USEFUL PRESSURE LOSS CALCULATION IN COMPLEX DISTRICT HEATING NETWORKS

Transkript

1 USEFUL PRESSURE LOSS CALCULATION IN COMPLEX DISTRICT HEATING NETWORKS JONAS ROSLUND Master s thess 015:E34 Faculty of Engneerng Centre for Mathematcal Scences Numercal Analyss CENTRUM SCIENTIARUM MATHEMATICARUM

2 1. Abstract 1.1. Englsh Large dstrct heatng networks often have a complex structure that requres teratve calculatons to determne the flow dstrbuton throughout the network. Ths Master s thess descrbes a software mplementng methods and data structures to determne and present the flow dstrbuton and pressure state n such dstrct heatng networks. The purpose of the thess work was to create a tool to not only calculate flow dstrbuton and pressure loss n ppe networks, but also delver the result n a format that s easy to understand. Ths s applcable both for the engneer dong the actual calculatons and usng the program as an analyzng tool as well as for the busness owner who needs an ntutve understandng of the capacty of ther dstrbuton network. The thess presents a model of the geometrc dstrbuton network wth consumers and producers. Self-developed methods for automatc processng of the geometrc model are explaned. The hydraulc equatons for ppe networks connectng pressure, flow, temperature, ppe sze, alttude, consumer needs and other relevant data are presented. The hydraulc equatons are used n calculaton algorthms where thousands of ppes and consumers are processed to fnd the flow dstrbuton that meets all crtera. At last the calculated result s shown n color-coded graphs for a clear vew of bottlenecks, rsk areas, dstrbuton paths etc. The result of ths thess work s a pece of software used for flow and pressure calculatons n more than thrty locatons n Sweden, Norway and Great Brtan. 1.. Svenska Stora fjärrvärmenät har ofta en komplex struktur som gör att flödet nätet är svårbestämt och kräver teratva beräknngar. Denna rapport beskrver ett en mjukvara som mplementerar metoder och datastrukturer för att beräkna och presentera flödesdstrbuton och tryck sådana komplexa fjärrvärmenät. Syftet med examensarbetet var att skapa ett verktyg som nte bara kan bestämma flödesdstrbuton och tryckfall lednngsnät, utan även presentera resultatet på ett (43)

3 lättförståelgt sätt, dels för den ngenjör som utför beräknngar och använder programmet som analysverktyg och dels för den verksamhetsägare som behöver få en ntutv förståelse för kapacteten stt lednngsnät. Rapporten börjar med att behandla modellerng av det geometrska dstrbutonsnätet med kundanläggnngar och produktonsanläggnngar. Egenutvecklade metoder för automatsk behandlng av den geometrska modellen presenteras. Vdare presenteras de hydraulska samband som gäller för ett lednngsnät avseende tryck, flöde, temperatur, rörstorlek, höjd, kunders effektbehov och annat som påverkar. De hydraulska sambanden används beräknngsalgortmer där tusentals lednngar och kunder ska behandlas för att htta den flödesdstrbuton som uppfyller ställda krterer. Slutlgen presenteras beräknngsresultatet blder med färgkodnng för att få en tydlg bld av lednngsnätets flaskhalsar, rskområden, dstrbutonsvägar, mm. Examensarbetet har utmynnat en programvara som har använts för att beräkna flöden och tryck ett trettotal orter Sverge, Norge och Storbrtannen. 3 (43)

4 . Förord Denna rapport är dokumentatonen av ett arbete som påbörjades och tll största delen avslutades för många år sedan, alldeles för många år. Men den som väntar på något gott Det program som har tagts fram nom detta examensarbete har använts nom ramen för mn egen konsultverksamhet under många år och används så än dag. Jag vll rkta ett stort och hjärtlgt tack tll mn pappa, Stefan Roslund, som alltd bdrar med kloka råd, lång erfarenhet och många tps arbetet. Lund, den 14 jun 015 Jonas Roslund 4 (43)

5 3. Innehållsförtecknng 1. Abstract Englsh Svenska.... Förord Innehållsförtecknng Introdukton Bakgrund Fjärrvärme allmänhet Rngkopplng Lednngarnas teknska uppbyggnad Syfte Begränsnngar Verktyg Geometrsk modell Allmänt Lednngar Produktonsanläggnngar och kundanläggnngar Värmeeffekt Sammanställnng av modell Allmänt Geometrsk modell Värmeeffekt Utvecklng av tryckfallsberäknng Metoder Tryckfall lednngar Inlednng (43)

6 6.1.. Bernoulls ekvaton Tryckfall lokala komponenter Reynoldstal Darcy-Wesbach s ekvaton Swamee-Jan Colebrook-Whte Beräknngsmetod för rngar Allmänt Grundläggande prncper Ekvatonssystem Förenklng av ekvatoner Taylor-utvecklng Hardy Cross Matrsnotaton Tllvägagångssätt för lösnng med Hardy Cross Modelldefnton Lednngsnät Produktonsanläggnngar och kundanläggnngar Temperaturer Flformat Algortmer för dentferng av rngar Identfera lednngar som ngår rngar Gruppera tll rngsegment Identfera solerade rngsegment Identfera rngsegmentkluster Identfera beräknngsrngar Vattenegenskaper Beräknng av tryckfall Allmänt (43)

7 6.6.. Flödesberäknng för produktonsanläggnngar och kundanläggnngar Beräknng av flöde och tryckfall nät Jämförelse med andra beräknngsprogram Automatsk dmensonerng Kontrollfunktoner Presentaton Standardvy Färgskalor Vllkor Tabeller Export av data Grafk Google Earth Mängdförtecknng Export tll Hydroram Resultat och dskusson Användbarhet Prestanda Upplevd beräknngstd Konvergens Slutsatser Referenser (43)

8 4. Introdukton 4.1. Bakgrund Fjärrvärme allmänhet I dagens samhälle används fjärrvärme för effektv och flexbel värmeprodukton. Genom att centralsera värmeproduktonen tll en eller ett fåtal anläggnngar kan värme produceras kostnadseffektvt och med stor flexbltet avseende bränsle. Den centralserade produktonen ger möjlghet tll effektvare förbrännng och renng, vlket leder tll mndre negatv mljöpåverkan än vd ndvduell produkton. Dstrbuton tll kunder sker genom att varmt vatten transporteras markförlagda rörlednngar från värmeproduktonsanläggnngen tll kundanläggnngar, där värmen avges. I Sverge avges värmen normalt va värmeväxlare, men även andra lösnngar fnns. Det avkylda vattnet transporteras därefter tllbaka tll värmeproduktonsanläggnngen ett parallellt lednngsnät. I värmeproduktonsanläggnngen upphettas vattnet för att dstrbueras på nytt. Nätet består ofta av större stamlednngar med syfte att dstrbuera vattnet längre sträckor. Från dessa stamlednngar sker avgrenngar tll mndre fördelnngslednngar. Den ssta sträckan fram tll kundanläggnngen kallas servslednng. Genom frkton lednngarna uppstår tryckfall nätet. För att övervnna tryckfallet sker normalt tryckhöjnng med pumpar produktonsanläggnngen. För att drva vatten över kundanläggnngar krävs dessutom en tryckdfferens mellan framlednng och returlednng för att drva vattnet över reglerventl och värmeväxlare. Om tryckdfferensen över fjärrvärmecentralen blr för lten kan kundens värmebehov nte tllgodoses. Det är därför vktgt för fjärrvärmebolaget att upprätthålla rätt tryckdfferens lednngsnätet. Även andra skäl fnns tll att ha kunskap om trycket lednngsnätets olka delar: I de flesta lednngsnät kan vattnet ha en temperatur över 100 C. Det behöver därför säkerställas att medet hålls under tllräcklgt tryck för att förhndra koknng. Pumpar ska väljas med lämplga drftdata. Dstrbuton måste kunna ske utan att överskrda lednngarnas högsta tllåtna tryck. 8 (43)

9 4.1.. Rngkopplng I mndre fjärrvärmenät används ofta en ren trädstruktur där bestämnng av flödesrktnngen varje rör är uppenbar. I framlednngar transporteras vattnet rktnng från produktonsanläggnngen tll kundanläggnngen. I returlednngar transporteras vattnet tllbaka tll produktonsanläggnngen. Det är okomplcerat att räkna ut tryck och flöde för varje punkt ett sådant nät. I större nät väljer man bland av redundansskäl och balansskäl att knyta hop dstrbutonsnätets yttre grenar på ett eller flera ställen. Det uppstår då en så kallad rngkopplng, en sluten krets där det nte längre är uppenbart vlken rtnng vattnet flödar de lednngar som ngår rngen. Även mndre nät kan kopplngar ske som gör att rngkopplngar uppstår. Ett befntlgt dstrbutonsnät kan behöva förstärkas för att täcka nya behov. En parallell matnng kan då förläggas från produktonsanläggnng tll nätets mer perfera delar, vlket ger en rngkopplng. Bestämnng av flödesrktnng nät med rngmatnngar kan nte ske analytskt. Beräknng av flöde och tryck blr komplcerat och en teratv metod krävs för att beräkna dessa parametrar systemet. I Fgur 1 vsas en möjlg kombnaton av rnglednngar och trädlednngar. Fgur 1: Rnglednngar (heldragna svarta) och trädlednngar (prckade blå) Lednngarnas teknska uppbyggnad Fjärrvärmelednngar består normalt av ett nre rör för det värmebärande medet (mederör) med tllhörande solerng och ett skyddande yttre mantelrör av plast. Mederöret består normalt av stål eller koppar och tål nre övertryck upp tll 16 eller 5 bar vd 10 C. Mederör av plast (PEX) förekommer också, men dessa är känslga för höga tryck och temperaturer. Av effektvtetsskäl levereras rören normalt försolerade, antngen med 9 (43)

10 ndvduell solerng för varje rör (framlednng respektve returlednng) eller med gemensam solerng, så kallade dubbelrör. Fgur : Fjärrvärmerör av dubbelrörstyp under nedläggnng rörgrav. Foto: Logstor.com I stamnätet används rör med stor dameter, medan den perfera strukturen har rör med mndre dameter. Dametern anges ofta som så kallad nomnell dameter, betecknad DN följt av den nomnella dametern, tll exempel DN40 och DN100. Den nomnella dametern motsvarar ungefär rördametern mätt mm. För att ge ett grepp om vlka storlekar som används kan nämnas att typska dmensoner ett fjärrvärmenät med värmebehov motsvarande ca vllor är ca DN300 för utmatnng från värmeverket och ca DN0 tll DN50 nom vllaområden. 4.. Syfte Det prmära målet för detta examensarbete är att utforma och mplementera en metod för bestämnng av tryck, flöde och andra ntressanta storheter fjärrvärmenät med ett godtycklgt antal rngmatnngar och ett godtycklgt antal produktonsanläggnngar och brukare, samt att presentera resultatet på ett ntutvt sätt. I arbetet ngår även att dentfera och formulera nödvändga algortmer för att effektvt kunna göra beräknngar enlgt ovan. Det färdga systemet ska vara praktskt användbart med hänsyn tll faktsk arbetsnsats avseende modellerng och beräknng. Resultaten ska presenteras på ett pedagogskt och lättförståelgt sätt. 10 (43)

11 4.3. Begränsnngar Systemet ska ta hänsyn tll tryckfall på grund av frkton lednngar. Möjlghet tll vdareutvecklng avseende övrga tryck- eller flödesbegränsande komponenter så som lokala förträngnngar och hastga rktnngsförändrngar fnns, men dessa behandlas nte nom detta examensarbete, då deras nverkan på det totala tryckfallet är försumbart. Hänsyn tas nte tll temperaturförluster lednngar. I ett dmensonerande flödesscenaro är värmeförlusterna ofta relatvt små. Avkylnngen är praktken endast lten grad beroende av flödet och beror huvudsaklgen endast av solerngens tjocklek och egenskaper samt temperaturdfferensen mellan fjärrvärmevattnet och omkrnglggande mark. 11 (43)

12 5. Verktyg 5.1. Geometrsk modell Allmänt Modellerngen av det fysska lednngsnätet görs rtprogrammet AutoCAD från Autodesk. Vd projekterng och dokumentaton av lednngsnät används ofta antngen AutoCAD eller program som kan exportera tll AutoCAD-kompatbla flformat. Därför fnns underlag för en tryckfallsberäknng ofta att tllgå för AutoCAD. AutoCAD är ett mycket välanvänt program nom fjärrvärmebranschen. Tröskeln för att modellera nätet blr därmed förhållandevs låg Lednngar I AutoCAD används så kallade rtnngslager som ska representera tradtonella transparenta rtflmer. Varje rtnngslager kan namnges och ges presentatonsegenskaper, tll exempel färg, lnjetjocklek och lnjetyp. Dessa fktva lager kan vsas och döljas ndvduellt. Genom att placera lednngar särsklda lager baserat på lednngens dmenson behövs ngen särsklt tlläggsmjukvara AutoCAD för att modellera lednngarna. Genom att namnge lagren enlgt ett särsklt mönster kan beräknngsprogrammet tolka lednngarnas rördmenson Produktonsanläggnngar och kundanläggnngar Produktonsanläggnngar och kundanläggnngar anges rtnngen med ett på förhand defnerat rtobjekt. Rtobjektet har en textparameter där en unk betecknng, tll exempel anläggnngsnummer, anges. I rtnngen anges endast kundanläggnngens placerng och unka betecknng. Tllförd eller uttagen värmeeffekt och textmässg beskrvnng av kunden anges ett annat system enlgt avsntt Värmeeffekt För angvelse av uttagen värmeeffekt kundanläggnngar och tllförd värmeeffekt produktonsanläggnngar används Mcrosoft Excel. De flesta fjärrvärmebolag kan exportera 1 (43)

13 kundlstor tll Excel eller något kompatbelt format, vlket gör nformatonsöverförngen relatvt enkel. Beroende på underlagets kvaltet och omfattnng kan ytterlgare beräknngar behöva göras för att bestämma värmeeffekt för kunder och produktonsanläggnngar. En Excel-mall har tagts fram för att underlätta hanterngen. Även tlläggsnformaton som fastghetsbetecknng, kundnamn etc. kan anges denna förtecknng Sammanställnng av modell Allmänt För att sammanfoga den geometrska modellen och värmeeffekter för produktons- och kundanläggnngar har mjukvara utvecklats nom examensarbetet för AutoCAD och Excel Vsual Basc for Applcatons (VBA), en utvecklngsmljö ntegrerad såväl AutoCAD som Excel. Indata tll beräknngsprogrammet lagras XML-format. XML (Extensble Markup Language) är ett unversellt märkspråk för strukturerng av data. Formatet används ofta för överförng av data mellan nformatonssystem Geometrsk modell Från AutoCAD exporteras den geometrska modellen tll en XML-fl bestående av tre typer av data: 1. noder. lednngar mellan noder 3. placerng av kund-/produktonsanläggnng. Noder anges med poston tre dmensoner. Varje lednng modellen är obruten och har samma dmenson längs hela lednngen. Om en avgrenng eller dmensonsförändrng ska ske, så sker det genom att lednngen ansluter tll en nod, varfrån nya lednngar löper. Beroende på hur lednngarna är rtade AutoCAD kan en lednng representera allt från en lten passbt på några decmeter tll en överförngslednng som sträcker sg flera ml. Antalet lednngar modellen sträcker sg från några enstaka tll flera tusen. 13 (43)

14 För lednngarna exporteras även nformaton om AutoCAD-lager för att senare kunna uttolka lednngens dmenson Värmeeffekt Från Excel exporteras tllförd och uttagen värmeeffekt respektve kund- och produktonsanläggnng, uttryckt klowatt Utvecklng av tryckfallsberäknng Programmet för tryckfallsberäknng har utvecklats Mcrosoft Vsual Basc 6.0, en utvecklngsmljö för Mcrosoft Wndows. Valet föll på denna utvecklngsmljö främst på grund av dess mljö för att snabbt och enkelt utveckla program för Mcrosoft Wndows. Vd denna rapports författande är utvecklngsmljön ersatt av modernare språk och utvecklngsverktyg, men trots detta fungerar den tdgare utvecklngsmljön fortfarande moderna versoner av Wndows. Språket som används Vsual Basc 6.0 fnns tll stora delar än dag kvar Vsual Basc for Applcatons (VBA) som används för utvecklng Excel, Word, Access, AutoCAD och andra vanlgt förekommande program. 14 (43)

15 6. Metoder 6.1. Tryckfall lednngar Inlednng I detta avsntt beskrvs de fyskalska samband som används för att beräkna tryckfall lednngar. Endast en överskt över relevanta ekvatoner ges. För härlednngar och djupare förklarngar hänvsas tll Crane (Crane Co., 198), som är en av de mer ansedda böckerna ämnet Bernoulls ekvaton Sambandet mellan tryck, hastghet och höjd kan beskrvas av Bernoulls ekvaton (1) (Fox, 004). Förutsättnngen för ekvatonen är: 1. statonärt flöde. nkompressbelt flöde 3. frktonsfrtt flöde 4. flöde längs en strömlnje. v gh p konstant (1) v = vätskans hastghet g = tyngdacceleraton h = höjd relatvt gemensam referens p = tryck ρ = denstet. I fallet då flödet nte är frktonsfrtt kan Bernoulls ekvaton formuleras om tll en balans mellan två punkter längs flödeslnjen, punkt 1 och punkt, och kompletteras med en term för tryckfall på grund av frkton, p. Relatonen mellan de två punkterna beskrvs av (). f p 1 v v 1 gh p gh p () 1 f 15 (43)

16 , Tryckfall lokala komponenter Tryckfall vd flöde genom lokala komponenter såsom böjar, avgrenngar och dylkt kan dessa sammanhang hanteras genom att dessa detaljer tllsätts en ekvvalent lednngslängd med motsvarande tryckfall (Hamll, 010). Den ekvvalenta längden för en vss detalj, tll exempel en ensam 90-gradersböj, är proportonell mot rördmensonen. Varje detalj har en emprskt fastställd faktor som beskrver dess ekvvalenta längd förhållande tll rördmensonen. Vd beräknng av tryckfall fjärrvärmenät som nnehåller ett stort antal böjar, avgrenngar etc. skulle det vara ett tdsödande jobb att markera ut varje enskld detalj. En böj normalt förekommande dmensoner ger storleksordnng några enstaka meter längdpåslag. Detta längdpåslag är relatvt ltet jämfört med de raksträckor som normalt förekommer. I denna beräknng tas därför nte hänsyn tll tryckfall lokala komponenter Reynoldstal Reynoldstalet är ett dmensonslöst tal som beskrver om en vss flud strömmar lamnärt eller turbulent. Reynoldstalet Re för en flud en crkulär lednng kan räknas ut enlgt (3). Dv Re (3) D = lednngens nnerdameter v = medelhastghet ρ = denstet μ = dynamsk vskostet Flödet är lamnärt vd Re < 000 och turbulent vd Re > 4000 (Crane Co., 198). Mellan dessa två värden fnns den så kallade övergångszonen eller krtska zonen där flödets karaktär är svårförutsägbar Darcy-Wesbach s ekvaton Darcy-Wesbachs ekvaton (4) beskrver det tryckfall lednngar som uppkommer på grund av frkton (Crane Co., 198). L v p f f (4) D 16 (43)

17 pf = frktonsberoende tryckfall f = Darcy-Wesbach s frktonsfaktor L = lednngens längd D = lednngens nnerdameter Darcy-Wesbachs frktonsfaktor f, bland även kallad Moodys frktonsfaktor, beräknas på olka sätt beroende på om flödet är lamnärt eller turbulent. För lamnära flöden crkulära rör kan frktonsfaktorn beräknas enlgt (5) (Crane Co., 198). f 64 (5) Re För turbulenta flöden kan frktonsfaktorn nstället beräknas två steg: 1. Approxmera f enlgt Swamee-Jans ekvaton (6).. Förbättra approxmatonen teratvt med Colebrook-Whtes formel (7). I övergångszonen där Reynoldstalet lgger mellan 000 och 4000 är frktonsfaktorn svårbestämd. I fjärrvärmelednngar kan dock beaktas att typsk hastghet vd fullt flöde är ca 1-3 m/s. Hastgheter över ca 0,1 m/s nnebär att flödet är turbulent för alla rördmensoner fjärrvärmesammanhang utom möjlgen de allra mnsta. För större dmensoner ger även betydlgt lägre hastgheter turbulent flöde. I detta arbete har Colebrook-Whtes formel (7) använts även övergångsområdet. Eftersom tryckfallet en lednng av en specfk dmenson är proportonell mot medehastgheten kvadrat enlgt (4), så kommer felet som uppstår på grund av denna approxmaton att vara ltet jämfört med lednngar med normala flöden. Felet kan därför anses vara försumbart sammanhanget Swamee-Jan För att få en approxmatv lösnng av Darcy-Wesbachs frktonsfaktor för ett crkulärt rör används Swamee-Jans ekvaton (6). f ln 1,35 5,74 (6) 0, 9 3,7 D Re ε = ytråhet D = nnerdameter Re = Reynoldstal 17 (43)

18 Ytråhet beskrver ytans skrovlghet och har för kommersellt stål typskt värdet 0,05 mm (Crane Co., 198). Skrovlgheten ökar normalt med åldern Colebrook-Whte Approxmatonen av Darcy-Wesbachs frktonsfaktor förbättras vdare genom teratv användnng av Colebrook-Whtes ekvaton (7). 1 f log 10 3,7 D Re,51 f (7) Oftast är algortmen stabl och konvergerar nom ett fåtal teratoner (Fox, 004). 6.. Beräknngsmetod för rngar Allmänt I detta avsntt beskrvs de metoder som används för att bestämma flöde och tryck rngar Grundläggande prncper Ett lednngsnät för vatten kan på många sätt lknas vd en elektrsk krets. Även Krchhoffs lagar är vss mån tllämplga. I varje nod ett lednngsnät för vatten måste bevarande av massa gälla, dvs. summan av massflöden tll noden måste vara exakt 0. Om medet är nkompressbelt nnebär det att summan av volymflöden tll noden också måste vara exakt 0. Detta motsvarar Krchhoffs första lag, Krchhoffs strömlag. Den elektrska strömmen motsvaras här av volymflödet tll noden. Detta kan exemplferas Fgur 3 med en nod med tre anslutande flöden. Q1 Q3 Q Fgur 3: Exempel på nod med tre anslutande lednngar Q Q Q 0 (8) 1 3 Detta kan också skrvas mer generellt som en summa. Q 0 (9) 18 (43)

19 Med begreppet rng avses en sluten väg genom lednngsnätet. Det ackumulerade tryckfallet för varje rng måste vara exakt 0. Detta motsvarar Krchhoffs andra lag, Krchhoffs spännngslag. Potentalförändrngar över lednngar elektrska nät motsvaras här av tryckförändrng. Notatonen p a b avser tryckfallet från a tll b. Detta är rktnngsberoende, vlket nnebär att p a b p b a. Detta kan exemplferas Fgur 4 med en rng bestående av tre lednngar. Q1 Q 1 Q3 3 Fgur 4: Exempel på rng med tre lednngar p p p 0 (10) Detta kan även skrvas med generellt som en summa. p 0 (11) Tryckfallet ett specfkt lednngselement är proportonellt mot flödet kvadrat enlgt Darcy- Wesbach (4). Detta är en vktg skllnad mot elektrska nät, där potentalförändrngen över en specfk lednng är drekt proportonell mot strömmen lednngen. p aq (1) a L 8 f (13) 4 D π D För att ta hänsyn tll flödets rktnng kan (1) skrvas så att tryckförändrngen blr negatv flödesrktnngen. p aq Q (14) Ekvatonssystem Varje lednngsnät med nl lednngselement sammanknutna nn noder har (nl nn + 1) nterna rngar. V benämner detta antal nr. En ntern rng är en rng som nte korsas av andra rngar. Se Fgur 5 för exempel. 19 (43)

20 Fgur 5: Nät med fyra nre rngar markerade med färg Varje nod ger upphov tll en ekvaton avseende flödesbalans. Detta ekvatonssystem är dock lnjärt beroende; om flödena vd alla noder utom en har bestämts, kommer flödena vd den ssta noden också att vara kända. Varje ntern rng tllför en ekvaton för att balansera trycket. Totalt kommer systemet bestå av (nn 1) ekvatoner avseende flödesbalans och nr = (nl nn + 1) ekvatoner avseende tryckbalans. För att lösa problemet med nl okända flöden fnns nu ett system med totalt nl ekvatoner, som kan skrvas på följande form. nn 1 ekvatoner för flödesbalans Q 0 nr ekvatoner för tryckbalans a Q Q 0 För ekvatoner för flödesbalans sker summerng av flöde samtlga anslutnngar tll respektve nod. Detta nkluderar även flöde med anlednng av kundanläggnngar och produktonsanläggnngar. För ekvatoner för tryckbalans avser summan tryckfall lednngar ett varv längs rngen. Systemet ovan är komplcerat att lösa och behöver vss förenklng Förenklng av ekvatoner Ekvatonerna systemets första del beskrver flödesbalans. Det fnns oändlgt många lösnngar tll dessa ekvatoner, där skllnaden mellan lösnngarna endast utgörs av flöden de nterna rngarna. Ekvatonen kan därför förenklas. 0 (43)

21 Det är enkelt att starta en nod och därefter gå genom nätet för att htta en ntal gssnng som uppfyller kravet på flödesbalans. Genom att en rng justera flödet med ett godtycklgt värde Q samtlga lednngselement ( samma rktnng) fås en ny lösnng som också uppfyller ekvatonerna för flödesbalans. På detta sätt kan v reducera ekvatonen för flödesbalans tll att endast ha en varabel per rng, Q. Efter förenklngen ovan fnns för varje rng endast en varabel ( Q) och en tryckbalansekvaton. Målet är nu att htta en ndvduell justerng Q för varje rng så att ekvatonssystemets andra del, tryckbalansekvatonerna, uppfylls. För varje rng betraktas endast de lednngar som ngår rngen. För varje rng förutsätts flödet för närvarande vara postvt medsols rktnng. Detta löses praktskt längre fram. V har därmed förenklat ekvatonsystemet tll att endast omfatta följande ekvaton för varje av de nr rngarna. a ( Q Q ) ( Q Q ) 0 (15) Q = ntalt flöde lednng V har nu nr ekvatoner och lka många obekanta. För att förenkla beräknngen kan ekvatonerna lnearseras enlgt Newtons metod och lösas genom teraton. Eftersom en justerng en rng påverkar andra rngar med gemensamma lednngar behöver lösnngarna sökas parallellt. Att först lösa tryckbalansen för en rng och därefter för nästa rng skulle ofta medföra en rubbnng av tryckbalansen den första rngen Taylor-utvecklng Om flödet ett ensklt lednngselement förändras med ett ltet värde Q så att det nya flödet blr Q Q Q, kan tryckfallet p lednngssegmentet approxmeras genom en Taylorutvecklng: p d p Q d p p Q... (16) dq! dq Dervatan av tryckfall med avseende på flöde härleds från (14): d p dq a Q (17) 1 (43)

22 Genom att endast använda de två första termerna från Taylor-utvecklngen fås en lnjär approxmaton för tryckfallet. p aq Q a Q Q (18) Hardy Cross Eftersom beräknngen av tryckfall längs en rng är beroende av att flödesrktnngen beaktas, nför v faktorn s som för varje lednng defneras så att s = 1 för medsols flöde och s = 1 för motsols flöde. För varje rng gäller en specfk uppsättnng s. Med beaktande av (18) kan ekvatonen för tryckbalans (11) formuleras enlgt följande. s a Q Q s a Q Q 0 (19) Summan (19) kan delas upp två delsummor. s a Q Q s a Q Q 0 (0) Endast en rng betraktas åt gången. Låt flödet rngen förändras med Q medsols rngen. Med tanke på rktnngsfaktorn s ges då följande justerng för varje lednng rngen. Eftersom s är antngen 1 eller -1 gäller att: Uttrycken (0), (1) och () ger tllsammans följande. Q s Q (1) s 1 () s a Q Q a Q Q 0 (3) Ur (3) kan Q lösas ut, förutsatt att nämnaren är skljd från 0. Q s a Q a Q Q (4) Denna ekvaton ger en lnjär approxmaton av den flödeskorrgerng som behövs för att balansera trycket en rng. Genom att teratvt beräkna och tllämpa justerngen enlgt ovan för samtlga rngar parallellt uppnås tll slut en flödesdstrbuton som uppfyller tryckbalanskrteret (Cross, 1936). Metoden publcerades 1936 av Hardy Cross, professor (43)

23 3 (43) konstruktonsteknk vd Unversty of Illnos at Urbana Champagn och baseras på en beräknngsmetod för momentfördelnng ramverk av betong som publcerades av Cross år Metoden för teratv flödeskorrgerng kallas Hardy Cross-metoden. Med avseende på lösnngen av det lnjärserade ekvatonssystemet kan Hardy Cross-metoden sn ursprungsform ses som en Jacob-metod (Afshar, 1996). I detta fall har dock tllämpats successv ersättnng enlgt Gauss-Sedel-metoden, som använder värden från den pågående teratonen där sådana fnns Matrsnotaton Problemställnngen skulle efter lnjärserng kunna formuleras enlgt följande. P Q J (5) R R R R R R R n n n n n n n Q a Q P Q P Q P Q P Q a Q P Q P Q a Q P Q P Q P Q a J rng rng 3 rng rng Q n R Q Q Q Q 3 1 P n R P P P P 3 1 Jacobanen J är en symmetrsk matrs av storlek nr nr. Elementen på dagonalen motsvarar nämnaren (4), medan element utanför dagonalen representerar justerng av tryckfall på grund av överlapp mellan rngar. Överlapp mellan två rngar nnebär att rngarna består av

24 delvs samma lednngar. Värden nedre vänstra delen har utelämnats för läsbarhetens skull. Q är sökta flödesjusterngar, en per rng. P är totalt tryckfall, ett per rng. För att matcha formen för Gauss-Sedel-teraton kan matrsen skrvas på formen J = L* + U, där L* är en nedåt trangulär matrs och U är en strkt uppåt trangulär matrs. De lnjära ekvatonerna kan då skrvas enlgt följande. L Q P U Q * (6) Gauss-Sedel löser vänsterledet genom att använda förra teratonens resultat högerledet. Detta kan skrvas enlgt följande, där (k) och (k+1) avser föregående respektve nuvarande teraton. Q ( k 1 ) 1 ( k ) L * P U Q (7) Tllvägagångssätt för lösnng med Hardy Cross Hardy Cross-metoden använder följande teratva tllvägagångssätt. 1. Beräkna en ntal gssnng där summan av volymflöden tll varje nod är exakt 0.. Gör följande justerng för varje rng. a. Beräkna flödeskorrgerng ΔQ för rngen enlgt (4). b. Justera flödet samtlga lednngen rngen med ΔQ. 3. Repetera steg tlls konvergens uppnåtts. Hur denna metod tllämpats praktskt presenteras vdare avsntt Modelldefnton För att beskrva ett lednngsnät med produktonsanläggnngar, kundanläggnngar, fyskalska parametrar etc, måste detta modelleras på ett konsekvent sätt som dessutom medger flexbltet nätets utformnng. Detta avsntt beskrver den använda datamodellen Lednngsnät Lednngsnätet defneras som noder och lednngar. Varje lednng löper mellan två noder. Tll varje nod kan knytas ett godtycklgt antal lednngar. Fram- och returlednngsnät defneras nte var för sg, utan hanteras som ett enda nät av noder och lednngar. Beräknngar sker dock separat för framlednng respektve returlednng, beroende på att de olka medetemperaturerna lednngarna ger olka beräknngsförutsättnngar. 4 (43)

25 6.3.. Produktonsanläggnngar och kundanläggnngar Tll varje nod lednngsnätet kan ett godtycklgt antal effektbehov knytas. Produktonsanläggnngar och kundanläggnngar skljs åt endast genom effektbehovets tecken. Ett postvt effektbehov representerar en kundanläggnng medan ett negatvt effektbehov representerar en produktonsanläggnng Temperaturer Medets temperatur måste vara känt för att kunna bestämma dess fyskalska egenskaper. Temperatur anges för framlednng och returlednng var för sg Flformat Noder, lednngar samt effektbehov (kundanläggnngar och produktonsanläggnngar) defneras en gemensam XML-fl Algortmer för dentferng av rngar För att dentfera och gruppera de lednngar som ngår rngar har ett flertal egna algortmer utarbetats. Algortmerna förutsätter att noder och lednngar hänger samman ett enda nät. Nätets lednngar klassfceras som trädlednng eller rnglednng, baserat på den geometrska sturktur de ngår. På en lednng X kallar v lednngens två ändar för A och B. Om man kan gå från A tll B utan att gå va lednng X, så är lednng X en rnglednng. I annat fall är X en trädlednng. En llustraton av rnglednngar och trädlednngar fnns Fgur Identfera lednngar som ngår rngar Först undersöks hela nätet för att klassfcera lednngar såsom del av rngar eller del av träd. Intalt anges alla noder och alla lednngar som oklassfcerade. Från en godtycklg nod traverseras därefter nätet med följande rekursva funkton. Med startnod avses nedan den nod som funktonen för tllfället utgår från. 1. Klassfcera startnoden som träd.. Alla lednngar från startnoden läggs en lsta att kontrollera, förutom lednngen som ledde algortmen tll startnoden. Med djupet först undersöks varje lednng lstan. 3. Om slutnoden ( andra änden av lednngen) har klassfcerats som rng eller träd har en rng httats. Gör då följande. 5 (43)

26 a. Klassfcera lednngen som rng. b. Klassfcera startnoden som rng. c. Öka slutnodens räknare för hur många rngar som har slutts slutnoden. 4. Annars gör följande. a. Klassfcera lednngen som träd. b. Kör den rekursva funktonen med slutnoden och lednngen som parametrar. Som svar returneras antalet rngar som lednngen ngår. c. Om antalet rngar som lednngen ngår är > 0, gör följande.. Klassfcera lednngen som rng.. Klassfcera startnoden som rng. 5. Returnera antalet rngar som påträffats de undersökta lednngarna från startnoden mnus antalet rngar som har slutts startnoden Gruppera tll rngsegment Lednngar dentferade som rnglednngar punkt knyts hop längre kedjor, rngsegment, vars ändpunkter utgör ändpunkt för mnst tre rngsegment, utom det fall då rngsegmentet ensamt utgör en rng och därmed har samma startnod som slutnod. Följande process används för att gruppera lednngarna tll rngsegment. 1. Ett tomt rngsegment skapas.. En godtycklg rnglednng (startlednng) som ännu nte ngår ett rngsegment väljs ut och läggs rngsegmentet. 3. För varje av de två ändnoderna på rnglednngen körs en rekursv funkton beskrven nedan. 4. Om det endast fnns en (1) rnglednng utöver startlednngen knuten tll noden så läggs den tll rngsegmentet och den rekursva funktonen går vdare tll den nyss tllagda rnglednngens andra ändnod för ytterlgare en teraton. Om fler än en rnglednng fnns utöver startlednngen, så har v httat en kopplngspunkt mellan flera rngsegment och funktonen kan avslutas. 5. Efter att den rekursva funktonen har körts på den ursprunglga rnglednngens två ändnoder sparas rngsegmentet undan. 6. Om det fnns rnglednngar (någonstans nätet) som nte ngår ett rngsegment, börjar processen om på steg 1. 6 (43)

27 Identfera solerade rngsegment Rngsegment som har samma startnod som slutnod och därmed utgör en sluten rng dentferas. Dessa solerade rngsegment kan vsserlgen ha sn (enda) ändnod gemensam med andra rngsegment, men betraktas ändå som ett solerat rngsegment Identfera rngsegmentkluster Rngsegment som nte konstaterats vara solerade grupperas tll rngsegmentkluster, där varje kluster består av rngsegment som har gemensamma ändnoder. Alla rngsegment ett rngsegmentkluster kan därmed nås från varandra utan att behöva gå va trädlednngar Identfera beräknngsrngar Inom varje rngsegmentkluster dentferas slutna rngar. Flödesblden en grupp med r rngsegment och n noder defneras av r n + 1 oberoende rngar. Fler rngar kan httas, men de kan då beskrvas som lnjärkombnatoner av de tdgare. Som beräknngsrngar väljes därför bara de förstnämnda. Det är av beräknngsprestandaskäl gynnsamt att ha så korta rngar som möjlgt. För snabb konvergens vd kommande beräknng är det också gynnsamt att undvka överlapp mellan beräknngsrngarna. Vd dentferng av beräknngsrngar sker därför en söknng efter startnoden med bredden först för att sträva efter beräknngsrngar med få segment och få överlapp. Algortmen väljer ut en startlednng och provar om startnoden kan nås på djup 1. Därefter provas på djup, djup 3 osv. tlls startnoden kan nås. Se llustraton Fgur 6. På varje djup söks först efter rngar va befntlga beräknngsrngar. Om det nte lyckas tllåts vägen även gå va lednngar som nte tllhör en beräknngsrng. Djup 1 Djup Djup 3 Fgur 6: Söknng efter startnod med bredden först Restrktoner sätts för hur beräknngsrngen får överlappa redan dentferade beräknngsrngar. När startnoden nås har en beräknngsrng dentferats. Beräknngsrngen sparas och en 7 (43)

28 ny beräknngsrng söks. När alla lednngssegment är slut har r n + 1 lnjärt oberoende beräknngsrngar dentferats Vattenegenskaper För att beräkna tryckfall lednngar behövs kännedom om vskostet, denstet med flera fyskalska egenskaper. För beräknng av sådana fyskalska egenskaper för vatten har The Internatonal Assocaton for the Propertes of Water and Steam (IAPWS) tagt fram en uppsättnng approxmatoner kallad IAPWS-IF97. Dessa har mplementerats en tlläggsmodul för Excel (Spang, 00). Tlläggsmodulen är skrven VBA. Källkoden har nom detta projekt modferats något för att kunna köras Vsual Basc 6. Förändrngarna är endast av syntaxmässg art och påverkar nte resultatet av beräknngarna. Vss lagrng av tdgare beräknade fyskalska egenskaper sker för att undvka repettva beräknngar Beräknng av tryckfall Allmänt Detta avsntt beskrver översktlgt processen för beräknng av tryckfall nätet när rngar, rngsegment, beräknngsrngar o.dyl. bestämts enlgt avsntt Flödesberäknng för produktonsanläggnngar och kundanläggnngar För framlednng respektve returlednng anges medetemperatur. Denna är typskt C för framlednngen och C för returlednngen. Samma temperatur antas gälla hela nätet. För varje produktonsanläggnng och kundanläggnng beräknas massflödet genom anläggnngen genom att dvdera effektbehovet med entalpskllnaden mellan framlednng och returlednng. Volymflödet beräknas genom att multplcera massflödet med densteten. Densteten är temperaturberoende och skljer därför mellan framlednng och returlednng. 8 (43)

29 Beräknng av flöde och tryckfall nät Genom ovanstående traverserng fås ett nät som uppfyller kravet på flödeskontnutet. Kravet på tryckkontnutet rngar uppfylls däremot nte. Det kvadratska medelvärdet för avvkelsen tryck för varje rng kan användas för att kvantfera konvergensen. Det kvadratska medelvärdet kallas även RMS från engelskans root mean square. Tryckkontnutet uppnås med Hardy Cross-metoden enlgt avsntt Här beskrvs stegen närmare. Följande moment sker som förberedelse redan när modellen läses n. 1. Lednngar som ngår rngar dentferas enlgt avsntt Lednngar som ngår rngar grupperas tll rngsegment enlgt avsntt Isolerade rngsegment dentferas enlgt avsntt Dessa bldar egna rngsegmentkluster bestående av endast ett rngsegment. 4. Rngsegmentkluster dentferas enlgt avsntt Beräknngsrngar dentferas respektve rngsegmentkluster enlgt avsntt Rktnngsfaktorn s bestäms enlgt avsntt 6..6 för varje kombnaton av rng och lednng. När användaren väljer att köra beräknngen sker följande process. 7. För varje nod beräknas n- och utflöde för kundanläggnngar och produktonsanläggnngar enlgt avsntt En ntal gssnng som uppfyller flödesbalans beräknas. Det sker genom att nätet traverseras rekursvt från godtycklg nod. Flöden längre ut nätet summeras. Tdgare besökta noder och lednngar gnoreras vd traverserngen. Det motsvarar att rngar klpps upp tll en ren trädstruktur. I detta läge uppfylls flödesbalans, men högst trolgen nte tryckbalans. 9. Följande justerng görs för varje rng. a. Beräkna faktorn a enlgt (13) för varje lednng rngen. b. Beräkna summorna s a Q Q och Q a. c. Beräkna flödeskorrgerng ΔQ för rngen enlgt (4). d. Justera flödet samtlga lednngen rngen med ΔQ med beaktande av respektve rktnngsfaktor s. 9 (43)

30 e. Beräkna totalt tryckfall rngen enlgt Darcy-Wesbachs ekvaton (4). Vd tryckbalans kommer totalt tryckfall rngen att bl 0 och därmed uppfylla ekvaton (10). 10. RMS för totalt tryckfall rngarna beräknas. Om RMS-värdet nte förändras under ett vsst antal teratoner antas beräknngen ha avstannat och avslutas. 11. Om antalet teratoner överstger ett på förhand bestämt antal, normalt 500 teratoner, så avslutas beräknngen. 1. Om varken stabltet eller maxmalt antal teratoner uppnåtts så körs ännu en teraton med början på steg 9 ovan. 13. Om kvarvarande fel är ltet så betraktas beräknngen som löst. I annat fall meddelas att ngen lösnng httats. 14. Tryck samtlga noder hela nätet beräknas med Darcy-Wesbachs ekvaton (4). Dessa utgår detta läge från en av användaren vald referensnod, där användaren har haft möjlghet att ange referenstryck. Processen ovan sker separat för framlednng respektve returlednng, eftersom de temperaturmässga förutsättnngarna skljer sg åt Jämförelse med andra beräknngsprogram Beräknng av tryckfall enkla lednngar har jämförts med andra på marknaden förekommande program. Särsklt har jämförelse skett med SF Pressure Drop från Software-Factory Norbert Schmtz. Mycket god överensstämmelse vsas, där skllnaden resulterande tryckfall för de två beräknngsmetoderna som högst skljer med ca 0,1 procent, vlket får anses vara försumbart sammanhanget. Genom att kontnutet har uppnåtts för flöde och tryck, så har en fullgod lösnng uppnåtts för rngarnas flöde. Vdare kontroll av Hardy Cross-metodens resultat behövs därför nte Automatsk dmensonerng Då det förekommer att lednngsnät ska beräknas utan att rördmensonerna ännu bestämts, fnns en funkton för automatskt val av rör dmenson baserat på schablonmässga gränser för hastghet och tryckfall per längd. 30 (43)

31 6.9. Kontrollfunktoner Programmet tllhandahåller även kontrollfunktoner för att säkerställa att effektbalans råder nätet. Med det menas att totalt producerad och totalt förbrukad effekt är lka. Vd genererng av nätets geometrska modelll baserat på rtnngsdata fnns vss tolerans för rtfel, där lednngar nte ansluter exakt samma punkt. Om dessa toleranser överskrds kan det resultera oönskade uppdelnngar av nätet. En kontrollfunkton fnns därför för att säkerställa att nätet är sammanhängande. 31 (43)

32 7. Presentaton 7.1. Standardvy Lednngsnätet presenteras grafskt med lednngar där lnjebredden representerar rörets dmenson. Rnglednngar vsas med avvkande färg. Användaren kan zooma n och ut nätet. En autozoom-funkton fnns för att vsa hela nätet. Genom att klcka på en nod eller en lednng vsas väsentlga data för objektet, såsom dmenson, flöde, hastghet, tryckfall eller anslutna kunder. Se exempel Fgur 7. Fgur 7: Huvudvy programmet med en lednng markerad nedre vänstra delen 3 (43)

33 7.. Färgskalor Ett av huvudsyftena med programmet var att på ett ntutvt sätt kunna arbeta med beräknngsresultatet. Genom att ge möjlghet att färgkoda lednngar och noder baserat på dess beräknngsresultat ges en överblck som är mycket svår att få med textresultat. Några exempel på detta är följande. Färgkodat relatvt tryckfall ger en överskt över trånga sektorer nätet. Se Fgur 8. Färgkodat volymflöde ger en bld av vlka kundanläggnngar som försörjs av respektve produktonsanläggnng samt var stora kunder fnns. Det kan även vsa var nätet flödesfronter möts. Se Fgur 9 Färgkodad tryckdfferens över kundanläggnngar vsar hur nätets tryckbalans ser ut och var det kan uppstå problem med leverans tll kundanläggnngar. Se Fgur 10. Fgur 8: Exempel på vy med färgkodat relatvt tryckfall (mbar/m) 33 (43)

34 Fgur 9: Exempel på vy med färgkodat volymflöde (m 3 /h) 34 (43)

35 Fgur 10: Exempel på vy med färgkodad tryckdfferens (bar) 7.3. Vllkor Samma parameterar som kan användas för att presentera nätet en färgskala kan även användas för att selektera ut objekt genom vllkor. På det sättet kan tll exempel framhävas kunder med specfka värmebehov eller lednngar med specfka dmensoner. Se exempel Fgur (43)

36 7.4. Tabeller Fgur 11: Exempel på vy med vllkor; kunder med effekt över 00 kw markeras med rött För noder, lednngar, kundanläggnngar och produktonsanläggnngar fnns även tabeller med väsentlga data. Dessa kan sorteras på valfr parameter Export av data Grafk Lednngsnätet kan skrvas ut tll skrvare. Som underlag tll rapport kan det lämplgen ske tll en PDF-skrvare för vdare bearbetnng. Den presenterade blden kan också koperas som en bld. 36 (43)

37 7.5.. Google Earth Va en separat modul kan modellen exporteras tll KML-format som kan tolkas av tll exempel gratsverktyget Google Earth. Det gör att nätet kan vsas en 3D-värld med byggnader och topograf. Denna exportfunkton tllhandahåller nte någon nformaton om tryck eller flöde, utan syftar främst tll att presentera nätets utbrednng och vsa vss nformaton om kundanläggnngarna. Se exempel Fgur 1. Fgur 1: Exempel på vsualserng Google Earth med 3D-modellerade byggnader Mängdförtecknng Summerade lednngslängder grupperat per dmenson kan sammanställas en tabell för export. Detta kan även ske separerat på olka lednngskategorer, tll exempel befntlga lednngar och nya lednngar eller per etapp. Uppdelnngen olka lednngskategorer sker genom att namnge lednngslagret AutoCAD enlgt ett vsst mönster. Denna funkton tllsammans med den automatska dmensonerngen enlgt avsntt 6.8 har bland annat använts som underlag för kostnadsbedömnng utbyggnadsprojekt Export tll Hydroram Företaget Hydroram AB Göteborg är specalserade på beräknng av tryckslag lednngsnät. Modellen av lednngsnätet kan exporteras för vdare behandlng Hydrorams program. 37 (43)

38 8. Resultat och dskusson 8.1. Användbarhet Programmet för tryckfallsberäknng har vsat sg tll stor nytta för vd analys av fjärrvärmenät åt fjärrvärmeföretag. Inom konsultverksamhet har programmet använts för beräknng av tryckfall fjärrvärmenät på sammanlagt ett trettotal orter Sverge, Norge och Storbrtannen. Httlls har programmet nte publcerats. Det beror delvs på att det behövs vss anpassnng för att göra programmet tllräcklgt användarvänlgt och delvs på att målet nte var att tllhandahålla programmet externt, utan att själv kunna utföra beräknngar. Det har vsat sg vd flera tllfällen då fjärrvärmeföretag köpt n andra program för lknande beräknngar att det förutom programmet även krävs kunskap om hur resultatet ska tolkas samt vlka hydraulska orsakssamband som leder tll de problem som konstateras. I fjärrvärmenät fnns normalt sett förhållandevs få mätpunkter för tryck med automatsk sgnalöverförng. Normalt placeras tryckdfferensmätare på några få utvalda ställen nätet. Dstrbutonspumparna styrs för att nå ca 1 bar tryckdfferens vd sämsta punkt, eftersom fjärrvärmecentraler normalt dmensoneras för 1 bar tryckdfferens. I de fall där beräknngen kunnat stämmas av mot verklga mätnngar har överensstämmelsen vart god. Samtlga avvkelser har kunnat hänföras tll osäkerhet eller drekta felaktgheter ndata. Som beräknngsverktyg har nte httats något att nvända mot precsonen beräknngen. Problemen lgger att htta tllräcklgt noggranna ndata. För att ge en uppfattnng om tden det tar att modellera ett lednngsnät kan nämnas att ett typskt lednngsnät med ca 300 kunder tar ca två arbetsdagar om underlaget är av någorlunda god kvaltet. 8.. Prestanda Upplevd beräknngstd Programmet har genomfört beräknngar på fjärrvärmenät bestående av flera tusentals lednngar, över tusen kunder och crka tjugo rngar. Beräknngstden på ett sådant exempelnät är ca 5 sekunder. Tll synes mndre komplexa nät kan dock ta ca sekunder extremfall. Så 38 (43)

39 RMS för tryckavvkelse lång beräknngstd är dock ovanlgt. Normal td är snarare runt ca 5 sekunder på en,0 GHz Intel 7 från år 011. Om nätet endast har en eller ngen rng, så är beräknngen färdg prncp omedelbart efter att den startats. Ingen märkbar fördröjnng sker för användaren. Oavsett orsak tll den längre beräknngstden vssa fall utgör sekunders beräknngstd nte något praktskt problem arbetet. För närvarande fnns därför nte något större behov av att utveckla beräknngsalgortmerna ytterlgare Konvergens Konvergenshastgheten har undersökts två olka nät. Nät 1 har tolv sammanhängande rngar. Nät har ntton rngar, varav sjutton är sammanhängande och övrga två lgger solerade var för sg. RMS för tryckavvkelsen nätets rngar mnskar logartmskt med antalet teratoner. Typskt krävs teratoner för att mnska RMS en topotens dessa komplcerade nät. Några exempel på konvergens vsas Fgur 13 nedan. 1E+09 1E+08 1E+07 1E+06 1E+05 Nät 1 Nät 1E+04 1E+03 1E+0 1E+01 1E+00 1E E-0 1E-03 1E-04 1E-05 1E-06 Antal teratoner Fgur 13: Illustraton av konvergens för några exempelnät Det kan tydlgt ses Fgur 13 ovan att algortmen konvergerar snabbt början, men efter 0 tll 50 teratoner övergår den tll att konvergera helt logartmskt. Detta beror trolgen på att transformatonsmatrsen L * 1 enlgt avsntt 6..7 har något egenvärde som är nära 1 och 39 (43)

40 därmed ger en långsam konvergens. Detta beteende är dock väntat för den använda lösnngsmetoden. Det kan noteras att beräknngen några fall konvergerat betydlgt långsammare, med ca 70 teratoner per topotens. Det vsar sg dock att genom att exportera samma modell med lednngarna annan ordnng, så konvergerar beräknngen stället med ca 30 teratoner per topotens. Skllnaden mellan de två beräknngarna är då endast vlka rngar som dentferats och ordnngen de beräknas. 40 (43)

41 9. Slutsatser Programmet har använts vd faktska kommersella beräknngar och har alltd uppvsat god överensstämmelse med verklgheten. Den största osäkerheten fnns normalt angvelsen av kundernas behov. Det fnns ofta en väsentlg skllnad mellan summan av de förväntade effektbehoven och den faktskt uppmätta utmatade effekten från produktonsanläggnngarna. Tll lten del kan skllnaden hänföras tll sammanlagrng av behov, där maxmala behov nte nträffar samtdgt hela nätet, men huvudsak är det uppvärmnngsbehovet som dmensonerar större kunders effektbehov. För uppvärmnng är reduktonen av summerat behov på grund av sammanlagrng lten, om ens någon kan uppvsas. Den grafska framställnngen har gett stor uppskattnng vd presentaton av beräknngar. Den har dessutom vart tll stor hjälp för eget analysarbete rörande dstrbutonsproblem och framtdsplanerng. Under arbetet har dentferats några områden där en utökad funktonaltet programmet skulle ge ett mervärde. Områdena är någon grad prorterade angelägenhetsgrad, med mer angelägna funktoner tdgt lstan. Lokala tryckhöjnngar för att modellera tryckhöjnngspumpar större nät, möjlgen med ndvduell pumpkarakterstk. Indvduella temperaturer för olka produktonsanläggnngar och olka kundanläggnngar. Beräknng av temperaturförlust längs lednngar. Detta kräver dock ytterlgare nformaton om solerngen för varje beräknngsobjekt. Automatsk genererng av tryckdagram, så kallade tryckstrutar. Automatsk dentferng av lokala komponenter som böjar, avgrenngar, dmensonsförändrngar etc. för lokal tryckpåverkan och mängdberäknng. Parallellserng av beräknngsarbetet för högre prestanda. Modellerng av lednngsnäten för framlednng respektve returlednng var för sg. Omskrvnng av programmet ett modernare programmerngsspråk för framtdssäkrng. 41 (43)

42 10. Referenser Afshar, M. (1996). Improvements n the element by element algorthm for ppe network analyss. Internatonal Journal of Water Resources Engneerng, Crane Co. (198). Flow of fluds through valves, fttngs, and ppe, Metrc edton - SI unts. Crane Co. Cross, H. (1936). Analyss of flow n networks of conduts or conductors. Urbana: Unversty of Illnos. Fox, R. W. (004). Introducton to flud mechancs. John Wley & Sons, Inc. Hamll, L. (010). Understandng Hydraulcs. Palgrave Macmllan. Spang, B. (den 10 februar 00). Hämtat från cheresources.com: 4 (43)

43 Master s Theses n Mathematcal Scences 015:E34 ISSN LUTFNA Numercal Analyss Centre for Mathematcal Scences Lund Unversty Box 118, SE-1 00 Lund, Sweden