III. Atomen. III.1. Inledning. atomer. Hur många atomer finns det i en viss volym av en gas, t.ex.? Hur stora är atomerna?

Transkript

1 III. Atomen Materiens Struktur I, III.1. Inledning Ävenomgrekernaunderantikenhadeuppfattningenattmaterienhadeenminstaodelbarbeståndsdel (atomos) var det inte förrän på och 1900-talen man kom att fundera närmare på dessa atomer. Hur många atomer finns det i en viss volym av en gas, t.ex.? Hur stora är atomerna? Hur skiljer sig t.ex. vätets atomer från heliums atomer? 1869 presenterade D.I. Mendeleev sitt periodiska system, där han systematiskt listade olika kemiska element efter deras massa. Varje rad i hans tabell listade element efter deras varierande valens (hur villiga de är att reagera kemiskt), och varje kolumn innehöll element med samma valens. Tomma platser förekom i detta system för element som ännu inte upptäckts. Materiens Struktur I,

2 III.2. Brownsk rörelse PÅ 1800-talet observerade botanisten R. Brown att pollenkorn i vätska uppvisade en slumpmässig rörelse. I sig tydde detta på att vätskan innehöll atomer som utförde en slumpmässig rörelse och på så vis knuffade på pollenkornen. Detta fenomen kom senare att kallas Brownsk rörelse analyserade Einstein detta fenomen och visade att det kunde användas för att få ett numeriskt värde för Avogadros 1 konstant, som anger hur många partiklar det finns i en given substansmängd (standard-kemisk symbol n, enhet mol) av vilket som helst ämne. En sfärisk partikel med radien a och massan m som rör sig med hastigheten v i en vätska med viskositeten η motverkas av en viskös kraft 1 A. Avogadro, F visk = βv (III.1) β = 6πηa (III.2) Materiens Struktur I, Ekv. (III.2) härleddes av G. G. Stokes och är ett approximativt uttryck som man kan få ut ur de fullständiga Navier-Stokes-ekvationer för hydrodynamiska fenomen. Partiklarna påverkas också av en kraft F koll p.g.a. kollisioner med andra partiklar i vätskan, så att rörelse-ekvationen blir m dx2 dt = F 2 koll + F visk = F koll β dx dt (III.3) P.g.a. den slumpmässiga rörelsen fram och tillbaka kommer en partikels medeltalsposition (tidsväntevärdet av positionen) att uppfylla E[x] = x = 1 N t N Variansen av positionen definieras som i=1 Var(x) E[x 2 ] (E[x]) 2 = x(t i ) = 1 t2 dt x(t) = 0 t 2 t 1 t 1 x 2 ( x ) 2 (III.4) (III.5) Multiplicera ekv. (III.3) med x och ta väntevärdet: Materiens Struktur I,

3 Kovariansen definieras som m x dx2 dt 2 = xf koll β x dx dt Cov(x) E[xy] E[x]E[y] (III.6) (III.7) och är 0 för icke-korrelerade (oberoende) storheter x,y. För positionen x och kraften F koll, som båda är tidsberoende men inte sammanbundna kan vi nog anta att de är icke-korrelerade: m x dx2 dt 2 = β x dx dt (III.8) Notera: dx 2 /dt = 2xdx/dt och d 2 x 2 /dt 2 = d/dt(2xdx/dt) = 2(dx/dt) 2 + 2xd 2 x/dt 2 så vi får m [ 1 d 2 2 dt 2x2 (dx ) 2 ] = β dt 2 d dt x2 (III.9) Materiens Struktur I, Notera att enligt ekvipartitionsteoremet m (dx dt ) 2 = 2 12 m v 2 = 2 E kin = k BT (III.10) Definiera g(t) = d x 2 /dt så m 2 dg dt + β 2 g = k BT (III.11) Hur komma vidare? Approximera m/β 0 så att partiklarnas sicksackande dominerar över deras tröghet (m) som får dem att färdas linjärt: Lösningen blir β d x 2 2 g = k BT β 2 dt = k B T (III.12) x 2 = 2k BT β t = k BT 3πηa t (III.13) Materiens Struktur I,

4 Enligt idealgaslagen så pv = Nk B T = nrt = N N A RT x 2 = RT 3πηaN A t (III.14) (III.15) Genom att mäta x 2 då man har kunskap om värdet på de övriga storheterna kan man få ett värde för N A. År 1908 gjorde J.B. Perrin just detta och erhöll ett värde ganska nära det man har idag. Materiens Struktur I, III.3. Elektronen Elektroner upptäcktes i slutet av 1800-talet i katodstrålning. Katodstrålning uppträder i ett evakuerat rör då man mellan anoden och katoden som är inuti röret pålägger en tillräckligt hög spänning. I de tidigaste katodstrålerören var den bakomliggande fysiken denna: Det starka elfältet joniserar luftmolekyler och får dem att träffa katoden med hög hastighet. I kollisionerna frigörs elektroner från katoden, som av elfältet accelereras mot anoden. I modernare rör hettas katoden upp av en separat strömkälla, så att atomerna i katoden förlorar elektroner. Dessa dras sedan av elfältet mot anoden identifierade J.J. Thomson elektronen och bestämde e/m-kvoten för den i katodstrålning. Förutom katodstråleröret behövs ett externt elfält och magnetfält. Materiens Struktur I,

5 Det externa elfältet avlänkar en elektron i katodstrålningen genom att accelerera den sidledes, så att förflyttningen är y = 1 2 a yt 2 = 1 ee 2 m t2 = 1 2 E e ( ) x 2 (III.16) m Mätningar ger nu allt utom e/m och v x. Genom att göra en ny mätning med samma spänning, men genom att lägga till ett magnetfält så att totalkraften på elektronerna försvinner, F E = ee = ev x B = F M v x = E/B (III.17) kan man slutligen bestämma e/m från mätdata. Thomson fick dock ett numeriskt värde som inte riktigt överensstämmer med det vi har idag. v x Millikans oljedroppsexperiment från och med 1906 bidrog till att få mera kunskap om värdena för e och m. I detta experiment användes laddade oljedroppar som först får falla fritt i ett utrymme mellan två frånkopplade elektroder, och sedan accelereras åt andra hållet av ett påkopplat elfält. Observationer och mätningar görs då oljedropparna har uppnått terminalhastighet. Materiens Struktur I, Under fritt fall balanserar luftmotsåndet och tyngdkraften varandra då terminalhastigheten är uppnådd: β y t 0 = mg (III.18) Då elfältet är påkopplat: nee = mg + β y t = βy ( 1 t t ) (III.19) Genom att bestråla dropparna med röntgenstrålning kan man ändra deras laddning, och får då n ee = mg + β y t = βy ( 1 t t ) (III.20) Tillsammans ger dessa n e = (n n)e = βy E ( 1 t 1 t ) (III.21) Materiens Struktur I,

6 Dessa två typens experiment kan kombineras för att tillsammans ge numeriska värden för e och m. Materiens Struktur I, III.4. Atommodeller Runt år 1900 var det allmänt accepterat att elektroner finns nånstans inuti atomen. Från masskillnaden visste man också att den positiva komponenten måste vara mycket tyngre. Thomson föreslog en modell ( russinbulle-modellen ) där den positiva laddningen fyller hela atomen, och där elektroner upptar vissa punkter. En dylik modell är testbar med hjälp av t.ex. partikelbestrålning: genom att bombardera atomer med mindre partiklar och notera hur dessa partiklar sprids, kan man bilda sig en uppfattning om laddningsfördelningen. En av de första experimenten i den här stilen gjorde av E. Rutherford och H.W. Geiger från och med Rutherford hade tidigare varit involverad i studier av radioaktivitet, och där stiftat bekantskap med t.ex. α-partiklar, som utsänds vid vissa atomsönderfall. Dessa partiklar Heliumkärnor kan användas för att undersöka en atoms laddningsfördelning. Baserat på experiment med guldfolier och α-partiklar kunde Rutherford 1911 presentera sin atommodell: positiva laddningen finns koncentrerad i kärnan, med en storlek av ordningen m, och elektronerna rör sig runt denna som planeterna runt solen. Materiens Struktur I,

7 III.5. Rutherfordspridning Vi behandlar först fallet att en separat partikel skjuts mot en atomkärna. Senare generaliserar vi detta till en partikelstråle som träffar ett material, d.v.s. många atomkärnor. Låt atomkärnan med laddningen Ze befinna sig i vila. Den inkommande partikeln har massan M och hastigheten v 1 innan den börjar växelverka med kärnan. Det utgående partikeln har hastigheten v 2 efter att den upphört att växelverka med kärnan. Materiens Struktur I, ze M b r b φ θ Ze Figur 1: Rutherfordspridning. Materiens Struktur I,

8 Vi tar först reda på det minsta möjliga avståndet mellan partikeln och kärnan, r min = D. Detta inträffar då partikeln kommer in rakt på kärnan. Energibalansen ger 1 2 Mv = Zeze 4πǫ 0 D då kärnan tänkes sitta stilla under hela förloppet. Vi får D = 1 4πǫ 0 2Zze 2 Mv 2 1 Vi behandlar nu det allmänna fallet att partikeln avlänkas, d.v.s. sprids. (III.22) (III.23) Energins bevarande tillämpat på den inkommande partikeln ger 1 2 Mv2 1 = 1 2 Mv2 2 (III.24) Vi ser genast att v 2 = v 1. Materiens Struktur I, Härnäst granskar vi konservationen av rörelsemängdsmomentet. För den inkommande partikeln gäller det att L = L = r p = rmv sinα = rmv y r = Mvy (III.25) För partikeln i x = gäller L 1 = Mv 1 b (III.26) p - α > b r - sinα = b _ r - α Figur 2: Vi ser var vinkeln α befinner sig i förhållande till r och b. Materiens Struktur I,

9 För den utgående partikeln kan man med liknande resonemang visa att L 2 = Mv 2 b = Mv 2 b Rörelsemängdsmomentet bevaras, L 2 = L 1, så vi får genast att vi måste ha b = b. (III.27) Materiens Struktur I, Vid en godtycklig tidpunkt då partikeln växelverkar med kärnan kan man skriva y-komponenten av kraften som partikeln känner av som (se figur 3) φ r θ F y > π φ > F > > F x Figur 3: Kraftkomponenterna för partikeln som avlägsnar sig. F y = M dv y dt Efter förenkling erhåller vi sinφzze 2 = F sin(π φ) = F sin( φ) = F sinφ = 4πǫ 0 r 2 (III.28) Materiens Struktur I,

10 dv y dt = sinφ Zze 2 4πǫ 0 Mr 2 Vi behöver ett uttryck för r 2 och tar rörelsemängdsmomentet till hjälp. I allmänhet gäller L = L = r p = M r v = r 2 r v M r 2 r 2 M ω = r 2 M dφ dt (III.29) (III.30) (III.31) (III.32) Vi löser ut 1/r 2, och använder rörelsemängdsmomentets bevarande: 1 r 2 = M L dφ dt = M dφ Mv 1 b dt = 1 dφ v 1 b dt (III.33) Materiens Struktur I, Insättning i ekvation (III.29) ger dv y dt = sinφ Zze 2 dφ 4πǫ 0 Mv 1 b dt (III.34) Före partikeln börjar växelverka med kärnan har vi φ = 0 och v y = 0. Efter att partikeln slutat växelverka med kärnan har vi φ = π θ och v y = v 2 sinθ. Vi kan integrera ledvis: v1 sinθ 0 dv y = v 1 sinθ = = Zze 2 4πǫ 0 Mv 1 b π θ 0 sinφdφ Zze 2 (1 + cosθ) 4πǫ 0 Mv 1 b (III.35) Materiens Struktur I,

11 Förenkling ger b b(θ) = 1 2Zze cosθ 4πǫ 0 Mv1 2 2sinθ = D1 + cosθ 2sinθ = D 2 cot ( ) θ 2 (III.36) Detta är slutresultatet, som anger att för den observerade spridningsvinkeln θ har partikeln inkommit på kärnan med stötparametern b. Motsvarande, om b för en inkommande partikel är känd så vet vi i vilken vinkel θ den utkommer från kärnan. Vi övergår nu till att behandla hur en stråle av partiklar växelverkar med hela materialet. Notera att materialets massa kan skrivas m = N N A M = ρv (III.37) där N är antalet atomer, och M är massan för en mol av detta ämne. Materiens Struktur I, Antalet atomer per volym i det bestrålade materialet är då N V = ρn A M (III.38) Då strålen träffar en yta A av materialet och växelverkar med ett tunnt skikt med tjockleken δ kommer partiklarna att växelverka med ett antal kärnor som är N = N V A 0δ = ρn A M Aδ (III.39) Strålens intensitet I 0 definieras som antalet partiklar N i som passerar en viss tvärsnittsyta A p under tiden t p I 0 = N i A p t p Antalet partiklar som träffar en yta med arean A av strålmålet under en viss tid t är då (III.40) N i t = I 0A (III.41) Materiens Struktur I,

12 Antalet spridda partiklar uppmäts som funktion av vinkeln θ. Från Fig. 4 ser vi att detta motsvarar en bandformad yta på en sfär. Alla spridda partiklar som träffar denna yta har spridits med samma stötparameter b. Materiens Struktur I, dθ r r db θ b kärna Materiens Struktur I, Figur 4: Differentiellt tvärsnitt.

13 Arean av den bandformade ytan är ds = (2π(rsinθ)) rdθ = 2πr 2 sinθdθ Vi vet att avståndet r inte har nån effekt på mätresultatet, så vi använder istället dω = ds r 2 = 2πsinθdθ (III.42) (III.43) Denna storhet kallas rymdvinkel och dess dimensionslösa enhet kallas steradian (jämför radianer för vanliga vinklar). Materiens Struktur I, Figur 5: De inkommande partiklarna går genom ytan 2πbdb och de i rymdvinkeln dω spridda genom ytan 2πsinθdθ Från fig. 5 kan vi se att alla partiklar som infaller på ytan 2πbdb sprids in i rymdvinkeln dω av atomen i r = 0. Materiens Struktur I,

14 Antalet inkommande partiklar per tid på denna yta är 2πbdbI 0 (III.44) Det finns N stycken atomer i strålmålet för vilka den här situationen är identisk. Alla spridda partiklar från dessa kommer att samlas i samma vinkel θ. Totalantalet inkommande partiklar som sprids på samma vis är då Från tidigare vet vi att dn o t = 2πbdbI 0N (III.45) [antalet reaktioner per tid] = [reaktionens tvärsnitt] [strålens intensitet] [antalet strålmål] (III.46) så enligt analogi har vi Materiens Struktur I, där σ är tvärsnittet, och vi får dn o t = dσi 0N (III.47) dσ = 2πbdb (III.48) Tvärsnittets enhet är area, SI-enhet m 2. En vanlig icke-si-enhet är en barn, 1 b = m 2. Notera att b = b(θ): dσ = 2πbdb ( ( D = 2πb = 2πb D 4 dθ sin 2θ 2 1 sin 2θ 2 ) ) ( dθ) Materiens Struktur I,

15 Rymdvinkeln kan skrivas ( ) D D = 2π 2 cot(θ 2 ) 4 = 2π D2 cos( θ 2 )dθ 8 sin 3 ( θ 2 ) dθ sin 2θ 2 dω = ds r = 2π(rsinθ)(rdθ) = 2πsinθdθ = 2π 1 2 r 2 2 sin Det differentiella tvärsnittet definieras som ( θ 2 ) cos ( θ 2 ) dθ (III.49) (III.50) dσ dω = D sin 4 ( θ 2 ) (III.51) Materiens Struktur I, Tvärsnittet σ fås genom integrering: σ = = dσ = θ2 2 D θ 1 16 dσ dω dω 1 sin 4 ( θ 2 )2πsinθdθ (III.52) Hur många partiklar sprids in i rymdvinkeln dω per tid? dn o t = 2πbdbI 0N = I 0 Ndσ (III.53) Integration: N o = I 0 Nσ = I 0 N θ2 2 D θ sin 4 ( θ 2 )2πsinθdθ (III.54) Materiens Struktur I,

16 Notera att spridning av en och samma partikel från två eller flera kärnor inte har explicit beaktats i denna behandling. Med andra ord har man antagit att det bestrålade materialet är extremt tunnt (typ ett atomlager... ). Notera också att ett bestrålat material består av atomer, inte atomkärnor, så en laddad partikel måste också växelverka med elektronerna runt kärnan innan den ser kärnan själv. Den behandling som vi gått igenom är alltså närmast vägledande, och avsedd som en illustration hur grundläggande klassisk mekanik kan användas också för att analysera fenomen på atomär skala. Materiens Struktur I, III.6. Atomens kvantstruktur Långt före Rutherford och Bohr kände man till atomernas spektra (Fraunhofer, Kirchchoff,...). Atomspektra är karaktäristiska för ämnet och de är i formen av linjespektra, d.v.s. spektret uppvisar absorptions- och emissionslinjer endast för vissa diskreta frekvenser. J.J. Balmer upptäckte att våglängderna i väte passar in i formeln λ = (3645, m) n 2 4, n = 3,4,5,... n 2 (III.55) Svensken J.R. Rydberg generaliserade år 1890 formeln till ( 1 1 λ = Z2 R H 2 1 ) 2 n 2 (III.56) eller mer allmänt Materiens Struktur I,

17 ( 1 1 λ = Z2 R H n 1 ) 2 n 2 (III.57) där R H = m 1 och kallas Rydbergs konstant. n = 2 betecknar Balmerserien, n = 1 Lymanserien (1914) och n = 3 Paschenserien (1908). Figur 6: Väteatomens spektrum Materiens Struktur I, Rutherfords atommodell var ofullständig. Den var på kollisionskurs med klassisk elektrodynamik, enligt vilken laddningar i accelererad rörelse (centripetalkraften får elektronerna att röra sig i elliptiska banor) utsänder strålning. Om elektroner roterar runt atomkärnan som planeterna runt solen borde de kontinuerligt förlora energi och till slut falla in i atomkärnan. Bohr utvecklade 1913 en ny modell där han fastställde axiom som t.ex. utesluter dylikt strålningsbeteende. Hans axiom (postulat) var: 1. Elektronerna i atomen befinner sig i stationära tillstånd med fixerad totalenergi och fixerat rörelsemängdsmoment. 2. Atomen kan undergå icke-klassisk tillståndsförändring från ett av dessa tillstånd till ett annat genom att absorbera eller emittera ett enda strålningskvantum. Den absorberade/emitterade strålningens energi är hν = hc λ = E n E n Bohrs modell ger en naturlig förklaring till heltalsberoendet i Rydbergs formel. (III.58) Materiens Struktur I,

18 III.7. Bohrs atommodell En elektron med massan m rör sig i cirkelbana runt atomkärnan som har massan M och laddningen Ze. Vi skriver elektronens ortsvektor som r 1 och kärnans ortsvektor som r 2 i ett koordinatsystem K som är fixerat i laboratoriet där det eventuella experimentet görs. Då kärna-elektron-systemet inte påverkas av en extern kraft kommer systemets masscentrum (MC) att vara i vila eller likformig rörelse. Massorna m och M kommer att röra sig i koncentriska cirkelbanor med radierna r 1 och r 2 runt ett gemensamt masscentrum. Massmedelpunktens definition är R MC = i m i r i / i m i (III.59) Vi kan translatera vårt koordinatsystem K så att koordinataxlarna utgår från massmedelpunkten. Det betyder i klartext att origo befinner sig i massmedelpunkten: Materiens Struktur I, = mr 1 + Mr 2 (III.60) Vi övergår till ett koordinatsystem K som alltid har origo i den rörliga atomkärnan. Atomkärnans och elektronens ortsvektorer i detta system är r 2 r 2 R = r 2 r 2 = 0 (III.61) r 1 r 1 r = r 1 r 2 (III.62) Notera alltså att r = r är avståndet mellan atomkärnan och elektronen. Materiens Struktur I,

19 I laboratoriesystemet är elektronens och atomkärnans positioner Följande ekvationer kan lätt härledas: r 1 = r 2 M m + M r = m m + M r (III.63) (III.64) K = 1 2 mv Mv2 2 = 1 2 µv2 (III.65) L = mv 1 r 1 + Mv 2 r 2 = µvr (III.66) där µ = mm m + M (III.67) Materiens Struktur I, är den reducerade massan för systemet. I allmänhet gäller 1 µ = i 1 m i (III.68) Vi ser att två massor m och M som rör sig i koncentriska cirkelbanor med radierna r 1 och r 2 runt ett gemensamt masscentrum formellt är ekvivalent med en massa µ som rör sig i bana med radien r runt den ena massan (i detta fall M). Bohrs postulat att elektronens rörelsemängdsmoment är kvantiserat kan skrivas i följande explicita form: L = µvr = n, n N = {1,2,3,...} (III.69) Kraftbalansen: Materiens Struktur I,

20 Man erhåller F centripetal = mv2 1 = Mv2 2 = µv2 r 1 r 2 r = F Coulomb = 1 Ze 2 4πǫ 0 r 2 (III.70) (III.71) r = n2 4πǫ 0 2 Z e 2 µ = n2 m Z µ a 0 (III.72) där man definierar Bohrradien som (α definieras senare.) a 0 = 4πǫ 0 2 e 2 m = 1 αmc 0,05 nm (III.73) Materiens Struktur I, Energin för systemet är E = K + U = 1 2 µv2 1 4πǫ 0 Ze 2 r =... = Z2 n 2 µ m E 0 (III.74) (III.75) där ( ) e 2 2 m E 0 = 4πǫ ( e 2 ) 2 mc 2 = 1 2 4πǫ 0 c = α2 2 mc2 (III.76) Materiens Struktur I,

21 13, ev som kallas Rydbergenergin. Vi introducerade här finstrukturkonstanten (III.77) α = e2 4πǫ 0 c 1 137, (III.78) Vi ser alltså att såväl radien som energin för elektronen är kvantiserade. Materiens Struktur I, Figur 7: Strålning emitteras då atomen byter energinivå. Materiens Struktur I,

22 Vi tar nu en ny titt på spektra. När elektronen byter till ett lägre energitillstånd sänds en foton ut, enligt där hν = E 1 E 2 = Z2 µe 0 m ( 1 hcz 2 µ m R 1 n 2 1 n 2 2 ( 1 ) n n 2 1 ) (III.79) R = E 0 hc = α2 mc = ,534 m 1 (III.80) 2 h Materiens Struktur I, Uttrycket ovan blir till Rydbergs formel om man sätter Z = 1 och R H = µ m R (III.81) Låt M : R H = µ m R m m R = R (III.82) Materiens Struktur I,

23 Figur 8: övergångar i vätets emissionsspektrum. Spektrallinjerna är grupperade i serier enligt kvanttalet för sluttillståndet. Kvanttalet n = 1 för Lymanserien, n = 2 för Balmerserien, n = 3 för Paschenserien, o.s.v. Materiens Struktur I, I den här behandlingen har vi ignorerat atomen rekyl efter att den utsänder en foton. Låt oss göra en fullständigare behandling. Låt atomen vara i vila före fotonen utsänds. Energi- och rörelsemängdsbalansen anger att p 2 E i = hν + E f + 2(M + m) 0 = hν c + ( p) (III.83) (III.84) Vi har nu E i = hν + E f + (hν) 2 2(M + m)c 2 (III.85) Lösningen är Materiens Struktur I,

24 ) hν = (M + m)c ( E + (M + m)c 1 2 (III.86) där E = E f E i. Om energiskillnaden är mycket mindre än atomens viloenergi, kan vi approximera kvadratroten: ([ hν (M + m)c E 2(M + m)c 1 ( ) 2 E 2 ) +...] 1 (III.87) 2 8 (M + m)c 2 Till första ordningen i 2 E/((M + m)c 2 ) har vi ( hν E 1 1 ) 2 E 2(M + m)c 2 (III.88) Så länge energiskillnaden E mellan atomens tillstånd i och f är mycket mindre än atomens Materiens Struktur I, viloenergi är vårt ursprungliga uttryck relativt noggrannt, och vi behöver inte ta korrektionen ovan i beaktande. I verkliga spektra från ett material med en viss temperatur kommer spektrallinjernas frekvens ν att vara Doppler-förskjutna till min/max (1 ± v/c)ν p.g.a. atomernas kinetiska energi. Detta breddar spektrallinjerna så att de inte längre är infinitesimala linjer. Bohr ansåg sin modell vara en blandning av klassisk fysik och kvantum-principer. Han ansåg att beskrivningen av kvant-världen måste övergå i klassisk mekanik då man går mot allt större skala. Denna idé kallas för korrespondensprincipen. Bohr föreslog att den klassiska fysiken måste återfås när kvanta med t.ex. energin proportionell mot h blir allt mindre och mindre, h 0. Detta kan enklast förstås så att materiens diskreta natur proportionell mot h försvinner och övergår i en kontinuerlig natur på klassiska längdskalor. Låt oss undersöka om korrespondensprincipen gäller för Bohrs atommodell. För en energiövergång mellan två bredvidliggande nivåer n och n 1 har vi Materiens Struktur I,

25 ν n = Z2 µ α 2 mc 2 ( 1 m 2h (n 1) 1 ) 2 n 2 Z2 µ α 2 mc 2 m h för stora värden på n, då t.ex. n 3 n 2. Elektronens rörelse runt atomkärnan är periodisk med frekvensen f n : 1 n 3 (III.89) (III.90) v n f n = 2πr n =... = Z 2 µ α 2 mc 2 m h 1 n 3 (III.91) (III.92) Från klassisk elektrodynamik av laddningar i accelererad rörelse vet vi att de utsänder strålning. Materiens Struktur I, Om vi utgår från att strålningens frekvens är direkt proportionell mot ett periodiskt beteende hos laddningen t.ex. tiden för ett varv runt kärnan ser vi att resultatet från Bohrs modell överensstämmermedvadmanfårfrånklassiskteori.dettaärettexempelpåkorrespondensprincipen. Materiens Struktur I,

26 III.8. Atomprocesser och atomexcitation Då en foton med energin E γ växelverkar med en atom kan detta ske på 6 olika sätt. Låt i,j vara två elektronnivåer i atomen, med energierna E i,e j. Energiskillnaden är E ij = E i E j. De möjliga växelverkningssätten är: 1. Rayleigh-spridning (elastisk spridning): E γ < min( E ij ) så atomen förblir i sitt tillstånd. 2. Raman-spridning (inelastisk spridning): E γ > E ij. Atomen exciteras av den inkommande fotonen, och energin E γ E ij = E γ utsänds som en foton. 3. resonans-strålning: E γ = E ij. Atomen exciteras och de-exciteras, en foton utsänds med samma energi som den inkommande sänds ut. 4. fluorescens: E γ E ij. Atomen exciteras av den inkommande fotonen, eventuellt så att E γ E ij = E γ används för att direkt sända ut en foton. Den exciterade atomen de-exciteras via sönderfall till mellanliggande nivåer E ki : t.ex. E j E k1 E i, vilket betyder att fotoner med energiena E j E k1, E k1 E k2,..., E k n E i utsänds under de-excitationen. Materiens Struktur I, fotoelektrisk effekt: E γ = W 0 + K. Elektron med kinetisk energi K frigörs från atomen. 6. Compton-spridning: E γ = W 0 + K + E γ. Elektron med kinetisk energi K frigörs från atomen, och övervarande energi utsänds som en foton. Excitation av atomer kan också ske via kollisioner med partiklar, t.ex. elektroner och andra atomer. De första mätningarna av kollisionsinducerad excitation gjordes 1914 av J. Franck och G.L. Hertz med hjälp av kvicksilverånga i en tub. De undersökte elströmmen genom gasen som funktion av spänningen. Runt vissa diskreta värden för spänningen ökade strömmen dramatiskt. Genom att också observera ultraviolett ljus från tuben vid dessa spänningar kunde de argumentera för att detta bevisade existensen av diskreta (kvantiserade) energinivåer i atomen. Materiens Struktur I,

27 Uppgifter [1] Vid härledningen av Rutherfords spridningsformel har rörelsemngdsmomentets bevarande och Newtons andra lag en central roll. Rita upp en hjälpfigur ur vilken vinklarna mellan r och p = mv framgår samt ange även riktningen för Coulombkraften F C. a.) Visa stegen i härledningen av ekvation (3.6) L = Mvb, b = stötparametern, samt härled ekvation (3.7) genom att tillämppa Newtons andra lag på kraften i y-riktningen (F y = M dv y b.) Visa med en ritning hur rymdvinkeln dω = ds r2 = 2πsinθdθ erhålles. [2] En stråle av 10 5 partiklar per sekund med energin 3 MeV träffar ett strålmål av aluminium, som har tjockleken 10 4 cm. a.) Hur nära kommer α-partiklarna kärnan? (B & M 3.10). b.) Hur många α-partiklar per sekund sprids i den bakre halvsfären? (B & M 3.11). Aluminium har ordningstalet 13, atommassan 27 och densiteten 2,70 g/cm 3. [3] Beräkna energinivåernas energier i ev för enkelt joniserat helium (He + ) samt identifiera alla övergångar i He + som befinner sig i det synliga området nm. (B & M 3.17). [4] HurserBohrsformelförpositroniums(e e + )energinivåerut och vilkenradieharpositronium? Vilkenbanhastighetharelektronenipositronium?Härledenformelförvåglängdernaipositrniums Balmerserie. (B & M 3.19). dt ). Materiens Struktur I, [5] En mesisk atom bildas då en myon ersätter en elektron i en normal atom. Bestäm radien för det första Bohrorbitalet och grundtillståndets energi i en mesisk väteatom. Myonens massa är 105,7 MeV/c 2. (B & M 3.21). Materiens Struktur I,