Lösningar till övningsuppgifter i

Transkript

1 Löigr ill öviguppgifr i Adr Svärdröm 999

2 Bäm mdlvärd och ffkivvärd för igl i figur. v Uppgif. -,5,5, [] Då igl är ymmrik m..p. k värd bräk övr hlv priod och därfr muliplicr md fkor. Mdlvärd: v m v d v d d,5,5 Alriv k mdlvärd bämm om vävärd där mpliudäh py g v vrför för < y < p y f.ö. v m Effkivvärd: v rm p y ydy ydy,5 v d,5 llr bräk om vävärd,5 d 8,5 v rm p y y dy y dy y d.v.. v rm Svr:,5 och,58 vol Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5

3 I figur d vi vå priodik päigr och b. Uppgif. b V V - V V,, A Bäm iglr ffkivvärd. B Vd kommr kl DC-koppl uivrlirum vi i d båd fll? C Vd blir movrd rul om irum AC-koppl hlvåglikrikig föruä? A v RMS,, [] v d, d, b v RMS v RMS 9,5 V A ; d. v RMS 9, V 9 d [ ], B E DC-koppl irum gör ulg om är proporioll mo igl mdlvärd b v mdl v mdl, v d, d,, V C AC-koppl irum hlvåglikrikr AC-likrikd mdlvärd g v v m,,, d d,,,,, Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5 8 9

4 Irum är förmodlig grdr i ffkivvärd för iu vrför värd må ur md hälp v formfkor F för iu. uff uˆ F u u uˆ md dv. irum vir b i 8 v md F,, 98vol 9, v [ ],, mdl v d, d, dv. irum vir F,, 7vol Svr: - b - c,98 och,7 vol Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5

5 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5 Uppgif. Bäm ffkivvärd för iglr co - i co - i vol b i,i vol Allmä gällr för umm v vå iglr och y d y y d y v y RMS är orogol och om, RMS v RMS v b,.55, RMS v RMS v Svr:,87 vol b, vol

6 Uppgif. Bäm priod för iglr co8 co b i i c 98co 7co co 8 co m 8. 7 vrför priod blir dv. priod v d lågfrkv kompo blir 8 priodr v d högfrkv kompo. b Ig gmm priod irr. Sigl är ä qui- priodik. c 98co 7co Bäm ör gmmm divior md hälp v Euklid lgorim r dv. är ör gmmm divior. Svr: b - c Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 55

7 Bäm formfkor för riglvåg i figur d. Ampliud vol A Uppgif.5 - m -A Formfkor g v F v RMS V mdc v RMS A v RMS d d A A A vm DC Pg. ymmri få d [ S d] A A F A A A d * Skif igl i id för förkl bräkigr. E kif i id påvrkr i mpliudr u d f ho iglkompor. D kifd igl g v A för < <. Svr : V Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5

8 Uppgif. Effk i uigl frå lågpfilr md gräfrkv k om m md vi bru kll bämm. ur or k fl bli om d uppmä värd vrr mo d mom ffk mdlvärdbildd övr kudr S kv. i Siglr och ym Fl ε g v : ε B, Svr % Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 75

9 Uppgif.7 Bäm olikh för vi bru md ffkivvärd 5 vol fr hlvåglikrikig är örr ä 7 vol. D hlvåglikrikd bru vrr mo Ampliudäh för ormlfördl bru g v y σ p y σ Ampliudolikh för hlvåglikrik bru blir därför P < 7 5 Normlir σ y < y σ dy σ [,99,5], 88 y dy Solikh d hlvåglikrikd bru mpliud är >7 Vol är -,88,. Svr:, Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 85

10 Uppgif.8 Bäm och ri mpliudäh- och mpliudolikhfukior för d drmiiik igl i figur d. Bäm äv igl mdlvärd md hälp v mpliudähfukio Ampliud vol k Allmä gällr p y d dy f y P y < p y dy py k här bämm dirk ur figur i problm och Py k därfr igrr frm grfik vilk gr rul i figurr d. Mdlvärd vävärd blir v m p y ydy ydy y Svr: v m,5 V Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 95

11 Uppgif.9 Ampliudfördlig py för igl vi i figur d. Fördlig hr mä upp övr ri på kω. Bäm ffkuvcklig i ri. py, I irvll < y < k py ck p y 8 vrför igl ffkivvärd k ck y y v v RMS RMS p y y dy yy dy 8 y V y dy y y Effk k u bräk ill vrms P, 7mW R Svr:,7 mw Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5

12 Uppgif. För rä ku dimior ym för lövrförig ökr m bämm olikh för övryrig i ym. Sym klrr v övrför iglr md mpliudr i irvll ±,8 vol u övryr. Vd blir olikh för övryrig om ligl ffkivvärd σ vol. ligl mpliudähfukio py k bkriv md. k. Lplcfördlig om g v y σ p y σ För σ få y p y Solikh igl mpliud y <,8 vol g v,8 y P,8 < y <,8 y,8 p y dy dy,8 Solikh för övryrig blir därför P y <,8,9,78,8,8,9 Svr: 7,8% Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5

13 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5 Uppgif. Bäm Fourirri för igl i figur. A -A I irvll < < k igl kriv A. Sigl är mpliudymmrik vrför d mdlvärd är oll. Sigl är duom udd d.v.. - vrför igrrig d bhövr uför övr hlv priod vrfr rul muliplicr md fkor vå. Då igl är udd kommr ll coiukompor vr oll. Vi bräkr iukompor: { } A A A d A d A d B co 8 co i 8 prill igrio i 8 i i... i i i i : Svr A

14 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5 Uppgif. Bäm mpliudpkrum för d hlvåglikrikd coiuigl. - - A Sigl är äm vrför d k yir md d coiukompor. Vi bräkr för likpäigkompo igl mdlvärd A A d A d A i co Obrvr pcill fukiouryck för igl i irvll är coiu md dubbl priod rliv d priodik igl frkv. i i co co co co co co co co β α β α β α A d A d A A för udd för äm i ; för udd - för äm i i i i i i i A A A A... co 5 co A : Svr

15 Bräk Fourirri för d hlvvåglikrikd coiuigl. A Uppgif Vi uyr rul i förgåd uppgif.. D hlvvåglikrikd igl k brk om umm v d hlvåglikrikd igl och coiu. figur d D på d ä rhåll igl får dock mpliud A vrför vi hlvrr ll kompor i d förgåd ri. co co A A för o Nu gällr vrför Fourirri för hlvåglikrikd iu md mpliud A A A A A co co co 5... A A A A Svr : co co co 5... Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5

16 Uppgif. Bäm uigl y frå d idl filr om d priodik iigl är. Ldig: uy igl ymmrigkpr. f y f ² f ² f f f f - f Sigl är hlvvågymmrik vrför ll äm or k och ig kompo md frkv f irr. Svr: y Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 55

17 Uppgif.5 Sigl i figur får pr idl lågpfilr md förärkig db och gräfrkv k. Bäm uigl ffkivvärd Fyrkvåg Fourirri g v S pp. A i Siglr och ym [m] i i i Kompor md högr frkv ä k kommr pr gom filr. Siglkompor är orogol vrför igl rm-värd blir ig förärkig i ym: v rm , Obrvr om ll kompor kull pr filr blir ffkivvärd vol. db päigförärkig * vrr mo, vrför v rm,9795.,, * log log ½;,5, Svr: vff, vol Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5

18 E mäym ihållr föld dlr: Uppgif. Oliär förärkr y Bdpfilr R kω y < Vd blir ffkuvcklig i moåd om iigl g v co? Av y digrmm frmgår igl y blir hlvvåglikrikd iuigl md mpliud V. Fourirri för igl g v uppgif. y co co co 5 D d iglkompo om k pr gom bdpfilr är : o d.v.. co 5 Effkuvcklig P i moåd blir därför... u P R rm 5,9 W Svr.9 mw Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 75

19 Bäm mpliudpkrum för uigl y, om iigl g v co co < < Uppgif.7 Idl P-filr y Efr muliplikor k igl kriv co co co co co co co co co co co co co co D.v.. uigl blir y,5 co co,5 co Svr: y,5 co co,5 co Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 85

20 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 95 Uppgif.8 Bäm mpliudpkrum för dubblpul i figur. [] Mod M IMKML IMKML M M L M IM K M M L M IM K i 5 i d d d vilk gr co i i i 5 Mod Brk pul om uppbyggd v fyr hg. Fourirrformr 5 i S ov co i : Svr

21 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5 Uppgif.9 Bäm Fourirrform för igl i u Dirk illämpig v Fourirrform gr i α α α α α α α α α α α α α d d d d Rldl och imgiärdl v plod för och α. Rldl Imgiärdl Jämför md Lplcrform för iupul och illämp rgl för frkvkif. f.ö. för i > gällr För α α α α α > : Svr α

22 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5 Uppgif. Bäm mpliudpkrum för igl i figur. [] Dirk illämpig v Fourirrform gr α α α α α α d d Ampliudpkrum vrr mo blopp v Fourirrform. [ ][ ] α α α α α α α α α α α α α α α α α α α co plod för α co Svr : - - -

23 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5 Uppgif. E igl hr Fourirrform Φ. Ampliud- och fpkrum frmgår v figur d. Bäm igl. φ I irvll - < < k då blopp är och f kriv -. På likd ä gällr för < < k kriv. d d d d d co co - - α Ampliudpkrum plo för co : Svr

24 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5 Z Z Z Uppgif. Bäm Fourirrform för iglr i figur gom d väd rform för impul m lämplig rformgkpr. y [] [] -,5,5 [] Drivr om vr mo Fourirrform v driv v blir i i ' b På likd ä om i Y i ' Y ämför md idkif illämp på c '' Z Z

25 Uppgif. Pul -u kll övrför vi idl kl lågpfilr. Vilk bdbrdd må d kl h om mi 8 % v pul rgi kll övrför. Ig förärkig kr i kl D ol rgi P o få ur ffkähpkrum P l. * P o P d d d k bräk om Fourirrform v d.v.. d d P o rc d d D ffk P B om övrför på idl kl md bdbrdd B rd blir ov P B B B rc rc B M 8 P B Po vrför rc B B 8 B rc 8, B, 7 rd 9 Svr: 9 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5

26 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 55 Uppgif. Bäm ivr Lplcrform v b b i co i co b 5 : Svr

27 Lplcrform för vå igl g v Uppgif. Bäm iglr. b ,5,75,5,87,87,5,87,5,87,5 i,87 b Aä för prilbråkuppdlig A B C A A A B C A B A C A A B C ,8 co 7 8 i 7 7 8,5co,,97 i, Svr : b,5 -,5,8 i,87,5co,,97 i, Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5

28 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 75 Uppgif. Lplcrform för igl g v 7 7 rform hr pol -. Bäm mlig polr m igl E pol i gr fkor i ämr. E pol fi för N 8 k kriv uppdl. bråk pr Ivr Lplcrformrig gr [ ] 8i co i co [ ] - 8i co : Svr - u

29 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 85 Uppgif. Bräk r- och luvärd för d båd iglr vr Lplcrformr g v b Srvärd Om gällr lim lim id 5 Sluvärd Om id 5 gällr lim lim lim lim lim lim b 5, lim lim lim lim Svr:,5 och b,5 och

30 Skir d r iglr, dr mpliud- och fpkrum vr Lplcrformr krkärir v dåd pololläll plor. A B C b b Uppgif.5 - σ - σ - -b -b σ A B b C b Obrvr, b i ll plor A. B C Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 95

31 Uppgif. Lplcrform för igl käck v vå polr och olläll. Polr liggr i - ± och olläll i 5. Bäm igl mpliud i db och f vid frkv rdk om mpliud vid rdk är - db Vi gör gomrik löig ugåd frå kv.9 i "Siglr och ym". p p, 5 p ; p 8 8 A A A 5 o AdB log,,, md förärkig A db få A, db φ ϕ ψ 8 rcg rcg,, φ 5, ϕ ψ Svr: A -db, φ 5, Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5

32 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5 Uppgif.7 E igl k bkriv md dåd pol-ollällplo. σ - - Polr - ± ; Noll. ± Bäm igl m d mpliudpkrum Polr och olläll gr åär om på ko fullädig bkrivig v igl. Vi är här ko ill. Figur gr då Ivr Lplcrformrig gr co i i co i δ δ co i : Svr δ

33 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5 Uppgif.8 Bäm Lplcrform för igl Obrvr vi här kll bämm Lplc rform för priodik igl om lå ill vid. Om igl hd vri rik priodik hd vi bräk d Fourirri. för övrig För movrd priodik igl gällr S kv..5 i S&. Lplcrform v : driv v blir 8 8 rform v k u bräk gom diviio md dubbligrrig : Svr

34 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5 Uppgif.9 Lplcrform för vi igl g v 5 Bäm Lplcrform för iglr u b b 5 c c co Ädrig v idkl och idkif A,o b Frkvkif { } L b b Modulio c : Svr c b

35 Bäm Fourirrformr för d r iglr vr Lplcrformr g v 8 b 8 c ;, 8 ± 8 ± Polr i högr hlvpl Fourirrform irr i för d igl. b c { } L{ } 8 ± dv polr i 8 9 A B A A B B Avä F Uppgif. A B A B A B B A,5,5 9 Dv polr på -l i ±. 9 K δ δ δ Svr: F. k b 8 c 9 δ δ [ ] Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5

36 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 55 Uppgif 5. E priodik fukio mpl md irvll och m får mplvärd,, -, -5, -9, -7,,. Sök pkrlkompor md frkvr,, Fourirrform för igl om bår v värd mpld md priod g v: Obrvr d är Fourirrform för igl mpld i N pukr. Jämför md uppgif 5. där DF bräk för mpld igl. i co... N N N N vrför då N i co i co 7 Svr: -,, -

37 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5 Uppgif 5. E igl mpl i fyr pukr och m får mplvärd, -,, och. Bäm igl DF D dikr Fourirrform för igl mpld i N pukr g v N N k k md N W k DF kriv N k N N k W k vilk på mriform vrr mo W där W W W W W W W W W W Svr:,,, -

38 Uppgif 5. Nd vi fyr mpld iglr {} och å frkvrir DF {k}. Pr ihop d fyr iglr md movrd DF.. {; ; ; ; }. {; ; ; ; }. {,5;,5;,5;,5;,5} b. {;,8;,,;,,;,8}. {; -; ; -; } c. {;,8-,;,-,;,,;,8; }. {,8;,; ; -,; -,8} d. {; ; -; }. {; -; ; ; } f. {,5; ; ; ; } g. {;,5;,5; -,5; -,5} h. {; ; ; ; } h Ehpul gr vi pkrum. f Likpäig d kild frå. g Mdlvärd likpäig. b Mdlvärd och fm mpl i frkvri. Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 75

39 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 85 Uppgif 5. DF för kv g v k. Ag mbd mll k och Yk där Yk vrr mo DF för d omväd kv d.v.. y N--,,,... N DF g v N N k k är gällr { } k l l l k k N l N k Y N k N N l N lk N k N N N k är rll ub. Svr: k k Y N k N

40 Uppgif 5.5 M ökr koiurlig bräk pkrum för igl m.h.. FF i rll id i dor. Bräkigid för FF får övrkrid id för imlig v föld dblock. Bämig kll k övr områd - k md upplöig på mi. Bäm d läg id om dor må ku uför muliplikio på * Smpligorm gr f > k * Upplöig mdför kor vi v igl må vr N ol l mpl N f Al mpl vid FF må vr po v. Väl 8 5 mpl. upplöig blir 7,8 N 5 Al kompl muliplikior vid FF N log N Al rll muliplikior id för rll muliplikio 5, µ 89 Svr: 5 µ Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 95

41 Uppgif 5. M kll uför pkrlly på igl i frkvområd - k. M udrr förlopp m och r udr d id å måg mpl om kräv för uppfyll föruäigr. ur måg rll muliplikior må uför om pkrum bäm md DF, b FF Om igl udr udr m rhåll upplöig på. Om upplöig äg dock igig i. Smpligfrkv må väl > k.,.. mpl må bhdl i vr block. Vid DF blir l kompl muliplikior N dv här. kompl muliplikior. Vid FF kräv N. logn kompl muliplikior där N och är hll. För få N 9 Al kompl muliplikior vid FF blir 9 log För uför kompl muliplikio kräv vå rll muliplikior vrför md DF kräv. rll muliplikior. Md FF kräv 5 rll muliplikior. Svr:. b 5 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5

42 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5 Uppgif 5.7 I figur d vi i 8 pukr mpld igl. Bäm m.h.. DF mpliud på pkrlkompo md frkv där mpligpriod f N i co 5. i co 5 Svr:

43 Uppgif 5.8 E igl Aif φ mpl md frkv k. D log mpl filrr i idl LP-filr md gräfrkv k. Frkvmäig vir uigl frå LPfilr hr frkv, k. Ag d llr d vrlriv d om vrr mo mölig frkvr f på iigl för mplig. A:, k D:, k G:,7 k B:,7 k E:,7 k :, k C:, k F:,8 k I :, k A, k - J B,7 k - N C, k - N D, k - N E,7 k - J F,8 k - N G,7 k - N, k - N I, k - J Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5

44 Uppgif 5.9 E 5 iuformd igl mpl md 5 och lyr md pukr FF. Vilk pkrlkompo r d ör värd? b Vilk kompo blir ä ör och vd blir d mpliud rliv d ör kompo uryck i db? c Bäm d mpligfrkv om liggr ärm 5 och om i mdför ågo läckig Då igl brk övr ädlig irvll N få pkrum om flig mll igl pkrum och idför frkvfukio. idför frkvfukio g v iωω. Flig mdför frkvfukio crr på d ioär iukompo md frkv f. Vid DFFF bräkigr bäm pkrum i pukr f N för,, N-. är gällr N f. 5,87,875,5 Η N 7 f ,7 5,75,7 Η dv kompo md frkv,87 r ör värd b Kompo md frkv 5,7 är ä ör A 5,7 i,7 78,7 7,8,57 A,87 i,5 7,8,5 7,8,757 A A 5,7,87,57 log,7,757 db f c Ag mpligfrkv f 5 f 5, Svr:,87 b 5,7 och -,7 db c 5, Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5

45 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5 Uppgif 5. Bäm -rform för föld kvr och g dr kovrgområd. < för för b för för > c för för övrig d för - för >- för för f för för D dubblidig -rform dfiir { } Sri är kovrg för > < b för kovrg < < c kov.för > d Sri kovrg för > < f - pl hl i kovrg för kovrg δ

46 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 55 Uppgif 5. Bäm -rform,, för föld kvr för - för < b i för för < c för för < d i k k för Värkif m I m II m m > > < ; ; b co i i rform v mul md co i co i kovrgområd > > c < > m m d d d d d d d d G g g Då ; ä ; > d d d d

47 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5 d k k i för co co i co i vrför Summrig i i Kovrgområd >

48 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 75 Uppgif 5. Bäm kvr om hr dåd -rformr. Aväd poriuvcklig är rll l. ; > b < ; Kovrgområd uför cirkl md rdi högrkv för om Sri kovrg - > < b Kovrgområd iför cirkl md rdi värkv. Skriv om å ri md d kovrg rhåll. < kov.för för

49 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 85 Uppgif 5. Bäm -rform för d kvr om rhåll gom mplig md frkv f v föld idkoiurlig iglr. för > för < f b -- för för < f c - för för < f d för för < f D mpld igl vrr mo hgkv u id i S& ; > u b < Sri om vrr mo för rm är kovrg för >. Sri om vrr mo dr rm är kovrg för > -,5 vrför d ol kovrgområd >. c f < rä md där f -rform v g v A7.5 i S&: > ; kovrgområd ; Z > d f, 5 < <, ;, > A7. i S&

50 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 95 Uppgif 5. Bäm iglr, vilk hr föld -rformr. Aväd prilbråkuppdlig. < ; b > ; c < < ; kv vär ; < - - vrr mo kov. ri för < och för < > > > för b högrkv > Prilbråkuppdlig gr c Dubblidig kv då < < El b få vrr mo kov. ri för < och för > < > >

51 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 55 Uppgif 5.5 Bäm d ivr -rform för föld kvr: > b < c > d > c c d c för polr uför ridur ill för polr iför ridur ill > Bräkig v ivrioigrl gr ill r. polr uför högrkv - ig c < b < värkv för < ill r < c högrkv ; > Bräkig v ivrioigrl gr

52 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 55 P c P d d r < d högrkv ; > vid polr iför C R c c - -- d - -- d för klpol i R - -- för klpol i och R R < > för för för

53 Aväd rvärdorm för bräk då är käd och vrr mo högrkv. 5 Uppgif lim Srvärdorm: I lim b lim lim b Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 55

54 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 55 Uppgif 5.7 Aväd luvärdorm för bämm då är käd för högrkv b Sluvärdorm: lim lim I om ll polr ill - I liggr iför hcirkl OK! 5 i pol lim lim b OK! 5 i pol ; 5 lim 5 lim lim lim lim 5 5 -

55 Uppgif. Bäm uokorrliofukio för igl Aco Bi C co7 Di * All iukompor ov f övrgår i coiu. * r vrm Effkivvärd för iu md mpliud är om bk. r A B co C co A B C co co D co7 D co7 co7 Svr: - Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 55

56 Uppgif. Auokorrliofukio för priodik igl i bru g v r co - co7 Ag igl igl-ill-bruförhålld i db * r vrm Bru Då igl är priodik igår ig dl v d i AKF: d 5 v rm r 5 Sigl r co co7 vrm 8 Då ffk är proporioll mo vrm få 5 S N S N, db 5 Svr: -, db Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 555

57 Uppgif. Bäm igl : uokorrliofukio och ffkivvärd. co 5i5 i * AKF är äm fukio d coiu * AKF är frkvbvrd * Ampliudr i AKF vrr mo d igåd kompor ffkivvärd i kvdr. Vi k lig ovåd dirk ck r 5 co co5 5 co co5 co 7 Effkivvärd k u bräk om v rm r 5 co7 v rm 5 Svr: r co,5i5,5i7 b v rm 5 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 55

58 Auokorrliofukio för uigl frå vi brugror g v: Uppgif. r - Bäm bru ffkivvärd m vid vilk frkv ffkäh hr uki md db D gällr vrför v rm r v rm vrm [vol] Effkähpkr bräk om Fourirrform v uokorrliofukio. är äm r P r d co och rll r d S.. co d 8 Spigl5.8 P m [Wrd] db ffkmikig vrr mo,,5 ggr vrför,5,5,5, [rd] f,7,75 [k] Svr: vol b,75 k Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 575

59 Uppgif.5 Auokorrliofukio för igl om bår v priodik och brukompo g v r 5 - co [vol ] Bäm ffkivvärd för d priodik kompo m för d ormlfördld bru Auokorrliofukio dfiir r För få lim d d.v.. lim d vrm r v v rm igl rm bru 5 7 D priodik kompo igår i i bru Svr: 7 och 5 vol Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 585

60 Bäm uokorrliofukio för puligl i figur. Uppgif Uppgif lö grfik. Går br i d kl fll Svr: r < < för övrig Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 595

61 Bäm uokorrliofukio för igl i figur d. Uppgif , Problm lö kl gom för bämm igl Fourirri och d illämp mpliudr i AKF vrr mo ffkivvärd i kvdr på kompor i Fourirri. I AKF: fi br coiukompor obrod v f i Fourirri. Fourirri för frå f idik igl g v Spigl. vrför i i i... r co co co... Svr r co co co... Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5

62 Auokorrliofukio för bruigl g v Uppgif.8 r - co Bäm igl ffkähpkrum P Allmä gällr P F{r }d.v.. P r d M AKF är äm och rll vrför [ co co ] P r cod co cod d P k kriv om umm v vå igrlr v yp I coαd därα rp. α I α α coα coα I α Md α rp. α - få P α iα α iα iαd α I d α d [ ][ ] iαd Svr: P [ ][ ] Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5

63 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5 Uppgif.9 Bräk korkorrliofukio för d vå ioär iglr i figur d. y co co co co co co co co co i i i d d d d y r y i co co i i co co co co Svr: r i

64 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5 Uppgif. Bräk korkorrliofukio mll fyrkvåg och hlvvåglikrikd iuvåg lig figur. A A -A Allmä gällr för priodik iglr md mm priod y d y r Vi dlr upp igrl i vå irvll < < A A A A d AA d AA d y r y co co co co co co co co co co co i i * < < A A A d d A r y co co co co co co co i i b b b i i co co co * Svr: A r y co

65 Uppgif. Bäm CO- och QUAD-pkr för iglr och y där frmgår v figur och y g v y co co i, A -A * P r y y d * CO R{ P } "i f" y QUAD Im { P } "ur f" y Fyrkvåg Fourirri g v S& App A A i i i 5 i vrför A i co i co r y äm udd udd udd A CO δ A QUAD δ, Py CO QUAD A Svr : CO δ A QUAD δ Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5

66 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 55 Uppgif. ill brugror koppl lågpfilr lig figur d. Brugror pkrläh är A volrdk - och k ko i frkvområd < < RC rd om är v ir. Bäm uigl uokorrliofukio. R C Bru- gror * Uigl uokorrliofukio vrr mo ivr Fourirrform v urigl ffkähpkr. Ampliudpkrum för för vi bru md mpliudäh A filrr i : ordig LPläk g v RC A c c där Uigl ffkähpkrum P blir * c A P Ivr Fourirrform P gr uokorrliofukio d P r M P är äm och rll vrför d A d d d A d P r c c c c c co ; ä co co Ur bll få < > co d vrför RC c RC A A r c RC RC A r : Svr

67 Bäm övrförigfukior för ä i figur d. b R y y C R R C Uppgif 7. c R R C y d R C C y R C C y R f C R C R y g R Idl R R päig- C C förärkr C A y D idl päigförärkr käck v d iimpd är oädlig och d uimpd är oll Y C R C R C b R Y C RR C RC R R C Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5

68 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 75 c C R R R R R C R C R C R R R Y d C C R R C C R C R C C Y Då d i fi ågo gmm od mll i- och ugåg må övrförigfukio bräk om figur Y Y Y Y Smm röm i flyr i båd grr p.g.. ymmri i kr. RC RC R I Y RC C I Y RC C Y C R I RC RC RC RC RC Y Y

69 E plo v i- och uigl vi i figur d. Förök om övig vrifir rul ugåd br frå pol-ollällplo i figur ov. f Löig få på likd ä om i m md R och C kifd RC RC RC RC RC RC RC Obrvr - ck i årfi i pol-ollällplo vilk övrämmr md ori. id 95 i S& g Övrförigfukio k dirk bräk ugåd frå b och c då förärkr iolrr d båd krr frå vrdr. Y RC RC A [ C R R ][ R C C ] Svr : R C RC d R C C RC b R R RC RC RC RC g A [ C R R ][ R C C c R RC f RC C R R C ] R R R C Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 85

70 I kr d är uc för <. Vid lu römbryr S. Bäm römm gom kr och lddig på kodor om E [vol] b E i [vol] Uppgif 7. L R u C E C L, R Ω, C, µf Iför römm i om flyr gom mlig kompor. Figur gr E CE I.. R L C LC RC Lddig q på kodor vrr mo idigrl v römm. E I CE Q LC RC C Q.. Prilbråkuppdlig uför. Aä 5 LC RC,, 8 5 A B C 8 5 A 8A 5A B C 5 A B A 8A C B 5A 5 C 8 Ekvio k u kriv Q Ivrrformrig gr lddig om fukio v id q dq i d co 8 i [ i co ] [ 8 co 8 i ] 5 i Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 95

71 b E Elig få 75 5 Q q co i 5 5 o,7 i.,7-5 co o i.7 dq o i,7 co.,7 d - i co.7 o Svr: i c 5- i b i c 5, co.o 5,- co.7o Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 75

72 Uppgif 7. Bäm igid och frkvgåg för kr d. R kω, R kω och C µf. Sigid dfiir om d id d r för uigl gå frå % ill 9% v luvärd om iigl bår v hg. u R C R u Kr övrförigfukio k kriv u u C R R C R R C R C R R C R C R R R C RRC D.v.. kr krkärir v klpol i k kriv på form R C RC log log,7 log log,7,8[db] Brypuk för,5. [rd] 9 [] R R,5 RRC,7 log,7 log Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 75

73 Bämig v igid u hg,7 u u,7 u,7,5,7 Sigid dfiir om 9,7, 7 9,7, 7,7 9,5, 5, 5,7,7,7,7 l,7,7 [m],5,7, l,7,55 [m],5, [m] 9 Svr:. m Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 75

74 Uppgif 7. Bäm upäig u, om iigl är gpul md mpliud V. R 5 Ω, L µ och C. µf. u R C L u Övrförigfukio k ck C L R C L L C L C L C RC R L C RC LC Polr RC RC LC, ±,5 ±,5 RC u u u RC Ivr Lplcrformrig gr d ök uigl u RC,5 RC,5,5,5,5 [ ] 5,,5,5,5 i,5 Svr: u. -.5 i.5 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 75

75 Uppgif 7.5 Kodor i figur d är frå bör upplddd ill 5 vol md polri lig figur. Bäm päig övr kodor C fr d römbryr S lu. E V, C. µf och R kω. E S R C Bgylpäig på kodor k brk om gpäig om lå ill vid vrför kr kvivlchm k ri Schm gr E 5 E 5 i R C R C 5 E 5 5 U c I C C R C 5 E 5 RC Ivrrformrig gr d ök päig övr kodor U E 5 c { pr.bråk.uppdlig} RC Svr: u Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 75

76 Uppgif 7. Kodor C är frå bör upplddd ill vol och C urlddd. Bäm päigr övr båd kodorr och römm gom moåd R fr d römbryr S lui. C µf, C. µf och R kω. S R C C Ekvivlchm vid k ri i C R C Ivrrformrig gr i CC C C R C C R C C C C R i R U c U C C C C C R i C C C C, [ma] RC C C CCR C C CC R,, 8,,7 V Späig övr d dr kodor k bräk om u C i C llr bräk dirk då vi v för < U C och U 8, C vrför då U 8, idko är d mm C Svr : u u C C 8,,7 8, V V Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 755

77 Uppgif 7.7 Övrförigfukio för lkrik kr käck v vå polr i vär hlvpl - ±. Kr likpäigförärkig är db. Bäm d miml övrvägig i proc om rhåll om gpul koppl ill ym igåg Filr övrförigfukio g v Lplcrform för gpul md mpliud V g v V. Vi är mpliud vilk gr Lplcrform för uigl y. Y 5 5 Prilbråkuppdlig uför. Vi är A B C A A 5A B 5 A B A A C B 5A 5 C C 5 Y 5 y co i co i Sök mimum för y * dy co i i co d 9 co i i co 5 i,,... Då ym är piv må ör m g för. y co i * Alriv k drivrig uför i frkvdomä dv 5 Y...o..v. 5,9 Svr: 9. % Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 75

78 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 775 Uppgif 7.8 E liär förärkr bår v r kkdkoppld rikoppld g vr och md impulvr lig figur d. Bäm förärkr frkv- och fgåg impul h h h Impulvr h för d r rikoppld krr g v h h * h * h δ h d h h h d h h h h h 5 > < < < < < < < h d h d d h d h h Sym frkvgåg { } h F bräk om 5 d d d d h

79 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym Frkvgåg k u bräk lig [ ] [ ] co Fgåg blir { } { } { } 5 rg rg rg rg φ Svr: co, φ 5

80 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 795 Uppgif 7.9 M hr mä upp impulvr h för vå idivri och liär krr A och B vilk vi i figur d. Om krr rikoppl och därvid i blr vrdr vd blir då ym impulvr? A B h A h B - > Vid rikopplig gällr i frkvdomä A B B A vilk i iddomä vrr mo h h h h h A B B A d.v.. d ibördordig på krr hr ig bydl d h h h h h B A B A > < < < d h d h h h h > < < för, för : Svr

81 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 85 Uppgif 7. Impulvr för liär ym frmgår v figur d. Vd är ym dämpig vid frkv rdk uryck i db? h [k] { } Spigl.5 S.. d d h h F,[dB] log,7,7 F db Svr:, db

82 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 85 Uppgif 7. E liär ym hr impulvr h lig figur d. Vd är ym förärkig och fvridig vid frkv rdk? för övrig co h h [k] { } h F i co Spigl.59 S... co d d h { } [rd],, rc rg [db],,7 Svr: -, db, Ø, rd

83 E liär ym k bkriv md diffrilkvio d y d dy 8y d där är i- och y uigl. Bäm ym frkvgåg. Uppgif d Om gällr d Lplcrform v diffrilkvio blir Y Y 8Y Y 8 Sym hr vå polr ± och d frkvgåg g v, 8 8 Svr: : Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 85

84 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 85 Uppgif 7. E kul, liär och idivri ym hr impulvr h - Bäm uigl för d iigl om vi i figur md hälp v fligigrl b Lplcrform Fligbräkigr > < < < d y d y y b rformbräkigr Pul k kriv om - - vrför

85 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 85 Llcrform för blir då Övrförigfukio för ym g v { } } { h vrför Y y Diviio md movrr igrrig vrför d y - mo by io md Muliplik [ ] > < < < y y y d.v.. mm vr om i. Svr: y < y [ ] < < y [ ] >

86 Uppgif 7. E filr hr impulvr h -5co - -5i Bäm uigl ffkähpkr P om iigl uokorrliofukio g v r Filr övrförigfukio g v L { h } P F { r } d Uigl ffkähpkr blir d d P yy P ,, 9 5 Svr: P 5,, Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 855

87 Uppgif 7.5 Bäm frkvgåg ho ym där uokorrliofukio v iigl är r och uokorrliofukio v uigl är.r'''' : driv v r m r P yy P F yy,r '''' { r }, P vrför P yy P, 5 Ob! Uppgif om r är övrflödig Svr: 5 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 85

88 Uppgif 7. E ä förbär SN-förhålld för puliglr md ko rpiiofrkv rdr är l pulr fördrö md muliplr v priod och d ummr vilk frmgår v figur d. Bäm ym övrförigfukio Övrförigfukio för idl fördröig g v där vrr mo d kull fördröig. Lplcrform för uigl blir därför o För gomrik ri gällr k... S där för rm, k kvo och l rmr k o i i o i i Sym frkvgåg vi för och 5 i figur d Svr: i i Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 875

89 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 885 Uppgif 7.7 E okik igl vr uokorrliofukio g v k r är iigl ill ym i figur d. Bäm uigl ffkähpkr P. y R C Effkähpkr för igl k bräk ugåd frå igl uokorrliofukio om { } d r r F P M uokorrliofukio är äm och rll vrför 5.8 co co k Spigl d k d k d r P Uigl ffkähpkr P yy g v yy P P Kr övrförigfukio g v RC RC C R C k k P yy : Svr k P yy

90 Uppgif 7.8 Brk iddikr ym om krkärir v diffrkvio [ y ] [ c d y i ] y f y b Vilk kofficir må vr oll för ym kll vr liär? b Vilk kofficir må vr oll för ym kll vr kifivri? För liär ym gällr uigl kll vr liär kombiio v idigr llr kommd uiglr och iiglr m uvrd iigl. är må därför b d. b För kifivri ym gällr impulvr gvr d bror v iio och på idpuk för ciio. är må därför. Svr: b och d b Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 895

91 Bäm d för dikr uiglr i impulvr för liär ym md övrförigfukio,8,5 Uppgif ,8,5,8,5 Y,8 vrför impulvr g v Y,5 Y y,8 y,5 y Vi läggr på hpul δ y - y,8,8 y,,5 -,8 y -,88, -,88 y,87, -, y5 -,5,5,98 Svr:,,8, -,8, -,88, -,,,98 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 95

92 Uppgif 7. I bk lår Du. kroor ill % rä. Lå kll årbl på 5 år md årlig morrig. Lå vr mo blopp v d : morrig och uigl y vr mo d kvråd kuld. Bäm uryck för y på lu form m hur or vr morrig må vr Sym k bkriv md diffrkvio y y, y där 5, y och p Vi bämmr d homog löig y, y Aä y Bα, Bα Bα α, α, Prikulärlöig Aä h P p P,y P p P p y yh y p B, p Bgylvillkor y. gr B, y p, p p B p Lå kll vr årbl fr 5 år d.v.. y5. p, p 87, 8,5p p p 5 Svr:.:- Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 95

93 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 95 Uppgif 7. Bäm övrförigfukio för ym md dåd diffrkvior. För mlig ym gällr iigl för <. Ag äv kovrgområd och vilk om är bil? y y- b y - - y- c y y- - y rformrig gr Y Y Y Kovrgområd >. Ehcirkl igår i kovrgområd > Sym är ibil. b -rformrig gr Y Y Kovrgområd >. Ehcirkl igår i kovrgområd > Sym är bil. c -rformrig gr Y Y Y Y polr, ± d.v.. dubblro på hcirkl och kovrgområd. Sym är bil villkorlig bil, ocillrr Svr: E bil b Sbil c E bil

94 Uppgif 7. Bäm d värd på d rll ko om gör ym md diffrkvio d bil. y y- - y Bäm gom ivrrformrig Y Y Y Y d.v.. dubbl olläll i origo och vå polr i, ± ± För bil ym må gäll, < Polr iför hcirkl ± < ± < Vi udrökr om polr liggr iför hcirkl. Pol md "" ck uppfyllr vilkor för < < och < < För pol md "-" ck gällr 5 5 < < och < < vrför vilkor båd polr kll ligg iför hcirkl blir 5 < < och < < 5 Svr: 5 < < och < < 5 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 95

95 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 95 Uppgif 7. Bäm impulvr ill ym vr övrförigfukio g v,9 Vi föruär ymär kul vrför impulvr må vr högrkv. Uvckl,9,9 Ivrrformrig gr d ök impulvr co,8i,9,,,5,,5,,9 polär form på Skriv älr,5,5,5,5,9,5,5,5,5,5,5,5,5,9,5,5,5,5,5,5,5,9,5,9,9 ill umm v ridur,9 * d h c i co * Svr: co,8i,9, h

96 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 955 Uppgif 7. Brk kul liär kifivri ym om bkriv md diffrkvio y y- y- - Ag ym polr och olläll m kovrgområd. b Bräk ym impulvr. c D är ibil ym. Sök bil ick kul impulvr om ifirr d diffrkvio. -rformr diffrilkvio Y Y ± ±,8,8 5 Polr, 5 Kovrgområd > b Impulvr k bräk md hälp v ivrioigrl d h c b 5 Polr, Noll. : Svr, ± h

97 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 95 Uppgif 7.5 E räkdo väd för uför mdlvärdbildig v ri mävärd om hr mpl md priod k. För vr y värd om rhåll, bräk rimik mdlvärd v d kull och d r förgåd mävärd. Bäm och ri upp frkv och fgåg för d oprio Om y vrr mo ukv k mdlvärdlgorim ck [ ] y Movrd övrförigfukio blir Y Frkvvr blir { } rg i i Gom.ri * Fgåg i i Frkvgåg φ *... k k S k k k i i : Svr φ

98 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 975 Uppgif 7. E iddikr kr är uppbyggd v vå dlkrr A och B om mmkoppl lig figur d. y h A h B Krr rpkiv impulvr h A och h B g v B A h h δ δ Bäm d mm kr övrförigfukio m udrök om kr är bil rform v impulvr gr movrd övrförigfukio.... h A A för Kovrg > <... h B B för Kovrg > < Sym övrförigfukio blir ±,9, 5 där 8, p p p B A A Då p liggr uför hcirkl är ym ibil Svr:,9,,5

99 Uppgif 7.7 I figur d vi iddikr ym - D y D Bäm ym övrförigfukio m kir frkvgåg. b Bäm luvärd för uigl om iigl är hpul Iför hälpkv u på ugåg frå dför ummor. Figur gr,5 u u,5 y y u u u y u,5 y Sym är kifivri vrför gr u y kv i i kv y y,5y -rformrig gr Y,5 Y,5,5 d.v. polr i,5 -,5 och olläll Frkvgåg Ω Ω Ω Ω,5 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 985

100 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 995 b Vi vädr luvärdorm * för fi löig. Uigl k bräk om,5,5 Y vrför,5 lim lim lim Y y * lim lim I b,5 : Svr

101 Uppgif 8. Burworh- byov- och Blfilr är r klik ypr v filr. Ag vilk v dåd pååd om är. Burworhfilr hr miml äm frkvgåg i pbd. JA b Dämpig för byovfilr v yp II vägr mll vå grär i pbd och mll vå grär i pärrbd. NEJ c Blfilr fgåg är pproimiv liär. JA d Burworhfilr polr liggr äm fördld på hlvcirkl. JA Blfilr olläll liggr i vär hlvpl. NEJ, d fi ig olläll f byovfilr polr liggr på llip. JA g byovfilr övrgågbd är brdr ä movrd Burworhfilr. NEJ h Blfilr okvdämpig för hög frkvr är dbokv. filr ordig. JA Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5

102 Uppgif 8. Bäm övrförigfukio för Burworh lågpfilr md gräfrkv rd och vr flkbrh är dbokv. Förärkig för kll vr db db' flkbrh mdför filr må vr v : ordig. D frkvormrd md gräfrkv rd Burworhfilr polr g v polr liggr på hcirkl, Movrd övrförigfukio för filr g v K K K db ggr vrför Svr: Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5

103 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5 Uppgif 8. Bäm övrförigfukio för Burworhfilr där dämpig kll vr > db för < rd och > 5 db för > 5 rd Vi bämmr för filr gräfrkv c och filr ordig. Allmä gällr för LP Burworhfilr v : ordig kv 8. i S&. c är gällr för för β α > < < vrför β α β α c c limirig v c gr log log β α β α α gr vidr,778,87 5 log log 5 β α β α β α, 5 log,778,87,778,87,87 log Vi välr därför Filr övrförigfukio g v bll 8. id 8 i S&

104 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5 c c c D kull gräfrkv c k bräk md hälp v d ov härldd uryck rd 8,778 5 β β c c 9 9,, 5,5, Svr: 9 9,, 5,5,

105 Uppgif 8. Bäm övrförigfukio för dr ordig lågpfilr v Burworh- llr byovyp om uppfyllr krvpcifikio i figur d Av digrm A. i S& frmgår filr må vr byovfilr v : ordig och md db rippl i pbd. Övrförigfukio häm ur bll 8. md gräfrkv c K c K,9 c,779 c,9,779 c. c K,9,779 Då filr är v : ordig kll -db,779 vrför,779 K,779.,779,9,779,779 Svr:,9,779 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5

106 Uppgif 8.5 Bäm övrförigfukio för Burworh bdpfilr v : ordig md gomrik crfrkv k och md bdbrdd Vi ugår frå : ordig LP-filr md gräfrkv Ω. bll gr LP S S Ωc S, Ω c För rformri v LP-filr ill movrd BP-filr uför ubiuio S cg Ωc där cg och b b och vrr mo BP-filr udr rp. övr -db gräfrkv. BP b cg, b, b cg cg b b, cg b c Md cg och b få BP , 5,, Svr : , 5,,5 5 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 55

107 Uppgif 8. Bäm impulvr för lågp Blfilr md db gräfrkv rd och vr flkbrh för >> rd är dbokv. Filr förärkig i pbd är db Av frmgår Blfilr må vr v : ordig md db gräfrkv lig kv. 8. vrför c l db l bll 8.7 i Siglr och ym gr c K c,9 Kc c c [ db ggr k ],8, k,8,,5 5,99, 5,99 Ivrrformrig gr movrd impulvr. h { },5 i 5,9, Svr: h,5, i 5,9 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5

108 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 75 Uppgif 8.7 Bäm grupplöpid för : ordig lågpfilr md gräfrkv rd Frkvvr för för ordig LP-filr md bryfrkv g v Fgåg blir därför { } rc rg rg φ vrför grupplöpid blir φ d d Brod på df v grupplöpid k miuck uläm. För få Filr är uppbrlig ick fliär. Svr:

109 Bäm impulvr för koiurlig dr ordig lågp byovfilr md gräfrkv rd och db rippl i pbd db rippl gr l. kv 8.9 ε,5 db gräfrkv gr c l. kv 8. db c, coh rcco coh,5rccoh ε,5 Övrförigfukio för dr ordig byovfilr g lig bll v K,98 c c, db K.,98 9,8 K,85,98 Uppgif 8.8 Brod på dfiiio v pbdförärkig k äv ko bräk ugåd frå - db då filr är v äm ordig. fig 8. i S& Vidr gällr b b i vrför vi krivr på form 9,8,9,7 vilk gr h 9,8,8 i,7,,9,9 i,7 Svr: h,,9 i,7 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 85

110 E digil filr hr övrförigfukio Uppgif 9., 8, 87 Bäm filr diffrkvio och ri blockchm övr hur d k rlir. Ski äv filr frkvgåg ugåd frå polr och olläll i -pl k kriv,,8, Polr i, ±,8 och olläll i ±,8 Y -,8Y,87 Y - Ivr -rformrig gr y -,8y,87y - y - -,8y- -,87y- Svr: y - -,8y- -,87y- Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 95

111 Vi mbd Uppgif 9. d co co co gällr mll prmrr d och -db gräfrkv för dikr lågpfilr vr diffrkvio g v y - d y- c rformr diffrkvio Y d Filr frkvgåg blir c Y c d c c d d Vidr må gäll c d db gräfrkv få vid Ω d coω i Ω c c d d co d i d d co d i d d d d co d co d co d i d d, co ± co co co co co "" ck förk då för bil filr må gäll d <. Svr: - Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5

112 Uppgif 9. I figur vi iddikr bdpfilr. Bäm filr övrförigfukio m g d mifrkv och ugfärlig -db bdbrdd om mpligfrkv är k Iför hälpkv w vid A i figur ov vilk gr kvioym w w,8 y w w Elimir w- mll kvior och ov w,8y,8w,8w,8y w,8,8 y,8 Sym är kifivri vrför kv. k kriv,8 w y,8,8 Ekv och i i gr y,8,8 y,8 y,8y,8,8 y,8 -rformrig gr Y,8Y Y,8 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5

113 Smpligpriod m Nyquifrkv 5 Polr i ±,9 Nolläll i ± Av plo i -pl frmgår crfrkv är 5 ; 5,5,9,9 För or Q-värd dv polr är hcirkl k cirklbåg i figur d pproimr md rä li f b 5, f b 5,9 Bdbrdd För k bämmig v bdbrdd får övr och udr - db grär bräk ur. Svr,8 f Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5

114 Uppgif 9. Korur r ppr FIR-filr md föld krv på frkvvr Ω:,5 och. Bäm filr polr och olläll m kir frkvgåg och g dämpig vid Nyquifrkv Vi räkr i d ormlird frkvvribl q d.v.. mpligfrkv orlö. Figur gr vrför q q q gr,5,75 -,5 -,75,5 Dv vå polr i origo och olläll ±. Vid Nyquifrkv få,5,5. Svr: Dubbl olläll i origo och polr i ± Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5

115 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5 Uppgif 9.5 E vi igl bår v kompo md frkv 5 m divr örigr om hr frkvr likpäig,, 5 och. E iddikr filr kll hl udrryck örigr och d läpp igom kompo md frkv 5. Korur rvrlfilr om uför d oprio. Väl mpligfrkv å filr får å få fördröigr om mölig. Moivr vl! ur myck kommr 5 igl dämp rp. fördrö? Nolläll plcr på hcirkl vid viklr om vrr mo,, 5 och. För filr kll bli implmrbr må äv movrd komplkougrd olläll ddr. E rvrlfilr hr movrd l polr i origo. Akull poiio på cirkl bäm v vld mpligfrkv. I d i lriv, om i uppfyllr mpligorm, kommr i d pcill fll uppfyll krv vrför?. Movrd övrförigfukio blir rg Fördröig grupplöpid g v k 5 φ Svr: och k Äv dr löigr fi.

116 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 55 Uppgif 9. E mod ådkomm iddikr fliär FIR-filr om pproimrr ökd övrförigfukio, är väl l frkvmpl v d ökd dikr frkvgåg Ω och ur d bämm filr impulvr. Bräk d dikr impulvr för filr v bdpyp vr frkvmpl g v: Ω 5 o v Ω Impulvr få om IDF dv,,,... N k N k N k N är gällr hk k och q Frkvmpl kll ligg äm fördld på hcirkl co co co co 9 k k k k q k h k k k k k k k k k k k k bräk för k ill. För k 7 ill k rul kriv upp dirk p.g.. ymmri i k. k hk Svr: h k k co k k co k

117 Uppgif 9.7 Korur iddikr LP-filr md gräfrkv gom biliär rformio v d idkoiurlig filr i figur d. Smpligpriod kll vr,5 m Vi frkvormrr md vd på mpligfrkv om på vlig vi ä ill.,5 m f Normrd gräfrkv Ω Förförvrägig gr d kull gräfrkv, cf Ω,,5 ämf md Ω,,59 Övrförigfukio för d koiurlig filr blir u cf cf cf,5,5 Biliär rformio gr övrförigfukio för d ök dikr filr cf,5,77,77,77,7,5,77 Svr:,77,77,7 Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 5

118 Uppgif 9.8 Bäm diffrkvio för : ordig iddikr lågpfilr v Blyp korur m.h.. impulivri kik. Filr db gräfrkv kll vr,f där f vrr mo mpligfrkv. Förärkig i pbd kll vr db Ugå frå log LP-filr md -db gräfrkv,. För Blfilr gällr kv 8. i S&. l db c, 7 Normrig v mpligfrkv gr c,7. bll 8.7 i S & gr d log filr övrförigfukio K c c K,5,7 K c c c K,,7 Sä α,5 och β,7,. Filr impulvr få vi ivr Lplcrformrig v. α h K i β > Smpl impulvr för gå övr ill dikr filr. α h h K i β -rformr h α, ; β,8 K, i,8 K K,, co,8, db, i,8, co,8,9,7 5,9 K K,,9,85,5,7 5,9,85,5,,9,7,9 Ivrrformrig gr lulig filr diffrkvio y,9y- -,7y-,-,7,85,5 Svr: y,9y- -,7y-,- Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 75

119 Uppgif 9.9 Syir md hälp v biliär rformio iddikr lågpfilr v Burworhyp md gräfrkv. Vid kll förärkig ligg mi 5 db udr förärkig i pbd. Smpligpriod kll vr, k db: dämpig vid f mdför filr må vr v : ordig flkdämpig för or f dbokv. Övrförigfukio för mpliudormr : ordig Burworhfilr md bryfrkv g v Smpligfrkv ä ill Ω,. Gräfrkv "förförvräg" Ω,,98 ämf. Ω,,8 f Övrförigfukio md häy g ill "förförvrägig" blir f,5,5,5,5,,7,85,7 D koiurlig filr övrförigfukio rformr biliär vilk gr movrd dikr filr övrförigfukio. 55,5 f 55,5 97, ,5 5, 5, 5, , Svr: 55,5 97,5 5, 5, Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 85

120 Uppgif 9. Korur iddikr Burworhfilr ugåd frå krvpcifikio i figur d. Korukio kll uför md dl impulivri mod och dl md biliär rformio Impulivri mod Elig d giv digrmm kll gäll log log,, 5,,,,5 För bräk filr grdl N och bryfrkv c ugår vi frå uryck för Burworhfilr frkvgåg vrvid kll gäll c,, N,,5 N 5,8858 c,77 Filr ordig N väl ill och c,77 vilk gr polr lig figur. Värd k äv ur bll,,,,77,77,77 co75 ± i 75 co5 ± i 5 co5 ± i5,8 ±,97 ±,79 ±,79,97,8 Övrförigfukio g v,77,77,,9,99,9,,9 prilbråkuppdl och rformr lig Löigr ill öviguppgifr i Siglr och ym 95 5