Mat Grundkurs i matematik 3-I
|
|
- Linnéa Eklund
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I G. Gripenberg Aalto-universitetet 24 oktober 2 Komplex analys Komplexa tal Funktioner Analytiska funktioner Stigintegraler Vridningstal Integralformler Analytiska funktioner, forts Serier z-transformer Residyräkning Nollställen, poler Analytisk fortsättning Harmoniska funktioner Strömningsproblem G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 2 / 92 2 Laplace-transformer Differentialekvationer Konvolutioner Fourier-analys Fourier-integraler Fourier-serier DFT och FFT G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 3 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 4 / 92
2 Komplexa tal Reell och imaginär del, konjugering, absolutbelopp z = x + iy = x + y i, x, y R, i 2 = C är mängden av komplexa tal Reell del: Re x + iy = x Imaginär del: Im x + iy = y Konjugering: x + iy = x iy så Im z är alltså ett reellt tal = x + i y Absolutbelopp eller modul x + iy = mod x + iy = x 2 + y 2 Räkneregler z 2 = zz, z + z 2 = z + z 2, z z 2 = z z 2 z = z, z z 2 = z z 2, z + z 2 z + z 2, z z 2 = z z 2 z z 2 z z 2 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 5 / 92 Vid addition och subtraktion av komplexa tal adderar och subtraherar man de reella och imaginära delarna var för sig så att tex i + 3 4i = i = 5 2i. Vid multiplikation gäller det bara att komma ihåg att i 2 = : 8 + 2i 3 4i = i + 2 3i + 2 4i 2 = 24 32i 6i 8 = 6 38i. Division av komplexa tal kan räknas så att man förlänger med nämnarens konjugat så att man i nämnaren får ett reellt tal, tex.: 8 + 2i 3 4i 8 + 2i 3 + 4i i 6i + 8i2 = = 3 4i 3 + 4i 3 2 4i i i = 9 6i 2 = = i. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 6 / 92 Kommentar Ett annat, formellt mera korrekt, sätt att definiera de komplexa talen är att inte alls explicit tala om den imaginära konstanten i utan tala om punkter eller vektorer x, y i planet R 2 och definiera räkneoperationer för dem som motsvarar räkneoperationerna för vanliga reella tal. Addition är inget problem eftersom det enda förnuftiga är att definiera x, y + x 2, y 2 = x + x 2, y + y 2, vilket är addition av vektorer. Ett viktigt villkor som multiplikationen skall uppfylla är att produkten av två punkter endast får vara noll dvs., om åtminstone den ena faktorn är noll. Detta uppnås om man definierar x, y x 2, y 2 = x x 2 y y 2, x y 2 + x 2 y och man kan då visa att alla räkneregler gäller. Argument eller fasvinkel Ifall Re z = x och Im z = y så är argumentet θ = argz av z y arctan +2kπ, x >, x + iy x. y θ. θ = arctan + π +2kπ, x <, x y π y 2 +2kπ, x = atan2 I de flesta programmeringsspråk finns en funktion atan2 som räknar ut det argument av x + iy som ligger i intervallet π, π] med kommandot atan2y,x. Observera att i tex. Excel och OOCalc skall man skriva atan2x;y dvs. byta ordning på argumenten. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 7 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 8 / 92
3 Polär framställning z = rcosθ + i sinθ = re iθ, r z = r och argz = θ Re z = r cosθ och Im z = r sinθ Kommentar Om x är ett reellt tal kan man skriva x = x sign x vilket motsvarar den polära framställningen z = z e iθ med den skillnaden att teckenfunktionen sign x bara får två värden eftersom man inte behöver bry sig om sign. arg 3 =? Eftersom den reella delen är negativ är argumentent arctan 3 + π +2kπ = π +2kπ. arg2 2i =? Argumentet är arctan kπ = π 4 +2kπ. arg 3e i.234 =? Argument är arg 3 + arge i.234 = π kπ. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 9 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 / 92 Räkneregler z z 2 = z z 2, argz z 2 = argz + argz 2 z n = z n, z z 2 = z z 2 arg z n z = n argz, arg = argz argz 2 z = z 2 Re z = Re z 2, Im z = Im z 2 z = z 2, θ = θ 2 + 2kπ där θ = argz och θ 2 = argz 2 Två personer som har samma födelsedag är inte nödvändigtvis lika gamla men skillnaden i ålder är ett antal hela år. z 2 Exponentfunktionen expx + iy = e x+iy = e x cosy + i siny e z +z 2 = e z e z 2 e z = e Re z, arge z = Im z e z, z C, e iθ = θ R d Moivres formel cosnt + i sinnt = e int = e it n = cost + i sint n G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 2 / 92
4 Logaritmfunktionen z = lnw w = e z Om z = x + iy så är e z = e x och arge z = y och om w = e z måste w = e z = e x och argw + 2kπ = arge z = y dvs. x = ln w så att z = lnw = ln w + iargw + 2kπ. För att få en ordentlig logaritmfunktion med bara ett värde i varje punkt kan man tex. definiera Lnw = ln w + iargw där Argw är argumentet valt så att π < Argz π så att tex. ln w egentligen är Ln w Rötter: z = w n w = z n Om z = z e iϕ, dvs. ϕ = argz så är z n = z n och argz n = nϕ och om w = z n så är w = z n och argw + 2kπ = nϕ så att om argw = θ så är z = w n och ϕ = θ n + 2kπ n dvs. z = w n = n w = n w cos θ+2kπ n + i sin θ+2kπ n, där k =,,..., n eftersom man får samma värden för k + n som för k. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 3 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 4 / 92 Låt w = + i. Bestäm den lösning till ekvationen z 4 = w, vars argument ligger i intervallet [π, 3 2 π]. Lösning: Absolutbeloppet av talet w är w = = 2.442, och w:s argument är arctan = π 4. Ifall z = r och argz = ϕ, så är z 4 = r 4 och argz 4 = 4ϕ. Om nu z 4 = w så är r 4 = w = 2 och 4ϕ = π 4 + 2kπ där k är ett heltal. Av detta följer att r = och ϕ = π 6 + π 2 k = k. Nu får man olika lösningar då k =,,..., 3 eftersom man då tex. k = 4 får samma tal som då k = osv. Eftersom argumenten för dehär lösningarna är π 6, π 6 + π 2, π 6 + π och π 6 + 3π 2 så ser vi att den lösning vars argument ligger i intervallet [π, 3 2 π] fås då k = 2 och är alltså z 2 =.95 cos i sin =.696 i Trigonometriska funktioner sinz = 2i e iz e iz cosz = 2 e iz + e iz sinx + iy = sinx coshy + i cosx sinhy cosx + iy = cosx coshy i sinx sinhy Möbius-avbildning z az+b cz+d, ad bc Cirklar och linjer avbildas på cirklar eller linjer G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 5 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 6 / 92
5 Öppna och slutna mängder En mängd Ω C är öppen ifall för varje z Ω finns ett tal δ > så att { z C : z z < δ } Ω En mängd A C är sluten ifall C \ A = { z C : z / A } är öppen En mängd Ω C är öppen när den inte innehåller någon randpunkt, dvs. Ω Ω = där randen Ω består av de punkter z C för vilka det för varje δ > finns en punkt z i Ω och en punkt z u C \ Ω så att z i z < δ och z u z < δ En mängd Ω C är sluten när den innehåller alla randpunkter, dvs. Ω Ω Sammanhängande mängder En öppen mängd Ω C är sammanhängande ifall det för alla z, z Ω finns en kontinuerlig funktion : [, ] Ω så att = z och = z och alltså t Ω, t [, ], dvs. en kurva i Ω från z till z. Mera allmänt: A C är sammanhängande om följande gäller som alltså är ekvivalent med ovanstående villkor då A är öppen: Ifall A Ω Ω 2 där Ω j C, j =, 2 är öppen och Ω Ω 2 = så är A Ω = eller A Ω 2 = Kontinuerliga funktioner Om Ω C så är funktionen f : Ω C kontinuerlig i Ω om lim z z z Ω f z = f z z Ω. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 7 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 8 / 92 Derivator En funktion f är deriverbar i punkten z ifall lim z z f z f z z z = f z för något komplext tal f z dvs., för varje ɛ > finns det ett tal δ > så att om < z z < δ så är f definierad för z och z och f z f z f z z z < ɛ Alla normala deriveringsregler gäller och tex. d dz zm = mz m då m inte är ett heltal d dz ez = e z d dz lnz = z d d dz sinz = cosz dz cosz = sinz d dz g f z = g f z f z d dz f zgz = f zgz + f zg z Analytiska funktioner En funktion f är analytisk i mängden A C ifall det finns en öppen mängd Ω C så att A Ω och f är deriverbar i varje punkt i Ω Cauchy-Riemann ekvationerna Ifall f z = ux, y + ivx, y då z = x + iy så gäller u x x, y = v y x, y u y x, y = v x x, y i de punkter där f är deriverbar G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 9 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 2 / 92
6 Stig En stig, eller bitvis differentierbar glatt kurva är en kontinuerlig funktion : [a, b] C så att det finns ändligt många punkter a = t < t <... < t n = b så att är kontinuerligt deriverbar i varje intervall [t j, t j ] och derivatan höger- eller vänster- i ändpunkterna är aldrig. def = { t : t [a, b] } Stigintegraler Ifall är en stig är f z dz = b a f t t dt Ofta skriver man C f z dz istället för f z dz där C är en riktad kurva om det är klart hur parameterframställningen för C som alltså är med riktning skall väljas. på integraler Om C är sträckan från z till z så är f z dz = f z dz = C f t t dt, där t = tz + tz, t [, ]. Alternativt, C f z dz = b a f t t dt där t = b t b a z + t a b a z Om C är cirkelbågen z z = r från z + re iα till z + re iβ motsols där α < β så är C f z dz = där t = z + re it, t [α, β]. f z dz = β α f t t dt, G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 2 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 22 / 92 Två stigar : [a, b] C och 2 : [c, d] C där b = 2 c kan kombineras till en stig = 2, : [a, b + d c] C, så att { t, t [a, b], t = 2c + t b, t [b, b + d c], och då är f z dz = f z dz + f z dz. 2 På motsvarande sätt kan en stig delas upp. Om : [a, b] C är en stig och eller är stigen t = a + b t, t [a, b], dvs. stigen i omvänd riktning, så är f z dz = f z dz. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 23 / 92 Slutna stigar En stig : [a, b] C är sluten ifall a = b och f z dz betyder att är sluten. Ifall f z M då z, a < b och längden av är L så gäller b f z dz f t t dt ML. a Om : [a, b] C är en stig och f är en kontinuerlig funktion så att det finns en deriverbar funktion F så att F z = f z då z så är f z dz = F b F a. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 24 / 92
7 Vridningstal Ifall är en sluten stig så är ν, w = 2πi z w dz stigens vridningstal i förhållande till w /. ν, w ett heltal som anger hur många varv går runt w i positiv riktning och är konstant i varje öppen sammanhängande delmängd av C \. ν, w = ν, w, w / Cauchys integralteorem Om är en sluten stig och f är analytisk på och i alla punkter innanför så är f z dz = Antagandet mera exakt: är en sluten stig, f är analytisk i en öppen mängd Ω så att Ω och ν, z = för alla z C \ Ω G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 25 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 26 / 92 Visa hur man kan räkna ut integralen sint t dt med hjälp av Cauchys integralteorem. Lösning: Vi bildar en sluten stig som är sammansatt av stigarn S, [ S, r], r och av [r,s] där < r < S och S är den stig som består av sträckorna från S till S + i S, från S + i S till S + i S och från S + i S till S, [ S, r] är sträckan från S + i till r + i, r är cirkelbågen z = r i negativ riktning från r to r och [r,s] är sträckan från r + i till S + i. Av Cauchys integralteorem följer att z dz = dvs. e iz S z dz + e iz [ S, r] z dz + e iz r z dz + e iz [r,s] z dz = så det gäller att visa att sint t dt = lim r 2 Im e iz S [ S, r] z sedan räkna ut lim S dz och lim r dz. S e iz z r e iz z e iz dz + [r,s] e iz z dz och Cauchys integralteorem, ver.. Om och 2 är slutna stigar och f är analytisk på och 2 och i alla punkter mellan och 2 så är f z dz = f z dz. 2 Antagandet mera exakt: och 2 är slutna stigar, f är analytisk i en öppen mängd Ω så att Ω, 2 Ω och ν, z = ν 2, z för alla z C \ Ω. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 27 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 28 / 92
8 Cauchys integralformel, ver. Om är en sluten stig som går ett varv runt punkten w och f är analytisk på och i alla punkter innanför så är f w = f z 2πi z w dz. Cauchys integralformel, ver. Om är en sluten stig, f är analytisk i en öppen mängd Ω så att Ω och ν, z = för alla z C \ Ω så är f wν, w = f z 2πi z w dz, för alla w Ω \. z + 2 Beräkna integralen dz då är randen i positiv riktning z + z 2 av rektangeln med hörn i punkterna 2 + 3i, 2 3i, 3i och + 3i.Lösning: Vi konstaterar att funktionen som skall integreras är analytisk i alla punkter utom och 2 och av dessa är det bara som ligger innanför. Därför väljer vi f z = z + 2 och eftersom f är z 2 analytisk i alla punkter utom 2 och eftersom denna punkt ligger utanför rektangeln kan vi använda Cauchys integralteorem. Punkten ligger inne i rektangeln och vi får därför z + 2 z + z 2 dz = f z + 2 dz = 2πif = 2πi z 2 = 2π 3 i. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 29 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 3 / 92 Cauchys integralformel, ver.2 Om f är en analytisk funktion i en öppen mängd Ω C,, 2,..., n är slutna stigar så att j Ω och n j= ν j, z = för varje z C \ Ω så är f w n j= n j= ν j, w = 2πi j f z dz = n j= j f z z w dz, w Ω \ n j= j Teorem Om f är analytisk i den öppna mängden Ω så är också f deriverbar i Ω, dvs. f oändligt många gånger deriverbar i Ω. Cauchys olikheter f n w n!m r n ifall f är analytisk i { z : z w r } och f z M då z w = r eller ifall f är analytisk i { z : z w < r } och f z M då z w < r. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 3 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 32 / 92
9 Liouvilles teorem Om f är analytisk i C och f är begränsad dvs. f z M < för alla z C så är f en konstant. Moreras teorem Om f är kontinuerlig i den öppna mängden Ω C och för varje triangel T Ω så är f analytisk i Ω. T f z dz = Konvergensradie Om z C och a n C, n så finns det ett tal R, R, så att serien n= a nz z n konvergerar absolut då z z < R divergerar då z z > R. Talet R kallas seriens n= a nz z n konvergensradie. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 33 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 34 / 92 Bestäm konvergensradien för potensserien Vi använder kvottestet och räknar n+! z 2n++2 lim n+ n+ n = lim n! n n z 2n+2 n n= n + n + n+n n n n! n n z2n+2. z 2n+2 2 2n 2 = lim n + z 2 = n n e z2. Serien konvergerar då gränsvärdet är < dvs. då z 2 < e eller z < e. På motsvarande sätt divergerar serien då gränsvärdet av kvoterna är >, dvs. då z > e. Detta innebär att seriens konvergensradie är e. Potensserie Ifall f är analytisk innanför cirkeln z z = r så är f z = a n z z n, z z < r, n= där a n = n! f n z och konvergensradien är r. Omvänt, ifall f z = n= a nz z n så är f analytisk i mängden { z : z z < R } där R är konvergensradien och f z = na n z z n, n= dvs. serien kan deriveras och integreras termvis. z z < R G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 35 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 36 / 92
10 Laurent-serie Om f är analytisk i mängden { z : r < z z < R } så är f z = n= a n z z n, där serien konvergerar absolut för alla z så att r < z z < R och kan deriveras och integreras termvis. a n = f z dz, 2πi z z n+ C r,z där C r,z är cirkeln z z = r, r < r < R, l Hopitals regel Om f och g är analytiska i z och f z = gz = och gränsvärdet f z lim z z g existerar så är z f z lim z z gz = lim f z z z g z på serieutvecklingar z = + z + z2 + z = n= zn, z < e z = + z + z2 2! + z3 3! +... = n= zn n! sinz = z z3 3! + z5 5!... = n= n z 2n+ 2n+! cosz = z2 2! + z4 4!... = n z 2n n= 2n! G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 37 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 38 / 92 z-transformer Om xn, n =,, 2, är en talföljd så är z-transformen av x Konvergensområdet Zxz = xnz n Det finns ett tal R, R så att serien n= xnz n konvergerar då z > R och divergerar då z < R. n= Överföringsfunktioner Antag att H är en funktion som avbildar en talföljd x = xn n= på en talföljd Hx = Hxn n= så att H är linjär, dvs Hλx + µy = λhx + µhy; H är translationsinvariant, dvs. Hτx = τhx där τx = och τxn = xn då n ; Det finns ett tal C < så att Hδn C n+, n där δ = och δn =, n. då finns det en funktion Hz, den sk. överföringsfunktionen så att Y z = HzX z där X = Zx och Y = ZHx. Funktionen Hz är z-transformen av Hδ. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 39 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 4 / 92
11 Residy Om f z = n= residyn av f i punkten z. Om a n z z n då < z z < R så är a = Resf, z lim z z f z = w existerar z z eller då m > d m lim z z z z m! dz m m f z = w existerar så är Resf, z = w. m måste vara minst ordningen av polen i z. Residyteoremet Ifall är en sluten stig och f är analytisk på och innanför bortsett från punkterna z j för vilka ν, z j =, j =,..., k så är f z dz = 2πi k Resf, z j. j= G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 4 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 42 / 92 Varför? Om j är en cirkel med mittpunkt z j och så liten radie r j att f är analytisk i { z : < z z j r j } Ω så kan vi skriva Eftersom d dz n och f z = n= a j,n z z j n, < z z j r j. n+ zn+ = z n då n blir j a j,n z z j n dz = då j f z dz = a j, j z z j dz = 2πia j, = 2πiResf, z j. Beräkning av integraler Om f är analytisk på reella axeln och i övre halvplanet Im z > bortsett från punkterna z j, j =,..., k, och lim Im z zf z =, dvs. om z f är rationell, ifall skillnaden mellan nämnarens och täljarens gradtal är minst 2 så är R k f x dx = lim f x dx = 2πi Resf, z j. R R j= Nu följer residyteoremet av att man tillämpar Cauchys integralteorem, ver.2 på stigarna och j, j =,..., k. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 43 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 44 / 92
12 Beräkna med hjälp av residyteoremet integralen x 2 + x dx. Låt f z =. Denna funktion är analytisk i alla punkter utom z 2 +z 2 +4 nämnarens nollställen vilka är z = ±i och z = ±2i. Av dessa är det endast +i och +2i som ligger i övre halvplanet. Eftersom nämnarens gradtal minus täljarens gradtal är 4 så ser vi också att lim z f z =. z forts. Vi kan alltså använda residyteoremet och vi får x 2 + x dx = 2πi Resf, i + Resf, 2i = 2πi lim z i z if z + 2πi lim z 2i z 2if z = 2πi lim z i z i z iz + iz 2iz + 2i z 2i + 2πi lim z 2i z iz + iz 2iz + 2i = 2πi lim + 2πi lim z i z + iz 2iz + 2i z 2i z iz + iz + 2i = 2πi 2i i 3i + 2πi i 3i 4i = π 3 π 6 = π 6. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 45 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 46 / 92 Teorem Ifall a >, g är analytisk på reella axeln och i övre halvplanet Im z > bortsett från punkterna z j, j =,..., k, och lim Im z gz = när g är z rationell, ifall skillnaden mellan nämnarens och täljarens gradtal är minst så är R e iax gx dx = lim e iax gx dx = 2πi R R k Rese iaz gz, z j. Obs! Om gx är reell så är R R sinaxgx dx = Im R R eiax gx dx och R R cosaxgx dx = Re R R eiax gx dx, och det är i båda fallen enklare att räkna ut lim R R R eiax gx dx och sedan ta imaginära eller reella delen än att skriva tex. sinax = 2i eiax e iax. Att försöka tillämpa residyteoremet på funktionen sinazgz eller cosazgz lyckas vanligen inte alls. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 47 / 92 j= 2π F cost, sint dt 2π = F 2 e it + e it, 2i e it e it ie it ieit dt = f z dz ifall f z = F 2 z +, z 2i z och är enhetscirkeln z iz z =. Integralen kan räknas ut med residyteoremet ifall förutsättningarna är uppfyllda. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 48 / 92
13 Nollställen, poler Om f z = a n z z n då < z z < R där a m och R >, n=m och f z = a om m så är z ett nollställe av ordningen m om m > dvs. med multipliciteten m, z är en pol av ordningen m om m < dvs. med multipliciteten m. Om f z = a n z z n och a n för oändligt många n < så är z en n= väsentlig singularitet. är ett nollställe av ordningen till sinz är ett nollställe av ordningen 2 till cosz z är ett nollställe av ordningen m till f f z = f z =... = f m z = och f m z lim z z f z existerar och är z z m z är en pol av ordningen m till f z är en pol av ordningen m till f lim z z z z m f z existerar och är z är ett nollställe av ordningen m till f G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 49 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 5 / 92 Om f är analytisk i z och z är ett nollställe av ordningen m så är f Res f, z = m Om f är analytisk i mängden { z : < z z < r } där r > och z är en pol av ordningen m så är f Res f, z = m Antalet lösningar till en ekvation innanför en sluten stig Om f är analytisk på och innanför och den slutna stigen går ett varv i positiv riktning och ϕ, där ϕt = f t, t [a, b], går m varv runt w så finns det m lösningar till ekvationen f z = w innanför Mera exakt Ifall ν, z = eller då z C \ och f är analytisk på och innanför bortsett från högst ett ändligt antal poler innanför så är f z 2πi f z w dz = dz = νϕ, w, 2πi z w där ϕt = f t, t [a, b], antalet lösningar till ekvationen f z = w minus antalet poler innanför räknade med multiplicitet. ϕ G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 5 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 52 / 92
14 Om f är analytisk i punkten z och f z = så finns det ett tal r > så att antingen gäller Ifall f z = då z z < r eller f z då < z z < r. Analytisk fortsättning Ω är en öppen sammanhängande mängd, f och g är analytiska i Ω, f z = gz då z A Ω där A är sådan att det finns zj A, z j z, j och lim j z j = z Ω, tex. så att A och antingen är öppen eller A = Ω där är en stig så att inte består av bara en punkt, så är f z = gz för alla z Ω. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 53 / 92 Definiera Γz = e t t z dt. Man kan visa att Γ då kommer att vara analytisk då Re z > eftersom t z = t Re z då t >. Hur är det med Γz för andra värden av z? Då Re z > får vi med hjälp av partiell integrering Γz + = e t t z dt = Detta betyder att Γz = Γz = / Γz + z e t t z e t zt z dt = zγz. då Re z > och vi kan definiera Γz +, z, Re z >. z G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 54 / 92 forts. Av teoremet om analytisk fortsättning följer att ifall f z är en analytisk funktion i mängden { z : z, Re z > } så att f z = Γz då Re z > så måste den vara Γz+ z. Vi kan nu fortsätta på samma sätt och definiera Γz = Γz + k, z j, j =,..., k, Re z > k, zz +... z + k och vi ser vi får en funktion Γ som är analytisk i alla punkter utom {,, 2,... }. Definition En funktion ux,..., x n är harmonisk i den öppna mängden Ω R n om den för alla x,..., x n Ω uppfyller Laplace-ekvationen Teorem u = u x x x,..., x n u xnx n x,..., x n =. Funktionen ux, y är harmonisk i Ω ux, y = Re f x + iy där f z är en analytisk funktion i Ω då x + iy = x, y Ω. Om vx, y är en harmonisk funktion i den öppna mängden Ω och f : Ω 2 Ω är en analytisk funktion i den öppna mängden Ω 2 så är ux, y = vre f x + iy, Im f x + iy harmonisk i Ω 2. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 55 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 56 / 92
15 Bestäm en harmonisk funktion u xx + u yy = i första kvadranten { x, y : x >, y > } så att ux, =, x > och u, y = 4, y > genom att visa att vx, y = 2 π arctan x y är en harmonisk funktion då y > så att vx, = då x < och vx, = då x > och genom att använda den analytiska funktionen z z 2. När vi deriverar får vi och v x x, y = π v y x, y = π y + x2 y 2 x y 2 + x2 y 2 = π = π y x 2 + y 2 och v xx x, y = 2xy π x 2 + y 2 2, x x 2 + y 2 och v yy x, y = 2xy π x 2 + y 2 2 Av detta är det klart att v xx + v yy = så v är harmonisk. forts. x Om x > så är lim y + y = + så att lim y + vx, y = 2 π π 2 = x och om x < så är lim y + y = så att lim y + vx, y = 2 π π 2 =. Eftersom f z = z2 är analytisk och avbildar mängden { z C : Re z >, Im z > } på mängden { z C : Im z > } så är funktionen ux, y = cvre f x + iy, Im f x + iy harmonisk i mängden { x, y : x >, y > }. Dessutom ser vi att mängden {, y : y > } avbildas mängden { x, : x < } så att om vi vill att u, y = 4 och så skall vi välja c = 4. På motsvarande sätt ser vi att mängden { x, : x > } avbildas på mängden { x, : x > } så att vi också automatiskt får ux, = då u definieras som ovan. Eftersom f x + iy = x + iy 2 = x 2 + 2ixy y 2 så blir ux, y = 4vRe f x + iy, Im f x + iy = 4vx 2 y 2, 2xy = x 2 π arctan y 2 2xy G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 57 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 58 / 92 Harmoniska funktioner i polära koordinater Antag att wr, θ = vr cosθ, r sinθ dvs. w är v uttryckt med polära koordinater. Då uppfyller v Laplace-ekvationen v xx + v yy =, dvs. den är harmonisk om och endast om Medelvärdesegenskapen Om Ω R n är öppen så gäller: w rr + r w r + r 2 w θθ =. u är två gånger deriverbar och harmonisk u = i Ω u är oändligt många gånger deriverbar och harmonisk u = i Ω u är kontinuerlig i Ω och ux = x = ux + rx ds, för alla x och r så att { x R n : x x r } Ω x = ds Maximumprincipen Om Ω är en öppen begränsad mängd i R n med rand Ω och u är kontinuerlig i Ω Ω och harmonisk i Ω så är max ux = max ux. x Ω Ω x Ω Om Ω dessutom är sammanhängande så gäller att om ux = max x Ω Ω ux för något x Ω så är u en konstant funktion. Entydighet Om Ω är en öppen begränsad mängd i R n med rand Ω och u och u 2 är kontinuerliga i Ω Ω och harmoniska i Ω och u x = u 2 x då x Ω så är u x = u 2 x för alla x Ω. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 59 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 6 / 92
16 Poissons formel i enhetscirkeln Om ux, y är t.ex. begränsad då x 2 + y 2 < så är u harmonisk i { x, y : x 2 + y 2 < } ur cosθ, r sinθ = 2π 2π Poissons formel i övre halvplanet r 2 2r cosθ t + r 2 u cost, sint dt, r <. Om ux, y är t.ex. begränsad då x R och y > så är u harmonisk i { x, y : x R, y > } ux, y = π y x t 2 ut, dt, y >. + y 2 Strömningsproblem i två dimensioner Hastighetsvektorn för en virvelfri strömning av en inkompressibel vätska med viskositet dvs. utan friktion är vx, y så att v = Φ och v =. Dessa villkor innebär att = Φ = Φ xx + Φ yy, dvs. Φ är harmonisk. Om nu f x + iy = Φx, y + iψx, y är analytisk så följer av Cauchy-Riemann ekvationerna att hastighetsvektorn Φ x, Φ y = Re f, Im f och Φ x, Φ y Ψ x, Ψ y, dvs. hastighetsvektorn är parallell med kurvan Ψ = c där c är en konstant som alltså är en strömningslinje. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 6 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 62 / 92 Vilket strömningsproblem kan beskrivas med funktionen f z = z 2 i mängden { z C : Im z > }? I dethär fallet är f x + iy = x 2 y 2 + i2xy. Strömningslinjerna är alltså kurvorna xy = c där c är en konstant och hastighetsvektorn är 2x, 2y = 2xi 2yj. Av detta kan vi se att det är frågan om en strömning mot den reella axeln som delar sig och går ut mot den positiva eller negativa sidan... Vilken situation i strömningsmekanik kan beskrivas med funktionen f z = z + z då z? Vi skriver f = Φ + iψ och om vi använder polära koordinater, dvs. väljer z = re iθ så har vi f z = re iθ + r e iθ = cosθ r + + i sinθ r. r r Eftersom f z = så ser vi att f z z då z, dvs. långt 2 borta från origo är hastighetsvektorn i stort sett en enhetsvektor i x-axelns riktning. Strömningslinjerna bestäms av ekvationerna Ψ = c, dvs. θ = arcsin cr cr och θ = π arcsin. Om c = gäller antingen r 2 r 2 r =, θ = eller θ = π och det är frågan om strömning i området utanför enhetscirkeln med mittpunkt i origo... G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 63 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 64 / 92
17 Laplace-transformen Ls = s Lts = s 2 Le at s = s a Lcosωts = Lsinωts = Lf s = s s 2 +ω 2 ω s 2 +ω 2 Laplace-transformen är linjär! e st f t dt Teorem Ifall T f t dt < för alla T > T lim T e st f t dt existerar för något tal s C så gäller att T F s = lim T e st f t dt existerar då Re s > Re s, F s är analytisk i mängden { s C : Re s > Re s }. Teorem Laplace-transformen är entydig, dvs. om Lf s = Lgs då Re s > α så är ft=gt för nästan alla t. Lαf + βg = αlf + βlg G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 65 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 66 / 92 Räkneregler, derivator mm. då F s = Lf s Lf s = sf s f F s = L tf ts Lf s = s 2 F s sf f t L f τ dτ s = s F s Räkneregler, förskjutningsregler mm. då F s = Lf s Le at f ts = F s a Lf t aut as = e as F s där ut = då t >, ut = då t < och a. L f at s = a F s a, a > Lös begynnelsevärdesproblemet y t + 4y t + 3yt = 4 + 3t, y = 3, y = 6, med hjälp av Laplace-transformering. Låt Y s = Lyt så att Ly t = sy s y = sy s 3 och Ly t = sly t y = s 2 Y s sy y = s 2 Y s 3s + 6. Eftersom L4 + 3t = 4 s + 3 = 4s+3 så får vi genom att ta s 2 s 2 Laplace-transformationer av båda sidorna i ekvationen s 2 Y s 3s sY s 2 + 3Y s = 4s + 3 s 2, så att vi får då vi löser ekvationen Y s = 3s + 6 s 2 + 4s s + 3 s 2 s 2 + 4s + 3. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 67 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 68 / 92
18 forts. För att kunna göra en partialbråksuppdelning måste vi först faktorisera s 2 + 4s + 3 och då behöver vi känna till nollställena som är s = 2 ± 4 3 = 2 ±, dvs. och 3. Partialbråksuppdelningen blir 3s + 6 s 2 + 4s s + 3 s 2 s 2 + 4s + 3 = A s + + B s C s 2 + D s. Koefficienterna A och B är residyer till enkla poler så att 3s + 6 A = lim s + s s + s s + 3 s 2 = 3 s + s =, 3s + 6 B = lim s + 3 s 3 s + s s + 3 s 2 = 3 s + s = 2,. För att få C multiplicerar vi med s 2 och låter s : C = lim s 2 3s + 6 s s + s s + 3 s 2 s + s + 3 =. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 69 / 92 forts. Koefficienten D kan t.ex. räknas ut genom att multiplicera med s 2 sedan derivera och sedan låta s : d D = lim s 2 3s + 6 s ds s + s s + 3 s 2 s + s + 3 3s + 6 = lim 2s s s + s s2 3s2 + 4s + 3 3s + 62s + 4 s 2 + 4s s2 + 4s + 3 4s + 32s + 4 s 2 + 4s =. Nu ser vi med hjälp av partialbråksuppdelningen att 3s + 6 L s 2 + 4s s + 3 s 2 s 2 + 4s = L + L + L s + s + 3 s 2 = e t + 2e 3t + t. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 7 / 92 Konvolution faltning f gt = t f t τgτ dτ Lf g = Lf Lg Delta-funktionalen δ T = d dt ut T men ut T är inte deriverbar så δ T är en generaliserad funktion, så att f tδ T dt = f T. Lδ T s = e st, T δ T f t = ut T f t T, T G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 7 / 92 Beräkna den inversa transformationen L s 2 s+2 konvolutionsprodukten. Eftersom Lt = s 2 och Le 2t = s+2 t e 2t t = = t / t = 2 t t t τe 2τ dτ t τ 2 e 2τ med hjälp av så är s 2 s+2 = Lt e 2t s och t / t 2 e 2τ dτ = 2 t 2 e 2τ dτ 4 e 2τ = 2 t + 4 e 2t 4. Observera att i uttrycket t e 2t t betyder det första t:et funktionen t t, följande i e 2t visar också endast att det är fråga om funktionen t e t medan det sista är ett argument som faktiskt kan ges ett reellt värde. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 72 / 92
19 Låt t, t < 3, f t = 6 t, 3 t < 6,, t > 6. Beräkna Laplace-transformationen av f genom att först skriva ut f med hjälp av stegfunktionen u och sedan använda förskjutningsregeln. Ifall a < b så ser vi att {, då t < a eller t > b, ut a ut b =, då a < t < b. forts. Vi kan nu skriva f t = t ut ut t ut 3 ut 6 = tut 2t 3ut 3 + t 6ut 6. Med hjälp av förskjutningsregeln får vi nu eftersom Lts = s 2 att Lf s = s 2 2 s 2 e 3s + s 2 e 6s. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 73 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 74 / 92 Bestäm en lösning till diffusionsekvationen u t t, x = u xx t, x, t >, x >, då u, x =, x >, ut, = gt och det finns en konstant a > så att e at gt dt <. Antag att u är en lösning till problemet som är sådan att räkneoperationerna som följer kan genomföras. Låt Us, x = e st ut, x dx där s > a dvs. vi använder ett reellt s. Om vi nu tar Laplace-transformationen av båda sidorna i ekvationen u t = u xx så får vi för all s > a, eftersom u, x = och vi antar att vi kan byta ordning på integreringen och x-deriveringen, sus, x = U xx s, x, x >. forts. Denhär differentialekvationens karakteristiska ekvation är λ 2 s = så att λ = ± s och den allmänna lösningen är Us, x = c e sx + c 2 e sx. Om nu Us, x för varje x är Laplace-transformationen av en funktion som inte växer för snabbt så gäller lim s Us, x = vilket innebär att c =. Av antagandet följer att Us, = Lgs vilket innebär att c 2 = Lgs och vi har Us, x = Lgse x s. Genom att konsultera tabeller eller räkna komplexa integraler kan man konstatera, att L 2 πt 3 e 4t s = e s, vilket innebär att e x s = e x 2s är Laplace-transformationen av funktionen 4 x 2 e t x 2 = x 2 π t x 3 2 πt 3 e x 2 4t. 2 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 75 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 76 / 92
20 forts. Eftersom Laplace-transformationen av en konvolution är produkten av Laplace-transformationerna så ser vi att lösningen är och detta kan kontrolleras genom en direkt räkning ut, x = t x gt τ 2 πτ 3 e x 2 4τ dτ. Fourier-integraler Om f t dt < så är Fourier-transformen av f ˆf ω = e i2πωt f t dt, ω R Även definitionerna e iωt f t dt och 2π e iωt f t dt används! Ifall f t dt < så är ˆf kontinuerlig och lim ω ˆf ω = G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 77 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 78 / 92 Räkneregler αf = αˆf f + g = ˆf + ĝ ĝω = e i2πωt ˆf ω ifall gt = f t t f αtω = α ˆf ω α ê πt2 ω = e πω2 Teorem Ifall ˆf ω dω < så är Obs! f t = e i2πωtˆf ω dω. Ifall f t = då t < så är ˆf ω = Lf 2πiω G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 79 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 8 / 92
21 För att bestämma Ge en formel med vars hjälp man kan invertera Laplace-transformationen kan man göra så här: Låt F s = Lf s och definiera f t = då t <. Det innebär att F σ + i2πω = e σ+i2πωt f t dt = e i2πωt e σt f t dt = ĝω, om gt = e σt f t. Om nu ĝω dω = F σ + i2πω dω < så får vi med hjälp av den inversa Fourier-transformationen gt = e σt f t = e i2πωt ĝω dω = e i2πωt F σ + i2πω dω. Genom att göra ett variabelbyte 2πω = τ kan vi skriva resultatet i formen f t = eσt 2π e iτt F σ + iτ dτ. Konvolution f g = ˆf ĝ när f gt = f t τgτ dτ. Teorem Ifall f t 2 dt < så finns det en funktion ˆf så att ˆf ω 2 dω = lim T lim T T ˆf ω T f t T T f t 2 dt 2 e i2πωt f t dt dω = e i2πωtˆf 2 ω dω dt = G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 8 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 82 / 92 Fourier-koefficienter Om f t dt < och f t + = f t så är ˆf n = e i2πnt f t dt Integralen kan också räknas över andra intervall, t.ex. ˆf n = 2 e i2πnt f t dt. 2 Om f istället har perioden T så blir ˆf n = T T T e i2πnt 2 T f t dt = T T 2 e i2πnt T f t dt. f t dt < lim ˆf n = n G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 83 / 92 Obs! Obs! Om så är Teorem e i2πnt dt = f t = n {, då n =,, då n. a n e i2πnt ˆf n = a n, n Z. Om f t + = f t, f t dt < och f är deriverbar i punkten t så är lim N M N e i2πnt ˆf n = f t n=m G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 84 / 92
22 Varför? Definiera gt = { f t+t f t, e i2πt t / Z, i 2π f t, t Z. Av antagandet följer att gt dt < eftersom e i2πt t i2π då t. Eftersom f t + t = gte i2πt + f t så får vi ˆf ne i2πnt = e i2πnt f t + t dt = ĝn + ĝn + f t δ n,, där δ, = och δ n, =, n. Av detta följer att då M <, N > N ˆf ne i2πnt = ĝn + ĝm + f t f t n=m Teorem Ifall f t 2 dt < så är f t 2 dt = lim N M n= f t ˆf n 2 N n= M e i2πntˆf n 2 dt = Omvänt gäller att ifall c n n= är sådan att n= c n 2 < så finns det en funktion f så att f t 2 dt < och ˆf n = c n. då M och N eftersom lim n ĝn =, vilket i sin tur är en följd av att gt dt <. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 85 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 86 / 92 Den diskreta Fourier-transformen ˆFm = N k= e i2πmk N Fk N k= Ofta används instället defintionen i2πmk N e N Fk eller N i2πmk N k= e N Fk men detta betyder bara att talet N dyker upp på andra ställen. Obs! När F är periodisk, dvs. Fk + N = Fk gäller också ˆFm = N+M k=m e i2πmk N Fk FFT En algoritm som kan räkna den diskreta Fourier-transformen med högst cn logn räkneoperationer och inte c N 2 som en direkt räkning kräver. Den inversa transformen Konvolutioner Fk = N N m= e i2πmk N ˆFm Om Fk + N = Fk, Gk + N = Gk och Hk = N j= Fk jgj så är Ĥm = ˆFmĜm G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 87 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 88 / 92
23 Ifall talen a k och b k, k =,,..., är givna kan det i många fall finnas behov att räkna ut c k = k a k j b j, k =,,.... j= Man kan förstås räkna detta direkt men om det skall göras för många tal k kan det löna sig att använda den diskreta Fourier-transformen på följande sätt: Först måste man bestämma sig för ett tal n så att man räknar ut c k för k =,, 2,..., n och för detta behövs talen a k och b k då k =,,..., n. Vi låter N = 2n och definierar Ak = a k och Bk = b k då k =,,..., n, Ak = Bk = då k = n,..., N och Ak + N = Ak och Bk + N = Bk. Vi definierar Ck = N j= Ak jbj forts. Eftersom Bj = b j då j =,..., n och Bj = då j = n,..., N så är Ck = n j= Ak jb j. Dessutom är Ak j = a k j då k j n så att Ck = k a k j b j + j= n j=k+ Ak jb j, k =,..., n. Då j = k +, k + 2,..., n och k =,,..., n är k j =, 2,..., k n + n + och därför är n + = 2n n + = N n + k j + N N så att Ak j = Ak j + N =. Detta innebär att Ck = c k då k =,,..., n. Eftersom Ĉm = ÂmˆBm så följer det av formeln inverteringen av den diskreta Fourier-transformen att c k = Ck = N N m= e i2πmk N ÂmˆBm = N ˆB k, k =,,..., n. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 89 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 9 / 92 Låt Numerisk beräkning av Fourier-integraler gt = N k= t t k t f k t + t p t där t > och p : R R är sådan att p = och pj = då j. Då är g är en interpolationsfunktion med gk t + t = f k t + t då k =,..., N och gk t = då k < eller k > N. Om nu och så är Fk = f k t + t, k =,..., N, t ω = N,, ĝm ω = te i2πm ωt m ˆFmˆp, m Z. N Varför? Vi väljer ω = N t ĝm ω = = = N k= N k= Fk Fk t och då blir e i2πm ωt gt dt t e i2πm ωt t k t p t = te i2πm ωt dt t = t + k t + τ t = e i2πm ωt e i2πm ωk t e i2πm ω tτ pτ dτ N k= e i2πmk N F k e i2π m N τ pτ dτ = te i2πm ωt ˆFmˆp m N. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 9 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 92 / 92
Mat Grundkurs i matematik 3-I
Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I G. Gripenberg Aalto-universitetet 24 oktober 2010 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 1 / 90 G. Gripenberg (Aalto-universitetet)
Läs merKomplexa tal In mathematics you don t understand things. You just get used to them.
Komplexa tal In mathematics you don t understand things. You just get used to them. John von Neumann Reell och imaginär del, konjugering, absolutbelopp z = x + iy = x + y i, x, y R, i 2 = C är mängden
Läs merMat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I
Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del I
Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I G. Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G. Gripenberg (TKK) Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del I
Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK) Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd
Läs mer3. Analytiska funktioner.
33 Fysikens matematiska metoder : Studievecka 3. 3. Analytiska funktioner. Varför komplexa tal? Syfte : Att ur vissa funktioners uppträdande utanför reella axeln ( Nollställen poler m.m) kunna sluta sig
Läs merTentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B1304 fredag 20/ kl
Institutionen för Matematik KTH Mattias Dahl Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B134 fredag /8 4 kl. 14. 19. Lösningar 1. Lös differentialekvationen x 3 y + x y xy + y x 3 ln x, x >. Lösning: Motsvarande
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Läs merKomplexa tal: Begrepp och definitioner
UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,
Läs merInstuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
Läs merReferens :: Komplexa tal
Referens :: Komplexa tal Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. Definition av komplexa tal Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen
Läs merLösningsmetodik för FMAF01: Funktionsteori
Lösningsmetodik för FMAF0: Funktionsteori Johannes Larsson, I2 0 mars 204 Allmänt Detta är lösningsmetoder för de vanligaste tentauppgifterna, grupperade efter hur ofta de kommer på tentan och därmed också
Läs merk=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Funktionsteori 5 9 kl 4 9 Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och
Läs mer1. Lös ekvationen (2 i) sin z + cos z = 2 i. Svara med komplexa tal på formen a + bi. u(x, y) = φ(x)(1 y),
Tentamensproblem 003-0-3 Lös ekvationen ( i) sin z + cos z = i Svara med komplexa tal på formen a + bi Bestäm alla analytiska funktioner f = u + iv med realdel u(x, y) = φ(x)( y), där φ är en två gånger
Läs merTentamensuppgifter, Matematik 1 α
Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,
Läs merHarmoniska funktioner
Harmoniska funktioner Lars Hörmander vt 98 Definitioner och grundläggande egenskaper Enligt definitionen är en analytisk funktion f i Ω C en C lösning till Cauchy-Riemanns differentialekvation f z =. Enligt
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A/B 5 6 5 kl 8 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. a) Bestäm Maclaurinpolynomet
Läs merRita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 24-1-13, kl. 14. 19.. 5B122/2 Diff och Trans 2 del 2, för F, E, T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan
Läs merSF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december 211. Lösningsförslag 1. Räkna ut flödesintegral F n ds, där F = (x e y,
Läs merReferens :: Komplexa tal version
Referens :: Komplexa tal version 0.6 Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. De komplexa talen uppstår som ett behov av av att kunna lösa polynomekvationer
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs merIntroduktion till Komplexa tal
October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5
Läs mer1 Tal, mängder och funktioner
1 Tal, mängder och funktioner 1.1 Komplexa tal Här skall vi snabbt repetera de grundläggande egenskaperna hos komplexa tal. För en mera utförlig framställning hänvisar vi till litteraturen i Matematisk
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merKomplexa tal. i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = i 2 = 1, i 5 = i,...
Komplexa tal Vi inleder med att repetera hur man räknar med komplexa tal, till att börja med utan att bekymra oss om frågor som vad ett komplext tal är och hur vi kan veta att komplexa tal finns. Dessa
Läs merReferens :: Komplexa tal version
Referens :: Komplexa tal version 0.5 Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. De komplexa talen uppstår som ett behov av av att kunna lösa polynomekvationer
Läs merMatematiska institutionen. Tentamen i Komplex analys (TATA45) kl v = Imf = coshxsiny +e y sinx+xy +1.
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA45 Provkod: TEN1 Tentamen i Komplex analys (TATA45) 2017-04-21 kl 14.00 19.00 Inga hjälpmedel är tillåtna. Fullständiga lösningar krävs. Varje
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs merTentamen i Komplex analys, SF1628, den 21 oktober 2016
Institutionen för matematik KTH Håkan Hedenmalm Tentamen i Komplex analys, SF68, den oktober 06 Skrivtid 4.00-9.00. Inga hjälpmedel är tillåtna. Skriv tydliga lösningar med utförliga motiveringar. För
Läs merBlandade A-uppgifter Matematisk analys
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x
Läs merBlixtkurs i komplex integration
Blixtkurs i komplex integration Sven Spanne 8 oktober 996 Komplex integration Vad är en komplex kurvintegral? Antag att f z är en komplex funktion och att är en kurva i det komplexa talplanet. Man kan
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merKOMPLEX ANALYS EXEMPELSAMLING. Augusti 2006 GRUNDLÄGGANDE EGENSKAPER. 1. Beräkna real- och imaginärdel av. 1 1 i. ( i i c) 1 + i.
KOMPLEX ANALYS EXEMPELSAMLING. Augusti 6 GRUNDLÄGGANDE EGENSKAPER.. Beräkna real- och imaginärdel av a) i b) ( i ) 3 c) + i ( 3 ) 3 i d) ( i 5 + ) i 9 +. Bestäm absolutbelopp och argument av a) i 3 b)
Läs meri utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,
Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4
Kapitel 4 Läsanvisningar till kapitel 4 Taylors sats samt Cauchyuppskattningar och några konsekvenser Taylorserier är något ni är bekannt med sedan era reellanalyskurser. Höjdpunkten i detta avsnitt säger
Läs merMöbiusavbildningar. 1 Inledning. Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0. Då kallas. Definition 1.
Möbiusavbildningar Lars-Åke Lindahl 1 Inledning Definition 11 avbildningen en Möbiusavbildning Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0 Då kallas Tz = az + b cz + d (Om ad bc = 0 är
Läs merRita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 003-08-5, kl. 14.00 19.00. 5B10/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3) krävs 18 poäng, medan
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt 11.1 11.3 Funktioner från R till
Läs merLösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007
Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 7. Låt Y (s beteckna Laplacetransformen till funktionen y. Laplacetransformering av den givna ekvationen ger: varav följer att. (a För s > a är Y (s + s Y
Läs merKORT INTRODUKTION TILL ANALYTISKA FUNKTIONER OCH POTENSSERIER
KORT INTRODUKTION TILL ANALYTISKA FUNKTIONER OCH POTENSSERIER M. SAPRYKINA 1. INLEDNING Syftet med denna lilla text är att ge en kort sammanfattning av baskunskaper inom komplexa tal och introducera begreppet
Läs merMATEMATISK FORMELSAMLING
Avdelningen för ämnesdidaktik och matematik (DMA) Avdelningen för kvalitetsteknik, maskinteknik och matematik (KMM) MATEMATISK FORMELSAMLING UPPLAGA (Utkast aug, 0) Innehåll Notation, mängdlära och logik........................
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 15-18, 30/11-12/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp ES, gyl, Q, W 0-0-9 Sammanfattning av föreläsningarna 5-8, 30/ - / 0. Z-transformen ska avslutas och sedan blir det tentaförberedelser.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp gy, IT, W, X 2011-10-26 Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/11 2012. Här lär vi oss använda transformer för att
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs mer1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merOm komplexa tal och funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Om komplexa tal och funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om komplexa tal och funktioner 1 (11) Introduktion De komplexa talen
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merKontrollskrivning KS1T
Kontrollskrivning KS1T Matematik 2 Kurskod HF100 Skrivtid 8:15-11:15 måndagen 9 februari 2009 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa. Formelsamling Korrekt löst uppgift ger
Läs merInnehåll 1. Kapitel 6: Separation of Variables 1
SF629 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMER II - ÖVNING 5 KARL JONSSON Innehåll. Kapitel 6: Separation of Variables.. Upp. 6.2: Dirichlets problem på enhetsskivan med randdata polära koordinater) u,
Läs merLösningsförslag envariabelanalys
Lösningsförslag envariabelanalys 09-06-05. Ekvationen är linjär och har det karakteristiska polynomet pr) = r 4 + r 3 + 5r = r r + r + 5) = r r + i)r + + i). Således ges lösningarna till den homogena ekvationen
Läs merRekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med
Läs merMatematiska institutionen. Tentamen i Komplex analys (TATA45) kl xsinx (x 2 +1) 2 dx. p(z) = z 3 +(2 2i)z 2 +2iz +4
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA45 Provkod: TEN1 Tentamen i Komplex analys (TATA45) 219-1-15 kl 14. 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Fullständiga lösningar krävs. Varje uppgift
Läs mer1.1 Den komplexa exponentialfunktionen
TATM79: Föreläsning 8 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim augusti 07 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa
Läs merTentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00. a+bx e x 2 dx
KTH, Matematik Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00 Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs merLäsanvisningar till kapitel Komplexa tals algebraiska struktur
Läsanvisningar till kapitel 1.1. Jag tänkte bara kort berätta hur strukturen hos dessa läsanvisningar kommer vara innan vi kör gång på allvar. Jag kommer i dessa läsanvisningar säga vad jag anser är viktigt
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 211-1-18 DEL A 1. Låt x och y vara två tal vars summa är 6. Ange det minimala värdet som uttrycket 2x 2 + y 2 kan anta. Lösningsförslag. Eftersom vi
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merKap Inversfunktion, arcusfunktioner.
Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merx f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a
Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,
Läs merGripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,
Mat-. Grundkurs i matematik Tentamen och mellanförhörsomtagning,..23 Skriv ditt namn, nummer och övriga uppgifter på varje papper! Räknare eller tabeller får inte användas i detta prov! Gripenberg. Skriv
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall
Läs merx b r + x 2 dx lim r a
Elementa Årgång, 1969 Årgång, 1969 Första häftet 697 Låt b vara en konstant, 1 < b < 1 Bestäm konstanten a så att lim r a r + existerar och är skilt från och o x b r + x dx 698 Ändligt många intervall
Läs merKursstart. Kursen startar tisdagen den 10 oktober kl i sal MA236 i MIT-huset. Schemat kan erhållas från matematiska institutionens hemsida.
Kursinformation för Komplex analys, 3p, ht 2006. Civ.ing. (Teknisk Fysik) Ingår som ett moment i kursen Fysikens matematiska metoder, 10p. Ulf Backlund Kursstart Kursen startar tisdagen den 10 oktober
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 6. 6.7 6. Residuesatsen Hela kapitel 6 handlar om att beräkna olika typer av integraler på så gott som samma vis. Om ni kommmer ihåg från förra avsnittet om Laurentserieutvecklingar,
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683, Differentialekvationer och Transformmetoder (del 2) 4 april < f,g >=
KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF683, Differentialekvationer och Transformmetoder (del 2) 4 april 28 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra
Läs merSF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari 26 Lösningsförslag Del I Moduluppgift En liter av lösningen som innehåller 2 gram av kemiska
Läs merLösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.
Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 juni 2, kl. 8: 3: Uppgift (av 8 (5 poäng. i. sant, ii. falskt, iii. falskt, iv. sant, v.
Läs merCauchys integralformel och några av dess konsekvenser
En Webbaserad Analyskurs Analytiska Funktioner Cauchys integralformel och några av dess konsekvenser Lars Hörmander MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Cauchys integralformel och några av dess
Läs merKursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.
Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.
Läs merSF1620 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden
KTH Matematik 1 SF162 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden 23-26 27-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 Rita upp triangeln ABC med A = (1,
Läs merDugga 2 i Matematisk grundkurs
Linköpings tekniska högskola Matematiska institutionen Tillämpad matematik Kurskod: TATA68 Provkod: TEN Inga hjälpmedel är tillåtna. Dugga i Matematisk grundkurs 013 16 kl 8.00 1.00 Lösningarna skall vara
Läs merRepetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T
Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891
KTH Matematik 5B1134 Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari 6 1. a) Bestäm sidlängderna i en triangel med vinklarna 44, 63 73 om arean av triangeln är 64 cm. Ange svaren som närmevärden
Läs merMATEMATISK FORMELSAMLING
Avdelningen för ämnesdidaktik och matematik (DMA) Avdelningen för kvalitetsteknik, maskinteknik och matematik (KMM) MATEMATISK FORMELSAMLING UPPLAGA 4 Innehåll Notation, mängdlära och logik........................
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall
Läs merS n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och
Uppgift 1 För vilka x R gäller x 4 = 4? Uppgift Låt S n = n k=1 3 k (a) Visa att S n är en geometrisk summa (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n Uppgift 3 Lös ekvationen e x + e x = 3 Uppgift 4
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 7 Institutionen för matematik KTH 12 september 2016 Injektiva funktioner En funktion är en regel som till varje tal i definitionsmängden ordnar ett bestämt tal i värdemängden. Injektiva funktioner
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merExplorativ övning 7 KOMPLEXA TAL
Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y
Läs mer