Algebra och talteori MMGL31. Lite om mig. Lite om er. Lärarprogrammet, Göteborgsuniversitet VT 2008

Transkript

1 Algebra och talteori MMGL3 Lärarprogrammet, Göteborgsniersitet VT 008 Samel Bengmar Lite om mig Dotorerat i Algebrais geometri Letor id Matematisa etensaper, Chalmers och Göteborgs niersitet Anställd på Chalmers, men nderisar på båda niersiteten. Drier Resrscentrm MV Programansarig Informationteniprogrammet på Chalmers Gift och har tre barn. Bor i Billdal men jst n i Drban, Sydafria Lite om er På öningen ill jag höra lite om er: Namn Inritning och åldersgrpp Pendlar Personligt

2 Krsintrodtion

3 På distans Mindre personlig ontat Jobbigare att ommnicera Säert lite tenistrl - Variation Nya pedagogisa lärdomar Borde anse ingå i lärartbildning? Låt oss tillsammans försöa göra detta till en bra och lärori ppleelse. 3

4 4

5 5

6 Oej, då börjar i Pytagoreisa trippler Minns pytagoras sats: a b c Definition En trippel a,b,c a nollsilda heltal som ppfyller sambandet a b c allas en pytagoreis trippel. Eempel a,b,c3,4,5 a,b,c6,8,0 Hr hittar man dem? Man an leta på måfå men det ger mycet sällan en pytagoreisa trippel Ej heltal c c 5 Har man äl hittat en, a,b,c, finns oändligt många eftersom om d är ett heltal så är äen da,db,dc en pytagoreis trippel då da db dc d a b d c a b c 6

7 Primitia pytagoreisa trippler Definition En primiti pytagoreis trippel PPT är en pytagoreis trippel som ppfyller SGDa,b,c. Eempel Fler eempel från Plimpton3 I bas 60 width diagonal. :59 :49. 56:7 :0:5 3. :6:4 :50: :3:49 5:09:0 5. :05 : :9 8: : 59:0 8. 3:9 0: :0 :49 0. ::4 :6:0. 45 :5. 7:59 48:49 3. :4 4: :3 53: :46 7

8 I decimalform width diagonal Att finna PPTer Hr fann babylonierna dessa? Jag et inte men i sall ni se tå sätt på ilet i an finna alla PPTer. Vi sall börja med ett talteoretist sätt och sedan sall i se ett geometrist sätt. Båda metoderna anänder mycet algebra. Först lite repetition: delbarhet Definition Heltalet m sägs dela heltalet n om det finns ett heltal så att nm. Man srier m n. Eempel 3 eftersom 3 4 8

9 Mer repetition: ongrens Definition Tå heltal och y sägs ara ongrenta modlo n om n -y. Man srier y mod n eller n y Mängden a alla ongrenslasser tgör en mängd som i betecnar Z n. Obs: Varje tal är ongrent med något a talen 0,, n- modlo n, ds Z n {0,,,,n-}. Eempel , paritet bearas id adrering 0 4 0, 4, 4 0, 3 4 inga adrater 4 eller 3 Talteoretis metod Vi söer bara primitia pytagoreisa trippler Betrata a b c Om a och b jämna: är c jämn, ds ej primiti a och b dda: betrata eationen mod 4. I VL är arje term eftersom adrat a dda är mod 4. Detta ger att VL 4. Men HL är adrat och sådana an inte bli mod 4. a dda, b jämn: ger c dda. Sltsats: a och c dda, b jämn. Talteoretis metod Antag att a,b,c är en PPT. Flyttar öer b i a b c och får a c b c b c b y c b c b y Påstående. SGD,y.. och y är adrater 9

10 Beis för påstående : SGD,y Antag att d delar och y. Då måste d äen dela deras smma, differens och prodt ds d y d c b c b d c d y d c b c b d b d y y d a Eftersom b och c inte har någon gemensam delare de är relatit prima så ger de tå öersta att d. Den nedre ger att d är dda eftersom a är dda. Sltsats: d, ds enda delaren till och y är. Beis för påstående : och y är adrater Minns att om p primtal gäller att p nm p n eller p m Tag en godtyclig primtalsfator p i y. Då ommer p dela den ena fatorn, säg. Den an då inte dela y eftersom och y är relatit prima. Eftersom p a måste p a, ds p a y. Sltsats arje primtalsfator föreommer ett jämnt antal gånger i, ds är en adrat. Pss med y. Sätter n s y t där s > t, ds a c b c b c b y s t c b s c b y t Löser n t a,b och c a y st y s t b y s t c 0

11 s a, b, c st, Sltsats t s, t Där s och t är dda heltal som ppfyller s>t ger alla primitia pytagoreisa trippler. Ser att a Geometris metod b c a b c c Söer n rationella pnter på cirel y Eempel, y Linjens eation ym. Vår linje passerar -,0 ger att ds y m m 0

12 Särningspnt mellan linje och cirel Eationsystem Ger ds en andragradseation i. y y Löses med polynomdiision ds För den andra särningspnten gäller att y Får n PPTer Giet rationell ltning,,,, c b c a c b a

13 Sal MVF33 Öning i eftermiddag Denna gång locan tan pas. Uppgifterna inte alltid fllständigt lösbara, te i.4 är frågan: Tror d att 3