Elektriska drivsystem Föreläsning 4 - Introduktion av roterande maskiner

Transkript

1 Elektriska drivsystem Föreläsning 4 - Introduktion av roterande maskiner Mattias Krysander Institutionen för systemteknik Linköpings universitet matkr@isy.liu.se /53

2 Dagens föreläsning 1. Introduktion av AC/DC-maskiner 2. MMK i luftgapet 3. Magnetfält i roterande maskiner 4. Roterande mmk-vågor i AC-maskiner 5. Inducerade spänningar 6. Moment 2/53

3 Introduktion av AC/DC-maskiner 3/53

4 Mekanisk konstruktion Den eller de lindningar på en roterande maskin som har växelström kallas för ankarlindning. De lindningar som har likström kallas för fältlindningar. Rotorn och statorn är gjord av elektriskt stål med hög permeabilitet ofta som tunna tunna laminerade skivor för att reducera virvelströmsförluster. 4/53

5 Växelströmsmaskiner Två huvudtyper: Synkronmaskinen Asynkronmaskinen (induktionsmaskin) 5/53

6 Synkronmaskinen Tvåpolig enfassynkrongenerator rotorn har 2 utpräglade poler rotorlindningen drivs med likström, dvs rotorlindningen är fältlindningen statorlindningen drivs med växelström, dvs anakarlindningen sitter på statorn typiskt lågeffektlindning i rotorn, högeffekt multifaslindning i statorn 6/53

7 Synkronmaskinen Ankarlindningen är öppen och rotorlindningen strömmatad. Mycket förenklat skapas ett sinusfördelat magnetflöde i luftgapet som när det roterar inducerar en sinusformad spänning i ankarlindningen. Spänningen och rotationen har samma frekvens. 7/53

8 Synkronmaskinen Fyrpolig enfasmaskin. Spolarna är seriekopplade. Anta att ankarlindningen är öppen och rotorlindningen strömmatad. Här kommer spänningen genomlöpa två perioder under ett varvs rotation. Det är därför lämpligt att införa begreppet elektriska grader eller radianer. 8/53

9 Mekanisk och elektrisk vinkel Låt θ a - mekaniska radianer θ ae - elektriska radianer p - poltalet så gäller θ ae = ( p 2) θ a Poltalet fungerar som en växel mellan elektrisk och mekanisk vinkel. 9/53

10 Synkronmaskinen Tvåpolig maskin med cylindrisk rotor och utbredda lindningar. Lindningen fördelas så att magnetfältet i luftgapet får en sinusformad fördelning. Utpräglade poler används oftast då poltalet är högt medan cylindrisk rotor då poltalet är lågt. 10/53

11 Synkronmaskinen Tvåpolig resp fyrpolig trefasmaskin med utpräglade poler. 11/53

12 Asynkron-/induktions-maskinen Stator drivs med växelström, dvs ankarlindningen sitter på statorn. Rotorn har ingen extern matning utan det skapas en inducerad växelspänning i rotorlindningen. Induktionsmotorn kan ses som en generaliserad transformator Elektrisk effekt omvandlas från statorn till rotorn samtidigt som frekvensen transformeras och mekanisk effekt alstras. Vanlig motorn, relativt billig och mycket pålitlig. Ovanlig som generator förutom inom vindkraftapplikationer pågrund av prestandaegenskaper. 12/53

13 Asynkron-/induktions-maskinen Induktionsmotorer kör i hastigheter under den synkrona hastigheten. Momentkaraktäristik: 13/53

14 Likströmsmaskinen Enkel likströmsmaskin med kommutator Statorn har 2 utpräglade poler i detta fall. Fältet i statorn genereras med PM eller med likström i lindning, dvs en statorlindning är en fältlindning. Rotorlindningen drivs med kommuterad likström, dvs rotorlindningen är ankarlindningen. Kommutatorn har till uppgift att skapa ett i rummet konstant magnetfält i rotorn som oftast är vinkelrätt med statorns magnetfält. 14/53

15 Likströmsmaskinen Radiell magnetisk flödestäthet samt inducerad spänning i rotorlindningen vid generatordrift. 15/53

16 MMK i luftgapet 16/53

17 MMK med koncentrerad lindning Först ska vi studera en koncentrerad lindning med fullt härvsteg (180 ). Minns: F = Ni 17/53

18 MMK med koncentrerad lindning Stora ansträngningar görs för att dämpa övertoner genom att välja lämplig utbredning av lindningarna. Vi kommer att studera grundtonen här. Fourierutveckling av grundtonen är F ag1 = (F ag1 ) peak cosθ a där: (F ag1 ) peak = 1 π = 4 π π π π/2 0 f(θ)cos(θ)dθ = Ni 2 cos(θ)dθ = 4 π ( ) Ni 2 18/53

19 MMK med utbredd lindning MMK genererad av en fas i en tvåpolig trefasmotor med utbredd lindning. Två lager med spolar. Antag att alla spolar har n c varv och är seriekopplade med strömmen i a. Då får mmk-fördelningen utseendet i (b). 19/53

20 MMK med utbredd lindning Amplituden av grundtonen av mmk-vågen är mindre för den utbredda lindningen jämfört med om det bara skulle vara en koncentrerad spole, pga av att spolarnas riktningar inte sammanfaller. En modifierad mmk fördelning beskrivs av F ag1 = 4 ( ) kw 8n c i a cosθ a π 2 där k w kallas för lindningsfaktor ( ). 20/53

21 Beräkning av lindningsfaktorn Summera bidragen mmkbidragen från alla spolarna vektoriellt och dela längden på den erhållna mmk-vektorn med den totala mmk:n som skulle bildas om alla spolar ha samma riktning. Vinkeln mellan spolarna är π/12. 3 k=0 eik π 12 4π 1 ei 12 Förkortat med 2n c i a : k w = e ik π = e i 12 = π 3 k=0 Detta kallas också för breddfaktor k b och kommer sig av utbredningen av lindningen. Ibland finns även en lindningsstegsfaktor k p som reducerar mmk map att lindningarna inte omlöper π radianer. k w = k b k p 21/53

22 MMK med utbredd lindning För att reducera energi i övertonerna måste lindningsvarven varieras över de olika spåren, idealt ska lindningstätheten vara fördelad som beloppet av en sinus runt rotorns periferi. 22/53

23 MMK i likströmsmaskiner Tvärsnittet av en tvåpolig likströmsmaskin. Magnetfälten hålls vinkelräta mha kommutatorn. Anta att varje spole har N c varv och att strömmen är i c. N a = 12N c, (F ag ) peak = N a i a /2 23/53

24 Grundton för mmk:n i DC-maskiner Låt N a vara antalet seriekopplade varv i rotorn då gäller: ( ) Na (F ag ) peak = i a p Fourierutveckling av grundtonen är F ag1 = (F ag1 ) peak cosθ a där: (F ag1 ) peak = 8 ( ) Na π 2 i a p 24/53

25 Magnetfält i roterande maskiner 25/53

26 Magnetfält i roterande maskiner Antaganden: sinusformad fördelning av mmk i rummet. uniformt luftgap. luftgap mycket mindre än rotorradien, g r r Konsekvens: H konstant i luftgapet och radiellt riktat med storlek enligt F ag = H ag g dvs fältstyrkan är lika med mmk-vågen skalad med en faktor g 1. 26/53

27 Magnetfält i roterande maskiner - exempel Givet: En fyrpolig (p = 4) synkron ac-generator har en cylindrisk rotor med N r = 263 seriekopplade lindningsvarv, lindningsfaktor k w = och ett luftgap på g = 0.7 mm. Antag att det magnetomotoriska spänningsfallet i stålet kan försummas. Sökt: Vilken ström I r ger en amplitud på (B ag1 ) peak = 1.6 T av grundtonen på den magnetiska flödestätheten i luftgapet. Detta är intressant för ungefär vid den flödestätheten mättas det elektriska stålet. Lösning: (B ag1 ) peak = µ 0 (F ag1 ) peak g = 4µ 0 πg k w N r p I r I r = πgp 4µ 0 k w N r (B ag1 ) peak = 11.4 A 27/53

28 Roterande mmk-vågor i AC-maskiner 28/53

29 Roterande mmk-vågor i AC-maskiner Enfas Trefas 29/53

30 Roterande mmk-vågor i AC-maskiner - en fas Vi vet att F ag1 = 4 π ( kw N ph p ) p ) i a cos( 2 θ a Antag att vi matar lindningen med en växelström i a = I a cosω e t där ω e är den elektriska vinkelhastigheten. Då får vi F ag1 = F max cosθ ae cosω e t där θ ae är elektriska radianer. 30/53

31 Roterande mmk-vågor i AC-maskiner Enståendevågkan delas upp i två vågormedfixamplitud som rör sig i motsatta riktningar. 31/53

32 Roterande mmk-vågor i AC-maskiner Matematiken: F ag1 = F max cosθ ae cosω e t = /cosαcosβ = 1 2 cos(α β)+ 1 2 cos(α+β = 1 2 F maxcos(θ ae ω e t)+ 1 2 F maxcos(θ ae +ω e t) =: F + ag1 +F ag1 F ag1 + rör sig i positiv riktning och F ag1 farten ω e. i negativ riktning båda med 32/53

33 Roterande mmk-vågor i trefas AC-maskiner Fas på strömmar och magnetaxlarna: a :i a = I m cosω e t θ ae = 0 b :i b = I m cos(ω e t 2π/3) θ ae = 2π/3 c :i c = I m cos(ω e t +2π/3) θ ae = 2π/3 33/53

34 Roterande mmk-vågor i trefas AC-maskiner a :ω e t b :ω e t 2π/3 c :ω e t +2π/3 θ ae θ ae 2π/3 θ ae +2π/3 F + a1 = 1 2 F maxe i(θae ωet) F a1 = 1 2 F maxe i(θae+ωet) F + b1 = 1 2 F maxe i(θae 2π 3 (ωet 2π 3 )) = 1 2 F maxe i(θae ωet) F b1 = 1 2 F maxe i(θae 2π 3 +(ωet 2π 3 )) = 1 2 F maxe i(θae+ωet+2π 3 ) F + c1 = 1 2 F maxe i(θae+2π 3 (ωet+2π 3 )) = 1 2 F maxe i(θae ωet) F c1 = 1 2 F maxe i(θae+2π 3 +(ωet+2π 3 )) = 1 2 F maxe i(θae+ωet 2π 3 ) 34/53

35 Roterande mmk-vågor i trefas AC-maskiner F + a1 = 1 2 F maxe i(θae ωet) F a1 = 1 2 F maxe i(θae+ωet) F + b1 = 1 2 F maxe i(θae 2π 3 (ωet 2π 3 )) = 1 2 F maxe i(θae ωet) F b1 = 1 2 F maxe i(θae 2π 3 +(ωet 2π 3 )) = 1 2 F maxe i(θae+ωet+2π 3 ) F + c1 = 1 2 F maxe i(θae+2π 3 (ωet+2π 3 )) = 1 2 F maxe i(θae ωet) F c1 = 1 2 F maxe i(θae+2π 3 +(ωet+2π 3 )) = 1 2 F maxe i(θae+ωet 2π 3 ) F + a1 = F+ b1 = F+ c1 = 1 2 F maxe i(θae ωet) F a1 +F b1 +F c1 = 0 35/53

36 Roterande mmk-vågor i trefas AC-maskiner F + a1 = F+ b1 = F+ c1 = 1 2 F maxe i(θae ωet) F a1 +F b1 +F c1 = 0 Det resulterande fältet blir eller F = F + a1 +F+ b1 +F+ c1 +F a1 +F b1 +F c1 = 3 }{{} 2 F maxe i(θae ωet) =0 F(θ ae,t) = 3 2 F maxcos(θ ae ω e t) 36/53

37 Inducerade spänningar 37/53

38 Inducerad spänning Antag att fältlindningen är strömmatad och rotorn roteras mekaniskt. Vilken spänning induceras i ankarlindningen? Grunderna är e = dλ dt Den magnetiska flödestätheten tecknas (för t = 0): p ) B = B peak cos( 2 θ r, där B peak = 4µ ( 0 kf N f πg p ) I f 38/53

39 Inducerad spänning Teckna flödet över en pol: Φ p = l = π/p π/p ( ) 2 2B peak lr p B peak cos( p 2 θ r ) r dθ r = Det sammanlänkade flödet λ a varierar sinusformat då rotorn roterar med en vinkelhastighet ω m : p ) λ a = k w N ph Φ p cos( 2 ω mt = k w N ph Φ p cos(ω me t) Den inducerade spänningen blir: e a = dλ a dφ p = k w N ph cos(ω me t) k w N ph Φ p ω me sin(ω me t) dt dt Effektivvärdet då I f är konstant blir: E RMS = 1 k w N ph Φ p ω me 2 39/53

40 Inducerad spänning i DC-motorer Spänning över rotorlindningen vid generatordrift. Anta sinusformad flödesfördelning i luftgapet. Efter likriktning kan medelspänningen beräknas som π E a = 1 π 0 ω me NΦ p sinω me td(ω me t) = 2 π ω menφ p 40/53

41 Moment 41/53

42 Moment Vi ska beräkna momentet i en idealiserad maskin med cylindrisk rotor på två sätt: 1. Maskinen ses som ett kretselement med varierande induktans. 2. Två grupper av lindningar producerar magnetiskt flöde i luftgapet som tenderar att likriktas. 42/53

43 Moment genom kretsanalogi Med kretsanalogin kommer vi att härleda tre ekvationer som givet strömmen i rotorn i r och statorn i s och vinkeln θ me bestämmer spänningen över rotorn v r, statorn v s och momentet T. Vi börjar med att härleda uttryck för spänningarna. Minns: λ = L(θ)i e = dλ dt 43/53

44 Förutsättningar Ström i pilens riktning antas ge ett huvudflöde i luftgapet i pilens riktning. Antaganden cylindrisk rotor där inverkan av spår försumbar reluktansen i stator och rotorn försumbar sinusformad mmk-våg uniformt luftgap Konsekvens Självinduktansen för rotorn L rr och statorn L ss är konstant. Ömseinduktansen kan tecknas L sr (θ me ) = L sr cosθ me. 44/53

45 Spänningarna över statorn och rotorn Samband mellan strömmar och sammanlänkade flöden är: [ ] [ ][ ] λs L = ss L sr (θ me ) is λ r L sr (θ me ) L rr Spänningarna över lindningarna ges av v s = R s i s + dλ s dt v r = R r i r + dλ r dt i r Eliminering av de sammanlänkade flödena ger v s = R s i s +L ss di s dt + d dt L sr(θ me )i r v r = R r i r +L rr di r dt + d dt L sr(θ me )i s 45/53

46 Spänningarna över statorn och rotorn di s v s = R s i s +L ss dt +L di r sr dt cosθ me L sr i r ω me sinθ me v r = R r i r +L rr di r dt +L sr di s dt cosθ me Den sista termen svarar för den elektromekaniska energiomvandlingen. L sr i s ω me sinθ me }{{} spänning inducerad pga rotation 46/53

47 Moment Härnäst kommer vi att härleda ett uttryck för momentet T givet strömmen i rotorn i r och statorn i s och vinkeln θ me. Momentet ges av den partiella derivatan av komplementenergin map vinkel T = W / fld θ m = θ me = p / is,i r 2 θ m = p W fld 2 θ me is,i r För detta behöver vi teckna komplementenergin i systemet Detta ger att W fld = 1 2 L ssi 2 s L rri 2 r +L sr i s i r cosθ me T = p 2 L sri s i r sinθ me Minustecknet indikerar att momentet verkar för att likrikta magnetfälten. 47/53

48 Moment baserat på magnetflöden mmk-vågornas huvudriktning är markerad. Vinklarna är angivna i elektriska radianer. Momentet ska beräknas genom att derivera komplementenergin som finns lagrad i luftgapet map vinkeln δ sr. W fld = µ 0 H 2 µ 0 (H ag ) 2 peak 2 agdv = πdlg V } 2 {{ 2 } =medelkomplementsenergidensiteten Subst. av (H ag ) peak = F sr /g och F 2 sr = F 2 s +F 2 r +2F s F r cosδ sr ger W fld = πdlµ 0 (Fs 2 +Fr 2 +2F s F r cosδ sr ) 4g 48/53

49 Moment baserat på magnetflöden W fld = πdlµ 0 (Fs 2 +Fr 2 +2F s F r cosδ sr ) 4g Momentet erhålls som: T = p 2 W fld δ sr = p is,i r 2 W fld δ sr = p Fs,F r 2 πdlµ 0 F s F r sinδ sr 2g Om T r är momentvektorn som verkar på rotorn så kan den uttryckas som T r = p πdlµ 0 F r F s 2 2g 49/53

50 Maximalt moment för en given maskin Eftersom elmaskiners prestanda begränsas av att flödestätheten B begränsas kan det vara intressant att teckna momentet som funktion av det totala flödet B sr genererat av stator och rotorn tillsammans. g µ 0 B sr = (F r +F s ) Vidare gäller dvs F r (F r +F s ) = F r F r +F r F s = F r F s F r F s = g µ 0 F r B sr Använder vi detta i momentuttrycket får vi T r = p 2 Dπlµ 0 F r F s = p Dπl 2g 2 2 F r B sr B sr får vara max 1.5-2T för att undvika mättning i tänderna på statorn. Rotorströmmen begränsas bland annat av uppvärmning. 50/53

51 Maximalt moment för en given maskin - exempel Givet: En 1800 varv/min, 4-polig, 60Hz synkronmotor har g = 1.2 mm, medeldiameter i luftgapet D = 27 cm, och axellängd l = 32 cm. Rotorn har N r = 786 lindningsvarv och lindningsfaktor k r = Rotorströmmen begränsas till 18 A. Sökt: Maximalt moment och maximal effekt. Lösning: F r,max = 4 π ( kr N r p ) I r,max = 4395 A Maxmoment fås då B sr,max = 1.5 T och B sr och F r är ortogonala: T max = p 2 Dlπ 2 F r B sr = p Dlπ 2 2 F r,maxb sr,max = 1790 Nm Vidare gäller att f m = 2f me /p = 30Hz, dvs P max = ω m T max = 2πf m T max = 337 kw 51/53

52 Att ta med sig från föreläsningen 52/53

53 Att ta med sig från föreläsningen 1. MMK i luftgapet: poler, utbredda lindningar, härvsteg. 2. Magnetfält i roterande maskiner. 3. Roterande mmk-vågor i AC-maskiner. 4. Inducerade spänningar genom rotation. 5. Moment: kretsanalogi, varierande induktans. flödesriktningar, magnetisk energi i luftgapet. 53/53