M0038M Differentialkalkyl, Lekt 10, H15

Relevanta dokument
SF1625 Envariabelanalys

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

TATM79: Föreläsning 8 Arcusfunktioner

Lektion 6, Envariabelanalys den 14 oktober Låt oss krympa f:s definitionsmängd till en liten omgivning av x = x 2.

Lösningsförslag TATM

Några saker att tänka på inför dugga 2

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

MA2047 Algebra och diskret matematik

f(x) = 1 x 1 y = f(x) = 1 y = 1 (x 1) = 1 y x = 1+ 1 y f 1 (x) = 1+ 1 x 1+ 1 x 1 = 1 1 =

Teorifrå gor kåp

5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm

Lösningsförslag TATM


arcsin(x) udda ( x) varken udda eller jämn alla reella tal ( 0, ) 1. y=a 1 x udda/jämn Värdemängd derivatan Definitionsmängd Arcusfunktioner

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n

Lösningsförslag TATA

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

ARCUSFUNKTIONER. udda. arcsin(x) [-1, 1] varken udda eller jämn udda. arccos(x) [-1, 1] [ 0, π ] arctan(x) alla reella tal π π. varken udda eller jämn

Kap Inversfunktion, arcusfunktioner.

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 15, H15

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen i Envariabelanalys 1

Några viktiga satser om deriverbara funktioner.

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel"

Lösning av trigonometriska ekvationer

TNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

Ledtrå dår till lektionsuppgifter

5B1134 Matematik och modeller

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Notera att ovanstående definition kräver att funktionen är definierad i punkten x=a.

6.2 Implicit derivering

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Kap Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet.

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

TATM79: Föreläsning 4 Funktioner

Sidor i boken KB 6, 66

Lösningsförslag TATM

a (och liknande ekvationer). a har lösningar endast om 1 a 1 (eftersom 1 sin( x ) 1). 3 saknar lösningar.

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek.

TNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891

SF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att

Geometri och Trigonometri

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 16, H15

MA2001 Envariabelanalys

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Lösningsförslag TATA

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 4, H15

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

SAMMAFATTNINGAR AV VISSA FÖRELÄSNINGAR

Matematik 1. Maplelaboration 1.

Dugga 2 i Matematisk grundkurs

också en lösning: Alla lösningar, i detta fall, ges av

2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009

Matematiska uppgifter

Tentamen i Matematik, del B, för Tekniskt basår

Kap Implicit givna funktioner

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

Föreläsning 6. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 9 november 2018

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.

Vektorgeometri och funktionslära

Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 22 aug 2011 Tid: :15 Lärare:Armin Halilovic

Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59

e x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.

Transkript:

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 10, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 31

Repetition Lekt 9 Bestäm största värdet av 5 sin v + 12 cos v. Staffan Lundberg M0038M H15 2/ 31

Omvändbar funktion Inversa funktioner - om att köra funktionsmaskinen baklänges x Om vi kör vår funktionsmaskin baklänges vad händer då??? y Vi skall titta närmare på detta i ett exempel. Staffan Lundberg M0038M H15 3/ 31

Exempel Inversa funktioner Omvändbar funktion Betrakta funktionen f (x) = x (blå graf). Analysera funktionen med avseende på omvändbarhet. Staffan Lundberg M0038M H15 4/ 31

Omvändbar funktion Här ser vi, att två olika x-värden aldrig ger upphov till ett och samma y-värde. För varje y finns precis ett x-värde. Är baklängesmaskinen en funktion? Ja, det är den. Man brukar säga att funktionen y = x är omvändbar eller inverterbar. Staffan Lundberg M0038M H15 5/ 31

Definition Inversa funktioner Omvändbar funktion Om f (x) är en omvändbar funktion, existerar inversen till f, med beteckning f 1. Det gäller att y = f (x) x = f 1 (y). Staffan Lundberg M0038M H15 6/ 31

Anmärkning Inversa funktioner Omvändbar funktion Om en funktion skall vara omvändbar, innebär det att varje linje, parallell med x-axeln, får skära funktionens graf i högst en punkt. Det får alltså inte finnas flera x-värden för ett specifikt y-värde. y y = f (x) y y = f (x) x x (a) f är omvändbar (b) f är inte omvändbar Staffan Lundberg M0038M H15 7/ 31

Exempel Inversa funktioner Omvändbar funktion Betrakta funktionen f (x) = 4 x 2, 3 x 3. Håller du med om att f (x) faktiskt är en funktion? Lös ekvationen f (x) = 3. Kan du med ledning av detta analysera funktionen med avseende på omvändbarhet? 4 2 3 2 1 1 2 3 0 2 4 y x 1 x 2 y = 3 y = 4 x 2 x Staffan Lundberg M0038M H15 8/ 31

Lösningsförslag Inversa funktioner Omvändbar funktion Vi konstaterar att för y-värdet 3 existerar två x-värden, x 1 och x 2. Vår funktionsmaskin spottar tydligen ut två olika element för elementet 3. Är baklängesmaskinen en funktion? Svaret är ja. (Varför?) Är baklängesmaskinen en omvändbar funktion? Svaret är nej. 4 2 3 2 1 1 2 3 0 2 4 y x 1 x 2 y = 3 y = 4 x 2 x Staffan Lundberg M0038M H15 9/ 31

Egenskaper Kriterier för omvändbarhet Omvändbara funktioner mer generellt En funktion f med definitionsmängd D f sägs vara omvändbar/inverterbar om x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) för godtyckliga val av x 1, x 2 D f. Staffan Lundberg M0038M H15 10/ 31

Definition Inversa funktioner Egenskaper Kriterier för omvändbarhet Antag att f är en omvändbar funktion. Med f 1 menar vi inversen till f, som till varje y V f tillordnar ett entydigt x D f med y = f (x): x D f =V f -1 y=f(x) y V f =D f -1 y = f (x) x = f 1 (y) x=f -1 (y) (Alternativ formulering: y = f 1 (x) x = f (y).) Staffan Lundberg M0038M H15 11/ 31

Egenskaper Kriterier för omvändbarhet Egenskaper hos inversen y = f (x) x = f 1 (y), D f 1 = V f, V f 1 = D f, f 1 (f (x)) = x, x D f (Forts nästa sida) Staffan Lundberg M0038M H15 12/ 31

Egenskaper Kriterier för omvändbarhet Egenskaper hos inversen, forts f (f 1 (x)) = x, x D f 1, (f 1 ) 1 (x) = f (x), x D f, Om vi representerar f och f 1 i samma koordinatsystem så är grafen av f och grafen av f 1 varandras spegelbilder i linjen y = x. Staffan Lundberg M0038M H15 13/ 31

När är en funktion omvändbar? Egenskaper Kriterier för omvändbarhet Om f är strängt monoton (dvs. strängt avtagande eller strängt växande) så är f omvändbar och därmed har f en invers. Staffan Lundberg M0038M H15 14/ 31

Exempel Inversa funktioner Egenskaper Kriterier för omvändbarhet Funktionen f (x) = x + 1 x 1, x 1, är strängt avtagande och är därmed omvändbar. Bestäm inversen. Staffan Lundberg M0038M H15 15/ 31

Egenskaper Kriterier för omvändbarhet Lösningsförslag Sätt y = x + 1. Vi löser ut x : x 1 y(x 1) = x + 1 x(y 1) = y + 1. ( Svar: x = f 1 (y) = y + 1 y 1 ) Staffan Lundberg M0038M H15 16/ 31

Som vi redan vet, är våra trigonometriska funktioner periodiska. Det är inte alltid en fördel. Periodiska funktioner är nämligen inte inverterbara. Men kan vi trots detta definiera inverser till cosinus, sinus och tangens? Ja, det kan vi om vi betraktar de trigonometriska funktionerna på vissa, särskilt bestämda intervall där de är strängt växande eller strängt avtagande. Vilka intervall är det frågan om? Staffan Lundberg M0038M H15 17/ 31

Omvändbar sinus Funktionen y = sin x är omvändbar på intervallet [ π 2, π 2 ],enligt nedanstående figur: y 1 y = sin x π π 2 0 π 2 π x 1 Staffan Lundberg M0038M H15 18/ 31

Omvändbar cosinus Funktionen y = cos x är omvändbar på intervallet [0, π],enligt nedanstående figur: y 1 y = cos x π 2 0 π 2 π 3π 2 x 1 Staffan Lundberg M0038M H15 19/ 31

Omvändbar tangens Funktionen y = tan x är omvändbar på intervallet ] π 2, π 2 [,enligt nedanstående figur: 3 y 2 1 π 2 π 4 1 0 π 4 y = tan x π 2 x 2 Staffan Lundberg M0038M H15 20/ 31

Sammanfattning Funktion Sin Intervall [ π 2, ] π 2 Cos ] [0, π] Tan π 2, [ π 2 På ovanstående intervall är funktionerna omvändbara med inverserna arcus cosinus, arcus sinus och arcus tangens. Staffan Lundberg M0038M H15 21/ 31

Definition y = arcsin x x = sin y, π 2 y π 2, y = arccos x x = cos y, 0 y π, y = arctan x x = tan y, π 2 < y < π 2. Staffan Lundberg M0038M H15 22/ 31

Utantill-läxa Lär dig följande minnesregler utantill! Arcus sinus för ett tal mellan -1 och 1 är den vinkel mellan ±π/2, vars sinus är talet. Arcus cosinus för ett tal mellan -1 och 1 är den vinkel mellan 0 och π, vars cosinus är talet. Arcus tangens för ett tal mellan ± är den vinkel mellan ±π/2, vars tangens är talet. Staffan Lundberg M0038M H15 23/ 31

Avslutande exempel Bestäm arcsin(sin 0.3), cos(arcsin 0.6), På egen hand arctan(tan 3π 4 ). Staffan Lundberg M0038M H15 24/ 31

Lösningsförslag, punkt 3 arctan(tan 3π 4 ) 3π 4. Här kan vi inte åberopa cancellation identity (s. 72 FN), eftersom omvändbarheten gäller i intervallet ( π/2, π/2). Vi noterar att tan 3π 4 = 1 = tan ( π 4 ). Därför måste vi svara med vinkeln π/4. Staffan Lundberg M0038M H15 25/ 31

Läs och lös på egen hand Avgör om funktionen f (x) = 1 + 1 x, x > 0, har en invers. Bestäm den i så fall och rita dess graf i samma koordinatsystem som f. Staffan Lundberg M0038M H15 26/ 31

Lösningsförslag-tjuvkika inte Omvändbarhet. Välj OBS! {}}{ 0 < x 1 < x 2 och undersök f (x 1 ) f (x 2 ) = 1 + 1 x 1 (1 + 1 x 2 ) = (Gör liknämn.) = x 2 x 1 x 1 x 2 > 0, vilket betyder att f är strängt avtagande och därmed omvändbar. Staffan Lundberg M0038M H15 27/ 31

Lös ut x. Sätt y = 1 + 1 1. Vi löser ut x som ger x =. Den x y 1 inversa funktionen ges alltså av yttrycket x = f 1 (y) = 1 y 1. Variabelskifte. När vi nu skall rita grafen till f 1 byter vi x mot y och y mot x och skriver y = f 1 (x) = 1. x 1 Staffan Lundberg M0038M H15 28/ 31

Graf Graferna till f och f 1 är varandras spegelbilder i linjen y = x. Staffan Lundberg M0038M H15 29/ 31

Att fundera... Är funktionen y = x en funktion som kan köras baklänges? Staffan Lundberg M0038M H15 30/ 31

Hmmm... Staffan Lundberg M0038M H15 31/ 31