Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ º ÃÙÖ Ò Ú Ø Ö ØØ ÖÑ Ò Ó Ò Ú Ô Ö ÙÒ

Relevanta dokument
ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾

ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ Ö Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ø Ð Ö

s N = i 2 = s = i=1



ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ø ½ ¾ Ò Ú Å ÌÄ ¹ÔÖÓÑÔØ Ò ÒÑ ØÒ Ò Ò Ú

f(x) = f t (x) = e tx f(x) = log x X = log A Ö Ð e X = A f(x) = x X = A Ö Ð X 2 = A. (cosa) 2 + (sin A) 2 = I, p (k) (α) k=0

x 2 + ax = (x + a 2 )2 a2

Ö Ò histogramtransformationº

ÁÒÒ ÐÐ Á ÝÖ ÖÒ ÓÑ ËÙÖ Ð¹ Ö ÓÑ ØØ Ö ÁÁ ÌÖ Ö ÓÑ Ñ Ò Ñ Ø ÒÒ Ø ÐÐ Ó Ò Ð Ø Ö ÁÁÁ йÀ Ò Ö Ñ Ö Ð ÓÒ ÁÎ Ò Ö Ø ÖÙÒ Ò Î Ò Ò Ö ÖÙÒ Ò ÃÒÒ ÓÑ ÓÑ ÚÖ Ö Ð ÓÒ Á ¹ Ð Ñ

u(t) = u 0 sin(ωt) y(t) = y 0 sin(ωt+ϕ)

Î Ö Ä Ì ½º Ì Ö Ò Ø Üع Ð ÓÑ ÒÔÙغ ¾º ÈÖÓ Ö Ö Ð Ò Ó ØÑÑ Ö Ø ÓÔØ Ñ Ð ÙØ Ò Øº º Ö ÙØ Ò ÎÁ¹ Ð Ú ¹ÁÒ Ô Ò Òصº º ÎÁ¹ Ð Ò Ò ÓÒÚ ÖØ Ö Ø ÐÐ Ü ÑÔ ÐÚ Ò È ¹ к


Verktyg för visualisering av MCMC-data. JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK

Dlnx = 1 x. D 1 4 x4 = 1 4 4x3 = x 3. F(x) = x3 + x2. + x2. F (x) = G (x) = x 2 + x = f(x). Ó G(x) =

Föreläsning 13 5 P erceptronen Rosen blatts p erceptron 1958 Inspiration från mönsterigenk änning n X y = f ( wjuj + b) j=1 f där är stegfunktionen.

2E I L E I 3L E 3I 2L SOLUTIONS

Ä Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ


ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò Ð Ú ÙÖ Ñ Ø Ö Ð Ø Ø ÐÐ ÙÖ Ò ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ÓÑ Ô ËÌ˹ Ó Á̹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ô Ö Ó ¾ µº Ò Ð Ð Ú Ñ


0, x a x a b a 1, x b. 1, x n. 2 n δ rn (x), { 0, x < rn δ rn (x) = 1, x r n

Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring

Ö ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Ø

Införande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem

ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼

σ ϕ = σ x cos 2 ϕ + σ y sin 2 ϕ + 2τ xy sinϕcos ϕ

Stapeldiagram. Stolpdiagram


ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½


ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼

Självorganiserande strömningsteknik

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

¾

ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½

ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½


1 = 2π 360 = π ( 57.3 ) 2π = = 60 1 = 60. 7π π = 210

Multivariat tolkning av sensordata

½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº

Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÃÓ ÑÓÐÓ ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ö Ð Ò Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò ÓÑ Ó ÖÚ Ö Ø ÍÒ Ú Ö ÙѺ ÍÖ ÔÖÙÒ Ø Ö Ö Ø Ð ÜØ Ö Ú Ñ¹ Ñ ØÖÐÒ Ò Ö Ö Ð Ø ÚØ Ó ÒØ Ñ Ò ØÖÓ ÓÑÑ ÙÖ ÓÐÐ Ó

Vattenabsorption i betong under inverkan av temperatur




Från det imaginära till normala familjer


Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET


Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼

¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½

ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼

Ú Ö Ö ÐÒ Ö ØØ Ö Ú Ø Ú Ò Ò ¹ Ú Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ú Ñ Ò Ö ¹ Ø Öº ËØÝÖ Ú ØØ Ø ÜØ ÖÒ Ð Ò ÑÓØ Ð ÙÐÐ º Á Ó Ç ÓÐ ÔÖ Ð Ú ÝÒº ÍÒ Ø Ö ÖÒ ÐÒ Ø Ñ ÐÐ Ò ÔÓ Ò ÀÓÑ ÖÓ Ö Ø

( ) = 3 ( + 2)( + 4) ( ) =

G(h r k r l r ) = h r A + k r B + l r C (1)

x + y + z = 0 ax y + z = 0 x ay z = 0

Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖ Ö ¾ Ù Ù Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐ Ö Ó Ø ÐÐ Ö Ø ÐÐ Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ô ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ó Ø Ò ÓÐÓÖ

Ê Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

1 S nr = L nr dt = 2 mv2 dt

u(t) = u o sin(ωt) y(t) = y o sin(ωt + φ) Y (iω) = G(iω)U(iω)

ÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

º º ËÝÒ ÔØ ÔÐ Ø Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º Æ ÙÖÓØÖ Ò Ñ ØØ Ö º º º º º º º º º º

Imperativ programering

Å Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓ

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

Tentamen i TMME32 Mekanik fk för Yi

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

huvudprogram satser funktionsfil utparametrar anrop av funktionsfil satser satser

B:=0; C:=0; B:=B+2; C:= 0; B>0 -> B:= B-2; B>0 -> B:= B-2;

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

Â Ú ËÖ ÔØ ÇŠغ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼

arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008

¾¼ Ë Ò ÓÐ ÖØ Ö Ò ÓÒÒ Ö ËØÓ ¹ ÓÐÑ ½ ¼ º ½½ º Í ÍÍ Ë ÄÍÅ ÆÍ Å Ú Ò ØØ Ö Ú Ë Ö ØÖ Ñº ÀÒÚ ÖÒ ¾½ ¾¾ ¾ ¾¾ ¾ ½¼½ ¾ ¾ ¾ ½¾ ½ ½ ¾ ¾º ¾½ Ö À Ò ËÚ Ò Ú Ö º ÍÖ ÇÖ Ó

a = ax e b = by e c = cz e

Tmem. ::= {mem data := Tmem data ;mem free := Tmem free ;mem null := Tmem null ;mem code := Tmem code }

Imperativ programering


Article available at or

Errata. by Afif Osseiran. August 17, 2006

Frågetimmar inför skrivningarna i oktober

arxiv: v1 [nucl-th] 28 May 2008

Vindkraft och försvarsintressen på Gotland

15 = f(3) = 9a + 3b + c 9 = f( 3) = 9a 3b + c

PLANERING MATEMATIK - ÅK 7. Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Tal och räkning Kapitel : 2 Stort, smått och enheter. Elevens namn: Datum för prov

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE TRE FYRA FYRA klart

arxiv: v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

PREDICTIVE MODELLING OF EDGE TRANSPORT PHENOMENA IN ELMy H-MODE TOKAMAK FUSION PLASMAS

Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp,

=

Tentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M0014M. Tentamensdatum Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid Lärare: Thomas Strömberg

1 k j = 1 (N m ) jk =

level days

Programmering med Java. Grunderna. Programspråket Java. Programmering med Java. Källkodsexempel. Java API-exempel In- och utmatning.

Transkript:

Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å Ø Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½

Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ º ÃÙÖ Ò Ú Ø Ö ØØ ÖÑ Ò Ó Ò Ú Ô Ö ÙÒ Ô ÖÒ Ò Ö ÖÙÒ Ð Ò Ò Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÙÖ ÖÒ Ú ÙÐØ Ø Òº ½ Å Ø Ö Ð Ø Ö Ö Ø Ô Ò Ò Ø Ò Ð ØØ Ö ØÙÖ ÖØ Ò Ò º Ó Ñ Ö ¾¼½

¾

Ä ØØ Ö ØÙÖ ÖØ Ò Ò ½ º ÙÔ Ó Åº ÃÙÖÙÐ º ÈÖÓÔ ÙØ Å Ø Ñ Ø Áº Å Ø Ñ ¹ Ø ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ó Ñ ¾¼¼ º ¾ º ÙÔ Ó Åº À º ÈÖÓÔ ÙØ Å Ø Ñ Ø ÁÁº Å Ø Ñ Ø ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ó Ñ ¾¼¼ º ʺ º Ñ º ÐÙÐÙ º ÓÑÔÐ Ø ÓÙÖ º È Ö ÓÒ Ù Ø ÓÒ» ÓÒ Ï Ð Ý ÌÓÖÓÒØÓ Ø Ø ÓÒ ¾¼¼ º ú¹ º À ÐÓÑ Å Ø Ñ Ø Á Ó ÁÁ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Öº Ä ÓÖ ¹ ØÓÖ Ø Ö Ê Ð ÖØ Ò Ó Ñ ¾¼¼¾º º ÃÖ Ý Þ º Ú Ò Ò Ò Ö Ò Å Ø Ñ Ø º ÂÓ Ò Ï Ð Ý ² ËÓÒ ÁÒº Æ Û ÓÖ Ø Ø ÓÒ ½ º

ÄÁÌÌ Ê ÌÍÊ ÊÌ ÃÆÁÆ

ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½º½ ÆÝØØ Ò Ú Ñ Ø Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ Ì Ò Ò ÔÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½º à ÖÖ Ö Ó Ñ Ø Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾ ÖÙÒ Ð Ò ½½ ¾º½ Ì ÐÓÑÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º¾ ÆÓØ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ¾º Ê ÐÐ Ø Ð Ò Ü ÓÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÈÓØ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÈÓÐÝÒÓÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º Ê Ø ÓÒ ÐÐ ÙØØÖÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ¾º ÃÚ Ö ØÖÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ú Ø ÓÒ Ö Ó ÇÐ Ø Ö ¾ º½ Ö Ø Ö Ú Ø ÓÒ Ö Ó ¹ÓÐ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ö Ó ¹ÓÐ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º Ê Ø ÓÒ ÐÐ ÓÐ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ú Ø ÓÒ Ö Ú Ö Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÃÚ Ö ØÖ ØØ Ö Ó ÓÐÙØ ÐÓÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º º½ Ú Ø ÓÒ Ö Ñ Ú Ö ØÖ ØØ Ö º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ ÇÐ Ø Ö Ñ Ú Ö ØÖ ØØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ÓÐÙØ ÐÓÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ú Ø ÓÒ Ö Ñ ÓÐÙØ ÐÓÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º º ÇÐ Ø Ö Ñ ÓÐÙØ ÐÓÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º

ÁÆÆ À ÄÄ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º½ Ò Ø ÓÒ Ó Ò Ô Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ë ÑÑ Ò ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÎÜ Ò Ó ÚØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÒÚ Ö ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Æ Ö Ú ÒÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ø ÐÐÑÒÒ ÖÓØ Ö ÔÔ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ø ÐÐÑÒÒ ÔÓØ Ò Ö ÔÔ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¼ º ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÄÓ Ö ØÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÓÑ ØÖ Ó ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ º½ Î Ò Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÌÖ Ò ÐÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º½ ÊØÚ Ò Ð ØÖ Ò ÐÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ò Ø Ö ÐÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ê ÙÖ ÓÒ ÓÖÑÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ö Ö º º º º º º º º º º º º Ø ÓÒ ÓÖÑÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¼ º Ú Ø ÓÒ Ö Ñ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º ½¼¾ º º½ Ú Ø ÓÒ Ö Ú ÓÖÑ Ò f(u) = f(v) º º º º º º º º º º º º ½¼¾ º º¾ ÁÒÚ Ö ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º ½¼ ÖÒ ÚÖ Ó ÃÓÒØ ÒÙ Ø Ø ½½½ º½ ÖÒ ÚÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ Ê Ò Ö Ð Ö Ö ÖÒ ÚÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¾ º Ò ÖÒ ÚÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º ÖÒ ÚÖ Ò Ó ÓÒ Ð Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¾ º º½ Ç ÒØÐ ÖÒ ÚÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º º¾ ÖÒ ÚÖ Ò ÓÒ Ð Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º ÃÓÒØ ÒÙ Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º Ò Ô Ö Ó ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º ½ ¾ Ö Ú Ø ½ ½ º½ Ò Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º¾ Ö Ú Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

ÁÆÆ À ÄÄ º Ö ØÓÐ Ò Ò Ú Ö Ú Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ö Ú Ö Ò Ö Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º º½ Ö Ú Ö Ò Ú Ò ÔÖÓ Ù Ø Ó Ò ÚÓØ º º º º º º º º º º ½ ½ º º¾ Æ Ö Ú ÒÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º À Ö Ö Ú ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ò Ö Ú ØÓÖ Ö Ú Ö Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ö Ú Ø Ò Ú Ò ÑÑ Ò ØØ ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º ÜØÖ ÑÚÖ Ò Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º º½ Ö Ú Ø Ò Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º º¾ ÄÓ Ð ÜØÖ ÑÚÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º ÐÓ Ð ÜØÖ ÑÚÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º º ÜØÖ ÑÚÖ ÔÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÁÒØ Ö Ð Ö ½ ½ º½ ÈÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º¾ ÁÒØ Ö Ð Ò Ú Ò ÑÑ Ò ØØ ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú Ö ÒØ Ö Ö Ò Ö Ð Ö º º º º º º º º º º º º º ½ º ÓÑ ØÖ ØÓÐ Ò Ò Ú ÒØ Ö Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ò Ô Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½¼ º ÁÒØ Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½½ º ÁÒØ Ö Ö Ò Ñ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º º½ ËÙ Ø ØÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º º¾ È ÖØ Ð Ö ÙÔÔ ÐÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾¾ º º È ÖØ ÐÐ ÒØ Ö Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º Ö Ö Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º º½ ÌÚ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ ÃÓÑÔÐ Ü Ì Ð ¾ º½ Ò Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Ê Ø Ò ÙÐÖ ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÃÓÒ Ù Ø Ø Ú ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ º ÃÓÑÔÐ Ü Ø ÐÔÐ Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÈÓÐÖ ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ê ÐÐ Ó ÓÑÔÐ Ü Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¼ º Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½

ÁÆÆ À ÄÄ ½¼ Ð Ö Ó Ë Ö Ö ¾ ½¼º½ Ì Ð Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º¾ ÅÓÒÓØÓÒ Ó ÖÒ Ø Ð Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º ÖÒ ÚÖ Ú Ò Ø Ð Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¼ ½¼º Ë Ö Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ ½¼º Ë Ö Ö Ó ÓÒÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½½ Î ØÓÖ Ö ¾ ½½º½ Ë ÐÖÔÖÓ Ù Ø Ó ÔÖÓ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½½º¾ Î ØÓÖÔÖÓ Ù Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ ½¾ Ë ÒÒÓÐ Ø ÐÖ ¾ ½¾º½ ÃÓÑ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º½º½ ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÔÖ Ò Ô Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º½º¾ Î Ð Ñ Ò ÝÒ Ø ÐÐ ÓÖ Ò Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º½º Î Ð ÙØ Ò Ò ÝÒ Ø ÐÐ ÓÖ Ò Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º¾ ÑÔ Ö ÒÒÓÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º Ø Ð ÒÒÓÐ Ø Ö ÔÔ Ø º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ ½¾º Ê Ò Ö Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º Ç ÖÓ Ò Ò Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º Ç ÖÓ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º Ø ÓÒ Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÒÓÑ Ð ÒÒÓÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ ½¾º ËØÓ Ø Ú Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º½¼ Ö Ø ÒÒÓÐ Ø Ö ÐÒ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º½½ Ö ÐÒ Ò Ö Ö Ø Ö Ø ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º½¾ÃÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ö ÐÒ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º½ ÆÓÖÑ Ð Ö ÐÒ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼

Ã Ô Ø Ð ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú ÓÑ ÖÙÒ Ñ Ø Ö Ð Ø ÐÐ Ö ¹ Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø º Ø Ö ÓÑ ÙÖ Ò ÓÑ ØØÒ Ò Ò Ø Ö ¾ Ô ÑÓØ Ú Ö Ò Ò ØÓØ Ð Ö Ø Ò Ø ÓÑ Ø ÑÑ Ö Ö Ñ Ø Ö Ð Ø ÑÑ Ò¹ ØÐÐØ ÙØ Ò ÖÒ ØØ Ñ ÖÔ ÖØ Ò Ú ØÓ Ø Ö ÒØ ÖÒ ÝÑÒ ÙÖ ÖÒ ÑÒ Øº ÇÖ Ò Ø ÐÐ Ò Ö Ð Ø ÚØ ÓÑ ØØ Ò Ö Ñ ØÐÐÒ Ò Ò Ö ÒÝØØ Ò Ñ ØØ ÑØÐ Ú Ø Ø Ñ Ò ÑÐ Ô ØØ ØÐÐ Ó Ö ÓÑÑ Ò Ö Ú ÓÚ ÝÑÒ Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò ÓÑ Ö Ú Ð Ò Ò º Ì ÓÖ Ò Ö Ö Ð Ú Ö Ò Ö Ð Ø ÚØ Ò Ö Ô Ø Ø ÓÒ Ñ Ò ÙÖ Ò ØÝÒ ÔÙÒ Ø ÓÑÑ Ö ØØ Ð Ô Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ó ÚÒ Ò Ö Ñ ØØ ÙÖÚ Ð Ú ÐÑÔÐ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑ ÓÑÑ Ö ØØ ÔÖ ÒØ Ö ÙÒ Ö ÙÖ Ò Ò º ½º½ ÆÝØØ Ò Ú Ñ Ø Ñ Ø ÁÒØÖ Ø Ö Ñ Ø Ñ Ø ÑÒ Ò ÓÐ Ó ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ö ÙÒ Ö Ò Ø ÒÒ ÖÒ ÚØ Ø Ð Ú ØÚÖÐ Òº ØØ Ö ÓÖ Ø Ò ÐÐÑÒ Ò Ò Ò Ú ÙÒ Ô Ò ÚÒ Ñ Ø Ñ Ø ÒÓÑ ÝÑÒ ÙØ Ð Ò Ò Ò Ó ØÓ¹ Ö ÚÖ Ø Ö Ñ Ö ÖÝØ Ö Ò Ó Ö ÙÒ Ô Ö Ö ÝÖ ÓÐ ¹ Ó ÙÒ ¹ Ú Ö Ø Ø ØÓÖÒ Ñ Ø Ñ Ø Ø ÒÖ Ø ÙØ Ð Ò Ò Öº Ò ÐÐÑÒ ØØ ØÝ Ö¹ ÑÖ Ò Ø ÐÐ ÑÒ Ò Ö Ó ÙÒÒ Ø ÑÖ Ó Ø Ö Ò Ø Ò Ð Ú Ø ØÖ Ò¹ Ø ØØ ØØ Ñ Ò ÒØ Ö ØÖ Ò ÓØ Ú Ñ Ø Ñ Ø ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ò Ó¹ Ð Òº Ò ØÝÔ Ö Ò Ø ÐÐ ÐÖ Ö Ò Ö Ð Ú Ø ¹ Î Ú Ö Ú ØØ Ø ÐÐ Ö Ò ÙÒ Ò Ú Ö Ñ ¹ Ø Ò Ñ Ò ÒØ Ú Ø ÒÒÙ º Ò ¹ ÔÐÓÑ Ò Ò Ö ÐÐ Ö Ø ÒÓÐÓ Ñ Ø Ö ÓÑÑ Ö Ö ÑØ Ò ÒÒÓÐ Ø ØØ Ú Ö Ñ Ò Ø ¼ Ö Ö Ø Ð Ú Ø Ñ Ú Ö Ö Ò Ö Ø ÙÔÔ Ø Öº ØØ ØÝ Ö ØØ

½¼ à ÈÁÌ Ä ½º ÁÆÌÊÇ ÍÃÌÁÇÆ ØÙ ÖÒ ÒØ Ò Ú Ö Ò ÝÖ ÙØ Ð Ò Ò Ö Ò ÓÒ Ô Ò Ù ØÖ ¹ ØÓÖ ÐÐ Ö Ò ÐÓ Ð Ò Ù ØÖ Ò ÓÚ ÙØ Ò Ñ Ø Ö Ô Ø ÐÐÖ Ð Ø Ðй ÑÒ Ð Ò Ó ÓÑ ØØ Ò ÖÙÒ ØÙ Ö Ñ ØÝÒ ÔÙÒ Ø Ô Ñ Ø Ñ Ø Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Öº ÁÒÓÑ Ø Ò Ò ÓÑÑ Ö ÙØÓÑ Ö Ú Ò Ô Ñ Ø Ñ Ø Ø ÙÒÒ Ò ØØ Ö ÑØ Ò Ö ÐØ Ö ÐÒ Ö ÙÒÒ ÔÐÓÑ Ò Ò Ö Ö ÓÑ Ö Ø Ö Ü ÑÔ ÐÚ ÒÓÑ ÔÖÓ Ù ØÙØÚ Ð Ò º ½º¾ Ì Ò Ò ÔÖ Å Ø Ñ Ø Ò Ö ØÖ Ø ÓÒ ÐÐØ ØÖ Ø Ø ÓÑ Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ò ÔÖ Ñ Ò Ø Ö ÓÑ Ø Ò Ò ÑÝ Ø ÐÒ Ø Ö Ô Ò ØÙÖÚ Ø Ò ÔÐ Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ö Ö Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð Ú Ø Ú Ò Ø Ò Ò ÔÖ º ÅÒ ÑÓ ÖÒ Ø¹Ø ÐÐÑÔ¹ Ò Ò Ö ÓÑ Øº ܺ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÓÑ Ò Ò Ñ Ò Ô ÒØ Ø Ö Ö Ô Ö Ñ Ø ÒÓÑ Ú ÓÑÖ Ò Ú Ò ÑÓ ÖÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙ ÐÐ ÐÐ Ø Ò º º Ð Ò Ö Ð Ö Òº Ò Ö ÓÑÖ Ò ÓÑ Ò ÒÑÒ Ö ÓÔØ Ñ Ö Ò ÓÑ ÒÚÒ ÒÓÑ ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ ÔÐ Ò Ö Ò Ó ÐÓ Ø Ó Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø ÓÑ ÒÚÒ Ö ØØ ÓÒ ØÖÙ Ö Ò Ý Ý Ø Ñ Ø Ø Ò Òº ½º à ÖÖ Ö Ó Ñ Ø Ñ Ø Ò ÔÐÓÑ Ò Ò Ö ÐÐ Ö Ø ÒÓÐÓ Ñ Ø Ö Ñ Ø Ò ÚÖÐ Ú Ö Ö Ô ØØ ÖÖ Ö Ò Ò Ø Ñ Ø ÓÚÒØ ÚÒ Ò Ò Öº Ö Ö Ö Ø Ú Ø Ø Ö Ö Ø Ñ Ð Ø Ö Ó Ð Ò ÙØÚ Ð Ò ØØ Ò Ø Ö ÙÒ Ô ÔÖÓ¹ к Ø Ñ Ò Ö Ð Ò Ö ØØ Ö ÓÖ ÒØРغ ÇÚ ÒÐ ÑÒ ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ó Ô Ð Ö Ò Ò Ó Ô ÐÒ Ø Ó ÖÖ ÖÑ Ð Ø Öº ܹ ÑÔ ÐÚ ÔÐÓÑ Ö Ø Ö ÒÓÑ ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ ÔÐ Ò Ö Ò ÓÔØ Ñ Ö Ò Ó ØÖ Ñ¹ Ò Ò Ö Ò Ò Ö Ò Ø Ö Ò Ø Ó Ø Ö Ö Ò Ø ÐÐ ÜÔ ÖØÙÔÔ Ø Ö Ò Ù ØÖ Ò Ó ÓÒ ÙÐØ ÓÐ º Ø ÒÐ Ö Ò Ò Ñ Ò ÓÒ ÓÖÑ Ú ÜÔ Öع ÐÐ Ö Ö Ø ÙÔÔ Ø Ö Ú ÒÐ Ò ÓÔÔÐ Ø ÐÐ ÔÐÓÑ Ö Ø Ø Ø Ñ º Ë ¹ Ò Ö ÓÖØ ØØ Ö ÑÒ Ñ Ð Ò Ò ÙÔÔ Ø Ö Ñ Ò Ò Ö Ô Ð Ö Ö Ò ÜÔ ÖØÙÔÔ Ö Ó Ð Ö Øº ܺ ÓÒ ÙÐØ Öº Ñ Ò ÑØ ÑØÐ ÐÐ Ö Ò ÒÚÒ Ò Ò Ú Ñ Ø Ñ Ø Ú Ö ØÝ Ú Ð Ø Ö Ñ Ð ÓÖØ Ú Ö Ñ Ø ØØ ÓÑ Ò Ö Ö Ò Ò Ô Ø Ø Ó ÒÝ Ø ÓÖ Ø Ö ÙÐØ Ø Ö Øº ܺ ØÓÖ Ð ÓÔØ Ñ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñº ØØ Ö Ð ØØ Ø ÐÐ ØØ Ñ Ø Ñ Ø Ø ÙÒÒ Ò Ö ØØ ÐÐØ Ø ÖÖ ØÝ Ð Ð Ò Ò ¹ Ó ÜÔ ÖØÙÔÔ Ø Öº ÇÔ Ö Ø Ú ÐÙØ Ö Ö ÒÙÑ Ö Ô ÓÑÔÐ Ö ÐÙØ ÙÒ ÖÐ Ö ÑØ Ò Ñ ØÓÖ Ö Ò Ò Ö Ó ¹ ÑÙÐ Ö Ò Ö ÓÑ ÖÚ Ö Ò Ø Ö Ñ Ø Ñ Ø ÖÙÒ ¹ ÙØ Ð Ò Ò Ö ØØ ÙÒÒ ØÓÐ ÖØغ

Ã Ô Ø Ð ¾ ÖÙÒ Ð Ò Á ØØ Ô Ø Ð Ö Ô Ø Ö Ö Ú ÖÙÒ Ð Ò Ü ÓÑ Ò Ó Ö ÔÔ Ò ÖÒ ÝÑÒ Ñ Ø Ñ Ø Òº ÓÑÑ Ö ØØ Ú Ò Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö ØØ Ö Ø Ò Ð Ø Ö Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ø Ò Ò ÖÒ º ¾º½ Ì ÐÓÑÖ Ò Ì Ð Ò Ö ÙÒ Ö Ñ Ø Ñ Ø Ò ÙØÚ Ð Ò ÓÑÑ Ø ØØ Ò Ð Ø ÐÓÑÖ Ò ÒÐ Ø ÒÚÒ Ò Ò Ó ÐÐØ Ø Ö ÓÑ ÒÝ Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ö Ö ÙÔÔ ØØØ Ö ÒÝ Ø ÐÓÑÖ Ò ÒØÖÓ Ù Ö Ø º Ò Ò Ñ Ø ÙÔÔ Ò Ö ÒÒ Ö Ò Ú Ø Ð Ö ÒÖ Ñ Ò Ú ÐÐ Ö Ú ÒØ Ðº ØØ Ö ÙØ Ò ÔÙÒ Ø Ò Ö Ø ÐÓÑÖ Ò Ó Ø Ð ÓÑ Ö Ú Ö ÒØ Ð ÖÙ Ö ÐÐ Ò ØÙÖÐ Ø Ð Ñ Ø Ò Ò Ò N = {0,,,...} Ò ØÙÖÐ Ø Ðº Ö ØØ ÙÒÒ ÒØ Ö Ò Ø Ú Ø Ð Ú Ö Ñ Ò ÐØ Ð Ò Z = {...,, 0,,,...} Ð Ø Ðº Ò ØÙÖÐ Ø Ð Ò Ö ÐÐØ Ò ÐÑÒ Ú ÐØ Ð Òº Á Ð Ò Ö ÓÑÑ Ö Ú Ò Ø Ò Ò Ò Z ± = {±, ±,...} ÔÓ Ø Ú»Ò Ø Ú Ð Ø Ðº Ö ÔÓ Ø Ú Ö Ô Ø Ú Ò Ø Ú ÐØ Ð Òº Ç ÖÚ Ö ØØ ÔÓ Ø Ú ÐØ Ð Ò Ö ØØ ÖÚÜÐ Ñ Ò ØÙÖÐ Ø Ð Ò ÓÑ Ù Ú Ò ÒÒ ÐÐ Ö Ø Ð Ø ¼º Ö ØØ Ö Ú Ö Ð Ö Ú Ö Ñ Ò Ö Ø ÓÒ ÐÐ Ø Ð Ò ÒÐ Ø Q = {x x = m } n, m, n Z, n 0 Ö Ø ÓÒ ÐÐ Ø Ðº ½½

½¾ à ÈÁÌ Ä ¾º ÊÍÆ Ä Æ ØÖ Ð Ú ÐÐ Ø Ð ÓÑ Ò Ö Ú ÓÑ Ö º Ø Ö ÓÑ Ö ÐÐ Ø Ö ÐÐ ÐØ Ð Ö Ò ÐÑÒ Ú Ö Ø ÓÒ ÐÐ Ø Ð Òº Ì Ø Ø ØØ Ñ Ò Ñ ÐÐ ÖØ Ô Ø Ð ÓÑ ÒØ Ò Ö Ú ÓÑ Ö Øº ܺ ÐÒ Ò Ú ÓÒ Ð Ò Ò Ú Ö Ø Ñ ÐÒ Ò Øغ Å Ò ÐÐ Ò Ø Ð ÖÖ Ø ÓÒ ÐÐ Ó ÒØÖÓ Ù Ö Ø Ö ÐÐ Ø ÐÓÑÖ Ø R = {Q ÑØ ÐÐ ÖÖ Ø ÓÒ ÐÐ Ø Ð} Ö ÐÐ Ø Ðº Å Ò ÓÑ Ñ Ò Ò Ö Ð Ú Ø ÓÒ Ò x = Ö Ö ÒØ ØØ ÐÐ ¹ Ò Ð Ø ÐÓÑÖ Ò Ø Ðк Î Ú Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ò Ñ Ø Ò Ò Ò i = ÒÐ Ø C = { a + bi, a, b R, i = } ÓÑÔÐ Ü Ø Ðº ¾º¾ ÆÓØ Ø ÓÒ Å ÒÓØ Ø ÓÒ Ú Ö ØØ Ø Ò Ò Ý Ø Ñº ØØ ÒØ Ö Ò ÚÒ Ø Ñ Ò Ö Ø Ö Ñ ÓÐ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ø ÓÑ Ò Ú Ö Ø Ð ÐÐ Ö Ñ¹ Ð Ò Ö Ú Ø Ð ÑÒ Öµº Ö ØØ ØØ Ø Ò Ò Ý Ø Ñ ÓÑ Ö ÒØÝ Ø Ó ÓÖØ ØØ Ø Ö Ñ Ò Ø Ø ÖÙ Ñ Ø Ñ Ø ÝÑ ÓÐ Ö Ü ÑÔ ÐÚ ÝÑ ÓÐ Ò = Ø Ò Ö ØØ ØÚ Ó Ø Ú ÑÑ ØÝÔµ Ö Ð º Ò ÑÐ Ò Ú Ó Ø Ð¹ Ð Ò ÑÒ Ó Ò Ð Ó Ø Ò ÑÒ Ò Ð Ñ Òغ ÅÒ Ö ÖÙ Ö Ø Ò Ñ ØÓÖ Ó Ø Ú Ñ Ò Ñ Ò Ö Ð Ñ ÒØ Ò Ú ÒÐ Ò ÒÚÒ Ö Ð Ø Ò Ó Ø Úº Ü ÑÔ Ð ¾º¾º½º N Ö Ò ÑÒ Ñ Ð Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ Ú Ø Ð Ò 0,,,...º Ø ÒÒ ÓÒ Ð ÑÒ Ö Ñ ÓÒ Ð Ø ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ó Ò Ð ÑÒ ¹ Ö Ñ Ò Ð Ø ÒØ Ð Ð Ñ Òغ Ü ÑÔ Ð ¾º¾º¾º N Ö Ò ÓÒ Ð ÑÒ Ñ Ò ÑÒ Ò A = {0,,, 3, 5} Ö Ò Ð º ØØ ØØ Ð Ñ ÒØ Ø ÐÐ Ö Ò ÑÒ ÖÙ Ö Ø Ò 0 N Ñ Ò ÑÓع Ø Ò Ø Ò Ñ 0 / Z + º Ü ÑÔ Ð ¾º¾º º Ö ÑÒ Ò A = {0,,, 3, 5} ÐÐ Ö ØØ 6 N Ñ Ò 6 / Aº

¾º¾º ÆÇÌ ÌÁÇÆ ½ ÇÑ Ñ Ò Ö ØÚ ÑÒ Ö A Ó B Ò ØØ ÐÐ Ð Ñ ÒØ ÓÑ Ø ÐÐ Ö A Ú Ò Ø ÐÐ Ö Bº ÐÐ A Ò ÐÑÒ Ú B Ó ØØ Ø Ò A B. Ö ÑÓØ ÐÐ Ö ÒØ ØØ N Ö Ò ÐÑÒ Ú A Ú Ö Ö µ Ó Ñ Ò Ö Ú Ö A Nº Î Ñ Ö Ð Ú Ð Ñ ÒØ Ò ØÚ ÐÐ Ö Ö ÑÒ Ö ÓÑÑ Ö Ñ Ò Ö Ñ Ø ÐÐ Ö ÔÔ Ò Ò ØØ Ó ÙÒ ÓÒº ËÒ ØØ Ø Ú ØÚ ÐÐ Ö Ö ÑÒ Ö Ö Ò ÑÒ ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö ÐÐ Ð Ñ ÒØ ÓÑ Ò Ö ÑØÐ ÑÒ Ö ÓÑ Ñ Ö Ó Ø Ò º Å Ò Ö ØØ Ü ÑÔ Ð ¾º¾º º A N = {0,,, 3, 5} = A. ËÒ ØØ Ø Ò Ó Ú Ö ØÓÑØ ºÚº º Ø ÒÒ Ò Ð Ñ ÒØ ÓÑ Ò Ö ÑØÐ Ñ Ö ÑÒ Ö Ú Ð Ø Ø Ò Ü ÑÔ Ð ¾º¾º º Z A = {..., 3,, } {0,,, 3, 5} = {} =. ÍÒ ÓÒ Ò Ú ØÚ ÐÐ Ö Ö ÑÒ Ö Ö Ò ÑÒ ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö ÐÐ Ð Ñ ÒØ ÓÑ Ò Ö Ñ Ò Ø Ò Ú ÑÒ Ö ÓÑ Ñ Ö Ó Ø Ò º Å Ò Ö ØØ Ü ÑÔ Ð ¾º¾º º Z A = {..., 3,, } {0,,, 3, 5} = {..., 3,,, 0,,, 3, 5}. À ØØ ÐÐ Ö Ú Ö Ò Ø ÙÔÔ Ð Ñ ÒØ Ò Ö ØØ Ö Ú Ò Ð ÑÒ Ö ÓÑ Ò Ð Ø º ØØ Ö Ó Ó Ø ÓÔÖ Ø Ø ØÐÐ Ø Ö Ò Ð Ð ¹ Ñ ÒØ Ò Ò Ñ Ò Ö Ú Ò Ú Ò Ô Ó Ö ØØ Ò ÓÖØ ØØ ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ú ÓÖÑ Ò {x x Ö Ò Ú Ò Ô}, Ö ØØ Ø Ò ÑÒ Ò Ú ÐÐ Ð Ñ ÒØ x ÓÑ Ö Ò Ú Ò Ôº Ü ÑÔ Ð ¾º¾º º A = {0,,, 3, 5} = {x N x 4 x 5}.

½ à ÈÁÌ Ä ¾º ÊÍÆ Ä Æ ËÝÑ ÓÐ Ò ØÝ Ö Ö Ó º ÐØ ÖÒ Ø ÚØ Ò Ñ Ò ÒÚÒ ÓÑÑ Ø ¹ Ò ÓÑ Ø Ö Ò Ø ÓÒ Ò Ú Ö Ø ÓÒ ÐÐ Ø Ð Ò Ö ØØ ÙØ ÐÙØ Ú ÓÒ Ñ ÒÓÐк Ö ØØ Ø Ò ÐÐ Ö ÖÙ Ö Ñ Ò ÒÚÒ ÝÑ ÓÐ Ò º ØØ ÐÐ Ö Ö Ð Ñ ÒØ Ò Ü ÐÙ Ö ÙÖ Ò ÑÒ Ñ \ Ú Ð Ø Ø Ò Ö ÑÒ ¹ Ö Ò Òº Ü ÑÔ ÐÚ ÐÐ Ò ØÙÖÐ Ø Ð ÙØÓÑ Ø Ð Ø ¼ ÓÑ Ù Ö ÑÒ Ò Ú ÔÓ Ø Ú ÐØ Ð Ò Z + µ Ø Ò Ü ÑÔ Ð ¾º¾º º Z + = {N \ 0}. Ò Ö Ò Ú ÐÐ Ñ Ò Ó Ø ØØ Ò Ú Ò Ô ÐÐ ÐÐ Ö ÐÐ Ð Ñ ÒØ Ò ÑÒ º ÒÚÒ ÓÑ ÙØÐ Ö ÐÐ Ð Ñ ÒØ Ü ÑÔ ÐÚ ÐÐ Ö ÐÐ Ø Ð ÓÑ ÒØ ÒÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø Ñ ÐÐ Ò ¼ Ó ¾ Ü ÑÔ Ð ¾º¾º º x R : x 0 x. ÁÒØ ÖÚ ÐÐ Ò ÖÙØÓÑ Ñ ÓÐ Ø Ø Ò Ú Ò ÓÖØ ØØ Ø Ö Ú Ñ Ð ÑÑ Ö 0 x Ö Ú x [0, ]º ÇÑ Ñ Ò ÒØ Ú ÐÐ Ñ Ò ¹ ÔÙÒ Ø Ö ÚÒ Ð ÑÑ ÖÒ ÙØØ ÒÐ Ø x [0, [ Ö 0 x < º ÇÑ Ø ÒÒ Ñ Ò Ø ØØ Ð Ñ ÒØ Ñ Ò Ú Ò Ô Ò ÑÒ ÒÚÒ Ö Ñ Ò ÓÑ ÙØÐ Ø Ü Ø Ö Ö Ü ÑÔ Ð ¾º¾º½¼º a Q + : a 7. Ü ÑÔÐ Ø ÓÚ Ò Ö ÐÐØ ØØ Ø ÒÒ Ñ Ò Ø ØØ ÔÓ Ø ÚØ Ö Ø ÓÒ ÐÐØ Ø Ð ÓÑ Ö Ø ÖÖ Ò ¾º ÇÒ Ð Ø Ò Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ñ ÝÑ ÓÐ Ò º ÇÒ Ð Ø Ò ÐÐ ØÖ Ø ÓÑ ØØ Ö ÔÔ ÒØ ÓÑ ØØ Ø Ð ØÝ Ö Ò Ö Ð ÖÒ Ö Ø Ð ÐÐ Ö ÒØ Ö º ÐÐØ Ñ Ò Ø Ø Ö Ô ØØ Ö Ø Ð ØØ Ú Ö ÜØÖ Ö Ø Ó ÓÑÑ ØØ ØÖ Ø Ö ÔÔ ÒØ Ò ÚÒ ØÚ Ð Ö Ú ÒÐ Ö ØÑ Ø Ö Ð Öº Á Ñ Ø Ñ Ø Ú ÒØ Ö Ö Ñ Ò Ô Ø Ò Ò Ñ ÑÐ Ø ØØ ÔÚ ØØ Ö ÒØ Ò Ò ÒÒ ÐÐ Ö Ð º ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ú ÒÐ Ò ÒÙ¹ Ñ Ö Ø ÓÖ ÒØ Ö ÑÓØ Ö Ò Ò Ö Ò Ö Ö Ò Ø ÓÖ Ø Ö ØÐÐÒ Ò Ö ÓÑ Ñ Ø Ñ Ø Ö Ö Ø Ö Ñ º ÆÓØ Ö Ó ØØ Ò Ò Ö Ñ Ö Ò Ò ¹ Ö Ó Ú ÑÒ Ò ØÖ Ø ÓÑ Ú Ö Ô Ö Ò Ò Ö Ó ÐÙØ Ø Ö Ú Ò ØÝÔ Ö Ñ Ò Øº ܺ Ñ Ö ÓÒÓÑ ÐØ ÖÒ Ø Úº Ñ Ò Ö¹ Ø Ö Ñ Ô Ø Ò Ò ÓÑ ÐÐ Ú ÒÚÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ø Ò Ò ÖÒ Ó Ñ Ð Ò ØÝ Ð Öº

¾º º Ê ÄÄ Ì Ä ÆË ÁÇÅ ½ ÄØ A Ó B Ø Ò Ô Ø Ò Ò ÐÐ Ö ÙØ ÓÖº ÐÐ Ö Ê Ð ¾º¾º½½º ÄÓ º ÇÑ A Ö ÒØ Ö B Òغ ÇÑ B Ö ÒØ Ö A Òغ A B. A B. A B. ÇÑ A Ö ÒØ Ö B ÒØ Ó ÓÑ B Ö ÒØ Ö A Òغ È Ø Ò Ò A Ó B Ú Ö Ú Ú Ð ÒØ º ¾º Ê ÐÐ Ø Ð Ò Ü ÓÑ Î Ö Ô Ø Ö Ö ÒÙ Ö Ò Ö Ð ÖÒ Ö Ö ÐÐ Ø Ð Ò ÓÑ Ú Ò ÖÙ Ö ÐÐ Ü ÓѺ ÒÑÒ Ò Ò Ü ÓÑ ÒÚÒ Ö ÖÙÒ ÒØ Ò Ò Ñ Ò ÙØ Ö ÖÒ Ö ØØ Ú ÒÝ Ö ÙÐØ Øº Ê Ò Ö Ð ÖÒ Ò Ò Ö ÐÐ Ö ÐÚ Ð Ö Ñ Ò ÙØ Ö Ò Ú Ø ÖÙÒ Ö ØØ ÓÑ ØØ Ò Ø ÓÖ Ý Ñ Ø Ñ Ø Òº Ö a, b, c R ÐÐ Ö Ä Ò ÓÑ ÐÙØ Ò Ø ÃÓÑÑÙØ Ø Ú Ð Ò Ó Ø Ú Ð Ò a + b R Ó a b R. a + b = b + a Ó a b = b a. a + (b + c) = (a + b) + c Ó a (b c) = (a b) c. ØÖ ÙØ Ú Ð Ò a (b + c) = a b + a c Ó (a + b) c = a c + b c. Æ ÙØÖ ÐØ Ð Ñ ÒØ ÁÒÚ Ö Ø Ð Ñ ÒØ Ø ÓÒ 0 a + 0 = 0 + a = a ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ a = a = a Ø ÓÒ ÑÓØ ØØ Ø Ð Ø a a + ( a) = ( a) + a = 0 ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÒÚ ÖØ Ö Ø Ð Ø, (a 0) a a a a

½ à ÈÁÌ Ä ¾º ÊÍÆ Ä Æ ÒÑÖ Ò Ò ¾º º½º Ø Ð Ò Ö ØØ Ð Ò ØÒ ÒÓÑ Ú Ð Ú ÓÚ Ò Ø¹ Ò Ö Ò Ö Ð ÖÒ ÓÑ Ø ÐÐÑÔ Ú ÖÙØ ÒÑ Ö Ò Ò Öº Ü ÑÔ ÐÚ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò 3 45 ÙØ Ö ÒÐ Ø 3 45 = 3 (40 + 5) = ØÖº 3 40 + 3 5 = ÓÑѺ Óº 3 5 + (3 4) 0 = 65 + 49 0 = 5535. Ç ÖÚ Ø ÓÒ ¾º º½º Ê Ò Ö Ð ÖÒ ÐÐ Ö ÒØ Ö º Ü ÑÔ ÐÚ ÓÑ Ñ Ò Ú Ø ØØ a, b ÙØÐ Ö ÑÓØ ÓÒ Ð Ø Ò µ ºÚº º ÚÜ Ö ÙØ Ò ÖÒ Ö Ò Ö Ñ Ò Ò ÖØ ØØ c = a + b Ó Ö ÑÓØ ÓÒ Ð Ø Ò Ó ÐÐØ ÚÜ Ö Ó ÖÒ Øº Ò Ñ Ò ÐÐØ Ò Ò Ö Ñ Ø Ö Ú ØØ + = Ú Ð Ø ÙÔÔ Ò ÖØ ÙÐÐ ØÖ ÑÓØ Ö Ð ÖÒ Ú Ð Ò»Ú Ð µ ÐÐ ÚÓÖ Ú ÖØ Ø ÓÑ ØØ Ø Ðº Ä Ö ÐÐÑÒ Ø 0 Ó ÙØ Ò Ö Ó ØÑ ÙØØÖÝ º ¾º ÈÓØ Ò Ö ÈÓØ Ò Ö Ò Ö ÙÖ ÔÖÙÒ Ð Ò ÓÑ Ø Ò Ò Ö Ò ÔÖÓ Ù Ø Ú ØØ ÒØ Ð ØÓÖ Ö Ú ÑÑ Ø Ð Ü ÑÔ ÐÚ = 3 º Ë Ò Ö Ö Ö ÔÔ Ø ÙØÚ Ø Ø ÐÐ ØØ ÐÐ Ñ Ö ÐÐÑÒØ ÒÐ Ø Ò Ø ÓÒ ¾º º½º ÈÓØ Ò Ò a n Ò Ö ÓÑ a n = } a a {{ a}, n غ Ö Ò a R Ó ÜÔÓÒ ÒØ Ò n Nº ÍØØÖÝ Ø ÙØÐ ÓÑ a ÙÔÔ Ø n ÐÐ Ö ÓÖØ Ö a n Ø º ÙØÓÑ Ö Ñ Ò Ö a R \ 0 Ó n N a 0 =, a n = a n. Ë Ò Ö ÓÑÑ Ö Ú ØØ ØØ ÔÓØ Ò Ö Ò Ò Ö Ú Ò Ö ÜÔÓÒ ÒØ Ö ÖÒ ØØ Ø ÖÖ Ø ÐÓÑÖ º Ü ÑÔ Ð ¾º º½º 3 = 9 ( 3) = ( 3) ( 3) = 9 3 = (3 ) = 9 3 0 = 3 = 3 = 9

¾º º ÈÇÌ ÆË Ê ½ Å Ò Ò ÖÐ Ð Ò Ö Ò Ö Ð Ö Ö ÔÓØ Ò Ö ÙÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ê Ð ¾º º¾º ÄØ a, b R \ 0 Ó m, n Nº ÐÐ Ö ½º a m a n = a m+n ¾º am a n = a m n º (ab) m = a m b m º ( ) a n b = a n b n º (a m ) n = a mn Ü ÑÔ Ð ¾º º º Ö Ò Ð ÙØØÖÝ Ø (x y) n (y x) n+ º Å Ò Ò Ö Ñ ØØ ÖÝØ ÙØ ØØ Ñ ÒÙ Ø Ò ÙÖ ÒÑÒ Ö Ò (x y) n (y x) n+ = (x y) n (( )(x y)) n+, ÒÚÒ Ö Ö Ò Ö Ð ÖÒ Ö ØØ ÓÑ Ö Ú = (x y) n ( ) n+ (x y) n+. Ç ÖÚ Ö Ö ÒÙ ØØ n N ÐÐ Ö ØØ n Ö ØØ ÑÒØ Ø Ð Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ n + Ö Ù º ÐÐØ Ñ Ø ( ) n+ = Ú ÖÚ Ö Ò Ð Ò Ö ÓÖØÒ Ò µ Ö (x y)n = (x y) n+ = (x y) n (n+) = y x.

½ à ÈÁÌ Ä ¾º ÊÍÆ Ä Æ ¾º ÈÓÐÝÒÓÑ Å ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ò ÙÑÑ Ú Ø ÖÑ Ö Ú ÓÖÑ Ò a n x n Ö a n Ö Ò ÓÒ Ø ÒØ Ó ÒØ ÓÑ ÒÙÑÖ Ö Ñ Ò Ü Ø n Nº ÎÖ Ø Ô a n Ö ÐÐØ ÐÐÑÒ Ø ÓÐ Ö Ú Ö ÔÓØ Ò Ú Ú Ö ÐÒ xº ÐÐÑÒØ Ò Ñ Ò Ö Ú Ò Ø ÓÒ ¾º º½º ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ú Ö Ø Ð n N Ú Ö ÐÒ x p(x) = a n x n + a n x n + a n x n + + a x + a x + a 0, Ö a 0 a a... a n a n Ó a n 0 Ö ÓÒ Ø ÒØ Öº Ü ÑÔ Ð ¾º º½º ÈÓÐÝÒÓÑ Ø 3x 5 + 4x + 7x Ö Ö Ø Ð Ø n = 5 Ñ a 0 = a = 7 a = 4 a 3 = 0 a 4 = 0 Ó a 5 = 3º ÈÓÐÝÒÓÑ Ø x 3 x Ö Ö Ø Ð Ø n = 3 Ñ a 0 = 0 a = a = 0 Ó a 3 = º ÈÓÐÝÒÓÑ Ò Ö Ú Ö Ð Ö ÓÑ Ò Ò Ü ÑÔ Ð ¾º º¾º ÈÓÐÝÒÓÑ Ø 8x 36x y 4 + 54xy 7y 3 Ö Ú Ö Ð ÖÒ x Ó yº Ö Ø Ð Ø ØÑ Ú Ò Ø ÖÑ Ö ÙÑÑ Ò Ú Ú Ö Ð ÖÒ ÜÔÓÒ ÒØ Ö Ö Ø Ö Ø ÐÐØ ØØ ÐÐ Ø ÖÑ Ò 36x y 4 Ú Ð Ø Ö Ö Ø Ð Ø + 4 = 6º Ì ÖÑ ÖÒ 8x 54xy Ó 7y 3 Ö Ö Ø Ð Ò ¾ Ö Ô Ø Ú º ÈÓÐÝÒÓÑ Ñ Ò Ø ØÚ Ø ÖÑ Ö ÐÐ ÒÓÑ Ó Ö Ò ÐÐ Ö Ö ¹ Ò Ö Ð ÖÒ Ê Ð ¾º º º ÃÚ Ö Ö Ò Ö ÐÒ Ê Ð ¾º º º ÃÓÒ Ù ØÖ ÐÒ (a + b) = a + ab + b (a + b)(a b) = a b

¾º º ÈÇÄ ÆÇÅ ½ Ê Ð ¾º º º ÁË Ö Ø ØØ Ö Ø ÁÒÒ Ö Ø Ë Ø µ¹ö ÐÒ (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Ü ÑÔ Ð ¾º º º ÍØÚ Ð Ö ÒÓÑ Ø ( x ) º ÆÙ Ö a = x Ó b = Ú ÖÚ Ñ ÒÚÒ Ò Ò Ú Ú Ö Ö Ò Ö ÐÒ ( x ) ( = x + x ) ( + ) = x x 4. Á ÐÐ ÒÓÑ Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ö ØØ Ó ØÝ Ð Ø Ø Ð m Ò Ñ Ò Ø ÐÐÑÔ Ê Ð ¾º º º ÒÓÑ Ø (a + b) m Ò ÙØÚ Ð Ñ Ó ÒØ Ö ÙÖ È Ð ØÖ Ò Ð ÓÑ Ö m = 4 Ö ÙØ ÓÑ Ð Ò 3 3 4 6 4 Ø Ð ÐÐ ÒÓÑ Ð Ó ÒØ Ö Ó Ú Ö Ø Ð ØÖ Ò ÐÒ ÖÒ Ó Ñ Ò Ö Ö Òµ Ð ÓÑ ÙÑÑ Ò Ú ØÚ Ø Ð ÓÑ ÒÒ Ò ØØ ÓÚ Ò Ö Ô Ö Ò Ö º Å Ò Ò ÓÖÑÙÐ Ö ØØ Ö ÔØ Ö ØØ ÙØÚ Ð ÒÓÑ Ø (a + b) m ÒÐ Ø ½º Ç ÖÚ Ö ÚÖ Ø Ô mº ÍØÚ Ð È Ð ØÖ Ò Ð Ñ m + Ö Ö ØØ Ò Ð Ö Ø ÖÝ Ø ÐÐ m Ö ØÓÖØ Ñ Ò Ø ÒÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ñ ØÓ Öµº ¾º ÚÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ó ÒØ Ö ÖÒ ØÖ Ò ÐÒ Ø Ö º º ÈÓÐÝÒÓÑ Ø Ø ÖÑ Ö Ö Ú ÐÐ Ò ÔÓØ Ò Ö ÖÒ a n º Ç ÖÚ Ö ØØ ÒÒ Ö Ø Ø ÖÑ Ö Ñ Ò Ñ Ö ÐÐ ÚÖ Ò Ô m Ø Ö ÓÑ ØÖ ¹ Ò ÐÒ ÚÒ ØÖ Ò ØÖ Ú Ò ÖØ ØØÓÖº Ö Ø Ð Ø Ö Ú Ö Ø ÖÑ ÙÑÑ Ò Ú ÔÓØ Ò ÖÒ Ó a Ó bµ Ö Ú Ö m Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ ØÓÖÒ ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö b Ú Ö Ø ÖÑ ÓÑÑ Ö ØØ Ø Ò ÔÓØ Ò º

¾¼ à ÈÁÌ Ä ¾º ÊÍÆ Ä Æ Ü ÑÔ Ð ¾º º º Ë Ö Ú Ö ÒÓÑ Ø (x 3y) 4 ÓÖÑ Ò Ú ØØ ÔÓÐÝÒÓѺ Á ØØ ÐÐ Ö a = x b = 3y Ó m = 4 Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ó ÒØ Ö ÒÒ ÐÐØ Ô Ö Ö Ò È Ð ØÖ Ò Ðº ÐÐÑÒØ Ö m = 4 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a b + 4ab 3 + b 4 Ó Ø Ö ÐÐ Ø Ö Ò ØØÒ Ò Ú Ú Ö ÐÚÖ Ò (x 3y) 4 = (x) 4 + 4(x) 3 ( 3y) + 6(x) ( 3y) + 4(x)( 3y) 3 + ( 3y) 4 = 6x 4 96x 3 y + 6x y 6xy 3 + 8y 4. Ê Ð ÖÒ ÓÚ Ò Ò Ó ÙØÒÝØØ Ò Ö Ú Ò ºÚº º Ö ØØ ÙØ Ò ÖÒ ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÑÑ Ö Ñ Ø ÐÐ ØØ ÒÓÑ ÐÐ Ö Ñ Ö ÐÐÑÒØ Ö ØØ ØÓÖ ¹ Ö ÔÓÐÝÒÓѺ Á Ò Ö ÖÑ Ø ØØ Ö Ò Ð» Ö ÓÖØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÑØ ØØ ØÑÑ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò ºÚº º ÚÖ Ò Ô x Ö Ú Ð p(x) = 0º Î ØÓÖ Ö Ò Ú Ö Ñ Ò ÙØÓÑ Ó Ø Ø ÖÙÔÔ Ö Ø ÖÑ ÖÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ö Ñ Ò Ò Ø ÐÐÑÔ Ö Ð ÖÒ º ÖÙÔÔ Ö Ò Ö ØØ Ñ Ò Ú ÓÚ ÝØ Ö ÓÖ Ò Ò Ð Ô Ø ÖÑ ÖÒ Ó ÖÝØ Ö ÙØ Ú ØÓÖ Ö Ö ØØ Ø ÓÑÑ Ñ Ò ÑÑ ØÓÖ Ö Ö Ø ÖÑ ÖÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Øº Æ ÓÒ Ø Ð Ö Ö Ð Ö ÙÖ ØØ Ö ÒÒ ÙØ Ò Ñ Ò Ñ Ø ÔÖ Ú Ö Ñ ÖÒ ÐÐ Ø ÐÐ Ðк Ü ÑÔ Ð ¾º º º Ì ÖÑ ÖÒ Ö ÖØØ ÓÖ Ò Ò Ð ÒÐ Ø Ò Ø ÓÒ Ò Ô ØØ ÔÓÐÝÒÓѺ Î ÖÝØ Ö ÙØ x ÙÖ ØÚ Ö Ø Ø ÖÑ ÖÒ Ó 4 ÙÖ ØÚ Ø º x 3 3x 8x + = x (x 3) 4(x 3) ÆÙ Ö Ú ØØ Ø ÖÑ ÖÒ Ö Ð Ø Ö Ò Ñ Ò ÑÑ ØÓÖÒ x 3 ÓÑ Ò ØÙÖ Ò ÖÝØ ÙØ = (x 4)(x 3). Ì ÐÐÑÔ ÒÙ ÓÒ Ù ØÖ ÐÒ Ô Ò Ö Ø ØÓÖÒ x 4 = (x + )(x ) Ö Ú = (x + )(x )(x 3).

¾º º Ê ÌÁÇÆ ÄÄ ÍÌÌÊ Ã ¾½ ¾º Ê Ø ÓÒ ÐÐ ÙØØÖÝ ØØ Ö Ø ÓÒ ÐÐØ ÙØØÖÝ r(x) Ò Ö Ú ÓÖÑ Ò r(x) = p(x) q(x), Ö p(x) ØÐ Ö Ò Ó q(x) ÒÑÒ Ö Ò Ö ÔÓÐÝÒÓѺ ÍØØÖÝ Ø Ö Ò Ö Ø Ö ÐÐ x¹úö Ò Ö ÒÑÒ Ö Ò ÒØ Ö Ð Ñ ÒÓÐк ÔÙÒ Ø Ö Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ö Ð Ñ ÒÓÐÐ ÖÙ Ö ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÒÓÐÐ ØÐÐ Òº Á ØØ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ó ÒÑÒ Ö Ò Ö Ð Ú ÓÒ Ñ ÒÓÐÐ Ú Ð Ø Ñ Ø Ñ Ø Ò ØÖ Ø ÓÑ ØØ Ó ØÑØ ÐÐ Ö Ó Ò Ö Øµ Ö ÙÐØ Øº Ö Ò Ò Ö ÓÑ Ö Ö ØØ Ò Ú Ö Ñ Ò Ò Ð Ó Ö Ö Ö ÓØ ÐÐØÒ º Ð ØÐ Ò Ö Ø Ö Ø ØØ ÐÐØ Ñ Ò ÒØ Ö Ö Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÙØØÖÝ ÐÐ Ö Ñ Ö ÐÐÑÒÒ ÚÓØ Ö Ö ØÐ Ö Ó ÒÑÒ Ö ÒÒ ÐÐ Ö ÒÒ Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ö Ø ÓÒØÖÓÐÐ Ö ÐÐ Ø ÒÒ ÔÙÒ Ø Ö Ö ÙØØÖÝ Ø Ö Ó Ò Ö Øº Ü ÑÔ Ð ¾º º½º ÄØ p(x) = 3x + 4x 3 Ó q(x) = x º Ò Ò ØÓÖ Ö Ò Ú ÒÑÒ Ö Ò Ñ ÓÒ Ù ØÖ ÐÒ Ö q(x) = x = (x + )(x ) Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ ÒÑÒ Ö Ò Ö ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò ± Ú Ö Ö µº Ö ÐÐØ ØÚ ÚÖ Ò Ô x Ú ÓÒ Ñ ÒÓÐÐ Ó r(x) Ö ÐÐØ Ò Ö Ø Ö ÐÐ ÚÖ Ò ÙØÓÑ ØÚº Å Ò Ö ØØ Ø Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÙØØÖÝ Ø Ö Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò D r = {x R \ q(x) 0} = {x R \ ±}. Ê Ð ¾º º¾º ÍÒ Ö ÐÐØ Ö Ø Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò Ö r(x) Ö ØØ ÙÒ ¹ Ú ØØ Ò ÓØ ÓØ ÐÐØ Ø Ö Ö Ò Ò ÖÒ º ÖÓ Ò Ô ÒÚÒ Ò Ò Ò Ú Ö Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÙØØÖÝ Ó Ø Ý Ü Ñ¹ Ô ÐÚ ÓÑ Ø ØÖ Ú Ò ÙÑÑ Ú Ö Ö Ø ÖÑ Öº Î Ö Ô Ø Ö Ö Ö Ö ÐØ ÓÖØ Ú ÒÐ Ø ØØ Ò ØØ ÓÑ ÓÖÑ Ñ ½º ÖÐÒ Ò Ò º ÒÚÒ ÙØØÖÝ Ø ØÖ Ú Ò ÙÑÑ Ú Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÙØØÖÝ Ó ÒÒ Ö ØØ Ö Ø ÖÑ ÖÒ ÖÐÒ Ñ ÐÑÔÐ ØÓÖ Ö ØØ Ö ÒÑÒ Ö Ð Ö Ð º Ü ÑÔ ÐÚ r(x) = x x + x + x

¾¾ à ÈÁÌ Ä ¾º ÊÍÆ Ä Æ Ö Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò D r = {x R \ } Ó ÓÒ Ù Ø¹ ÑØ Ú ¹ Ö Ö Ò Ö Ð ÖÒ Ö r(x) = (x )(x ) + )(x + ) (x (x + )(x ) (x )(x + ) = (x ) (x + ) x = 4x x. ¾º ØÓÖ Ö Ò Ó Ö ÓÖØÒ Ò º ÒÚÒ Ø ÒÒ ØÓÖ Ö ÓÑ Ö Ñ Ò ÑÑ Ö ØÐ Ö Ò p(x) Ó ÒÑÒ Ö Ò q(x)º Ç Ø Ø Ö Ø ÒØ ÙÔÔ Ò ÖØ Ú Ð ØÓÖ Ö Ö Ú Ð Ø Ñ Ö ØØ Ñ Ò Ñ Ø ÓÑ ÓÖÑ ÙØØÖÝ Òº Ü ÑÔ ÐÚ ÐÐ Ø r(x) = x3 3x 8x + x + 4x + 4 Ö Ñ Ò ØØ ÒÑÒ Ö Ò Ò Ö Ú ÓÖÑ Ò q(x) = x +4x+4 = (x+) Ñ ÒÚÒ Ò Ò Ú Ú Ö Ö Ò Ö ÐÒ Ó ØØ Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò Ö D r = {x R \ }º Î Ö x 3 3x 8x + x + 4x + 4 = x3 3x 8x + (x + ). Ò Ö Ö ÓÖ Ò Ò Ð Ò Ô Ø ÖÑ ÖÒ ØÐ Ö Ò = x3 8x 3x + (x + ). ÖÝØ Ö ÙØ ÐÑÔÐ ØÓÖ Ö Ò Ö ØØ ÓÑÑ Ö Ñ Ø ÐÐ Ò ÓØ ÓÑ Ð Ò Ö ÒÑÒ Ö Ò = x(x 4) 3(x 4) (x + ). ÆÙ Ò ØÐ Ö Ò Ö Ò Ð Ø Ö ÓÑ Ú Ø ÖÑ Ö ÒÒ ÐÐ Ö ¹ ØÓÖÒ (x 4) ÙØÒÝØØ Ö ÓÒ Ù ØÖ ÐÒ ØÐ Ö Ò = (x 4)(x 3) (x + ), = (x + )(x )(x 3) (x + ).

¾º º Ê ÌÁÇÆ ÄÄ ÍÌÌÊ Ã ¾ Ö ÓÖØÒ Ò Ö ÐÙØÐ Ò = (x )(x 3) x + º ÈÓÐÝÒÓÑ Ú ÓÒ Ò ÙØ Ö ÒÐ Ø Ò Ñ ØÓ Ö Ö Ú ÓÒ Ó¹ Ð Ò Øº ܺ ØÖ ÔÔ µº Ø Ö ÓÑ ØØ ÖÚ Ö ÒÔ Ò Ò Ø ÐÐ Ò Ô ÐÐ Ñ ØÓ Ò Ö ÒÚÒ Ö Ú Ö Ò ÒÒ Ò Ö Ñ ØÐÐÒ Ò º ØÖ Ø Øº ܺ Ø Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÙØØÖÝ Ø r(x) = x3 x x Ñ D r = {x R \ ±}º Î ÒÓØ Ö Ö ÓÖÑ Ò Ó ÒÑÒ Ö Ò q(x) = x Ó Ö Ú Ö ÓÑ ØÐ Ö Ò p(x) = x 3 x ØØ Ñ Ò Ò ÖÝØ ÙØ q(x) ÙÖ ÒÒ Ø Ö Ù Ñ Ò Ú Ö Ö ÔÖ Ø Ò Ö Ö ÙÖ ÑÒ Ò Ö ÒÑÒ Ö Ò Ö ØÐ Ö Òµº Ó Ù Ö Ö Ô Ø ÖÑ Ò Ú Ø Ö Ø Ð ØÐ Ö Ò Ó ÓÖÖ Ö Ö ÓÖØ ÜØÖ Ø ÖÑ Ö x 3 x x = x(x ) + x x x ÒÙ Ô Ð ØÐ Ö Ò ÙÔÔ Ó Ñ Ò Ö ÓÖØ Ö = x(x ) x + x x x,. = x + x x x ØØ Ú Ö Ú ÓÒ Ò Ö Ø Ø Ö Ø Ö Ø ØØ Ö Ú Ô Ö Ø Ò ÓÑ ÙÔÔ¹ ØÓ = x x x + x = x (x ) + x + x ÍÔÔ Ô Ð Ò Ò Ò Ú ÓÒ Ò Ó Ö ÓÖØÒ Ò Ò ÙÔÔÖ Ô = x + x 4 x. ØØ Ö ÐÙØÖ ÙÐØ Ø Ø Ø Ö ÓÑ Ö Ø Ò ÙÔÔ ÓÑÒ Ö Ø Ò Ö Ò ØÐ Ö ÓÑ ÒØ Ö Ð Ö Ñ x º..

¾ à ÈÁÌ Ä ¾º ÊÍÆ Ä Æ y 3.5 y = x.5 0.5 0 0 3 4 5 6 7 x ÙÖ ¾º½ Ö Ò Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò y = xº ¾º ÃÚ Ö ØÖÓØ Ò Ø ÓÒ ¾º º½º ÄØ a > 0º ÃÚ Ö ØÖÓØ Ò ÙÖ Ø Ð Ø a Ö Ø ¹Ò Ø Ú Ö ÐÐ Ø Ð Ø x ÓÑ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö Ú ÐÐ ÓÖ Ø x = a. ÃÚ Ö ØÖÓØ Ò Ø Ò x = a Ö a ÐÐ Ö Ò Ö ÐÐ a 0 ÐÐ Ö ÐÐØ ØØ a 0 Ó ( a) = aº ÙØÓÑ ÐÐ Ö Ê Ð ¾º º½º Ê Ò Ö Ð Ö Ö Ú Ö ØÖ ØØ Öº ½º a b = ab a, b 0º ¾º a b = a b º a = a = a 0, b > 0º { a, a 0, a, a < 0. ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ø Ö Ú Ø Ø ÐÐ Ø Ö Ð Ö Ú Ö Ø Ð Ø Ø Ö a < 0º a Ü ÑÔ Ð ¾º º¾º ÀÝ ÖÓØÙØØÖÝ Ø 3 º ÄØ a 0 > bº 8b

¾º º ÃÎ Ê ÌÊÇÌ ¾ ÍØÒÝØØ Ö Ð ÖÒ ½ Ó ¾ a 3 a a 8b = a 8b = a 8b, ÑØ Ö Ð Ó ÙØ Ò ÒØ Ò Ø a 0 > b Ú Ð Ø Ö a = a b = b = a a 9b = a a 9b. Ü ÑÔ Ð ¾º º º ÀÝ ( x) x. Ä Ò Ò Ø Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÙØØÖÝ Ø ÙÒ Ö ÖÓØ Ò Ö Ò Ö Ø ÐÐ ÒÑÒ Ö Ò Ö ÓÐ ÒÓÐÐ ÙØÓÑ Ñ Ø Ú ÓÑÑ Ö ÖÓØ Ò ØØ Ö Ò Ò Ñ Ø Ú Ö ÔÓ Ø Úº ËÐ ÖÚ ØØ (x ) > 0 Ú Ð Ø Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ x > ÃÓÒØÖÓÐÐ Ö ØØ µº Á ØØ ÐÐ Ö Ú Ó ØØ x < 0 Ó Ú Ò ÙØÒÝØØ Ö Ð ÖÒ Ö ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ê Ô Ø Ö ÖÒ ÓÐ ÙÖ Ò Ú ÓÚ µ Ó Ö Ð ÓÚ Ò ( x) x ( x) = x x = x ( x) = x = x.

¾ à ÈÁÌ Ä ¾º ÊÍÆ Ä Æ

Ã Ô Ø Ð Ú Ø ÓÒ Ö Ó ÇÐ Ø Ö Î Ö Ô Ø Ö Ö ÖÙÒ ÖÒ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ö Ò Ð Ú Ø ÓÒ Ö Ó ÓÐ Ø Öº Ä Ò Ò Ò Ø ÐÐ ÐÐØ ØØ Ñ Ò Ñ Ò ÔÙÐ Ö Ö ÙØØÖÝ Ò Ø ÐÐ Ð ¹ Ò Ò ÑÒ Ò Ò ÚÐ º Á Ö ÓÑ Ú Ø ÓÒ Ö ØÖ ÒÒ ÑÒ Ó Ø Ú Ö Ø Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ø ÐÚÖ Òµ Ñ Ò Ö ÓÑ ÓÐ Ø Ö Ò Ø Ò Ð ÓÑ ØØ ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ø ÓÑÖ Ú Øº ܺ Ö ÐÐ Ø Ðº Î Ö Ø Ö Ñ Ò Ó ÒØ Ú Ö Ð Ó Ø x Ó ÑÐ ØØÒ Ò Ò Ñ Ð Ò Ò Ò Ö ØØ ØÑÑ Ø ÐÐØÒ ÚÖ Ò Ô ÒÒ ÓÑ Ð Ö Ð Ò Ò ÑÒ Òº Ú Ø ÓÒ Ö Ó ÓÐ Ø Ö Ò ÖÙØÓÑ Ó ÒØ Ú Ö Ð Ö Ú Ò ÒÒ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Ö ÓÑ Ú Ð Ò Ò Ò ØÖ Ø ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ Ñ Ò ÓÑ Ò ÒÚÒ Ü ÑÔÐ Ú Ö ØØ ØÙ Ö Ö ÓÐ ØÙ Ø ÓÒ Ö»ÔÖÓ Ð Ñ ØÐÐÒ Ò Ö Ö ÓÒ Ø ÒØ ÖÒ Ò ÓÐ ÚÖ Òº Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò D Ö Ò ÑÒ Ú Ð Ò ÚÖ Ò Ô Ó ÒØ Ú Ö Ð ÖÒ Ó Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ Ð Ö Ö ØØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ú Ø ÓÒ Ò ÐÐ Ö ÓÐ Ø Òµ ÐÐ Ú Ö Ò Ö Ø Ô ØØ Ñ Ò Ò ÙÐÐØ Øغ Ä Ò Ò ÑÒ ¹ Ò L ØÖ Ú ÚÖ Ò D ÓÑ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö Ú Ø ÓÒ Ò ÐÐ Ö ÓÐ Ø Òº Ç ÖÚ Ö ØØ L ÒØ Ò ÚÒ ØÚ Ú Ö Ú Ö Ð Dº Î Ö Ö Ñ ØØ Ø ØØ Ô Ö Ø ¹ Ó Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ö Ó ¹ÓÐ Ø Öº Ð Ö ÙØ Ò ÖÒ Ò Ø ÔÓØ Ò Ò Ó Ò Ò Ø Ö¹ Ñ ÖÒ º Ö Ø Ö ØÙ Ö ÓÐ Ø Ö Ñ Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÙØØÖÝ Ó Ú Ø ÓÒ Ö Ú Ö Ö º ÆÓØ Ö ØØ Ú Ø ÓÒ Ö Ñ Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÙØØÖÝ Ò ÐØ Ò ÓÑ ÓÖ¹ Ñ Ø ÐÐ Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ö ÒÓÑ ØØ ÖÐÒ ÐÐ Ø ÖÑ Ö ØØ Òѹ Ò Ö Ò Ð Ö Ñ Ò Ñº Ö Ñ Ò Ò Ð Ø Ñ ÐÐ Ò Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÙØØÖÝ ÓÑ Ö Ñ Ò Ñ ÒÑÒ Ö Ó ÓÐ ØÐ Ö Ú ÖÚ Ñ Ò Ò Ö Ú Ò Ö Ð ¹ Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØÐ ÖÒ ÓÑ Ò Ú Ø ÓÒ ØØ Ö Ø Ú Ö Ñ º Ä Ø Ò Ñ ÐÐ Ò Ñ Ò ÑÑ ÒÑÒ ÖÒ Ö Ò ÒØ Ø Ø ºÚº º Ò Ú Ø ÓÒ ÓÑ ÐÐ Ö Ö ÐÐ ÚÖ Ò Ö ÙØØÖÝ Ò Ö Ò Ö º ÒÒ Ò ÐÑÒ ÓÖØ ÖÒ Ò ¾

¾ à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê ÓÖØ ØØ Ð Ò Ò Ò Ú Ú Ø ÓÒ Òº º½ Ö Ø Ö Ú Ø ÓÒ Ö Ó ¹ÓÐ Ø Ö Ò Ú Ø ÓÒ Ú Ö Ø Ö Ò Ö ÓÖÑ Ò ax + b = 0, Ñ Ò Ò ÓÐ Ø Ú Ö Ø Ö Ò Ö ÓÖÑ Ò ax + b > 0, Ö Ò ÓØ Ú ÓÐ Ø Ø Ò Ò Ò Ò Ö ÐÐ Öº Ö ÐÐ ÓÒ Ø ÒØ ÖÒ a, b R Ö Ô Ö Ñ ØÖ Öº Ú Ø ÓÒ Ò Ó ÓÐ Ø Ò ÓÚ Ò Ò Ó ÐÐ Ð Ò Ö Ó ÓÐ Ø Ò ÙØÐ ax + b Ö Ø ÖÖ Ò ÐÐ Ö Ð Ñ ÒÓÐÐ ÚÖ Ø Ò Øµ ÐÐ Ö ax + b Ö Ø ÖÖ Ò ÒÓÐÐ Ò Ö Ø Ò Øµº ÆÓØ Ö ØØ ÐÐ ÓÐ Ø Ö Ò Ö Ò ÓÖÑ Ò ÓÚ Ò Ø Ö ÓÑ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ú ÐÐ Ø ÖÑ Ö ÓÐ Ø Ò Ñ ØØ Ò Ø ÚØ Ø Ð ÚÒ Ö Ô ÓÐ Ø Ø Ò Øº Ü ÑÔ ÐÚ 3 x 0 Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ ÖÚ ÓÑ ØØ µ ( )(3 x) ( ) 0 3 + x 0, Ú Ð Ø Ö Ò ÐÐÑÒÒ ÓÖÑ Ò ÓÚ Ò Ñ a = Ó b = 3º Ö ØØ Ø Ö Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ò ÓÚ Ò Ò Ú ÓÒ Ø Ø Ö ØØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ØØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò Ö Ñ Ò Ò ÙÐÐØ Ó Ð ÚÐ ÓÖÑÙÐ Ö Ø Ö ÐÐ x Rº ËÐ Ö D = Rº Î Ò Ð Ú Ø ÓÒ Ò Ö Ö Ñ ØØ Ó ÖÚ Ö ØØ ÐÐ Ø a 0 Ö Ñ Ò ax + b = 0 ax a + b a = 0 a x + b a = 0 x = b a.

º½º ÊËÌ Ê Ë ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ¹ÇÄÁÃÀ Ì Ê ¾ ÇÑ a = 0 Ñ Ø Ñ Ò Ð Ñ ÐÐ Ò ØÚ ÓÐ Ðк Î Ö Ú Ø ÓÒ Ò 0x + b = 0, ÓÑ ÙÔÔ ÝÐÐ Ø Ö µ Ö ÐÐ x D ÐÐ Ñ Ò Ö Ö b = 0º Å Ò ÖÙ Ö ÔÖ Ø ÓÑ ØØ Ú Ø ÓÒ Ò ÐÐ Ö ÓÐ Ø Òµ ÙÔÔ ÝÐÐ ÒØ Ø Ó ØØ Ñ Ò Ö ØØ Ö Ñ Ò ÒØ Ø Øº Ä Ò Ò ÑÒ Ò Ö ØØ ÐÐ L = D = Rº ÌÝÚÖÖ ÖÙ Ö Ø Ú Ö Ú ÒÐ Ö ØØ b 0 Ú ÖÚ Ø Ð Ô Ø Ò Ø 0 b = 0º ØØ Ò ÒØ Ú Ö ÒØ Ö Ò ÓØ x Ó Ö Ð Ò Ò ÑÒ Ò ØÓÑ Ú Ð Ø Ò Ö Ú L = º Î Ö ÒÙ Ð Ø Ú Ø ÓÒ Ò Ö ÐÐ ÚÖ Ò Ô Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ a Ó b Ó Ñ Ò ÖÙ Ö Ø Ð ÓÑ Ò Ú Ø ÓÒ Ñ Ö Ô Ö Ñ ØÖ Öº Ü ÑÔ Ð º½º½º Î Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ò 3x + 5 = 7 x x D = Rº Î Ö Ö Ñ ØØ ÝØØ Ú Ö ÐÐ Ø ÖÑ Ö ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö x Ø ÐÐ ÚÒ ØÖ Ð Ø Ó ÚÖ Ø ÐÐ Ö Ð Øº Ú ÓÒ Ú Ð Ò Ñ 7 3x + 5 = 7 x 3x + x = 7 5 7x = Ö Ð Ò Ò Ò 7 x 7 = x = 7 = 4 7. Ü ÑÔ Ð º½º¾º Î Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ò = 3 º ÃÓÒ Ø Ø Ö Ö Ö Ø ØØ x x+ x Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò ÒØ Ö Ð R Ø Ö ÓÑ Ö Ò ÒÒ Ö ØØ Ñ Ò Ñ Ø ÙÒ Ú Ú ÓÒ Ñ ÒÓÐк ËÐ Ö Ú x D = {R \, 0} ØÝ ÒÑÒ ÖÒ Ú Ø ÓÒ Ò Ø ÖÑ Ö Ö Ð Ð Ñ ÒÓÐк Î Ö Ö Ñ ØØ ÝØØ Ú Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ø Ø ÐÐ ÚÒ ØÖ Ð Øº x 3 x x + = 0 x x + = 0

¼ à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ú ÐÐ Ø ÖÑ Ö Ñ ¹½ Ö x + x + = 0. Ö Ò Ñ Ò Ø Ñ Ò ÑÑ ÒÑÒ Ö Ö ÒÙ x(x + ) Ó Ú Ò ÖÐÒ º x + x(x + ) + x x(x + ) = 0. x + + x x(x + ) = 0. Ø Ö ÓÑ ÒÑÒ Ö Ò ÒØ Ò Ð ÒÓÐÐ D ÓÑÑ Ö Ú Ø ÓÒ Ò ØØ Ø Ö Ò Ø ÓÑ ØÐ Ö Ò Ð Ö ÒÓÐк Î Ö 3x + = 0 3x = x = 3. Ä Ò Ò ÑÒ Ò Ö ÐÐØ L = { 3} D Ú Ð Ø Ö Ø ÐÐØ Ø Ð Ö Ú ¹ Ø ÓÒ Ò Ò Ø ÓÒ ÑÒ µº Ü ÑÔ Ð º½º º Î Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ò x x = 3x+ º ÃÓÒ Ø Ø Ö Ö Ó ¹ x x+ x 4 Ö ØØ Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò ÒØ Ö Ð R Ø Ö ÓÑ Ö Ò ÒÒ Ö ØØ Ñ Ò Ñ Ø ÙÒ Ú Ú ÓÒ Ñ ÒÓÐк ËÐ Ö Ú x D = {R \ ±} ØÝ ÒÑÒ ÖÒ Ú Ø ÓÒ Ò Ø ÖÑ Ö Ö Ð Ð Ñ ÒÓÐк Ö ÒÑÒ ÖÒ ÚÒ ØÖ Ð Ø ÒÓØ Ö Ö Ú ØØ Ñ Ò Ø Ñ Ò ÑÑ Ö (x + )(x ) = x 4 Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ ÚÒ ØÖ Ð Ø Ò ÓÑ ÓÖÑ º x x x x + = 3x + x 4 (x )(x + ) x(x ) x 4 x 4 = 3x + x 4 (x )(x + ) x(x ) = 3x + x 4 x 4.

º½º ÊËÌ Ê Ë ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ¹ÇÄÁÃÀ Ì Ê ½ ÆÙ Ö ÒÑÒ ÖÒ ÒØ Ø Ð Ð Ö ÐÐ x Dµ Ó Ò Ú ÓÖØ ØØ Ñ Ð Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØÐ ÖÒ º (x )(x + ) x(x ) = 3x + x + x x x + x = 3x +. 3x = 3x + 3x 3x = + 0x = 4, Ö Ò Ø Ð Ø Ò ÒØ Ò ÙÔÔ ÝÐÐ Ö Ò ÓØ ÚÖ Ô x D Ø Ö ÓÑ 0x = 0 Ó ÙØ Ò 0 = 4 Ö ÙÔÔ Ò ÖØ Ð µ Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ Ð Ò Ò ¹ ÑÒ Ò Ö L = º Ú Ø ÓÒ Ò Ö ÐÐØ Ò Ð Ò Ò Öº Ü ÑÔ Ð º½º º Î Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ñ Ö Ô Ö Ñ ØÖ Ö ax a = x 4 Ö a R Ö Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ó x D = R Ö Ú Ö Ðº Î Ò Ö ÐÐØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò Ñ Ú Ò Ô x Ö ÐÐ ÚÖ Ò Ô Ô Ö Ñ Ø ÖÒ aº Ä Ò Ò Ò Ö Ø ÐÐ Ô Ú ÒÐ Ø Ú Ú ÝØØ Ö Ú Ö Ø ÖÑ ÖÒ ÒÒ ÐÐ Ò x Ø ÐÐ ÚÒ ØÖ Ð Ø Ó ÚÖ Ø ÐÐ Ö Ð Øº ax a = x 4 ax x = a 4 Î Ö Ò Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ò ÒÓÑ ØØ Ö Ø ÖÝØ ÙØ Ò Ñ Ò ÑÑ ØÓÖÒ x ÚÒ ØÖ Ð Ø Ó ÒÓØ Ö ØØ ÓÒ Ù ØÖ ÐÒ Ö Ð Ø Ö a 4 = (a + )(a )º x(a ) = (a + )(a ) Ú ÓÒ Ú ÐÐ Ø ÖÑ Ö Ñ ØÓÖÒ a ÙÒ Ö ÖÙØ ØØÒ Ò ØØ a 0 a Ö x = a +. Î Ö ÒÙ Ð Ø Ú Ø ÓÒ Ò Ö a {R \ }º ÐÐ Ø a = Ò Ø ÓÑ ØØ Ô Ð ÐÐ Ö Ò ÙÖ ÔÖÙÒ Ð Ú Ø ÓÒ Ò ÐÝ Ö x 4 = x 4 x x = 4 4 0x = 0,

¾ à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê Ú Ð Ø ÙÔÔ ÝÐÐ ÒØ Ø Ö ÐÐ x D = Rº ËÐ Ö Ò ÙÐÐ ØÒ Ð Ò Ò Ò { a +, a R \, x = R, a =. ÆÖ Ñ Ò Ð Ö ÓÐ Ø Ö Ú Ö Ø Ö Ú Ú Ö Ð Ö Ö ØØ Ø ÙÖ Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ ÖÒ ÔÚ Ö Ö ÓÐ Ø Ø Ò Øº Ê Ð º½º º ÇÖ Ò Ò Ò Ô Ö Ö Ö ÐÐ Ø Ðº ÒØ ØØ Ø Ð Ò a, b, c Rº ÐÐ Ö ½º a < b b < c a < cº ÍØÐ ÇÑ a Ö Ñ Ò Ö Ò b Ó b Ö Ñ Ò Ö Ò c Ö a Ñ Ò Ö Ò cº ¾º Ü Ø ØØ Ú Ð Ò Ô Ø Ò Ò ÐÐ Ö µ a < b µ a > b µ a = b º a < b a + c < b + c º a < b, c > 0 ac < bc º a < b, c < 0 ac > bc Ü ÑÔ Ð º½º º Î Ð Ö ÓÐ Ø Ò x + 4x + > º x + 4x + > (x + x + ) > Ê Ò Ö Ð Ö Ö Ú Ö ØÖÓØ Ö x + x + > ÃÚ Ö Ö Ò Ö ÐÒ Ö (x + ) >

º½º ÊËÌ Ê Ë ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ¹ÇÄÁÃÀ Ì Ê Ê Ò Ö Ð Ö Ö Ú Ö ØÖÓØ Ö x + > ÆÙ Ñ Ø ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ø Ø ÒÚÜÐ Ò ÖÓ Ò Ô x Ø ÓÑ x+ 0 ÐÐ Ö x + = x + Ó ÓÑ x + < 0 ÐÐ Ö x + = (x + ) ÒÐ Ø Ö Ò Ö Ð ÖÒ Ö ÓÐÙØ ÐÓÔÔºµ x : (x + ) > x < : (x + ) > ÀÝ Ö ÖÓØ Ò Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ö Ñ Ò Ö ÓÐ Ø Ò x : x + > = ( ) x < : x + < x : x > x < : x <. Î Ö ÐÐØ ØÚ ÓÐ Ø Ö ÓÑ ÐÐ ÐÐ ÑØ Ø Ö Ô Ø Ú ÐÐ Ø x : x > ÐÐ ÐÐ ÐÐ Ö x < : x < ÐÐ ÐÐ º Ñ Ò Ö ØÚ ÓÐ Ø Ö ÓÑ ÐÐ Ö ÑØ Ø ÓÑÑ Ö Ö Ð Ò Ò ÑÒ Ö ØØ Ð Ú Ò ØØ Ø Ú ØÚ ÐÓÐ Ø ÖÒ Ð Ò Ò ÑÒ Öº ËÐ ÓÑ ÓÑÖ Ø x Ö Ø Ô Ø ÐÐ Ò Ò ÓÑÑ Ö ÓÑÖ Ø x > 0, 4 ØØ ÒÒ ÐÐ ØØ Ó Ò ØØ Ø Ú ØÚ Ø ÐÓÑÖ Ò Ð Ö x > º È ÑÑ ØØ Ø Ò Ö ÐÐ Ø x <, 4º ØØ Ö ÐÐØ ÐÙØÖ ÙÐØ Ø Ø ÓÑ Ò ÓÒØÖÓÐÐ Ö Øº ܺ ÒÓÑ ØØ Ö Ò ÚÖ Ø ÐÐ Ó Ö Ø ÙÔÔ ÙÖÚ Ò y = x + 4x + Ó Ø ØØ Ø Ö Ú Ö ÒÒ Ö Ø ÖÖ Ò º Ä ÓÑ Ó Ú Ø ÓÒ Ö Ò Ú Ò ÓÐ Ø Ö ÒÒ ÐÐ Ö Ô Ö Ñ ØÖ Öº Å ÓÐ Ø Ö Ñ Ø Ñ Ò Ó Ø Ø Ò Ò Ô Ö Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ Ø Ö ÓÑ ØØ Ò ÔÚ Ö Ö ØÒ Ò Ò Ó ÓÐ Ø Ø Ò Øº Ö Ö Ð Ö Ñ Ò Ò ÓÐ Ø Ñ Ö Ô Ö Ñ ØÖ Ö ÔÖ Ø Ò Ô Ö Ø Ö ØØ ÒØ Ð ÓÐ ÐÐ ÓÑ Ø Ö ÓÐ ÚÖ Ò Ô Ò Ö Ô Ö Ñ Ø ÖÒº ØØ ÐÐÙ ØÖ Ö Ð Ò Ü ÑÔ Ð º½º º Î Ð Ö ÓÐ Ø Ò ax a < x 4º ax a < x 4 x(a ) < a 4 = (a + )(a ) Á ÚÒ ØÖ Ð Ø Ö Ú ÒÙ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ó ÒØ Ò a º ÖÓ Ò Ô Ø Ò ÓÑÑ Ö ÓÐ Ø Ø Ò Ø ØØ ÔÚ Ö Ú Ð Ö ÓÐ Ø Òº ÇÑ a > 0 Ö Ú a > Ú Ð Ø Ú Ú ÓÒ Ñ a Ð Ò Ö x < a +.

à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê Ò Ö Ò ÓÑ a < 0 Ö Ú a < Ú Ð Ø Ô ÑÑ ØØ ÓÑ ÓÚ Ò Ö x > a +. Á ÐÐ Ú Ö Ö a = 0 Ö Ù a = Ó Ö Ò ÙÖ ÔÖÙÒ Ð ÓÐ Ø Ò ÙØ Ò Ø x 4 < x 4 0x < 0, Ú Ð Ø ÒØ Ö Ð Ò Ò Öº Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú Ö ÓÐ Ø Ò Ð Ò Ò ÑÒ {R x < a + }, a >, L = {R x > a + }, a <,, a =. Ò Ö Ø Ö Ò ÙØÐ ÐÐØ ÑÒ Ò Ú ÐÐ Ò x R Ò ØØ x < a + Ö a > º º¾ Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ö Ó ¹ÓÐ Ø Ö Ò Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ö Ú ÓÖÑ Ò ax + bx + c = 0, Ö a 0µ b Ó c Ö ÓÒ Ø ÒØ Öº Î ÐÐ ÒÙ Ð ÒÒ Ú Ø ÓÒ Ñ Ò¹ ÚÒ Ò Ò Ú Ú Ö Ø ÓÑÔÐ ØØ Ö Ò ÓÑ Ö Ø ÐÐ ØØ Ú Ö Ö Ö Ú ÓÑ ÚÒ ØÖ Ð Ø ØØ Ú Ö Ö ØØ Ú Ö ØÙØØÖÝ Ö Ú Ø Ñ Ú Ö Ö Ò ¹ Ö ÐÒ Ú ØØ Ø Ö º Ø Ö ÓÑ a 0 Ò Ú Ø ÓÒ Ò Ú Ö Ñ ÒÒ ÓÒ Ø ÒØ Ó Ú Ö x + b a x + c a = 0. ÒÐ Ø Ú Ö Ö Ò Ö ÐÒ ÐÐ Ö (p + q) = p + pq + q Ó Ú ÐØ Ö p = x ÑØ pq = b xº Ñ Ø ÐÐØ q = b Ó q = b ÑØ a a a q = ( b º a) ÌÝÚÖÖ Ö Ú Ù ÒØ Ö Ø (p+q) = p +pq+q ÚÒ ØÖ Ð Ø Ú ÚÖ Ú Ø ÓÒ Ñ Ò Ø Ö ÐÐØ Ø ÐÐØ Ø ØØ Ö Ø ÐÐ Ø ÓÑ Ú ÐÐ Ú Ö Ö Ø ÐÐ

º¾º Æ Ê Ê Ë ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ¹ÇÄÁÃÀ Ì Ê ÑÑ Ö Ð Ø ØØ Ö ØØ ØÖ ÓÑ Ò Ú Ö ÚÖØ ØØ ÓÑÑ ÑÑ Ø Ö ÓÑÑ Ö Ó Ø µº ËÐ Ò ÚÖ Ú Ø ÓÒ Ö Ú x + b ( ) b a x + + c ( ) b a a = a ÐÝØØ Ö Ú Ö Ò ÓÒ Ø ÒØ Ó Ý Ö ÀÝ Ö Ö Ð Ø ( x + b ) ( ) b = c a a a ( x + b ) ( ) b = 4ac a a (a) [ ( a x + b )] = b 4ac a Ö Ö ÖÓØ Ò ÙÖ Ð Ò Ú Ñ Ø ÖÚ ØØ b 4ac 0 ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ø Ø ËÐÙØÖ ÙÐØ Ø Ø ÒÓÑ ØØ Ð ÙØ x ( a x + b ) = b a 4ac ( a x + b ) = ± b a 4ac x = b ± b 4ac a. ØØ ÖÙ Ö ÐÐ ÖÓØ ÓÖÑ ÐÒ Ö Ð Ò Ò Ú Ò Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒº ÓÖ¹ Ñ ÐÒ ÙÒ Ö Ö Ú Ò Ö Ô Ð ÐÐ Ò b = 0 Ó» ÐÐ Ö c = 0º Á ÖÐ Ò Ò Ò ÖÚ Ú ØØ b 4ac 0 Ó ÚÒ ØÖ Ð Ø Ú ÒÒ ÓÐ Ø ÖÙ Ö ÐÐ Ö Ñ Ò ÒØ Ò Ó Ò Ö ÒÐ Ø Ð Ò

à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê Ò Ø ÓÒ º¾º½º Ö Ñ Ò ÒØ Ò Ö Ò Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ ax +bx+c = 0 Ö D = b 4ac. Ö Ñ Ò ÒØ Ò ØÑÑ Ö Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ò ÑÒ Ú Ö Ð Ò Ê Ð º¾º½º Ä Ò Ò ÑÒ Ò Ó Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ò ax + bx + c = 0º ½º ÇÑ D > 0 Ö Ú Ø ÓÒ Ò ØÚ Ö ÐÐ Ð Ò Ò Ö L = {x, x R}º ¾º ÇÑ D = 0 Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ò Ö ÐÐ Ð Ò Ò ÓÑ ÖÙ Ö ÐÐ Ù ¹ ÐÖÓØ ºÚº º L = {x = x R}º º ÇÑ D < 0 Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ò Ö ÐÐ Ð Ò Ò Ö L = º ½ Å Ò Ú Ö ÒØ ÐÐØ ÒÚÒ ÖÓØ ÓÖÑ ÐÒ Ö ØØ Ð Ò Ö Ö Ú ¹ Ø ÓÒ Ò ax +bx+c = 0 ÐÐ Ø ÒÒ ØÚ Ö ØØ Öº Á ÝÒÒ Ö Ø ÓÑ Ð Ò Ò ÖÒ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò Ø ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ax + bx + c ÐÐ Ú Ò ÑÒ ÑÑ Ò Ò Ö ØØ Öµ Ö Ö Ú Ö ÐØ Ð Ö Ñ Ò ÒÝØØ Ú Ð Ò Ò Ô Ç ÖÚ Ø ÓÒ º¾º¾º Ê ØØ ÖÒ Ò Ô Ö Ö Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ò ax + bx + c = 0º Î Ø Ò Ö ÐÐ Ö x = b + b 4ac a, x = b b 4ac a. x + x = b+ b 4ac a + b b 4ac a = b a = b a, x x = ( b+ b 4ac)( b b 4ac) ( = ( b) b 4ac) (a) (a) ËÐ ÓÑ Ñ Ò ÓÑ ÓÖÑ Ö Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ø ÐÐ x + b a x + c a = 0, = b b ( 4ac) (a) = c a. Ò Ñ Ò ÚÐ Ö ØØ ÖÒ Ö Ø ÖÒ Ó ÒØ ÖÒ ÐÐ Ñ Ò Ò ØØ ØÚ Ø Ð Ú Ö ÙÑÑ Ö b a Ó Ú Ö ÔÖÓ Ù Ø Ö c a º Ø Ðº ½ Ø ÒÒ Ó ØØ ÐÐ ÓÑÔÐ Ü Ð Ò Ò Ö Ñ Ö ÓÑ Ñ Ò Ñ ÓÑÔÐ Ü

º¾º Æ Ê Ê Ë ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ¹ÇÄÁÃÀ Ì Ê Ü ÑÔ Ð º¾º º ØÑ Ð Ò Ò ÖÒ Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ò x 5x + = 0. ÆÙ Ö a = b = 5 Ó c = º Ö ÖÓØ ÓÖÑ ÐÒ x, = b ± b 4ac a = 5 ± ( 5) 4 4 = 5 ± 9 4 = 5 ± 3 4 ÐÐØ Ö Ú Ö Ñ Ò ÒØ Ò D = b 4ac = 9 > 0 Ó ØÚ Ð Ò Ò ÖÒ x = Ó x = º ÇÑ Ú ÒÓÑ Ú ÓÒ Ñ a ÓÑ ÓÖÑ Ø Ú Ø ÓÒ Ò Ø ÐÐ x 5 x + = 0, ÙÒ Ú ÚÐ Ø Ö ØØ ÖÒ Ö Ø ÖÒ Ò ÓÑ ÓÖÑ Ú Ø ÓÒ Ò Ó ¹ ÒØ Ö Ø Ö ÓÑ x + x = 5 Ó x x = º Ü ÑÔ Ð º¾º º ØÑ Ð Ò Ò ÖÒ Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ò 3x x + = 0. ÆÙ Ö a = 3 b = Ó c = º Ö ÖÓØ ÓÖÑ ÐÒ x, = b ± b 4ac a = ± ( ) 4 3 6 = ± 0 6. =. ÐÐØ Ö Ú Ö Ñ Ò ÒØ Ò D = b 4ac = 0 Ó Ø ÒÒ Ò Ø Ò Ð Ò Ò x = x = º ÇÑ Ú ÒÙ ÒÓÑ Ú ÓÒ Ñ a ÓÑ ÓÖÑ Ø Ú Ø ÓÒ Ò Ø ÐÐ x 4x + 4 = (x ) = 0, ÙÒ Ú Ð Ø Ù ÐÖÓØ Ò Ö Ø ÖÒ Ú Ø ÓÒ Ò x = 0º Ü ÑÔ Ð º¾º º ØÑ Ð Ò Ò ÖÒ Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ò 5x x + = 0. ÆÙ Ö a = 5 b = Ó c = º Ö ÖÓØ ÓÖÑ ÐÒ x, = b ± b 4ac a = ± ( ) 4 5 0 = ± 6 0 R. Ö Ñ Ò ÒØ Ò Ö D = b 4ac = 6 < 0 Ó Ø ÒÒ Ò Ö ÐÐ Ð Ò Ò Öº

à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê Ü ÑÔ Ð º¾º º Ö Ú Ð ÚÖ Ò Ô ÓÒ Ø ÒØ Ò k Ö Ú Ø ÓÒ Ò x + k = 3 x ØÚ ÓÐ Ö ÐÐ Ð Ò Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ò ÓÑ ÓÖÑ Ø ÐÐ ÚÖ Ú ÒÐ ÓÖÑ Ö Ò Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ x + x + k 3 = 0º Î Ö ÒÙ ØØ a = b = Ó c = k 3º ÒÐ Ø Ø ÓÖ Ò Ö ÒÒ ØÚ ÓÐ Ö ÐÐ Ö ØØ Ö Ö Ñ Ò ÒØ Ò ÙÔÔ ÝÐÐ Ö Ú ÐÐ ÓÖ Ø D = b 4ac = 4(k 3) > 0º Î Ú Ö ÐÐØ Ð Ò ÓÐ Ø Ñ k ÓÑ Ú Ö Ð ÒÐ Ø 4(k 3) > 0 4 > 4(k 3) > k 3 + 3 > k 3 + 3 k < 4. ÐØ ÖÒ Ø ÚØ ÙÒ Ú Ð Ø Ú Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ñ ÖÓØ ÓÖÑ ÐÒ Ó Ò Ú Ò ÓÑÑ Ø Ö Ñ Ø ÐÐ ØØ ÑÓØ Ú Ö Ò Ú ÐÐ ÓÖ ÓÑ Ú Ö Ö Ö Ñ Ò ÒØ Òº Á ÐÐ Ø Ü Ø Ö Ö Ö ØØ Ö Ò ÖÓØ ÓÖÑ ÐÒ ÖÙØÓÑ Ø ÐÐ ØØ Ð Ò Ö Ö Ú ¹ Ø ÓÒ Ö Ú Ò ÒÚÒ Ø ÐÐ ØÓÖ Ö Ò ÙÔÔ ÐÒ Ò Ú ÔÓÐÝÒÓÑ ØÓÖ Öµ Ø Ö ÓÑ Ú Ö ØØ ØØ Ö ØØ ÖÒ x Ó x Ö Ò Ô ÖÒ x + x = b a Ó x x = c Ó Ð Ö a Ç ÖÚ Ø ÓÒ º¾º º a(x x )(x x ) = a ( x x x x x + ( x )( x ) ) = a [ ] x (x + x )x + x x ( = a x + b a x + c ) a = ax + bx + c = 0, Ú Ð Ø Ù Ú Ö ØØ ØØ Ó ØÝ Ð Ø Ò Ö Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ØÓÖ Ö Ñ ÐÔ Ú Ò Ö ØØ Öº ØØ ÐÐÙ ØÖ Ö Ö Ú Ò Ð Ò Ö Ð ÓÑ Ö ÓÑ Ú Ø ÓÒ Ö ÔÖ Ø Ò ØÝ Ö ØØ ØÓÖ Ö Ò Ó ØÑÒ Ò Ú ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò Ö Ú Ú Ð ÒØ º Ê Ð º¾º º ÆÓÐÐÖ ÐÒ ab = 0 a = 0 b = 0.

º¾º Æ Ê Ê Ë ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ¹ÇÄÁÃÀ Ì Ê 3.5 D < 0 D = 0 D > 0.5 y 0.5 0 0.5.5 0.5 0 0.5.5 x ÙÖ º½ ÈÖ Ò Ô Ú y = ax + bx + c a > 0 Ö ÓÐ ÚÖ Ò Ô Ö Ñ Ò ÒØ Ò D = b 4acº Ä Ò Ò Ú Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ö Ò Ú Ò ÙØÒÝØØ Ö Ð Ò Ò Ú Ò¹ Ö Ö ÓÐ Ø Ö ax + bx + c 0, Ö ÓÐ Ø Ø Ò Ò Ú Ò Ò Ú Ö ØÖÒ > Ö Ô Ø Ú <µº ÆÓØ Ö ØØ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ú ÐÐ Ø ÖÑ Ö Ñ ÚÒ Ö Ô ÓÐ Ø Ø Ò Ø Ø Ö Ò Ò ØÝ Ð Ú Ð Ø Ø Ò Ñ Ò Ö Ø Ö Ñ Ö Ñ Ò Ö ÓÒ Ú Òغ ÓÐ Ø Ö Ò Ð ÒÓÑ ØØ Ö Ø Ð Ú Ø ÓÒ Ò ax +bx+c = 0 Ó Ò ÒØ Ò Ò Ø Ö Ñ Ò ÒØ Ò Ó Ø Ò Ø Ó Ó ÒØ Ò a ÐÐ Ö ÒÓÑ ØØ ØÐÐ ÙÔÔ ØØ Ø Ò Ñ Ö ÙÖÚ Ò y = ax + bx + c Ñ Ø Ò Ú Ö ØØ ÖÒ Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ Òº ÃÙÖÚ Ò ÙØ Ò Ö ÓÐ Ø Ò Ô Ó ÒØ Ò a Ó Ö Ñ Ò ÒØ Ò ÐÐÙ ØÖ Ö ÙÖ ÖÒ º½ Ó º¾º ÇÑ a > 0 ÓÑÑ Ö

¼ à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê 0.5 D > 0 D = 0 D < 0 0 0.5 y.5.5 3.5 0.5 0 0.5.5 x ÙÖ º¾ ÈÖ Ò Ô Ú y = ax + bx + c a < 0 Ö ÓÐ ÚÖ Ò Ô Ö Ñ Ò ÒØ Ò D = b 4acº y ØØ ÚÜ ÑÓØ + Ù ÐÒ Ö ÓÖØ ÖÒ ÓÖ Ó x Ö Ô Ö ÐÒ ÔÔÒ Ö Ð ÙÔÔغ Ò Ö Ò ÓÑ a < 0 ÓÑÑ Ö y ØØ ÚÜ ÑÓØ Ù ÐÒ Ö ÓÖØ ÖÒ ÓÖ Ó x Ö Ó Ô Ö ÐÒ ÔÔÒ Ö ÐÐØ Ò Øº ØØ Ø ÐÐ ÑÑ Ò Ñ Ö Ñ Ò ÒØ Ò Ö Ø Ö Ö Ò Ú Ö ØØ ÖÒ Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ò ax +bx+c = 0 Ö Ø Ñ Ð Ø ØØ Ð ÓÐ Ø Òº Î ÓÑÑ Ö ØØ D > 0 ØÝ Ö ØØ Ø ÒÒ ØÚ Ö ÐÐ Ö ØØ Ö ØØ D = 0 ØÝ Ö ØØ Ø ÒÒ Ò Ù ÐÖÓØ Ó ØØ D < 0 ÒÒ Ö ØØ Ø ÒØ Ü Ø Ö Ö Ö ÐÐ Ö ØØ Öº Ü ÑÔ Ð º¾º º ÄØ f(x) = ax + bx + c, a < 0. Î Ð Ö ÒÙ ÓÐ Ø Ò f(x) 0º Ø ÒÒ ØÖ ÐÐ ØØ Ø ÖÓ Ò Ô Ö Ñ Ò ÒØ Ò ÚÖ

º¾º Æ Ê Ê Ë ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ¹ÇÄÁÃÀ Ì Ê ½ Ì ÐÐ º½ Ä Ò Ò ÑÒ Ò Ö Ò Ö Ö ÓÐ Ø Ö Ñ ÓÐ Ô Ö Ñ Ø Ö¹ ÚÖ Òº Ø Ò Ò Ò a Ú Ö Ú Ö Ø Ø ÖÑ Ò Ó ÒØ Ó D Ø Ò Ö Ö Ñ Ò ÒØ Òº Ø Ö ÓÑ a Ò Ú Ö ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ö Ò Ø Ú f(x) = ax +bx+c Ò Ú Ö ØÖÒ Ø» ¹ ØÖÒ Ø ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ö Ò Ø Ú Ó Ö Ñ Ò ÒØ Ò Ò Ú ¹ Ö ÔÓ Ø Ú ÒÓÐÐ ÐÐ Ö Ò Ø Ú ØÓØ ÐØ ¾ ÓÐ ÓÒ Ø ÐÐ Ø ÓÒ Ö Ö ÓÐ Ø Ò Ð Ò Ò ÑÒ º f(x) L D > 0 D = 0 D < 0 < 0 ]x, x [ a > 0 0 [x, x ] {x } > 0 ], x [ ]x, [ R \ {x } R 0 ], x ] [x, [ R R < 0 ], x [ ]x, [ R \ {x } R a < 0 0 ], x ] [x, [ R R > 0 ]x, x [ 0 [x, x ] {x } ½º D > 0 Ú Ø ÓÒ Ò f(x) = 0 Ö ÒÙ ØÚ Ö ØØ Ö x Ó x º È Ö ÐÒ ÔÔÒ Ö Ò Ø ØÝ a < 0 Ó Ú Ö ØÙ Ø ÓÒ Ò ÙÖ º¾ Ú Ö Ø ÙÖÚ Òµº Ð Ö ÙÖÚ Ò ÓÚ Ò Ö ÐÐ Ö Ô x¹ Ü ÐÒ Ö x¹úö Ò ÒØ Ö¹ Ú ÐÐ Ø [x, x ] ºÚº º x x x µ Ó Ð Ò Ò ÑÒ Ò Ö Ù Ø ØØ ÒØ ÖÚ Ðк ¾º D = 0 Ú Ø ÓÒ Ò f(x) = 0 Ö ÒÙ Ò Ù ÐÖÓØ x = x º È Ö ÐÒ ÔÔÒ Ö Ò Ø ØÝ a < 0 Ó Ú Ö ØÙ Ø ÓÒ Ò ÙÖ º¾ Ñ ÐÐ Ö Ø ÙÖÚ Òµº Ð Ö ÙÖÚ Ò ÓÚ Ò Ö ÐÐ Ö Ô x¹ Ü ÐÒ Ò Ø Ö ÚÖ Ø Ô Ù ÐÖÓØ Ò Ó Ð Ò Ò ÑÒ Ò Ö ÔÙÒ Ø Ò x º º D < 0 Ú Ø ÓÒ Ò f(x) = 0 Ö ÒÙ Ò Ö ØØ Öº È Ö ÐÒ ÔÔÒ Ö Ò Ø ØÝ a < 0 Ó Ú Ö ØÙ Ø ÓÒ Ò ÙÖ º¾ Ò Ö Ø ÙÖÚ Òµº Ð Ö ÙÖÚ Ò ÓÚ Ò Ö ÐÐ Ö Ô x¹ Ü ÐÒ Ö Ò x¹úö Ò Ó Ð Ò Ò ¹ ÑÒ Ò Ö ØÓѺ Á Ø ÐÐ Ò ÓÚ Ò ÑÑ Ò ØØ ÓÐ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÖÒ Ö ÓÐ Ø Ò Ð Ò Ò Öº Ì ÐÐ Ò Ö ÒØ Ú Ö Ý Ø Ñ Ø ÒÐÖÒ Ò ÙØ Ò ÖÑ Ø ÓÑ Ò ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ÓÐ Ð Ò Ò Ö ÓÑ Ò Ö ÓÑÑ Ö Ó Ð Ô Ö ¹ Ñ Ø ÖÚÖ Òº

¾ à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê º Ê Ø ÓÒ ÐÐ ÓÐ Ø Ö Å Ò Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÓÐ Ø Ú Ò ÓÐ Ø ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÙØØÖÝ Ü ÑÔ ÐÚ Ú ÓÖÑ Ò r(x) = p(x) q(x) < 0, Ö ØÐ Ö Ò p(x) Ó ÒÑÒ Ö Ò q(x) Ö ÔÓÐÝÒÓѺ Ò ÐÐÑÒ Ø Ò Ö ØØ Ð ÓÐ Ø Ò ÓÚ Ò Ö ØØ ÙÒ Ö ØÐ Ö Ò Ó ÒÑÒ Ö Ò Ú Ö Ö ¹ ÒÓÑ ØØ ØÑÑ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò Ó Ø Ò Ö Ò º Ö ØØ Ñ Ø Ñ Ò Ó Ó Ø ÓÑ ÓÖÑ ÓÐ Ø Ò Ö ØØ Ö Ò Ò ÓÖÑ Ò ÓÚ Òº ØØ ÒÒ Ö Ó Ø ØØ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ö ØØ Ø ÓÑÑ Ð ÒÑÒ Ö ÑÑ Ò Ð Ò Ò Ú Ø ÖÑ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ö Ó Úº ÆÑÒ Ö Ò ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò Ñ Ø Ó ÐÐØ ØÑÑ Ö ØØ Ö Ñ Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò Ö r(x)º Ò Ø Ú Ñ ØÓ ØØ Ö Ò ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò Ó Ö ÓÑ ÚÒ Ò Ö Ö Ø Ö ØØ Ö ÙÔÔ ØØ Ø Ò Ñ ÓÑ Ø Ö ØÐ Ö Ò Ó ÒÑÒ Ö Òº Ü ÑÔ Ð º º½º Ä ÓÐ Ø Ò x 5x + 6 x 7x + <. Î Ö Ö Ñ ØØ ØÑÑ Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò ÒÓÑ ØØ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò Ø ÐÐ ÒÑÒ Ö Ò q(x) = x 7x + = 0º ÊÓØ ÓÖÑ ÐÒ Ö ÐØ ÖÒ Ø ÚØ Ò Ö ØØ ÖÒ ÚÐ Ö Ø ÖÒ Ó ÒØ ÖÒ ÒÐ Ø ÓÚ Òµ x, = ( 7) ± ( 7) 4 = 7 ±. ËÐ Ö Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò D = R \ {3, 4}º Ø Ö ÓÑ ÓÐ Ø Ò ÒØ Ö

º º Ê ÌÁÇÆ ÄÄ ÇÄÁÃÀ Ì Ê ÓÖÑ Ò r(x) < 0 Ò Ò ÓÑ ÓÖÑ ÒÐ Ø x 5x + 6 x 7x + < (x 5x + 6) (x 7x + ) x 7x + (x 7x + ) < 0 x 0x + x + 7x < 0 (x 7x + ) x 3x (x 7x + ) < 0 x(x 3) (x 3)(x 4) < 0 x (x 4) < 0 f(x) = x x 4 < 0. ÆÙ ØÐÐ Ö Ú ÙÔÔ Ø Ò Ñ Ø Ö ØÐ Ö Ó ÒÑÒ Ö 0 3 4 x 0 + + + + + x 4 0 + f(x) + 0 + ÇÐ Ø Ò Ø Ö ÙÔÔ ÝÐÐ µ ÐÐØ Ö f(x) Ö Ò Ø ÚØ Ú ÒÚÒ Ö Ö Ø Ò Ò Ò Ö ÚÖ Ò ÓÑ ÒØ Ø ÐÐ Ö Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò D = R\{3, 4}µ Ó Ò Ð Ò Ò ÑÒ Ò ÚÐ ÖÒ Ø Ö Ò Ø Ò Ñ Ø ÓÑ ÚÖ Ò Ö f(x) = º ËÐ Ö Ú ÐÙØÖ ÙÐØ Ø Ø L =]0, 4[\{3}. ÐØ ÖÒ Ø ÚØ ÙÒ Ñ Ò ÙØ ØØ ÖÒ Ò ÐÚ Ý ÓÐ Ø Ò 0 ÒÐ Ø ÑÑ Ñ ØÓ ÓÑ Ú Ú ÖÚ Ø Ò Ñ Ø ÙÐÐ Ð Ú Ø Ø ÑÑ Ñ Ò Ñ Ò ÒØ ÚØ ÓÑÑ ØØ ÔÙÒ Ø Ò {3} ÒØ Ø Ðй Ö Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò Ø Ö ÓÑ ÒÒ Ý Ø ÙÔÔ Ø ÐÐ Ò ÓÑ ØØ ÒÓÐй ØÐÐ Ø ÐÐ ÒÑÒ Ö Òº x 3x < (x 7x+)

à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê 4 3x + x y 0 4 4 0 4 x ÙÖ º ØØ Ð Ò ÖØ Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ñ ØÚ Ú Ø ÓÒ Ö Ó ØÚ Ó Ò¹ Ø Ò Ö Ø Ö ÔÖ ÒØ Ö ÓÑ ØÚ Ð Ò Ö (x, y)¹ ÓÓÖ Ò Ø Ý Ø Ñ Øº Ò Ú ÒØÙ ÐÐ Ð Ò Ò Ò Ç ÖÚ Ö ØØ Ò ÓÒ Ð Ò Ò ÒØ Ò ÚÒ ØÚ Ú Ö ÒÒ µ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ú Ð Ò ÖÒ ÖÒ Ò ÔÙÒ Øº º Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Î ØÙ Ö Ö Ð Ò Ò Ú Ð Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ú ÓÖÑ Ò { a x + b y = c a x + b y = c, Ö Ó ÒØ ÖÒ a a b 0 Ó b 0 ÑØ ÓÒ Ø ÒØ ÖÒ c Ó c Ö Ò º Î Ö ÒÙ ÒØÖ Ö Ú ÚÖ Ò Ô x Ó y ÓÑ ÑØ Ø Ø Ö Ö Ú Ø ÓÒ ÖÒ ÐØ Ú Ö x 0 Ö Ô Ø Ú y 0 º Ä Ò Ò Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ö Ö Ø Ò ÔÙÒ Ø (x 0, y 0 ) (x, y)¹ ÓÓÖ Ò Ø Ý Ø Ñ Ø Ö Ð Ò ÖÒ y = a b x+

º º ÃÎ ÌÁÇÆËË ËÌ Å c b Ó y = a b x+ c b Ö Ú Ö Ò Ö º Á ÐÐ Ð Ò ÖÒ Ö Ô Ö ÐÐ ÐÐ ºÚº º a a b Ö ÒØ Ú Ö Ò Ö Ó Ü Ø Ö Ö ÐÐ Ö Ò Ò Ð Ò Ò Ø ÐÐ Ý Ø Ñ Øº Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ø { 3x + y = b = x + y = Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÐÐÙ Ø Ö ÙÖ º Ö ÖÒ Ò ÔÙÒ Ø Ò (x 0, y 0 ) = ( 3 5, 4 5) ÙØ Ö Ý Ø Ñ Ø Ð Ò Ò Ó Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ø Ö ÐÐØ Ð Ò Ò ¹ ÑÒ Ò L = { (x, y) = ( 3 5, 4 5)} º Ö ØØ ÙÒ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ö Ò Ð Ð Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÐÐ Ú Ô Ü ÑÔ Ð Ñ ØÚ ÓÐ Ñ ØÓ Ö Ø ÓÒ Ñ ØÓ Ò Ó Ò ØØÒ Ò Ñ ¹ ØÓ Òº Ñ ØÓ ÖÒ ÒÒ Ö ÔÖ Ò Ô ØØ Ò Ú ØÚ Ú Ö Ð ÖÒ x Ó y Ð Ñ Ò Ö ÑØ Ø Ñ Ò Ú ØÚ Ú Ø ÓÒ ÖÒ º Å ØÓ ÖÒ Ð Ö Ò Ø ÐÚ ÙØ Ö Ò Ø Ú ÒÒ Ð Ñ Ò Ö Ò º ½º Ø ÓÒ Ñ ØÓ Ò Ü ÑÔ Ð º º½º Ä Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ø { 4x + 3y = 8 6x + y = Ú Ø ÓÒ ÖÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ö ÒÙ Ñ ÐÑÔÐ ØÓÖ Ö ØØ Ø ÖÑ Ö ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö Ò Ú Ú Ö Ð ÖÒ x Ó y Ö Ú ÒÒ Ö Ö ÙÐØ Ö Ò Ú Ø ÓÒ ÖÒ Ö º { 4x + 3y = 8 Ø ÓÒ Ö ÒÙ 6x + y = ( 3). 8x + 6y = 6 + 8x 6y = 36 0x = 0 Ò Ø Ö Ø Ò Ú Ø ÓÒ Ò Ö ÒÙ Ð Ò Ò Ò x = Ó ØØ Ö Ñ Ò Ò ØØ Ò ÓÒ Ú ÙÖ ÔÖÙÒ Ð ØÚ Ú Ø ÓÒ ÖÒ Øº ܺ 8 + 6y = 6 Ú Ð Ø Ö y = 0º Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ø Ö ÐÐØ Ð Ò Ò ÑÒ Ò L = {(x, y) = (, 0)}º ¾º ÁÒ ØØÒ Ò Ñ ØÓ Ò

à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê Ü ÑÔ Ð º º¾º Ä Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ø { x 5y = 3x y = 5 Á ÒÒ Ñ ØÓ ÙØ Ö Ñ Ò ÖÒ Ò Ú Ð Ö µ Ú Ú Ø ÓÒ ÖÒ Ö ØØ Ð ØØ ÙØØÖÝ Ö Ò Ò Ú Ó Ò Ú Ö Ð ÖÒ x Ó y ÓÑ Ö¹ Ø Ö ØØ Ò Ò Ò Ö Ú Ø ÓÒ Òº Ø ÖÙ Ö Ú Ö Ñ Ø ÔÖ Ø Ø ØØ ÙØÒÝØØ Ò Ú Ø ÓÒ ÓÑ Ö Ò Ñ Ò Ø Ó ÒØ Ò Ö Ò Ú Ú Ö Ð ÖÒ ÓÑ ÐÐ Ð Ñ Ò Ö º Á ØØ ÐÐ Ö Ò Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ò 3x y = 5 ØØ ÙØØÖÝ Ö Ú Ö ÐÒ y ÒÐ Ø y = 3x + 5º ØØ Ò ØØ Ò Ò Ö Ø Ú Ø ÓÒ Ò x 5(3x + 5) = x 5x 5 = 3x = 3, ÓÑ Ö Ð Ò Ò Ò x = º ËØØ ØØ Ò ÚÖØ ÙØØÖÝ Ö Ò Ò Ö Ú Ö ÐÒ y y = 3 ( ) + 5 = º Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ø Ö ÐÐØ Ð Ò Ò ÑÒ Ò L = {(x, y) = (, )}º Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ò Ö Ó ÒØ Ó Ö Ú Ø ÓÒ Ö Ò ØÚº ¾ ËÝ ¹ Ø Ñ Ø Ñ ØÓ Ö Ö Ö Ø Ð Ò Ò Ú Ð Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÔÑ ÒÒ Ö ÓÑ Ò ÓÚ Ò Ò Ð Ø ÓÒ Ñ ØÓ Òº º Ú Ø ÓÒ Ö Ú Ö Ö ØØ Ð Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ ÒÒ Ö ØØ Ñ Ò Ö Ö ØØ ÖÒ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò µ Ø ÐÐ ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ö Ø Ð Ø ÖÖ Ò ØÚº ËÐ Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ò Ó Ò Ú Ö ÐÒ x ÓÖÑ Ò p(x) = a n x n + a n x n + a n x n + + a x + a x + a 0 = 0, ¾ Ä Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ö ÓÑÑ Ö ÑÒ Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ö Ò Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ¹ Ø Ø Ò Ý Ó ÔÖÓ Ø Ò º ÒØ Ð Ø Ú Ø ÓÒ Ö Ò Øº ܺ Ú Ö Ò Ò Ú ØÖ Ñ¹ Ò Ò ÐØ Ò Ù ØÖ ÐÐ ÒÐ Ò Ò Ö Ú Ö Ñ Ð ÓÒ Öº ØØ Ö Ð ØØ Ø ÐÐ ØØ Ù Ø Ð ÓÖ ØÑ Ö Ö Ø Ú Ð Ò Ò Ú Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ö Ò ½ ¼¹Ø Ð Ø Ú Ö Ø ØØ Ø ÚØ ÓÖ Ò Ò Óѹ Ö ÒÓÑ ÒÙÑ Ö Ñ Ø Ñ Ø º Ø ÒÒ Ú Ò º º Ø Ö Ø Ú Ñ ØÓ Ö ÓÑ ÒÒ Ö ØØ Ñ Ò Ð Ö Ý Ø Ñ Ø ÒÓÑ ØØ Ö Ø Ö Ò ÙØ Ò Ò Ò ÓÑ Ò Ø Ú Ö ØØÖ Ø ÐÐ Ñ Ò ÓÑÑ Ö Ø ÐÖ Ð Ø ÒÖ Ð Ò Ò Ò

º º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Î À Ê Ê Ö a 0 a a... a n a n Ó a n 0 Ö ÓÒ Ø ÒØ Ö Ó n 3º Ú Ø ÓÒ Ò ÓÚ Ò Ö n Ö ØØ Ö x 0 x... x n Ñ Ò Ú Ö ÒØ Ú Ö Ö ÐÐ ÙØ Ò Ò Ð ÐÐ Ö ÐÐ Ú Ö ØØ ÖÒ Ò Ú Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Øº ܺ ÐÐ Ø p(x) = x + = 0µº ÚÖÖ ÒÒ Ø Ò Ò Ý Ø Ñ Ø Ñ ØÓ ØØ ØÑÑ ÐÐ Ö ØØ Ö ÐÐ n 5 Ö Ñ Ò Ó Ø Ø Ò Ñ ÒÙÑ Ö Ö Ò Ò ÓÐ ÓÖÑ Ö Ú ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö Ö Ô ØÓÖ Ö Ò Ò Öµº Ø Ö Ó ÒØ Ú Ð Ò Ö Ö ØØ ÖÒ ÓÑÑ Ö ØØ Ð ÒÓÑ ÖÓ Ò Ô Ó ÒØ ÖÒ ÚÖ Ò Ó ØØ Ò ÙØÒÝØØ Ö ØØ ÙØÚÖ Ö Ö ÙÐØ Ø Ò ÖÒ ÒÙÑ Ö Ö Ò Ò ÖÒ º Ñ Ò Ý Ø Ñ Ø Ñ ØÓ ÖÒ Ö ÐÐ Ò n = 3 4 ÐÐ Ö ÙØ Ò Ö ÒÒ ÙÖ Ø Ö ØÖ ÖÑ Ø ÓÐ Ô Ð ÐÐ ÓÑ Ò ÙØÒÝØØ Ö ØØ ØÑÑ Ö ØØ ÖÒ º Ö Ú Ö Ð ÝØ ØÓÖ Ö Ò Ñ ÐÔ Ú ÖÙÔÔ Ö Ò ÑØ ØÓÖ Ö Ò Ñ ÐÔ Ú ÔÖ ÚÒ Ò Ó ÐÐÙ ØÖ Ö Ñ Ü ÑÔÐ Ò Ò Òº Ü ÑÔ Ð º º½º Î Ö Ð ÝØ x 4 3x 4 = 0. Ö Ò Ð Ø ÙÐÐ ÖÚ Ö Ú ØØ Ð Ò Ò ÖÒ ÐÐ Ú Ö Ö ÐÐ º Ú Ø ÓÒ Ò Ò ÒØ Ö ÒÓÑ ØØ Ñ Ò Ô Ö ÓÑ Ú Ö ÐÒ Ñ Ò Ö ØØ Ñ Ò Ö ØØ Ú Ö Ð ÝØ µ ÒÐ Ø x = t Ú ÖÚ Ò ÒÝ Ú Ø ÓÒ Ò Ú Ö ØÚ Ò ÒÝ Ú Ö ÐÒ t t 3t 4 = 0, ÓÑ Ö Ö ØØ ÖÒ t = Ó t = 4 ÃÓÒØÖÓÐÐ Ö ØØ Ñ ÚÖ Ø Ö Ò Ð Ò Ú Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ö µ ÆÙ Ö Ú Ñ Ø Ò Ú Ú Ö ¹ Ð ÝØ Ø ØÚ Ú Ø ÓÒ Ö x = ÑØ x = 4º Ò Ö Ø Ú Ø ÓÒ Ò Ò Ö Ö ÐÐ Ð Ò Ò Ö Ò Ö Ó Ò x¹úö Ò Ö ØØ Öµ Ñ Ò Ò Ò Ö Ú ¹ Ø ÓÒ Ò Ö Ð Ò Ò ÖÒ x = Ó x = Ú Ð Ø Ö Ó Ö ÐÙØÖ ÙÐØ Ø Øº Ú Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ò ÑÒ Ö Ð L = {±}º Ü ÑÔ Ð º º¾º ÖÙÔÔ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Ò x 3 x x + 4 = 0. Î Ò ÖÝØ ÙØ ØÓÖÒ x ÙÖ ØÚ Ö Ø Ø ÖÑ ÖÒ Ó ØÓÖÒ ÙÖ ØÚ Ø Ø ÖÑ ÖÒ Ú Ð Ø Ñ Ð Ö ÖÙÔÔ Ö Ò Ò Ó ØÓÖ Ö Ò Ò x (x ) (x ) = 0 (x )(x ) = 0 x = 0 x = 0 x = ± x =,

à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê Ö Ø Ò Ø Ø Ø Ø ÖÒ Ø ØÓÖ Ö ÙØØÖÝ Ø Ø ÐÐ ØÚ Ú Ø ÓÒ ÖÒ ÑÓØ Ú Ö Ú ÒÓÐÐÖ ÐÒº Ê ØØ ÖÒ Ö ÐÐØ x = x = Ó x 3 = º Ú Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ò ÑÒ Ö L = {, }º Ü ÑÔ Ð º º º ÈÖ ÚÒ Ò Ó ØÓÖ Ö Ò p(x) = x 3 + x 3 = 0. Î Ö Ö ÒÒ Ò ÖÓØ Ñ ÔÖ ÚÒ Ò ÐÐ Ö Ö Ò Ò Ò µº ØØ Ò Ö Ú Øº ܺ ØØ Ñ Ò Ö Ø Ö ÙÔÔ Ö Ò y = p(x) Ó Ø ØØ Ö ÙÒ Ö Ú Ö ÒÒ Ö x¹ Ü ÐÒº Å Ò Ò Ó Ö Ø ØÐÐ ØØ ÓÑÖ Ö Ú Ö Ò ÖÓØ Ò ÒÒ Ú Ö Øº ܺ ØØ p(0) = 3 < 0 ºÚº º ØØ Ö Ò Ð Ö ÙÒ Ö x¹ Ü ÐÒ ÓÖ Óµ Ó ØØ p() = 9 > 0 Ö Ò Ð Ö Ú Ö x¹ Ü ÐÒ ÔÙÒ Ø Ò x = µº Ò Ú ÐÐØ ÚÒØ Ó ØØ Ø ÒÒ Ò ÖÓØ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø ]0, [º Ø Ö Ð Ø ÙÒ Ö Ò Ö Ú Ö Ø ØØ x = Ø Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ Ò Ú Ö ØØ Ö Ö Øغ ÒÐ Ø ÒÓÐÐÖ ÐÒ Ó ÚÖ Ø Ö Ò Ð Ò Ú ØÓÖ Ö Ò Ò Ú Ø ÓÒ Ò ÓÑ Ö Ú ÒÐ Ø p(x) = x 3 + x 3 = 0 ( ) x 3 + x 3 (x ) = 0 x ( ) x (x ) + x + x 3 (x ) = 0 x ( ) x (x ) + x(x ) + 3x 3 (x ) = 0 x ( ) x (x ) + x(x ) + 3(x ) (x ) = 0 x (x ) ( x + x + 3 ) = 0 x = 0 x + x + 3 = 0 x = x =, Ö Ø Ø Ò Ñ Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ò Ú ÒÓÐÐÖ ÐÒ Ö Ò ÐÓ Ñ Ö ¹ Ò Ü ÑÔ Ðº Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ò ÓÑ ÙÔÔ ØÖ Ö Ò Ö ÐÐ Ð Ò Ò Ö Ø Ö ÓÑ Ò Ö Ò Ø Ú Ö Ñ Ò ÒØ ÃÓÒØÖÓÐÐ Ö ØØ Ñ Ø Ú ÚÖ Ø ¹ Ö Ò Ð Ò Ú Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ö µº Ú Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ò ÑÒ Ö Ð ØÐ Ò L = {}º

º º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Î À Ê Ê Ü ÑÔ Ð º º º ÈÖ ÚÒ Ò Ó ØÓÖ Ö Ò p(x) = x 4 x 3 + 9x 3x + 3 = 0. Ø Ö Ò Ñ Ø Ú ÒÚÒ ÔÖ ÚÒ Ò º Ø Ú Ö ØØ x = Ö Ò Ð Ò Ò Ó Ò Ú Ø ÓÒ Ò Ö Ú ÓÖÑ Ò p(x) = x 4 x 3 + 9x 3x + 3 = (x )q(x) = 0, Ö q(x) = p(x) Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ö Ø Ð ØÖ Ú Ö Ö µº ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò x Ú ØÑÑ ÓÑ Ö Ò Ü ÑÔ Ð Ñ Ò Ñ Ò Ò Ó ÒÚÒ Ö Ø ØÖ ÔÔ Ø ¹ Ú ÓÒ ÐÐ Ö Ò ÓÒ ÒÒ Ò Ú ÓÒ Ñ ØÓ ÖÒ ÓÐ ÙÖ Òµ ÒÐ Ø x 3 9x + 0x 3 x x 4 x 3 + 9x 3x + 3 x 4 x 3 9x 3 + 9x 9x 3 + 9x 0x 3x 0x 0x 3x + 3 3x + 3 0 Ú ÓÒ Ò Ú ÐÐØ Ö ÙÐØ Ø Ø q(x) = x 3 9x + 0x 3 Ó ÒÓÐÐÖ ÐÒ Ö Ó Ò ÒÝ Ú Ø ÓÒ Ò q(x) = 0 ØØ Ð º ÍÔÔÖ Ô ÔÖ ÚÒ Ò Ú Ö ØØ x = Ö Ò Ð Ò Ò Ó Ø ÐÐ ÒÒ Ú Ø ÓÒ Ó Ú Ò ØÑÑ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø s(x) = q(x) Ú Ö Ø Ð ØÚº Ú Ò ÒÒ Ú ÓÒ Ò ÙØ Ö Ñ x ØÖ ÔÔ Ø Ñ ØÓ Ò ÒÐ Ø x 7x + 3 x x 3 9x + 0x 3 x 3 x 7x + 0x 7x + 7x 3x 3 3x 3 0

¼ à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê Ê ÙÐØ Ø Ø Ð Ú ÒÙ s(x) = x 7x+3 Ó Ú Ö Ð Ò ØÓÖ Ö Ú Ø ÓÒ Ò p(x) = (x )q(x) = (x )(x )s(x) = (x ) (x 7x + 3) = 0. ÆÓÐÐÖ ÐÒ Ð Ö ÒÙ Ø ÐÐ ØÚ Ú Ø ÓÒ ÖÒ (x ) = 0 Ó x 7x+3 = 0 ÓÑ Ò ÐØ Ò Ð º Ò Ö Ø Ú Ø ÓÒ Ò Ö Ù ÐÖÓØ Ò x, = ÒÒ Ö Ù Ö Ò Ð Ø ØÚ ÔÖ ÚÒ Ò ÖÒ Ú ÙØ Ö µ Ó Ò Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ö Ò Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ñ Ð Ò Ò ÖÒ x 3,4 = ( 7) ± ( 7) 4 3 = 7 ± 5 4 = 7 ± 5 4 Ú Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ò ÑÒ Ö Ð ØÐ Ò L = {,, 3} º º ÃÚ Ö ØÖ ØØ Ö Ó ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Á ØØ Ú Ò ØØ Ö Ô Ø Ö Ö Ú Ú Ø ÓÒ Ö Ó ÓÐ Ø Ö ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö Ú Ö ØÖ Ø¹ Ø Ö Ó ÓÐÙØ ÐÓÔÔº Ð Ò Ö Ð Ò Ú Ö Ø ÐÐ ÒÝØØ Ë Ø º º½º ÄØ 0 a, b R Ö ÐÐ Ø Ð ÓÑ Ö Ø ÖÖ Ò ÐÐ Ö Ð Ñ ÒÓÐеº ÐÐ Ö µ a = b a = b º µ a > b a > b º µ a b a b º Ú º µ Ø Ö ÓÑ Ô Ø Ò Ø ÒÒ ÐÐ Ö Ò Ú Ú Ð Ò Ù ÐÖ Ø Ô Ðµ ÐÐ Ñ Ò Ú Ö ØÒ Ò ÖÒ ºÚº ØØ a = b Ð Ö Ø ÐÐ ØØ a = b Ó Ú Ú Ö º ËÐ ÓÑ Ú ÒØ Ö ØØ a = b Ð Ö Ú Ö Ö Ò Ú Ð Ò Ö Ø Ø ÐÐ ØØ a = b Ó Ö Ú Ú Ø a = b a = b º Ò Ö Ò ÓÑ Ú ÒØ Ö ØØ a = b Ñ Ø Ú Ò a b = 0º ØØ Ò ØÓÖ Ö Ñ ÓÒ Ù ØÖ ÐÒ Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ò (a+b)(a b) = 0º ÒÐ Ø ÙØ Ò ÒØ Ò Ø ÓÚ Ò Ú ØØ a, b 0 Ú Ð Ø ÒØ Ò Ò ØÝ Ö ØØ a = 0 Ó b = 0 ÐÐ Ö ØØ a b = 0 Ö ØØ Ú Ø ÓÒ Ò ÐÐ Ø Ö ÙÔÔ ÝÐÐ µ Ó ØØ ÒÒ Ö Ù ØØ a = bº Î Ö ÐÐØ Ú Ø a = b a = b Ú Ð Ø Ú Ö Ú Ú Ð Ò Òº

º º ÃÎ Ê ÌÊ ÌÌ Ê Ç À ËÇÄÍÌ ÄÇÈÈ ½ ÐØ ÖÒ Ø ÚØ ÙÒ Ñ Ò Ö Ø Ö Ø Ñ Ú Ú Ð Ò Ö ÒÐ Ø a = b a b = 0 (a + b)(a b) = 0 a = 0 = b a b = 0 a = b. µ µ Î Ö Ö Ñ Ô Ø Ò Ø a > b a > b º a > b (a+b)(a b) > 0º Ò ØÖÒ ÓÐ Ø Ò ÙØ ÐÙØ Ö ÐÐ Ò a = 0 = b ÑØ a = b Ó Ñ Ø a Ó b Ú Ö ÔÓ Ø Ú Ú Ð Ø ÒÒ Ö ØØ a + b > 0 Ó Ú Ö ØØ a b > 0 a > bº µ ÇÑÚÒØ ÓÑ Ú ÒØ Ö ØØ a > b ÐÐ Ö ÒÐ Ø ÙØ Ò ÒØ Ò Ø ØØ a > b 0 Ó ÐÐ Ö a + b > 0 ÑØ a b > 0 Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ a b > 0 Ó Ò ØÙÖ Ø a > b º µ ØØ Ô Ø Ò Ò Ú Ñ Ø Ú µ ÓÚ Òº Î Ö º º½ a b a = b a > b a = b a > b a b. Ú Ð Ø ÙÐÐ Ú µ Ú Ø ÓÒ Ö Ñ Ú Ö ØÖ ØØ Ö Á Ö Ø Ø Ñ Ú Ø ÓÒ Ö ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö Ú Ö ØÖ ØØ Ö ÙØÒÝØØ Ö Ú Ø º º½ Ø Ø ÖÑ Ø Ú Ú Ö Ö Ò ÙØØÖÝ Ö ØØ Ð Ú Ñ Ú Ö ØÖ ØØ Öº Ü ÑÔ Ð º º¾º ØÖ Ø Ú Ø ÓÒ Ò x + = x x. Î Ö Ö Ñ ØØ ÙÒ Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ò Ø ÓÒ ÑÒ º ÍØØÖÝ Ø ÙÒ Ö ÖÓØ Ò Ö ÒØ Ð Ò Ø ÚØ ÐÐØ Ñ Ø x + > 0 Ú Ð Ø ÐÐ Ö x Rº ËÐ Ö D = Rº Ø Ö ÓÑ ÖÓØÙØØÖÝ Ø ÚÒ ØÖ Ð Ø ÙÔÔ ÝÐÐ Ö x + > 0 Ñ Ø Ú Ò Ö Ð Ø ÙÔÔ ÝÐÐ ÑÓØ Ú Ö Ò ÓÐ Ø Ó x > 0 x < x x 0º ØØ Ö Ò Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÓÐ Ø Ø Ò Ö ÓÖÑ Ò ÓÚ Òµ ÓÑ Ö Ò Ö Ô ÑÒ Ò R \ {0} Ó Ñ Ø Ò Ñ Ö Ñ Ò ØØ Ð Ò Ò ÑÒ Å Ò Ò Ö Ú Ò ØÒ Ò Ñ Ð Ö Ú Ö ÒØ ÒÑÐ Ò ØØ x + 0 ÓÑ ÙÒ ¹ Ö Ö Ð ÚÐ Ú Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ò Ú Ø Ò º º½ Ñ Ò ÙØ Ò ÒØ Ò Ò ÒÒ ÐÐ Ö Ú Ò Ð Ø Òº ËÐÙØÖ ÙÐØ Ø Ø Ð Ò Ò Ò Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ò Ð Ö Ò ÑÑ ØÖÓØ ØØ Ð Ò Ò ¹ ÑÒ Ò ÖÒ Ö ÒÙ Ø ÐÐ Ú Ð Ø Ö ÓÒ Ñ Ò Øº

¾ à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê Ö ], [ ]0, [º Ë ÑÑ ÐÙØ Ø ÓÑÑ Ö Ñ Ò Ø ÐÐ ÒÓÑ ØØ ØÙ Ö ÙÖ Ò Ò Ò Ö Ñ Ò Ö Ø Ö ØØ f(x) g(x) = x Ö ÔÓ Ø ÚØ ÒÒ x ÑÒ º Ë ÑÑ ÒØ Ø Ö Ú ØØ ÚÒ ØÖ Ó Ö Ð Ø Ò ÙÖ ÖÔÙÒ Ð Ú Ø ÓÒ Ò Ö ÔÓ Ø Ú Ô ÑÒ Ò ], [ ]0, [ Ó ÐÒ x ÒØ Ö ÚÖ Ò ÒÒ ÑÒ Ò Ø Ò º º½ ÙØÒÝØØ Ö ØØ Ú Ö Ö Ð Ò Ó Ð Ú Ñ Ú Ö ØÖÓØ Òº ÇÑ Ö ÚÒ Ò Ú Ö Ð Ø ÑØ Ú Ö Ö Ò Ñ Ú Ö Ý Ò Ò Ö x + = ( x ) x x 4 + x = ( x ) x + 4x = x = ± 4 = ±. Ú ØÚ Ð Ò Ò Ö Ö Ø Ò Ø Ò ÔÓ Ø Ú ÓÑ ÐÐ Ö ÒÓÑ Ð Ò Ò ¹ ÑÒ Ò ÓÚ Ò Ú Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ò Ö x = Ú Ð Ø Ò Ú Ö Ö ÒÓÑ Ò ØØÒ Ò Ò ÙÖ ÔÖÙÒ Ð Ú Ø ÓÒ Òº Ä Ò Ò Ò Ö Ò Ò¹ Ð Ò Ò º Ë Ò ÖÙ Ö ÙÔÔØÖ Ö x¹úö Ò ÓÑ ÒØ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö Ø Ò º º½ ÙØ Ò ÒØ Ò Ò ÒÑÐ Ò Ø ØØ a, b 0µº º º¾ ÇÐ Ø Ö Ñ Ú Ö ØÖ ØØ Ö ÇÐ Ø Ö ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö Ú Ö ØÖ ØØ Ö ÒØ Ö ÔÖ Ò Ô Ô ÑÑ ØØ ÓÑ Ú Ø ÓÒ Ö Ñ Ò Ñ Ò Ñ Ø Ú Ö ÒÓ Ö ÒÒ Ñ Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò Ö Ò Ò ÙØØÖÝ Ò Ó ÐÐ Ö Ô Ö ØÒ Ò Ò Ó ÓÐ Ø Ø Ò Øº Á ÐÐ Ø ÖÑ ÖÒ ÓÐ Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ú Ö µ Ñ ØØ Ò Ø ÚØ Ø Ð ÝØ Ö ÓÐ ¹ Ø Ø Ò Ø Ö ØÒ Ò º ØØ Ö ÐÔÑ Ð Ö Ö Ò Ú ÚÒ ØÖ Ó Ö Ð Ø ÓÐ Ø Ò ÓÑ ÐÐÙ ØÖ Ö Ö Ú Ö ÓÐ Ø Ò ÐÐ Öº Ü ÑÔ Ð º º º Î ØÖ Ø Ö ÓÐ Ø Ò x + x < 0. Ö Ö Ñ ØØ ÒÓØ Ö ØØ Ú Ö ØÖÓØ Ò Ö Ò Ö Ò Ø x + 0 Ñ Ò Ø ÖÑ Ò x Ö Ò Ö Ö ÐÐ Ö ÐÐ Ø Ðº ÇÐ Ø Ò Ò ÒÙ ÓÑ Ö Ú ÓÖÑ Ò x + < x,

º º ÃÎ Ê ÌÊ ÌÌ Ê Ç À ËÇÄÍÌ ÄÇÈÈ 4 f(x) = x g(x) = x y 0 4 4 0 4 x ÙÖ º ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ f(x) = Ó g(x) = x Ö Ð Ø Ú Ú Ø ÓÒ Ò x ÓÚ Òº Ö Ú Ö ØÖÓØ Ò ÙÔÔ ÝÐÐ Ö x + 0 Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò D = [, [º ÓÐ Ø Ò ÐÐ Ö Ñ Ö ØØ ØØ 0 x + < x Ú Ð Ø Ö x > 0º ÃÚ Ö Ö Ñ Ò ÓÐ Ø Ò x + < x x x > 0. Ö Ò Ú x x Ö Ò Ô Ö Ð ÓÑ ÔÔÒ Ö ÙÔÔØ Ó Ö x¹ Ü ÐÒ Ö ØØ ÖÒ Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ò x x = 0 ÓÑ Ö Ñ ÖÓØ ÓÖÑ ÐÒ ÐÐ Ö Ö Ø ÚÐ Ò Ò Ú Ó ÒØ ÖÒ µ Ó º ËÐ Ø Ö ÓÐ Ø Ò x x > 0 Ú ], [ ], [ Ò Ð Ø ÒÓÑ ØØ Ö Ø Ø Ò ¹ Ñ µº Ó ÒÓØ Ö Ú ÓÚ Ò ØØ Ò ÙÖ ÔÖÙÒ Ð ÓÐ Ø Ò ÖÚ Ö ØØ ÙÒ Ú ÒÐ Ò Ò Ö Ú Ú Ö Ö Ò Òµ ØØ x > 0 Ú Ð Ø Ö ÐÙØÖ ÙÐØ Ø Ø Ö Ð Ò Ò ÑÒ Ò L =], [º Ü ÑÔ Ð º º º ËØÙ Ö ÓÐ Ø Ò 3 x x. ÃÚ Ö ØÖÓØ Ò Ö Ò Ö 3 x 0 x 3 x 3º ÆÙ Ö Ú Ö ØÖÓØ Ò ÚÒ ØÖ Ð Ø Îĵ ÐÐØ ¹Ò Ø Ú Ñ Ò Ø Ö ÓÑ ÒÒ

à ÈÁÌ Ä º ÃÎ ÌÁÇÆ Ê Ç À ÇÄÁÃÀ Ì Ê ÐÐØ ÐÐ Ú Ö Ø ÖÖ Ò ÐÐ Ö Ð Ñ x ÒÒ Ö ØØ Ò Ø ÐÐ Ö Ú Ô Ð Ò Ò ÑÒ Ò ºÚº º D =], 3]º ÍØØÖÝ Ø x Ö Ð Ø Àĵ Ò ÑÝ Ø ÚÐ Ú Ö Ò Ø ÚØ ÙØ Ò ØØ ØØ Ö ÒÐ Ò Ò Öº Ó Ñ Ø Ñ Ò Ø ØØ Ú Ú Ö Ö Ò ÓÑ ØØ Ø º º½ ÐÐ Ö Ò Ø Ö ÔÓ Ø Ú Ø Ðº ØØ ØÝ Ö ØØ ØÙ Ø ÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÚØ ÀÄ Ñ Ø ÙÒ Ö ÐÐغ Ö ÐÐØ x < 0 x < x > 3 x > 3 = 3 x > Ó ÓÐ Ø Ò ÙÔÔ ÝÐÐ ÐÐØ º ÃÚ Ö Ö Ò Ý Ò Ò Ó Ð Ò Ò ÑÑ ØÝÔ Ú Ô Ö Ð ÓÑ Ö Ò Ü ÑÔ Ðµ Ö ÒÙ 3 x (x ) 3 x x x + 0 x x x. Å Ø Ò Ú Ò Ø ÓÒ ÑÒ Ò D =], 3] Ó Ö ÓÒ Ñ Ò Ø Ö Ò Ø ÚØ ÀÄ ÓÚ Ò ÐÙØÖ ÙÐØ Ø Ø L =], ] [, ] =], ]º Ê Ø Ö Ñ Ò ÙÔÔ ÎÄ Ó ÀÄ ÙÖ Ò Ò Ò ØØ Ö ÙÐØ Ø Ø Ö ÓÖÖ Øº 4 f(x) = 3 x g(x) = x y 0 4 4 0 4 x ÙÖ º ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ f(x) = 3 x Ó g(x) = x ÚÒ ØÖ Ö Ô Ø Ú Ö Ð Ø Ú ÓÐ Ø Ò ÓÚ Òº

º º ÃÎ Ê ÌÊ ÌÌ Ê Ç À ËÇÄÍÌ ÄÇÈÈ º º ÓÐÙØ ÐÓÔÔ ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ø Ú ØØ Ø Ð Ò ØÓÐ ÓÑ Ú ØÒ ÖÒ ÓÖ Ó Ô Ø ÐÐ Ò¹ Òº Ú ØÒ Ö Ù ÐÐØ ÔÓ Ø Ú ØØ ÐÐ Ö Ú Ò Ö ÓÐÙØ ÐÓÔÔº Ú Ö Ô Ø Ö Ö Ð Ò Ò Ø ÓÒ º º½º ÄØ x Rº Ö ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ø Ú x { x, ÓÑ x 0 x = x, ÓÑ x < 0 ËÐ ÐÐ Ö Ü ÑÔÐ Ú ØØ ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ø Ú 3 Ö 3 Ø Ö ÓÑ 3 0 Ñ Ò ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ø Ú Ö ( ) = Ø Ö ÓÑ < 0º Î ÒØ ¹ Ö Ò Ú ÙØØÖÝ ÒÒ ÐÐ Ò ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ú ÖÙØÓÑ Ò Ø ÓÒ Ò Ú Ò Ð Ò Ö Ð Ö ÓÑ Ò Ú ÙØ Ò ÖÒ Ò Ø ÓÒ Òº Ê Ð º º º Ö a, b R ÐÐ Ö ½º ab = a b ¾º a = a b b º a = a Ü ÑÔ Ð º º º ØÑÑ Ö Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú f(x) f(x) = 3x º Î Ö Ö Ñ ØØ Ö Ò Ð ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ø ÙØ Ò ÖÒ Ò Ø ÓÒ Ò { 3x, ÓÑ 3x 0 f(x) = 3x = (3x ), ÓÑ 3x < 0 { 3x, ÓÑ 3x = 3x +, ÓÑ 3x < { 3x, ÓÑ x 4 = 3x +, ÓÑ x < 4 Ü ÑÔ Ð º º º ØÑÑ Ö Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú x º Î Ö Ö Ñ ØØ Ö Ò Ð ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ø Ø Ú ÙØ Ò ÖÒ Ò Ø ÓÒ Ò ÓÚ Òº Ñ Ò Ö Ò ØÐ ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ò Ñ Ò Ø ÖØ Ñ Ø ÒÒ Ö Ø ÓÐÙØ ÐÓÔÔ Ø ØØ ÐÐ x ÓÑ Ù ÒÐ Ø Ò Ø ÓÒ Ò ÒØ Ö ÓÐ ÚÖ Ò Ö x 0 Ö Ô Ø Ú x < 0º Î Ö ÙÔÔ ÐÒ Ò Ò

2025 © DocPlayer.se Sekretesspolicy | Användarvillkor | Kontakta oss