Tema - Matematik och musik

Transkript

1 Tema - Matematik och musik Författarna och Bokförlaget Borken, 2011 Allt vi uppfattar som ljud, från den nästan smärtsamma upplevelsen på en rockkonsert till insekternas surr en sommardag, består av mer eller mindre regelbundna tryckvariationer i luften. Dessa tryckvariationer sätter våra trumhinnor i rörelse och vi upplever ljud. Är de regelbundna uppfattar vi dem som toner med bestämd tonhöjd. Ju snabbare tryckvariationerna är desto högre ton uppkommer. Man har i lämningar efter neandertalmänniskan hittat fynd som liknar dagens flöjter. Troligen förekom musik redan för år sedan. Man började säkert tidigt att använda flera musikinstrument samtidigt och upptäckte då att flera toner kan klinga mer eller mindre vackert tillsammans beroende på hur höga tonerna är. När vi i våra dagar stämmer musikinstrument justerar vi tonhöjderna enligt ett överenskommet system så att det går att spela på flera instrument samtidigt utan att det låter oskönt. För att förstå varför vissa toner klingar väl tillsammans och andra illa och hur man stämmer musikinstrument tar man matematiken till hjälp. Frekvensen eller svängningstalet hos en ton anges i enheten hertz (Hz). Antalet hertz anger antalet svängningar per sekund. Anslås tonen med frekvensen 110 Hz på ett piano (det tredje a:t nerifrån) uppfattar vi förutom grundtonen också ett antal deltoner (även kallade övertoner). Lyssnar vi uppmärksamt på en ton från en gitarr eller ett piano kan vi höra några av dessa deltoner. Deltonernas frekvenser är heltalsmultipler av grundtonens frekvens (se figuren naturtonsserie nedan). De toner som klingar samtidigt med 110-Hz-tonen har alltså frekvenserna 220 Hz, 330 Hz, 0 Hz, Denna serie av toner brukar kallas en naturtonsserie. Matematik och musik - 1

2 En trumpet utan klaffar, fingerhål eller ventiler brukar kallas en naturtrumpet. En sådan trumpet kan bara framkalla toner från naturtonserien. Det är uppsättningen deltoner och hur starkt dessa klingar som ger varje instrument dess klangfärg. Att vi kan skilja en flöjtton från en klarinetton beror på att de har olika uppsättningar deltoner. Vi undersöker vilka förhållanden svängningstalen i naturtonserien står till varandra. Det första a:t har frekvensen 110 Hz. Den andra tonen är också ett a men den har dubbelt så hög frekvens, 220 Hz. Man säger att den tonen ligger en oktav högre än den första. Frekvenserna för dessa toner förhåller sig som 220:110 som förkortat är 2:1. En oktav har alltså svängningstalsförhållandet 2:1, vilket betyder att om en ton höjs med en oktav så fördubblas dess svängningstal. Förhållandet mellan de två följande tonerna är 330:220 eller 3:2 och det intervallet kallas kvint. Följande intervall är en kvart. Dess förhållande är :3. Tonen som ligger en kvart högre än 110-Hz-tonen har alltså svängningstalet Hz = 2 = 16 Hz. 3 Intervallets namn Svängningstalsförhållande Oktav 2:1 Kvint 3:2 Kvart :3 Stor ters 5: Liten ters 6:5 En helt deltonsfri ton kallas en sinuston. En elektronisk tongenerator kan ge en sinuston. En stämgaffel avger en ton som är så deltonsfattig att den nästan är som en sinuston, likaså en ton man visslar. Man har stämt musikinstrument på många olika sätt genom tiderna. Den metod som beskrevs först kallas pytagoreisk stämning. Filosofen Pythagoras (500-talet f Kr) upptäckte att om man har två lika långa strängar som är spända lika hårt och kortar av den ena till hälften så klingar de båda strängarna i perfekt samklang med toner på en oktavs avstånd från varandra. Om man i stället kortar av strängen med en tredjedel klingar den en kvint högre än den andra (som andra och tredje Matematik och musik - 2

3 tonen i Blinka lilla stjärna där ). Enligt Pythagoras kan de musikaliska intervallen uttryckas med de enkla talförhållanden som anges i tabellen ovan. Pythagoras anhängare, pythagoréerna, ansåg att allt i hela universum på liknande sätt kunde förklaras med matematiska principer och hela tal. Den pytagoreiska stämningen utgår från rena kvinter och oktaver. Man kan med hjälp av dessa intervall bestämma svängningstalen för alla toner i den kromatiska skalan Kromatisk skala Det går till så här: Börja vid c. Gå en kvint uppåt till g. Fortsätt sedan en kvint uppåt till d. Eftersom man då kommer utanför skalan väljer man det d som ligger en oktav lägre. Gå sedan vidare en kvint uppåt till a, sedan ytterligare en kvint som ger tonen e (här måste vi välja det e som ligger en oktav lägre). Efter detta e kommer tonen h och sedan på samma sätt fiss, ciss, giss, diss, aiss, f och c. Från detta c går vi ner en oktav. Varje gång vi går en kvint uppåt multiplicerar vi svängningstalet med 3 och när vi måste välja en ton som ligger en oktav lägre dividerar 2 vi dessutom svängningstalet med 2. Tonerna i durskalan får följande svängningstalsförhållanden i det pytagoreiska systemet: C D E F G A H C Matematik och musik - 3

4 Den renstämda skalan bygger på naturtonserien och är mer användbar musikaliskt: C D E F G A H C prim sekund ters kvart kvint sext septima oktav Om vi vandrar genom tonerna enligt beskrivningen ovan och bestämmer svängningstalen för den kromatiska skalans toner enligt det pytagoreiska systemet borde vi komma tillbaka till utgångspunkten och landa på det svängningstal som vi utgick från. Men vi får ett svängningstal som ligger en aning högre: , Detta tal kallas det pytagoreiska kommat. Vårt tonsystem med tolv toner i den kromatiska skalan stämmer tydligen dåligt med de rena kvinterna. Om man stämmer ett piano eller en orgel med rena kvinter så går det bra att spela i tonarter som har grundtonen nära C i kvintcirkeln (se figuren) men ju längre från C man kommer desto sämre stämmer det. Hur tonerna är besläktade kan visas i en kvintcirkel. Matematik och musik -

5 Man gjorde flera försök att lösa detta problem och på 1700-talet började man stämma i en liksvävande temperatur. Det innebär att man behåller oktaven som ett rent intervall och gör alla halva tonsteg (intervallet mellan en ton och den närmast högre i kromatiska skalan) lika stora. Det betyder att alla intervall utom oktaverna blir lite orena men det märks nästan inte eftersom orenheten är jämnt fördelad. Den skala man då får kallas en tempererad skala. Svängningstalsförhållandet för en liten 1 sekund blir då 1:2. Man får svängningstalet för en ton i den tempererade skalan genom att multiplicera svängningstalet hos en ton vars n 2 svängningstal är känt med. Här är n det antal halva tonsteg som den sökta tonen ligger från den kända tonen. En kvint består av sju halva tonsteg (c ciss d diss e f fiss g). Svängningstalet för c ska multipliceras med 7 2 1, 983 för att man ska få tonen g:s svängningstal. Motsvarande tal för den rena kvinten är 3 1,5 2. Johann Sebastian Bach ( ) skrev Das Wohltemperierte Klavier som är två samlingar med sammanlagt 8 preludier och fugor för klaverinstrument. Bach använder där alla kvintcirkelns tonarter i både dur och moll vilket inte hade skett tidigare. Innan liksvävande temperatur började tillämpas var detta omöjligt. Ur Bachs Das Wohltemperierte Klavier del I (början på giss-mollfugan). Utan tempererad stämning går det inte att spela i tonarter med många förtecken. Matematik och musik - 5

6 Idag stäms alla tangentinstrument enligt denna princip men det finns fortfarande gamla orglar bevarade som inte har tempererad stämning. En sådan är barockorgeln i Lövstabruks kyrka i Uppland. Modell Räkna med toner Exempel En ton med svängningstalet 563 Hz spelas på en fiol. Vilket svängningstal har dess a) kvint b) ters c) kvart enligt pytagoreiska systemet? Lösning 3 a) 563 Hz 8,5Hz 2 b) Hz 703,8Hz c) 563 Hz 750,7 Hz 3 Matematik och musik - 6

7 G1 Åsa som är arkeolog har hittat en lur från 1000-talet. Hon beger sig med den till Agneta som kan konsten att blåsa i lur. Agneta hittar lurens grundton med frekvensen 10 Hz och lyckas blåsa de sex följande naturtonerna. Vilken frekvens har den högsta tonen hon blåser? G2 En sopran har ett röstomfång som sträcker sig från 261,5 Hz till 106 Hz. Hur många hela oktaver är det? G3 I den pytagoreiska skalan är frekvensförhållandet mellan tonerna C och E Vilken frekvens har E om C har 131 Hz? V Eriks gitarr har strängar som är 75 cm långa. När han knäpper på en av dessa alstras en ton på 0 Hz. Erik trycker ner strängen 18,75 cm upp på halsen. Vilken frekvens har tonen som nu alstras när Erik knäpper på strängen? V5 Eriks gitarr har en sträng som är stämd en ren kvint högre än strängen i föregående uppgift. Gitarrens greppbräda är 37,5 cm lång. Vilken är den högsta frekvens den strängen kan alstra? V6 Utgå från tonen a med frekvensen 0 Hz. Beräkna frekvensen enligt liksvävande temperatur för tonen som ligger a) en sext högre b) en septima högre c) tre halva tonsteg lägre. V7 Hur stor blir skillnaden i frekvens mellan en naturlig och en tempererad a) kvart b)ters c) oktav om man utgår från tonen a med 880 Hz? V8 Vår tids normal-a har frekvensen 0 Hz. Under tidigare århundraden har frekvensen hos tonen a varierat. Tonsättaren G F Händels stämgaffel från mitten av 1700-talet har frekvensen 23 Hz. Vilken ton i dagens system ligger närmast Händels a? Matematik och musik - 7

8 Facit 1. Den sjätte övertonen har frekvensen: 7 10 Hz = 980 Hz ,5 Hz = 523 Hz och Hz =106 Hz. Alltså är röstomfånget 2 oktaver /6 Hz = 165,8 Hz. Eftersom 75/18,75 = är den anslagna strängens förhållande till hela strängen 3:. Den alstrade tonen frekvens är:. 0 Hz = 586,7 Hz Strängen alstrar en ton på 0 Hz = 660Hz. Erik kan trycka ner 2 strängen så att den anslagna strängen blir 37,5 cm lång. Den anslagna strängens förhållande till hela strängen är 1:2. Alltså är högsta möjliga frekvens Hz = 1320 Hz Sexten motsvaras av 9 små sekunder: 0 2 Hz = 70 Hz. 11 Septiman motsvaras av 11 små sekunder: 0 2 Hz = 831 Hz. Tre 3 halva tonsteg lägre: 0 2 Hz = 379 Hz 7. Naturlig stämning Kvart Liksvävande temperatur = 1173 Hz Hz = 1175 Hz 3 Skillnad i frekvens mellan de två stämningarna 2 Hz Ters = 1100 Hz Hz = 1108 Hz 8 Hz Oktav = 1760 Hz 880 2Hz = 1760 Hz 0 Hz Hz = 15 Hz. Alltså: Tonen ass (15 Hz) i vårt system ligger närmare Händels stämgaffel (23 Hz) än vårt a som har frekvensen 0 Hz Matematik och musik - 8

9 Matematik och musik - 9