Det lutar åt derivatan

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Det lutar åt derivatan"

Transkript

1 Malmö högskola Lärarutbildningen Natur, miljö, samhälle Examensarbete 15 högskolepoäng Det lutar åt derivatan The derivative a slippery slope Daniel de Caprétz Annelie Eriksson Lärarexamen 270 högskolepoäng Matematik och lärande Höstterminen 2007 Examinator: Per-Eskil Persson Handledare: Helena Mühr

2

3 Sammanfattning I denna undersökning tar vi reda på hur det går att förbättra läroböckernas presentation av begreppet derivata i matematik kurs C. Författare till fem olika matematikböcker intervjuades för att ta reda på varför författarna valt det upplägg de har. Böckerna som avhandlas är: Matematik 3000, Matematik från A till E, Liber Pyramid, Räkna med Vux och Exponent. Även nio lärare som använder någon av dessa böcker har intervjuats för att få veta vad lärarna tycker om upplägget. Resultatet visade att det inte finns något optimalt sätt att presentera derivatan som passar alla lärare. Det finns dock förbättringar att göra i samtliga böcker. Den enda åsikt som var gemensamt för de flesta lärarna var att eleverna behöver ha lärarstöd för att få förståelse för begreppet derivata. Med utgång från de svar vi fått från lärare och författare har vi lagt fram ett eget förslag för hur kapitlet derivata kan läggas upp i en lärobok vilket presenteras. Nyckelord: derivata, didaktik, läroböcker, läromedel, matematik, matematik kurs C, undervisning.

4

5 Innehållsförteckning Innehållsförteckning Inledning Syfte Frågeställning Litteraturgenomgång Forskningslitteratur Forskning om hur läromedel används Forskningslitteratur om derivata Matematikböckerna Matematik 3000: Matematik från A-E Pyramid: Exponent Räkna med Vux Metod Urval Datainsamlingsmetod Databearbetningsmetoder Procedur Validitet och reliabilitet Metodkritik Resultat Intervjuer Presentation av lärarna Matematik Matematik A till E Liber Pyramid Exponent Räkna med Vux Resultatanalys Bakgrundskunskaper

6 4.2.2 Hemuppgifter Gränsvärden Historik Lutningen på en kurva Definition Deriveringsregler Tillämpningar Extremvärden Generellt Diskussion Referenslista Bilaga 1 - Intervjufrågor Frågor till lärare Bakgrund Boken Hur gör du själv? Frågor till författare Bakgrund och skapandeprocessen Upplägget

7 1 Inledning Under vår verksamhetsförlagda tid (VFT) och under vår egen skoltid har vi upplevt att introduktionen av begreppet derivata har uppfattats väldigt komplicerat av både elever och lärare. Vår uppfattning är att böckerna drar ut på processen att komma fram till derivatans definition alldeles för länge. Man närmar sig ständigt definitionen men sen väntar man och närmar sig från en annan vinkel. Varför väljer man att förklara begreppen på ett så komplicerat sätt? Kan det vara bättre och mindre frustrerande att direkt berätta vad derivatan är för att sedan arbeta med de andra delarna som genomsnittlig hastighet och kurvans lutning? Undersökningen utgår ifrån fem olika läroböcker som används på olika gymnasium i västra Skåne. Den ämnar ta reda på vad lärare har för åsikt om hur begreppet derivata tas upp i litteraturen och varför författarna har valt att presentera derivata på det vis de gjort. En författare per bok har intervjuats och nio lärare som använder någon av de fem böckerna. 1.1 Syfte Syftet med detta arbete är att undersöka vad författarna har för grunder för hur man framställer begreppet derivata, lärarnas syn på denna framställning och i vilken utsträckning de följer de olika böckernas upplägg. Arbetet syftar också till att undersöka hur man kan förbättra läroböckernas presentation av detta begrepp i matematik kurs C. 1.2 Frågeställning 1. Varför har författarna valt att presentera begreppet derivata enligt respektive läromedel? 2. Vad anser lärare om den valda presentationen av begreppet? 7

8 2 Litteraturgenomgång 2.1 Forskningslitteratur Gerd Arfwedsson (1992) skriver om olika kunskapsbaser, bland annat know that, know why och know how. Hon menar att ett samspel mellan dessa är viktigt för att en elev ska få full förståelse och, som hon uttrycker det, få expertkunskap. Hon skriver också att den stora skillnaden mellan noviser och experter är hur deras kunskap är organiserad. Om man kommer ihåg varje regel som del av en helhet blir den mer varaktig och tillgänglig. I Leif Strandbergs (2006) Vygotskij i praktiken Bland plugghästar och fusklappar kan man läsa om Vygotskijs teorier om lärande. Vygotskij menade att för att kunna få igång inre processer för lärande behöver vi först yttre aktiviteter tillsammans med andra, gärna med stöd av olika hjälpmedel. Arfwedssons (1992) tolkning av Vygotskijs teorier är att elever behöver bli talade till för att deras inre lärande processer ska komma igång. Dessutom anser hon att när lärare talar med och undervisar elever så lägger läraren inte bara en grund för den elevens inre processer just vid det tillfället utan även för kommande tankeprocesser Forskning om hur läromedel används Ulin, B (in Grevholm, 2001) citerar den kända matematikern och pedagogen Georg Pólya, låt oss lära oss att gissa, och menar att vi sedan barnsben fascineras av att lösa gåtor och problem, och att det då i matematiken finns utmärkta tillfällen att låta eleverna själva gissa och söka lösningar på ställda problem. Genom att låta eleverna med hjälp av fantasin gissa sig till möjliga lösningar så är det heller ingen som behöver känna misslyckande om deras idé inte skulle vara lyckad. Han lyfter vikten av uppgifter på basnivå, som inte kräver större förkunskaper men även repetitionen som Ulin menar är vetandets moder. När eleverna lärt sig en matematisk sats så kräver det i många fall mycket repetition och övning innan de är kompetenta nog att utnyttja den. Elevernas erfarenhet är i högsta grad betydelsefull för begreppsbildningen. Ulin menar dock att det länge varit en praxis i läromedlen att ta lätt på begreppsbildningen och att läromedel sedan länge vittnar om just detta. Det vanligaste sättet att presentera derivata är genom tangentens riktningskoefficient. Ulin menar också att derivata är ett så viktigt redskap att det måste presenteras med omsorg, generellt och utförligt och att läraren måste ha en kompetens som gör honom oberoende av läromedlen. Johnsen m.fl. 8

9 (1997) påstår att flertalet lärare använder sig av läroböcker under en större del av sin undervisning och att de noggrant använder sig av böckernas upplägg, vilket enligt Löwing (2004) gör att eleverna koncentrerar sig på kvantitet istället för kvalitet. Hon påpekar också att många läroböcker utgår ifrån frågan Hur gör man? istället för Vad innebär det?. Enligt Johnsen m.fl. (1997) har nya tankegångar i läroplaner inte inneburit att lärarna har frigjort sig från läroböckerna, utan tvärtom. De anser att tyngdpunkten för tolkning av planerna har förflyttats från förlagen till lärare och elever. De menar också att bedömning av och hur man använder läroböcker borde ingå i lärarutbildningen. En studie gjord av Ball & Feiman-Nemser (i Johnsen m.fl. 1997) med sex lärarstuderande visar att lärarstudenterna hade lärt sig och ansåg att man skulle undvika läroböcker och istället utgå ifrån ämnesdidaktisk teori. När de väl kom ut i arbetslivet så anpassade de sig dock snabbt till att använda läroböcker. Draper (1997) menar att många författare läger ner mycket tid och möda på att göra djupgående förklaringar och exempel. Trots detta så hoppar många elever över att läsa dessa förklaringar och exempel och använder endast boken till att hitta läxuppgifter. Enligt Draper så undviker eleverna att läsa texten av två orsaker. Först, för att texten ofta är väldigt teknisk; man kan inte skumma texten utan vart ord är viktigt för förståelse av texten. Den andra orsaken är att eleverna inte har någon vana att läsa därför att ingen har krävt att de ska lära sig något från matematikböckerna, så de har alltså ingen vana att läsa ett så tekniskt material. Han menar att genom att låta eleverna läsa mer i matematikböckerna så kan man uppnå att de också kan kommunicera matematik Forskningslitteratur om derivata Enligt Nilsson (1993) så är det vanligaste sättet att presentera derivata att se till medelhastigheter under en allt kortare tidsperiod och sedan ställa frågan vad man menar med hastigheten i ett givet ögonblick. Ordet tangent behöver en förklaring men sen ska det gå ganska lätt att förstå att hastigheten i ett givet ögonblick ges av tangentens riktningskoefficient. En annan begriplig fråga skulle vara hur snabbt vatten svalnar och Nilsson lyfter också vikten av bilder i inlärningssammanhang som ett stöd åt minnet. Hon menar också att det är bra att ta god tid på sig vid introduktion av begreppet och att en del vill dy df börja med beräkning av differenskvoter i olika sammanhang. Beteckningar som, dx dx eller f ( x) bör man vänta med medan man ganska fort kan införa bekanta beteckningar som Δx eller Δy. Hon förespråkar också konkreta försök och menar att det kan vara väl använd Δ x 9

10 tid då vad eleven gjort själv stöder också både begreppsbildning och minne (Nilsson, 1993: s.114). Nilsson tar också upp vikten av elevernas förkunskaper och värdesätter då förståelse för linjens riktningskoefficient och för algebraiska förenklingar. Det är viktigt att eleverna får känslan av att känna igen, att de kan och har förståelse för de uttryck som dyker upp i samband med derivata. Hon ger exempel på uppgifter som man kan låta eleverna arbeta med redan i de första kurserna. Alla elever bör få olika punkter och de sista uppgifterna kan ges till elever som behöver lite större utmaningar. Nedan visas några exempel på sådana hemmuppgifter. 2 Bestäm riktningen för den linje, som går genom punkterna (1, 1) och (2, 4) på kurvan y = x. Rita och förklara hur du har gjort. Vilken riktning får linjen om den istället går genom (1, 1) och (1.5, 2.25)? 3 3 (2 + h) 2 Beräkna k = för h = 0.5, 0.1 och 0.01 h 4 4 (1 + h) 1 Förenkla k = (Tips: Pascals triangel, Derive) h En linje går genom punkterna (1, 4) och (2, 2) på kurvan y = 4/ x. Vilken riktning har linjen? Rita och förklara hur du har gjort. Vilken riktning får linjen i föregående uppgift, om den går genom (1, 4) och genom en annan punkt, vars x-koordinat är 1+ h? Rita kurvan y = 4/ x, låt h 0, och försök förklara vad du har gjort. (Nilsson, 1993 s. 119) Vid härledning av derivator kan man enligt Nilsson göra klart för eleverna att de nu ska lära sig att derivera alla funktioner de känner till. Vid härledning kan man hänvisa till de hemuppgifter eleverna gjort. Även Löwing (2004) stöder denna teori och menar att lärarens medvetenhet om elevernas förkunskaper är ett av de viktigaste instrumenten och att läraren inför ett nytt undervisningsmoment bör kartlägga dessa förkunskaper. Har läraren tidigare inte haft möjlighet att förbereda eleverna inför kommande moment så föreslår Löwing diagnostiska test eller systematiska elevintervjuer. Efter en undersökning gjord med fem 17-åriga finska elever upptäckte Hähkiöniemi (2004) att perceptuell framställning fungerade speciellt bra som grund för eleverna att förstå relationen mellan en funktion och dess derivata. Under undersökningen undervisade Hähkiöniemi själv eleverna och introducerade begreppet derivata genom förändringshastigheten för en funktion och en penna fick representera tangenten. På så vis undersökte de hur brant grafen var och de lokala extrempunkterna. Den genomsnittliga förändringshastigheten beräknades genom differenskvoten och sekantens lutning. Sedan ställdes frågan Hur bestämmer man den 10

11 ögonblickliga förändringshastigheten i en viss punkt? (s.2). Till slut definierades derivatan som gränsvärdet av differenskvoten. Enligt Hähkiöniemi är ofta den vanligaste perceptuella framställningen tangentens lutning och förändringshastighet men menar att man också bör överväga andra framställningar. Genom kurvans lutning kan man undersöka derivatan som ett objekt och genom de lokala extrempunkterna undersöka differenskvotens gränsvärde. Brosnan & Ralley (2004) har i sin undersökning tagit med en lärobok som är skriven på ett ovanligt sätt. Ur dess förord kan man skapa sig en bild om bokens upplägg. I boken har man lagt mindre vikt vid tragglande av formler och mycket mer vikt lagd vid tolkning av dessa, eleverna ska ofta förklara sina idéer i ord eller grafer. Få exempel används som liknar de som sedan ska räknas hemma, vilket ska motverka att eleverna letar upp exempel och sedan löser uppgiften precis som i exemplet. Många problem i boken är öppna så att det finns mer än ett korrekt svar eller lösning. Boken kräver också att man kan använda sig av tekniska hjälpmedel så som grafritande räknare och betonar vikten av dessa för bättre förståelse men påpekar samtidigt att man ofta inte behöver räknaren för att lösa uppgifterna. Boken använder tre sätt för att beskriva funktioner och lägger lika mycket vikt vid var och en. Grafisk lösning, numerisk lösning och algebraisk lösning och betonar att det är viktigt att vara flexibel i sin ansats, om en inte fungerar prövar man en annan. Med hjälp av denna bok och en föreläsare som var villig att förändra sin undervisning fick svaga elever helt nya förutsättningar och bättre förståelse för matematik och begreppet derivata än elever som tidigare gått samma kurs. 2.2 Matematikböckerna Då det för vissa av böckerna finns en upplaga för NV/TE och en annan för SP har vi valt att studera den upplaga som vänder sig mot NV/TE. De böcker som har olika upplagor är: Matematik 3000, Liber Pyramid och Exponent Matematik 3000: Matematik 3000 har delat upp avsnittet derivata i två kapitel: Förändringshastigheter och derivator och Kurvor och derivator. I det första kapitlet böjar man med att behandla genomsnittliga förändringshastigheter med exempel och generaliseringar. Man kommer här Δy fram till begreppet ändringskvot och Δ x. Därefter tar man upp kurvors lutning med grafiska illustrationer där man ritat ut en sekant och låter den gå mot tangenten i en punkt. Sekantens riktningskoefficient fås fram genom att 11

12 Δ y = f( a+ h) f( a) Δ x= a+ h a Δ y f( a+ h) f( a) k = = Δx h Här står också: Med kurvans lutning i punkten P menar vi lutningen för kurvans tangent i P. Kurvans lutning i en punkt kallar vi derivatan i punkten (s. 63). Gränsvärden är nästa område som avhandlas genom förenkling av bråk där ett exempel resulterar i 4 + h vilket sedan närmar sig 4 då h närmar sig noll; 4+ h 4 då h 0. Här introduceras begreppet limes och att man hur man betecknar detta. Derivatans definition lyfts fram i nästa avsnitt och man förklarar att derivatan av funktionen f ( a+ h) f( a) y = f( x) i punkten x = a kan tecknas f '( a) = lim. h 0 h Läsaren får sedan lära sig hur man deriverar grafiskt om man inte har tillgång till funktionen och hur man kan använda en grafritande räknare för att få ett numeriskt värde på derivatan i en viss punkt, men även hur man får fram ett numeriskt värde om man bara har tillgång till en tabell med värden. Genom att beräkna derivatan av f ( x) x, f( x) x, f( x) x, och f( x) x = = = = och se ett mönster härleds deriveringsregler för polynomfunktioner. Man fortsätter att härleda deriveringsregler för potensfunktioner och kommer sedan in på hur och varför man tar fram x kx talet e och hur man deriverar f ( x) = e och f( x) = e. Sedan tar man upp deriveringsregeln x för f ( x) = a. Efter detta kommer några sidor med blandade övningar på derivata. I andra derivatakapitlet får läsaren veta att vi med hjälp av derivata kan få reda på om en funktion är en polynomfunktion, dvs. om funktionen är kontinuerlig. Här introduceras även andraderivatan f ''. Efter detta tar man upp att 1. Om f '( x ) > 0 för a< x< b, så växer f för a< x< b och 2. Om f '( x ) < 0 för a< x< b, så avtar f för a< x< b (s. 96). Man kommer sen in på hur man använder derivatan för att konstruera grafer och introducerar användandet av teckentabell samt maximi-, minimi- och terasspunkter. Man använder även 12

13 begreppet extremvärde men förklarar det inte ytterligare. Hur man kan skissa en graf med hjälp av derivatan och absolutbelopp förklaras i nästa avsnitt. Därefter går man igenom begreppen lokala och globala extremvärden. Sedan kommer ett stort avsnitt med tillämpningar av derivatan, för både polynomfunktioner, potensfunktioner och exponentialfunktioner. Detta avsnitt innehåller många uppgifter, alla är så kallade textuppgifter. Avslutningsvis har man ett kort avsnitt som enbart är tänkt att göras med hjälp av en grafritande räknare. Samtliga kapitel i Matematik 3000 avslutas med Hemuppgifter, Problemlösning och Arbeta utan räknare. Efter en introduktion med förklaringar och exempel på ett avsnitt finns ett antal uppgifter som eleverna kan räkna. Dessa uppgifter är nivågrupperade; A-uppgifter är lättast, B-uppgifter är något svårare och C-uppgifter är för de elever som behöver extra utmaning. Längst bak i boken finns det facit till samtliga uppgifter, flera gånger med förklaring hur man löser uppgiften. Insprängt lite här och var i boken finns Historikrutor där man berättar om någon matematiker eller annan känd historisk person som har haft stor inverkan på just det matematikområde som tas upp Matematik från A-E Boken börjar med att introducera genomsnittliga förändringar och berättar att en genomsnittlig förändring som t ex ökning/år kallas ändringskvot. Sedan följer två exempel på en sådan ändringskvot. Efter de båda exemplen följer en ruta som inför uttrycket Δy Δx och berättar att detta utryck är en genomsnittlig förändring och kallas för ändringskvot. Man har även med en kort beskrivning av marginalskatt och en ny ruta: Då löneökningen är liten gäller att marginalskatt = skatteökning i kronor löneökning i kronor Nästa avsnitt kallas En kurvas lutning och avsnittet inleds med att berätta eller påminna om att en linjes lutning bestäms av linjens k-värde. Med hjälp av en graf resonerar man sen om lutningen i olika punkter på en kurva. I grafen ser man tydligt att lutningen är större i punkt B än i punkt A och att punkt C har en negativ lutning. Sedan ställer man frågan hur stor är lutningen i punkterna. Vidare så studerar man grafiskt en temperaturkurva och beräknar den genomsnittliga temperaturökningen mellan en punkt A och en punkt B och noterar att den beräknade ändringskvoten betyder kurvans medellutning i intervallet. Man minskar sedan 13

14 tidsintervallet Δx och låter punkten B närma sig punkten A och i detta intervall får man en något mindre medellutning. Sedan låter man B vara en rörlig och allmän punkt som närmar sig punkt A allt mer och mer. Punkten B benämns därför med koordinaterna ( x, f( x )) och f ( x) f(2) lutningen mellan punkterna som k =. När B närmar sig A så innebär det att x x 2 närmar sig 2 och detta skrivs x 2. Man säger att linjen genom punkterna A och B närmar sig ett gränsvärde då linjen tangerar kurvan i punkten A och att denna linje är en tangent till f ( x) f(2) kurvan. Man berättar kort om limes och att uttrycket k = lim är ett gränsvärde x 2 x 2 som också kallas derivata. Man visar även att detta kan skrivas som f (2) och utläses f prim två. Eftersom man ännu inte kan beräkna f (2) så avläser man derivatans värde i grafer. I följande avsnitt så beräknar man gränsvärden och man visar grafiskt hur punkten B går mot punkten A på kurvan y = x. När A och B går ihop så får man k = = med slutsatsen att uttrycket inte är definierat. Man provar sen med små värden nära punkten A. Man ser då att linjens k-värde närmar sig gränsvärdet 4 då x 2. Vidare så gör man en algebraisk beräkning. Under rubriken deriveringsregler låter man båda punkterna A och B vara allmänna punkter på kurvan y = f( x). Linjen genom punkterna, allt illustrerade i en graf, skrivs då som f ( x+ h) f( x) f( x+ h) f( x) k = = x+ h x h. När A B så blir sträckan h mindre och man säger f( x+ h) f( x) att h 0. Tangenten i punkten A har k-värdet k = lim = f ( x) och uttrycket h 0 h kallas derivatans h-definition. Sedan härleds deriveringsregler för x, x, x, 1och x + 5x. Under rubriken Tolka derivatan 1 ska man tolka olika påståenden, från symboler till ord och tvärtom. Under rubriken Tillämpningar på derivata beräknar och tolkar man olika funktioner som t ex föremåls hastigheter eller gränskostnader. Avsnittet Tangenten till en kurva behandlar tangentens ekvation där man med hjälp av derivatan kan bestämma k-värdet. Växande och avtagande inleds med en kurva som visar ett företags vinst under en tioårsperiod, där man introducerar begrepp som strängt växande och avtagande funktioner men även växande och avtagande kurvor i intervall. Med hjälp av teckenstudie löser man sen problem relaterade till växande och avtagande och ritar grafer i anslutning till detta finns också ett avsnitt med uppgifter anpassade för att lösa med hjälp av grafritande hjälpmedel. Under rubriken Största och minsta värde tar man upp maximi- och minimipunkter samt bestämning av största och minsta värde av olika funktioner. Ett kort avsnitt visar hur man kan 14

15 lösa ut konstanter med hjälp av derivata. Under rubriken Derivatans graf tolkas och ritas derivatan utifrån olika grafer. I följande avsnitt introducerar man andraderivatan som ett hjälpmedel till att finna maximi- och minimipunkter och under rubriken Maximi- och minimiproblem löser man sen uppgifter där man kan använda sig av andraderivatan. Vidare under rubriken Tolka derivatan 2 ska man med hjälp av att känna till olika värden på en funktion dess derivata och andraderivata skissa grafer och tolka vad olika symboler betyder. Efter kapitlet finns en sammanfattning, blandade uppgifter och ett test. I fördjupningsavsnittet längst bak i boken finner man förklaringar exempel och uppgifter till derivatan av 1 1 f( x) =, f( x) 2 x = x och f ( x ) = x som följs av ekonomiska och geometriska tillämpningar, fler maximi- och minimiproblem och svårare uppgifter till derivatakapitlet Pyramid: I boken Pyramid börjar man skriva lite om hastigheten när man kör bil och att det hastighetsmätaren visar är derivatan av vägen med avseende på tiden. För att sedan förklara Ändringskvot tar man upp tre typiska exempel nämligen Medelhastighet, Temperaturändring och Marginalskatt. Här intresserar man sig i slutet för ändringskvoter i små intervall för att sedan komma in på begreppet derivata och dess definition. Derivatans geometriska tolkning visas genom att man ritar en graf och illustrerar hur det ser ut när man låter sekanten gå mot tangenten i en punkt. Man poängterar att Sekantens lutning ges av ändringskvoten och tangentens lutning ges av derivatans värde (s. 92). När man sen går in på deriveringsregler härleder man att om f ( x) 2 = x så är '( ) 2 f x = x och om f ( x) 3 = x så är f '( x) 3x 2 = och godtar sedan utan bevis att om f ( x) n = x där n är ett positivt heltal så är f '( x) n x n 1 = och för ( ) f x = konstant så är f '( x ) = 0. Man berättar sedan att derivatan av en summa f ( x) + g( x) är f '( x) + g'( x) och att om n f ( x) = a x så är f '( x) a nx n 1 =. Efter detta tar man upp att det finns andra sätt att beteckna derivatan och visar några av dessa dy df sätt, nämligen:, och Df ( x) och man berättar att man i andra sammanhang har andra dx dx bokstäver istället för f och x, till exempel om man ska beteckna volymen som funktion av radien så kan man skriva V( r), V '( r ). 15

16 Hur man beräknar tangentens och normalens ekvation för en kurva i en viss punkt visas sen med ett exempel var. Nästa underkapitel heter Derivator i verkligheten och i det visar man exempel på hur man kan göra en enkel matematisk modell av verkligheten med hjälp av derivata. I nästa avsnitt avhandlas växande och avtagande kurvor. Då f '( x ) > 0 i ett intervall är funktionen f strängt växande i intervallet. Då f '( x ) < 0 i ett intervall är funktionen f strängt avtagande i intervallet (s. 114). Detta poängteras men man tar inte upp f '( x) 0 eller f '( x) 0 utan skriver sedan felaktigt avtagande och växande i efterföljande uppgifter även om man egentligen menar strängt avtagande och strängt växande. Nästa område som presenteras är Maximum och minimum. Man förklarar lokala maximivärden och minimivärden och maximi- och minimipunkter. Även terasspunkt och terassvärde tas upp. Globala extrempunkter förklaras också, man tar dock aldrig upp samlingbegreppet extrempunkt. Efter introduktion och exempel i varje delavsnitt kommer några uppgifter som övning på det nya man fått lära sig. I slutet av varje huvudkapitel finns Konsten att lösa problem, en grupp kluriga problem, Sammanfattning, sammanfattning av begrepp och formler och till sist ett avsnitt med Blandade uppgifter Exponent Kapitlet börjar med en inledning om vad derivatan används till och om personerna som utvecklade begreppet. Att det används framförallt inom fysiken och ekonomisk teori men även i sannolikhetslära och statistik. I första avsnittet undersöker man hur man kan beskriva förändringar hos funktioner och börjar med att undersöka linjära funktioner och hänvisar till kapitlet innan där man arbetat med just linjära funktioner. I avsnittet undersöks den linjära funktionen y = 2x 3 med riktningskoefficienten k = 2. Det skrivs att då lutningen är 2 för alla x-värden så är funktionens derivata lika med 2 och betecknas y = 2 där y läses y prim. En ruta berättar sedan att en linjär funktion y = kx+ m har derivatan y = k, och att derivatan är lika med riktningskoefficienten. Sedan undersöker man funktionen y = 3 och bestämmer att riktningskoefficienten och därmed förändringshastigheten är noll för alla x- värden, vilket ger att derivatan är y = 0. En ruta följer där man skriver att en konstant funktion y = C har derivatan y = 0. Beteckningarna f ( x) och f ( x) införs. Man undersöker sedan derivatan för icke-linjära funktioner och säger att lutningen varierar och att derivatan 16

17 därmed också varierar. Här tar man även upp begrepp som ändringskvot, medellutning och sekant. Ett exempel på en fallande sten används, med en fallsträcka s meter som en funktion av tiden t sekunder, st () 5 2 = t, både tabell och graf används. En ruta sammanfattar det viktiga Δ y y2 y1 från avsnittet med ändringskvoten = Δx x x 2 1 och att detta är medellutningen för kurvan mellan punkterna ( x1, y1) och ( x2, y 2) i rutan finns även en liten graf som illustrerar det skrivna. Under rubriken Förändringshastighet och derivata så fortsätter man med exemplet den fallande stenen och tar nu två punkter på grafen, punkt A och B, och låter punkt B närma sig punkt A för att tillslut låta de båda punkterna sammanfalla i punkt A. Man gör en grafisk lösning genom att hitta en punkt till på tangenten. Vid införandet av deriveringsregler och derivatans definition så använder man sig åter av funktionen y 2 = 5t, den fallande stenen. Argumentationen är att man också behöver en algebraisk lösning av derivatan. Man utgår från en känd fast punkt A = (2, s(2)) och en rörlig punkt B = (2 + hs, (2 + h)) på kurvan. En linje Δs dras mellan punkterna och lutningen bestäms av ändringskvoten. Sedan låter man B Δ t närma sig A och fastslår att tangentens lutning är gränsvärdet av ändringskvoten och att detta Δs skrivs lim som läses limes för delta s genom delta t när h går mot 0 (s. 69). Sen gör man h 0 Δt ett liknande resonemang för en funktion f ( x) med två godtyckliga punkter A och B och inför derivatans definition. Med hjälp av derivatans definition motivera man sen deriveringsregler 1 för potensfunktioner, då även f ( x) = och g( x) = x, och polynomfunktioner. Vidare tar x man upp lite om olika beteckningar för derivata med förklaringar till om hur de läses och används. Sedan kommer ett avsnitt om numerisk derivering där man presenterar och förklarar den symetriska ändringskvoten med hjälp av graf och text. På slutet av kapitel 2 finns en sida avsedd för att eleven ska reflektera över vissa påstående som ska besvaras med ord eller beräkningar. Sedan följer tre test, Blandade övningar och Utmaningar. Kapitel 3 inleds med en förklaring till varför man vill undersöka en funktions största och minsta värde, dess eventuella extrempunkter och var den växer eller avtar. Sen tar man kort upp vad som från förra kapitlet anknyter till det som nu ska behandlas. Sen bestämmer man lutningen på två punkter på funktionen f ( x) 2 = x som illustreras i ett koordinatsystem. Under rubriken Tangentens ekvation finns två exempel med förklaringar på hur man löser tangentens ekvation med hjälp av derivatan, enpunktsformen och räta linjens ekvation. Nästa avsnitt heter 17

18 Extrempunkter och börjar med en förklaring till extrempunkter och att derivatan är till hjälp för att finna dessa. Man tittar sen på en graf med en växande och en avtagande funktion och fastslår att deras derivator är större eller lika med respektive mindre eller lika med noll. I ytterligare en graf visar man tre extrempunkter och förklarar att i dessa punkter är derivatan lika med noll. Med hjälp av teckenschema undersöker man sen olika funktioners egenskaper. Med hjälp av grafritande räknare illustreras hur funktionen = 4 och dess derivata 2 y x x y = 2x 4 förhåller sig till varandra. Sen görs grafiska tolkningar av funktioner och deras derivator. I nästa avsnitt så behandlas största och minsta värde där man grafiskt eller med hjälp av teckenstudie löser funktioners största och minsta värden. Detta tillämpas sen i uppgifter. Kapitlet avslutas med en reflektion där svaren ska motiveras med ord eller beräkningar, tre test, en Sammanfattning, Blandade övningar och slutligen Utmaningar Räkna med Vux Genom en koppling till det som studerats i kapitlet innan så introduceras begreppet derivata som förändringshastigheten. Ett genetiskt forskningsexempel används och man gör en grafisk lösning av bananflugornas tillväxthastighet. Ändringskvoten över ett intervall beräknas genom sekantens lutning, för att sen låta sekanten gå mot tangenten. Derivatan beräknas till 9,4 flugor/dygn vid tidpunkten 20 dygn. Och betäckningen N (20) 9, 4 flugor/dygn införs. Nästa steg är numerisk derivering och det förklaras att Om funktionssambandet är känt kan man beräkna ett ungefärligt värde på derivatan i en punkt. (s.136) som exempel används funktionen y 2 = x och derivatan ska beräknas i punkten (2; 4). Ändringskvoten för några små värden på h beräknas och man kan se att när h blir mindre så tycks ändringskvoten gå mot värdet 4. Derivatan av y 2 = x är ungefär lika med 4 då 2 x = och detta skrivs y (2) 4. Samma resonemang använder man sen i ett exempel till men då för funktionen y 3 = x. I nästa avsnitt bestämmer man sen derivatan analytiskt och förklarar att man grafiskt och numeriskt bara får ett ungefärligt värde för derivatan men att man kan utnyttja algebra för att bestämma 2 ett exakt värde. Funktionen y = x och punkten P = (2; 4) används igen och man förflyttar sig h enheter åt höger till punkten 2 = (2 + ;(2 + ) ). En sekant ritas mellan punkterna och dess Q h h riktningskoefficient beräknas till 4 + h. Man undrar sedan vad som händer när avståndet h blir mindre alltså när punkten Q kommer allt närmre punkten P. Svaret är att man får riktningskoefficienten för tangenten i punkten P. Det förklaras också att h i nämnaren gör det 18

19 omöjligt att sätta h lika med 0 och att man istället säger att h går mot 0 och att 4 + h då går mot h 4 då h 0. Vidare förklarar man att när h går mot 0 så övergår sekanten i tangenten i punkten (2; 4) och att tangentens riktningskoefficient blir exakt 4. y (2) = 4. Man Δy förklarar också att detta är en gränvärdesbestämning av ändringskvoten när h 0 och att Δx istället för att skriva 4+ h 4 då h 0kan skriva lim(4 + h) = 4. En historisk beskrivning av limes görs i en faktaruta i anslutning till genomgången. I ett kort avsnitt beskrivs sedan derivatan som en funktion och med hjälp av den analytiska bestämningen av derivata för y 2 = x beräknas derivatan exakt för några värden på x. värdena sammanställs i en tabell och punkterna markeras i ett koordinatsystem. Man ser att de bildar en rät linje genom origo med riktningskoefficienten 2. Man kan sen skriva derivatan som en funktion y = 2 x. Med hjälp av den analytiska metoden kan man sen också bestämma derivatan i en godtycklig punkt ( x; f( x)) och det är åter funktionen f ( x) h 0 2 = x som studeras. Man låter åter sekanten gå mot tangenten och ändringskvoten = riktningskoefficienten beräknas, 2x + h, och sen beräknar man gränsvärdet av denna då h går mott 0 och detta skrivs lim(2 x + h) = 2x. Man har funnit tangentens riktningskoefficient f ( x) = 2x. Man sätter sen upp en sammanfattning på fyra steg. 1. Skriv upp f ( x) och f( x+ h) h 0 f ( x+ h) f( x) 2. Skriv ändringskvoten h 3. Förenkla ändringskvoten. Målet är att få bort h i nämnaren. 4. Beräkna gränsvärdet när h 0 I en ruta så visas sen definitionen av derivatan som en funktion och i exempel härleder man sen två potensfunktioner. I nästa avsnitt så fortsätter man med härledning av derivatan av potensfunktioner. Och börjar med f ( x) = x. f ( x) = x och f ( x+ h) = x+ h), f( x+ h) f( x) x+ h x h = = = 1 och f ( x) = lim1 = 1. Man utgår sen från tidigare h h h h 0 härledningar och sammanfattar i en tabell, man ser mönstret och visar följande regel a f ( x) = x, f ( x) a x a 1 =. Man tittar sen på en funktion gx ( ) C f( x) = och frågar vilken derivata denna funktion har. Funktionens derivata härleds och visar att konstanten C finns kvar. Sedan härleder man en konstant funktion f( x ) = 2. I en ruta presenterar man de 19

20 deriveringsregler man nu har lärt sig och i följande exempel använder man sig sen av deriveringsreglerna. I nästa avsnitt härleder man en polynomfunktion av andra graden och visar sen att det blir samma resultat som när varje term deriveras. Sambandet f ( x) = g( x) + h( x), f ( x) = g ( x) + h ( x) visas i en ruta med texten Derivata av en summa. 1 Man härleder också funktionerna f( x) = och f ( x) = x och visar hur de deriveras med x hjälp av deriveringsreglerna. På slutet visar man olika skrivsätt för derivata och förklarar att man för enkelhetens skull använts sig av f som derivatan av funktionen f. Man förklarar också att symbolen dy dx inte ska tolkas som en kvot och att man kan se den som Δy dy differenskvoten när denna övergår i derivatan Δx dx när Δx 0. Efter detta presenterar man kort de två grundarna till begreppet derivata, Newton och Leibniz. Till slut avslutar man kapitlet med en sammanfattning av deriveringsreglerna. Efter kapitlet finns blandade uppgifter om derivata. 20

21 3 Metod För att undersöka hur derivatan introduceras i matematikböckerna och vad användarna anser om introduktionen har nio lärare från fem olika skolor i Skåne intervjuats, enligt den definition som Johansson & Svedner (2006) benämner kvalitativt, djupgående med, till större delen, öppna frågor. En författare för varje bok har också intervjuats per telefon för att man skulle få fram tanken bakom böckernas upplägg. Till största del har vi koncentrerat oss på naturvetenskapligt och tekniskt program, men på KomVux har detta ej varit möjligt då man inte läser program på Komvux utan enbart enskilda kurser. 3.1 Urval Fem skolor, som har matematik kurs C, i västra Skåne kontaktades per telefon för att fastställa vilka läroböcker som används på varje skola för just C-kursen och vilka lärare som undervisar med dessa. Två av de fem läroböckerna och tre av de nio lärarna valdes dock utifrån kontakter på respektive partnerskola. För att ta reda på vilket läromedel som har störst användningsfrekvens har ytterligare femton olika gymnasier i Skåne slumpmässigt valts ut och därefter tagits kontakt med för att fastställa vilket läromedel för kurs C de använder sig av. De böcker som ingår i undersökningen är Exponent röd kurs C, Liber Pyramid NT/c+d, Matematik 3000 NT/TE kurs C och D, Matematik från A-E kurs C och Räkna med Vux kurs C. 3.2 Datainsamlingsmetod Intervjuer är enligt Johansson & Svedner (2006) den vanligaste metoden vid lärarexamensarbeten och då intervjuer passade vårt syfte bäst har vi i detta examensarbete valt att använda intervjuer. När vi har intervjuat lärarna har vi börjat med att ta reda på hur länge de har varit lärare för att på så vis få reda på vilken erfarenhetsnivå de ligger på. Vi har sedan frågat hur de går till väga när de introducerar begreppet derivata och hur de närmar sig deriveringsmetoderna. Detta har följts av att vi frågar om de håller sig till bokens upplägg och sedan vad de tycker om bokens upplägg. Vi frågade också om det var något de saknade i bokens upplägg eller om det var något de skulle kunna tänka sig att ta bort. Författarna frågades om processen att skriva en bok, om de själva undervisar och i så fall följer det upplägg boken har, vilka didaktiska tankar som ligger bakom introduktionen och om det är tänkt att eleverna på egen hand ska kunna få förståelse genom att enbart läsa i boken. 21

22 3.3 Databearbetningsmetoder Vi har valt att sammanställa svaren från intervjuerna i löpande text. För författarna har vi valt att dela upp svaren under två rubriker: Skapandeprocessen och Upplägget. Under rubriken Skapandeprocessen beskrivs hur författarna har arbetat med att ta fram läroboken och vad som har inspirerat dem. Frågor som: Hur skapar man en lärobok i matematik? Vad tar man inspiration ifrån? Testade ni materialet på målgruppen innan boken gavs ut? Besvaras under denna rubrik. Hur författarna resonerat när de gjort sitt upplägg på boken och framför allt avsnittet derivata tas upp under rubriken Upplägget. Här finns svar på frågorna: Vilka didaktiska tankar ligger bakom derivatakapitlet? Har ni gjort upplägget så att det är tänkt att elever skulle kunna lära sig och få förståelse för derivata utan tillgång till handledare eller lärare? Lärarnas svar har vi valt att del upp under varje bok och sedan delat upp svaren under fyra huvudfrågor: Följer du bokens upplägg på derivatakapitlet? Vad tycker du om bokens upplägg över lag? Varför används just denna bok? och Tror du att eleverna skulle klara av att lära sig genom att bara använda boken? För att säkerställa att svaren verkligen var svar på de frågor vi hade följde vi ibland upp med följdfrågor för att specificera. För vissa av författarna berättade vi hur upplägget på någon annan lärobok är och frågade varför de valt sitt sätt istället för det som den andra läroboken har. När vi presenterar lärarna har vi fingerat alla utom ett namn för att skydda deras identitet, så som Johansson & Svedner (2006) skriver att man ska. 3.4 Procedur Alla intervjuer med lärare, med undantag av en, gjordes på respektive skola och diktafon användes vid samtliga av dessa intervjuer. Med fyra av lärarna bokade vi i förväg in tid för intervju och en ringdes upp och intervjuades via telefon. Intervjuer med resterande lärare gjordes på respektive skola direkt i samband med att de tillfrågades. Lärarintervjuerna tog min. Intervjuer med författare gjordes via telefon och även dessa intervjuer spelades in. Liknande och relativt öppna frågor ställdes till författarna och tiden för intervjuerna varierar kraftigt, ca min. 3.5 Validitet och reliabilitet Validitet, har vi undersökt det vi avsåg att undersöka? 22

23 Det är i en vetenskaplig undersökning viktigt att veta att man verkligen undersöker det som avsågs att undersöka. Patel & Davidson (2003) skriver om innehållsvaliditet, innehållet i det instrument man använder sig av. I detta fallet intervjuerna och litteraturen. De frågor vi använde för våra intervjuer stämmer väl överens med vår ursprungliga frågeställning, hur går det att förbättra läroböckernas presentation av begreppet derivata i matematik kurs C. Även litteraturundersökningen stämmer väl överens med vad vi avsåg att undersöka. Litteraturen vi använt diskuterar och behandlar hur läromedel används och dess upplägg av begreppet derivata. Enligt Patel & Davidson så kan man säkerställa validiteten på ett sätt till, den samtidiga validiteten, vilket innebär att man bör jämföra sitt instrument med andra, detta har vi dock inte gjort. Reliabilitet, har vi gjort det på ett tillförlitligt sätt? Enligt Patel & Davidsson innehåller resultatet både en individs sanna värde och ett felvärde. Ett sådant felvärde kan bero på olika faktorer som vi inte kan påverka. Att vi inte säkerställt den samtidiga validiteten kan dock medföra felvärden, då instrumentet på grund av detta har brister. Enligt Patel & Davidson så är reliabiliteten kopplad till intervjuarens förmåga att göra intervjuer. Det ska därför påpekas att vi inte var tränade i intervju situationer och att det kan påverka våra resultat. Att vi alltid var två vid intervjuerna och att vi samtidigt spelade in samtalen höjer reliabiliteten. 3.6 Metodkritik Vi borde ha förberett alla lärarna på att de skulle bli inspelade och även berättat lite mer vad vi tänkte fråga om. Många agerar inte naturligt när de vet att de blir inspelade och därför kan svaren bli kortare än annars. Någon lärare var väldigt oförberedd på att vi skulle spela in och vi märkte att den läraren kände stort obehag av att bli inspelad. Kanske skulle vi ha talat lite mer om annat innan vi påbörjade intervjun så att inspelningen kanske hade glömts bort. Enligt Johansson & Svedner (2006) kan våra miner, gester och även sättet vi ställt frågorna ha haft inverkan på de svar vi fått. Vid alla slags undersökningar finns det viss felmarginal då man inte kan kontrollera om den som svarar faktiskt är ärlig. Då vi bara har intervjuat nio lärare går det inte att generalisera utifrån dessa intervjuer. Matematik 3000 är den mest använda boken och fyra lärare för denna bok intervjuades. Boken är därför överrepresenterad i examensarbetet och fler lärare för de andra böckerna borde ha intervjuats. En del av den litteratur som använts i undersökningen är baserad på undersökningar gjorda i andra länder och kan därför inte generaliseras för det svenska samhället. 23

24 4 Resultat 4.1 Intervjuer Vi har valt att sammanställa intervjuerna med författarna i löpande text då vi haft relativt öppna frågor och vi har fått väldigt långa och övergripande svar. Vi har grupperat svaren under två kategorier. Skapandeprocessen: Hur skapar man en lärobok i matematik? Vad tar man inspiration ifrån? Testade ni materialet på målgruppen innan boken gavs ut? Upplägget: Vilka didaktiska tankar ligger bakom derivatakapitlet? Har ni gjort upplägget så att det är tänkt att elever skulle kunna lära sig och få förståelse för derivata utan tillgång till handledare eller lärare? Författare: Hans Brolin (Matematik 3000), Eva Smedhamre (Matematik A till E), Sven Jacobsson (Liber Pyramid), Susanne Gennow (Exponent), Gert Gabrielsson (Räkna med Vux) Vi intervjuade någon eller några lärare för varje bok. Vi ställde nedanstående frågor och eventuellt några följdfrågor när det behövdes. Vi har här valt att sammanställa svaren under varje bok. Dessa är frågorna: 1. Följer du bokens upplägg på derivatakapitlet? 2. Vad tycker du om bokens upplägg över lag? 3. Varför används just denna bok? 4. Tror du att eleverna skulle klara av att lära sig genom att bara använda boken? Presentation av lärarna För att lärarna ska vara anonyma är alla utom Bo Silborns namn fingerade. Carina undervisar på NV-programmet och har undervisat i 24 år och av dem 2,5 år på den skola hon nu undervisar. Tidigare har Carina undervisat på grundskolan och lärarutbildningen. Terminen som detta arbete skrivs har hon inte undervisat i matematik kurs C men det har hon gjort andra terminer och använde då boken Matematik Carina undervisar även i fysik. 24

25 Veronika undervisar på NV-programmet och har gjort det i 7-8 år. Hon har undervisat i 35 år varav 14 på gymnasiet. Terminen för arbetets skrivande undervisar Veronika i matematik kurs C och använder då boken Matematik Hon undervisar också i fysik. Linus undervisar på gymnasiets NV-program och har gjort så i 15 år. Han undervisar i både matematik och fysik och i matematik kurs C använder han sig av boken Matematik Inga har ämnena matematik och naturvetenskap och sedan 2 år har hon undervisat på NV/TEprogrammet, men har för tillfället också OP-programmet. Allt som allt har hon undervisat i 6 år. På NV-programmets matematik kurs C använder hon boken Matematik Bodil undervisar på Komvux och har denna termin matematik kurs C. Hon har undervisat i ca 30 år på både gymnasium och KomVux. Hon är fysiker i grunden men undervisar för tillfället i matematik. På skolan använder man Matematik från A till E. Paula undervisar på NV-programmet och har undervisat i 41 år. För NV-programmets matematik kurs C använder hon Liber Pyramid. Bo Silborn har undervisat på de flesta programmen och har 20 år undervisningserfarenhet. Bo undervisar även i ämnena fysik och programmering. Anledningen till att vi använder oss av Bos riktiga namn är att han är en av medförfattarna till boken Exponent. Vi har dessvärre inte lyckats få tag på någon annan lärare som använder denna bok. Martin har undervisat i år på både grundskola, gymnasium, komvux och högskola. För närvarande undervisar han på KomVux och då även i matematik kurs C. Han använder sig av boken Räkna med Vux. Nils har undervisat i 30 år och undervisar för närvarande på KomVux där han denna termin undervisar i matematik kurs C. Han använder sig av boken Räkna med Vux. 25

26 4.1.2 Matematik 3000 Intervjuad författare: Hans Brolin Lärare: Carina, Veronika, Linus och Inga Skapandeprocessen Hans Brolin berättar att han och Lars-Erik Björk börjar med att skaffa idéer. Hans Brolin berättar att han säkert har tio hyllmeter med matematikböcker från olika länder, större delen dock från USA, som han har som inspiration. Det som ger mest inspiration och idéer är dock att åka på matematikkonferenser. Han och Lars-Erik åkte på flera sådana, framför allt i USA. Hans Brolin berättar också att de ofta sneglar i bibeln, som han kallar den, How to solve it av George Polya (2004). De läser även områdesspecifik facklitteratur, till exempel ekonomi, fysik och kemi för att se vad eleverna behöver kunna och för att kunna skapa passande uppgifter. När de fått idéer sitter de sedan och skriver och därefter skickar de sina förslag till varandra. Uppläget Hans Brolin menar att de lagt upp Matematik 3000 på ett sådant sätt att eleverna ska få upptäcka matematiken innan man sätter namn på den, ser till att ha det underbyggt så att eleverna får en ordentlig bakgrund. Enligt honom förstår de inte om man bara sätter upp definitionen och deriveringsregler, men när man väl har visat numeriskt och grafiskt så ser eleverna att det är praktiskt att ha deriveringsregler. Genom att ge exempel och uppgifter som eleverna ska lösa så visar man att matematiken som ska tas upp är något eleverna har nytta av. Hans Brolin anser att även om det är fördelaktigast och, för vissa elever, nödvändigt att ha tillgång till någon slags handledning, så bör ändå upplägget av boken göra att elever kan läsa sig till förståelse av derivata. Lärarnas svar 1. De flesta lärarna som intervjuades följde bokens upplägg i stora drag, men använde egna exempel. En lärare som hade en svag grupp hoppade över avsnittet med numerisk derivering då hon sett i tidigare årskullar att hon vid detta moment ofta förlorade eleverna. Flera lärare kommenterade att boken förkortar för snabbt i exemplen, framför allt när det gäller hur man får h ensamt i nämnaren när man jobbar med ändringskvot och gränsvärden. 26

27 2. Flera av lärarna tycker att det är bra att boken har nivågrupperade uppgifter. Någon lärare som intervjuades för en annan bok hade hellre använt denna då den, enligt den läraren, är väldigt strukturerad. Vi frågade inte specifikt om vad lärarna tyckte om andelen fysikrelaterade uppgifter som fanns i boken, ändå kommenterades detta av flera lärare, dock med olika åsikter. Några tyckte att det var för mycket koppling till fysik medan andra tyckte att det var alldeles för lite. 3. Övervägande argument till varför man köpt in just denna bok till skolan var att det inte fanns några direkta alternativ för kurs C till E när beslutet om att köpa in den togs. 4. Ingen av lärarna trodde att eleverna skulle kunna lära sig och få förståelse för begreppet derivata enbart genom att läsa i denna bok. Två lärare kommenterade att de inte trodde elever skulle kunna lära sig materialet själva oberoende av vilken bok som används. En lärare uttryckte det så här: Jag tror inte på Hermodskurser i matematik Matematik A till E Intervjuad författare: Eva Smedhamre Lärare: Bodil Skapandeprocessen Eva Smedhamre och Martin Holmström arbetar tillsammans med samtliga delar. Eva Smedhamre kanske börjar med, vad de kallar ett skelett, som hon sedan skickar till Martin Holmström som sedan skriver vidare på det och förändrar det. När det kommer tillbaka till Eva så kan det vara så förändrat att hon knappt känner igen det. Så fortsätter de att skicka utkasten fram också tillbaka tills de är klara. De senaste böckerna har inte testats i målgrupper, eftersom författarduon har material från gamla böcker. Men de första gjordes i försöksversion som utvärderades. Upplägget Eva Smedhamre menar att man måste ha en logisk följd. Det ena bygger på det andra. För att kunna härleda derivatans definition måste man ha gått igenom gränsvärde. De vill börja med något påtagligt, vardagligt då hon och Martin Holmström anser att det är lättare att förstå det teoretiska om man kan få en praktisk tolkning. Även om de tänker sig att det ska finnas en lärare som kan handleda eleverna så har de fått höra, och tror själva, att det går bra att lära sig och få förståelse för innehållet i boken även utan lärare. Det upplägg de valt att ha 27

28 genomgående i sina böcker, har de fått höra att vissa lärare tycker är för lätt, men författarna tycker att det viktigaste är att eleverna förstår och blir nyfikna på innehållet, inte att lärarna tycker om upplägget. Lärarens svar: 1. Boken förklarar inte vad begreppet derivata är, anser den lärare vi intervjuade. För att förklara medelhastighet, momentanhastighet och skillnaden mellan dem, använder sig Bodil av ett exempel med bilkörning där man kör på en väg där högsta tillåtna hastighet är 50 km/h och blir stoppad av polisen trots att man haft en medelhastighet på under 50 km/h. Hon försöker dock följa bokens upplägg då flera av hennes elever måste läsa själva. 2. När det kommer till bokens upplägg överlag tycker hon dock att det är väldigt bra. Bodil anser att det är relativt enkel text och boken har bra förklaringar. 3. Matematik från A till E är inköpt med anledning av att den är enkel att läsa och lättförstålig för eleverna, eftersom det är viktigt på KomVux att eleverna kan läsa själva. 4. Bodil tror att vissa elever skulle kunna läsa sig till förståelse men inte alla. Hon tror dock att om man ska lyckas så är det betydligt lättare med denna bok än någon annan, framför allt lättare än Matematik Liber Pyramid Intervjuad författare: Sven Jacobsson Lärare: Paula Skapandeprocessen Sven Jacobsson börjar med att se på läroplanen för att veta vilka moment som ingår i den kursen som boken kommer att avhandla. Man lägger upp en grundstruktur och diskuterar strukturen och vilken ordning man ska ha i boken i författargruppen. För Liber Pyramid NT var det så att Hans Wallin skrev brödtexten och när han var klar skickades den till de andra författarna i gruppen som hade synpunkter på den. Efter en del modifieringar lades övningsuppgifter in på rätt ställen. Självklart tittar man på andra böcker, det kan man ju inte undgå, säger Sven Jacobsson. Han menar att många upplägg blir ganska likartade eftersom det finns en naturlig gång i matematiken, man kan inte ta momenten i vilken ordning som 28

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på

Läs mer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största

Läs mer

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvu ISBN 91-27-51027-1 Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs C/Komvu av Lars-Eric Björk,

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte. Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.

Läs mer

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 16, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 16, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 16, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 25 Repetition Lekt 15 Femte och trettioförsta elementet i en aritmetisk talföljd är 7

Läs mer

Planering för kurs C i Matematik

Planering för kurs C i Matematik Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.

Läs mer

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Funktionsstudier med derivata

Funktionsstudier med derivata Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

Matematik C (MA1203)

Matematik C (MA1203) Matematik C (MA103) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma C (MA103) Matematik 03-08- Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven

Läs mer

En uppgift eller text markerad med * betyder att uppgiften kan uppfattas som lite svårare. ** ännu svårare.

En uppgift eller text markerad med * betyder att uppgiften kan uppfattas som lite svårare. ** ännu svårare. Matematik b, repetition Kan du det här? Primitiva funktioner och integraler o o o Vad menas med primitiv funktion? Kan du hitta en primitiv funktion? Vad menas med en integral? Kan du beräkna en integral?

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare Karlstads universitet 19-0 april Exempel på elevaktiviteter framtagna i skolutvecklingsprojektet IKT och lärande i matematik 1

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 freeleaks NpMaD ht2007 för Ma4 1(10) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN 2007 2 Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Förord Kom ihåg Matematik

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap1-3.1. 150513 (Lärare: Ingemar Carlsson) Anvisningar Del B, C och Del D Provtid Hjälpmedel Del A Del B Del C och D Kravgränser Övrigt 140 minuter för Del B, C och Del D. Du

Läs mer

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande

Läs mer

Matematik 3c Kap 3 Kurvor, derivator och integraler

Matematik 3c Kap 3 Kurvor, derivator och integraler Matematik 3c Kap 3 Kurvor, derivator och integraler Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

1 Förändingshastigheter och derivator

1 Förändingshastigheter och derivator Förändingsastigeter oc derivator. Dagens Teori Som en inledning till begreppet derivata, ska vi är diskutera genomsnittlig förändingsastiget. Utan att veta vad som änt mellan två givna tider t oc t 2 kan

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas, såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

Växande och avtagande

Växande och avtagande Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:

Läs mer

Faktiska förkunskapskrav för vissa behörigheter

Faktiska förkunskapskrav för vissa behörigheter Malmö högskola / Gemensamt verksamhetsstöd Studentcentrum 1(5) Mars 2016 Faktiska förkunskapskrav för vissa behörigheter Ersättning för behörighetskursen Engelska B En del utbildningar anger Engelska B

Läs mer

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Styrdokument: Kursplan i matematik med betygskriterier. Läromedel: Matematik 3000 N&K. Lån för studerande upp till 20 år De studerande

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr.

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr. Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Kapitel.1 101, 10 Eempel som löses i boken. 10 Löneökning per månad: 400 kr Förändring i årslön = 1 400 kr = 4800 kr OBS! Fel

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow Matematik i Gy11 110912 Susanne Gennow Var finns matematik? Bakgrund Nationella utredning 2003 PISA 2009 TIMSS Advanced 2008 Skolinspektionens rapporter Samband och förändring åk 1 3 Olika proportionella

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

Absolut möjligt. Problemet. per-eskil persson

Absolut möjligt. Problemet. per-eskil persson per-eskil persson Absolut möjligt Absolutbelopp nämns inte i kursplanerna för gymnasiet, samtidigt som förkunskaper kring dem efterfrågas av högskolan. Med utgångspunkt i en kurs för lärarstudenter konstruerades

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1 Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer Carl-Henrik Fant E-post: carl-henrik.fant@chalmers.se Tel: 772 35 57 Kontor: L3037 i matematikhuset, Johanneberg Kursinnehåll i stora drag Funktioner

Läs mer

HEM KURSER SKRIV UT HEM ÄMNE SKRIV UT

HEM KURSER SKRIV UT HEM ÄMNE SKRIV UT Matematik HEM KURSER SKRIV UT MA200 - Matematik A 110 poäng inrättad 1994-07 SKOLFS: 1994:9 et för kursen är att ge de matematiska kunskaper som krävs för att ta ställning i vardagliga situationer i privatliv

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

7E Ma Planering v45-51: Algebra

7E Ma Planering v45-51: Algebra 7E Ma Planering v45-51: Algebra Arbetsform under en vecka: Måndagar (40 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa: Läsa på anteckningar

Läs mer

Matematik: Det centrala innehållet i kurserna i Gy 2011 i relation till kurserna i Gy 2000

Matematik: Det centrala innehållet i kurserna i Gy 2011 i relation till kurserna i Gy 2000 2011-12-21 Matematik: Det centrala innehållet i kurserna i Gy 2011 i relation till kurserna i Gy 2000 Kurs 1a och 2a i Gy 2011 jämfört med kurs A och B i Gy 2000 Poängomfattningen har ökat från 150 poäng

Läs mer

Valfritt läromedel för kurs Matematik B Exempel: Räkna med Vux B, Gleerups förlag. Tag kontakt med examinator om du har frågor

Valfritt läromedel för kurs Matematik B Exempel: Räkna med Vux B, Gleerups förlag. Tag kontakt med examinator om du har frågor Våren 010 PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik B Kurskod MA 10 Gymnasiepoäng 50 Läromedel Prov Muntligt prov Valfritt läromedel för kurs Matematik B Exempel: Räkna med Vux B, Gleerups förlag Skriftligt

Läs mer

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din miniräknare. Observera

Läs mer

När vi läste Skolverkets rapport Svenska elevers matematikkunskaper

När vi läste Skolverkets rapport Svenska elevers matematikkunskaper Florenda Gallos Cronberg & Truls Cronberg Två perspektiv på att utveckla algebraiska uttryck Svenska elever påstås ha svårt med mönstertänkande. Eller är det så att de inte får lärarledd undervisning i

Läs mer

Lgr 11 matriser i Favorit matematik 4 6

Lgr 11 matriser i Favorit matematik 4 6 Lgr 11 matriser i Favorit matematik 4 6 FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR Lgr 11: Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla förmågan att De matematiska förmågor

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

Ämne Matematik (före 2011) Ämnets syfte Gymnasieskolans utbildning i matematik bygger vidare på kunskaper motsvarande de eleverna uppnår i

Ämne Matematik (före 2011) Ämnets syfte Gymnasieskolans utbildning i matematik bygger vidare på kunskaper motsvarande de eleverna uppnår i Ämne Matematik (före 2011) Ämnets syfte Gymnasieskolans utbildning i matematik bygger vidare på kunskaper motsvarande de eleverna uppnår i grundskolan och innebär breddning och fördjupning av ämnet. Utbildningen

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik 4 PRÖVNINGSANVISNINGAR Kurskod MATMAT04 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik 4 Skriftligt prov (4h) Muntligt prov Bifogas Provet består av två delar.

Läs mer

Matematik 5000, kurs 3b Grön lärobok. Läraranvisning Textview Verksnummer: 40029

Matematik 5000, kurs 3b Grön lärobok. Läraranvisning Textview Verksnummer: 40029 Matematik 5000, kurs 3b Grön lärobok Läraranvisning Textview Verksnummer: 40029 Läraranvisningens innehåll Läraranvisningen är till för att du som undervisande lärare ska få information om hur den pedagogiskt

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 5

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 5 freeleaks NpMaB ht2002 1(7) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN 2002 2 Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 8 uppgifter med miniräknare 5 Förord Skolverket har endast

Läs mer

BML131, Matematik I för tekniskt/naturvetenskapligt basår

BML131, Matematik I för tekniskt/naturvetenskapligt basår BML131 ht 2013 1 BML131, Matematik I för tekniskt/naturvetenskapligt basår Syfte och organisation Matematiken på basåret läses i två obligatoriska kurser; under första halvan av hösten BML131 (Matematik

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte. Kurser i ämnet

MATEMATIK. Ämnets syfte. Kurser i ämnet MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

RÄDDA EKVATIONERNA! Cecilia Christiansen

RÄDDA EKVATIONERNA! Cecilia Christiansen RÄDDA EKVATIONERNA! Cecilia Christiansen Innehåll Introduktion...4 Innan du börjar...6 Lektion 1 Vad är matematiska uttryck och hur förenklar man dem?...8 Lektion 2 Ekvationsspelet del 1...11 Lektion 3

Läs mer

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)? I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

Välkommen till studier i Matematik kurs C

Välkommen till studier i Matematik kurs C Innehåll Välkommen till studier Matematik kurs C...2 Studietips...2 Kursens uppläggning och mål...5 Examination...6 Kursmaterial...7 Webbtips...8 Litteraturtips...8 Övrigt om kursen...10 Problemlösning...11

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra Matematik 1a Centralt innehåll Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier

Läs mer

Matematik. Ämnets syfte

Matematik. Ämnets syfte Matematik MAT Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

3.1 Derivator och deriveringsregler

3.1 Derivator och deriveringsregler 3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation Mälardalens ögskola Akademin för undervisning, kultur oc kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0..08 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng. NpMac vt 01 Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser

Läs mer

Högskoleprovet Kvantitativ del

Högskoleprovet Kvantitativ del Högskoleprovet Kvantitativ del Här följer anvisningar till de kvantitativa delproven XYZ, KVA, NOG och DTK. Provhäftet innehåller 40 uppgifter och den totala provtiden är 55 minuter. Ägna inte för lång

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009 Anvisningar Provtid Hjälpmedel Provmaterialet Provet Poäng och betygsgränser NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009 240 minuter för Del I och Del II tillsammans. Vi rekommenderar att du använder

Läs mer

Fri programvara i skolan datoralgebraprogrammet Maxima

Fri programvara i skolan datoralgebraprogrammet Maxima Per Jönsson & Thomas Lingefjärd Fri programvara i skolan datoralgebraprogrammet Maxima I takt med att priserna sjunker utrustar allt fler skolor sina elever med små bärbara datorer. Detta innebär nya och

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 2: Derivata Institutionen för matematik KTH 8 september 2015 Derivata Innehåll om derivata (bokens kapitel 2). Definition vad begreppet derivata betyder Tolkning hur man kan tolka derivata Deriveringsregler

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

Kursprov i matematik, kurs E vt Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 6

Kursprov i matematik, kurs E vt Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 6 freeleaks NpMaE vt00 lämpliga för Ma4 1(9) Innehåll Förord 1 Kursprov i matematik, kurs E vt 00 Del I: Uppgifter utan miniräknare 3 Del II: Uppgifter med miniräknare 6 Förord Kom ihåg Matematik är att

Läs mer

Ämnesblock matematik 112,5 hp

Ämnesblock matematik 112,5 hp 2011-12-15 Ämnesblock matematik 112,5 hp för undervisning i grundskolans år 7-9 Ämnesblocket omfattar ämnesstudier inklusive ämnesdidaktik om 90 hp, utbildningsvetenskaplig kärna 7,5 hp och VFU 15 hp.

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 Prov som ska återanvändas omfattas av sekretess enligt 17 kap. 4 offentlighets- och sekretesslagen (009:400). Avsikten är att detta prov ska kunna återanvändas t.o.m. 017-06-0. Vid sekretessbedömning ska

Läs mer

Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600

Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 Kurs: Matematik Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk verksamhet är till sin lad till den samhälleliga, sociala och tekniska utvecklingen. Kunskaper

Läs mer

Syfte. Malmö stad Komvux Malmö Södervärn PRÖVNING. prövning grundläggande matematik

Syfte. Malmö stad Komvux Malmö Södervärn PRÖVNING. prövning grundläggande matematik prövning grundläggande matematik Malmö stad Komvux Malmö Södervärn PRÖVNING Kurs: Matematik Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer.

Läs mer

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1: Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,

Läs mer

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. NpMab ht 01 Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet

Läs mer

1. Skollagen 2. Läroplanen Lpo 94 / Lpf Grundskole- / Gymnasieförordningen

1. Skollagen 2. Läroplanen Lpo 94 / Lpf Grundskole- / Gymnasieförordningen Olika styrdokument har olika dignitet 1. Skollagen 2. Läroplanen Lpo 94 / Lpf 94 3. Grundskole- / Gymnasieförordningen Riksdagen Regeringen Utskott SOU Departement (utbildnings-) Statliga verk (Skolverket)

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 2202 Beräkna Detta ger f(3 + h) f(3) då f(x) x 2 (3 + h) 2 3 2 h 2 + 6h 6 + h 6 h 0 Vi har därmed bestämt riktningskoefficienten (k-värdet) för tangenten

Läs mer

Högskoleprovet Kvantitativ del

Högskoleprovet Kvantitativ del Högskoleprovet Kvantitativ del Här följer anvisningar till de kvantitativa delproven XYZ, KVA, NOG och DTK. Provhäftet innehåller 40 uppgifter och den totala provtiden är 55 minuter. Ägna inte för lång

Läs mer

Funktioner, Algebra och Ekvationer År 9

Funktioner, Algebra och Ekvationer År 9 Undervisning Funktioner, Algebra och Ekvationer År 9 Mål att uppnå i år 9, ur Lpo 94 Utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av november 1998. Anvisningar

Läs mer

Klassrumshantering Av: Jonas Hall. Högstadiet. Material: TI-82/83/84

Klassrumshantering Av: Jonas Hall. Högstadiet. Material: TI-82/83/84 Inledning Det som är viktigt att förstå när det gäller grafräknare, och TI s grafräknare i synnerhet, är att de inte bara är räknare, dvs beräkningsmaskiner som underlättar beräkningar, utan att de framför

Läs mer