Tentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M004M Tentamensdatum 200-03-24 Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00-4.00 Lärare: Thomas Strömberg Jourhavande lärare: Thomas Strömberg Tel: 0920-49944 Resultatet meddelas via studentportalen senast: 5 arbetsdagar efter tentamensdagen Tillåtna hjälpmedel: BETA, miniräknare, bifogad formelsamling. Formelsamlingen skall efter tentamens slut lämnas tillbaka till tentamensvakten. Till alla uppgifterna ska fullständiga lösningar lämnas. Resonemang, ekvationslösningar och uträkningar får inte vara så knapphändigt presenterade att de blir svåra att följa. Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som ges. Även endast delvis lösta problem kan ge poäng. Enbart svar ger 0 poäng. Betygsgränser: 3 4 8 4 9 24 5 25 30 Institutionen för matematik
Formler för cosinus- och sinusutveckling: f(x) = α k cos kπx resp. f(x) = β k sin kπx L L, 0 < x < L, där k=0 α 0 = L L 0 f(x) dx, α k = 2 L k= L 0 f(x) cos kπx dx (k ), L β k = 2 L L 0 f(x) sin kπx L dx.. Lös följande rand- och begynnelsevärdesproblem: (5p) u t au xx = 0, 0 < x < L, t > 0, u x (0, t) = u x (L, t) = 0, t > 0, {, 0 < x < L/2, u(x, 0) = 0, L/2 < x < L. 2. Betrakta följande inhomogena rand- och begynnelsevärdesproblem: u t u xx = sin πx, 0 < x <, t > 0, () u(0, t) =, u(, t) = 3, t > 0, (2) u(x, 0) = g(x), 0 < x <. (3) Bestäm den stationära lösningen till () (2). Använd denna till att homogenisera problemet () (3). Teckna det homogena problemet detaljerat (med partiell differerentialekvation, rand- och begynnelsevillkor) men lös det inte. (5p) 3. Låt f(x) = e x2 /2 och g(x) = cos x. Lös faltningsekvationen u f = g där den obekanta u är en tempererad distribution. Ledning: Fouriertransform. (5p)
4. En halvoändlig metallstång ligger längs positiva x-axeln (dvs 0 x < ). Stångens mantelyta och ände är isolerade. Vid tiden t = 0 är temperaturen 2 för 0 < x < men 0 för < x <. Bestäm temperaturen i stången som funktion av x och t för 0 < x < och t > 0. Fysikaliska konstanter kan sättas till. Felfunktionen erf (error function) får ingå i svaret. (6p) 5. Lös följande randvärdesproblem: u = 0, 0 < r <, 0 < θ < π/2, u(r, 0) = 0 och u(r, π/2) =, 0 < r <, u(, θ) = 0, 0 < θ < π/2, i polära koordinater r, θ. (5p) 6. Lös följande randvärdesproblem: u + u = 0, 0 < r <, 0 < θ < π/4, u(r, 0) = 0 och u(r, π/4) = 0, 0 < r <, u(, θ) =, 0 < θ < π/4, i polära koordinater r, θ. (5p)
ÄÍÆ Ë Ì ÃÆÁËà À ËÃÇÄ Å Ì Å ÌÁà ¾¼¼ ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò ÃÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ý Ø Ñº ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò ÙØ Ö Ö ØØ Ø Ö Ñ ÒÒ Øº Ø Ò Ò Ö Ö Ð Ö ÐÙÒ º ÐÐ Ö Ò ÖÙØ ØØÒ Ò Ö Ö ÓÖÑÐ ÖÒ ÐØ Øµº Ý Ð ÑÓ ÐÐ Ö ÃÓÒØ ÒÙ Ø Ø Ú Ø ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÎÖÑ Ð Ò Ò j = D u q t + j = k u t D u = k u ( ÐÐÑÒÒ Ö (D u) = k). t j = λ u, dq = ρ c du Ð ØÖÓ Ø Ø ÔÓØ ÒØ Ð u t a u = a λ k Ö a = λ ρc ( ÐÐÑÒÒ Ö ρc u t ËÚÒ Ò ØÖÒ Ó Ñ Ñ Ö Ò 2 u t 2 c2 u = f ρ ÄÓÒ ØÙ Ò ÐÐ ÚÒ Ò Ò Ö u = ρ ǫǫ 0 (λ u) = k). Ö c 2 = S ρ ( ÐÐÑÒÒ Ö ρ 2 u (S u) = f). t2 2 u t u 2 c2 2 x = f 2 Ö c 2 = α, S = α u ρ l ρ l x ËÚÒ Ò Ò Ö Ö Ð Ù µ u = p p 0 p 0 (ØÖÝ Ø ÖÒ Ò ) 2 u t 2 c2 u = 0 Ö c 2 = γp 0 ρ 0
¾ Ö ÚÒ Ò Ò Ö Ö Ð Ù µ ÐÐ Ö Ø Ö Ð Ò Ö Ö Ò ØØ p ṽ + v 0 γ t x = 0 Ö p = p p 0 p 0 Ó ṽ = v v 0 º Î ØÓÖ Ò ÐÝ Ù ÓÖÑ Ð ËØÓ ÓÖÑ Ð Ö Ò ÓÖÑ Ð Á Ö Ò ÓÖÑ Ð ÁÁ Ω S v 0 ṽ t u dv = Ω u ds = Ω + p 0 ρ 0 p x = 0 p = γ ρ u ds S u v dv = Ω u dr Ω (u v v u) dv = Ä ÔÐ ÓÔ Ö ØÓÖÒ ÝÐ Ò Ö ÓÓÖ Ò Ø Ö = r Ä ÔÐ ÓÔ Ö ØÓÖÒ Ö ÓÓÖ Ò Ø Ö = r Λ = u v n ds u v dv Ω Ω ( u v n v u ) ds n r r r + r 2 2 θ 2 + 2 z 2 = = 2 r + 2 r r + 2 r 2 θ + 2 2 z 2 2 r 2r + r 2Λ = r 2 r r2 r + r 2Λ = = 2 r + 2 2 r r + r 2Λ sin θ θ sin θ θ + sin 2 θ 2 φ 2 Λ = s ( s2 ) s + s 2 2 φ 2 ÓÑ s = cosθ (θ ÔÓÐ Ö Ø Ò, 0 < θ < π; φ ÐÓÒ ØÙ, 0 φ < 2π).
ÇÖØÓ ÓÒ ÐÙØÚ Ð Ò Ö (u v) w = u(x)v(x)w(x) dx ÇÑ (ϕ j ϕ k ) = 0, j k u = c k (u)ϕ k c k (u) = (ϕ k u) ρ k, ρ k = (ϕ k ϕ k ) È Ö Ú Ð (u v) = ρ k (ϕ k u)(ϕ k v) = ρ k c k (u)c k (v) ËØÙÖÑ¹Ä ÓÙÚ ÐÐ Au = ( (p u) + qu) w ËÔ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò Γ(z) = 0 B(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p + q) ÖÖÓÖ ÙÒØ ÓÒ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ö e ir sinθ = t z e t dt, Γ(z + ) = zγ(z), Γ(n + ) = n!, Γ( 2 ) = π J n (z) = 2π J ν (z) = erf(x) = 2 x e y2 dy π 0 J n (r)e inθ π π ( z 2) ν 0 π e y2 dy = 2 e i(z sinθ nθ) dθ, k=0 k! Γ(k+ν+) n ÐØ Ð Ð Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ u + ) r u + (λ ν2 u = 0 ) k ( z2, ν, 2,... 4 Ö Ò ÐÐÑÒÒ Ð Ò Ò Ò aj ν ( λr) + by ν ( λr) ÓÑ λ > 0 ar ν + br ν ÓÑ λ = 0, ν 0 a + b ln r ÓÑ λ = ν = 0. r 2
ÆÓÖÑÙØØÖÝ R 0 ( r ) J ν R α 2 R 2 νk rdr = 2 (J ν+(α νk )) 2 = R2 2 (J ν (α νk)) 2. ÆÓÐÐ ØÐÐ Ò Ø ÐÐ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ö J n (x) J n (α nk ) = 0 k\n 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2.405 3.832 5.36 6.380 7.588 8.772 9.936.086 2.225 3.354 4.476 2 5.520 7.06 8.47 9.76.065 2.339 3.589 4.82 6.038 7.24 8.433 3 8.654 0.73.620 3.05 4.373 5.700 7.004 8.288 9.554 20.807 22.047 4.792 3.324 4.796 6.223 7.66 8.980 20.32 2.642 22.945 24.234 25.509 5 4.93 6.47 7.960 9.409 20.827 22.28 23.586 24.935 26.267 27.584 28.887 6 8.07 9.66 2.7 22.583 24.09 25.430 26.820 28.9 29.546 30.885 32.22 7 2.22 22.760 24.270 25.748 27.99 28.627 30.034 3.423 32.796 34.54 35.500 8 24.352 25.904 27.420 28.908 30.37 3.82 33.233 34.637 36.026 37.400 38.762 9 27.494 29.047 30.569 32.065 33.537 34.980 36.422 37.839 39.240 40.628 42.004 0 30.635 32.90 33.76 35.29 36.699 38.60 39.603 4.03 42.444 43.844 45.232 ÆÓÐÐ ØÐÐ Ò Ø ÐÐ J n(x), x < 25 J n (α nk ) = 0 k\n 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0.000.84 3.054 4.20 5.38 6.46 7.50 8.578 9.647 0.7.77 2 3.832 5.33 6.706 8.05 9.282 0.520.735 2.932 4.6 5.287 6.448 3 7.06 8.536 9.970.346 2.682 3.987 5.262 6.529 7.774 9.005 20.223 4 0.73.706 3.70 4.586 5.964 7.33 8.637 9.942 2.229 22.50 23.76 5 3.324 4.864 6.348 7.789 9.96 20.576 2.932 23.268 24.587 6 6.47 8.06 9.53 20.972 22.40 23.803 7 9.66 2.64 22.672 24.47 8 22.760 24.3 9 25.904
Ë Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò u + 2 z u + ( λ ) l(l + ) u = 0 z 2 Ö Ò ÐÐÑÒÒ Ð Ò Ò Ò aj l ( λz) + by l ( λz) ÓÑ λ > 0 az l + bz l ÓÑ λ = 0, l 2 a + b ln z ÓÑ λ = 0, l = z 2. Ö ËÔ ÐÐØ Ö j l (z) = π π 2z J l+/2(z), y l (z) = 2z Y l+/2(z). j 0 (z) = sin z sin z z cosz, j (z) = z z 2 y 0 (z) = cos z cos z + z sin z, y (z) = z z 2 Ä Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ä Ò Ö ÔÓÐÝÒÓÑ (P l ) 0 Ö ÓÖØÓ ÓÒ Ð L 2 (I), I = (, )º Ä Ò Ö Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ ( d ( x 2 ) du ) + l(l + )u = 0, l = 0,, 2,... dx dx Ö ÐÐÑÒÒ Ð Ò Ò Ò Ö Q l Ö ÖÒ (, ) Ó ap l (x) + bq l (x) P l (x) = 2 l l! Dl (x 2 ) l Ê ÙÖ ÓÒ ÓÖÑ Ð Ö Ä Ò Ö ÔÓÐÝÒÓÑ P 0 (x) =, P (x) = x, P l+ (x) = 2l + l + xp l(x) l l + P l (x); Ó Ö Ä Ö Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ò ( d ( x 2 ) du ) m2 dx dx x2u + l(l + )u = 0 Ö ÐÐÑÒÒ Ð Ò Ò Ò ap m l (x) + bqm l (x) Ö Q m l Ö ÖÒ Ó P m l = ( x 2 ) m/2 D m P l (x)
Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÐ Ò Ò Ö Ø ÐÐ Ä ÔÐ ÓÔ Ö ØÓÖÒ K = δµ K(x) = ln x 2π i K(x) = 4π x R2 i R 3 ÈÓ ÓÒ ÖÒÓÖ P(r, θ) = r 2 2π + r 2 2r cosθ P(x, y) = π Ò Ø Ö ÐÒµ y x 2 + y 2 ÐÚÔÐ Ò Ø y > 0) Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö Ð Ø ÔÖÓ Ð Ñ x G(x; α) = δ α (x), x Ω G(x; α) = 0, ÇÑ u = f Ω u = g Ô Ω u(x) = G(x; α)f(α) dv α Ω Ω x Ω G n α (x; α)g(α) ds α ÃÓÒ Ù Ö ÔÙÒ Ø Ö Ñ Ú Ò Ô Ö ÐÒ Ö Òµ x = ρ α α = ρ 2 x α = α x α ρ x = ρ ÎÖÑ Ð Ò Ò G(x, t) = 4πat e x2 /4at G t G a 2 = 0, x R, t > 0 x2 G(x, 0) = δ(x), x R Î ÙØ Ö Ò Ò ³ Ð Ñ ÖØ u(x, t) = 2 (g(x ct) + g(x + ct)) + 2c g(x) = u(x, 0), h(x) = u t (x, 0) x+ct x ct h(y) dy Ã Ö Ø Ö Ø ÓÖ { a u xx + 2a 2 u xy + a 22 u yy + F(x, y, u, u x, u y ) = 0 a dy 2 2a 2 dxdy + a 22 dx 2 = 0
ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ö È Ö Ú Ð ÓÖÑ Ð Ff(ω) = ˆf(ω) = + (F ˆf)(t) = f(t) = 2π e iωt f(t) dt e iωt ˆf(ω) dω + f(t)g(t)dt = + 2π F ˆf(ω)ĝ(ω) dω () λf(t) + µg(t) λ ˆf(ω) + µĝ(ω) (2) f(at) a ˆf ( ω ) a (3) f(t t 0 ) e it 0ω ˆf(ω) (4) e iω 0t f(t) ˆf(ω ω0 ) (5) f (t) iω ˆf(ω) (6) tf(t) i d dω ˆf(ω) (7) f g(t) ˆf(ω)ĝ(ω) (8) δ(t) (9) 2πδ(ω) (0) e t θ(t) + iω () e t 2 + ω 2 (2) πe ω + t 2 (3) e t2 πe ω 2 /4 (4) θ(t + ) θ(t ) 2 sin ω ω (5) θ(t) θ(t) = i P ω + πδ(ω) {, t > 0 0, t < 0
Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Lf(s) = L II f(s) = e st f(t) dt, f(t) = σ+i e st F(s) ds, α < σ < β 2πi σ i Ff(ω) = L II f(iω) α < Re s < β, s = σ + iω L I f = L II (θf) L II (6) λf(t) + µg(t) λf(s) + µg(s) (7) f(at) ( s ) a F a (8) f(t t 0 ) e t 0s F(s) (9) e at f(t) F(s a) (20) f (t) sf(s) (2) tf(t) d ds F(s) (22) f g(t) F(s)G(s) (23) θ(t)f (t) s L II (θf)(s) f(0) (24) δ(t) (25) θ(t) (26) θ(t) (27) t k e at θ(t) (28) sin(bt)θ(t) (29) cos(bt)θ(t) (30) e t2 πe s 2 /4 (3) t α θ(t) (32) (33) a e a2 /4t θ(t) e a s 4π t 3/2 πt e a2 /4t θ(t) s, σ > 0 s, σ < 0 k! (s a) k+, σ > Rea b s 2 + b 2, σ > 0 s s 2 + b 2, σ > 0 Γ(α), Re α > 0, Re s > 0 sα e a s s