Motorprincipen. William Sandqvist

Transkript

1 Motorprincipen En strömförande ledare befinner sig i ett magnetfält B (längden l är den del av ledaren som befinner sig i fältet). De magnetiska kraftlinjerna får inte korsa varandra. Fältet förstärks därför på ena sidan om ledaren och försvagas på den andra. En kraft F vill skjuta ut ledaren ur fältet. F B I l Kraftverkan i elektriska motorer bygger på denna princip.

2 DC-motorn Den permanentmagnetiserade likströmsmotorn utnyttjar sambandet F B I l När slingan vridit sig ett halvt varv skulle kraftverkan upphöra om inte en omkopplingsanordning växlade om strömriktningen.

3 Generatorprincipen Bilder från: Electricity - Basic Navy Training Courses U.S. GOVERNMENT PRINTING OFFICE 1945 Omvänt så induceras en spänning/ström i en ledare som rör sig i ett magnetfält.

4 Induktionslagen storlek (Faraday) e N dφ dt Induktion Den inducerade emkens storlek är proportionell mot flödets förändringshastighet. Faradays induktionslag. Gäller det en spole i stället för en ensam ledare blir emken även proportionell mot antalet lindningsvarv N.

5 Lenz lag (Riktningen motverkande) Lenz lag säger att den inducerade spänningen får en sådan riktning att den ström den skulle driva, motverkar rörelsen. ( Vore det tvärtom så skulle det vara enkelt att bygga evighetsmaskiner! )

6

7 Exempel. Lenz lag Vi drar ut magneten (som en kork ur en flaska) ur spolen. Vilken riktning får strömmen?

8 Exempel. Lenz lag Vi drar ut magneten (som en kork ur en flaska) ur spolen. Vilken riktning får strömmen? S I N S Strömmen ska motverka rörelsen. Så blir det om magneten lämnar spolen vid sydsidan ( attraktion mellan spole och magnet ). Högerhandsregeln ger då strömriktningen ut från lindningen.

9 Faradays experiment (10.9) Vad händer när man sluter strömställaren? Faradays experiment Vad händer när man bryter strömställaren?

10

11 Självinduktion En konstant ström I genom en spole ger upphov till ett magnetiskt flöde Φ. Flödets storlek är proportionellt mot strömmen I, men beror på även på spolens geometriska utformning. Φ L I Proportionalitetskonstanten L är spolens induktans med sorten Henry [H]. Det blir inget spänningsfall över spolen. U 0.

12 Självinduktion N En konstant ström I genom en spole ger upphov till ett magnetiskt flöde Φ. Flödets storlek är proportionellt mot strömmen I, men beror på även på spolens geometriska utformning. Φ L I Proportionalitetskonstanten L är spolens induktans med sorten Henry [H]. Det blir inget spänningsfall över spolen. U 0. En föränderlig ström i ger upphov till ett föränderligt flöde, och då induceras en motverkande spänning över spolen. Detta är självinduktion. Spolen får då ett strömberoende spänningsfall som för en resistor. e.

13 Självinduktion En konstant ström I genom en spole ger upphov till ett magnetiskt flöde Φ. Flödets storlek är proportionellt mot strömmen I, men beror på även på spolens geometriska utformning. Φ L I Proportionalitetskonstanten L är spolens induktans med sorten Henry [H]. Det blir inget spänningsfall över spolen. U 0. En föränderlig ström i ger upphov till ett föränderligt flöde, och då induceras en motverkande spänning över spolen. Detta är självinduktion. Spolen får då ett strömberoende spänningsfall som för en resistor. e.

14

15 Ström till en avlänkningsspole Givet är strömmens kurvform i(t) till en avlänkningsspole hur måste spänningen e(t) över spolen se ut? e L di dt i L t

16 Ström till en avlänkningsspole Givet är strömmens kurvform i(t) till en avlänkningsspole hur måste spänningen e(t) över spolen se ut? e L di dt i L t 1) i 0, e 0

17 Ström till en avlänkningsspole Givet är strömmens kurvform i(t) till en avlänkningsspole hur måste spänningen e(t) över spolen se ut? e L di dt i L t ) 2 ) i e 0, e 0 0,2 4 V 5 2

18 Ström till en avlänkningsspole Givet är strömmens kurvform i(t) till en avlänkningsspole hur måste spänningen e(t) över spolen se ut? e L di dt i L t ) 1) 2 ) e i e 0, e 0,2 0,2 14 V

19 Ström till en avlänkningsspole Givet är strömmens kurvform i(t) till en avlänkningsspole hur måste spänningen e(t) över spolen se ut? e L di dt i L t ) 4) 1) 2 ) e i e 0, 0, e e 0 0,2 0 0,2 14 V

20 Ström till en avlänkningsspole Givet är strömmens kurvform i(t) till en avlänkningsspole hur måste spänningen e(t) över spolen se ut? e L di dt i L t 40 40( 60 20) 60 5) 3e) 4) 1) 2 ) e i e 0, 0, e e 00,2 0 0,2 41 V

21 Ström till en avlänkningsspole Givet är strömmens kurvform i(t) till en avlänkningsspole hur måste spänningen e(t) över spolen se ut? e L di dt i L t ( 60 20) 60 5) 6 ) 3e) 4) e 1) 2 ) e i e 0, 0, e e 0 0,2 0 0, V V

22 Ström till en avlänkningsspole Givet är strömmens kurvform i(t) till en avlänkningsspole hur måste spänningen e(t) över spolen se ut? e L di dt i L t ( 60 20) 60 5) 6 ) 3e) 4) 7) e 1) 2 ) e i i e 0, 0, e e 0 0,2 0, V V

23 Ström till en avlänkningsspole e L di dt 1) i 0, e ) e 0,2 4 V ) e 0,2 1 V 7 5 4) i 0, e 0 40 ( 20) 5) e 0,2 4 V ( 20) 6 ) e 0,2 1 V ) i 0, e 0 i L t

24

25 Induktansberäkning µ 0 l µ 0 µ D För spolar med i huvudsak konstant flödestäthet över hela tvärsnittsarean, finns en enkel formel för beräkning av induktansen. Detta gäller toroidspole och sk. långsmal spole ( l/d >> 10 ). L N 2 µ A N µ A Varför tror Du att faktorn N 2 alltid km l l 2 0 finns med i alla induktansberäkningsformler?

26 L N 2 L N µ A l N µ l km A Antag att en spole är lindad med N 100 varv och Då har induktansen 1 H. Hur många varv skall lindas av om man vill ändra spolen så att induktansen blir ½ H?

27 L N 2 L N µ A l N µ l km A Antag att en spole är lindad med N 100 varv och Då har induktansen 1 H. Hur många varv skall lindas av om man vill ändra spolen så att induktansen blir ½ H? L K K ,5 N N Linda av 29 varv så halveras induktansen! ( )

28

29 Induktansberäkning (10.15) Gjutjärn N 500 A m 2 l 0,1 m b) Hur stor induktans L har toroidspolen?

30 Induktansberäkning (10.15) Gjutjärn N 500 A m 2 l 0,1 m b) Hur stor induktans L har toroidspolen? µ B µ H µ B H, ,29 10

31 Induktansberäkning (10.15) Gjutjärn N 500 A m 2 l 0,1 m b) Hur stor induktans L har toroidspolen? µ B µ H µ B H, ,29 10 L N A µ l , , järn 0, mh

32 Induktansberäkning (10.15) Gjutjärn N 500 A m 2 l 0,1 m c) Hur stor induktans L 0 skulle toroidspolen ha om den saknade gjutjärnskärnan? 0 µ

33 Induktansberäkning (10.15) Gjutjärn N 500 A m 2 l 0,1 m c) Hur stor induktans L 0 skulle toroidspolen ha om den saknade gjutjärnskärnan? µ 0 L N A µ π 10 0, 25 mh l 0,1

34 Induktansberäkning (10.15) Gjutjärn N 500 A m 2 l 0,1 m c) Hur stor induktans L 0 skulle toroidspolen ha om den saknade gjutjärnskärnan? µ 0 L N A µ π 10 0, 25 mh l 0,1 Induktansen utan järnkärna blir bara en bråkdel av induktansen med kärnan.

35

36 Spolens transienter Eftersom spolen motverkar alla strömförändringar kan man undra vad som händer när man kopplar in, eller kopplar ur, spolen till en krets?

37 Spolens transienter Vad händer när en spole kopplas in till ett batteri? Vi antar att spolen förutom sin induktans L, även har en resistans R tex från den tråd spolen lindats av. (Om R är spolens inre resistans så kan man inte komma åt att mäta u R och u L separat.)

38 Spolens transienter Vad händer när en spole kopplas in till ett batteri? Vi antar att spolen förutom sin induktans L, även har en resistans R tex från den tråd spolen lindats av. (Om R är spolens inre resistans så kan man inte komma åt att mäta u R och u L separat.) u L di L dt E u R + u L E i R + di L dt

39 Spolens transienter Vad händer när en spole kopplas in till ett batteri? Vi antar att spolen förutom sin induktans L, även har en resistans R tex från den tråd spolen lindats av. (Om R är spolens inre resistans så kan man inte komma åt att mäta u R och u L separat.) u L di L dt E u R + u L E i R + di L dt

40 Spolens transienter Vad händer när en spole kopplas in till ett batteri? Vi antar att spolen förutom sin induktans L, även har en resistans R tex från den tråd spolen lindats av. (Om R är spolens inre resistans så kan man inte komma åt att mäta u R och u L separat.) u L di L dt E u R + u L E i R + di L dt Lösningen till denna differentialekvation är en exponentialfunktion. E i( t) 1 e R t R L

41

42 Spolens tidkonstant E i( t) 1 e R t R L

43 Spolens tidkonstant E i( t) 1 e R t R L L/R kallas för tidkonstant och brukar betecknas med τ. τ L R

44 Spolens tidkonstant E i( t) 1 e R t R L L/R kallas för tidkonstant och brukar betecknas med τ. τ L R

45 Differentialekvationer beskriver kurvskaror Tidkonstanten anger kurvans branthet. Differentialekvationer beskriver kurvskaror. Vet vi att kurvan är en exponentialfunktion behöver vi också veta startvärdet x 0 och slutvärdet x för att kunna välja rätt kurva.

46 Snabbformel för exponentialfunktioner Typ. Stigande kurva x( t) 1 e t τ Typ. Fallande kurva x( t) e t τ Snabbformel (ger direkt funktionen för en stigande/fallande kurva): x 0 storhetens startvärde t x storhetens slutvärde τ τ förloppets tidkonstant x( t) x ( x x0) e

47

48 Spolens transienter Tillslag av spole. En spole är strömtrög den motsätter sig strömförändringar. Från början vid tiden t 0 är därför strömmen samma i 0 0. Efter mycket lång tid t har alla förändringar klingat av, spänningen u L som beror av förändringarna 0. Kvar blir då Ohm s lag för R. i E/R. Kurvan blir stigande från i 0 0 till i E/R.

49 Spolens transienter Tillslag av spole. En spole är strömtrög den motsätter sig strömförändringar. Från början vid tiden t 0 är därför strömmen samma i 0 0. Efter mycket lång tid t har alla förändringar klingat av, spänningen u L som beror av förändringarna 0. Kvar blir då Ohm s lag för R. i E/R. Kurvan blir stigande från i 0 0 till i E/R. Kretsar med R och L har tidkonstanten τ L/R Man kan nu formulera en exponentialfunktion som stämmer överens med dessa vilkor: i i i 0 t t t R E E E τ τ L x( t) x x x e i( t) 0 e 1 e ( 0) R R R Snabbformeln

50 Spolens transienter Tillslag av spole. En spole är strömtrög den motsätter sig strömförändringar. Från början vid tiden t 0 är därför strömmen samma i 0 0. Efter mycket lång tid t har alla förändringar klingat av, spänningen u L som beror av förändringarna 0. Kvar blir då Ohm s lag för R. i E/R. Kurvan blir stigande från i 0 0 till i E/R. Kretsar med R och L har tidkonstanten τ L/R Man kan nu formulera en exponentialfunktion som stämmer överens med dessa vilkor: t t t R E E E τ τ L x( t) x i( t) 0 e 1 e ( x x0) e R R R Som tidigare! Snabbformeln

51

52 Spolens inkoppling och urkoppling (11.6) E är en likspänningskälla. Vid tidpunkten t 1 sluts strömställaren.

53 Spolens inkoppling och urkoppling (11.6) E är en likspänningskälla. Vid tidpunkten t 1 sluts strömställaren. a) Hur stor blir strömmen genom spolen i första ögonblicket?

54 Spolens inkoppling och urkoppling (11.6) E är en likspänningskälla. Vid tidpunkten t 1 sluts strömställaren. a) Hur stor blir strömmen genom spolen i första ögonblicket? Svar: Spolen är strömtrög. I första ögonblicket (t 1 ) är strömmen samma i 0.

55 Spolens inkoppling och urkoppling (11.6) b) Hur stor blir strömmen genom spolen efter det att en lång tid förflutit?

56 Spolens inkoppling och urkoppling (11.6) b) Hur stor blir strömmen genom spolen efter det att en lång tid förflutit? u L 0

57 Spolens inkoppling och urkoppling (11.6) b) Hur stor blir strömmen genom spolen efter det att en lång tid förflutit? u L 0 Svar: Efter en lång tid har förändringarna klingat ut. Spänningen över spolen (som beror på förändringar) är då 0, spolen kortsluter den parallella 100 Ω resistorn. Kvar blir 100 Ω serie-resistorn. i 10V/100Ω 0,1 A.

58 Spolens inkoppling och urkoppling (11.6) b) Hur stor blir strömmen genom spolen efter det att en lång tid förflutit? u L 0 Svar: Efter en lång tid har förändringarna klingat ut. Spänningen över spolen (som beror på förändringar) är då 0, spolen kortsluter den parallella 100 Ω resistorn. Kvar blir 100 Ω serie-resistorn. 0,1 A i 10V/100Ω 0,1 A. i i 0

59 Spolens inkoppling och urkoppling (11.6) c) Senare, vid tidpunkten t 2 öppnas strömställaren. Ställ nu upp ett utryck för strömmen genom spolen som funktion av tiden t för tiden efter t 2. Låt förloppet börja vid t t 2 0.

60 Spolens inkoppling och urkoppling (11.6) Före

61 Spolens inkoppling och urkoppling (11.6) Före Efter

62 Spolens inkoppling och urkoppling (11.6) Före Efter Efter t 2 börjar strömmen från samma värde 0,1 A ( i 0 ) som före och klingar därefter av till 0 ( i ). Tidkonstanten τ L/R 1/100 0,01 s.

63 Spolens inkoppling och urkoppling (11.6) Före Efter Efter t 2 börjar strömmen från samma värde 0,1 A ( i 0 ) som före och klingar därefter av till 0 ( i ). Tidkonstanten τ L/R 1/100 0,01 s. i t τ Snabbformeln: x( t) x ( x x0) e il i L i L0 t t 0,01 0,01 L( t) 0 (0 0,1) e il( t) 0,1 e 0, 1 e 100 t

64 Spolens inkoppling och urkoppling (11.6) Före Efter Efter t 2 börjar strömmen från samma värde 0,1 A ( i 0 ) som före och klingar därefter av till 0 ( i ). Tidkonstanten τ L/R 1/100 0,01 s. Snabbformeln: x t) x ( x x ) e ( 0 t τ i L0 0,1 A i t t 0,01 0,01 L( t) 0 (0 0,1) e il( t) 0,1 e 0, 1 e 100 t i L

65

66 Spolens inkoppling och urkoppling (11.6) När spänningskällan 10 V är bortkopplad drivs strömmen helt av induktansen. Spänningen över 100 Ω resistorn U R blir i första ögonblicket ,1-10 V. Minustecken för att strömmen går in i nedre delen av resistorn.

67 Spolens inkoppling och urkoppling (11.6) När spänningskällan 10 V är bortkopplad drivs strömmen helt av induktansen. Spänningen över 100 Ω resistorn U R blir i första ögonblicket ,1-10 V. Minustecken för att strömmen går in i nedre delen av resistorn.

68 Spolens inkoppling och urkoppling (11.6) När spänningskällan 10 V är bortkopplad drivs strömmen helt av induktansen. Spänningen över 100 Ω resistorn U R blir i första ögonblicket ,1-10 V. Minustecken för att strömmen går in i nedre delen av resistorn. Antag att resistorn i stället hade varit 1000 Ω. Då hade u R i första ögonblicket blivit -100 V!

69 Spolens inkoppling och urkoppling (11.6) När spänningskällan 10 V är bortkopplad drivs strömmen helt av induktansen. Spänningen över 100 Ω resistorn U R blir i första ögonblicket ,1-10 V. Minustecken för att strömmen går in i nedre delen av resistorn. Antag att resistorn i stället hade varit 1000 Ω. Då hade u R i första ögonblicket blivit -100 V! Antag att resistorn varit Ω då hade spänningen blivit -1000V!

70 Spolens inkoppling och urkoppling (11.6) När spänningskällan 10 V är bortkopplad drivs strömmen helt av induktansen. Spänningen över 100 Ω resistorn U R blir i första ögonblicket ,1-10 V. Minustecken för att strömmen går in i nedre delen av resistorn. Antag att resistorn i stället hade varit 1000 Ω. Då hade u R i första ögonblicket blivit -100 V! Antag att resistorn varit Ω då hade spänningen blivit -1000V! När strömkretsen bryts försöker spolen fortsätta strömmen, tills all magnetisk energi har förbrukats. Om man utelämnar resistorn ur kretsen, dvs. R blir spänningen kortvarigt mycket hög.

71

72 Ex. Att bryta strömmen till en spole ger en hög spänning

73

74 Energi lagrad i magnetfält 2 m 2 1 I L W d d d d d d d I L i i L t t i i L t p W t i L i u i p I i i t t t t L R E I Ögonblickseffekt: Energi: Upplagrad energi i magnetfältet:

75 Energi lagrad i magnetfält 2 m 2 1 I L W d d d d d d d I L i i L t t i i L t p W t i L i u i p I i i t t t t L R E I Ögonblickseffekt: Energi: Upplagrad energi i magnetfältet: Kom ihåg formeln, men tillåtet att skolka i från härledningen

76 Induktorer

77 Serie och parallellkoppling av induktorer Under förutsättningen att inga av spolarna delar magnetiska kraftlinjer med varandra, utan är helt av varandra oberoende komponenter, kan man behandla serie- och parallellkopplade induktanser precis som om de vore resistorer. ( Spolar med sammanlänkat flöde behandlas senare i kursen ).

78 Serie och parallellkoppling av induktorer Under förutsättningen att inga av spolarna delar magnetiska kraftlinjer med varandra, utan är helt av varandra oberoende komponenter, kan man behandla serie- och parallellkopplade induktanser precis som om de vore resistorer. ( Spolar med sammanlänkat flöde behandlas senare i kursen ). L ERS 3 H

79

80 ( Stegmotorn den digitala motorn )

81 Hur snabbt kan man köra? τ L R Orkeslös! Motorn tar ett steg per puls. Ju snabbare man kör desto kortare blir pulserna. På grund av tidkonstanten τ hinner inte strömmen nå maxvärdet i lindningen och motorn blir då svag. Men det finns ett knep

82 L/5R går snabbare vem kunde gissat det? τ R L + 4 R L 5 R Man inför serieresistorer. Samtidigt höjer man spänningen för att kunna bibehålla strömmen. Nu kan motorn orka att köra mycket snabbare!

83 Snabbast? Om stegmotorn drivs från en strömgenerator så har denna mycket hög inre resistans ( R I ). Tidkonstanten blir då nära 0 och stegmotorn förblir stark vid höga pulsfrekvenser. Drivkretsar för konstant ström kallas för chopper. ( En nackdel med en chopper är att den genererar mycket störningar ). τ L R L 0

84