REGLERING AV TORSIONSPENDEL PÅ CONTAINERKRANAR

REGLERING AV TORSIONSPENDEL PÅ CONTAINERKRANAR Examensarbete utfört i Reglerteknik vid Tekniska Högskolan i Linköping av PÄR BÄCK Reg nr: LiTH-ISY-EX-3484 Linköping 2004

REGLERING AV TORSIONSPENDEL PÅ CONTAINERKRANAR Examensarbete utfört i Reglerteknik vid Tekniska Högskolan i Linköping av PÄR BÄCK Reg nr: LiTH-ISY-EX-3484 Handledare: Erik Geijer Lundin Björn Henriksson Alf Isaksson Examinator: Torkel Glad Linköping 19 mars 2004.

Avdelning, Institution Division, Department Datum Date 2004-02-27 Institutionen för systemteknik 581 83 LINKÖPING Språk Language X Svenska/Swedish Engelska/English Rapporttyp Report category Licentiatavhandling X Examensarbete C-uppsats D-uppsats Övrig rapport ISBN ISRN LITH-ISY-EX-3484-2004 Serietitel och serienummer Title of series, numbering ISSN URL för elektronisk version http://www.ep.liu.se/exjobb/isy/2004/3484/ Titel Title Författare Author REGLERING AV TORSIONSPENDEL PÅ CONTAINERKRANAR CONTROL OF TORSIONALPENDULUM ON CONTAINERCRANES PÄR BÄCK Sammanfattning Abstract A container crane of STS-type, Ship To Shore, consists of a spreader hanging underneath a railrunning trolly. As the container is under the influence of wind, it is likely that it starts to turn in a torsional pendulum. This report handles how the torsional pendulum of a container crane can be damped. A number of different models have been developed to analyze how different placement of the actuators affects the system. Two differens types of controllers, LQG and MPC, have been developed and applied to these models. The different models and controlers were evaluated and compared by studying simulation results in timedomain. Moreover in order to make the simulations more realistic, a wind model has been developed and applied. The models and controllers have been analyzed with bodediagrams and sensitivity functions. The analyses shows clearly that the best placement of the actuators for control of the torsional pendulum on an STS-crane is in the trolly, pulling and relaxing the wires. This control is best handled by a state feedback control (LQG). Furthermore, the control should in this way, with addition of in the horizontalplane movable suspensions in the trolly, work acceptably in the whole operational area of a STS-crane. Nyckelord Keyword STS-crane, skew-angle, torsional pendulum, MPC-control, LQG-control, statefeedback control, kalman estimation

Sammanfattning En containerkran av STS-typ, Ship To Shore, består av en spreader som hänger i ett flertal linor under ett rälsgående åkdon, som kallas trallhuset. När lasten påverkas av olika yttre störningar, t.ex. vind, är det vanligt att spreadern börjar vrida på sig i en torsionspendel. Denna rapport behandlar hur denna torsionspendel regleras på bästa sätt. Ett flertal olika modeller har designats för att utreda hur olika placering av ställdonen påverkar systemet. Till dessa modeller har två olika typer av regulatorer, LQG- och MPC-typ, tagits fram och applicerats i simuleringar. För att göra simuleringarna mer realistiska har en vindmodell designats och applicerats. Dessa simuleringar har använts för att studera prestanda för systemet i tidsplanet. Modellerna och regulatorerna har även analyserats med hjälp av bodediagram och känslighetsfunktioner. Analyserna visar entydigt att den bästa placeringen av ställdonen för att reglera torsionspendeln på en STS-kran är i trallhuset så att linorna kan förlängas och förkortas. Denna reglering sköts bäst med en tillståndsåterkoppling (LQG) som regulator. Regleringen bör på detta sätt, med tillägg bestående av i horisontalled rörliga upphängningspunkter i trallhuset, fungera tillfredställande inom hela arbetsområdet för en STS-kran. Nyckelord STS-kran, skew-vinkel, torsionspendel, MPC-reglering, LQG-reglering, tillståndsåterkoppling, kalmanfilter i

Abstract A container crane of STS-type, Ship To Shore, consists of a spreader hanging underneath a railrunning trolly. As the container is under the influence of wind, it is likely that it starts to turn in a torsional pendulum. This report handles how the torsional pendulum of a container crane can be damped. A number of different models have been developed to analyze how different placement of the actuators affects the system. Two differens types of controllers, LQG and MPC, have been developed and applied to these models. The different models and controlers were evaluated and compared by studying simulation results in timedomain. Moreover in order to make the simulations more realistic, a wind model has been developed and applied. The models and controllers have been analyzed with bodediagrams and sensitivity functions. The analyses shows clearly that the best placement of the actuators for control of the torsional pendulum on an STS-crane is in the trolly, pulling and relaxing the wires. This control is best handled by a state feedback control (LQG). Furthermore, the control should in this way, with addition of in the horizontalplane movable suspensions in the trolly, work acceptably in the whole operational area of a STScrane. Keywords STS-crane, skew-angle, torsional pendulum, MPC-control, LQG-control, statefeedback control, kalman estimation iii

Förord Jag vill först tacka Björn Henriksson för uppslaget på arbetet och all den kunskap om kranar som du delat med dig av under arbetets gång. Jag vill tacka Erik Geijer Lundin för stor hjälp under hela arbetets gång och speciellt alla synpunkter på rapporten. Tack också till Alf Isaksson för många nyttiga synpunkter speciellt på den reglertekniska delen av arbetet. Jag vill även tacka Karolina för stöd och uppmuntran under arbetets gång. Linköping Februari 2004 Pär Bäck v

vi

Innehåll 1 Inledning 3 1.1 Bakgrund................................. 3 1.2 STS-kran................................. 3 1.2.1 Motortrallhus eller lintrallhus.................. 4 1.3 Mätning och reglering av STS-kran................... 4 1.3.1 Mätning.............................. 4 1.3.2 Hoist-reglering.......................... 5 1.3.3 Sway-reglering.......................... 5 1.3.4 Skew-reglering.......................... 5 1.3.5 Reglering av trim- och listvinkel................ 5 2 Problemformulering 7 2.1 Möjliga typer av skew-reglering..................... 7 2.2 Tillvägagångssätt och målsättning................... 8 2.3 Specifikationer.............................. 8 2.3.1 Krav................................ 8 2.3.2 Förutsättningar.......................... 8 3 Modeller 11 3.1 Motormodell............................... 11 3.2 Modell 1.................................. 12 3.2.1 Tillståndsbeskrivning för modell 1............... 13 3.3 Modell 2.................................. 13 3.3.1 Ställdon-vinkelförändring.................... 14 3.3.2 Tillståndsbeskrivning för modell 2............... 16 3.3.3 Simuleringar........................... 16 3.4 Modell 3, förfinad modell........................ 17 3.4.1 Modell 3a: förfinad modell.................... 17 3.4.2 Tillståndsbeskrivning för modell 3a............... 19 3.4.3 Modell 3b: förfinad modell.................... 19 3.4.4 Tillståndsbeskrivning för modell 3b............... 19 3.4.5 Simuleringar........................... 19 3.5 Diskussion om modellerna........................ 19 vii

viii Innehåll 3.5.1 Noggrannhet hos modellerna.................. 19 3.5.2 Ställdon.............................. 20 3.5.3 Motortrallhus eller lintrallhus.................. 20 3.6 Störningar................................. 20 3.6.1 Vindstörning........................... 21 3.6.2 Framkoppling av vindstörning.................. 21 3.6.3 Modell av vindstörning..................... 21 3.6.4 Modell av laststörning...................... 21 4 Regulatorer 23 4.1 LQG-reglering............................... 23 4.1.1 Referensföljning.......................... 23 4.1.2 Designparametrarna hos LQG-regulatorerna.......... 24 4.1.3 LQG-regulator som överföringsfunktion............ 24 4.2 MPC-reglering.............................. 24 4.2.1 Val av prestandamått...................... 25 4.2.2 Algoritm............................. 25 4.2.3 Reglering av torsionspendel................... 25 4.2.4 Designparametrar........................ 26 4.2.5 Övrigt om MPC......................... 27 4.3 Filtrering av referenssignalen...................... 27 4.4 Tillståndsrekonstruktion......................... 27 4.4.1 Kalmanfilter........................... 28 4.4.2 Implementering.......................... 29 5 Resultat 31 5.1 Resonemang med utgångspunkt från modellerna........... 31 5.1.1 Testfall långa linor........................ 32 5.2 Simuleringsresultat............................ 32 5.2.1 Störning p.g.a. vind vid långa linor............... 32 5.2.2 Snett lastad container...................... 34 5.2.3 Steg på referensen........................ 34 5.2.4 Steg och vind........................... 36 5.3 Krav.................................... 36 5.4 Bodediagram............................... 36 5.5 Känslighetsfunktioner.......................... 38 5.5.1 Tolkning av känslighetsfunktionerna.............. 39 5.5.2 Tolkning av de komplementära känslighetsfunktionerna... 39 6 Diskussion och slutsats 43 6.1 Placering av ställdonen.......................... 43 6.2 Regulator................................. 44 6.3 Slutsats.................................. 44 6.4 Förslag på fortsatt arbete........................ 44

Innehåll ix A Förklaring till uppbyggnaden av modell 3 47 A.1 Modell 3a: förfinad modell........................ 47 A.2 Modell 3b: förfinad modell........................ 50 B Teori för MPC-reglering 53 B.1 MPC-reglering.............................. 53 B.1.1 Målfunktionen.......................... 53 B.1.2 På QP-form............................ 53 B.1.3 Straff av utsignal istället för tillstånd.............. 55 B.1.4 Straff av ändring i styrsignal.................. 56 B.1.5 Olika prediktionshorisont.................... 56 B.1.6 Bivillkoren............................ 57 Figurer 1.1 Skiss av de viktiga delarna på hos en STS-kran............ 4 3.1 De för modell 1 intressanta delarna av en STS-kran.......... 12 3.2 Visar hur modell 2 är uppbyggd..................... 14 3.3 Beskriver vinklarna u och θ....................... 15 3.4 Spreadern sedd uppifrån......................... 16 3.5 Visar hur modell 3 är uppbyggd..................... 18 3.6 Additiv störning som modellerar en snett lastad container....... 22 5.1 Hur modell 1 reagerar på en vindstörning utan reglering........ 33 5.2 Hur modell 1 reagerar på en vindstörning med reglering....... 33 5.3 Hur modell 1 reagerar på en snett lastad container utan reglering.. 34 5.4 Hur modell 1 reagerar på en snett lastad container med reglering... 35 5.5 Ett stegsvar av modell 1 med MPC- respektive LQG-regulator.... 35 5.6 Vindstört stegsvar av modell 1 och 2.................. 36 5.7 Bodediagram för modell 1......................... 37 5.8 Bodediagram för modell 2......................... 37 5.9 Bodediagram för modell 3a........................ 38 5.10 Bodediagram för modell 3b........................ 38 5.11 Blockdiagram som visar känslighetsfunktionens in- och utsignaler.. 39 5.12 Bodediagram av känlighetsfunktionen för modell 1 med LQG-reglering. 40 5.13 Komplementära känlighetsfunktionen för modell 1 med LQG-reglering. 41 A.1 Modell 3:s uppbyggnad.......................... 48 Tabeller 4.1 Designparametrarna för LQG-regleringen............... 24 4.2 Designparametrarna för MPC-regleringen............... 27

x Innehåll 4.3 Designparametrarna för Kalmanfiltret.................. 29

Notation Förkortningar STS-kran RMG-kran LQG MPC Ship To Shore, en stor containerkran som flyttar containrar mellan båt och land i en hamn. Rail Mounted Gantry, en kran som flyttar containrar inom en containergård i t.ex. en hamn. Linear Quadratic Gaussian Control, en optimal linjär tillståndsåterkoppling som förutsätter gaussiskt brus. Modell Predictive Control, en optimal predikterande tillståndsåterkoppling. Termer Trallhus Spreader Skew-vinkel Trim-vinkel List-vinkel Det rälsgående åkdon som lasten hänger under och som flyttar sig mellan båten och kajen. Den del av kranen som hänger i linorna under trallhuset och som griper tag i lasten. Vridningen av spreadern runt lodlinjen. Lutningen på spreadern i förhållande tilll horisontallinjen i trallans färdriktning. Lutningen på spreadern i förhållande tilll horisontallinjen i vinkelrät riktning till trallans färdriktning. Variabler som ofta används i rapporten 1

2 Innehåll v insignal till motormodellen u utsignal från motormodellen och insignal till pendelmodellerna α vinkeln mellan lodlinjen och linorna θ skew-vinkeln, vridningen av spreadern i horisontalplanet k m parameter i motormodellen ω parameter i pendelmodellen K k parameter i pendelmodell 1 ω u parameter i modell 2 och 3, parametern anger hur mycket linsystemet vrids för en given lägesförändring hos styrdonen b parameter hos modell 1 som anger skillnaden mellan linornas avstånd på spreadern respektive i trallhuset K kalmanförstärkningen hos observatören L återkopplingsmatrisen hos LQG-regulatorn

Kapitel 1 Inledning 1.1 Bakgrund För att styra lasten på en containerkran används idag flera olika typer av reglering. Bland annat används en positionsreglering för att reglera den pendling som uppstår hos lasten när kranen accelererar samt en skew-reglering som används för att reglera den torsionspendel som uppstår. Syftet med positionsregleringen är att automatiskt flytta lasten pendlingsfritt till önskad position utan restpendling vid slutpositionen. Skew-regleringens syfte är att hålla torsionsvinkeln konstant under det att kranföraren eller automatikprocessen plockar upp eller sätter ner en container. Den skew-reglering som används idag har framgångsrikt implementerats på RMG-kranar (Rail Mounted Gantry). En RMG-kran är en relativt låg kran med linlängder upp till 25 m. Problemet är att den regulator som används på dessa RMG-kranar tappar prestanda vid långa linor, d.v.s. nuvarande regulator går endast att implementera på kranar med relativt korta linlängder. Ett stort kommersiellt intresse finns därför för en skew-regulator som går att applicera på kranar med långa linor. Med långa linor avses kranar med linlängder mellan 25 och upp till 60 meter. Krantypen där den nya regulatorn ska implementeras är i första hand på så kallade STS-kranar (Ship to Shore). 1.2 STS-kran STS står för Ship to Shore, det är en mycket stor kran som lyfter containrar mellan båt och kaj i en hamn. Denna kran rullar på en räls som ligger utmed kajen. På kranen sitter det ett trallhus som spreadern, den del av kranen som fästs i containern, hänger under. Detta trallhus kan sedan flyttas från att vara över vatten/båt till att vara över land. Figur 1.1 visar de för rapporten viktiga delarna av en STS-kran. 3

4 Inledning Figur 1.1. Skiss av de viktiga delarna på en STS-kran. Figuren föreställer en kran med motortrallhus. 1.2.1 Motortrallhus eller lintrallhus Kranen kan se ut på ganska olika sätt, det kan t.ex. ha ett så kallat motortrallhus. Detta betyder att det sitter motorer i trallhuset som reglerar hur högt lasten/spreadern hänger under trallhuset. Den kan även ha ett så kallat lintrallhus. Detta betyder att det inte finns några motorer i trallhuset utan att alla motorer sitter i änden av kranen. Dit går då även alla linor. 1.3 Mätning och reglering av STS-kran Nedan återfinns några av de olika typer av reglering som finns på en STS-kran. 1.3.1 Mätning För att alla dessa typer av reglering ska vara möjlig så krävs det att spreaderns position och vinkel mäts. Mätningen kan t.ex. göras med en robust infraröd sändare

1.3 Mätning och reglering av STS-kran 5 som sitter på spreadern. Sändaren observeras av en CCD-sensor som med digital signalprocessor ger spreaderns läge och skew-vinkel. 1.3.2 Hoist-reglering Den typ av reglering som styr hur linorna rullas ut och in för att höja och sänka lasten eller den tomma spreadern kallas hoist-reglering. Om det är en kran med motortrallhus sker höjningen av spreadern genom att linorna lindas upp i trallhuset. Om det däremot är en kran med lintrallhus så lindas linorna upp i änden av kranen. 1.3.3 Sway-reglering Den typ av reglering som ser till att ingen restpendling uppstår när kranen flyttar sig från en plats till en annan kallas sway-reglering. Detta görs genom att reglera accelerationen hos kranen på ett sätt sådant att pendlingen startas kontrollerat och sedan kontrollerat tas upp i returpendlingen varpå pendlingen försvinner. Här är det alltså trallhuset som flyttas. Denna reglering kräver att pendeln uppför sig ungefär som en naturlig pendel för att systemet ska fungera bra. 1.3.4 Skew-reglering När kranen utsätts för yttre förutsättningar som t.ex. vind så kan spreadern vrida sig i horisontalplanet. Den vinkel som då uppstår kallas skew-vinkel. Eftersom störningen normalt inte är konstant så svänger spreadern tillbaka och då uppstår en torsionspendel. Denna skew-vinkel regleras med skew-regleringen. Reglering handlar huvudsakligen om att reglera bort svängningar som uppstår p.g.a. att en container är snett lastad eller p.g.a. vindstörningar. Det kan även vara aktuellt att kunna vrida lasten en aning då fordon ibland kan stå något snett när de ska lastas. 1.3.5 Reglering av trim- och listvinkel Det kan ibland vara relevant att kunna reglera trim- och listvinkel som är lutningen på spreadern i förhållande till horisontallinjen i trallans färdriktning respektive vinkelrätt mot trallhusts färdriktning. Detta eftersom fartyg och andra fordon inte alltid står helt rakt. Ett fartyg kan t.ex. ha olika vinkel beroende på hur det är lastat. Dessa vinklar kan delvis regleras med hjälp av de ställdon som finns för skewregleringen beroende på var ställdonen placeras.

6 Inledning

Kapitel 2 Problemformulering På STS-kranar där lasten hänger i linor långt under själva kranen är det vanligt att en torsionspendling uppstår p.g.a. olika störningar. Dessa störningar är ofta tidsödande att vänta ut och bör därför regleras bort. Detta har gjorts på lägre kranar, så kallade RMG-kranar, med lyckat resultat men det finns idag ingen metod för att göra detta på STS-kranar. Det är även önskvärt att regleringen klarar av att vrida spreadern några grader för att underlätta lastning och avlastning. Spreadern är den del av kranen som hänger i linorna och som griper tag i lasten. Anledningen till att det vore bra att kunna vrida lasten är att de fordon som fraktar bort containrarna ibland kan parkera något snett. Det vore önskvärt att slippa flytta på dessa och därmed ytterligare öka effektiviteten. 2.1 Möjliga typer av skew-reglering Det finns ett flertal olika företag som har olika typer av skew-reglering för lite lägre kranar. Någon litteratur har inte hittats om så stora kranar som det här handlar om. Hur skew-regleringen sker lite mer exakt är svårt att veta eftersom de företag som har skew-reglering inte gärna vill berätta hur de gör, åtminstone inte vilken typ av regulator som används. Det finns några tänkbara varianter på reglering. Nedan följer tre olika typer av reglering. Scenario 1. Det finns den typ som idag används på lägre kranar, där regleringen sker genom förlängning och förkortning av linorna i trallhuset. Scenario 2. En andra typ som används är att flytta på upphängningspunkterna i trallhuset. Denna verkar i något fall användas i verkligheten men även här på lägre kranar. 7

8 Problemformulering Scenario 3. Den tredje, och som det verkar, oanvända varianten är där linornas fästen, linskivorna, flyttas på spreadern, den del av kranen som hänger under trallhuset och fäster i lasten. En nackdel med detta är att det ofta inte är samma företag som tillverkar spreadern som resten av kranen. Alla dessa olika sätt att reglera skew-vinkeln ska analyseras. 2.2 Tillvägagångssätt och målsättning Målet med detta arbete är att komma fram till vilken typ av reglering och vilken typ av regulator som är lämpligast att att reglera en STS-kran med. Vilket scenario som är bäst är en sammanvägning av vilket som ger bäst egenskaper och dessutom hur enkelt det är att implementera. För att visa detta görs en teoretisk utredning där det går att se vilken typ av reglering som ger bäst resultat. Det görs även simuleringar som visar de olika regulatorernas/modellernas för- och nackdelar. 2.3 Specifikationer För att kunna göra simuleringar under realistiska förhållanden krävs att dessa förhållanden är kända. Här nedan listas de förhållanden som har förutsatts och vilka krav som finns på regleringen. 2.3.1 Krav Kraven på en tillfredställande reglering är: Överslängen vid ett steg i börvärde får vara maximalt 5%, vid ett steg om maximalt ca 3 grader. Containern ska sättas ner inom ±0.2 grader, och därför hållas inom detta område så mycket som möjligt. Vid referensändring ska referensen nås inom ca 5 sekunder. (Med nås menas att den är inom ±0.2 grader.) En störning orsakad av snett lastad container ska regleras ner inom ±0.2 grader på en rimlig tid, ca 5 sekunder. 2.3.2 Förutsättningar De givna förutsättningarna för systemet är: Referensen till skew-regulatorn är i 95% av fallen lika med noll. En vindstörning kan göra att containern sticker iväg upp till 5 grader.

2.3 Specifikationer 9 Vindstörningen har normalt ett frekvensinnehåll som ger återkommande toppar med ca 1 minut och ca 4 dygns mellanrum. En snett lastad container kan ge upp till 10 grader oreglerad störning. Linlängden kan vara mellan 3 och 60 meter. Spreader och last kan tillsammans väga mellan 10 och 50 ton.

10 Problemformulering

Kapitel 3 Modeller För att kunna bedömma vilken typ av reglering som är den bästa har tre olika modeller byggts. Dessa modeller används för att teoretiskt analysera och göra simuleringar för att analysera för- och nackdelar med de tre olika scenarierna. Det är helt olika sätt att fysiskt reglera skew-vinkeln hos spreadern på en STS-kran. De tre modeller som använts vid simuleringarna är: Modell 1 Modellen utgår från scenario 1 där linorna förlängs och förkortas parvis. Modell 2 En modell som bygger på reglering genom att flytta linornas upphängningspunkter i trallhuset eller linskivorna på spreadern, alltså scenario 2 och 3 i samma modell. Modell 3 Ytterligare en modell som bygger på reglering genom att flytta linornas upphängningspunkter i trallhuset eller linskivorna på spreadern, scenario 2 och 3. Modell 3 skiljer sig från modell 2 genom att den även modellerar linornas tyngd. Alla dessa modeller består av två delar, en motormodell som sedan påverkar en pendelmodell. För att reglera systemet byggs en tillståndsmodell av dessa delar. Skew-vinkeln för torsionspendlen hos kranen går att mäta med rimlig noggrannhet. Även ställdonens position förutsätts kunna mätas. 3.1 Motormodell Motormodellen är enkel och utgår helt enkelt från en andra ordningens modell. Överföringsfunktionen för motorn är U(s) V (s) = M(s) = k m s 2 + k m s, (3.1) 11

12 Modeller där k m är en motorparameter, u är positionen på skew-motorerna och v är styrsignalen från regulatorn till motorn. Det finns även relevanta begränsningar på motorn och den skew-skruv som den är ansluten till. Begränsningarna kan skrivas på formen u u max, u u max och ü ü max. (3.2) Denna motormodell används i alla de tre modellerna men med olika begränsningar. Figur 3.1. Sett från sidan, de för modell 1 intressanta delarna av en STS-kran. Variabeln α är vinkeln mellan lodlinjen och linorna. 3.2 Modell 1 Den pendelmodell som används för att beskriva scenario 1 utgår från en enkel torsionspendelmodell, med vinkeln mellan linorna och lodlinjen, α, som variabel α(s) U(s) = P 1(s) = K k s 2 + ω 2 1 (3.3) konstanterna K k och ω 1 är specifika för varje pendelprocess eller kran som det här handlar om. Se även figur 3.1 som visualiserar vinkeln α [4]. Eftersom det är skew-vinkeln, θ spreaderns vinkel i horisontalplanet relativt viloläget, som vi egentligen vill reglera så har ett samband mellan α och θ tagits

3.3 Modell 2 13 fram. Detta uttryck ser ut enligt lα = rθ, (3.4) där l är avståndet mellan spreadern och trallhuset och r är avståndet mellan spreaderns centrum och linskivornas fästpunkter. Detta uttryck utnyttjas vid jämförelser med de andra modellerna och för omräkning av referenssignalen. 3.2.1 Tillståndsbeskrivning för modell 1 Motormodell och pendelmodell ger tillsammans tillståndsmodellen ẋ 1 u 0 1 0 0 0 ẋ 2 ẋ 3 = ü α = 0 k m 0 0 0 0 0 1 x(t) + k m 0 v(t) (3.5a) ẋ 4 }{{} α } K k 0 ω1 2 {{ 0 } } 0 {{ } ẋ A 1 B 1 y(t) = ( 0 0 1 0 ) }{{} C 1 x(t) (3.5b) 3.3 Modell 2 Vid lite närmare analys har det visat sig att scenario 2, där linornas upphängningspunkter i trallhuset flyttas, och scenario 3, där linskivorna på spreadern flyttas är mycket lika. Om inte linornas tyngd eller spänningen i linorna modelleras så blir det modellmässigt ingen skillnad. Det har därför gjorts en gemensam modell för dessa två scenarion. Figur 3.2 beskriver de intressanta delarna av systemet. Antag till en början att spreadern hänger i endast två linor. Linorna förutsätts vara masslösa. Om vinkeln mellan linornas plan och spreaderns absoluta vinkel kallas u, vinkelförändringen som åstadkoms m.h.a. motorerna, och spreaderns absoluta vinkel, skew-vinkeln, kallas θ, se figur 3.3, kan pendelprocessen modelleras med θ = ω 2 2sin(u θ) γω 2 θ (3.6) där ω 2 = a r g l. (3.7) Parametern g är här tyngdaccelerationen, l är linornas längd, r är spreaderns tröghetsradie och a är halva avståndet mellan linorna. Parametern γ kallas vanligtvis den dämpande faktorn, denna har satts till 0 vilket gör systemet något svårare att reglera. Anledningen till att detta gjorts är dels att det inte finns någon uppskattning på hur stor γ är och dels att det i modell 1 inte finns någon dämpning. Hur en rotationskran modelleras beskrivs i [8]. Denna modell generaliseras sedan till att gälla för det system som finns på en STS kran, d.v.s. samma modell gäller även om det är 8 linor som hänger mellan

14 Modeller Figur 3.2. De delar av en kran som är intrasanta för modell 2. Parametern m är massan hos spreadern och lasten, α är vinkeln mellan linorna och lodlinjen. Variabeln θ är den absoluta skew-vinkeln för spreaderns och lastens massa. trallhuset och spreadern. Enda egentliga skillnaden blir att a då är något som kan liknas vid medelavståndet mellan linorna och den axel som allt snurrar runt. För att kunna jämföra de olika typerna av reglering har a bestämts så att ω 2 i denna modell är det samma som ω 1 i modell 1. Detta eftersom frekvensen som det verkliga oreglerade systemet svänger med naturligtvis inte beror på vilken typ av modell som används, utan bara på hur den verkliga kranen är byggd. För att göra det möjligt att bygga LQG- och MPC-regulatorer till modellen har den linjäriserats. Väljs origo som arbetspunkt fås θ = ω 2 2(u θ) (3.8) θ = ω 2 2θ + ω 2 2u (3.9) 3.3.1 Ställdon-vinkelförändring Scenariona 2 och 3 bygger på att linorna vrids antingen i trallhuset eller på spreadern. Detta ska göras med ställdon som är raka och inte svängda. Detta avsnitt härleder vilken vinkelförändring som uppnås med dessa.

3.3 Modell 2 15 u θ θ u Figur 3.3. Beskriver vinklarna u och θ. Ställdonen rör sig vinkelrätt mot spreaderns långdsida enligt figur 3.4. Ställdonen kan flytta linskivan från C till C. Resultatet av detta blir att spreadern vrider sig vinkeln θ. Detta eftersom om spreadern är symmetriskt lastad så bevaras masscentrum och spreadern vill höja sig så lite som möjligt uppåt. Det medför att punkten D, som ligger på den cirkel som är ritad runt masscentrum och som går genom C, ska vara så nära C som möjligt. För att beräkna vilken vinkel, θ, som ett utslag u på ställdonen ger upphov till så approximeras cirkelbågen från C till D med ena sidan i triangeln med hörnen C, C och D. Denna lilla triangel har då samma proportioner som den stora triangeln med kateterna a och b. Resonemanget ger upphov till θ a 2 + b 2 = CD θ = a a2 +b 2 = CD u CD a2 +b 2 CD = ua a2 +b 2 } θ = a a 2 u. (3.10) + b2 Approximationen som gjorts gör att uttrycket stämmer mycket bra vid små u men inte bra vid stora u. Det är lämpligt att definiera ω 2u enligt ω 2u = a a 2 + b 2. (3.11) Det är denna faktor, ω 2u, som beskriver hur mycket ett utslag på ställdonen i scenario 2 och 3 påverkar modellen.

16 Modeller Figur 3.4. Spreadern sedd uppifrån. Skissen förklarar hur linornas fästpunkter flyttas vinkelrätt mot spreaderns långsida. 3.3.2 Tillståndsbeskrivning för modell 2 För de simuleringar som gjorts med pendelmodell 2 som grund, och samma motormodell som i modell 1, har en tillståndsmodell konstruerats. Denna är ẋ 1 ẋ 2 ẋ 3 ẋ 4 }{{} x = u ü θ θ = 0 1 0 0 0 k m 0 0 0 0 0 1 ω 2u ω2 2 0 ω2 2 0 } {{ } A 2 0 x(t) + k m 0 0 } {{ } B 2 v(t) (3.12a) y(t) = ( 0 0 1 0 ) }{{} x(t) (3.12b) C 2 där k m är motorparametern på samma sätt som i modell 1. 3.3.3 Simuleringar I de modellbaserade regulatorerna används tillståndsmodellen (3.12) för att bygga regulatornerna. Simuleringsmodellen i sig utgår däremot från den olinjära ekvationen (3.6).

3.4 Modell 3, förfinad modell 17 3.4 Modell 3, förfinad modell Eftersom det fanns oklarheter om massan i linorna skulle påverka regleringen i modell 2 så har en tredje modell byggts. Linornas tyngd modelleras här som en massa vid halva linlängden enligt figur 3.5. Sedan modelleras hela systemet som en stor torsionsdubbelpendel. Här görs först modellen för scenario 2 där linornas upphängningspunkter i trallhuset flyttas. Det går sedan att enkelt göra om denna modell så att den istället beskriver scenario 3, där linskivorna flyttas på spreadern. Modellen görs med variablerna α 1 och α 2, för att sedan kunna reglera systemet skrivs ekvationerna om så att variablerna θ 1 och θ 2 och deras derivator används som tillståndsvariabler, se figur 3.5. Hur en dubbelpendel modelleras beskrivs i [9], hur en enkel torsionspendel modelleras beskrivs i [1] och hur det går att styra en torsionspendel genom att vrida på lasten beskrivs i [8]. 3.4.1 Modell 3a: förfinad modell Modell 3a, som beskriver scenario 2, bygger i grunden på de uttryck för läge och hastighet som ställs upp här nedan. Figur 3.5 förklarar delvis var dessa uttryck kommer från och vad parametrarna står för [9]. Variablerna h 1 och h 2 är avståndet mellan trallhuset och massorna m 1 respektive m 2, v 1 och v 2 är dessa massors hastigheter. h 1 = l 1 cos α 1 h 2 = l 1 cos α 1 l 2 cos α 2 v 1 = (l 2 1 α 2 1 + 2r 1 l 1 u α 1 cos α 1 + r 2 1 u 2 ) 1 2 (3.13a) (3.13b) (3.13c) v 2 = (l 2 1 α 2 1 + r 2 1 u 2 + l 2 2 α 2 2 + 2r 1 l 1 u α 1 cos α 1 + 2l 1 l 2 α 1 α 2 cos(α 1 α 2 ) + 2r 1 l 2 u α 2 cos α 2 ) 1 2 (3.13d) Parametern r 1 är avståndet mellan centrum av pendeln och pendelns linor i den övre torsionspendeln. Parametrarna l 1 och l 2 är linlängden i den övre respektive undre pendeln. De är naturligtvis lika stora i detta fall eftersom m 1 är placerad efter halva linlängden. Den potentiella energin för systemet är V = m 1 gh 1 + m 2 gh 2 = (m 1 + m 2 )gl 1 cos α 1 m 2 gl 2 cos α 2. (3.14) Den kinetiska energin för systemet är T = 1 2 m 1v 2 1 + 1 2 m 2v 2 2 = 1 2 m 1(l 2 1 α 2 1 + 2r 1 l 1 u α 1 cos α 1 + r 2 1 u 2 ) + 1 2 am 2((l 2 1 α 2 1 + r 2 1 u 2 + l 2 2 α 2 2 + 2r 1 l 1 u α 1 cos α 1 + 2l 1 l 2 α 1 α 2 cos(α 1 α 2 ) + 2r 1 l 2 u α 2 cos α 2 ). (3.15)

18 Modeller Figur 3.5. De delar av en kran som är intressanta för modell 3. Parametern m 1 är massan hos linorna samlad på mitten av linorna, m 2 är massan hos spreadern och lasten. Variablerna α 1 och α 2 är vinklarna mellan linorna och lodlinjen. Variabeln θ 1 är den absoluta skew-vinkeln för linorna, och θ 2 är skew-vinkeln för spreadern, m 2. Parametern a är i (3.15) en parameter som beskriver relationen mellan tröghetsradien för lasten och avståndet mellan linorna. Parametern ω 2u beskriver vilken vinkel ett utslag på ställdonen orsakar enligt avsnitt 3.3.1. Tillståndet u är den vridning av linornas upphängningspunkter i trallhuset som åstadkoms med hjälp av motorerna. Lagrangeformalism ger nu tillståndsekvationerna, se Bilaga A och [3]. Parametrarna ω 3a beror av kranens dimensioner och definieras i Bilaga A.

3.5 Diskussion om modellerna 19 3.4.2 Tillståndsbeskrivning för modell 3a ẋ 1 ẋ2 ẋ 3 ẋ 4 ẋ5 ẋ 6 } {{ } ẋ = u ü θ 1 θ 1 θ 2 θ 2 = 0 1 0 0 0 0 0 k m 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ω 2uω 2 3a11 0 ω 2 3a11 0 ω 2 3a12 0 0 0 0 0 0 1 ω 2uω 2 3a21 0 ω 2 3a21 0 ω 2 3a22 0 } {{ } A 3a y(t) = ( 0 0 1 0 1 0 ) x(t) }{{} C 3a 0 k m 0 x(t) + v(t) 0 0 0 } {{ } B 3a (3.16a) (3.16b) 3.4.3 Modell 3b: förfinad modell Skillnaden mellan scenario 2 och 3 i modell 3, är att i scenario 2 påverkar ställdonen den övre torsionspendeln, medan de i scenario 3 påverkar den undre torsionspendeln. För att ändra modellen så att den beskriver scenario 3 så flyttas påverkan i modellen från den övre torsionspendeln till den undre. 3.4.4 Tillståndsbeskrivning för modell 3b ẋ 1 ẋ2 ẋ 3 ẋ 4 ẋ5 ẋ 6 } {{ } ẋ = u ü θ 1 θ 1 θ 2 θ 2 = 0 1 0 0 0 0 0 k m 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ω 2uω 2 3b12 0 ω 2 3b11 0 ω 2 3b12 0 0 0 0 0 0 1 ω 2uω 2 3b22 0 ω 2 3b21 0 ω 2 3b22 0 } {{ } A 3b y(t) = ( 0 0 1 0 1 0 ) x(t) }{{} C 3b 0 k m 0 x(t) + v(t) 0 0 0 } {{ } B 3b (3.17a) (3.17b) 3.4.5 Simuleringar Vid de simuleringar som gjorts för modell 3 har tillståndsmodellerna enligt avsnitt 3.4.2 och 3.4.4 använts för att göra LQG- och MPC-regulatorerna. Den har även använts som simuleringsmodell, då kompletterad med de olinjäriteter som finns i motormodellen. 3.5 Diskussion om modellerna Här följer funderingar och konstateranden om de olika modellernas för- och nackdelar. 3.5.1 Noggrannhet hos modellerna Modellerna tar hänsyn till lite olika saker. Modell 1 tar hänsyn till elasticiteten i linorna, vilket inte görs i modell 2 och 3. Det gör däremot inte att de modellerna

20 Modeller är sämre. Modell 1 bygger på att mer kraft läggs på två av linparen medan mindre kraft läggs på två av dem. Detta resulterar oundvikligt i att de linpar som får mer kraft förlängs medan de linpar som får mindre kraft blir kortare. Det är därför viktigt att elasticiteten i linorna finns med i modell 1. Det är däremot inte viktigt att ta med det i modell 2 och 3 eftersom i dessa modeller inte bygger på att något linpar får mer kraft än de andra. Modell 3 tar hänsyn till linornas tyngd, vilken kan vara betydande vid stora linlängder. Modell 2 gör inte det och är därmed mindre noggrann. Det säger däremot inte något jämfört med model 1 som inte bygger på att linorna flyttas på alls samma sätt som i modell 2 och 3. När vi drar i linorna som i modell 1 uppstår inte samma typ av skew-svängningar som det gör i modell 2 och 3 där linorna flyttas åt sidorna. 3.5.2 Ställdon Olika ställdon har inte utvärderats i detta arbete. En motormodell har använts i alla modellerna (se avsnitt 3.1). Det har förutsatts att det används elektriska ställdon i alla modellerna. Det är därmed inte sagt att någon annan typ inte skulle kunna fungera istället, det är mycket möjligt att det t.ex. skulle fungera bra med hydraliska ställdon, men detta är inte utrett. 3.5.3 Motortrallhus eller lintrallhus Detta arbete behandlar huvudsakligen en STS-kran med motortrallhus. För modell 2 och 3 har det inte någon större betydelse om det istället skulle vara en kran med lintrallhus. Det kan möjligen vara något svårare att hitta lämpliga mekaniska lösningar. För modell 1 har detta stor betydelse, eftersom modell 1 bygger på att det blir en ökad kraft i två av linparen medan det blir en minskad i två av dem. Om linorna är längre så ger detta systemet en större fjäderverkan i linorna och effekten av en förlängning eller förkortning av linorna blir då mindre. Detta ger en märkbar effekt och det behövs då betydligt större ställdon för att klara av en rimlig skew-reglering när kranen har lintrallhus. 3.6 Störningar Det som har störst betydelse hos regulatorerna är hur de klarar av att hantera olika störningar, främst vind, och att containrar är osymmetriskt lastade. Det förefaller mest realistiskt att påföra störningen till accelerationstillståndet i pendelmodellen. Detta eftersom vinden påverkar containern med en kraft som överförs till en acceleration. Liknande resonemang gäller med en snett lastad container.

3.6 Störningar 21 3.6.1 Vindstörning Variationen i vindhastighet på bara en punkt är ett mycket komplext fenomen som utreds utförligt i litteraturen. Bruset har ofta ett energispektrum med två dominerande toppar, en med en period om ca 4 dagar och en med en period på ca en minut [5]. För att simulera denna störning har vitt bandbegränsat brus körts genom ett filter. Detta ger ett spektrum med en topp runt ca 1 min. Den topp som finns med en period av 4 dagar får modelleras genom att storleken på störningen ändras mellan simuleringarna och antas konstant under simuleringen. Intensiteten väljs så att störningen blir maximalt 5 grader vilket är den storlek på störningen som regleringen ska klara av enligt kapitel 2.3.2. 3.6.2 Framkoppling av vindstörning Det har visat sig efter litteraturstudier att det normalt inte är möjligt att göra någon form av framkoppling för att få bort vindstörningar, [5]. Detta eftersom det ofta är olika vindintensitet vid olika punkter och det är svårt att mäta på det ställe som påverkar torsionspendeln på kranen. Det bildas även ofta omfattande turbulens runt den typ av byggnader som en kran är. Turbulens är ett mycket komplext fenomen som inte lätt går att modellera på ett tillfredställande sätt. 3.6.3 Modell av vindstörning Den vindmodell som används vid simuleringarna bygger på att vitt brus skickas in i ett filter av andra ordningen. Störningens spektraltäthet ser ut enligt Φ(s) = K v 1 + Ts 2 (3.18) där K v och T är konstanter som beror på hur miljön är där just den här kranen står. Parametern T har vid simuleringarna uppskattats grovt till 100. Vilket ger en amplitudtopp inom rätt område. Att just detta filter används, bland många andra möjliga vindfilter, beror till stor del på att det är ett rationellt filter, vilket många av de filter som används för att efterlikna vind inte är. Det ger även en rörelse hos pendeln som verkar rimlig. Vindstörningen skalas sedan ner till lämplig storlek för att ge svängningar som i amplitud liknar de som uppstår för den verkliga kranen. Detta torde ge en bra bild av hur systemet skulle reagera på vind i verkligheten. 3.6.4 Modell av laststörning En tänkbar mycket stor bidragare till att torsionspendel och skew-vinkel uppstår är att en container är snett lastad. Då trallhuset, spreadern och containern sedan accelerar, t.ex. från en båt till land uppstår en torsionspendel. Det samma sker sedan när den stannar igen för att ställa ner containern på t.ex. någon form av fordon. Denna torsionspendling kan vara mycket tidsödande att vänta ut och bör alltså regleras ut.

22 Modeller För att efterlikna störningen av en snett lastad container så har en deterministisk signal använts. Denna består av två pulser som ligger ganska nära varandra åt ena hållet och sedan efter en liten stund två pulser åt andra hållet. Detta för att efterlikna hur systemet regleras i verkligheten. Figur 3.6 visar hur störningen som additivt påförs skew-vinkelns acceleration ser ut. Störningen skalas så att skewvinkeln blir maximalt ca 10 grader utan reglering. Detta är kravet på regleringen enligt avsnitt 2.3.2. 1 Störning 0 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 t(s) Figur 3.6. Additiv störning som modellerar en snett lastad container.

Kapitel 4 Regulatorer I detta arbete har två olika typer av regulatorer designats. Dels regulatorer av LQG-typ (Linear Quadratic Gaussian Control) som behandlas i avsnitt 4.1. Och dels MPC-typ (Modell Predictive Control) som behandlas i avsnitt 4.2. Båda dessa typer av regulatorer kräver tillgång till alla tillstånden och eftersom alla tillstånd inte mäts så måste dessa skattas. Skattning av tillstånd behandlas i avsnitt 4.4. För att dämpa höga frekvenser på referensen har dessa regulatorer även kompletterats med ett lågpassfilter på referenssignalen, detta behandlas i avsnitt 4.3. 4.1 LQG-reglering En LQ-regulator är en optimal tillståndsåterkoppling och om bruset förutsätts var vitt gaussiskt blir det en LQG (Linear Quadratic Gaussian) regulator. Tillståndsåterkopplingen fungerar så att v(t) = Lx(t) (4.1) där v är insignalen till motordelen och L är den vektor som minimerar kriteriet J(Q 1,Q 2 ) = ((z T (t)q 1 z(t)) + v T (t)q 2 v(t))dt. (4.2) Vektorn z är vår reglerstorhet. Vi önskar beskriva z som en linjärkombination av systemets tillstånd enligt z(t) = Mx(t) (4.3) där M är en konstant matris med samma antal element som x [6]. 4.1.1 Referensföljning Eftersom vi vill följa ett referensvärde på skew-vinkeln lägger vi till referensen som ett extra sista tillstånd, x 5 i modell 1 och 2 eller x 7 i modell 3. Vektorn M väljs 23

24 Regulatorer sedan så att skillnaden mellan skew-vinkeln och dess referens minimeras. Enligt för modell 1 och 2 respektive M = ( 0 0 1 0 1 ) (4.4a) M = ( 0 0 1 0 1 0 1 ) (4.4b) för modell 3. I modell 1 är det vinkeln mellan linorna och lodlinjen, α, och dess derivata som används som tillståndsvariabler. För att göra det möjligt att följa referensen på skew-vinkeln räknas referensen om till en referens på α enligt rθ = lα. (4.5) Här är l linlängden och r avståndet mellan linorna och spreaderns mitt. 4.1.2 Designparametrarna hos LQG-regulatorerna De designparametrar som måste bestämmas för regulatorn är Q 1 och Q 2. Dessa är här skalärer. Efter ett antal testsimuleringar har konstaterats att Q 1 ska vara betydligt större än Q 2. Detta medför att reglerfelet straffas betydligt kraftigare än styrsignalen. Här kan noteras att det endast är kvoten mellan Q 1 och Q 2 som påverkar regulatorn. Under de simuleringar som genomförts har de designparametrar som listas i tabell 4.1 använts. Modell 1 Modell 2 Modell 3 Q 1 5 10 6 500 100 Q 2 1 1 1 Tabell 4.1. Designparametrarna som används vid simuleringarna med LQG-regulator. 4.1.3 LQG-regulator som överföringsfunktion En LQG-regulator är en linjär tillståndsåterkoppling i det utförande som den är implementerad här. Det går därför att skriva om kalmanfiltret och LQG-regulatorn som en överföringsfunktion mellan varje utsignal från systemet till styrsignalen. Studeras överföringsfunktionen ses att dessa regulatorer relativt enkelt skulle gå att implementera som just överföringsfunktioner istället. Ett förväntat problem är hur dessa överföringsfunktioner ska räknas om beroende på linlängd och andra parametrar som ändras i modellen. 4.2 MPC-reglering En regulator byggd enligt teori för Modell Predictive Control i fortsättningen förkortat MPC är en regulator som explicit tar hänsyn till fysikaliska begränsningar

4.2 MPC-reglering 25 som t.ex. en begränsning av utsignalen. Regulatorn predikterar vad som ska hända ett visst antal sampel framåt och försöker i varje tidpunkt förutspå hur den ska reglera fram till en tidshorisont. Det är en helt tidsdiskret reglermetod. MPCregulatorn försöker reglera så att ett prestandamått minimeras, medan den uppfyller de bivillkor som är satta på systemet, t.ex. en begränsning av styrsignalen. Hur MPC-regulatorn fungerar och hur den är framtagen beskrivs mera utförligt i Bilaga B. Regulatorn har två prediktionshorisonter, en som beskriver hur långt framåt som den beräknar systemet N y och en som beskriver hur långt framåt den beräknar styrsignalen N v [2]. 4.2.1 Val av prestandamått Det prestandamått som används i den slutgiltiga regulatorn är N y 1 min j=0 Nv 1 y(k + j + 1) 2 Q 1 + När ekvation (4.6) skrivs om till vektorform fås j=0 v(k + j) 2 Q 2. (4.6) min V (C(Hx(k) + SV ))T Q 1 (C(Hx(k) + SV )) + V T Q 2 V, (4.7) där C, H, S, V, Q 1, Q 2 är definerade i Bilaga B. Ekvation (4.7) skrivs sedan om till den form som ett kvadratiskt programmeringsproblem normalt anges på, vilket är min V 4.2.2 Algoritm 1 2 V T ((CS) T Q 1 CS + Q 2 )V + (S T C T Q 1 CHx(k)) T V. (4.8) Den algoritm som används i MPC-regulatorn är 1. Skatta x(k) med observatör. 2. Beräkna styrsignalsekvensen v( ) genom att lösa (4.8) under givna bivillkor. 3. Applicera första elementet v(k) i styrsignalssekvensen. 4. Öka tidsindex, k:=k+1. 5. Repetera från steg 1. 4.2.3 Reglering av torsionspendel För att kunna sätta begränsningar även på motorns läge x 2 och motorns hastighet x 1 så används i MPC-regleringen en annan C-matris än den i den ursprungliga

26 Regulatorer modellen. Detta går då även att sätta straff även på annat än skew-vinkeln, vilket har en stabiliserande effekt. Matriserna är för modell 1 och 2 C mpc = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 (4.9a) och för modell 3 C mpc3 = 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1. (4.9b) För modell 1 och 2 gör matrisen att alla tillstånden ses som utsignaler, bortsett från skew-vinkeln som subtraherad med dess referens ses som en utsignal. För modell 3 ger matrisen att alla tillstånden samt skew-vinkeln minus dess referens ses som utsignaler. 4.2.4 Designparametrar Prediktionshorisonten är en designparameter och väljs normalt så att man får med ett typiskt insvängningsförlopp. Vid de simuleringar som har genomförts har samplingstiden för MPC regulatorn satts till 0.10-0.25s och N y har tagits i ganska ordenligt till 80 medan N v har satts till mellan 5 och 12 beroende bl.a. på samplingstiden och även delvis datorn och hur lång tid simuleringen tillåts ta. Samplingstiden 0.1 och N v = 10 ger t.ex. beräkningar som en normal PC klarar av att göra något snabbare än realtid. Vid simuleringarna har Q 1 valts till en diagonalmatris. Eftersom det är endast en insignal från regulatorn till systemet så är Q 2 en skalär. Då alla tillstånd fås som utsignaler från systemet, enligt modellen för MPC-reglering, så är Q 1 en 4 4- matris, för modell 1 och 2, och en 7 7-matris för modell 3. Det är dock endast det tredje diagonalelementet som är nollskilt för modell 1 och 2 eftersom det endast är x 3, α respektive θ, som skall följa referenssignalen och därmed straffas. I modell 3 är det det sista diagonalelementet som är nollskilt för att straffa skew-vinkelavvikelse från referensen. Det har visat sig vara fördelaktigt om även det 5:e diagonalelementet är något större än noll. Läget i den undre torsionspendeln straffas då lite extra. Detta ger en dämpande effekt som förhindrar att linmassan börjar svänga p.g.a. en störning. De designparametrar som använts under simuleringarna med MPC-regulatorn listas i tabell 4.2.

4.3 Filtrering av referenssignalen 27 Modell 1 Modell 2 Modell 3 T 0.1 0.1 0.1 N y 80 80 80 N v 10 10 10 Q 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 10 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 10 4 0 0 0 0 0 0 0.... 0. 3 0 0 0 0 3 10 4 Q 2 1 1 1 Tabell 4.2. Designparametrarna som används vid simuleringarna med MPC-regulator. 4.2.5 Övrigt om MPC Det kan noteras att en MPC-regulator endast räknar på vad som händer i samlingspunkterna. Därför kan bivillkoren ibland brytas, men ej i samplingspunkterna. Detta gäller åtminstone om modellen stämmer för systemet, annars är det svårt att säga vad som händer. 4.3 Filtrering av referenssignalen Alla regulatorerna har kompletterats med lågpassfilter på referenssignalen. Detta för att få en mindre översläng vid ett steg på referenssignelen. Det gör det möjligt att göra regulatorn känsligare så att den reagerar och reglerar ut störningar fortare. Lågpassfiltret som använts är av första ordningen och har överföringsfunktionen G LP = 1 st LP + 1. (4.10) Filtret har alltså den stationära förstärkningen 1 och om T LP sätts till ca 0.9 ger det lämplig dämpning av de första sekunderna på ett steg. 4.4 Tillståndsrekonstruktion Både LQG- och MPC-regulatorn kräver tillgång till alla tillstånden i modellen. Eftersom det bara är skew-vinkeln, θ, och ställdonens position, u, som går att mäta måste de övriga tillstånden skattas med hjälp av tillståndsrekonstruktion. Systemet skrivs enligt notationen i (4.11). Störningarna w 1 och w 2 är vitt brus som påverkar modellen. ẋ = Ax + Bv + Nw 1 (4.11a) y = Cx + Dv + w 2 (4.11b)

28 Regulatorer Eftersom inte alla tillstånd mäts så måste några av dem skattas. Detta görs med hjälp av en observatör. Tillstånden uppdateras enligt ˆx(t) = Aˆx(t) + Bv(t) + K(y(t) Cˆx(t)) (4.12) Här är K en n p matris, där n är antalet styrsignaler till systemet och p är antalet tillstånd i modellen. Denna väljs så att skattningsfelet x(t) = x(t) ˆx(t) (4.13) minimeras. Enkla manipulationer av (4.12) och (4.13) ger x(t) = (A KC) x(t) + Nw 1 (t) Kw 2 (t) (4.14) Vi ser att K påverkar felet på två sätt. Dels påverkas matrisen A KC hur snabbt effekter från gamla fel klingar av. Ur denna synpunkt bör A KC ha egenvärdena långt inne i stabilitetsområdet. Dels inverkar K på felet genom att mätstörningen w 2 multipliceras med K. Ett stort K ger alltså en stor inverkan från mätfelet. I praktiken blir alltså valet av K en avvägning mellan hur snabbt man vill att tillståndsrekonstruktionen skall ske och hur stor känslighet för mätstörningar som kan tolereras [6]. 4.4.1 Kalmanfilter Som påpekades ovan är valet av K i observatören en avvägning mellan känslighet för att luras av mätstörningar och följsamhet med systemstörningarnas inverkan. Känner vi störningarnas egenskaper kan denna avvägning formaliseras. Med hjälp av ekvation (4.14) kan variansen på skattningsfelet beräknas [6]. Om [ ] w1 (4.15) w 2 är okorrelerat vitt brus med intensitet [ R1 0 0 R 2 så blir även Nv 1 Kv 2 vitt brus, men med intensiteten ] (4.16) R = NR 1 N T + KR 2 K T (4.17) Om K väljs enligt K = PC T R2 1 (4.18) där P är lösningen till riccatiekvationen AP + PA T (PC T )R 1 2 (PCT ) T + NR 1 N T = 0 (4.19) minimeras skattningsfelet enligt sats 5.4 i [6]. Det kan även noteras att det minimala skattningsfelets varians ges av E x(t) x T (t) = P. (4.20)

4.4 Tillståndsrekonstruktion 29 4.4.2 Implementering Kovariansmatrisen P och kalmanförstärkningen K kan beräknas utifrån A, N, C, R 1 och R 2 på godtyckligt sätt. De straffmatriser R 1 och R 2 som använts vid simuleringar med de olika modellerna listas i tabell 4.3. Modell 1 Modell 2 Modell 3 R 1 [ 5 10 5 ] [ 10 6 ] [ 10 5 10 9 0 10 7 0 10 7 0 R 2 0 10 2 0 10 3 0 10 2 Tabell 4.3. Designparametrarna för kalmanfiltret som används vid simuleringarna. ]

30 Regulatorer

Kapitel 5 Resultat I detta kapitel redovisas resultatet av de olika undersökningarna. Avsnitt 5.1 redovisar ett teoretiskt resonemang med utgångspunkt från modellerna. Resultatet av de simuleringar som gjorts redovisas i avsnitt 5.2. Hur de olika regulatorerna och modellerna klarar av kraven som finns på regleringen redovisas i avsnitt 5.3. Avsnitt 5.4 redovisar och kommenterar bodediagrammen för modellerna. Till slut diskuteras känslighetsfunktionerna för modellerna reglerade med LQG-regulatorer i avsnitt 5.5. 5.1 Resonemang med utgångspunkt från modellerna Modellerna som har byggts styrs på helt olika sätt och har olika tillståndsvariabler och utsignaler, α eller θ. Mellan dessa finns dock det linjära sambandet θ = l r α (5.1) där r är avståndet mellan spreaderns centrum och där linskivan är fäst, och l är linornas längd. Uttrycket gör att modellerna kan jämföras på ett enkelt sätt. Modell 1 skrivs helt enkelt om så att även den får θ som tillståndsvariabel. Det är främst modell 1 och 2 som jämförs här. Modell 3 är mera en förfining av modell 2 och faller därför under samma resonemang. Det som jämförs är den statiska förstärkningen mellan utslaget på ställdonen och vilken stationär förändring som detta ger på skew-vinkeln, θ. Modellernas topp för vinkelfrekvensen ger ungefär vilken frekvens som pendeln svänger med. Eftersom frekvensen pendeln svänger med är oberoende av var ställdonen placeras och hur modellen är uppbyggd, har modell 1 och 2 anpassats till att ge samma vinkelfrekvens som topp. Den statiska förstärkningen för pendelmodell 1 varierar för någorlunda långa 31

32 Resultat linlängder över ca 20 meter enligt σ 1 µb lm. (5.2) Variablen l är här linlängden, m är massan hos spreadern och ev. last och b är skillnaden mellan placeringen av linornas upphängningspunkter i trallhuset respektive på spreadern. Konstanten µ beror av kranens dimensioner och skiljer sig mellan olika kranar. För modell 2 beror den statiska förstärkningen inte av linlängden utan är konstant, σ 2 = ω 2u. (5.3) 5.1.1 Testfall långa linor Vid ett testfall vid 50 meters linlängd, full last (50 ton) och b satt till 0.8 fås σ 1 2.2 för modell 1 och för modell 2 σ 2 0.3. Det behövs alltså ett ca sju gånger så stort utslag på ställdonen med modell 2 som med modell 1 för att påverka skew-vinkeln lika mycket. Intressant är att möjligheten att styra systemet är oberoende av lastens storlek i modell 2 medan det i modell 1 minskar med ökande last. Likadant minskar möjligheten att styra systemet med ökande linlängd i modell 1 medan det i modell 2 inte beror av linlängden. För att kunna påverka modellen lika mycket så krävs det att linorna skulle vara 350 meter vilket är orimligt i den här tillämpningen. Modell 2 beror inte av b medan möjligheten att påverka i modell 1 ökar med ökande b. 5.2 Simuleringsresultat Som tidigare nämnts har simuleringar gjorts med de modeller som finns i kapitel 3. Simuleringarna inkluderar störningar, även dessa från kapitel 3. Vid simuleringarna har de regulatorer som redovisas i kapitel 4 använts. 5.2.1 Störning p.g.a. vind vid långa linor Vi har främst studerat hur spreadern och en eventuell container påverkas av vinden. För att simulera detta har modellerna utsatts för en störning på det sätt som diskuterades i kapitel 3.6. När modellen vid 50 meters linlängd blir utsatt för störningen utan reglering blir skew-vinkelförändringen enligt figur 5.1. När regulatorerna appliceras på modell 1 blir resultatet enligt figur 5.2. Det är en stor skillnad mot det oreglerade systemet. Skillnaden mellan om systemet regleras med LQG- eller MPC-regulator är här klart märkbar men inte enorm. MPC-regleringen klarar inte riktigt av de uppsatta kraven medan LQG-regleringen gör det på ett tillfredställande sätt. Variansen för signalerna är med MPC-reglering 0.016 och med LQG-reglering 0.004 vilket gör det mera uppenbart att LQG-regleringen klarar detta fall bäst.

5.2 Simuleringsresultat 33 6 4 2 θ (grader) 0 2 4 6 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 t(s) Figur 5.1. Hur modell 1 reagerar på en vindstörning utan reglering. 0.4 0.3 MPC-reglerad LQG-reglerad Krav 0.2 θ (grader) 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 t(s) Figur 5.2. Hur modell 1 reagerar på en vindstörning med MPC- respektive LQGregulator. En vindstörning på modell 2 applicerad på samma sätt som i modell 1 ger ett mycket sämre resultat. Spreadern vrider sig på ett oacceptabelt sätt och är inte nära att uppfylla kraven. Men regleringen fungerar, den minskar ner störningen jämfört med den oreglerade men inte alls tillräckligt mycket för att vara tillfredsställande. Ställdonen klarar helt enkelt inte av att påverka pendelmodellen i den grad som skulle behövas. Eftersom modell 3 är en förfining av modell 2 så blir resultatet här det samma.

34 Resultat Modell 3 klarar inte en vindstörning på ett tillfredsställande sätt utan svänger med marginal utanför kravet. Precis som för modell 2 minskas dock störningen från det oreglerade. 5.2.2 Snett lastad container När en container är snett lastad ger det en relativt förutsägbar störning som har gjorts försök att efterlikna på bästa sätt, se avsnitt 3.6.4. Om modellen inte regleras med någon regulator så fås en skew-vinkelförändring enligt figur 5.3 för en linlängd på 50 meter. 12 10 8 6 θ (grader) 4 2 0 2 4 6 8 0 10 20 30 40 50 60 t(s) Figur 5.3. Hur modell 1 reagerar på en snett lastad container utan reglering. När modell 1 regleras med LQG-regulatorn fås skew-vinkelförändringen enligt figur 5.4. Det sker alltså en betydande förändring jämfört med det oreglerade fallet. Både MPC- och LQG-regleringen uppfyller kraven men LQG-regleringen ger ett betydligt bättre resultat. Modell 2 och 3 klarar varken med LQG- eller MPC- reglering att reglera bort en störning som orsakas av en snett lastad container på ett rimligt sätt. Det tar alldeles för lång tid att reglera bort störningen för att det ska vara ett tillfredsställande resultat. 5.2.3 Steg på referensen Regulatorerna ska klara av steg på referenssignalen på ett rimligt sätt. Detta för att kunna vrida lasten något vid vissa tillfällen. Modell 1 klarar både med LQG- och MPC-reglering av att ge ett rimligt stegsvar. I detta fall är steget 3 grader vilket är ungefär så mycket som det är rimligt att vrida spreadern på detta sätt. Hur steget ser ut visas i figur 5.5.

5.2 Simuleringsresultat 35 4 3 MPC-reglerad LQG-reglerad Krav 2 θ (grader) 1 0 1 2 3 0 10 20 30 40 50 60 t(s) Figur 5.4. Hur modell 1 reagerar på en snett lastad container med MPC- respektive LQG-regulator. 3.5 3 2.5 2 θ (grader) 1.5 1 0.5 Referens MPC-reglerad LQG-reglerad Krav 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t(s) Figur 5.5. Ett stegsvar av modell 1 med MPC- respektive LQG-regulator. Ställdonen hos modell 2 och 3 klarar inte av att ge tillräckligt stor påverkan på modellerna innan de slår i ändlägena. Detta gör att ett steg på 3 grader, vilket var kravet, inte kan åstadkommas.

36 Resultat 3.5 3 2.5 θ (grader) 2 1.5 1 0.5 Referens Modell 1 Modell 2 Krav 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t(s) Figur 5.6. Ett stegsvar av modell 1 och 2 reglerad med LQG-regulator samtidigt som den är utstatt för vindstörning. 5.2.4 Steg och vind Det är inte realistiskt att kranen i verkligheten blir utsatt för endast en typ av påverkan i taget. Därför har modell 1 och 2 utsatts för vindstörningen och ett steg på referenssignalen samtidigt, resultatet visas i figur 5.6. För att modell 2 överhuvudtaget ska klara av att ge den skew-vinkelförändring som önskas så har ställdonens maxläge, u max, för modell 2 satts till det dubbla mot modell 1. Modell 1 klarar simuleringen på ett tillfredställande sätt medan modell 2 sticker iväg utanför de krav som finns. 5.3 Krav Efter simuleringar kan vi sluta oss till att reglering enligt scenario 2 och 3 inte skulle klara av att reglera systemet enligt kraven med någon regulator. Möjligheten att påverka skew-vinkeln med rimligt stora ställdon är helt enkelt för liten. Reglering enligt scenario 1 ser däremot ut att klara av detta. Det krävs att skillnaden mellan linornas avstånd på spreadern respektive i trallhuset är relativt stort, det är tveksamt om detta avstånd kan vara så stort som önskas hela tiden. Det är då troligt att denna reglering måste kompletteras med ytterligare en rörlig del som flyttar ut linfästena i trallhuset när spreadern är långt från trallhuset. 5.4 Bodediagram Om bodediagrammen ritas för de olika modellerna finns det stora likheter mellan modell 1 och 2, se figur 5.7 och 5.8. Det syns en viss skillnad i amplituddiagramet,

5.4 Bodediagram 37 denna skillnad beror på att modell 1 bygger på vinkeln mellan lodlinjen och linorna och modell 2 bygger på skew-vinkeln. Modell 3 skiljer sig däremot lite mer från de andra, se figur 5.9 och 5.10, denna modell har ytterligare en resonansfrekvens men annars finns stora likheter. Denna resonansfrekvens kommer av att linorna kan svänga i denna modell medan de inte finns modellerade och därför inte kan svänga i modell 2. 40 20 0 u 20 40 Magnitud (db) α 60 80 200 150 100 50 0 50 100 150 200 10 1 10 0 10 1 10 2 Frekvens (rad/s) Figur 5.7. Bodediagram för modell 1. 40 20 0 u 20 40 Magnitud (db) θ 60 80 200 150 100 50 0 50 100 150 200 10 1 10 0 10 1 10 2 Frekvens (rad/s) Figur 5.8. Bodediagram för modell 2.

38 Resultat 50 0 u 50 Magnitud (db) 100 200 100 0 θ 100 200 300 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 Frekvens (rad/s) Figur 5.9. Bodediagram för modell 3a. 50 0 u 50 Magnitud (db) 100 200 100 0 θ 100 200 300 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 Frekvens (rad/s) Figur 5.10. Bodediagram för modell 3b. 5.5 Känslighetsfunktioner Eftersom det blir så väldigt många plottar av känslighetsfunktionerna så har här valts att endast titta på känslighetsfunktionen för modell 1. Detta eftersom det är denna modell som rekommenderas i slutet och därmed är den mest relevanta. Det är endast LQG-regleringen som går att rita känslighetsfunktioner för eftersom MPC-regleringen löser ett optimeringsproblem online. För att förklara vad känslighetfunktionerna grundar sig i har figur 5.11 ritats. LQG-regulatorn har här skrivits om till överföringsfunktionerna Fy(s) och Fr(s) [6].

5.5 Känslighetsfunktioner 39 r ω v F r (s) M(s) P(s) ω 1 n 2 y 2 z 1 y 1 ω 2z2 n 1 F y (s) Figur 5.11. Blockdiagram som visar känslighetsfunktionens in- och utsignaler. 5.5.1 Tolkning av känslighetsfunktionerna Figur 5.12 visar bodeplottar av känslighetsfunktionerna vilket är överföringsfunktionerna från ω 1 och ω 2 till z 1 och z 2 enligt figur 5.11 [6]. Att överföringsfunktionerna från ω 1 till z 2 och från ω 2 till z 1 ligger lågt respektive högt i amplitud kan förklaras delvis med att storleken på de olika storheterna. Storheten z 1 som är ställdonens lägen mäts i meter och är normalt några cemtimeter. Storheten z 2 mäts däremot i radianer och är normalt några mrad. Det som är mest intressant att titta på är plotten längst ner till vänster i figur 5.12, överföringsfunktonen från utsignalen från motorn till utsignalen på pendelmodellen, ω 1 till z 2. Här ses att alla frekvenser dämpas kraftigt vilket är bra eftersom det är framför allt här som olika typer av brus som t.ex. vindstörningar kommer in och påverkar modellen. Hur de överförs till z 1 får anses vara av underordnad betydelse eftersom detta är ställdonen och de är till för att ställa ut signaler. Den dip som ses i överföringsfunktionerna från ω 2 kan förklaras med att regulatorn dämpar bort själsvängningsfrekvensen hos pendeln kraftigt, vilket är mycket bra. Störningen w 2 kan antas innehålla modellfel vilket alltid finns att ta med i beräkningen. Modellen antas här vara bra eftersom det är en naturlig pendelrörelse som modelleras och pendelns parametrar ska mätas på plats på den aktuella kranen. 5.5.2 Tolkning av de komplementära känslighetsfunktionerna Den komplementära känslighetssfunktionen är överföringsfunktionen mellan n och z i figur 5.11. Bodediagram för dessa komplementära överföringsfunktioner har ritats i figur 5.13. Störningen n anger framför allt mätstörningar. Mätningarna antas vara av god kvalitet men är gjord med digital utrustning vilket alltid resulterar i ett visst kvantiferingsfel. Komplementära känslighetsfunktionerna till z 1 har en frekvensdipp där frekvensen är pendelns egensvängningsfrekvens. Denna dämpas väl vilket är rimligt. Amplitudmässigt ligger kurvan från n 2 till z 1 betydligt högre än de andra. Detta

40 Resultat 50 ω 1 ω 2 0 z1 50 100 Magnitud (db) 150 50 0 50 100 z2 150 200 250 300 350 10 5 10 0 Frekvens (rad/s) 10 5 10 0 Figur 5.12. Bodediagram av känlighetsfunktionen för modell 1 med LQG-reglering. kan delvis förklaras på samma sätt som för känslighetsfunktionen i avsnitt 5.5.1. Storheten z 2 är en vinkel som mäts i radianer medan z 1 är ett avstånd som mäts i meter. Detta medför att vid normal rörelse hos systemet så är z 1 betydligt större än z 2. Detta förklarar även att kurvan mellan n 1 och z 2 är betydligt lägre än de andra kurvorna. För låga frekvenser vilket skulle kunna innebära t.ex. ett konstant mätfel så förstärks tyvärr felet från n 2 till z 1. Detta betyder egentligen att ställdonen används vilket är naturligt. För låga frekvenser från n 2 till z 2 ligger förstärkningen runt 0dB, även det är naturligt eftersom om mätningen av skew-vinkeln är konstant fel kan regulatorn inte veta det och heller inte reglera bort det. Detta gör kalibrering av mätutrustningen extra viktig. Från n 1 dämpas alla frekvenser väl till både z 1 och z 2. Detta är bra och gör att dålig mätningen av ställdonens position inte ställer till problem.

5.5 Känslighetsfunktioner 41 100 n 1 n 2 50 0 z1 50 100 150 Magnitud (db) 200 50 0 50 z2 100 150 200 250 10 4 10 2 10 0 10 2 Frekvens (rad/s) 10 4 10 2 10 0 10 2 Figur 5.13. Komplementära känlighetsfunktionen för modell 1 med LQG-reglering.

42 Resultat

Kapitel 6 Diskussion och slutsats 6.1 Placering av ställdonen Både simuleringarna och den teoretiska utredning som gjorts pekar mot att det bästa alternativet, för regleringen av torsionspendeln på en STS-kran är att använda sig av reglering genom att dra i linorna i trallhuset. För att ge samma vinkelförändring och för att kunna reglera bort olika typer av störningar krävs en betydligt mindre rörelse på ställdonen när de drar i linorna i trallhuset än det kvävs vid någon annan placering. Det som krävs för att regleringen ska fungera bra vid större linlängder är att avståndet mellan linornas upphängningspunkter i trallhuset är betydligt större än vad avståndet är mellan linorna på spreadern. För att nå bra reglering måste skillnaden vara uppåt en meter vid linlängder över 50 meter. Om skillnaden alltid är så stort skulle det kunna ge problem för sway-regleringen vid korta linor eftersom det då inte är säkert att det blir en tillräckligt naturlig pendel. Det finns även en risk att det skulle kunna ställa till problem vid längre linor eftersom linorna då är utanför spreadern. När spreadern ska ner mellan två höga staplar av containrar som står nära varandra kan linorna slå i containrarna. Det är alltså inte alltid möjligt för detta avstånd att vara så stort som man önskar utan regleringen bör kompletteras med ytterligare en rörlig del som gör att avståndet kan regleras. Resultaten pekar även på att reglering genom vridning av linorna, på spreadern eller i trallhuset, skulle få svårt att fungera bra. Dessa scenarier kräver inte att det är olika avstånd mellan linorna i trallhuset respektive på spreadern vilket utgör en fördel för dessa scenarier. Dessa scenariers möjlighet att påverka torsionspendeln avtar heller inte med ökad linlängd men det upphäver inte det faktum att det krävs onödigt stora ställdon för att regleringen ska fungera på ett tillfredställande sätt. Simuleringarna visar att det uppstår svängningar i linorna och att det sker i ungefär samma utsträckning om linorna vrids i trallhuset som om de vrids på spreadern. 43

44 Diskussion och slutsats 6.2 Regulator De simuleringar som genomförts pekar på att den reglering som fungerar bäst är en LQG-reglering. LQG-regulatorn är då att föredra eftersom den även är enklare att implementera än MPC-regulatorn. MPC-reglering har den fördelen att den klarar av att ge en något bättre reglering i vissa fall när begränsningarna påverkar. Eftersom MPC-regleringen kräver att ett optimeringsproblem löses online kan denna regulator inte köras med lika kort samplingstid som LQG-regulatorn. Detta gör LQG-regulatorn bättre vid snabba störningar som t.ex. vind. 6.3 Slutsats Olika placeringar av ställdon, på spreader eller i trallhuset, har studerats. Systemet har modellerats på flera olika sätt och för att göra simuleringarna realistiska har en vindmodell och en laststörning tagits fram och applicerats. Till dessa modeller har sedan byggts flera olika typer av reglering. Efter detta är övertygelsen att tillståndsåterkoppling och reglering genom dragning i linorna i trallhuset är det bästa alternativet, givet rimliga krav på ställdonen. Reglering genom vridning av linorna i trallhuset eller på spreadern är inte realistiskt. För att reglering ska fungera tillfredställande vid långa linor så måste regleringen kompletteras med i horisontalled rörliga upphängningspunkter i trallhuset. 6.4 Förslag på fortsatt arbete Om det krävs i horisontalled rörliga upphängningspunkterna i trallhuset och hur de då ska regleras, är i denna rapport inte utrett. Detta bör göras innan applicering av regleringen sker på en större STS-kran där dessa rörliga upphängningspunkter troligen behövs.

Litteraturförteckning [1] Dalhousie University Department of Mechanical Engineering. Tri suspension torsional pendulum. Internet, http://poisson.me.dal.ca/ mech4500/lab/tripendulum.pdf, november 2003. Internet. [2] T. Glad, S. Gunnarsson, L. Ljung, T. McKelvey, A. Stenman, and J. Löfberg. Digital Styrning Kurskompendium. Linus & Linnea AB, Linköping, Februari 2003. [3] Herbert Goldstein, Charles Poole, and John Safko. Classical mechanics. Addison Wesley, San Francisco, tredje upplagan, 2002. [4] Björn Henriksson. Samtal med Björn Henriksson. 2003. [5] Sven Erik Mattsson. Modelling and Control of Large Horizontal Axis Wind Power Plants. Phd thesis LUTFD2//TFRT-1026)/1-176/(1984), Department of Automatic Control, Lund Institute of Technology, Lund, Sweden, 1985. [6] T. Glad och L. Ljung. Reglerteori, Flervariabla och olinjära metoder. Studentlitteratur, Lund, Sweden, 1997. In Swedish. [7] Lenart Råde and Bertil Westergren. Mathmatics handbook for science and engineering, Beta. Studentliteratur, Lund, tredje upplagan, 1998. [8] Luleå tekniska Universitet. Reglering av rotationskran. Internet, http://wwwer.sm.luth.se/regler/coursere.nsf/0/16fdf6244f7051eec1256b5a0045b9f5 /$FILE/Praktikfall.pdf, november 2003. [9] Eric W. Weisstein. Double Pendulum, Eric Weisstein s World of Physics. http://scienceworld.wolfram.com/physics/doublependulum.html, november 2003. Internet. 45

46 Diskussion och slutsats

Bilaga A Förklaring till uppbyggnaden av modell 3 A.1 Modell 3a: förfinad modell Här följer en lite mera utförlig beskrivning av hur pendelmodellen i modell 3 är uppbyggd. Linornas tyngd modelleras som en massa vid halva linlängden enligt figur A.1. Sedan modelleras hela systemet som en stor torsionsdubbelpendel. Detta görs med variablerna α 1 och α 2, för att sedan kunna reglera systemet skrivs ekvationerna om så att variablerna θ 1 och θ 2 och deras derivator används som tillståndsvariabler [9] [1] [8]. Modellen byggs upp från de ekvationerna för massornas läge och hastighet som finns här nedan enligt ekvation (A.1) [9]. Figur A.1 förklarar en del av parametrarna som används. Variablerna h 1 och h 2 är avståndet mellan trallhuset och massorna m 1 respektive m 2, v 1 och v 2 är dessa massors hastigheter. h 1 = l 1 cos α 1 h 2 = l 1 cos α 1 l 2 cos α 2 v 1 = (l 2 1 α 2 1 + 2r 1 l 1 u α 1 cos α 1 + r 2 1 u 2 ) 1 2 (A.1a) (A.1b) (A.1c) v 2 = (l 2 1 α 2 1 + r 2 1 u 2 + l 2 2 α 2 2 + 2r 1 l 1 u α 1 cos α 1 + 2l 1 l 2 α 1 α 2 cos(α 1 α 2 ) + 2r 1 l 2 u α 2 cos α 2 ) 1 2 (A.1d) Parametrarna r 1 och r 2, som används senare, är avståndet mellan centrum av pendeln och pendelns linor i den övre respektive undre torsionspendeln. Variablerna l 1 och l 2 är linlängden i den övre respektive undre pendeln, de är naturligtvis lika stora i detta fall eftersom m 1 är placerad efter halva linlängden. Den potentiella energin för systemet är: V = m 1 gh 1 + m 2 gh 2 = (m 1 + m 2 )gl 1 cos α 1 m 2 gl 2 cos α 2 (A.2) 47

48 Förklaring till uppbyggnaden av modell 3 Figur A.1. Uppbyggnaden av modell 3. Parametern m 1 är massan hos linorna samlad på halva linlängden, m 2 är massan hos spreadern och lasten. Variablerna α 1 och α 2 är vinklarna mellan linorna och lodlinjen i den över respektive under torsionspendeln. Variabeln θ 1 är den absoluta skew-vinkeln för linornas massa, m 1, och θ 2 är skew-vinkeln för spreadern, m 2, relativt m 1. Den kinetiska energin för systemet är: T = 1 2 m 1v 2 1 + 1 2 m 2v 2 2 = 1 2 m 1(l 2 1 α 2 1 + 2r 1 l 1 u α 1 cos α 1 + r 2 1 u 2 ) + 1 2 am 2((l 2 1 α 2 1 + r 2 1 u 2 + l 2 2 α 2 2 + 2r 1 l 1 u α 1 cos α 1 + 2l 1 l 2 α 1 α 2 cos(α 1 α 2 ) + 2r 1 l 2 u α 2 cos α 2 ) (A.3) Parametern a i (A.3) beskriver relationen mellan tröghetsradien för lasten och avståndet mellan linorna. Tillståndet u är den vridning av linornas upphängningspunkter i trallhuset som åstadkoms med hjälp av motorerna. Sedan används lagrangeformalism för att få fram tillståndsekvationerna enligt nedan [3]. Lagrangianen för