 +4 +4 8 5 +4 +4 Samma resonemang som för + ifråga(5)ger 0 < +4 4 4 +4 < Uttryckets minsta värde är /4 5/4, som antas för 0, medan något största värde antas inte, men uttrycket är uppåt begränsat av. 8. Om y tyngdkraften och avståndet till jordens centrum, har vi alltså att y k för någon konstant k Låt vidare R jordensradie.vivetatt k R mg 6

och vill uttrycka y då R : k (R) 4 mg Med ord: tyngdkraften reduceras till /4, när avståndet till jordens centrum fördubblas. 9. Låt s sträckan i meter uppför sträckan nerför halva totala promenadsträckan. Medelfarten i m/s total sträcka tid uppför + tid nerför s s 0.5 + s.0 0.5 +.0 0.667. Deltrianglarnas likbenthet ger följande samband mellan vinklarnas storlek: ϑy y y ϑ C Situationen vid hörn C ger y + π π, d.v.s. 0. Det allmänna fallet: s s v + s w v + w 9 6 5, vw v + w 5 +5 4 +6 +6 + + 9 6 +5 5 +8 4 +8 +9 + 9 6 +8 5 +7 4 +6 +7 +8 +9 9 6 +5 5 +8 4 +8 + 9 + 5 + 9 4 +8 +8 +5 +9 5 5 5 +9 4 +8 +8 +5 +9 5 +5 4 + 6 + 6 + + 4 4 + + + +8 Alltså har vi fått att 9 6 +8 5 +7 4 +6 +7 +8 +9 5 +5 4 +6 +6 + + ++ 44 + + + +8 5 +5 4 +6 +6 + + d.v.s. r () 4 4 + + + +8 På samma sätt 5 +5 4 +6 +6 + + 4 4 + + + +8 4 + 9 +9 +9 +9 4 4 + + + +8 d.v.s. r () 9 +9 +9 +9 4 4 + + + +8 9 +9 4 +9 +9 9 + 8 9 y Att AC är bisektris betyder att π y. π 4 π/5 6. Först: Hur stora är vinklarna mellan sidorna i en regelbunden femhörning? Tänk att du går varv runt längs femhörningen: ABCDEA. Vid varje hörn måste du svänga vänster en viss vinkel θ : B C A D ϑ E Sammanlagt 5 sådana svängningar vrider dig totalt varv: 5θ π De inre vinklarna i femhörningen är π θ π 5 π 5 π Sedan: Triangeln ABE är likbent, så ]ABE ]AEB µπ 5 π 5 π 7

Slutligen: BF delar vinkeln ABE i lika stora delar: ]CBF ]CBA ]ABF 5 π 0 π π 90. Summan av de två cirkelkvadranternas (kvartscirklarnas) areor kvadratens area + den mittersta deln, som blir övertäckt två gånger. Låt R kvadratens sidlängd cirkelradien, A mittersta delens area. πr 4 r + A Sökt förhållande A r π r r r π 0.57 4. Summan av de två icke-räta vinklarna är 90 (i och med att summan av alla tre vinklar är 80 ) därför får man räta vinklar när man lägger dem intill varandra som i figuren. Låt a den längre katetens längd b den kortare katetens längd c hypotenusans längd Den stora kvadraten har sidlängd c, och följaktligen area c. Å andra sidan är den sammansatt av fyra trianglar och en mindre kvadrat: c 4 ab +(a b) c a + b, Pythagoras sats 5. För parallelltrapets brukar formeln A a + b h stå i böckerna. Här ligger trapetset, så h a + b. (Hur kommer man till den formeln, förresten?) Å andra sidan, av samma anledning som i föregående fråga, måste vinkeln mellan de två med c markerade sträckorna vara rät. Trapetset är alltså sammansatt av tre rätvinkliga trianglar: 8. Fyra tal: +++4 0 ++4+5 4 +4+5+6 8 Nej, summan av fyra på varandra följande heltal verkar snarare aldrig vara delbar med 4. Kan vi bevisa det? Kalla det andra talet n, så att övriga tre är n, n +resp. n +. Summan av de fyra är då (n ) + n +(n +)+(n +)4n + Vi får alltid rest, om vi dividerar med 4. Fem tal: +++4+5 5 ++4+5+6 0 +4+5+6+7 5 Verkar fungera som för tre. Låt n mittersta talet (n ) + (n ) + n +(n +)+(n +)5n Allmänna fallet, n tal: Vi har redan sett att påståendet inte är sant för n 4. Man ser snabbt att det inte heller är sant för n eller n 6. Men vi kan övertyga oss att det i alla fall är sant för alla udda n : Låt n k +, där k är ett positivt heltal. Kalla det mittersta talet för m. Då har vi summan (m k)+(m k +)+... +(m ) + m +(m +)+... +(m + k ) + (m + k) addera parvis: första och sista, andra och näst sista,... n m I fallet n jämn, kan vi, på liknande sätt som för n 4, visa att summan alltid ger resten n/ vid division med n. a + b (a + b) ab + c a + b c, Pythagoras sats igen 8

9. Bottentalet blir jämnt då och endast då antalet udda tal, bland de fyra man startar med, är jämnt. 0. a b c d e a + b b+ c c+ d d+ e a +b + c b+c + d c+d + e a +b +c + d b+c +d + e a +4b +6c +4d + e 4b +6c +4d är alltid ett jämnt tal. Därför: Bottentalet är jämnt då och endast då summan av de två yttertalen är jämn. (Vad de mellanliggande talen är, spelar alltså ingen roll!). LAGAR Grundas på Kan man förstå varför de gäller? politik MAJORITETSBESLUT förhoppningsvis JA naturvetenskap OBSERVATIONER och EXPERIMENT oftast inte NEJ matematik LOGISKA RESONEMANG JA NEJ Går de att ändrapå? Personuppgiftslagen fanns inte igår, den gäller idag, men kan ändras/upphävas imorgon. Politiska lagar är majoritetsbeslut fattade av oss människor, till för oss människor. Det finns all anledning att fråga sig varför lagarna lyder som de gör, och bara naturligt att man då och då kommer till slutsats att en revision behövs. Annat är det med naturvetenskapens lagar: Varje gång man hoppar ut genom ett fönster faller man neråt i stället för att flyga uppåt det får även en riksdagsmajoritet rätta sig efter! Vidare är vi i dagsläget långt ifrån den förståelse som skulle tillåta oss att besvara frågor som: Varför är gravitationskraften omvänt proportionell mot just kvadraten och inte kuben på avståndet? Varför finns gravitationskraft överhuvudtaget? Etc. Matematiken är till skillnad mot naturvetenskapen en mänsklig konstruktion. Matematikens lagar är inte något försök att fånga naturens mysterier, utan resultat av våra förfäders/medmänniskors resonemang. De är logiska slutsatser av ett antal enklare påståenden, vars giltighet man antagit utan bevis. Vi underställer inte matematikens lagar några omröstningar, därför att deras lydelse är den enda möjliga utifrån de antaganden och den allmänna logik vi kommit överens om att följa. (Vi hade visst kunnat utgå från andra antaganden och/eller/ andra logiska slutledningsregler och då kommit fram till andra slutsatser, men det är inte riktigt vad jag avser med ändra på lagen ovan.) Att matematiken, trots att den egentligen är oberoende av erfarenheten, ändå visat sig vara ett mycket framgångsrikt verktyg för att beskriva den fysikaliska verkligheten, är en filosofisk gåta som många tänkare uppmärksammat, utan att lyckas komma med någon förklaring. Eugene Wigner, nobelpristagare i fysik 96, publicerade 960 en artikel, vars titel blivit bevingade ord: The Unreasonable Effectiveness of Mathematics. Einstein berörde frågan i ett anförande 9, varvid han uttryckte sig bl.a. så här: I den mån matematikens lagar handlar om verkligheten, så är de osäkra. I den mån deras giltighet är säker, så handlar de inte om verkligheten. 7. En grundläggande egenskap för räkning med såväl reella som komplea tal är att ab 0 a 0eller b 0 (Produkten av två tal är 0om och endast om minst ett av talen är 0.) Upprepning ger att motsvarande gäller för produkter av flera tal: Därför: Lösn. till abc 0 a 0eller b 0eller c 0 abcd 0 a 0eller b 0eller c 0eller d 0 ³ ³ 5 + ³ 5 + ³ 0är unionen av lösn. till 50 + 50 + 0 0 9

0. (a b) (a +( b)) a +a ( b)+( b) a ab + b (a b) (a +( b)) a +a ( b)+a ( b) +( b) a a b +ab b a + b a ( b) (a ( b)) ³a + a ( b)+( b) (a + b) a ab + b. (a + b + c) a + b + c +ab +ac +bc (a + b + c + d) a + b + c + d +ab +ac +ad +bc +bd +cd Vi får kvadraterna på vart och ett av talen + alla möjliga dubbla produkter. (a + b +... + z) a + b +... + z + +ab +ac +ad +... +az + +bc +bd +... +bz +... +y +z + +yz En motivering (som dock egentligen förutsätter att grovjobbet redan är gjort): (a + b +... + z) (a + b +... + z)(a + b +... + z) Multiplicerar man ihop parenteserna i högerledet, så fås (som bekant?) summan av alla tänkbara produkter där ena faktorn är term innanför första parentesen och den andra faktorn är en term innanför andra parentesen. Illustrerar prinicpen med ett mindre omfattande eempel: (a + b + c)( + y) a + ay + b + by + c + cy Nu tillämpar vi det här på (a + b +... + z)(a + b +... + z). Dåfårvi dels produkter där båda faktorerna är lika de blir våra kvadrater, dels produkter där faktorerna är olika. Dessa sistnämnda kan vi gruppera i par: Vi får en produkt med t.e. c från första och k från andra parentesen, men vi får också en produkt med k från första och c från andra. ck + kc ck På så sätt får vi alla dubbla produkter. En alternativ och mera grundläggande tankegång är den som eg. utnyttjas när man skall förklara hur t.e. (a + b + c)( + y) a + ay + b + by + c + cy följer ur distributiva lagen a ( + y) a + ay Vi har utrett hur utvecklingen ser ut när antalet termer innanför parentesen, kalla det n, är,, 4. Nuvillvivetahurdetserutnärantaletär4 (eller vad det nu kan vara). Vi förmodar att det mönster, som vi tycker oss skönja ur formlerna för n,, 4, gäller även för alla n>4. Anta nu, för ett ögonblick, att vår förmodan är riktig för n : (a + b +... + y) summan av alla kvadrater + alla dubbla produkter Detta kan vi utnyttja för utvecklingen i fallet n 4: 0

(a + b +... + y + z) ((a + b +... + y)+z) [utv.ifalletn ](a + b +... + y) + (a + b +... + y) z+z Enl. antagandet skulle den första termen ge kvadraterna på a, b,..., y samt alla dubbla produkter dessa emellan. Den andra termen i summan ger oss alla dubbla produkter av talen a, b,..., y, z där z är en av faktorerna. Den tredje och sista termen ger oss kvadraten på z. Vad blir det sammanlagt? Precis de termer som skulle varit med enligt vår förmodan! Alltså: Om vår förmodan är riktig för n, så är den riktig även för n 4. Men vilken roll spelade talen och 4 i det här resonemanget, egentligen? Ingen särskild! Med samma resonemang kan vi konstatera att Mera kortfattat uttryckt:... Om vår förmodan är riktig för n 67, så är den riktig även för n 68.... Om vår förmodan är riktig för n, så är den riktig även för n 4. Om vår förmodan är riktig för n, så är den riktig även för n.... Om vår förmodan är riktig för n, så är den riktig även för n 4. Om vår förmodan är riktig för n, så är den riktig även för n. Om vår förmodan är riktig för n termer innanför parentesen, så är den riktig även för n+ termer, n,,.... Men vi vet ju redan att den är riktig för n (räkningarna för n, 4 är strikt taget inte nödvändiga). Alltså kan vi successivt dra slutsatsen att vår förmodan är riktig för n, 4, 5,..., ja för alla heltal n>. Denna bevismetod kallas matematisk induktion. (a + b) 4 a 4 +4a b +6a b +4ab + b 4 (a + b) 5 a 5 +5a 4 b +0a b +0a b +5ab 4 + b 5 Det är rimligt att tro att (a + b) 00 kan skrivas som en summa av termer a 00 +00a 99 b +... {z} a98 b +... {z} a97 b +... +... {z} a b 97 +... {z} a b 98 +00ab 99 + b 00 där på dem med {z}... markerade platserna står vissa positiva heltal, vars eakta värden, emellertid, verkar svårare att ta fram. Med andra ord: en summa av termer av typen (positivt heltal) a 00 k b k, k heltal mellan 0 och 00 De positiva heltalen framför brukar kallas binomialkoefficienter och betecknas på följande sätt: µ n def. konstanten framför a n k b k i utvecklingen av (a + b) n k uttalas n över k Alltså, med tanke på hur utvecklingarna av (a + b) n ser ut för n,, 4, 5, så 0,, 0,,, 4 0, 4 4, 4 6, 4 4, 4 4, 5 0, 5 5, 5 5, 5 0, 5 4 5, 5 5

och, om vår förmodan är riktig, skulle vi kunna skriva µ µ µ (a + b) 00 00 00 00 a 00 + a 99 b +... + 0 k a 00 k b k +... + µ 00 ab 99 + 99 µ 00 b 00 00 Vad kan vi säga om binomialkoefficienterna 00 k? De borde vara parvis lika: µ 00 0 µ 00, 00 µ 00 µ 00, 99 µ 00 µ 00,... 98 Varför? P.g.a. symmetrin uttrycket skall inte ändras om vi låter a och b byta plats: µ 00 a 00 + 0 µ 00 a 99 b +... + (a + b) 00 (b + a) 00 µ µ 00 00 b 00 b 00 + 00 0 µ 00 b 99 a +... + µ 00 a 00 00 och denna likhet kan visas gälla för alla tal a och b endast om motsvarande koefficienter på båda sidor är lika. Hur? T.e. så här: Sätt a, b : µ µ µ µ µ µ µ µ 00 00 00 00 00 00 00 00 00 + 99 +... + + + +... + 99 + 00 0 99 00 0 99 00 Två polynom är lika för alla värden på om och endast om motsvarande koefficienter är lika, d.v.s. konstanta termen i ena polynomet konstantatermeniandrapolynomet -koeff. i ena polynomet -koeff. iandrapolynomet -koeff. i ena polynomet -koeff. iandrapolynomet... Ett sätt att inse detta är följande: Anta att för alla reella tal gäller Sätt in 0, så fås a 0 + a + a +... + a m m b 0 + b + b +... + b n n a 0 b 0 Om två polynom ger samma värden för alla, så måste också deras derivator ge samma värden för alla : Sätt in 0i denna likhet, så fås Derivera en gång till och sätt in 0, så fås a +a +... + ma m m b +b +... + nb n n a b a b och så kan vi fortsätta tills vi visat att alla koefficienterna är parvis lika! Men hallå där! Var det verkligen helt klart att (a + b) 00 a 00 +00a 99 b +...a 98 b +...a 97 b +... +...a b 97 +...a b 98 +00ab 99 + b 00? Är nästytterstakoefficienten verkligen 00? Vi utförde ju aldrig hela räkningen. Man skulle kunna utnyttja matematisk induktion, som i föregående fråga.

Vi tittar noga på hur (a + b) n+ kan fås ur (a + b) n. Betecknar koeff. med n k, för det är inte deras värden som är intressanta nu, utan sambanden dem emellan. Först för n : µ µ µ (a + b) a + ab + b 0 µµ µ µ (a + b) a + ab + b (a + b) 0 0 a + a b + ab + 0 a b + ab + b µ µµ µ µµ µ µ a + + a b + + ab + b 0 0 µ µ µ µ a + a b + ab + b 0 För n : varvid alltså µ µ µ µ (a + b) a + a b + ab + b 0 µµ µ µ µ (a + b) 4 a + a b + ab + b (a + b) 0 0 a 4 + a b + a b + ab + 0 a b + a b + ab + b 4 µ µ µ µ µ 4 4 4 4 4 a 4 + a b + a b + ab + b 4 0 4 0 0, + 0, +, 4 0 0, 4 + 0, 4 +, 4 +, 4 4 Vi kan göra på samma sätt för alla heltal n>. Anta att µ µ µ (a + b) n n n n a n + a n b +... + a n k b k +... + 0 k med vissa heltal n 0, n,..., n n. Då är µ n ab n + n µ n b n n (a + b) n+ (a + b) n (a + b) µµ µ µ µ n n n n a n + a n b +... + a n k b k +... + ab n + 0 k n n 0 a n+ + n a n b +... + n k a n k+ b k +... + n ab n + n 0 a n b +... + n k a n k+ b k +... + n n ab n + n n b n µ µ µ µ n + n + n + n + a n+ + a n b +... + a n+ k b k +... + ab n + n + k n med µ n b n (a + b) n µ n + b n+ n + n+ 0 n 0, n+ n + n 0, n+ n + n,... Härav kan vi dra slutsatsen att påståendet n+ k n k + n k... n+ n n n + n n, n+ n n

(a + b) n kan skrivas som en summa av termer av typen (heltalskonstant) a n k b k, k heltal mellan 0 och n är sant för alla n>, ty i) detärsantförn, och (vi har just sett att) ii) om det är sant för ett visst heltal n, såärdetsantävenförnästaheltaln +. Vidare ser vi att de yttersta koefficienterna, n 0 och n n, inte ändras när vi går upp från n till n +. Alltså är de, för det är de när n : µ µ n n 0 n Därmed n+ n + n 0 n + och eftersom, så Med hjälp av µ n + k µ n n µ n k µ n + k +, 4 +4,... Således kan vi räkna fram binomialkoefficienterna successivt enligt följande schema, kallat Pascals triangel: &. &. &. &. &. 4 6 6 &. &. &. &. 5 0 0 5 &. &. &. &. &. 6 5 0 5 6 Fast den här vägen verkar inte riktigt tilltalande om man är intresserad av, säg, 00 0 man skulle behöva räkna sig igenom 99 rader i en här triangeln kan det finnas någon genväg? Vi kan ha glädje av deriveringsargumentet från sid.()! Illustrerar med mindre potens först: Sätt a,b : (a + b) 6 a 6 + µ 6 ( + ) 6 + a 5 b + µ 6 + µ 6 a 4 b + µ 6 + µ 6 a b + µ 6 + µ 6 4 µ 6 4 + 4 a b 4 + µ 6 ab 5 + b 6 5 µ 6 5 + 6 5 Denna likhet gäller för alla, alltså måste även båda ledens derivator vara lika för alla : µ µ µ µ µ 6(+) 5 6 6 6 6 6 + + +4 +5 4 +6 5 4 5 Sätt nu 0, så får vi 6 µ 6 OK, det visste vi redan, men poängen är att genom att upprepa det här förfarandet, så kan vi få fram även de andra koeffcienterna. Derivera en andra gång: µ µ µ µ 6 5(+) 5 6 6 6 6 + +4 +5 4 +6 5 4 4 5 4

Sätt in 0: Derivera igen: Sätt in 0igen: o.s.v. Nu till 00 0 : Vi deriverar 0 gånger: 6 5 µ 6, d.v.s. µ 6 5 µ µ µ 6 5 4(+) 6 6 6 +4 +5 4 +6 5 4 4 4 5 ( + ) 00 + µ µ 6 6 6 5 4, d.v.s. 0 µ 00 +.. + 00 99 98... 7 ( + ) 70 0 9... µ 00 0 +... + 0 µ 00 99 + 00 99 µ 00 + termer som innehåller 0 och sätter in 0: µ 00 00 99 98... 7 0 0 9... Nåja, det här räknar man inte ut på sekunder heller, men om man börjar med att förkorta 00 0 85 7 99 9 0 84 8 8 8 7 98 4 7 97 96 4 4 95 9 94 9 9 5 8 9 90 88 89 0 5 80 78 79 77 76 6 6 6 75 7 74 5 8 7 8 7 5 97 94 9 89 86 8 8 79 77 8 7 7 7 87 9 86 så kan man se (avrunda alla tvåsiffriga tal uppåt till 00, utom 8 och 7 som avrundas nedåt till 0) att µ 00 5 0 0 00 5 0 0 0 6 0 Med maskin fås µ 00 9 7 9 8 60 944 8 96 760 0.9 0 6 0 Det vi har resonerat oss fram till, brukar kallas binomialsatsen : (a + b) n a n + µ n med k µ n a n b +... + n (n ) (n )... (n k +)... k µ µ n n a n k b k +... + ab n + b n k n 5

4. Likheterna är specialfall (då n,,, 4) av n +(n +) +(n (n +)) (n (n +)+) Detta kontrolleras vara sant för alla n : n + n +n ++(n (n +)) (n (n +)) +n (n +)+ n +n + n +n + 5. När vi utvecklar parenteserna, måste vi få en summa av produkter av typen a,ab,ac,b,bc,c. Uttrycket (a + b + c) +( a + b + c) +(a b + c) +(a + b c) är symmetriskt i a, b, c, d.v.s. det ändras inte, om vi låter a, b, c byta plats på något sätt, t.e. (b + a + c) +( b + a + c) +(b a + c) +(b + a c) Därför kommer vi att få lika många a som b resp. c, lika många ab som ac, etc. Utrycket är 4 a + b + c 6. Någon faktorisering av typen a n + b n (a ± b)(...) kan inte gälla, eftersom vänsterledet är 0 med likhet endast då a b 0, medan högerledet blir 0så fort a ± b 0, vilket inträffar för oändligt många andra värden på a och b. Etra uppgift (i och med att det blev plats över) 7. Kapar man toppen av en pyramid med ett snitt parallellt med basplanet, fås en kropp som brukar kallas för stympad pyramid : Anta att basen är en kvadrat med sidlängd a. Sätt b toppkvadratens sidlängd, h höjden, d.v.s. vinkelräta avståndet mellan de två parallella kvadraterna. Visa att den stympade pyramidens volym är a + ab + b h Tips: Volymen är differensen mellan två vanliga pyramiders volymer. 6

Del IV Mattebryggan: Brev ( juli 5 juli) Övahemma(ochfrågavidbehov!)påföljande: Pettersson: övningar 4-6 (Betr. övn. 47,48,50: se sid.0 och följande!) Du, som inte läst om komplea tal, säger att andragradsekv. med p q<0 inte har några reella rötter och bortser från alla tal med ±i. Betr. +++/ i avsnitt.9 : Det är alltså faktorernas tecken på resp. intervall som man studerar. Av misstag har man, på två ställen, tryckt fyra plustecken i stället för tre. Matematik000CD: 9, -8, 47, 8, 4-44, 480, 48 Matematik000CD, avsnitt 4.6 om geometriska talföljder (berörs ej av Pettersson, men kan vara lämpligt att repetera) Nu blev de nog ganska många uppgifterna du får göra ett urval själv. Ta några från varje område. Olikheter 74. Vad kan du säga om tecknen på talen a och b, om a) ab > 0, b) a b < 0? 75. Om man vet att p q >, kan man då påstå att p>q? 76. Om man vet att a > 4, kan man då påstå att a>? 77. Talet 7 är inte delbart med något av talen,, 5, 7, och. Förklara varför detta räcker för att dra slutsatsen att 7 är primtal (d.v.s. inte delbart med några heltal alls, annat än med de uppenbara möjligheterna ±, ±7. 78. Visa att a>b>0,c>0 a b > a + c b + c (d.v.s. att om a>b>0 och c>0, så a b > a+c b+c. Den s.k. implikationspilen symboliserarattförvarje val av variabelvärden som gör vänsterledet sant, så blir även högerledet sant.) Du kan göra det på (minst) två sätt: a) Manipulera olikheten (ungefär) som en ekvation. b) Konstatera att funktionen f () k+, k fi positiv konstant, är avtagande på intervallet >0. Kan du förklara hur man resonerar i b)? (Vad har f med olikheten att göra och hur ser du enklast att f är avtagande?) 79. Om två givna tal vet man att deras summa är större än deras produkt, men mindre än deras differens. Teckna denna utsaga med bokstäver (kalla talen a resp. b). Kan du säga om talen är positiva eller negativa? 80. Antag att vi känner medelvärdet M avettkäntantal,n st., positiva heltal. Hur stort / litet / kan det största av dessa N tal tänkas vara? 8. Vi ser att 5 +60för. Kan vi då dra slutsatsen att 5 +6> 0 för >? 8. Tänk på andragradsolikheter a + b + c>0, där a, b, c är givna tal, a 6 0. Kan det inträffa, och i så fall under vilka villkor på a, b och c, att lösningsmängden består av enstaka punkter? ett begränsat intervall? ett obegränsat intervall? flera intervall? 8. De allmänna principerna för lösning av ekvationer resp. olikheter uppvisar många likheter. Vilken är den största skillnaden? 7

Polynomekvationer 84. Såväl Pettersson som Matematik000 redovisar pq-formeln för andragradsekvationer, som förutsätter att - koefficienten är. Är den inte det, så får man dividera först. Men man kan ställa upp en nästan lika enkel formel, som ger rötterna till a + b + c 0direkt i a, b, c :,???, Vad skall det stå i täljaren? a 85. Det finns ett relativt enkelt uttryck i a, b, c kalla det D med egenskapen Om D > 0, så har ekvationen a + b + c 0två olika reella röter Om D 0, så har ekvationen a + b + c 0en reell rot Om D < 0, så har ekvationen a + b + c 0inga reella röter och som därför kallas för diskriminant till polynomet a + b + c. Hur ser uttrycket D, tror du? (Bygger på föregående fråga.) 86. Bestäm förhållandet a/b, om a 7ab +b 0 87. Lös ekvationerna 88. Lös ekvationen a) 4 + b) µ + + ( +)( +)( +4)( +5)( +) +( +) +( +4) +( +5) Tips: Att utveckla vänsterled och högerled som de står, skulle ge långa polynom, som det kan bli svårt att göra något åt. Men observera att faktorerna är centrerade kring +. En idé vore därför att räkna med t + som obekant! 89. Funktionen f () a + b + c har minimum 0. Vad kan sägas om talen a, b, c? 90. Ett av problemen på det årliga skolmästerskapet i matematik löd så här: Bestäm alla värden på parametern a, för vilka ekvationen + a 0har eakt en reell rot. I eftersnacket diskuterades det av flera deltagare. Jag tänkte så här, ivrigt berättade Karin. Vi vet att. Därför kan vi betrakta + a 0. Denna är en andragradsekvation med avseende på och, som bekant, andragradsekvationer har eakt en rot då och endast då uttrycket under rottecknet i pq-formeln är 0,idettafallalltsånära /4. Bengt kunde knappt avhålla sig från att avbryta henne. Inte alls, hör nu på hur jag gjorde. Antag att 0 är en rot. Då är det klart att även 0 är en rot. Skall ekvationen ha eakt en rot, så måste dessa två sammanfalla, d.v.s. 0 0.Men0 är en rot då och endast då a 0. Ingen av er har kommit riktigt ända fram - blandade sig Torsten in i samtalet. Man måste dessutom... Ingenting mer behövs - avbröt honom Maria. Allt är redan klart. Nå, vem hade rätt i denna upphetsade diskussion? 9. Tänk dig att du har en liksidig triangel given. Finns det några andra likbenta trianglar som har såväl lika stor area som lika stor omkrets som den givna? 8