Spinorer. Av Jörgen Gladh Symmetrier, Grupper och Algebror 5p. Examinator: Prof. Jürgen Fuchs

Transkript

1 Karlstads universitet Institutionen för fysik och ingenjörsvetenskap 25 mars 2004 Spinorer Av Jörgen Gladh 5p. Examinator: Prof. Jürgen Fuchs

2 1 Spinorer Sammanfattning Spinor representationer används för att beskriva partiklar som t.ex. fermioner. För att få en förståelse om hur spinor representationerna fungerar skall vi undersöka algebran (Clifford algebra), och se hur den är uppbyggd, vilka egenskaper den har, underalgebror o.s.v.. Vi skall också titta på ett par olika grupper, närmare bestämt Lie gruppen SO(n) och dess universella grupp täckning Spin(n).

3 2 Spinorer Innehåll 1 Inledning 3 2 Clifford algebra Tensor strukturen hos Clifford algebran Representationsteorin för Clifford algebra 5 4 Representationen för den ortognala Lie gruppen SO(n) och algebran so(n) Lie gruppen SO(n) Matris representationer av SO(n) Zoologin för spinorer Dirac och Majorana spinorer Weyl, Majorana-Weyl och andra spinor representationer Spinorer av Lorentz grupp Slutord 12

4 3 Spinorer 1 Inledning Det var Élie Cartan som upptäckte en helt okänd representation under sitt arbete med klassificeringen av enkla representationer för simpla Lie algebror [1]. Cartan gav inte dessa representationer något namn, utan det var senare som fysiker gav dessa representationer namnet spinorer. Cartan använde sig av en associativ algebra som kallas för Clifford algebra, en algebra kallad efter matematikern William Kingdon Clifford( )[4]. Intresset för spinorer var stort i början för både fysiker och matematiker eftersom man kan beskriva partiklar med spinorer, framför allt fermioner. Även Cartan gav ut en bok i ämnet 1, där han beskriver Clifford algebran och olika grupptillhörigheter. Men även Claude C. Chevalley[1], Hermann Weyl 2 och andra stora matematiker har gett ut böcker och artiklar i ämnet. Vi ska nu börja med att titta på Clifford algebran. 2 Clifford algebra För att beskriva en Clifford algebra [2], använder vi oss av ett ändligt dimensionellt vektor rum V med en icke-degenererad symmetrisk bilinjär form g. Beroende om vi arbetar över ett reellt eller komplext kropp måste valet av basen betraktas. Om fältet F=C kan man välja en ortogonal bas för V sådan att basen e i har egenskapen g(e i, e j ) = δ ij, men om F=R kan man bara finna en så kallad pseudoortogonal bas, d.v.s. att g(e i, e j ) = η i δ ij, där η i är tecknet, η i = ±1. Detta kan uttryckas enlig följande, för en fixt dimension alla icke-degenererade bilinjära symmetriska former är ekvivalenta i det komplexa fallet men för det reella fallet är de klassificerade beroende på vilket tecken (signatur) de har. Man säger att en icke-degenererad symmetrisk bilinjär form g har signaturen p,q, om det är p positiva tecken och q negativa tecken. På motsvarande sätt, ger dimensionen n av V, endast en komplex Clifford algebra C(C n ) medan för det reella fallet kommer man att finna olika Clifford algebror C p,q (R n ) för de olika signaturerna som ges av g. Genom definitionen av Clifford algebra, är den en associativ algebra som är fritt genererad av enhets elementet 1 och bas elementets e i modulo den anti-kommutativa relationen e i e j + e j e i = 2g(e i, e j )1. (1) Nu kan vi undersöka Clifford algebrans struktur definierad av (1), som ett första steg skall vi räkna antalen av dess baselement. Algebran är utan tvekan genererad av alla ändliga produkter e i1 e i2 e il l Z 0. Genom att använda den anti-kommutativa relationen (1) kan man vidare anta att i 1 i 1 i 1. Dessutom får vi användning av (1) för då i=j kan vi se att för något e i genererad av alla element av formen e m1 i 1 e m2 i 2 e mn i n, där alla exponenter m q är antingen 0 eller 1. Man kan kontolera att dessa elmenten är linjärt oberoende, vilket antyder att dimensionen för vilken som helst Clifford algbra av n-dimensionellt rum är 2 n. 1 É. Cartan, Leqons sur la théorie des spineurs, (Paris: Hermann et Cie., 1938), 2 volymer. 2 H. Weyl and R. Brauer, Spinors in n dimensions Am. J. Math., 57, 1935,

5 4 Spinorer 2.1 Tensor strukturen hos Clifford algebran Konstruktionen hos Clifford algebran kan omformuleras på ett lättare och mer praktiskt sätt. Vi startade med ett vektor rum V och med en icke-degenererad bilinjär symmetrisk form g, kan vi betrakta tensor algebra av V, d.v.s. en direkt summa av alla tensor potenser V m (m Z 0 ) av V utrustad med tensor multiplikation som en produkt. Genom att beräkna tensor potenserna, kommer den oändligt dimensionella algebran med en Z 0 - gradering. För att visa dess existensen[3], börjar vi med en tensor algebra T (V ) och tar det tvåsidiga idealet I(V, g) genererat av elementen x y 2g(x, y)1 x, y V (2) Genom att definiera C(C n ) = T (V )/I(V, g) och låter ϕ : V C(C n ) vara en naturlig avbildning in till kvoten. Klart är att följande krav uppfyller detta, att (A1) {ϕ(e i ), ϕ(e j )} = 2g(e i, e j )1 för e i, e j V. (A2) ϕ(v ) genererar C(C n ) som en algebra. (A3) Givet någon associativ algebra A med enhet och en linjär avbildning φ : V A sådan att {φ(e i ), φ(e j )} = 2g(e i, e j )1, då existerar en associativ algebra homomorfism. sådan att φ = φ ϕ: φ : C(C n ) A (3) V φ ϕ φ C(C n ) A För att det sista kravet (A3) skall gälla måste den första faktorn φ genom avbildningen ˆφ : T (V ) A vilkens existens är bevisad av de universella egenskaperna 3 för T (V ). Då φ är noll på I(V, g), så får vi en avbildning φ genom att passera till kvoten. Låt nu C k (C n ), för k = 0, 1,..., frambringar en filtration av Clifford algebran: C k (C n ) C m (C n ) C k+m (C n ) (4) Låt nu {v i : i = 0, 1,..., n} vara en bas för V. Eftersom {ϕ(v i ), ϕ(v j )} = g(v i, v j ), ser man från (A3) att C k (C n ) spänns upp av 1 och produkterna ϕ(v i1 ) ϕ(v ip ), i 1 < i 2 < < i p (5) för p k, som vi konstaterade i sek: 2. I detalj har vi 3 För mer info se Kap: 14 [2] och sidan 634 [3]. C(C n ) = C n (C n ) n = dimv (6)

6 5 Spinorer vilket ger att C(C n ) = 2 n. Vi ser att idealet I bryter mot Z 0 -graderingen för tensor algebran. Hur som helst, Z 0 -graderingen medföra också till en lite grövre gradering, nämligen Z 2 - graderingen som är erhållen genom att ta värden i Z 0 graderingen modulo två. Idealet I respekrerar denna gradering, och därför sluter sig Z 2 -graderingen till något som är begripligt för Clifford algebran. På motsvarande sätt, kan vi introducera den jämna underalgebran C + (C n ) och C + p,q(r n ) för C(C n ) och C p,q (R n ), respektive. Låt oss nu ta kontakt med Lie algebran so(n + 1). Vi betraktar elementen och S 0,i = S i,0 := e i för i = 1, 2,..., n (7) S i,j = S j,i := [e i, e j ] för i, j = 1, 2,..., n, i j (8) för Clifford algebran. Dessa element är linjärt oberoende och spänner en n(n + 1)/2-dimensionell underalgebra. Genom direkta beräkning kan man kontrollera att dessa element spänner Lie algebran so(n + 1), med Lie bracketen [S i,j, S k,l ] givet av kommutatorn med avseende på den associativa produkten av en Clifford algebra. Därför kan vi identifiera so(n + 1) som en underalgebra till Clifford algebran. 3 Representationsteorin för Clifford algebra Låt oss nu titta på representationsteorin för den komplexa Clifford algebran C(C n ). Vi tittar på vad som händer när vi sätter n = 1. Algebran C(C) är två dimensionell och genererad av enhetselementet 1 och elementet e 1 som svarar mot (e 1 ) 2 = 1, därför är den isomorf mot gruppalgebran av den diskreta gruppen Z 2. Genom att använda elemeneten (1 ± e 1 )/2 som en bas för den här algebran, följer det att den är isomorf till en direkt summa av två kopior av C: C(C) = C C. (9) Den diskreta gruppen Z 2 (och därför också dess gruppalgebra) har två oreducerbara representationer. De triviala representeras båda av elementen 1 C, och de trofasta representationerna i vilka de två elementen är representerade av +1 och -1, respektive. Dessa två representationerna är en en-till-en korrespondens med de två summandena i (9). I fallet då n = 2 har vi en fyrdimensionell Clifford algebra. Då kan den realiseras i termer av Pauli matriser, genom att sätta: e 1 = σ 1 och e 2 = σ 2. Bortsett ifrån enhets matrisen så innehåller algebran också e 1 e 2 = ıσ 3. Man kan då se att C 2 är isomorf till algebran M 2 (C) för alla komplexa 2 2-matriser: C(C) = M 2 (C). (10) Utifrån tidigare kunskaper vet vi att varje full matris algebra M m (C) är en enkel associativ algebra. Så C(C 2 ) är en enkel associativ algebra och som en konsekvens av detta är den tvådimensionella representationen den enda oreducerbara representationen. Före vi beskriver den generella Clifford algebran, skall vi också titta på fallet då n = 3 och vi har en åtta dimensionell algebra. Det går att se att Pauli matriserna från en oreducerbar representation av C(C 3 ) med R 1 (e i ) = σ i, vilket inte är trofast. En annan representation av C(C 3 ) är given av R 1 (e i ) = σ i, dessa två representationerna är inte ekvivalenta med varandra utan C(C 3 ) är isomorf till en direkt summa av två matris algebror av 2 2-matriser: C(C 3 ) = M 2 (C) M 2 (C). (11)

7 6 Spinorer De två representationerna som vi har beskrivit uttömmer alla oekvivalenta oreducerbara representationer. Dessa resultat kan generaliseras till en godtycklig dimension n enligt följande. Man kan visa med rekursions relationerna att C(C n+2 ) = C(C n ) C(C 2 ) (12) håller. Kombinerar vi detta med tidigare resultat säger denna relationen att Clifford algebran är isomorf till en matris algebra när n är jämn och då n är udda är den isomorf till en direkt summa av två matris algebror, vilket ger: C(C n ) = { M2 n/2(c) för n 2Z. M 2 (n 1)/2(C) M 2 (n 1)/2(C) för n 2Z + 1. (13) Clifford algebran är därför en semisimpel associative algebra, och därför är deras representationer fult reducerbara. För jämna n är upp till isomorfism, just en enkel reducerbar representation som är 2 n/2 -dimensionell, och vilken som helst representation av C(C n ) är trofast. För udda n är det två oekvivalent oreducerbara representationer av dimensionen 2 (n 1)/2. I detta fallet är en representation av C(C n ) trofast om och endast om den innehåller minst en kopia av båda oreducerbara representatioerna. Slutligen har vi följande isomorfism för jämna underalgebror: C + (C n ) = C(C n 1 ) (14) 4 Representationen för den ortognala Lie gruppen SO(n) och algebran so(n) Utifrån de resultat som vi har fått för Clifford algebran kan vi nu konstruera representationer för den ortogonala Lie algebran. Eftersom Clifford algebran C(C n 1 ) innehåller Lie algebran so(n) som en underalgebra, kan varje oreducerbar representation ge upphov till en representation av so(n). Dessutom, eftersom so(n) innehåller alla elementen e i vilka spänner C(C n 1 ), kan vilken som helst oreducerbar representation av C(C n 1 ) också bli en oreducerbar representation av so(n). Låt oss betrakta det första fallet då n 1 är udda. Då har C(C n 1 ) två Oekvivalenta oreducerbara representationer av dimension 2 n/2 1, vilket ger upphov till två oreducerbara representationer av so(n). Att dimensionen av dessa oreducerbara representationer antyder att det finns två oekvivalenta spinor representationer, med den högsta vikten Λ (n/2 1) och Λ (n/2), vilket är också fallet då man kontrollerar explicit genom beräkning av vikterna. När n 1 är jämn, är det endast en oreducerbar representation av dimension 2 (n 1)/2. Liknande beräkningar kan göras även här som visar att det ger upphov till en spinor representation av so(n) med högsta vikten Λ (n 1)/ Lie gruppen SO(n) Låt oss nu titta närmare på konstruktionerna av spinor representationer för ortogonala Lie grupper. Lie gruppen SO(n) är inte enkelt sammanhängande vilket gör att vi inte kommer att ge upphov till en representation av SO(n), utan dess universella täcknings grupp. Faktiskt, som en sidoeffekt kan vi konstruera denna gruppen. Låt oss koncentrera på fallet då n=2r+1 är udda. Vi börjar med att välja en 2 r - dimensionell oreducerbar representation R s för Clifford algebran C(C n 1 ), och betecknar representations matrisen av generatorerna e i av ρ i := R s (e i ). Sedan väljer vi något element γ i Lie gruppen SO(n). Så betecknar vi T R Λ(1) (γ) för matris representationen för dessa element i en definierad n-dimensionell representation av

8 7 Spinorer SO(n) och betecknar ingången för matrisen med Tj i. Matrisen T är ortogonal sådan att T t T = 1 och att dess determinant är ett. De första egenskaperna antyder att tillsammans med matrisen ρ i har man också matrisen ρ i := n T j i ρ j (15) j=1 som formar en representation av Clifford algebran. 4.2 Matris representationer av SO(n) Då n är udda finns det en enda oreducerbar representation upp till en isomorfism av Clifford algebran C(C n 1 ), och därför måste de två representationerna ρ och ρ vara ekvivalenta. Detta betyder att för varje γ SO(n) finns det en inverterbar 2 r 2 r -matris M(γ) med intertwiners av de två representationerna, d.v.s. ρ i = M(γ)ρ i M(γ) 1, (16) matris multiplikation är underförstått. Eftersom representationen R s är oreducerbar, antyder Schur s Lemma att intertwinern M(γ) är unikt bestämd upp till en skalär multipel. Dessutom, matris produkten M(γ 1 )M(γ 2 ) implementerar den verkan som elementen γ 1 γ 2 SO(n) har på matrisen ρ i. Detta antyder att M(γ 1 γ 2 ) = ω(γ 1, γ 2 )M(γ 1 )M(γ 2 ) (17) med en skalär ω som beror av γ 1 och γ 2. Relationen (17) är den definierade relationen för en ray eller projective 4 representation av SO(n). Multipeln ω(γ 1, γ 2 ) är något obekväm att hantera i praktiska sammanhang, och vi vill på något sätt bli av med dem. Utifrån det specifika valet av intertwinern M(γ) är man fri att multiplicera M(γ) med en skalär, på ett sätt att det är jämförbart med grupp produkten. Man kan visa i det aktuell fallet att den här friheten tillåter oss att fixera ω till ±1. Det är däremot inte möjligt att manipulera bort teckna, därför formar matriserna M en genuin ray representation av SO(n). Denna ray representationen kan lyftas till en ordinär representation av den utökade gruppen Ĝ, som är den universella täcknings gruppen Spin(n) av SO(n). beroende på ω s värde {±1}, d.v.s. i Z 2 -gruppen, reflekteras Spin(n) som en tvåfaldig täckning av SO(n). Om vi nu återgår till vad vi började med i sektion 4.1, och tittar på fallet när n=2r är jämn. Kan man även här konstruera en täcknings grupp men den kommer att tekniskt sett vara svårare att ta fram. Detta på grund av det faktum att C(C n 1 ) har då två oekvivalenta oreducerbara representationer. Bortsett ifrån detta lämnar konstruktionen två oekvivalenta 2 r 1 -dimensionella spinor representationer av den universella täcknings gruppen Spin(n) av SO(n). Spin(n) matris representation M är en unitär matris och reducibel, den kan dekomponeras ner till en spinor och en konjugerad spinor representationer. Denna reducerbara representationen är oreducerbar som en representation av den icke sammanhängande Lie gruppen 5 O(n). 4 För mer info se Kap:12,2 [2] 5 För mer info se Kap:19,4 [2]

9 8 Spinorer 5 Zoologin för spinorer I detta avsnittet skall vi titta på några aspekter av spinorer som är av mer relevant slag inom vissa applikationer för fysiken. Låt oss betrakta ett reellt vektor rum med den reella dimensionen n och en symmetrisk bilinjär form η på, utan att förlora allmängiltighet låter vi den vara diagonal, vilkens signatur (p,q) d.v.s. har p positiva och q negativa egenvärden så att p+q=n. I fallet då n=4 har Lorentz signaturen (3,1) som är av mest direkt fysikaliskt intresse. Hur som helst, den moderna fysiken har utvecklats i olika riktningar där andra dimensioner och signaturer spelar en likvärdigt viktig roll. och därför skall vi tillåta godtyckliga värden för p och q. Algebra som vi skall realisera igen är en Clifford algebra, med generatorerna e i och relationen e i e j + e j e i = 2η ij. Inom fysiken brukar man vanligtvis arbeta direkt med matris realisationen γ i = ρ(e i ) för generatorerna, så relationen kan läsas γ i γ j + γ j γ i = 2η ij. (18) Matrisen γ i kallas för Dirac eller helt enkelt gamma matrisen, som är komplexa 2 [n/2] 2 [n/2] -matriser, där hak parenteserna betecknar integral delen till de rationella nummer. Gamma matrisen spelar också en roll för invarianta tensorer av de ortogonala Lie algebra 6. För att ge en specifik realisation av gamma matrisen, kommer vi att betrakta fallet då n=p+1 är jämn och signaturen är (p,1). I detta fallet är realisation unik upp till ekvivalens. Man kan visa ( ) ( ) γ i 1 0 := ı, γ i 0 Σ i := 0 1 Σ i för i = 1, 2,..., p. (19) 0 Här är Σ i en hermitsk 2 (p 1)/2 2 (p 1)/2 -matriser som lyder under en lämplig antikommutativ relation. I fallet då n=4 dimensioner kan valet av matriser vara Pauli matriserna: Σ i σ i för i = 1, 2, 3. Matrisen γ 0 är antihermitsk gentemot alla de andra γ i matriserna som är hermitska. Detta är nära relaterat till de fakta att inom kvant teorin man använder hermitska konjuatet för att uppfylla operationen av tids omkastningen. I fysiken spelar hermitska storheter en viktig roll. Komplex konjugering är inte en C linjär operation, för applikationer inom fysiken kan vi inte betrakta en enkelt komplex Clifford algebra och spinorer. Ett annat sätt att komma fram till denna slutsats är att inse att den komplexa Clifford algebran är okänslig för signatur av den kvadratiska formen η, vilket spelar en karakteristiskt roll för signaturen av rum-tid och därför är av betydande fysikalisk vikt. Trots det, kan vi använda resultatet från det komplexa fallet som en startpunkt. På liknande sätt kan man närma sig analytiskt av reella Lie algebran genom att först studera den komplexa Lie algebran och då undersöka deras reella form. Vi börjar med att associera till det reella vektor rummet V och dess komplexifikation 7 V C = ıv V. Detta är ett komplext vektor rum, vilket är utrustad med en extra struktur som ett ordinärt komplext vektor rum har, nämligen en konjugation vilket är en reell automorfism av order två alternerande x + ıy och x ıy x, y V. Från komplexifikationen V C av V och den komplex-bilinjära förlängningen g := η C av den bilinjära formen η kan vi nu konstruera en komplex Clifford algebra C(V C, g). Då betraktas de som en reell associativ algebra, algebran C(V C, g) och komplexifikationen C(V, η) C av algebran C(V, η) är isomorf: C(V C, g) = C(V, g) C C(V C, g) C (20) Konjugationen på V C förorsakar en konjugation på C(V C, g) C, d.v.s. en automorfism av order två av V C som en reell algebra, en punktfixerad algebra som kallas för 6 För mer info. se Kap: 17,5 [2] 7 För mer info se Kap:4,3 [2]

10 9 Spinorer den reell underalgebra. Precis som i fallet med den reella formen av komplex Lie algebran, där strukturen av reell Clifford algebran kan bli beskriven i termer av deras komplexifikation tilsammans med en passande konjuation på dess komplexifikation. 5.1 Dirac och Majorana spinorer Nu har vi kommit till det läget att vi kan beskriva olika slags typer av spinorer. Den första är, Dirac spinorer, vanligen betecknad ψ eller ψ D, är av definitionen ett element av ett komplext vektor rum som bär en Oreducerbar representation av de komplexifierade Clifford algebra. Konkret, en Dirac spinor kan bli beskriven som en vektor i C 2[n/2]. Primärt är vi intresserade i representationer av den reella underalgebran. Så vi måste ta reda på mer om strukturen av denna algebra. Som vi tidigare antagit, betraktar vi en bilinjär form η med signaturen (p, q) på en reellt vektor rum V med dimensionen n=p+q. Vi kommer att anta att p q 3 eller 7 mod 8. Man kan visa att det existerar en inverterbar matris m sådan att för något element a av C(V, g) C, elementets konjugat a kan då skrivas som a = ma # m 1, där a # är erhållen från a genom komplex konjugering av alla elementen i en matris realisation (den här explicita form av m är klart beroende på den specifika realisationen man väljer). Matrisen m kan också användas till att definiera en konjugation på spinor rummet, med ψ c := ψ m, (21) där spinor ψ är framtagen från spinor ψ med hjälp av komplex konjugering av alla dess komponenter. I de återstående fallen, d.v.s. när p q 3 eller 7 mod 8, n är udda och C(C n ) består av två enkla ideal. I dessa fallen är den reella underalgebran isomorf till matris algebran av komplexa matriser, och konjugationen vilken bestämmer den reella underalgebran är dess permutationer av de två idealen. Komplexifikationen av C(V, η) C innehåller säkert den reella Clifford algebra C(V, η). Därför grenar varje oreducerbar representation av de komplexa algebran till en oreducerbar representation av den reella underalgebran. Man finner att Dirac spinorer är reducerbar precis i de fallen när den reella underalgebran är en enkel reell matris algebra eller en direkt summa av enkla reella matris algebror, vilket är sant för p q mod 8 {0, 1, 2}. I dessa fallen kan man ta fram en oreducerbar represetation av den reella CLifford algebran genom att bestämma ytterligare ett villkor på Dirac spinoren, Majorana vilkoret ψ! = ψ c, (22) vilket reducerar antalet frihets grader för spinorer av en faktor av två (I stället för (22) kan man ekvivalent också kräva att ψ c är lika med ψ). Spinorer ψ ψ M som uppfyller (22) kallas för Majorana spinorer. 5.2 Weyl, Majorana-Weyl och andra spinor representationer Hittills har vi bara betraktat frågan om en oreducerbar representation av en komplex Clifford algebra fortfarande är en oreducerbar representation för en omslutning av den reella Clifford algebra. En annan intressant fråga för applikationer inom fysiken är hur vida en oreducerbar representation av en komplex Clifford algebra C(C n ) förblir oreducerbar under den jämna underalgebran C + (C n ). Låt oss undersöka denna frågan först i fallet då n är jämn. Vi introducerar två projektorer P ± := (1 ± λe 1 e 2 e n ), (23) där λ är en fas faktor som väljs sådan att (e 1 e 2 e n ) 2 = 1, nämligen så att λ 2 = ( 1) n(n 1)/2 q. Med deras hjälp kan en Dirac spinor ψ D bli dekomponerad

11 10 Spinorer ner till två komponenter ψ ± := P ± ψ D vilket båda trasformeras till oreducerbarhet under verkan av en jämn underalgebra. En sådan spinor ψ ψ W vilket transformeras till en oreducerbar representation av en jämn underalgebra är vanligtvis kallad för en Weyl spinor. Hittills har vi haft att göra med den komplexa jämna underalgebran. Man det kan ju hända att att en Weyl spinor bär en representation med vilket den är reducerbar under det reella jämna underalgebran, så att Majorana och Weyl vilkoren blir uppfyllda samtidigt, detta leder till de så kallade Majorana-Weyl spinorer. Om nu så är fallet, gäller det om och endast om λ är reell, vilket är sant för signaturerna p q = 0 mod 8. Om n är udda kan någon oreducerbar representation av den komplexa Clifford algebran, är den också oreducerbar under dess jämna underalgebra C + (C n ). Men de kan bli reducerbar under dess reella jämna underalgebra, vilket händer då p q = 1 mod 8. För p q = 7 mod 8 blir situationen något mer komplicerad. I detta fallet är oreducerbara representationer av den komplexa Clifford algebran oreducerbar både under de reella underalgebran och den jämna underalgebran. Man har då följande C + p,q(r n ) = M 2 (n 1)/2(R). (24) (Olikt i fallen ψ M och ψ W, finns det inte något speciellt namn för de senaste typer av spinorer.) 5.3 Spinorer av Lorentz grupp Spinorer för Lorentz gruppen SO(3,1) spelar en nyckel roll inom den relativistiska kvantfältteorin. I detta specifika fallet använder man sig av en annan approach som visar sig vara lämplig, den så kallade Infeld-van der Waerden eller två komponent spinor formalismen. Utgångspunkten är de observationen att den universella täckningen av Lie gruppen SO(3, 1) +, komponenten i Lorentz gruppen som är kopplade till identitets elementet, är isomorft till gruppen SL(2, C) 8. Denna isomorfism SO(3, 1) + = SL(2, C) följer analogt med hur det var visat att SU(2) är isomorft med den universella täcknings gruppen av SO(3). Man använder sig av en till en korrespondensen x = (x m ) x m σ m x x i σ i = i=1 ( ) x 0 + x 3 x 1 + ıx 2 x 1 ıx 2 x 0 x 3 mellan Lorentz vektorn x (x m ) m=0,1,2,3 och hermitska matrisen av rang två. Här antar vi konventionen att använda typstilen italic m,n...(vilken tar värden i {0,1,2,3}) för indexering av Lorentz vektorn och för märkningen av olika sigma matriserna σ m {σ 0 = 1, σ i } (σ i är Pauli matriserna). Sådana index är stigande eller sjunkande för Lorentz metric η mn = ( + ++) diag( 1, 1, 1, 1). Två-komponents spinorer är enligt definition, elementen av en två dimensionell oreducerbar modul av SL(2, C). Sådan reducerbara moduler existerar därför att komplexifikationen av Lie algebran av SL(2, C) är isomorfa till direkt summan A 1 A 1. Mer exakt, det är två oekvivalent två dimensionella oreducerbara moduler, vilken båda är självkonjugerande, med högsta vikten (1,0) och (0,1) i Dynkin baser (d.v.s. spin ( 1 2, 0) och (0, 1 2 )), respektive. Vektorer ψ α av modulen transformeras enligt ψ α ψ α = Mα β ψ β, (26) β där M är en matris i SL(2, C). Dessutom, tillsammans med matriserna M formar också deras komplexa konjugat matriser M en representation av SL(2, C), vilken 8 För mer info se Kap: 9 [2] och sid. 660 [3] (25)

12 11 Spinorer är precis den med den högsta vikten (0,1), därför kan konjugationens opunktade två-komponents spinorers avbildning gå till den punktad två-komponents spinorer, och den punktade spinoren ψ α transformeras som ψ α ψ α = β M β α ψ β, (27) Matrisen som är associerad till Lorentz vektorn i formel (25) transformeras under Lorentz trasformation enligt följande x n σ n Mx m σ m M (28) och därför måste sigma matrisen σ m ha index strukturen σα m α. Detta betyder att den fyrdimensionell vektor modulen av SO(3,1) korrensonderar till den oreducerbara modulen med den högsta vikten (1,1) av den komplexifirade Lie algebran. Sigma matrisen kan då betraktas som koefficienter till bastrasformationen vilket gör denna korrespondensen explicit. Utifrån isomorfismen av den komplexifierade Lorentz algebran till A 1 A 1 kan man se att spinor moduler med eller utan punkt är symmpletisk. Den korresponderande två indexerade tensorn är då den tvådimensionella Levi-Civita tensorn ε αβ, tillsammans med dess invers ε αβ. För explicita beräkningar är det praktiskt att fixera de samtliga tecknen på ett sätt som är i definitionen av dessa tensorer genom att sätta ε αβ = ε αβ = 1 och ε αβ = ε αβ = 1, vilket är analogt för de punktade indexen. Det faktum att dessa moduler är sympletiska betyder att kvantiteten ψ α φ α ε αβ ψ α φ β = φ α ψ α och ψ α φ α = φ α ψ α (29) är antisymmetriska i φ och ψ och är skaläre under SL(2, C). I princip skulle vi kunna skissera hur man beskriver de komponenterna av Lorentz gruppen vilka inte är kopplad till identiteten. Dess värre involverar detta diverse fas alternativ på ett sådant sätt att många olika konventioner blir möjliga, vilket vi avstår ifrån att diskutera här. Vi kommer istället koppla till den formalism som vi tog fram i det förgående avsnittet. Så vi definierar matrisen σ m som ( σ m ) αα := ε α βε αβ σ m. (30) β β Tillsammans med σ m kan man använda dem att kunna uppnå ytterligare en realition av gamma matrisen ( ) 0 σ m γ = σ m (31) 0 för m=0,1,2,3. I denna bas kan vi associera till varje icke punktad Weyl spinor ψ en punktad Weyl spinor ψ genom att sätta ψ α := ı( σ 2 ) αβ ψ β, (32) där * står för det komplex konjugation. Man kan då konstruera en Dirac spinor ψ D utav två Weyl spinorer χ och φ: ( ) χα ψ D = φ α. (33) För Majorana spiorer ψ M är antalet frihetsgrader reducerade av en faktor två enligt villkoret (22), och kan därför konstrueras från en enda Weyl spinor χ ( ) χα ψ M = χ α. (34)

13 12 Spinorer För applikationer inom fysiken är följande kommentar av stor vikt. Här ovan har vi hela tiden behandlat komponenterna ψ α och φ α som vektorer i spinormoduler på ett sådant sätt enligt det sedvanliga, d.v.s. som ordinära (komplexa eller reela) tal. (T.ex. i (29) använde vi ψ α φ α = φ α ψ α, så att den bilinjära formen (φ, ψ) är anti-symmetrisk, som förväntas av en sympletisk modul). För spinorer av Lorentz gruppen kan man hänvisa i dessa sammanhang till objekten som kommuterande spinorer. Som kontrast, den största delen av applikationerna gällande spinorer av Lorentz gruppen är i fysiken beskrivningarna av elementar partiklarna vilket är fermiorer. Enligt den spin-statistika relation måste spinorer vara anti-kommuterand än kommuterand (och kan därför inte längre betrakta den som ordinära tal, utan som de så kallade Grassmann talen). Detta introducerar ytterligare ett minus tecken i relationen (22), så att för den anti-kommutativa spinor relationen blir ψ α φ α = φ α ψ α och ψ α φ α = φ α ψ α. (35) Varje gång man har för avsikt att använda relationer som involverar Lorentz spinorer som man finner i olika litteraturer, bör man noggrant undersöka om spinor relationen är en kommuterande eller en anti-kommuterande. 6 Slutord Efter att ha läst om spinorer i olika böcker, ser man att den fysikaliska användningen för dessa är i huvudsak till för att beskriva fermioner. Men eftersom det är tensorer och tensor produkter som vi arbetar med kan man också beskriva andra partiklar, beroende på vilka krav vi ställer på algebran. Ur ett mer matematiskt perspektiv är det själva konstruktionen av de olika algebrorna som är det intressant, se hur de beter sig (också) beroende på vilka krav som vi ställer. Grupptillhörigheten ger också indikationer om hur algebran beter sig.

14 13 Spinorer Referenser [1] Claude C. Chevalley. The Algebraic Theory of Spinors. COLUMBIA UNIVER- SITY PRESS, [2] Jürgen Fuchs and Christoph Schweigert. Symmetries, Lie Algebras and Representations. CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, [3] Roe Goodman and Nolan R. Wallach. Representations and Invariants of the Cassical Groups. CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, [4] and.ac.uk/history/mathematicians/clifford.html.