Muntlig kommunikation på matematiklektioner

Transkript

1 LÄRARPROGRAMMET Muntlig kommunikation på matematiklektioner Enkätundersökning med lärare som undervisar i årskurs 7-9 Margareta Olsson Examensarbete 15hp Höstterminen 2008 Handledare: Maria Bjerneby Häll Naturvetenskapliga institutionen

2 HÖGSKOLAN I KALMAR Humanvetenskapliga institutionen Arbetets art: Titel: Författare: Handledare: Examensarbete, 15hp Lärarprogrammet Muntlig kommunikation på matematiklektioner Enkätundersökning med lärare som undervisar i årskurs 7-9 Margareta Olsson Maria Bjerneby Häll SAMMANFATTNING Syftet med denna undersökning har varit att ta reda på om och hur muntlig kommunikation förekommer under matematiklektioner i årskurs 7-9. Undersökningen riktar sig också mot vad lärarna har för inställning till, hur den muntliga kommunikationen kan vara till fördel för elevernas kunskapsutveckling och förståelse för matematik. Arbetet inleds med en litteraturstudie och efter det den empiriska undersökningen. Undersökningen genomfördes med hjälp av en enkät som 30 lärare i årskurs 7-9 besvarade. Resultatet av enkätundersökningen visar på att eleverna arbetar enskilt i läroboken varje lektion och att grupparbeten inte är en vanligt förekommande arbetsform på matematiklektionerna. Muntlig kommunikation där läraren frågar och någon enskild elev svarar, använder sig lärarna av på de flesta lektionerna. Diskussioner där läraren och eleverna är inblandade sker olika mycket hos de olika lärarna. Drygt hälften av lärarna använder sig av diskussioner varje eller de flesta lektionerna. Det är mer än en tredjedel som använder sig av diskussioner ibland. Några större arbeten eller projekt inom matematik var sällsynt förekommande. När det gäller lärarnas inställning till den muntliga kommunikationens nytta för elevernas vidkommande när det gäller matematik, svarar de att den främjar elevernas utveckling och kunskapsnivå. Lärarna ställer sig tveksamma till om den muntliga kommunikationen främjar elevernas motivation för matematik. Det skiljer sig markant på två undersökningsfrågor jämfört med den nationella utvärderingen av grundskolan 2003 (Skolverket, 2005). På frågan om hur ofta läraren har gemensamma genomgångar har svarsalternativet i stort sett varje lektion nästan dubblerats från 34 procent till 67 procent. På frågan om hur ofta läraren ställer frågor och enskilda elever svarar har svarsalternativet varje/de flesta lektioner tredubblats från 30 procent till 90 procent. Nyckel ord: Muntlig kommunikation, matematik, samtal, årskurs 7-9

3 INNEHÅLL 1 INTRODUKTION BAKGRUND Det matematiska språket Muntlig kommunikation vid undervisningen Undervisningens upplägg vid matematiklektioner Fördelar med muntlig kommunikation för elevers lärande Nationella utvärderingen av grundskolan Sammanfattning av bakgrunden SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNING METOD Undersökningsgrupp Undersökningsmetod Databearbetning Validitet och reliabilitet Bortfall RESULTAT Det matematiska språket Muntlig kommunikation vid undervisningen Undervisningens upplägg vid matematiklektioner Fördelar med muntlig kommunikation för elevers lärande Sammanfattning av resultatet DISKUSSION Metoddiskussion Resultatdiskussion Det matematiska språket Muntlig kommunikation vid undervisningen Undervisningens upplägg vid matematiklektioner Fördelar med muntlig kommunikation för elevers lärande Förslag till vidare forskning REFERENSLISTA Bilaga 1 Enkät

4 3 1 INTRODUKTION Det som från början fick mig intresserad av den muntliga kommunikationen på matematiklektionerna, var när jag själv på min VFU (Verksamhetsförlagd utbildning) höll i lektioner där jag konkretiserade matematiken med hjälp av laboration. Eleverna fick konkret se att en liter är detsamma som en dm 3. De fick själva göra en papplåda efter en instruktion och sedan räkna ut volymen. Detta har gjort att jag blivit mer och mer intresserad av hur matematik muntligen kommuniceras i klassrummet. Människan kommunicerar muntligen mycket i sitt dagliga liv. Är det något som lärarna använder sig av under matematiklektionerna? Under mina VFU-perioder har den muntliga kommunikation jag sett där förekommit under genomgångarna och när läraren har hjälpt eleverna. Det har även varit lite muntligt kommunicerande om matematikuppgifter i läroboken elever emellan med närmsta bänkgranne. Jag har tidigare under min lärarutbildning skrivit ett paper om att muntligen kommunicera matematik. Detta gör att jag vill undersöka hur det ser ut på skolorna i min närhet, när det gäller det muntliga kommunicerandet av matematik. Utifrån vad forskningen har kommit fram till om det positiva att muntligen kommunicera i grupp, vill jag undersöka vad lärarna har för tankar och åsikter om detta. Hur gör de för att få eleverna att muntligen kommunicera matematik? Får eleverna möjlighet till att muntligen kommunicera matematik i grupp med uppgifter att lösa? Diskuteras det överhuvudtaget om matematik i klassrummet? Som det står att läsa i Skolverkets kursplan för matematik, grundskolan (Skolverket, 2000): Utbildningen i matematik skall ge eleven möjlighet att utöva och kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på olika problem (Skolverket, 2000). Ges eleverna möjlighet till detta i dagens skola? I Lpo 94 står det under Mål att sträva mot: Skolan skall sträva efter att varje elev lär sig att lyssna, diskutera, argumentera och använda sina kunskaper som redskap för att formulera och pröva antaganden och lösa problem, reflektera över erfarenheter och kritiskt granska och värdera påståenden och förhållanden (Lpo 94). För att uppnå detta behöver eleverna få möjlighet till att samtala och lösa olika matematiska problem tillsammans.

5 4 2 BAKGRUND Här redovisas den litteraturstudie som genomförts. 2.1 Det matematiska språket Det matematiska språket består av de fackbegrepp, ord, uttryck och formuleringar som används när man diskuterar matematik. Risbeck (2000) menar att enligt Vygotsky är språket det sociala redskapet för tänkandet. Eleven måste lära sig de matematiska begreppen och deras innebörd för att förstå det matematiska språket. Genom att lära sig begreppen möjliggör det vidare inlärning. För Vygotsky är språk och tänkande oskiljaktiga enligt Riesbeck (2000). Genom samtalet äger utvecklingen av begrepp rum. Samtal vid problemlösning leder till förståelse för matematiken och de begrepp som tillhör (Riesbeck, 2000). I skolverkets rapport Lusten att lära (2003) framhålls det hur viktigt det är för eleverna med muntlig kommunikation för det optimala lärandet. Att använda ord, fackbegrepp, uttryck och formuleringar som tillhör det matematiska språket. Det krävs en omgivning som är öppen för dialog och social interaktion, för att det muntliga kommunicerandet ska fungera tillfredsställande. Det är viktigt att elever lär sig det matematiska språket. Det används vid kommunikation och reflektion för att eleverna ska kunna förklara sina tankar och kunna göra sig förstådda (Wistedt, 1994). Det finns i forskningen och i det praktiska arbetet belägg för att elever, som har en god matematisk språkbehärskning, har en större matematisk förståelse. Därför är det viktigt att eleverna får möjlighet att utveckla det matematiska språket. Eleverna får möjlighet att utveckla sitt matematiska språk när de ges utrymme för redovisning av sina lösningar. När eleverna samtalar och diskuterar ges de möjlighet till att få förståelse för sin matematiska omvärld (Skolverket, 2003). Enligt Löwing (2006) måste läraren i grundskolan utgå från det vardagliga språket och stor del av konkretisering. Efterhand ska eleven utveckla ett mer och mer funktionellt och matematiskt språk. Det är en förutsättning för att eleven under skolans senare årskurser och vidare upp på gymnasienivå, ska ha möjlighet att fördjupa sina kunskaper i matematik. Det matematiska språket behövs vid problemlösning och kommunikation elever och lärare emellan för att de ska kunna gå vidare inom matematiken (Löwing, 2006). För en fungerande kommunikation lärare och elever emellan, måste de vara överens om vad de matematiska begrepp och termer som används i undervisningen har för innebörd. Det är nödvändigt med ett korrekt matematiskt språk för annars kan eleverna få problem när de läser instruktionerna i läroboken (Löwing, 2004). Även när det gäller uppgifterna i boken behöver eleven kunna det matematiska språket. Den sällsynt förekommande kommunikationen i klassrummet främjar inte utvecklingen av det matematiska språket (Löwing, 2004). Wistedt (2001) tar upp att för den som länge har hållit på med och använt det matematiska språket, kan det ses som något självklart hur det fungerar och hur man använder det. Det kan förorsaka problem för läraren i mötet med eleverna. Genom samtalen i skolan ska eleverna lära sig och vinna nya kunskaper. Det gäller för eleverna

6 5 att ta till sig de matematiska regler som finns för att få hjälp att komma igång med sitt arbete (Wistedt, 2001). 2.2 Muntlig kommunikation vid undervisningen Enligt Bjerneby Häll (2006) behövs det variation i undervisningen för att eleverna ska kunna uppleva matematiken som en kreativ och undersökande verksamhet enligt kursplanen. Genom problemlösning i grupp med samtal och redovisningar av sina lösningar, ges eleverna möjlighet att uppleva matematiken som den mänskliga konstruktion den är (Bjerneby Häll, 2006). Undervisningssituationer med varierande innehåll och arbetsformer behövs för att få eleverna mer intresserade och engagerade. Genom att lärare och elever gemensamt samtalar och reflekterar om olika sätt att lösa och även tänka inför ett problem, lär eleverna sig hur de ska gå tillväga när de ställs inför ett nytt problem. De använder sig av frågor och kommentarer som passar för just den situationen (Skolverket, 2003). Läraren använder sig av dialog och frågor till eleverna, istället för att ge direkta ledtrådar och styra undervisningen. Om elever kommer fram till okonventionella lösningar är läraren lyhörd för detta och uppmuntrar eleverna att fortsätta. Att arbeta ämnesövergripande för att eleverna ska få en möjlighet att se vad de kan använda matematiken till är inspirerande för eleverna (Skolverket, 2003). Lärarens kännedom om det matematiska innehållet i en matematikuppgift och om elevernas förutsättningar, gör att läraren kan leda samtalet åt ett lämpligt håll. Läraren kan ställa frågor som ger bättre förutsättningar för ett utvecklande samtal (Wistedt, 2000). Eleverna ska ges möjlighet att förklara och även förtydliga det de ger uttryck för. Missuppfattningar och tveksamheter ska diskuteras för att eleverna ska våga uttrycka dessa. Ett tillåtande klimat är viktigt för att eleverna ska känna att det är av värde att diskutera matematik (Wistedt, 2000). Under större delen av lektionstiden arbetar eleverna individuellt med hjälp av läromedlet. Den instruktion som behövs för uppgifterna i boken får eleverna genom en stencil eller genom läromedlet i sig. Läraren fungerar som handledare och ger kompletterande instruktion till eleven efterhand som det behövs (Löwing, 2004). Det uppstår ibland komplikationer vid denna handledning, eftersom läraren kan ha en annan strategi vid lösandet av en uppgift än den som läroboken har i sin instruktion. Då får läraren och eleven problem med sin kommunikation när eleven inte förstår vad läraren menar (Löwing, 2004). Det förekommer ett annat problem när läraren ska hjälpa eleven med en uppgift. Det kallas lotsningsfenomen och innebär att läraren ger eleven hjälp att klara uppgiften genom att lösa den själv. Eleven får inte den hjälp som behövs för att själv lösa uppgiften och det främjar inte elevens tankeverksamhet. Det begränsar även elevens utveckling och kunskap inom matematik (Löthman, 1992). Under det individuella elevarbetet läser eleven i sin egen studietakt. Eleverna får hjälp av läraren som för en dialog med enskilda elever eller kan läraren samtala med elever i små grupper. Denna dialog används för att följa upp hur eleverna ligger till kunskapsmässigt (Bentley, 2000).

7 6 2.3 Undervisningens upplägg vid matematiklektioner Vid den gemensamma genomgången undervisas elevgruppen som en enda individ. Alla i klassen ges samma instruktion och sen får eleverna var för sig lösa samma uppgifter. Istället för variation ger läraren instruktionerna till eleverna på samma sätt varje gång. Tonvikten ligger på att läraren förklarar och uppmuntrar eleven, genom att stötta och ge eleven möjlighet att komma fram till lösningen själv. Denna typ av undervisning utgår från den demokratiska principen att alla elever ska få samma möjlighet till lärande (Bentley, 2003). En tillräcklig instruktion krävs vid en gemensam genomgång. Det räcker inte med att beskriva hur man ska göra för att lösa en uppgift. Eleverna behöver få veta vad som avses med uppgiften och/eller vilken matematik de ska lära sig. Får inte eleverna till sig vad som avses med uppgiften under genomgången måste läraren ge eleven det individuellt senare under lektionen (Löwing, 2004). Det fungerar inte alltid bra när läraren ska ge eleverna den hjälp de är i behov av. Det är de elever som aktivt söker hjälp som får den. Många av de svagare eleverna blir utan hjälp och de duktigare eleverna vill inte alltid ha hjälp. Det förekommer att en annan elev stör när läraren redan hjälper en elev. Läraren hjälper då ofta den eleven som stör och då är det inte alltid som läraren kommer ihåg att fortsätta hjälpa den första eleven (Löwing, 2004). Bentley (2003) redovisar tre olika sätt att genomföra en lektion i matematik. Vid den första typen av lektion är läraren inriktad på att eleverna ska få en förståelse för matematiken. Läraren ger uppgifter som upplevs som intressanta för eleverna. Uppgifterna ligger på en passande nivå för den elevgrupp som läraren undervisar i. Vid den här typen av lektioner interagerar eleverna och läraren med varandra. Det sker på en hög nivå. Under den andra typen av undervisning är interaktionen elever och lärare emellan på en låg nivå. De instruktioner som läraren ger är inte avsedda att hjälpa eleverna till en förståelse för matematik. Undervisningen riktar sig istället mot läroplanens mål med uppgifter som inte har någon logisk följd och antingen är för lätta eller för svåra. Vid den här typen av undervisning uppstår en dålig atmosfär där flera elever inte arbetar med de tilldelade uppgifterna. Den tredje typen av undervisning består av en blandning av den första och den andra (Bentley, 2003). Vid undervisning där klassen delas in i små grupper, kan indelningen antingen ske efter vilken kunskapsnivå eleverna ligger på eller blanda elever från olika kunskapsnivåer. Läraren kan ge eleverna en gemensam instruktion i helklass och sen arbetar grupperna var för sig. Ett annat alternativ är att ge en grupp elever i taget instruktioner och sen gå vidare till nästa grupp. Eleverna i en grupp kan få olika uppgifter och sen inom gruppen hjälpa varandra när det behövs. Den vanligaste arbetsformen är att hela klassen ges instruktionen och sen får eleverna arbeta i heterogena grupper (Bentley, 2003).

8 7 2.4 Fördelar med muntlig kommunikation för elevers lärande Skolverket (2003) har i intervjuer med elever kommit fram till att, när gemensamma samtal på lektionen utgår från elevernas tankar och de själva är aktiva upplever eleverna det som positivt. Erfarenheter från när eleverna diskuterar och värderar olika lösningsstrategier har för eleverna gjort dem mer positiva i sin inställning till matematik. En arbetsform där eleverna löser olika problem i grupp är något som eleverna ser som lärorikt och roligt. Det framkommer dock att denna arbetsform inte är vanlig på matematiklektionerna. När eleverna har fått tillfälle att redovisa för varandra hur de kommit fram till lösningar på olika problem, ges möjlighet att tillägna sig nya idéer om hur de kan lösa matematikuppgifter. Det kan ibland vara lättare att förstå en uppgift när kompisarna förklarar istället för läraren (Skolverket, 2003). Genom att eleverna får samtala om matematik utvecklar de sitt matematiska tänkande. I samband med att de berättar om hur de gjort och tänkt för att komma fram till en lösning blir deras tankar synliga för dem. Det hjälper läraren i undervisningen när de i samtalet visar på vilka uppfattningar de har. Om eleven har missuppfattat något kan det komma fram under samtalet och eleven får möjlighet att rätta till det. Genom att resonera om lösningar utvecklas eleverna matematiskt (Wistedt, 2000). Att samtala med andra elever har stor betydelse för elevers byggande av kunskap. I samtal med andra elever som har liknande erfarenhet och kunskap inom området, kan eleverna bygga på och fördjupa sina kunskaper. Att kritisera och värdera de övriga elevernas lösningar och påståenden ligger närmare tillhands för eleven än att göra det med lärarens. Övriga elever ligger mer nära elevens eget lärande och elevens språk har mer gemensamt med de andra elevernas språk (Hagland, Hedrén, Taflin, 2005, s 18). Genom att samtala, diskutera och argumentera måste eleven formulera sina tankar i ord och det har stor betydelse för utvecklingen av tankeprocessen. Eleven tvingas genom andras åsikter och reaktioner förtydliga sina ställningstaganden. Det utvecklar tänkandet och ger möjlighet till ett fördjupat lärande (Malmer, 2002).

9 8 2.5 Nationella utvärderingen av grundskolan 2003 Vid den nationella utvärderingen av grundskolan 2003, rapport 251, redovisas en undersökning där lärare har besvarat frågor som rör den muntliga kommunikationen i klassrummet när det gäller matematik. Här nedan följer resultatet av denna undersökning. Skolverkets rapport (Skolverket, 2005) visar hur de 410 lärarna har svarat angående gemensamma genomgångar, elevernas redovisningar av lösningar och tankesätt för klassen och diskussioner eleverna emellan när det gäller olika problem och lösningar. De flesta lärare använder sig av gemensam genomgång minst en gång i veckan, en tredjedel av lärarna gör det oftare. De flesta av eleverna får inte redovisa sina lösningar och tankesätt för klassen så ofta. Det är bara en tredjedel som får göra det varje vecka. När det gäller hur ofta eleverna diskuterar olika problem och lösningar tillsammans, ligger den större delen för detta någon gång varje vecka till någon gång varje månad. Tabell 1. Lärarnas svar i procent vid den nationella utvärderingen om muntlig kommunikation. Antalet lärare är n-värdet = 410. Uppgifterna hämtade ur tre stapeldiagram i Skolverkets rapport 251 (Skolverket, 2005). I stort sett Någon gång Någon gång Mycket sällan Hur ofta har du gemensamma genomgångar? Hur ofta redovisar eleverna lösningar och tankesätt för klassen? Hur ofta diskuterar eleverna olika problem och lösningar tillsammans? varje lektion varje vecka varje månad eller aldrig

10 9 Tabell 2 är avskriven direkt från en tabell i Skolverkets rapport 251 (Skolverket, 2005) och handlar om olika arbetsformer i klassrummet. Att eleverna arbetar var för sig är en vanlig arbetsform under lektionerna. Det visar lärarnas stora svarsfrekvens på där två tredjedelar av lärarna svarar att eleverna gör det varje/de flesta lektionerna. Något som förekommer sällan är att eleverna genomför större arbeten eller projekt. Grupparbete genomförs oftare än större arbeten eller projekt men ändå inte särskilt ofta. Tabell 2. Lärarnas svar i procent när det gäller arbetsformer. Antalet lärare är n-värdet = 410. Uppgifterna hämtade ur en tabell i Skolverkets rapport 251 (Skolverket, 2005). Varje/de flesta Ibland Sällan Aldrig/ lektioner mycket sällan Eleverna sitter och lyssnar, läraren pratar Läraren pratar och ställer frågor, enskilda elever svarar Läraren och eleverna diskuterar tillsammans Eleverna arbetar i grupper Eleverna arbetar var för sig Eleverna genomför större arbeten eller projekt Sammanfattning av bakgrunden Det är viktigt för elevernas förståelse och kommunicerande av matematik att de utvecklar det matematiska språket. Det förekommer inte mycket kommunikation i klassrummet och det är inte bra, med tanke på nödvändigheten i samband med att eleverna utvecklar sitt matematiska språk. Det är viktigt för elevernas förståelse av matematik att de får möjlighet att samtala och reflektera över, hur de kommer fram till lösningen av en matematikuppgift. Eleverna arbetar större delen av lektionstiden individuellt med hjälp av läromedlet. Matematikundervisningen behöver varieras för att ge eleverna en upplevelse av matematiken som kreativ och undersökande verksamhet. Att arbeta i grupp upplevs av eleverna som lärorika lektioner. Det är av stor betydelse för elevernas byggande av kunskap att de får möjlighet att samtala med varandra.

11 10 3 SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNING Syftet med denna undersökning är att få reda på hur mycket det kommuniceras muntligt på matematiklektionerna. Ett av målen i kursplanen för matematik (Skolverket, 2002) är att eleverna ska kommunicera matematik muntligen. Syftet preciseras genom dessa frågor: I vilken utsträckning använder lärarna i årskurs 7-9 samtalet som en väg att få förståelse för matematiken? I vilken utsträckning anser lärarna att det är viktigt att samtala om matematik?

12 11 4 METOD För att få svar på hur den muntliga kommunikationen ser ut vid undervisning i matematik, har en enkät (se bilaga 1) använts som undersökningsmetod. De som har valts ut att besvara enkäten är lärare som undervisar i matematik årskurs 7-9. Nedan följer en presentation av upplägget på undersökningen genom en beskrivning av undersökningsgrupp, undersökningsmetod och databearbetning. 4.1 Undersökningsgrupp Lärare som undervisar i matematik årskurs 7-9 ingår i den population som valts ut att besvara enkäten. Kontakt togs med biträdande rektor och matematiklärare på nio skolor per telefon som tillfrågades om de ville vara med och besvara enkäten. De informerades om vad enkäten skulle handla om och vad den skulle användas till. Biträdande rektor och matematiklärare på sex av skolorna accepterade att besvara enkäten. Sammanlagt deltog 30 lärare som undervisar i matematik i årskurs Undersökningsmetod Som undersökningsmetod har enkät använts. Som underlag för en del av enkäten har frågor och svarsalternativ använts som Skolverket (2005) använde i den nationella utvärderingen av grundskolan På första sidan av enkäten (se bilaga 1) beskrivs vad undersökningen har för syfte så att informationskravet uppfylls mot undersökningsgrupperna (Vetenskapsrådet, 2002). Det ges en garanti för att information om undersökningsgrupperna kommer att behandlas konfidentiellt. Inga åsikter i resultatet kommer att kunna spåras tillbaka till individ eller grupp. På enkätens första sida finns information om var lärarna kan vända sig om de har några frågor om enkäten. Enkäten har konstruerats med slutna svarsalternativ förutom den sista frågan där läraren har möjlighet att själv lämna en kommentar om något som inte framkommit i enkäten. Enkäten har med detta hög grad av struktur, då läraren endast ges möjlighet att svara enligt givna alternativ (Trost, 2001). Då flera av svarsalternativen innehåller mängdbegrepp som kan uppfattas olika t.ex. ibland, sällan kan detta istället innebära en lägre grad av struktur (Trost, 2001). Med tanke på de svarsalternativ som erbjuds, bör det inte ske någon förvirring. Standardiseringen av enkäterna är hög med tanke på att alla lärare svarar på exakt likadana enkäter. För hög standardisering krävs att det är så lika utgångspunkter som möjligt för alla i undersökningsgruppen (Trost, 2001). För att få in så många enkäter som möjligt lämnades de ut personligen. De lämnades till biträdande rektor eller en matematiklärare. Det gjordes upp med den som tog emot enkäterna när de skulle vara besvarade. De besvarade enkäterna hämtades personligen in på bestämd dag. I något fall var de inte färdiga och då hämtades enkäterna några dagar senare.

13 Databearbetning Enkäterna märktes upp efter vilken skola de kom ifrån. Svarsalternativen fördes manuellt skola för skola. Detta för att se om det var någon större skillnad på svaren beroende på vilken skola lärarna arbetade på. Det visade sig att svaren på enkäterna var ganska lika oberoende av vilken skola de kom ifrån och därför finns inte denna information med i resultatet. För att göra materialet åskådligt har stapeldiagram gjorts för varje fråga. Frekvensen som använts i stapeldiagrammen var antal lärare som hade svarat på ett visst sätt. I resultatet redovisas en del stapeldiagram bredvid varandra för att kunna jämföra vissa frågor som har anknytning till varandra. Det gör det lättare att utläsa vad som har framkommit från enkätsvaren. 4.4 Validitet och reliabilitet Om hög reliabilitet ska uppnås ska undersökningens resultat inte vara slumpmässigt utan samma resultat ska kunna uppnås om undersökningen upprepas (Trost, 2001). Eftersom alla enkäter bestod av exakt samma frågor är de identiskt lika. Detta gör att kongruensen och precisionsaspekten ökar i undersökningen och reliabiliteten höjs (Trost, 2001). För att uppnå en hög konstans är det viktigt att de som svarar på enkäten har samma yttre förutsättningar. Det innebär i det här fallet att enkäterna besvaras vid samma tidpunkt och samma dag. Det är inte fallet i den här undersökningen, men det antas inte ha någon större betydelse. Det är i det här läget viktigare för konstansen att det finns tillräckligt med tid för den som fyller i enkäten. Det tillgodosågs genom att den som tog emot enkäterna bestämde hur lång tid som behövdes för att få enkäterna ifyllda. När det gäller att uppnå hög validitet krävs det att mätinstrumentet som används, i det här fallet enkät, är tillförlitligt dvs. att det mäter det som var avsett att mäta (Patel & Davidsson, 2003). Det underlättar för den som fyller i frågorna att de har samma eller liknande svarsalternativ. Trovärdigheten ökar i resultatet eftersom risken för missförstånd eller läsfel minskar (Trost, 2001). Enkäten i undersökningen mäter det som är avsett att mätas och har samma eller liknande svarsalternativ. 4.5 Bortfall 34 enkäter delades ut och av dessa var det 4 som inte besvarades. Den frivilliga fråga nr 11 Har du något övrigt att tillägga angående att muntligen kommunicera matematik på matematiklektionerna? var ifylld på 17 av enkäterna. Drygt hälften av lärarna valde alltså att besvara denna fråga.

14 13 5 RESULTAT Här följer en redovisning av enkätens frågor med svaren från de 30 enkäterna som besvarats av matematiklärarna på de 6 skolorna. Enkätsvaren redovisas i form av diagram och tillhörande text. 5.1 Det matematiska språket På frågan om hur ofta eleverna redovisar lösningar och tankesätt inför klassen på matematiklektionerna, är det en tredjedel av lärarna som svarar att de gör det någon gång varje vecka som visas i figur 1. Det är drygt en tredjedel som gör det någon gång varje månad. På frågan om hur ofta eleverna diskuterar olika problem och lösningar på matematiklektionerna, är det nästan en tredjedel av lärarna som svarar att de gör det i stort sett varje lektion som visas i figur 2. Det är i stort sett samma resultat för svarsalternativen någon gång varje vecka och någon gång varje månad. Vid en jämförelse av resultaten syns att eleverna diskuterar problem och lösningar oftare än de redovisar dessa inför klassen. Två lärare kommenterar att det är viktigt att eleverna får redovisa uppgifter för varandra då förståelsen för matematik ökar. En av lärarna kommenterar att muntlig kommunikation är något både lärare och elever borde bli bättre på. Att variera sin undervisning kommenterade två av lärarna som en viktig del inom matematiken. Antal lärare Antal lärare Figur 1. Lärarnas enkätsvar på frågan: Hur ofta redovisar eleverna lösningar och tankesätt inför klassen på matematiklektionerna? Figur 2. Lärarnas enkätsvar på frågan: Hur ofta diskuterar eleverna olika problem och lösningar tillsammans på matematiklektionerna?

15 14 På frågan om hur ofta läraren och eleverna diskuterar tillsammans på matematiklektionerna svarar drygt hälften av lärarna att de gör det varje/de flesta lektionerna som visas i figur 3. En dryg tredjedel av lärarna svarar att de gör det ibland. Diskussioner där läraren är med förekommer oftare än att eleverna diskuterar själva. Läraren behövs vid diskussionerna som stöd för eleverna när de diskuterar sina tankar om lösningar på matematikuppgifterna. Antal lärare Figur 3. Lärarnas enkätsvar på frågan: Hur ofta diskuterar du och eleverna tillsammans på matematiklektionerna? 5.2 Muntlig kommunikation vid undervisningen På frågan om hur ofta eleverna är enbart åhörare vid de gemensamma genomgångarna på matematiklektionerna svarar en tredjedel av lärarna att de är det ibland som visas i figur 4. Den större delen av lärarna svarar att eleverna är det sällan eller aldrig/mycket sällan. Lärarna gör eleverna delaktiga på matematiklektionerna istället för att de bara ska sitta och lyssna på vad läraren har att säga. Det gör att eleverna blir mer aktiva och uppmärksamma när de görs delaktiga i lektionen. Antal lärare Figur 4. Lärarnas enkätsvar på frågan: Hur ofta är eleverna enbart åhörare vid de gemensamma genomgångarna på matematiklektionerna?

16 15 På frågan om hur ofta läraren ställer frågor och enskilda elever svarar vid de gemensamma genomgångarna på matematiklektionerna, svarar nästan alla lärarna att det förekommer varje/de flesta lektionerna som visas i figur 5. Lärarna får med eleverna i genomgångarna genom att de får vara aktiva och svara på frågor. Antal lärare Figur 5. Lärarnas enkätsvar på frågan: Hur ofta ställer du frågor och enskilda elever svarar vid de gemensamma genomgångarna på matematiklektionerna? 5.3 Undervisningens upplägg vid matematiklektioner På frågan om hur ofta eleverna arbetar i grupper under matematiklektionerna svarar hälften av lärarna att de gör det ibland som visas i figur 6. En knapp tredjedel svarar att det sällan förekommer grupparbeten under deras matematiklektioner. En lärare kommenterade att klimatet i gruppen är viktigt för att den muntliga kommunikationen ska fungera. Som det går att utläsa av figur 4, 5 och 6 kommuniceras det muntligt mellan lärare och elever vid matematiklektionerna. Det är däremot inte mycket kommunikation där enbart eleverna kommunicerar muntligt med varandra. Antal lärare Figur 6. Lärarnas enkätsvar på frågan: Hur ofta arbetar eleverna i grupper under matematiklektionerna?

17 16 På frågan om hur ofta läraren har en gemensam genomgång på matematiklektionerna svarar två tredjedelar av lärarna att de har det i stort sett varje lektion som visas i figur 7. Av de resterande lärarna väljer nio stycken att ha det någon gång varje vecka. Den återstående läraren har det någon gång varje månad. En lärare kommenterade att det behövs liknande utseende på lektionerna för att ge en struktur som många elever fungerar bäst med, men eleverna måste få möjlighet att utveckla sin muntliga förmåga i matematik. Antal lärare Figur 7. Lärarnas enkätsvar på frågan: Hur ofta har du en gemensam genomgång på matematiklektionerna? På frågan om hur mycket eleverna arbetar var för sig under matematiklektionerna svarar 23 av de 30 lärarna att eleverna gör det varje/de flesta lektionerna som visas i figur 8. En av lärarna kommenterar att eleverna inte alltid ser värdet av att uttrycka sig muntligt, utan de tycker att det tar tid från deras eget arbete. Antal lärare Figur 8. Lärarnas enkätsvar på frågan: Hur mycket arbetar eleverna var för sig under matematiklektionerna?

18 17 På frågan om hur ofta eleverna genomför större arbeten eller projekt inom matematik svarar nästan alla lärarna att det förekommer sällan eller aldrig/mycket sällan som vsisa i figur 9. Att genomföra större arbeten eller projekt verkar inte vara något som prioriteras inom matematikämnet. Det är ingen av lärarna som har lämnat någon kommentar om vad det kan bero på att de sällsynt genomför några större arbeten eller projekt när det gäller ämnet matematik. Antal lärare Figur 9. Lärarnas enkätsvar på frågan: Hur ofta genomför eleverna större arbeten eller projekt inom matematik? 5.4 Fördelar med muntlig kommunikation för elevers lärande På frågan om lärarna anser att muntlig kommunikation i ämnet matematik främjar elevernas utveckling inom ämnet matematik svarar över hälften av lärarna att det stämmer som visas i figur 10. Resten av lärarna svarar att de flesta elevernas utveckling främjas. En lärare kommenterar att det är viktigt med muntlig matematik för då får läraren se hur eleverna tänker och läraren kan få eleverna att reflektera och vidareutveckla tankarna. Antal lärare Figur 10. Lärarnas enkätsvar på frågan: Anser du att muntlig kommunikation i ämnet matematik främjar elevernas utveckling inom ämnet matematik?

19 18 På frågan om lärarna anser att muntlig kommunikation i ämnet matematik främjar elevernas kunskapsnivå inom ämnet matematik svarar två tredjedelar av lärarna att den gör det när det gäller matematik för alla elevers del som visas i figur 11. Nästan en tredjedel av lärarna svarar att kunskapsnivån för de flesta eleverna ökar av muntlig kommunikation i matematik. Två av lärarna kommenterar att det är viktigt att eleverna lär sig att använda de matematiska termerna redan i tidig ålder. Antal lärare Figur 11. Lärarnas enkätsvar på frågan: Anser du att muntlig kommunikation i ämnet matematik främjar elevernas kunskapsnivå inom ämnet matematik? På frågan om lärarna anser att muntlig kommunikation i ämnet matematik främjar elevernas motivation för ämnet matematik svarar drygt två tredjedelar att den främjas för de flesta eleverna som visas i figur 12. Drygt en sjättedel tycker att det gäller för alla elever. Två lärare kommenterade att det är viktigt med muntlig kommunikation, men det krävs lugn och ro för att en del av eleverna ska kunna koncentrera sig. Antal lärare Figur 12. Lärarnas enkätsvar på frågan: Anser du att muntlig kommunikation i ämnet matematik främjar elevernas motivation för ämnet matematik?

20 Sammanfattning av resultatet Diskussioner mellan lärare/elever och även mellan eleverna förekommer relativt ofta. Hos en del lärare förekommer de i stort sett varje lektion och hos de andra någon gång i veckan eller månaden. Redovisning av lösningar och tankesätt sker mindre ofta. Hos de flesta lärarna någon gång i veckan eller månaden. De flesta lärarna ställer frågor till eleverna under den gemensamma genomgången. Det är sällsynt förekommande att eleverna är enbart åhörare vid de gemensamma genomgångarna. Gemensam genomgång har två tredjedelar av lärarna i stort sett varje lektion. När det gäller hur mycket eleverna arbetar var för sig svarar drygt två tredjedelar av lärarna att de gör det varje/de flesta lektionerna. Hälften av lärarna svarar att grupparbete förekommer ibland. Till skillnad mot större arbeten och projekt som bara sällan förekommer. Både när det gäller om muntlig kommunikation främjar elevernas utveckling och kunskapsnivå svarar den större delen av lärarna att det stämmer för alla elever. De övriga lärarna svarar att det gäller för de flesta eleverna. På frågan om muntlig kommunikation främjar elevernas motivation svarar två tredjedelar att det gäller för de flesta eleverna.

21 20 6 DISKUSSION Diskussionskapitlet är indelat i två delar. Kapitlet inleds med en diskussion kring valet av metod och följs sedan av en diskussion kring undersökningens resultat. 6.1 Metoddiskussion För att få svar på frågorna valdes enkät ut som undersökningsmetod. Enkät valdes med tanke på att nå fler lärare med frågorna. Antalet lärare som besvarade enkäten är 30 stycken. Det är inget stort antal men med tanke på att de är spridda över sex skolor gör det ändå att resultatet kan anses tillförlitligt. Enkät med slutna svar valdes bl.a. med tanke på att lärarna skulle känna att det inte skulle ta lång tid att fylla i den. Det var en av frågorna som ställdes av lärarna när de tillfrågades om de kunde tänka sig att ställa upp och fylla i enkäten. De olika svarsalternativen under de första tre frågorna verkar ha fungerat bra. Intervallen mellan svarsalternativen har lagom avstånd med tanke på vad det är som efterfrågas. De följande sex frågorna kan vara lite mer svårtolkade med tanke på hur på alternativet ibland uppfattas. De sista tre frågorna känns det som ett glapp mellan de flesta och ett fåtal. Nu är det inte många som har använt alternativet ett fåtal och det kan betyda att det inte har någon påverkan på resultatet. Vid fråga sex är det inte lätt att tyda ut vad lärarna menar med svarsalternativet ibland. Det är en relativt stor del av lärarna som har svarat ibland på den här frågan. Det kunde ha varit bra om den hade kompletterats med en möjlighet till att skriva en kommentar i samband med frågan. Även fråga sju har en osäkerhetsfaktor med många svar på svarsalternativet ibland. Det hade även vid denna fråga varit bra med en möjlighet till att skriva en kommentar i anslutning till frågan. Det fanns visserligen en möjlighet att skriva kommentar på sista frågan, men det är inte säkert att läraren som svarade på enkäten tänkte på det. Undersökningens reliabilitet beror på om de instrument som valts är tillförlitliga (Patel & Davidsson, 2003). Frågorna var exakt de samma till alla som svarade på enkäten, vilket gör att kongruensen var hög. Enkäten besvarades utan inflytande från den som gjort undersökningen. De besvarades inte vid exakt samma tidpunkt, men det kan inte anses ha inverkat på resultatet. Syftet med undersökningen har varit att få reda på om lärarna använder sig av muntlig kommunikation för elevernas förståelse av matematik. Validiteten handlar om mätinstrumentet dvs. enkäten mäter det som är avsett att mäta. Flera av svarsalternativen är hämtade från Skolverkets undersökning 2003 (Skolverket, 2005). Det borde vara en bidragande orsak till att det som undersöktes var det avsedda.

22 Resultatdiskussion Här följer en diskussion av resultatet med uppdelning under de rubriker som används både i bakgrund och i resultatet Det matematiska språket När det gäller hur ofta eleverna redovisar lösningar och tankesätt inför klassen ser det ut nästan exakt som 2003 i Skolverkets undersökning. Knappt en tredjedel av lärarna svarar att eleverna redovisar lösningar och tankesätt inför klassen någon gång varje vecka. Detsamma gäller att de gör det mycket sällan eller aldrig. Drygt en tredjedel av lärarna svarar att eleverna redovisar lösningar och tankesätt inför klassen någon gång varje månad. Med tanke på hur viktigt det är att eleverna utvecklar det matematiska språket, är det inte någon positiv utveckling för eleverna. Som Skolverket (2003) framhåller får eleverna genom att redovisa sina lösningar möjlighet att utveckla det matematiska språket och tänkandet. De behöver få möjlighet att använda det matematiska språket och få förståelse för vad de olika matematisk begreppen innebär. Genom att eleverna har det matematiska språket med sig har de möjlighet att förklara sina tankar och göra sig förstådda enligt Wistedt (1994). Undersökningens resultat visar på en positiv utveckling när det gäller hur mycket eleverna diskuterar olika problem och lösningar tillsammans. Enligt de svar som har lämnats i denna undersökning är det en ökning på drygt 15 %, sedan undersökningen som Skolverket gjorde 2003, när det gäller att detta görs i stort sett varje lektion. Det gynnar elevernas förståelse för matematik när de får diskutera och reflektera över olika matematiska problem enligt Skolverket (2003). En utveckling verkar ha skett när det gäller den muntliga kommunikationen, så att målet i kursplanen är på väg att nås för eleverna, åtminstone när det gäller en del av de lärare som var med i undersökningen. Hälften av lärarna i denna undersökning svarar att de diskuterar med eleverna på matematiklektionerna varje/de flesta lektionerna. Det är en ökning mot tidigare undersökning (Skolverket 2005) där en tredjedel av de tillfrågade gjorde det varje/de flesta lektionerna. Eftersom elevernas kunskapsutveckling gynnas av att de får diskutera, är det en positiv utveckling från undersökningen som Skolverket gjorde Det som inte framkommer vid en allmän fråga är hur dessa diskussioner går till. Det är inte klart om det handlar om att diskutera i hela klassen eller om det gäller med enstaka elever. När det gäller eventuella diskussioner med eleverna i mindre grupper sker det bara ibland enligt undersökningen. Därför är det mera troligt att dessa diskussioner som sker så ofta handlar om antingen diskussioner i helklass eller med en eller möjligtvis två elever samtidigt. Det som är viktigt under dessa diskussioner är att läraren använder sig av det matematiska språket, för att eleverna ska ha möjlighet att ta till sig det som Wistedt (1994) framhåller. Det gäller att läraren är lyhörd för om eleverna förstår de matematiska orden. I annat fall måste läraren ge eleven tid till att komma underfund med innebörden av varje ord. Om eleverna ska ha en möjlighet att utveckla sitt matematiska språk, måste läraren uppmärksamma de elever som inte har lyckats utveckla det språket. Det är en mycket viktig del av undervisningen för att eleverna ska kunna gå vidare och få till sig ny kunskap inom matematik.

23 Muntlig kommunikation vid undervisningen Frekvensen av lektioner där eleverna enbart sitter och lyssnar på vad läraren föreläser om har minskat i denna undersökning i jämförelse mot Skolverkets undersökning Eleverna involveras mer i de gemensamma genomgångarna, genom att läraren ställer frågor till eleverna som de får svara på. Det som inte framkommer i undersökningen är om läraren under de gemensamma genomgångarna får igång diskussioner med hela klassen i samband med att det ställs frågor till eleverna. Wistedt (2000) framhåller att eleverna ska ges möjlighet att förklara och även förtydliga vad de säger. Det är viktigt med ett tillåtande klimat där eleverna får diskutera missuppfattningar och tveksamheter, annars är det inte säkert att de vågar ge uttryck för det. Skolverket (2003) poängterar vikten av att undervisningsformerna varieras för att få eleverna intresserade och engagerade. Genom att elever och lärare gemensamt samtalar och reflekterar om hur eleverna kan lösa och tänka inför ett problem, får eleverna en uppfattning om hur de ska gå tillväga när de ställs inför ett nytt problem Undervisningens upplägg vid matematiklektioner Av de lärare som svarade på enkäten har två tredjedelar gemensam genomgång i stort sett varje lektion. Det är dubbelt så många om det jämförs med Skolverkets undersökning Då svarade bara en tredjedel av lärarna att de hade gemensam genomgång i stort sett varje lektion. Frågan är om lärarna har fler gemensamma genomgångar nu eller om de skolor som var med i denna undersökning (2008) är avvikande mot övriga Sverige. Det är inte troligt att de tillfrågade har missförstått frågan, utan det är möjligt att det har skett en ökning av de gemensamma genomgångarna. Vid gemensamma genomgångar behöver läraren ge en tillräcklig instruktion som Löwing (2004) framhåller. Det gäller att eleven får tillräcklig information om hur uppgiften ska lösas och vad som avses med uppgiften. Om inte läraren lyckas med detta måste informationen ges till eleven i ett senare läge och det är inte tanken med gemensamma genomgångar. Grupparbete ses som en viktig del i matematikundervisningen av bland annat Malmer (2002) och Skolverket (2003). I undersökningen svarar lärarna att det bara förekommer ibland eller sällan. Det stämmer väl överens med den undersökning som Skolverket gjorde Att arbeta i grupp upplevs av eleverna som lärorika lektioner enligt Skolverket (2003). Det borde föranleda att det sker oftare på matematiklektionerna än vad som nu är fallet. Enligt Malmer (2002) har det stor betydelse att eleverna får samtala i grupp och lösa matematikuppgifter. Det hjälper elevernas byggande av kunskap när de diskuterar med andra elever som har liknande kunskaper och erfarenheter inom området. Det ligger närmare till hands för eleverna att kritisera och värdera varandras lösningar än att göra det med lärarens lösningar. En del elever kan ha lättare att komma till tals i en mindre grupp. Att göra några större projekt eller arbeten inom matematik är sällsynt eller aldrig förekommande enligt undersökningens resultat. Det som däremot förekommer varje eller de flesta lektioner är att eleverna arbetar var för sig. Hur ofta eleverna arbetar var för sig stämmer väl överens med det som Skolverkets undersökning 2003 har fått fram. Att eleverna arbetar enskilt på matematiklektionerna är den vanligast förekommande

24 23 arbetsformen enligt Löwing (2004). Eleven arbetar med läromedlet och får handledning när det behövs. Det är inget problemfritt arbetssätt utan det kan uppstå problem om läraren inte använder samma strategi när det gäller att lösa en uppgift som läroboken gör. Det finns också ett fenomen som innebär att läraren hjälper eleven genom att lösa uppgiften åt eleven. På detta sätt blir det ingen större aktivitet för elevens tankeverksamhet och det sker en begränsning av elevens utveckling och kunskap inom matematik enligt Löthman (1992). Bentley (2000) framhåller att eleverna arbetar i sin egen takt under det individuella arbetet. Med tanke på individualiseringen i skolan är det ett sätt att arbeta som kan vara föranlett av det synsättet Fördelar med muntlig kommunikation för elevers lärande När det gäller lärarnas åsikter om den muntliga kommunikationens fördelar för elevernas matematikutveckling är de ganska ense om, att för alla eller åtminstone de flesta eleverna gynnas deras utveckling av att de diskuterar och reflekterar på matematiklektionerna. Det stämmer bra med det som Wistedt (2000) har kommit fram till, att eleverna genom att samtala om matematik utvecklar sitt matematiska tänkande. Genom att eleverna får berätta hur de har gjort och tänkt när de har löst en uppgift blir deras tankar synliga för dem. Det gör att läraren kan hjälpa eleven vid missuppfattningar så att eleven kan gå vidare i sin matematiska utveckling. Lärarna tycker att elevernas kunskapsnivå främjas för alla eller de flesta eleverna med muntlig kommunikation. Det har även Hagland m.fl. (2005) kommit fram till. Att eleverna samtalar med varandra är av stor betydelse för deras byggande av kunskap. Det är med hjälp av att diskutera och reflektera som eleverna bygger på och fördjupar sina kunskaper. Lärarna har inte lika stor tilltro till att muntlig kommunikation främjar motivationen för matematik. Enligt Skolverkets (2003) blir eleverna mer positivt inställda till matematik om de får diskutera och värdera olika lösningsstrategier. Det som också upplevs positivt för eleverna är när samtalen utgår från deras egna tankar och de själva är aktiva under diskussionen. Det verkar ändå som att muntlig kommunikation är värdefull även i detta sammanhang. 6.3 Förslag till vidare forskning Som komplettering till denna undersökning skulle det vara intressant att ta reda på elevernas åsikter om den muntliga kommunikationen på matematiklektionerna. Det skulle ge en mer enhetlig bild av hur mycket det används på lektionerna ute på skolorna. Att göra en intervjustudie skulle ge en mer fördjupad bild av hur den muntliga kommunikationen ser ut.

25 24 Tack Jag riktar här ett tack till Maria Bjerneby Häll för allt stöd och uppmuntran under mitt arbete med examensarbetet. Du är guld värd. Jag vill också tacka alla lärare som tog sig tid att besvara enkäten. Utan er hade jag inte kunnat göra något examensarbete. Det känns bra att ni ville ställa upp på detta. Ett stort tack till min familj som har gjort det möjlig för mig att genomföra denna lärarutbildning och examensarbete.

26 25 REFERENSLISTA Bentley, P-O. (2000). Matematiklärares yrkessituation. (En pilotstudie) Göteborg: Göteborgs universitet Bentley, P-O. (2003). Mathematics Teachers and Their Teaching. (Avhandling). Göteborg: ACTA UNIVERSITATIS GOTHOBURGENSIS Bjerneby Häll, M. (2006). Allt har förändrats och allt är sig likt En longitudinell studie av argument för grundskolans matematikundervisning. (Avhandling). Linköping: Linköpings universitet. Hagland, K. & Hedrén, R. & Taflin, E. (2005). Rika matematiska problem inspiration till variation. Stockholm: Liber AB. Lpo 94 Läroplan för det Obligatoriska Skolväsendet. Stockholm: Utbildningsdepartementet. Löthman, A. (1992). Om matematikundervisning innehåll, innebörd och tillämpning. (avhandling). Uppsala: Uppsala universitet. Löwing, M. (2004). Matematikundervisningens konkreta gestaltning. En studie av kommunikationen lärare elev och matematiklektionens didaktiska ramar. (Göteborg Studies In Educational Sciences avhandling nr 208). Göteborg: ACTA UNIVERSITATIS GOTHOBURGENSIS Löwing, M. (2006). Matematikundervisningens dilemman. Hur lärare kan hantera lärandets komplexitet. Lund: Studentlitteratur. Löwing, M. & Kilborn, W. (2002). Baskunskaper i matematik. Lund: Studentlitteratur. Malmer, G. (2002). Bra matematik för alla. Nödvändig för elever med inlärningssvårigheter. Lund: studentlitteratur Patel, R. & Davidson, B. (2003). Forskningsmetodikens grunder: Att planera, genomföra och rapportera en undersökning. Lund: Studentlitteratur. Riesbeck, E. (2000). Interaktion och problemlösning. Att kommunicera om och med matematik. (Avhandling). Linköping: Linköpings universitet. Skolverket (2000). Kursplan i matematik. =11&id=3873&extraId=2087 Sökdatum Skolverket (2003). Lusten att lära med fokus på matematik. (Nationella kvalitetsgranskningar rapport nr. 221). Stockholm: Skolverket. Skolverket (2005). Matematik årskurs 9. (Nationella utvärderingen av grundskolan 2003). Stockholm: Skolverket Trost, J. (2001). Enkätboken. Lund: Studentlitteratur. Vetenskapsrådet (2002). Forskningsetiska principer inom humanistisksamhällsvetenskaplig forskning. Stockholm: Vetenskapsrådet Wistedt, I. (1994). Reflection, communication, and learning. Learning and instruction: the journal of the European Association for Research, (4), Wistedt, I. (2000). Matematiska samtal. I Ahlström R. (Red.) Matematik ett kommunikationsämne. Göteborg: Göteborgs universitet. Wistedt, I. (2001). Rum för samtal. I Grevholm B. (Red.) Matematikdidaktik-ett nordiskt perspektiv. Lund: Studentlitteratur