Algoritmisk komposition

Transkript

1 Projektrapport Malin Palö N3A Ht och Vt Algoritmisk komposition Isn't it enough to see that a garden is beautiful without having to believe that there are fairies at the bottom of it too? 1 Douglas Adams 1

2 Innehållsförteckning Förord... 1 Sammanfattning... 1 Abstract... 2 Syfte... 2 Frågeställning... 2 Huvudfråga... 2 Delfrågor... 2 Bakgrund... 2 Musik, melodier och musikaliska tonsekvenser... 2 Musikpsykologi kring sambandet mellan struktur och känslor i musik... 4 Tidigare komposition med hjälp av algoritmer... 6 Förenkling av melodilinjer... 7 Intervall... 7 Rosa, vitt och brunt brus... 8 Ordlista... 9 Begränsningar... 9 Metod Utrustning Hur resultaten tolkas Stokastisk komposition Bakgrund Modeller efter vilka programmen genererar musik Modell Modell Modell Använda program Regelbaserad komposition Bakgrund Modeller efter vilka programmen genererar musik Modell 5a Modell 5b Modell 5c Använda program Komposition genom sinussonifikation Bakgrund Hur funktionen kan väljas Melodi_av_funktion_add Hur algoritmen fungerar Hur valet av värden inverkar på tonsekvensens form Storleken på lambda Storleken på intervallen Styckets längd Värdet på n

3 Storleken på minmax (PD: VAD ÄR MINMAX I DETTA SAMMANHANG? HITTAR INGEN DEFINITION) Differensen mellan amplituderna Storleken på Sammanfattning regler som gäller för algoritmens val av värden Använda program Kaoskomposition Bakgrund Vilka input-värden kan användas Använda program Cellulär automat Bakgrund Hur resultatet kan tolkas om till musik Hur algoritmen blir mindre determinant Använda program Fraktal komposition (komposition med hjälp av L-system) Bakgrund Vad för egenskaper har en grundmelodi och hur skulle man kunna få fram en sådan? Hur algoritmen som generar grundmelodier fungerar Exempel på grundmelodier som algoritmen genererar Hur algoritmen som expanderar kärnmelodin fungerar Vad för regler gör om en grundmelodi till en mer avancerad melodi? Använda program Transformeringen från siffersekvenser till midi-filer Undersökningar Stokastisk komposition En algoritmisk melodifestival En intervallfördelningsjämförelse med Bach En intervallfördelningsjämförelse med det normala i intervallfördelningen Den informationella entropin Resultat Undersökningarna Undersökningen rörande vilka tonsekvenser som var skrivna av en dator Den algoritmiska melodifestivalen Bachindex (BI), normalindex (NI) och den informationella entropins index (HI)47 Analys Diskussion Modellen Uteslutningen av rytmen Användandet av midi Stokastisk komposition Regelbaserad komposition Komposition genom sinussonifikation Kaoskomposition Cellulär automat... 52

4 Fraktal komposition NI, BI och HI Vilka algoritmer är bra till vad? Regler och strukturer i musik Vad är musik Skapade någon av algoritmerna musik? Vem skapade musiken? Vad skulle musik genererad av algoritmer likt dessa kunna användas till? Muzak Musik för öppensinnade Bakgrundmusik till spel eller andra virtuella miljöer Kan musik vara dålig eller är det bara vi som inte förstår? Kommentarer till undersökningen ang. Modell_ Felkällor Kommentarer till undersökningen i form av en melodifestival Felkällor Kritik Teser Slutsats Källförteckning Böcker Artiklar Elektroniska källor Program... 62

5 Förord Musik, oavsett om den är klassisk eller ej, är något som oftast berör och påverkar många människor så länge som någon människa minns den. Från barocken och framåt har mängden regler för hur ett klassiskt verk ska se ut ur många aspekter i allt högre grad försvunnit, men det finns ändå ett stort antal verk från denna tid som folk än idag njuter av och beundrar. Om man kallar det jag i detta arbete diskuterar för det ett koncept, så är musiken genom sina toner helt enkelt den symbolnivå på vilken vi normalt sett uppskattar och ser mening i den information som konceptet innehåller. Det finns oändligt många symbolnivåer av ett koncept, dvs. oändligt många sätt att se på samma sak. Ett exempel är musiker som lär sig tolka noter, noterna visar exakt samma koncept som musiken gör, bara med andra symboler. 2 Detta innebär också att vissa mönster framträder klarare om man byter nivå, precis som att en konstnär kan se på sin bild på ett annat sätt om han byter synvinkel eller perspektiv. Mitt projektarbete kommer att handla om musik; hur man med hjälp av algoritmisk komposition kan skapa ny musik men också diskutera hur man med hjälp av algoritmisk komposition kan lära sin mer om hur musik fungerar. Sammanfattning Musikpsykologin har visat på två faktorer vilka är särskilt viktiga för hur musikalisk vi uppfattar att en viss tonsekvens är; hur många strukturer som finns i musiken och hur avancerade och på hur många olika nivåer dessa finns. Andra viktiga faktorer är hur stora intervall som används samt hur pass lik tonsekvenser är musik som vi känner igen eller har växt upp med. Genom att tillämpa dessa regler i algoritmer skrivna i MATLAB har jag undersökt vad som är viktigast för uppfattningen om hur musikalisk en viss tonsekvens är, vilken konsekvens ett strikt följande av dessa regler får samt vad som saknas för att alla genererade tonsekvenser från dessa algoritmer skall uppfattas som musikaliska. Alla tonsekvenser har enbart baserats på tillämpande av inom musikpsykologin vedertagna teorier som tillämpas medvetet eller omedvetet av mer eller mindre alla kompositörer, vilket gör att min roll som kompositör är obefintlig. Algoritmerna vilka bygger på sinussonifikation, fraktal, stokastisk samt regelbaserad komposition har alla valt toner efter en samling regler, även om de har olika infallsvinklar. Dessa resultat har visat att tonsekvenser som är musikaliska visserligen går att skapa genom att följa dessa regler, men att just brytandet av dessa regler på ett genomtänkt och innovativt sätt som gör att vi uppskattar musiken. Det är dock viktigt att musiken inte bryter så mycket mot reglerna som tonsekvenserna som bygger på stokastisk komposition gör, eftersom att vi då sorterar bort musiken som oväsen så fort att vi inte hinner uppfatta de strukturer som är så avancerade att kanske bara ett fåtal människor efter ett flertal genomlyssningar kan uppfatta dem. Algoritmerna vilka byggde på kaoskomposition och cellulära automater visade att om det finns en relativt enkel struktur, ex. att varannan ton är densamma nästan varje gång, så spelar det ingen större roll hur slumpartade resterande toner är. 2 The Minds I, Douglas Hofstadter 1

6 Abstract Ett antal olika program och algoritmer har skrivits i MATLAB för att med hjälp av stokastisk komposition, regelbaserad komposition, kaoskomposition, fraktal komposition respektive sinussonifikation skapa enkla melodier för att ta reda på vad en sekvens av toner måste innehålla för att uppfatta som musikalisk. Syfte Att genom att skriva och undersöka olika metoder för att generera musikaliska tonsekvenser med hjälp av MATLAB, föra en diskussion kring vad musik är samt visa på regler och strukturers betydelse för de genererade tonsekvensernas musikaliska nivå. Att genom ljudskapande algoritmers resultat få en förståelse för vad som krävs för att en tonsekvens skall uppfattas som musikalisk. Frågeställning Huvudfråga Vad är det som skiljer musik från oväsen och går detta att applicera i algoritmisk komposition så att man får tonsekvenser som upplevs som musikaliska? Delfrågor Hur definieras musik? Hur definieras en melodi? Vad för regler bygger klassisk musik på? Vad är det som gör vackra melodier vackra? På vilka sätt kan man skapa musik med hjälp av dator? Bakgrund Musik, melodier och musikaliska tonsekvenser Musik är liksom konst ett mycket svårdefinierat begrepp. Hur definitionen ser och har sett ut har beror på historia, social tillhörighet och geografi, men i och med att de allra flesta människor även 2

7 ofta har en egen definition som skiljer sig från andras så går det inte att säga exakt vad ordet betyder idag eller vad det tidigare har betytt. Definitionen av musik är alltså i en väldigt hög grad subjektiv och beror på vem det är som bes om en förklaring av begreppet. Att musik är något som för många är och har varit starkt kopplat till olika känslor eller sinnesstämningar är något som framgår klart i ex. Ideen zu einer Aesthetik der Tonkunst 3 där Schubart bland annat skriver om tonernas karakteristik. I denna skrift beskrivs exempelvis B- moll som: En enstöring, mestadels klädd i nattens dräkt. Den är en smula vresig och påtager högst sällan en behaglig min. Driver gäck med Gud och världen missnöje med sig själv och alla och förberedelse till självmord ljuder i dessa toner. 4 Ett annat försök att beskriva samma tonart görs av Hand: A violent soul pain can be painted in it [... ]; is mostly somewhat added nevertheless, which records the lack of the internal peace and a disintegrating into itself. Therefore artists selected it for designation the ironical Hohns of the malicious Intrigue, that frivolous irony and represented Mephistopheles of feelings therein. 5 Många tycker att kategoriseringen av en ljudsekvens som musik eller inte beror på om det finns någon avsändare bakom musiken eller inte (kompositör); dvs. någon som vill förmedla en känsla så att tvåvägskommunikation sker. Detta är dock något som jag personligen inte håller med om. Då vi lyssnar på musik är det oftast inte av direkt språkliga kommunikativa skäl, ex. för att få reda på fakta om en specifik händelse, utan snarare är musiken ett medium för känslomässig reagens hos lyssnaren. Det enda som då krävs av kompositörens verk är att det innehåller strukturer som kan organiseras om så att de får en känslomässig mening. Även om det i många fall kan vara intressant att vara medveten om historien bakom ett stycke så får vi fortfarande höra exakt samma strukturer, som fortfarande berättar exakt samma historia, även om vi nu får lite hjälp för att tolka symbolerna. Om det inte finns omtolkningsbara symboler så finns det inte heller någon mening i musiken, oavsett vilken historia som ligger bakom. Kompositörer kan sägas vara mästare på att få de som lyssnar på ljuden de organiserar att reagera med känslor, men det är strukturer och symboler de lägger ut, inte magi. Musikerns roll för musiken är då musiken uppförs inte bara att ljudsätta notskriften utan att förstärka och lyfta fram de strukturer som finns i musiken så att de blir enklare för lyssnaren att upptäcka. Vad som skiljer musik ifrån vanligt ljud eller oväsen anser jag vara att någon kan känna någonting genom att lyssna på musik, medan annat ljud kan fungera som en signal men inte som en "trigger" till nya idéer, känslor och/eller tankar som inte är inlärda. Denna begränsning exkluderar exempelvis de ljud som väcker minnen eftersom att vi sammankopplar ljudet med någonting som hänt tidigare; vi har lärt oss att ett visst ljud hör ihop med en viss sak och kopplingen fanns där redan innan musiken spelades upp. Exempel på sådana ljud är exempelvis trafiksignaler, varningssignaler och språk. Självklart så kan tidigare musikaliska erfarenheter på verka hur vi reagerar på ny musik vi hör, men i fallet med trafiksignalen (dvs. bilens signalhorn) så har vi snarare lärt oss vad just detta ljud betyder till skillnad från när vi lyssnar på ny musik oh tycker att den liknar Mozart, vilket skulle kunna få oss att få en annan uppfattning om musiken än vad vi fått om vi inte dragit denna parallell översatt av EHg. Ideen zu einer Aesthetik der Tonkunst 3

8 Jag skulle alltså vilja definiera musik som audiella signaler, ljud och/eller tystnad, som är ordnat i strukturer på ett sådant sätt att den kan ge en människa idéer, tankar eller känslor som den annars inte fått och som inte direkt har med ljudet att göra, dvs. som inte är inlärda eller en konsekvens av vad vi har upplevt tidigare. Jag menar alltså att musik kan och skall ha potential att väcka känslor genom de strukturer som musiken innehåller, inte att den i sig skall göra det. Min definition på vad musik är implicerar inte att kompositören, dvs. den som genererar ljudstrukturerna, är mänsklig eller ens har någon avsikt med att skriva verket, utan bara att verket har kapacitet att få andra att känna någonting. Enligt min definition skulle alltså kompositören lika gärna som en människa kunna vara en datoralgoritm, tärning eller fluga, bara kompositionen i sig faller inom definitionens gränser. Min definition av vad musik är liknar därmed den som Bodil Malmsten ger av en historia i romanen Priset på vatten : Vad historien handlar om beror på vem som berättar den och för vem. Vad som betonas och hur slutsatsen läggs fram. En historia i sig säger ingenting, det finns ingen historia i sig själv. Först när historien berättas finns den, det är först så slutsatsen dras. Det som är så problematiskt med en berättelse att den kan användas till att bevisa vad som helst. 6 Jag menar alltså att tonsekvensen i sig inte är musik utan snarare bara potentiell musik som kan väcka känslor hos någon först då den uppförs. Då jag använder ordet musik i detta arbete kommer jag dock att syfta på alla tonsekvenser som folk anser vara musik, utan att veta om vem eller vad som har komponerat dem. En melodi är enligt NE en tonföljd organiserad på ett sådant sätt att den blir möjlig att uppfatta som en organisk och meningsbärande gestalt 7. En musikalisk tonsekvens anser jag vara en tonsekvens som uppfyller kraven på att den är en melodi, dvs. att den har en inre organisation och struktur som gör att den uppfattas som någonting som kan bära en mening. För att ett stycke skall vara musikaliskt eller ha musikaliska kvalitéer så behövs det alltså multidimensionella strukturer, dvs. strukturer på flera nivåer. Musikpsykologi kring sambandet mellan struktur och känslor i musik Det finns flera, av forskare påvisade och bland musiker kända, faktorer som påverkar hur vi uppfattar en viss musik. I artikeln Struktur och känslor i musik några musikpsykologiska reflektioner publicerad i nr. 2:2006 av Nutida Musik nämner författaren Alf Gabrielsson ett antal av dem. I ett av de första styckena av texten skriver artikelförfattaren följande: Människan är en varelse som oupphörligt tar emot olika sinnesuttryck bearbetar denna information på olika sätt för att tolka vad det är som pågår och avgöra hur man skall agera. I detta arbeta söker hon ständigt efter strukturer, samband och regelbundenheter, något som skapar ordning och gör världen och verkligheten mer begriplig och hanterbar Bodil Malmsten Priset på vatten

9 Gabrielsson fortsätter sedan med att berätta om gestaltpsykologin, enligt vilken vår perception hela tiden försöker finna så tidliga strukturer som möjligt. Ett av de exempel som sedan nämns är närhetslagen. Denna innebär att tonsekvenser där tonerna ligger nära varandra i tonhöjd, dvs. har mindre intervall mellan sig, lättare uppfattas som en struktur eller helhet än vad tonsekvenser med en högre frekvens av större intervall gör. Detta kan man se i den mesta musik; små intervall dominerar. En slutsats som artikelförfattaren också drar, efter att ha hänvisat till psykologen Daniel Berlyne, är att långtgående avvikelser från en tydlig strukturering resulterar i ogillande eftersom att musiken går emot vanliga perceptionskategoriseringar och andra strukturprinciper; musiken blir helt enkelt för annorlunda från vad vi förväntar oss. Samma ogillande uppstår när musiken är för förutsägbar. För att musik skall vara så optimal som möjligt i detta avseende så skall den alltså inte följa reglerna alltför hårt men inte heller avvika från dessa alltför mycket. Ett problem som då uppstår vid regelbaserad algoritmisk komposition är att man sätter upp regler för hur programmet skall följa som man samtidigt vill att den skall bryta mot ibland, men då vid rätt tillfälle och på rätt sätt. Nya strukturer ger möjlighet till nya tolkningar av strukturer man redan känner, men om vi får för mycket nya strukturer på en gång kan vi varken urskilja de enskilda strukturerna eller jämföra dem med omgivningen, då vi inte känner heller denna. Detta gör att hela den musikaliska totala strukturen går förbi oförstådd. Detta kan jämföras med första gången du ser ett nytt föremål. Anta att du aldrig har sett en sax förut. Tack vare att den har två vassa kanter så skulle man kunna konkludera att denna är mycket liken kniv, men om den inte visades i samband med ett papper så skulle du kanske aldrig komma på vad man skulle ha den till; det blev svårare att sätta in föremålet, den nya okända strukturen, i dess sammanhang. En annan viktig faktor som avgör huruvida vi uppskattar musiken eller ej rör vår kulturella uppväxt. Vi här i norra Europa har exempelvis vuxit upp med den västerländska musiken, med durskalor, klassisk musik, lokal folkmusik och jazz som grunden till den musik som vi är vana vid att höra. Den musik som är enklast att ta till sig blir då den som har likheter med den musik vi redan känner till; innehåller varianter av samma strukturer osv. Studier har visat att vår musikaliska smak blir formad av på vilket sätt de ljud vi hör när vi är små är strukturerade. Detta skulle i så fall förklara varför människor tenderar att föredra musik som har stora likheter med redan känd musik; vi kan genom att vi förstår den, ge mening till de musikaliska strukturer vi hör. 9 Martin Gardner förklarar fenomenet så här: It is commonplace in musical criticism to say that we enjoy good music because it offers a mixture of order and surprise. How could it be otherwise? Surprise would not be surprise if there were not sufficient order for us to anticipate what is likely to come next. If we guess too accurately, say in listening to a tune that is no more than walking up and down the keyboard in one-step intervals, there is no surprise at all. Good music, like a person's life or the pageant of history, is a wonderous mixture of explanation and unanticipated turns. 10 Tidigare komposition med hjälp av algoritmer April, 1978 Mathematical Recreations column of Scientific American 5

10 Att komponera med hjälp av algoritmer är inget fenomen som har uppkommit i samband med datorns uppkomst utan är något som egentligen funnits i alla tider. Algoritmer för musikskapande kan sägas ha gjorts av främst två anledningar, dels för att försöka efterlikna eller undersöka redan existerande musikstilar, dels för att upptäcka och/eller uppfinna nya. Man har länge trott att Mozart 1787 skrev ner takter samt instruktioner för ett musikaliskt tärningsspel 11, vilket man dock en längre är säker på skrevs av Mozart utan istället troligtvis av någon annan i hans namn. Oavsett hur det ligger till så fungerade detta tärningsspel så att man bland redan skrivna takter med hjälp av en tärning valde ut en särskild kombination av dessa; vilka takter man skulle spela. För varje takt fanns det sex alternativ, slog man ex. en sexa så spelade man alternativ sex i just den takten, varpå man slog igen för att få vilket alternativ man skulle spela i nästa takt osv. När man slagit ett tärningsslag för varje takt hade man fått en komplett menuett. Detta kan sägas vara ett av de första tillfällena då en slumpgenerator (tärning) användes i skapandet av musik. När datorn började utvecklas under 50-talet var vetenskapsmän intresserade av hur datorn kunde användas inom lingvistiken för att undersöka och analysera språkets uppbyggnad. Ganska snart insåg man dock att det talade språket och musiken hade mycket gemensamt i sin uppbyggnad; där språk har bokstäver, ord, meningar och hela texter har musiken toner, fraser och hela stycken. Man kunde därför tillämpa liknande formella regler i ett datorprogram för att generera tonsekvenser och musik som man kunde för att generera meningar. Några av de första som undersökte detta var Hiller och Isaacson vilka 1951 (PD: NEJ, ) skrev/skapade verket Illiac Suite. Deras algoritm byggde på att en slumpgenerator ger en antal sekvenser efter vissa givna premisser vilka sedan testades efter ett antal regler för att se om de är tillåtna vilket kan innebära att de har vissa egenskaper. Denna kompositionsmetod brukar kallas för regelbaserad komposition gav en annan kompositör, Iannis Xenakis ut boken Formalized music där han i detalj beskrev hur han experimenterat med bland annat stokastiska processer och andra sannolikhetsteorier i komposition. Det bör dock påpekas att Xenakis program inte komponerade hela verk utan istället gav tonsekvenser som han sedan hade som underlag för egen komposition, till skillnad från Hiller och Isaacson. Då kunskaperna kring artificiell intelligens blev större och större så började även AI att användas inom algoritmisk komposition. En av de forskare som har påståtts arbeta med just AI i sin komposition är David Cope. Copes system kallas EMI, eller Experiments in Musical Intelligence, och bygger på en databas av regler. Till skillnad från den regelbaserade komposition som Xenakis arbetade med så kunde dock EMI skapa sina egna regler genom att hitta underliggande strukturer i verk av olika kompositörer, för att sedan komponera verk som var i samma stil som dessa, dvs. EMI letade efter statistiska samband och tillämpade sedan dessa på en korrekt musikalisk form, dvs. om en minuett skulle skapas så använde han regler om hur en minuett skulle se ut rent formmässigt tillsammans med det statistiska insamlade materialet. Om detta ger artificiell intelligens eller ej är dock tveksamt. Förenkling av melodilinjer 11 W.A.Mozart's Musikalisches Wurfelspiel

11 Kenneth och Andrew Hsu har bedrivit forskning 13 rörande förenkling av melodilinjer. Deras metoder bygger på att ett styckes melodilinje kan liknas vid en fraktal och att musiken därför kan representeras på ett enklare sätt där bara hälften, en fjärdedel eller en åttondel så många toner används; för att låta stycket representeras av en fjärdedel av tonerna tar man helt enkelt med var fjärde ton. På grund av musikens fraktala struktur så förändras inte melodistrukturen, dvs. själva uppfattningen om vad musiken är, en slags grundmelodi, vilken är vad man vill komma åt. Nedanstående algoritmer skall sägas representera en sådan förenklad melodilinje och inte en melodi med fraktal struktur, och kan därför inte jämföras med sådana. Nedan ses BWV 772 of Bach i orginalform, med hälften, en fjärdedel respektive en åttondel av de egentliga tonerna. Resultat har visat att för verk av Bach, Brahms och Beethoven så låter den förenklade versionen av verket fortfarande som ett verk av den aktuella kompositören, medan det för mindre komplex musik inte gör det. Detta omöjliggör dock inte att dessa mindre komplexa verk inte går att förenkla, utan bara att komplexiteten i dessa inte är så pass jämt fördelade över stycket att en sådan reduktion inte tar bort viktiga noter. Intervall Då de beteckningar som finns för olika intervall, avstånd mellan två toner, kan vara relativt omständiga att förklara för en som inte kan någonting om musik så har jag i detta arbete valt att använda två andra beteckningar för intervall. Grundtonen i den tonart som stycket spelas i ges värdet 0 och en som ligger x halvtonsteg ovanför tonen får värdet x. Dessa halvtonsteg bygger på en kromatisk skala. Grundtonen i den tonart som stycket spelas i ges värdet 0 och en som ligger x steg ovanför grundtonen i den skala som används får värdet x. Et skaltonsteg innebär alltså att man går ett steg uppåt i en diatonisk skala där halvtonsstegen till de olika tonerna från grundtonen är 2, 4, 5, 7, 9, 11 respektive

12 Ordlista Algoritm En slags instruktion som ges för att generera någonting. (PD: STEGVIS BESKRIVNING AV EN METOD FÖR ATT LÖSA ETT PROBLEM ELLER UTFÖRA EN GIVEN UPPGIFT) Dissonans Ett intervall med två toner som inte anses låta bra ihop. Vilka intervall detta har ansetts vara har varierat mellan olika tidsperioder. Intervall Ett intervall är ett avstånd i höjd mellan två toner. Grundton Den ton i en tonart på vilken durskalan börjar. Konsonans Ett intervall som låter bra. Vilka intervall detta har ansetts vara har liksom för dissonanserna varierat. Vilka intervall som låter bra inom olika komponeringsmetoder framgår av de regler som ligger bakom metoden. Markovkedja - Markovkedjor är system där en viss betingad sannolikhet anger sannolikheten att gå från ett tillstånd till ett annat. Detta innebär alltså att man i varje punkt har en sannolikhet för att viss händelse skall ske som skiljer sig från sannolikheten för denna händelse i andra punkter. (PD: OCH VEM VAR MARKOV? KAN KANSKE LÄTTARE BESKRIVAS SOM TRANSITION PROBABILITIES, NÄMN OLIKA GRADER OCKSÅ, DVS MINNESLÄNGD) Skala En skala är intervall som är givna i en särskild ordning. En vanlig durskala består exempelvis av intervallen [2, 2, 1, 2, 2, 2, 1]. Tonart Alla melodier är skrivna i en specifik tonart vilken bestämmer vilka toner som är höjda jämför med C dur skala. Man definierar tonarten utifrån vilken grundton den har och säger att vissa toner är höjda resp. sänkta för att en skala om man börjar på denna ton skall vara i dur. Begränsningar Jag kommer enbart att skriva algoritmer som genererar enstämmiga tonsekvenser. Dessa tonsekvenser kommer inte att i alla fall vara längre än 16 toner eftersom att det är olika sorters krav som ställs på en längre och en kortare tonsekvens, och eftersom att olika sorters kompositionstekniker är olika bra lämpade för att arbeta med olika strukturnivåer och därmed också olika långa tonsekvenser. Metod Utrustning 8

13 MATLAB, Excel, FindGraph (för interpolation av kurvor), Anvil Studio (midi-program) samt Midi Toolbox 14. Hur resultaten tolkas Varje element en av mina algoritmer genererad matris representerar en ton, där alla toner har lika längd. Då en midi-fil görs så har jag dock, för att få toner med olika lång längd, gjort så att om två eller flera toner med samma tonhöjd ligger direkt efter varandra inom en takt (jag har då använt 4-takt och låtit varje stycke börja med en ton på det första slaget i början av takten) så har jag gjort om dem till en lång ton som har samma längd som de lika tonerna hade sammanlagt. De olika siffrorna representerar sedan hur många skaltonsteg över grundtonen som en viss ton ligger. Då jag har tolkat om siffersekvenserna till tonsekvenser har jag valt siffran 0 som skalans grundton och låtit siffrorna representera antalet skaltonsteg över grundtonen som en viss ton ligger. En alternativ tolkning fås dock lätt genom att man byter skala från den durskala jag har använt till en moll- eller kromatisk skala. I nedanstående tabell så visas vilken siffra som representerar vilken ton beroende på vilken skala man väljer: y Ton i C-dur Ton i C-moll Ton i kromatisk skala 0 C C C 1 D D Ciss 2 E Ess D 3 F F Diss 4 G G E 5 A Ass F 6 H B Fiss 7 C C G Ovanstående innebär exempelvis att siffersekvensen blir tonsekvensen C G E G G E F, där det fjärde G:et ligger en oktav ner och det andra E:et är dubbelt så långt som alla andra toner. Stokastisk komposition Bakgrund 14 Midi toolbox är sammanställd av Department of Music på Jyväskylä universitet. Mer information om denna funktionssamling finns på 9

14 Stokastisk komposition innebär att man genererar en tonsekvens med hjälp av en markovkedja av någon grad samt en slumpgenerator. Vilken grad markovkedjan har inverkar på hur mycket tonerna som föregår en viss ton inverkar på valet av tonen. (PD: FÖRKLARA MARKOVKEDJOR OCH REF TILL NÅGRA EXEMPEL) Modeller efter vilka programmen genererar musik Modell 1 Toner har slumpats ut i en serie med samma sannolikhet för alla toner, dvs. en vanlig och ej viktad slumpgenerator har använts. Modell 2 Toner har slumpats ut i en serie och har samma sannolikhet att förekomma som tonerna gjorde i Bach, detta innebär att sannolikheten att du på måfå väljer en viss ton i den slumpade sekvensen skall vara lika stor som sannolikheten att samma ton väljs i Bach. Modell 3 Toner har slumpats ut med hjälp av en markovkedja av grad två, dvs. en kedja där sannolikheten för en viss siffra i en punkt beror på vilken siffra föregående punkt hade. Sannolikheten för att en viss ton skall förekomma efter en annan har beräknats från Bachs tredje partita för soloviolin. Använda program Modell_1 Modell_2 Modell_3 Regelbaserad komposition Bakgrund Regelbaserad komposition går ut på att regler används för att avgöra hur sannolikt ett visst alternativ är i ett visst läge. Varje läge ställer särskilda krav på vilket nästa valda värde skall bli. Dessa krav överförs sedan i regler som bestämmer vilka alternativ för den nya tonen som är 1 0

15 möjliga. Reglerna kan liknas vid ett filter. För alla de x alternativ som finns vid varje val finns ett hål i filtret. Hålens storlekar beror på sannolikheten för att alternativet som hålet representerar skall ske. De är också placerade så att en partikel som skjuts mot filtret alltid kommer att gå igenom ett och bara ett hål om något hål finns. Finns inget hål så får vi ta tillbaka vår partikel ett steg, göra om föregående filter så att partikeln inte kan gå igenom det hål som den gick igenom sist. I kompositionsfallet så går det till så att då en ton skall väljas så slumpas ett alternativ för nästa ton fram där olika toner får olika sannolikhet att väljas beroende på den nuvarande situationen, precis som om en massa olika toner sköts emot regelfiltret och det fanns olika stora hål för olika toner. Sannolikheten blir ju alltså då betydligtstörre att en ton som motsvaras av ett större hål kommer igenom en att en ton med ett litet hål gör det. Fördelen med regelbaserad komposition gentemot den som bara använder markovkedjor eller har samma sannolikhet för varje val av intervall vid varje tillfälle är att dessa regler anpassar sannolikheten för nästa val beroende på hur situationen ser ut. Även om reglerna alltid är desamma så beror hur dessa inverkar på sannolikheterna på hur situationen ser ut precis i ett visst sammanhang. Användning av regelbaserad komposition gör också att organisationerna bland noter blir mindre lokal än vid användandet av markovkedjor. Med hjälp av reglerna så kan man få en hierarkisk musikalisk struktur som inte bara är linjär utan sträcker sig över åtminstone en eller flera takter. Modeller efter vilka programmen genererar musik Tonarna i nedanstående modeller har skapats med hjälp av regler vilka kommer dels ifrån musikpsykologin vilket nämndes i inledningen och dels från reglerna för en cantus firmus, dvs. melodin i en kontrapunkt 15. Ett urval av dessa har tagits ut och förenklats för att kunna användas i sammanhanget. Vad som skiljer de tre olika nedanstående algoritmerna åt är vilka regler som valts ut. Modell 5a Regler: Melodin skall börja på skalans grundton. Tillåtna intervall mellan två toner är ett respektive två skaltonsteg. Om flera alternativ finns till vilket intervall som skall väljas så skall sannolikheten vara större att intervallet mellan två på varandra följande toner skall vara ett skaltonsteg än att det skall vara två skaltonsteg. Om ett intervall om två skaltonsteg används så skall det direkt följas av ett intervall om ett skaltonsteg i motsatt riktning. Modell 5b Regler: Melodin skall börja och sluta på skalans grundton. Tillåtna intervall mellan två toner är ett, två respektive tre skaltonsteg

16 Om ett intervall om ett skaltonsteg används så skall sannolikheten öka att även nästa intervall blir ett skaltonsteg i samma riktning. Om ett intervall om två skaltonsteg används så skall sannolikheten minska. Mer än två intervall om två eller tre skaltonsteg skall inte annat än i undantagsfall staplas på varandra. Modell 5c Regler: Varje takt måste ha samma struktur, dvs. ett intervallmönster ex upprepas hela tiden taktvis. Detta innebär att om det första intervallet är ett positivt; ett som går från en lägre ton till en högre, så kommer även det femte intervallet att vara det. Melodin skall börja och sluta på skalans grundton. Tillåtna intervall mellan två toner är ett, två respektive tre skaltonsteg Om ett intervall om ett skaltonsteg används så skall sannolikheten öka att även nästa intervall blir ett skaltonsteg i samma riktning. Mer än två intervall om två eller tre skaltonsteg skall inte annat än i undantagsfall staplas på varandra. Använda program Modell_5a Modell_5b Modell_5c Komposition genom sinussonifikation 16 Bakgrund Det engelska ordet sonification innebär att man tar data som ursprungligen inte direkt förknippas med musik och genom några regler modifierar eller tolkar dessa data sådant att de kan läsas som tonsekvenser. På svenska finns det ingen motsvarighet och begreppet sonifikation är därför en direktöversättning. Sinussonifikation syftar på sonifikation av sammansatta sinusfunktioner. I all musik kan melodilinjer ritas in. Detta görs genom att man anger tiden på x-axeln och tonhöjden på y-axeln för att sedan rita in de noter man har som prickar. Melodilinjen är sedan den kurva vilken förbinder punkterna. Detta innebär att man om man lägger in tonernas värden i en graf så kan man med hjälp av interpolation få fram ekvationen för en kurva som går genom de aktuella punkterna. Interpolation innebär att man utifrån vissa givna funkionsvärden försöker finna en funktion som ger dessa värden med så liten felmarginal som möjligt. 16 Denna term har jag direkt översatt från den engelska termen sonification. 1 2

17 I exemplet ovan ses en grafisk representation av de första tonerna i Blinka lilla stjärna, vilken består av en kurva som interpolerats kring de första tonerna i Blinka lilla stjärna där tonerna ses som kryss, Med denna vill jag visa att det alltså går att gå åt det ena hållet; dvs. att utifrån en tonsekvens i redan existerande musik ta fram en funktion som ger just denna melodi. Detta är dock inte en envägsprocess utan ett fenomen som går att föra åt det andra hållet: hittar man en bra kurva så kan denna i översatt form anses vara en melodi. Problemet ligger i att hitta just de funktioner som leder till en melodi och exkludera de funktioner som enbart leder till osammanhängande tonsekvenser. Det är alltså därför troligt att man skulle kunna ta ett antal avrundade värden på y( x ) för någon funktion y( x ) och för x som är valda så att största talet i mängden X { x1, x2,..., xp}, där k är en konstant och x n är det n:e =, för att sedan tolka om detta till en tonsekvens som låter relativt bra om man väljer rätt funktion. Algoritmen Melodi_av_funktion_fri gör just detta och resultatet om man använder funktionen y( x) = 19*sin! 3 ( 4-5 )* x - 20 " # $ kan höras i % & musikexemplet Melodi_av_funktion_fri_1. Hur funktionen kan väljas Så som kunde höras i musikexemplet Melodi_av_funktion_fri_1 så går det att tolka om vilken funktion som helst till musik, men alla är inte lämpliga till detta. Om man exempelvis väljer en funktion som är periodisk med perioden P så får alla toner exakt samma tonhöjd om k = P. Föregående grafer visar dock att det gr att interpolera redan existerande melodier med hjälp av 1 3

18 sammansatta sinusfunktioner, och dessa har därför använts. Självklart så går det dock att använda precis vilken funktion som helst, men den här algoritmen behöver prestera bra mer eller mindre varje gång, och då är alltför komplicerade funktioners beteende svårare att förutsäga. Melodi_av_funktion_add Hur algoritmen fungerar 17 Algoritmen går ut på att man utifrån en given funktion får fram värdena på de olika tonerna, dvs. tonernas höjd. Funktionen fås fram genom att flera olika sinuskurvor adderas med varandra. Just sinusfunktioner används för att det är lätt att förutse den sammanlagda funktionens utseende. En siffersekvens Y får fram genom att längd. där P + 1 är styckets totala Funktionen y( x ) fås genom att två eller flera av sinusfunktioner adderas med varandra. Varje delfunktion av kurvan kan beskrivas som:, där! k är varje enskild sinuskurvas period, w k en vikt som varje funktion multipliceras med så att alla kurvor inte inverkar på den globala strukturen liga mycket och f k en variabel som förskjuter varje funktion något så att mer komplexa strukturer kan fås. Vad som händer då funktionen sätts samman är då nedanstående: 1. P st.! n, w k och f k väljs. 2. Funktionen y( x ) sätts samman enligt ovanstående. Funktionens amplitud ändras av algoritmen genom att variabeln minmax ges ett lämpligt värde och kurvan sedan anpassas så att. 17 Se även appendix 3 1 4

19 Hur valet av värden inverkar på tonsekvensens form Jag har i ett flertal försök med algoritmen testat vad olika värden på k,! 1,! 2,! 3,...,! k " 1,! k och fått för konsekvenser på den genererade tonsekvensens eventuella musikalitet. Experiment som har gjorts kan höras på cd-skivan och kommenteras här. Storleken på lambda! 1 "! 2 "... "! n #! n avgör kurvans globala struktur medan alla andra, främst påverkar de lokala strukturerna på kurvan med amplituden! j + 1 som i sin tur på verkar de lokala strukturerna på kurvan med amplituden! j + 2 (PD: MENAR DU PERIODEN, INTE AMPLITUDEN?) osv. Detta fenomen kan sägas ge denna algoritm en möjlighet för användaren att i större utsträckning vara medveten om kurvans utseende.! 2 avgör kurvans globala struktur medan! 1 främst påverkar de lokala strukturerna på denna. 1 5

20 Storleken på intervallen Om stora intervall används för ofta i en resulterande tonsekvens så blir strukturen ofta för otydlig för att kunna uppfattas som meningsfull. Detta innebär att man bör begränsa summan av intervallen, dvs., där x väljs till en lämplig storlek. 1 6

21 Om man exempelvis antar att fördelningen skall vara följande: Intervall i antal skaltonsteg Andel i procent Så bör antingen fördelningen av intervallen se ut någorlunda som i tabellen ovan eller följa uträkningen nedan. P max! 0,1* *1+ 0, 25* 2 + " Isumma = ) ( y( k) # y( k # 1) ) $ P max* % & = 2,15* P max k = 1 ' 0, 20*3 + 0,10* 4 + 0, 05*5( Ovanstående stämmer dock inte för en del mer avancerade strukturer som exempelvis delar av preludiet till Bachs tredje partita. I denna så ligger ett enkelt tema kombinerat med en skala på den första tonen i varje grupp om fyra, dvs. denna melodi består enbart av sekundsteg, medan resterande toner i varje grupp enbart är lagda för att passa in i ett melodiledande ackord. Att intervallen här inte uteslutande är små påverkar inte uppfattningsförmågan hos en musikaliskt sett erfaren lyssnare eftersom att denna i första hand hör ackordsföljden och i andra hand intervallförflyttningen i melodin och inte som en av alla toner lång kombinerad melodi. Denna snarare globala än lokala form av struktur är dock mer avancerad än de som programmen i första hand kommer att skapa varför detta inte är ett problem i detta specifika fall. Detta kan motverkas genom att vikten w k blir mindre då amplituden! k blir mindre. Styckets längd Enbart värden på! n som resulterar i att den sammansatta funktionens period, P max, är av storleksordningen 60! P max! 120 har testats då längre tonsekvenser ej är aktuella och för korta tonsekvenser inte kan sägas innehålla någon mer avancerad typ av global struktur. Värdet på n Värdet på n bör vara större eller lika med två för att generera tillräckligtintressanta tonsekvenser vilket kan ses i grafen nedan. Annars blir strukturen helt enkelt för enkel för att vara intressant; dvs. strukturen blir så enkel att vi förstår den så tidigt att det inte ligger någon som helst spänning i att lyssna färdigt på stycket. 1 7

22 Storleken på minmax (PD: VAD ÄR MINMAX I DETTA SAMMANHANG? HITTAR INGEN DEFINITION) Bilden nedan visar att ju större värdet på är desto större blir intervallen mellan tonerna. Eftersom att stora intervall gör att strukturer är svåra att uppfatta så är stora värden på alltså inte något positivt. Om värdet på däremot är för litet så kommer toner att upprepas och melodin inte röra sig så mycket i höjdled och då den gör det med mer eller mindre uteslutande små intervall mellan tonerna. k = 2! = 20 1! =

23 Differensen mellan amplituderna Om den sammansatta funktionen består av två olika delfunktioner som multipliceras och så genereras nedanstående grafiska bild av tonsekvensen. 1 9

24 Samma fenomen inträffar om. Allmänt gäller att antalet toppar och dalar på kurvan minskar då differensen mellan amplituderna ökar. Alltså; om differensen mellan två olika iden sammansatta funktionen ingående! n är liten så kommer antalet lokala maximi- respektive minimipunkter att bli så pass många att fördelningen av toner blir till synes slumpartad istället för att följa kurvans linje på ett tydligt sett liksom de exempel som tidigare visades. Samma fenomen uppstår vid addition av delfunktionerna med inte lika drastiskt. Detta gör alltså att kurvan inte längre kan sägas följa melodin och de olika inte blir för litet.! n bör väljas så att Storleken på f k eftersom att ett större värde ger en förändring av kurvans utseende som är ekvivalent med en förändring som ett mindre värde på f k ger då # 2! x $ # 2! x 2! $ wk sin & + fk ' = wk sin & + fk % C * ', där C är en godtycklig konstant. ( " k ) ( " k " k ) 2 0

25 Sammanfattning regler som gäller för algoritmens val av värden! n skall väljas så att inte blir för litet. n! 2 Ju mindre värdet på! k är desto mindre skall värdet på w k vara. Använda program Melodi_av_function_add Melodi_sinus_dator Melodi_av_funktion_fri Kaoskomposition Bakgrund En av de mest kända funktionerna som genererar kaos är xn 1 b* xn ( 1 xn ) = +. Det gäller att b och x 0 kan väljas så att funktionen pendlar mellan minst två olika värden, medan x 0 om b ligger utanför detta intervall dras mot ett fixt värde som kallas för en attraktor. De första 100 iterationerna ger exempelvis följande bild om och b = 3,8. 2 1

26 Kaoskomposition går ut på att omvandla de geometriska mönster som finns i kaos till ljudsekvenser. Fördelen som denna kompositionstyp har gentemot andra skulle kunna vara att vissa lokala strukturer tycks återkomma även om inget mönster uppkommer i den globala strukturen. Alla visuella exempel på kaos visar dock ej upp riktigt samma oordning, vilket Mandelbrotmängden är ett exempel på. Denna mängd innehåller alla element som gör att sekvensen är bunden, vilket innebär att sekvensen inte går mot ±! i någon riktning utan att alla elementligger inom en sluten disk. (PD: DETTA SKILJER SIG INTE FRÅN OVANSTÅENDE GRAF DEN ÄR OCKSÅ SLUTEN. ÄR INTE ALLA KAOTISKA FUNKTIONER DET, HAR FÖR MIG ATT DET FINNS ETT BOUNDEDNESS THEOREM NÅNSTANS, MEN MÅSTE KOLLA UPP) Detta skulle också kunna uttryckas som att det går att rita en stor cirkel som innesluter alla de element som finns med i sekvensen. Denna mängd kan innefatta tal från hela det komplexa talplanet. Då a0 =! i så fås exempelvis nedanstående bild, där talets imaginära del visas på y-axeln och den reella delen på x-axeln. Detta visar att alla exempel på kaos inte nödvändigtvis måste vara så slumpmässiga att vi inte kan se någon ordning i kaoset alls. (PD: HÄR BÖR DU KANSKE GE EN TYDLIGARE DEFINITION AV KAOS, EFTERSOM DU SÅ ATT SÄGA POLEMISERAR MOT FÖRDOMEN ATT KAOS SER OORDNAT UT, MEDAN DET I DEN MATEMATISKA DEFINITIONEN MER HANDLAR OM EXPONENTIELLT DIVERGERANDE UTIFRÅN NÄRLIGGANDE INITIALVILLKOR) 2 2

27 Ett vanligt beteende för dynamiska system som genererarkaos är att ett mönster först förekommer en gång, följt av först en period med helt andra mönster, varpå det första mönstret ofta återvänder i en något förändrad form. Just denna lilla förändring av vad som i musik skulle kunna kallas för ett tema skulle kunna vara något som talar för kaoskomposition. I denna punkt skiljer sig alltså kaoset från ex. resultaten från sonifikation av sammansatta sinuskurvor, där man om man väljer en tillräckligt lång period får en melodi som upprepas gång på gång. Vad som skiljer kaos från total slumpmässighet är alltså att mönster här förekommer, vilket de inte gör i en slumpsekvens. 18 Vilka input-värden kan användas Då en funktion som genererar kaos används så kan tre olika saker inträffa då antalet iterationer ökar; den går mot 0, den går mot oändligheten eller den håller sig inom ett visst intervall. Det enda fallet av dessa som är möjligt då musik skall skapas är det tredje eftersom att de två andra är för ointressanta, i det ena fallet kommer man förr eller senare bara att höra en massa toner av samma tonhöjd, dvs. grundtonen, om och om igen och i det andra fallet så blir melodin tillslut så ljus att den blir omöjlig för örat att uppfatta. Då funktionen x = n+ 1 b* xn ( 1 xn ) och man väljer värden på b och x 0 som gör att detta tredje fall inträffar så kan fortfarande ett flertal olika scenarion inträffa; funktionen kan antingen hoppa mellan ett fixt antal olika värden i ett mönster som hela tiden upprepar sig eller så hoppar funktionen mellan olika värden. Om syftet med funktionen är att generera musik så är det ganska självklart att det andra fallet är det önskvärda. För även detta krav skall uppfyllas så gäller att och. Hur fungerar algoritmen

28 Med hjälp av ett givet startvärde x 0 så kan en siffersekvens beräknas. För att få dessa att hamna inom ett rimligt intervall så divideras alla värden i siffersekvensen med det värde i siffersekvensen som har störst absolutbelopp, vilket gör att de maximala absolutbeloppet som kommer att förekomma i tonsekvensen är ett. Efter detta så multipliceras alla tal med ett bestämt minmax-värde varpå alla tal avrundas för att få heltal. Minmax-värdet bestämmer det nya maximala absolutbeloppet för siffrorna i siffersekvensen. Använda program För generering av den första bilden: Kaos För generering av den andra bilden: Kaos_utan_komposition (Kaos_utan_komposition( i,5000)) Cellulär automat 19 Bakgrund En enkel cellulär automat är uppbyggd av ett rutnät av celler, där alla kan anta två värden; 1 eller 0, eller visuellt sett, kan vara antingen fylld eller ofylld. Hur en specifik rad ser ut definieras rekursivt och beror alltså på hur föregående rad ser ut och definieras med hjälp av 8 regler. Detta beror på att värdet i en ruta bestäms av värdet på den ruta som är rakt nedanför den samt de som är snett nedanför i föregående generation. Dessa rutor kan totalt anta 2*2*2=8 olika värden. 1. [1 1 1] 2. [1 1 0] 3. [1 0 1] 4. [1 0 0] 5. [0 1 1] 6. [0 1 0] 7. [0 0 1] 8. [0 0 0] Anta att det gäller att fall 1, 3 och 5 leder till att den aktuella rutan antar värdet 1, men att alla andra fall leder till att samma ruta antar värdet 0. Kalla detta för en regel, dvs. en regel är då att, och vi kan kalla denna regel för r 1, eftersom att den berättade vad som hände i det första fallet enligt ovan, dvs. r 1 = 1. Då vilka regler som används skall redovisas så blir det otympligt att ange vad exakt varje fall leder till, och en förkortad form brukar därför användas. Vad man gör är att man staplar upp alla regler på en rad så att [ r1, r2, r3, r4, r5, r6, r7, r 8] och sedan tolkar om detta från det binära talsystemet till det decimala; eftersom att siffersekvensen enbart 19 Kallas på engelska, vilket är dess egentliga riktiga namn; för cellular automata 2 4

29 innehåller ettor och nollor så är ju etta fullt möjligt. Regel 146, med vilken en bild visas nedan, blir i det binära talsystemet [ ], vilket innebär att. Efter ett antal generationer så kan en bild fås där en generation visas per rad. För att få några generationer alls med hjälp av reglerna så krävs det dock att man har en första generation, vilket i mitt fall från och med nu i alla fall kommer att vara en rad med enbart nollor bortsett från en ensam etta precis i mitten. Med regel 146 så genereras nedanstående bild, där denna ensamma etta kan ses i mitten av grafen allra längst ner. 2 5

30 Hur resultatet kan tolkas om till musik 1. En åtta celler bred remsa av resultatet tas där varje rad anger om en ton skall spelas eller ej. Rad nr. k anger då om den ton som ligger (k-4) skaltonsteg över grundtonen skall spelas eller ej. Bara den högsta tonen som enligt matrisen skall spelas samtidigt spelas. 2. Samma som ovan men rand nr. k anger om tonen som ligger (k-1) skaltonsteg över grundtonen skall spelas eller ej och även de övriga tonerna spelas, dock betydligt svagare än den översta. 3. En åtta celler bred remsa av resultatet tas där summan av antalet ifyllda celler i en rad (dvs. summan i varje rad, eftersom att den är fylld med ettor och nollor och en etta anger 2 6

31 att dess motsvarande cell är fylld) anger hur många skaltonsteg över grundtonen en viss ton skall ligga. 4. En tre celler bred remsa tas och tolkas på samma sätt som variant En tre celler bred remsa tas där varje kolumn får representera en siffra i det binära talsystemet, vilken sedan tolkas om till en siffra i det decimala talsystemet vilken tolkas om till den ton som ligger detta antal skaltonsteg över grundtonen. I alla av de tre nedanstående fallen så har remsan tagits så att triangelns topp, dvs. så att den ensamma ettan i den första raden ligger precis i mitten av remsan. Hur algoritmen blir mindre determinant Att förändra algoritmens resultat går att göra på två sätt, antingen genom att byta regel eller genom att byta startgeneration. Eftersom att antalet möjliga regler är begränsat samtidigt som många av dem som finns ger oanvändbara resultat så är det dock ej ett alternativ att enbart byta regel. Slumpmässigheten i detta program kommer därför att ligga kring den första generationen, en rad vilken bestäms helt och hållet av en slumpalgoritm. Om vi antar att den genererade siffersekvensen skall vara minst 60 siffror lång så behöver den första generationen i programmet vara celler lång. I och med att varje cell kan anta både värdet 1 och värdet 0 så finns 2*60+ 1 det alltså 2 olika möjliga startrader och således också lika många genererbara siffersekvenser, vilket är fullt tillräckligt många. Nedan ses fyra olika på varandra direkt följande bilder genererade av programmet. Eftersom att bilderna ser olika ut så kommer alltså även tonsekvenserna efter omtolkning att låta olika. 2 7